Todeäköisyyslaskea ja tilastotietee peruskurssi Esimerkkikokoelma 2 Aiheet: Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Kertymäfuktio, pistetodeäköisyysfuktio ja tiheysfuktio Jakaumie tuusluvut Tärkeimmät diskreetit jakaumat Tärkeimmät jatkuvia jakaumat Satuaismuuttujat ja todeäköisyysjakaumat Satuaismuuttujat, -luvut ja -vektorit Satuaismuuttuja X o kuvaus, joka liittää jokaisee perusjouko S pisteesee s S alkio X(s) S'. Alkio X(s) o satuaismuuttuja X realisaatio ja S' o satuaismuuttuja X mahdolliste realisaatioide joukko eli X: tilajoukko. Yleise satuaismuuttuja määritelmässä vaaditaa lisäksi, että kuvaus X o sopivassa mielessä mitallie, eli että muotoa {s S: X(s) B} oleville tapahtumille voidaa määrittää todeäköisyys aia ku B o riittävä sääöllie tilajouko S' osajoukko. Kaikki tällä kurssilla käsiteltävät satuaismuuttujat toteuttavat tämä tekise ehdo, ja jatkossa kaikki tilajouko osajoukot oletetaa ilma erillistä maiitaa riittävä sääöllisiksi. Jos tilajoukko S': o reaalilukuje osajoukko, o X reaaliarvoie satuaismuuttuja eli satuaisluku, o -ulotteise Euklidise avaruude osajoukko, o X satuaisvektori, kattaa lukujoot (x,x 2,x 3,...), o X satuaisjoo, o fuktioavaruus, o X satuaisfuktio. Tällä kurssilla käsitellää lähes yksiomaa satuaislukuja ja 2-ulotteisia satuaisvektoreita. Ellei eriksee maiita, kaikki satuaismuuttujat ovat jatkossa reaaliarvoisia. Satuaismuuttuja jakauma Satuaismuuttuja X jakauma o kuvaus, joka liittää jokaisee tilajouko osajoukkoo B S' luvu P X (B) = Pr(X B), joka kertoo millä todeäköisyydellä X: realisaatio kuuluu joukkoo B. Satuaismuuttuja jakauma o tilajouko S' todeäköisyysjakauma, eli kuvaus P X toteuttaa todeäköisyyde aksioomat ja sille pätee samat laskusääöt kui otosavaruude S todeäköisyysjakaumalle Pr. Diskreetti satuaismuuttuja Satuaismuuttuja X o diskreetti, jos se tilajoukko S' o umeroituva, eli X: mahdolliset realisaatiot voidaa umeroida joko muodossa S' = {x,x 2,...,x } tai S'={x,x 2,x 3,...}. Diskreeti satuaismuuttuja pistetodeäköisyysfuktio o fuktio f(x i ) = Pr(X = x i ), L Leskelä (205) /39
joka kertoo millä todeäköisyydellä X saa arvo x i. Diskreeti satuaismuuttuja pistetodeäköisyysfuktio toteuttaa ehdot ja f(x i ) 0 kaikilla i f (x i ) =. i Todeäköisyys, että diskreetti satuaismuuttuja saa arvo joukossa B voidaa laskea pistetodeäköisyysfuktio avulla muodossa Pr(X B) = x i. x i B Näi olle diskreeti satuaismuuttuja X pistetodeäköisyysfuktio määrää X: jakauma yksikäsitteisesti. Jatkuva satuaisluku Satuaisluku eli reaaliarvoie satuaismuuttuja X o jatkuva, jos se jakauma voidaa esittää tiheysfuktio f(x) 0 avulla muodossa Pr(X B) = B f (x)dx kaikilla reaaliakseli osajoukoilla B. Jatkuva satuaisluvu tiheysfuktio toteuttaa ehdo + f (x)dx =. Jatkuva satuaisluvu pistetodeäköisyysfuktio o idettisesti olla, eli Pr(X = a) = 0 kaikilla reaaliluvuilla a. Tämä paradoksaaliselta kuulostava fakta voidaa