Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Samankaltaiset tiedostot
p'ø):{. P: f (ù: 10 Thlousmatematiikan perusteet, orrvrs ro:o - 5) - O'\lq - 4x, kun g(x) :7x2l5x-3, kun ft(.r) :3x. (x2 f'(3), g'(*), h'(*),

Esimerkki 1, Perusmalli (1)

Voitonmaksimointi esimerkkejä, L9

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet

Rajatuotto ja -kustannus, L7

Voitonmaksimointi, L5

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

4. www-harjoitusten mallivastaukset 2017

Derivointikaavoja, interpolointi, jousto, rajatuotto, L4b

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Voidaan laskea siis ensin keskimääräiset kiinteät kustannukset AFC: /10000=10

Monopoli. Tommi Välimäki S ysteemianalyysin. Laboratorio. Teknillinen korkeakoulu

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino (Mankiw & Taylor, 2 nd ed., chs 4-5)

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

1. Kuntosalilla on 8000 asiakasta, joilla kaikilla on sama salikäyntien kysyntä: q(p)= P, missä

8 Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

A31C00100 Mikrotaloustiede. Kevät 2017 HARJOITUKSET 6

Panoskysyntä. Luku 26. Marita Laukkanen. November 15, Marita Laukkanen Panoskysyntä November 15, / 18

Y56 laskuharjoitukset 5

4. www-harjoitusten mallivastaukset 2016

4 Kysyntä, tarjonta ja markkinatasapaino

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

A31C00100 Mikrotaloustiede. Kevät Olli Kauppi & Emmi Martikainen HARJOITUKSET 7

Matemaattinen Analyysi

Taloustieteen perusteet 31A Ratkaisut 3, viikko 4

TALOUSTIETEEN LUENTOJEN TEHTÄVÄT

Prof. Marko Terviö Assist. Jan Jääskeläinen

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Täydellinen kilpailu: markkinoilla suuri määrä yrityksiä. ----> Yksi yritys ei vaikuta hyödykkeen markkinahintaan.

8 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2 nd ed., ch 13)


Y56 laskuharjoitukset 5 - mallivastaukset

1. Laske sivun 104 esimerkin tapaan sellainen likiarvo luvulle e, että virheen itseisarvo on pienempi kuin 10 5.

7 Yrityksen teoria: tuotanto ja kustannukset (Mankiw & Taylor, Ch 13)

Luku 22 Yrityksen tarjonta. Nyt kiinnostava kysymys on, kuinka yrityksen tarjonta määräytyy. Yrityksen on periaatteessa tehtävä kaksi päätöstä:

Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)

Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Lue ohjeet huolellisesti

Malliratkaisut Demo 1

Osa 11. Yritys kilpailullisilla markkinoilla (Mankiw & Taylor, Ch 14)

MIKROTEORIA, HARJOITUS 6 YRITYKSEN JA TOIMIALAN TARJONTA JA VOITTO TÄYDELLISESSÄ KILPAILUSSA, SEKÄ MONOPOLI

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to

Funktio Laske lausekkeen 5x 4 arvo, kun a) x = 3 b) x = 0. Ratkaisu. a) = 15 4 = 11 b) = 0 4 = 4

Tehtävä 1. Mikä seuraavista alueista vastaa voittoa maksimoivan monopoliyrityksen ylisuuria voittoja?

Matemaattinen Analyysi

12 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola Luento 5. Termiinihinnan määräytyminen

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

Lyhyen aikavälin hintakilpailu 2/2

Luku 21 Kustannuskäyrät

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

1 KAUPALLISIA SOVELLUKSIA Tulovero 8

Kustannusten minimointi, kustannusfunktiot

Talousmatematiikan perusteet, ORMS1030

a) Markkinakysyntä - Aikaisemmin tarkasteltiin yksittäisen kuluttajan kysyntää. - Seuraavaksi tarkastellaan koko markkinoiden kysyntää.

