Tamprn ksäyliopisto, syksy 2016 Talousmatmatiikan prustt, ORMS1030 2. harjoitus, (p 4.11.2016) 1. Yritys valmistaa kappaltavaraa kappaltta viikossa. Yhdn kappaln matriaali- ja palkkakustannus on 7, jotn tuotannon määrästä riippuvat muuttuvat kustannukst ovat VC = 7 ( viikossa). Yrityksn kiintät kustannukst ovat FC = 11250 ( viikossa). Lisäksi ahtaidn tuotantotilojn ja varastointionglmin takia joudutaan turvautumaan ylityöhön, josta aihutuu kustannusrä LC = 0.005 2 ( viikossa). Kokonaiskustannus viikossa on siis TC() = FC +VC + LC = 11250 + 7 + 0.005 2. Tuottn myyntihinta on 30, jotn tuottofunktio on T R = 30 ( viikossa) ja voittofunktio on P() = T R TC = 23 0.005 2 11250 ( viikossa). Piirrä voittofunktion P() ja yksikkökustannusfunktion AC() = TC()/ kuvaajat kun 0 < < 3000. Mikä on AC():n yksikkö? Mikä on milstäsi järkvä tuotannon määrä? (Ohj: yksiköt [] = kpl vko, [P] = vko, [AC] = kpl ) P() = 23 0.005 2 11250 AC() = TC() = 11250 + 7 + 0.0052 = 11250 + 7 + 0.005 Yksikkökustannustn yksikkö on [AC] = [TC] [] Järkvä tuotannon määrä on noin 2 300kpl/vko. = /vko kpl/vko = vko vko kpl = kpl
2. Lask thtävässä 1 siintynn voittofunktion drivaatta, li P () = dp d. Millä :n arvolla P () = 0? Tarkista thtävän 1 kuvan avulla nollakohdan paikka. Millä :n arvoilla P () 0? Tarkista tämäkin thtävän 1 kuvan avulla. Voittofunktion drivaatta on nolla, kun P() = 23 0.005 2 11250 P () = 23 0.01 P () = 0 23 0.01 = 0 0.01 = 23 = 2300 ( 100) (kuvan prustlla OK) Voittofunktion drivaatta on 0, kun P () 0 23 0.01 0 0.01 23 2300 ( 100) (kuvan prustlla OK) 3. Lask drivaatat a) f (3), kun f (x) = x 2 4x, g (x), kun g(x) = 7x 2 + 5x 3, c) h (x), kun h(x) = 3x (x 2 5) a) f (x) = x 2 4x f (x) = 2x 4 f (3) = 2 3 4 = 2 g(x) = 7x 2 + 5x 3 g (x) = 14x + 5 c) h(x) = 3x (x 2 5) = 3x 3 15x h (x) = 9x 2 + 15
4. Erään tuottn kustannusfunktio on C() = 0.005 2 +6+200. a) Määritä rajakustannus MC() = C (), yksikkökustannus AC() = C/)/ ja kiintät kustannukst FC = C(0). Minkä arvon dllä mainitut funktiot saavat, kun tuotannon määrä on = 100? a) MC() = d d ( 0.005 2 + 6 + 200 ) = 0.01 + 6 AC() = 0.0052 + 6 + 200 FC = 200 MC(100) = 0.01 100 + 6 = 7 = 0.005 + 6 + 200 AC(100) = 0.005 100 + 6 + 200 100 = 8.5 FC = 200 5. Edllisssä thtävässä mainitun tuottn kysyntäfunktio p = f () = 10 0.01 krtoo mitn hinta (/kpl) riippuu tarjolla olvin tuottidn määrästä (kpl/kk). Tuottofunktio R() = p = (10 0.01) = 10 0.01 2 Krtoo tuoton (myynnistä saatu kassatulo). Lask rajatuotto MR() = R () MR() = d ( 10 0.01 2 ) = 10 0.02 d 6. Thtävin 4 ja 5 yritys tuottaa nyt kaksisataa tuottta kuussa ( = 200). Lask rajakustannus MC(200) ja rajatuotto MR(200). Kannattaako yrityksn kasvattaa vai pinntää tuotantoaan? MC() = 0.01 + 6 MC(200) = 0.01 200 + 6 = 8 MR() = 10 0.02 MR(200) = 10 0.02 200 = 6 Koska rajakustannus on isompi kuin rajatuotto, i yrityksn kannata kasvattaa tuotantoa (kustannukst kasvaisivat nmmän kun tuotot). Yrityksn kannattaa pinntää tuotantoaan. 7. Yrityksn rään tuotlinjan kysyntäfunktio on p = 20 0.030 ja vastaava kustannusfunktio on C() = 0.02 2 + 5 + 150. Millä tuotannon määrällä voitto on suurin mahdollinn. Mikä on maksimivoitto?