selittää ii, että {X=a} tarkoittaa tapahtumaa, että X: arvo o reaaliluku a äärettömä moe desimaali tarkkuudella. Toisaalta Pr(a-h X a+h) 2 h f > 0 mielivaltaise (mutta ei äärettömä) pieillä h>0 kaikissa iisä pisteissä a, missä f > 0 ja f o jatkuva. Kertymäfuktio Satuaisluvu eli reaaliarvoise satuaismuuttuja kertymäfuktio F(x) = Pr(X x) kertoo, millä todeäköisyydellä satuaisluvu X arvo o eitää x. Kertymäfuktiolle pätee L Leskelä (205) 2/39
() lim F( x) = 0 x (2) lim F( x) = x + (3) F o ei- väheevä: F( x ) F( x ), jos x x 2 2 (4) F o jatkuva oikealta: lim F( x+ h) = F( x) h 0+ (5) Pr(X > x) = F(x) (6) Pr(a < X b) = F F Diskreeti satuaisluvu kertymäfuktio Diskreeti satuaisluvu kertymäfuktio X saadaa laskettua pistetodeäköisyysfuktio f(x i ) avulla kaavasta F(x) = Pr(X x) = f (x i ). i:xi x Jatkuva satuaisluvu kertymäfuktio Jatkuva satuaisluvu X, jolla o tiheysfuktio f, kertymäfuktio F saadaa itegroimalla tiheysfuktiota F(x) = Pr(X x) = x f (t)dt. Tällöi tiheysfuktio määräytyy kertymäfuktiosta derivoimalla f (x) = F!(x) = d dx F(x). Lisäksi X saa arvo väliltä (a,b] todeäköisyydellä Pr(a < X b) = F F = f (x)dx. b a Koska jatkuvalle satuaisluvulle Pr(X=x) = 0 kaikilla x, ei väli (a,b] päätepisteillä ole merkitystä, ja pätee Pr(a < X b) = Pr(a X < b) = Pr(a < X < b) = Pr(a X b). Jakaumie tuusluvut Diskreeti satuaisluvu odotusarvo Diskreeti satuaisluvu X, joka pistetodeäköisyysfuktio o f, odotusarvo o ei-satuaie vakio E(X ) = x i f (x i ) = x i Pr(X = x i ). i i L Leskelä (205) 3/39
Odotusarvo määritelmässä oletetaa, että yo. yhtälö oikealla puolella oleva summa suppeee ja tällöi saotaa, että odotusarvo o olemassa. Jatkuva satuaisluvu odotusarvo Jatkuva satuaisluvu X, jolla o tiheysfuktio f, odotusarvo o ei-satuaie vakio E(X ) = + xf (x)dx. Yllä oletetaa, että oikealla puolella oleva itegraali o hyvi määritelty. Odotusarvo omiaisuuksia Satuaisluvu X odotusarvo o X: todeäköisyysjakauma massakeskipiste. Kaikille vakioille a,a 2,... ja kaikille satuaisluvuille X,X 2,... pätee " E$ # i= % a i X i ' = a E(X ). i i & i= Lisäksi vakio a odotusarvo o E = a. Satuaismuuttuja muuokse odotusarvo Jos X o diskreetti satuaismuuttuja, joka pistetodeäköisyysfuktio o f(x i )=Pr(X= x i ), ja g o determiistie fuktio X: tilajoukosta reaaliluvuille, ii satuaisluvu Y=g(X) odotusarvo saadaa kaavasta E(g(X )) = g(x i ) f (x i ). i Jos X o jatkuva satuaisluku, jolla o tiheysfuktio f, ja g o determiistie fuktio X: tilajoukosta reaaliluvuille, ii satuaisluvu Y=g(X) odotusarvo saadaa kaavasta Variassi ja keskihajota + E(g(X )) = g(x) f (x)dx. Variassi ja keskihajota kuvaavat todeäköisyysjakauma hajotaa odotusarvosa ympärillä. Satuaisluvu X, jolla o odotusarvo µ X, variassi o ei-satuaie vakio Var(X ) = E[(X µ X ) 2 ]. Variassi voidaa laskea myös kaavalla Var(X ) = E(X 2 ) µ X 2, missä E(X 2 ) o X: toie mometti. X: keskihajota o variassi eliöjuuri σ X = Var(X ). Jos X o diskreetti satuaisluku, joka pistetodeäköisyysfuktio o f(x i )=Pr(X= x i ), ii se variassi saadaa kaavasta Var(X ) = (x i µ X ) 2 f (x i ). i L Leskelä (205) 4/39