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

Yritystoiminta Pia Niuta HINNOITTELU

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MIKROTEORIA, HARJOITUS 5 YRITYKSEN VOITON MAKSIMOINTI JA KUSTANNUSTEN MINIMOINTI

Kertausta Talousmatematiikan perusteista

Matemaattinen Analyysi

Mikrotaloustiede Prof. Marko Terviö Aalto-yliopiston 31C00100 Syksy 2015 Assist. Salla Simola kauppakorkeakoulu

Luku 26 Tuotannontekijämarkkinat. Tuotannontekijämarkkinat ovat tärkeä osa taloutta. Esimerkiksi

* Hyödyn maksimointi on ihmisten toimintaa ja valintoja ohjaava periaate.

Matemaattinen Analyysi

Hintakilpailu lyhyellä aikavälillä

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Malliratkaisut Demot

MIKROTEORIA, HARJOITUS 8

Y55 Kansantaloustieteen perusteet sl 2010 tehtävät 3

Talousmatematiikan perusteet

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

ehdolla y = f(x1, X2)

1. Etsi seuraavien funktioiden kriittiset pisteet ja tutki niiden laatu: (a.) f(x,y) = 20x 2 +10xy +5y 2 (b.) f(x,y) = 4x 2 2y 2 xy +x+2y +100

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

11 Oligopoli ja monopolistinen kilpailu (Mankiw & Taylor, Ch 17)

Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 2A

Matemaattinen Analyysi

Taloustieteen perusteet 31A Mallivastaukset 3, viikko 4

Talousmatematiikan perusteet

Piiri K 1 K 2 K 3 K 4 R R

Kilpailulliset markkinat Taloustieteen perusteet Matti Sarvimäki

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

Projektityö M12. Johdanto

11 Yritys kilpailullisilla markkinoilla

Funktion. Käänteisfunktio. Testi 3. Kauhava Aiheet. Funktio ja funktion kuvaaja. Funktion kasvaminen ja väheneminen.

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

Linkkejä kurssi2 / Etälukio (edu.) kurssi8 / Etälukio (edu.) (Suurinta osaa tämän linkin takana olevasta materiaalista pohdimme vasta huomenna!

Ax 0 mm Bx mm Cx 1800 Ay 0 mm By mm Cy 0

Ratkaisu: a) Koroton takaisinmaksuaika on 9000 = 7,5 vuotta b) Kun vuosituotot pysyvät vakiona, korollinen takaisinmaksuaika määräytyy

(Taloustieteen oppikirja, luku 5; Mankiw & Taylor, 2nd ed., ch 15)

KA , tentti (mikrotaloustieteen osuus), luennoitsija Mai Allo

b) '5555z-?:lo -1:7 ' 5 ',r+i (i-å) n- r*or i+i- sl4-4 s-5-''- (å) 2:+ 2 r t I 3-3 a)23+42 Ð'+., (, -:), u)j++ b)2-1 "i

Talousmatematiikan perusteet

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Kysyntä (D): hyötyfunktiot, hinta, tulot X = X(P,m) Tarjonta (S): tuotantofunktiot, hinta, panoshinta y = y(p,w)

Transkriptio:

Tamprn ksäyliopisto, syksy 2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 2. harjoitus, (p 4.11.2016) 1. Yritys valmistaa kappaltavaraa kappaltta viikossa. Yhdn kappaln matriaali- ja palkkakustannus on 7, jotn tuotannon määrästä riippuvat muuttuvat kustannukst ovat VC = 7 ( viikossa). Yrityksn kiintät kustannukst ovat FC = 11250 ( viikossa). Lisäksi ahtaidn tuotantotilojn ja varastointionglmin takia joudutaan turvautumaan ylityöhön, josta aihutuu kustannusrä LC = 0.005 2 ( viikossa). Kokonaiskustannus viikossa on siis TC() = FC +VC + LC = 11250 + 7 + 0.005 2. Tuottn myyntihinta on 30, jotn tuottofunktio on T R = 30 ( viikossa) ja voittofunktio on P() = T R TC = 23 0.005 2 11250 ( viikossa). Piirrä voittofunktion P() ja yksikkökustannusfunktion AC() = TC()/ kuvaajat kun 0 < < 3000. Mikä on AC():n yksikkö? Mikä on milstäsi järkvä tuotannon määrä? (Ohj: yksiköt [] = kpl vko, [P] = vko, [AC] = kpl ) P() = 23 0.005 2 11250 AC() = TC() = 11250 + 7 + 0.0052 = 11250 + 7 + 0.005 Yksikkökustannustn yksikkö on [AC] = [TC] [] Järkvä tuotannon määrä on noin 2 300kpl/vko. = /vko kpl/vko = vko vko kpl = kpl