Rajatuotto p = 20 0.030 R = p = (20 0.030) = 20 0.030 2 Rajakustannus Voitonmaksimointi Kun = 150, niin voitto on MR = d d ( 20 0.030 2 ) = 20 0.060 C = 0.02 2 + 5 + 150 MC = d ( 0.02 2 + 5 + 150 ) = 0.04 + 5 d MC = MR 0.04 + 5 = 20 0.060 0.04 + 0.06 = 20 5 0.1 = 15 = 150 P(150) = R(150) C(150) = (20 150 0.030 150 2 ) (0.02 150 2 + 5 150 + 150) = 20 150 0.030 150 2 0.02 150 2 5 150 150 = 975 Vastaus: Voitto on siis suurin mahdollinn kun valmisttaan 150 tuottta suunnitlujaksossa. Voitto on silloin 975 (/jakso). 8. Tuottn kysynnästä tidämm suraavat arviot: jos tarjonta on 1 = 50, niin hinta asttu tasoll p 1 = 20.10ja jos tarjonta on 2 = 70, niin hinta on vastaavasti p 2 = 18.25. a) Arvioi intrpoloimalla tuottn hintaa, kun tarjonta on = 55. Määritä tuottn markkinoita kuvaava linaarinn kysyntäfunktio. Kaava: f (x) f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) a) p() p 1 + p 2 p 1 2 1 ( 1 ) 18.25 20.10 p(55) 20.10 + (55 50) 70 50 = 20.10 + 1.85 5 = 19.6375 19.64 20 18.25 20.10 p() 20.10 + ( 50) 70 50 = 20.10 + 1.85 ( 50) 20 = 20.10 0.0925 ( 50) = 24.725 0.0925
9. Erään raaka-ainn kysyntä on 4800 kg/. Tilauskustannus on 4,00 uro/tilaus ja varaston yksikköylläpitokustannus on 2.00 /kg/kuukausi. a) (2p) Mikä on optimaalinn tilausrän koko? (2p) Mitkä ovat varastonhoidon kokonaiskustannukst vuodssa? c) (2p) Mitn monta prosnttia kokonaiskustannus nous optimiarvosta, jos tilausrää kasvattaan optimiarvosta 10.0%. D = 4800 kg K = 4.00 h = 2.00 kg kk = 24.00 kg a) 2KD 2 4 4800 0 = = kg = 40kg h 24 TC 0 = KD + h 0 0 2 kg 4.00 4800 = + 24.00 40kg kg 40kg 2 = 480 + 480 = 960 c) Jos tilausrä onkin 44 kg, niin kokonaiskustannus on Kustannukst nousivat siis kg 4.00 4800 TC 44 = + 24.00 44kg kg 44kg 2 = 436.36 + 528.00 = 964.36 TC 44 TC 0 964.36 960 100% = 100% = 0.45% TC 0 960 10. Erään raaka-ainn kysyntä on 1600 kg/. Tilauskustannus on 30,00 uro/tilaus ja varaston yksikköylläpitokustannus on 1.25 /kg/kuukausi. a) (2p) Mikä on optimaalinn tilausrän koko? (2p) Mitkä ovat varastonhoidon kokonaiskustannukst vuodssa? c) (2p) Raaka-ainn toimittaja antaa sisäänostossa 1,0% määräalnnuksn, jos tilausrä on vähintään 50 kg, 2% alnnuksn jos tilausrä on vähintään 100 kg ja 3% alnnuksn, jos tilausrä on vähintään 150 kg. Raaka-ainn normaali ostohinta on 2,00 /kg. Mikä on nyt optimaalinn tilausrä?
a) c) D = 1600 kg K = 30.00 h = 1.25 kg kk = 15.00 kg 2KD 2 30 1600 0 = = kg = 80kg h 15 TC 0 = KD + h 0 0 2 kg 30 1600 = + 15 80kg kg 80kg 2 = 600 + 600 = 1200 TC() = KD + h 2 + p D TC(80) = 30 1600 + 15 80 + 1.98 1600 80 2 = 600 + 600 + 3168 = 4368/ TC(100) 30 1600 = + 15 100 + 1.96 1600 100 2 = 480 + 750 + 3136 = 4366/ TC(150) 30 1600 = + 15 150 + 1.94 1600 150 2 = 320 + 1125 + 3104 = 4549/ Edullisinta on siis tilata 100kg rissä (2%:n alnnus). Kaavoja: Intrpolointi: d dx axn = n ax n 1 f (x) f (x 1 ) + f (x 2) f (x 1 ) x 2 x 1 (x x 1 ) = f (x 1 ) + x x 1 x 2 x 1 ( f (x 2 ) f (x 1 ))
Varastomallit: prusmalli 0 = puutmalli 2KD h h + s s 1 = 0, M 1 = 0 s h + s, TC 1 () = KD + M2 h 2 + ( M)2 s 2 r r D tuotantomalli 2 = 0 r D, M 2 = 0, r TC 2 () = KD h(r D) + 2r