Jos X o jatkuva satuaisluku, jolla o tiheysfuktio f, ii variassi saadaa kaavasta + Var(X ) = (x µ X ) 2 f (x)dx. Variassi omiaisuuksia Olkoo a vakio. Tällöi Var = 0. Olkoot X i riippumattomia satuaislukuja ja a i vakioita. Tällöi " Var$ # i= % a i X i ' = a 2 Var(X ). i & i i= Kvatiilit ja mediaai Satuaisluvu X: ja se todeäköisyysjakauma kvatiili kertalukua p (0,) o reaaliluku x p, joka toteuttaa yhtälö F(x p ) = p, missä F o X: kertymäfuktio. Kvatiili x p toteuttaa yhtälöt Pr(X x p ) = p ja Pr(X > x p ) = - p, jakaa satuaisluvu todeäköisyysmassa kahtee osaa ii, että massasta p 00 % o kvatiili x p alapuolella ja ( p) 00 % aidosti x p : yläpuolella. Jos kertymäfuktiolla F o olemassa kääteisfuktio F -, ii x p = F - (p) kaikilla 0<p<. Muussa tapauksessa kvatiilit eivät ole yksikäsitteisiä. Kertaluvu p = 0.5 kvatiilia kutsutaa mediaaiksi. Mediaai jakaa todeäköisyysmassa kahtee osaa ii, että massasta 50 % o mediaai alapuolella ja 50 % aidosti se yläpuolella. Diskreettejä jakaumia Diskreetti tasajakauma Olkoo X diskreetti satuaismuuttuja, joka mahdolliset arvot ovat x, x 2,, x. Jos X saa jokaise mahdollise arvosa samalla todeäköisyydellä, pätee Pr(X = x i ) =, i =,2,, ja tällöi satuaismuuttuja X oudattaa diskreettiä tasajakaumaa, joka pistetodeäköisyysfuktio o f (x i ) =, i =,2,,. Tällöi X: odotusarvo ja variassi saadaa kaavoista E(X ) = x i ja Var(X ) = i= 2 # x 2 i & % ( % x i ( $ i= ' i= L Leskelä (205) 5/39
Beroulli-jakauma Diskreetti satuaismuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa parametrilla p, merkitää X ~Ber(p), jos se arvojoukko o {0,} ja se pistetodeäköisyysfuktio o f (k) = p k ( p) k, k = 0,. Tällöi X: odotusarvo ja variassi ovat E(X ) = p ja Var(X ) = p( p). Jokaie {0,}-arvoie satuaismuuttuja X oudattaa Beroulli-jakaumaa parametrilla p = Pr(X=). Tapahtuma A idikaattori o satuaismuuttuja A, joka määritellää kaavalla:!, jos tapahtuma A sattuu, A = " # 0, jos tapahtuma A ei satu. Tällöi A o Beroulli-jakautuut parametrilla p=pr(a). Biomijakauma Diskreetti satuaisluku X oudattaa biomijakaumaa parametrilla ja p, merkitää X ~ Bi(,p), jos se arvojoukko o {0,,...,} ja se pistetodeäköisyysfuktio o! f (k) = # $ " k% & pk ( p) k, k = 0,,2,,. Tällöi X: odotusarvo ja variassi ovat E(X ) = p ja Var(X ) =p( p). Tehdää riippumatota havaitoa satuaisilmiöstä ja tarkastellaa kuika mota kertaa tapahtuma A sattuu kyseisessä havaitosarjassa. Tällöi A: esiitymiskertoje lukumäärä o diskreetti satuaisluku X ~ Bi(,p), missä p = Pr(A). Biomijakauma ja Beroulli-jakauma yhteys Jos X, X 2,, X ovat riippumattomia Ber(p)-jakautueita satuaislukuja, ii summa X = X i= oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p. i Geometriset jakaumat Diskreetti satuaismuuttuja X oudattaa lukujouko {,2,3...} geometrista jakaumaa parametriaa p, jos se tilajoukko o {,2,3...} ja se pistetodeäköisyysfuktio o f (k) = ( p) k p, k =,2,3, L Leskelä (205) 6/39