2. Lask thtävässä 1 siintynn voittofunktion drivaatta, li P () = dp d. Millä :n arvolla P () = 0? Tarkista thtävän 1 kuvan avulla nollakohdan paikka. Millä :n arvoilla P () 0? Tarkista tämäkin thtävän 1 kuvan avulla. Voittofunktion drivaatta on nolla, kun P() = 23 0.005 2 11250 P () = 23 0.01 P () = 0 23 0.01 = 0 0.01 = 23 = 2300 ( 100) (kuvan prustlla OK) Voittofunktion drivaatta on 0, kun P () 0 23 0.01 0 0.01 23 2300 ( 100) (kuvan prustlla OK) 3. Lask drivaatat a) f (3), kun f (x) = x 2 4x, g (x), kun g(x) = 7x 2 + 5x 3, c) h (x), kun h(x) = 3x (x 2 5) a) f (x) = x 2 4x f (x) = 2x 4 f (3) = 2 3 4 = 2 g(x) = 7x 2 + 5x 3 g (x) = 14x + 5 c) h(x) = 3x (x 2 5) = 3x 3 15x h (x) = 9x 2 + 15

4. Erään tuottn kustannusfunktio on C() = 0.005 2 +6+200. a) Määritä rajakustannus MC() = C (), yksikkökustannus AC() = C/)/ ja kiintät kustannukst FC = C(0). Minkä arvon dllä mainitut funktiot saavat, kun tuotannon määrä on = 100? a) MC() = d d ( 0.005 2 + 6 + 200 ) = 0.01 + 6 AC() = 0.0052 + 6 + 200 FC = 200 MC(100) = 0.01 100 + 6 = 7 = 0.005 + 6 + 200 AC(100) = 0.005 100 + 6 + 200 100 = 8.5 FC = 200 5. Edllisssä thtävässä mainitun tuottn kysyntäfunktio p = f () = 10 0.01 krtoo mitn hinta (/kpl) riippuu tarjolla olvin tuottidn määrästä (kpl/kk). Tuottofunktio R() = p = (10 0.01) = 10 0.01 2 Krtoo tuoton (myynnistä saatu kassatulo). Lask rajatuotto MR() = R () MR() = d ( 10 0.01 2 ) = 10 0.02 d 6. Thtävin 4 ja 5 yritys tuottaa nyt kaksisataa tuottta kuussa ( = 200). Lask rajakustannus MC(200) ja rajatuotto MR(200). Kannattaako yrityksn kasvattaa vai pinntää tuotantoaan? MC() = 0.01 + 6 MC(200) = 0.01 200 + 6 = 8 MR() = 10 0.02 MR(200) = 10 0.02 200 = 6 Koska rajakustannus on isompi kuin rajatuotto, i yrityksn kannata kasvattaa tuotantoa (kustannukst kasvaisivat nmmän kun tuotot). Yrityksn kannattaa pinntää tuotantoaan. 7. Yrityksn rään tuotlinjan kysyntäfunktio on p = 20 0.030 ja vastaava kustannusfunktio on C() = 0.02 2 + 5 + 150. Millä tuotannon määrällä voitto on suurin mahdollinn. Mikä on maksimivoitto?