Tällöi X: odotusarvo ja variassi ovat E(X ) = p ja Var(X ) = p p 2. Toistetaa tilastollista koetta, missä tehdää riippumattomia havaitoja satuaisilmiöstä ii kaua, kues ealta valittu tapahtuma A sattuu esimmäise kerra. Tällöi tarvittavie toistoje lukumäärä X oudattaa lukujouko {,2,3,...} geometrista jakaumaa parametriaa p = Pr(A). Diskreetti satuaismuuttuja Y oudattaa lukujouko {0,,2,3...} geometrista jakaumaa parametriaa p, jos se tilajoukko o {0,,2,...} ja se pistetodeäköisyysfuktio o f (k) = ( p) k p, k = 0,,2, Tällöi Y: odotusarvo ja variassi ovat E(X ) = p p ja Var(Y ) = p p 2. Jos X oudattaa lukujouko {,2,3,...} geometrista jakaumaa parametrilla p, ii Y=X- oudattaa lukujouko {0,,2,...} geometrista jakaumaa samalla parametrilla. Hypergeometrie jakauma Diskreetti satuaisluku X oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametreiaa N,K, ja, jos sillä o pistetodeäköisyysfuktio! K $! # & N K $ # & " k %" k % f (k) =, max(0, + K N ) k mi(, K).! N $ # & " % Tällöi X: odotusarvo ja variassi ovat E(X ) = K N ja Var(X ) = K! N K $ " # & N % $ '. " N %# N & Hypergeometrie jakauma ilmeee tilastollisessa kokeessa, jossa halutaa selvittää kuika suuri osuus äärellise perusjouko S alkioista kuuluu perusjouko osajoukkoo A. Suoritetaa perusjoukosta : alkio satuaisotata ilma palautusta ja merkitää X:llä iide havaitoje lukumäärää, jotka kuuluvat joukkoo A. Tällöi X oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametreiaa N=(S), K=(A) ja. Hypergeometrise jakauma arvioimie biomijakaumalla Jos perusjouko koko N o suuri suhteessa otoskokoo, ii hypergeometrise jakauma todeäköisyydet ovat lähellä biomijakauma Bi(,p) todeäköisyyksiä, missä p = K/N o jouko A tarkka koko suhteessa perusjoukkoo. Site hypergeometrista jakaumaa voidaa approksimoida biomijakaumalla, ku otatasuhde /N o riittävä piei. L Leskelä (205) 7/39
Satuaisotata ilma palautusta ja palauttae Satuaisotata o tilastollie meetelmä selvittää, mite suuri osuus tiety äärellise perusjouko S alkioista kuuluu perusjouko osajoukkoo A. Satuaisotaassa ilma palautusta perusjoukosta S poimitaa satuaisesti alkiota ja tutkitaa, kuika moi iistä kuuluu osajoukkoo A. Tällaisessa satuaisotoksessa joukkoo A kuuluvie alkioide lukumäärä o diskreetti satuaisluku, joka oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametreiaa N=(S), K=(A) ja. Satuaisotaassa palauttae perusjoukosta S poimitaa alkioita yksi kerrallaa tutkittavaksi ja jokaie tutkittu alkio palautetaa perusjoukkoo takaisi. Tällöi sama alkio voi tulla poimituksi mota kertaa. Diskreetti satuaisluku, joka : toisto jälkee kertoo kuika mota kertaa o havaittu alkio, joka kuuluu joukkoo A, oudattaa biomijakaumaa Bi(,p) parametreiaa ja p = (A)/(S). Jos satuaisotaassa ilma palautusta otoskoko o piei suhteessa perusjouko kokoo N, voidaa yllämaiittua hypergeometrista jakaumaa approksimoida biomijakaumalla Bi(,p), joka parametrit ovat samat kui satuaisotaassa palauttae. Tässä mielessä satuaisotata ilma palautusta ataa likimai samoja tuloksia kui satuaisotata palauttae, ku otatasuhde /N o piei. Poisso-jakauma Diskreetti satuaisluku X oudattaa Poisso-jakaumaa parametriaa λ > 0, merkitää X ~ Poi(λ), jos se pistetodeäköisyysfuktio o f (k) = e λ λ λ k k!, k = 0,,2, Tällöi X: odotusarvo ja variassi ovat E(X ) = λ ja Var(X ) = λ. Biomijakauma arvioimie Poisso-jakaumalla Jos Bi(,p)-jakauma parametri o suuri ja parametri p lähellä ollaa ii, että jakauma odotusarvo o likimai p λ, kyseistä biomijakaumaa voidaa approksimoida Poi(λ)- jakaumalla. Tässä mielessä Poisso-jakauma kuvaa harviaiste riippumattomie tapahtumie lukumäärä jakaumaa pitkissä toistokoesarjoissa. Jatkuvia jakaumia Jatkuva tasajakauma Satuaisluku X oudattaa väli (a,b) jatkuvaa tasajakaumaa, jos sillä o tiheysfuktio 0, x< a f( x) =, a x b b a 0, x> a L Leskelä (205) 8/39
Tällöi X: odotusarvo ja variassi ovat Ekspoettijakauma a+ b E( X ) = ja Var(X ) = 2 (b a)2 2 Jatkuva satuaismuuttuja X oudattaa ekspoettijakaumaa parametriaa λ > 0, merkitää Exp(λ), jos sillä o tiheysfuktio f(x), missä f(x) = λ exp( λx), x 0, ja f(x) = 0, ku x < 0. Tällöi X: odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = ja Var(X ) = λ λ. 2 Ekspoettijakautuut satuaisluku X toteuttaa muistittomuusomiaisuude: Pr(X > s+t X > s) = Pr(X > t) kaikilla s,t > 0.. Normaalijakauma Satuaisluku X oudattaa ormaalijakaumaa parametreiaa µ ja σ 2, merkitää X ~ N(µ,σ 2 ), jos sillä o tiheysfuktio f (x) = ' 2πσ exp 2 )! x µ $ + ) ( # &,. *) 2 " σ % -) Tällöi X: odotusarvo ja variassi ovat E( X ) = µ ja Var(X ) = σ 2. Normaalijakauma tiheysfuktio tuetaa imellä Gaussi kellokäyrä. Tiheysfuktio o yksihuippuie ja saa maksimisa pisteessä µ. Lisäksi tiheysfuktio symmetrie pistee x = µ suhtee. Normaalijakauma kertymäfuktio F(x) saadaa itegroimalla vastaavaa tiheysfuktiota f(x). Kertymäfuktiota vastaavalle itegraalille ei ole tiedossa sieveettyä suljettua muotoa. Tämä vuoksi ormaalijakauma kertymäfuktio umeeriset arvot tulee katsoa taulukoista tai laskea tietokoeella. Stadardoitu ormaalijakauma Normaalijakauma N(0,), joka odotusarvo o 0 ja variassi o, o stadardoitu ormaalijakauma. Mikä tahasa ormaalijakautuut satuaisluku voidaa muutaa stadardoituu muotoo vähetämällä esi odotusarvo ja jakamalla sitte keskihajoalla: Jos X N(µ,σ 2 ), ii ja Z = X µ σ N(0,) L Leskelä (205) 9/39