Rajatuotto p = 20 0.030 R = p = (20 0.030) = 20 0.030 2 Rajakustannus Voitonmaksimointi Kun = 150, niin voitto on MR = d d ( 20 0.030 2 ) = 20 0.060 C = 0.02 2 + 5 + 150 MC = d ( 0.02 2 + 5 + 150 ) = 0.04 + 5 d MC = MR 0.04 + 5 = 20 0.060 0.04 + 0.06 = 20 5 0.1 = 15 = 150 P(150) = R(150) C(150) = (20 150 0.030 150 2 ) (0.02 150 2 + 5 150 + 150) = 20 150 0.030 150 2 0.02 150 2 5 150 150 = 975 Vastaus: Voitto on siis suurin mahdollinn kun valmisttaan 150 tuottta suunnitlujaksossa. Voitto on silloin 975 (/jakso). 8. Tuottn kysynnästä tidämm suraavat arviot: jos tarjonta on 1 = 50, niin hinta asttu tasoll p 1 = 20.10ja jos tarjonta on 2 = 70, niin hinta on vastaavasti p 2 = 18.25. a) Arvioi intrpoloimalla tuottn hintaa, kun tarjonta on = 55. Määritä tuottn markkinoita kuvaava linaarinn kysyntäfunktio. Kaava: f (x) f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) a) p() p 1 + p 2 p 1 2 1 ( 1 ) 18.25 20.10 p(55) 20.10 + (55 50) 70 50 = 20.10 + 1.85 5 = 19.6375 19.64 20 18.25 20.10 p() 20.10 + ( 50) 70 50 = 20.10 + 1.85 ( 50) 20 = 20.10 0.0925 ( 50) = 24.725 0.0925

9. Erään raaka-ainn kysyntä on 4800 kg/. Tilauskustannus on 4,00 uro/tilaus ja varaston yksikköylläpitokustannus on 2.00 /kg/kuukausi. a) (2p) Mikä on optimaalinn tilausrän koko? (2p) Mitkä ovat varastonhoidon kokonaiskustannukst vuodssa? c) (2p) Mitn monta prosnttia kokonaiskustannus nous optimiarvosta, jos tilausrää kasvattaan optimiarvosta 10.0%. D = 4800 kg K = 4.00 h = 2.00 kg kk = 24.00 kg a) 2KD 2 4 4800 0 = = kg = 40kg h 24 TC 0 = KD + h 0 0 2 kg 4.00 4800 = + 24.00 40kg kg 40kg 2 = 480 + 480 = 960 c) Jos tilausrä onkin 44 kg, niin kokonaiskustannus on Kustannukst nousivat siis kg 4.00 4800 TC 44 = + 24.00 44kg kg 44kg 2 = 436.36 + 528.00 = 964.36 TC 44 TC 0 964.36 960 100% = 100% = 0.45% TC 0 960 10. Erään raaka-ainn kysyntä on 1600 kg/. Tilauskustannus on 30,00 uro/tilaus ja varaston yksikköylläpitokustannus on 1.25 /kg/kuukausi. a) (2p) Mikä on optimaalinn tilausrän koko? (2p) Mitkä ovat varastonhoidon kokonaiskustannukst vuodssa? c) (2p) Raaka-ainn toimittaja antaa sisäänostossa 1,0% määräalnnuksn, jos tilausrä on vähintään 50 kg, 2% alnnuksn jos tilausrä on vähintään 100 kg ja 3% alnnuksn, jos tilausrä on vähintään 150 kg. Raaka-ainn normaali ostohinta on 2,00 /kg. Mikä on nyt optimaalinn tilausrä?

a) c) D = 1600 kg K = 30.00 h = 1.25 kg kk = 15.00 kg 2KD 2 30 1600 0 = = kg = 80kg h 15 TC 0 = KD + h 0 0 2 kg 30 1600 = + 15 80kg kg 80kg 2 = 600 + 600 = 1200 TC() = KD + h 2 + p D TC(80) = 30 1600 + 15 80 + 1.98 1600 80 2 = 600 + 600 + 3168 = 4368/ TC(100) 30 1600 = + 15 100 + 1.96 1600 100 2 = 480 + 750 + 3136 = 4366/ TC(150) 30 1600 = + 15 150 + 1.94 1600 150 2 = 320 + 1125 + 3104 = 4549/ Edullisinta on siis tilata 100kg rissä (2%:n alnnus). Kaavoja: Intrpolointi: d dx axn = n ax n 1 f (x) f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) = f (x 1 ) + x x 1 x 2 x 1 ( f (x 2 ) f (x 1 ))

Varastomallit: prusmalli 0 = puutmalli 2KD h h + s s 1 = 0, M 1 = 0 s h + s, TC 1 () = KD + M2 h 2 + ( M)2 s 2 r r D tuotantomalli 2 = 0 r D, M 2 = 0, r TC 2 () = KD h(r D) + 2r