a µ X µ b µ a µ b µ Pr( a X b) = Pr = Pr Z σ σ σ σ σ. 2 Site ormaalijakaumaa N( µσ, ) liittyvät todeäköisyydet voidaa aia määrätä stadardoidu ormaalijakauma N(0,) avulla. Esimerkki Määrää todeäköisyys Pr(.5 X 3), ku X oudattaa ormaalijakaumaa N(2,/4). Käytetää tehtävä ratkaisemisessa stadardoidua ormaalijakaumaa N(0,), joka kertymäfuktio arvoja o kurssilla jaettavissa taulukoissa. Koska X: odotusarvo o µ = 2 ja keskihajota σ = /2, missä Edellee.5 2 X 2 3 2 Pr(.5 X 3) = Pr = Pr( Z 2), /2 /2 /2 Z = X µ σ N(0,). Pr( Z 2) = Φ(2) Φ( ), missä Φ o stadardoidu ormaalijakauma kertymäfuktio, joka arvot löytyvät tilastollisista taulukoista tai tietokoeohjelmistoista. Sijoittamalla arvot Φ(-)=0.587 ja Φ(2)=0.9772 ylläolevaa kaavaa, havaitaa että Pr(.5 X 3) = Φ(2) Φ( ) = 0.9772 0.587 = 0.885 Todeäköisyyde Pr(.5 X 3) määräämie vastaa aluee A pita-ala määräämistä alla. Riippumattomie ormaalijakautueide satuaislukuje summa Jos satuaisluvut X i ~ N(µ i,σ 2 i ) ovat keskeää riippumattomat, ii tällöi iide summa Y = X i= i L Leskelä (205) 0/39
oudattaa ormaalijakaumaa N(µ,σ 2 ) parametrei µ = µ +... + µ ja σ 2 = σ 2 +... + σ 2. Keskeie raja-arvolause Olkoot X,...,X riippumattomia ja samoi jakautueita satuaislukuja, joide odotusarvo o µ variassi σ 2. Tällöi summa Y = X i= i odotusarvo o µ variassi σ 2. Vähetämällä odotusarvo ja jakamalla keskihajoalla voidaa Y stadardoida muotoo Z = Y µ σ. Ku, keskeise raja-arvolausee perusteella satuaisluvu Z kertymäfuktio suppeee kohti stadardoidu ormaalijakauma N(0,) kertymäfuktiota Φ(z), eli pätee X µ i i= lim Pr z =Φ( z) + σ Keskeisestä raja-arvolauseesta seuraa, että summa Y jakaumaa voidaa suurilla arvioida ormaalijakaumalla N(µ,σ 2 ).. Biomijakauma arvioimie ormaalijakaumalla tai Poisso-jakaumalla Suurillä : arvoilla voidaa biomijakaumaa Bi(,p) approksimoida tietyi ehdoi joko ormaalijakaumalla tai Poisso-jakaumalla.. Jos X ~ Bi(,p) oudattaa biomijakaumaa, missä o suuri ja p ei ole kovi lähellä ollaa eikä ykköstä, ii X: kertymäfuktiota voidaa approksimoida ormaalijakaumalla N(p,p(-p)). Tällöi siis pätee! Pr(a < X b) Φ # " b p $! p( p) & Φ # % " a p $ p( p) &, % missä Φ o stadardoidu ormaalijakauma N(0,) kertymäfuktio. 2. Jos X ~ Bi(,p), oudattaa biomijakaumaa, missä o suuri ja p o lähellä ollaa ii, että biojakauma odotusarvo o likimai p λ, kyseistä biomijakaumaa voidaa approksimoida Poi(λ)-jakaumalla. Voidaa siis todeta, että suuressa satuaisotoksessa tyypillisiä tapahtumia o havaitoje lukumäärä likimai ormaalijakautuut, ku taas suuressa satuaisotoksessa harviaisia tapahtumia vastaava luku o likimai Poisso-jakautuut. Hypergeometrise jakauma arvioimie ormaalijakaumalla tai Poisso-jakaumalla Hypergeometrie jakauma ilmeee tilastollisessa kokeessa, jossa halutaa selvittää kuika suuri osuus äärellise perusjouko S alkioista kuuluu perusjouko osajoukkoo A. Suoritetaa L Leskelä (205) /39
perusjoukosta : alkio satuaisotata ilma palautusta ja merkitää X:llä iide havaitoje lukumäärää, jotka kuuluvat joukkoo A. Tällöi X oudattaa hypergeometrista jakaumaa parametreiaa N=(S), K=(A) ja. Koska hypergeometrie jakauma parametrei N,K, o lähellä Bi(,K/N)-jakaumaa, ku otatasuhde /N o piei, voidaa biomijakauma arviota hyödytämällä tehdä seuraavat johtopäätökset.. Ku otatasuhde /N o piei ja osajouko A alkioide osuus K/N o tyypillie eli riittävä kaukaa ollasta ja ykkösestä, voidaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N,K, approksimoida ormaalijakaumalla N(µ,σ 2 ), missä µ = K N, σ 2 = K! N K $ # &. " N % 2. Ku otatasuhde /N o piei ja osajouko A alkioide osuus K/N o piei eli lähellä ollaa ii että K/N λ, voidaa hypergeometrista jakaumaa parametrei N,K, approksimoida Poisso-jakaumalla Poi(λ), missä λ = K/N. L Leskelä (205) 2/39
Esimerkki 3.3 Heitetää symmetristä kolikkoa 3 kertaa, jolloi siis Pr(Kruua) = Pr(Klaava) = /2 ja olkoo satuaismuuttuja X = Kruuie lukumäärä 3:ssa heitossa. (c) (d) Määrää todeäköisyydet tapahtumille X = 0,, 2, 3 ja määrittele iide avulla satuaismuuttuja X pistetodeäköisyysfuktio. Hahmottele fuktio kuvaaja paperille. Määrää satuaismuuttuja X kertymäfuktio. Hahmottele fuktio kuvaaja paperille. Mikä o tapahtuma X =.5 todeäköisyys? Määrää tapahtuma X > todeäköisyys sekä satuaismuuttuja pistetodeäköisyys- että kertymäfuktio avulla. Esimerkki 3.3 Mitä opimme? Esimerkissä 3.3. tarkastellaa diskreeti satuaismuuttuja määrittelemistä sekä ko. satuaismuuttuja pistetodeäköisyysfuktio ja kertymäfuktio määrittämistä puuverko avulla. Esimerkki 3.3 Ratkaisu Merkitää H = Kruua (egl. head), T = Klaava (egl. tail). Tehtävä satuaisilmiö tulosvaihtoehdoista voidaa raketaa alla oleva puuverkko: /2 /2 H T /2 /2 /2 /2 H T H T /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 /2 H T H T H T H T Todeäköisyydet erilaisille kruuie ja klaavoje kombiaatioille voidaa laskea. Tehtävä tapauksessa mikä tahasa kolme kombiaatio todeäköisyys o 3 =, 2 8 koska heitot ovat toisistaa riippumattomia. Kombiaatioita, joissa o 0 kpl kirjaita H:ta, o kpl. Site Pr(TTT) =. 8 L Leskelä (205) 3/39
Kombiaatioita, joissa o kpl kirjaita H, o 3 kpl. Site 3 Pr(HTT tai THT tai TTH) = 8 käyttämällä poissulkevie tapahtumie yhteelaskusäätöä. Kombiaatioita, joissa o 2 kpl kirjaita H, o 3 kpl. Site 3 Pr(HHT tai HTH tai THH) =. 8 Kombiaatioita, joissa o 3 kpl kirjaita H, o kpl. Site Site voimme esittää satuaismuuttuja X = Kruuie lukumäärä 3:ssa kolikoheitossa pistetodeäköisyysfuktio f(x) = Pr(X = x), x = 0,, 2, 3, Pr(HHH) =. 8 alla vasemmalla olevaa taulukkoa. Alla oikealla o satuaismuuttuja X pistetodeäköisyysfuktio kuvaaja. x f(x) = Pr(X = x) 0 /8 3/8 2 3/8 3 /8 f(x) 3/8 2/8 /8 0 2 3 x Diskreeti satuaismuuttuja kertymäfuktio voidaa laskea kaavalla F( x) = Pr( X = xi ). i xi x Summassa lasketaa yhtee kaikki pistetodeäköisyydet Pr( X = x i ), joille pätee x i x. Site voimme esittää satuaismuuttuja X = Kruuie lukumäärä 3:ssa kolikoheitossa kertymäfuktio alla vasemmalla olevaa taulukkoa. Alla oikealla o satuaismuuttuja X kertymäfuktio kuvaaja. L Leskelä (205) 4/39
x F(x) x < 0 0 0 x < /8 x < 2 4/8 2 x < 3 7/8 3 x F(x) 7/8 4/8 /8 0 2 3 x (c) Koska X =.5 o tapahtumaa mahdoto, ii Pr(X =.5) = 0. (d) Pistetodeäköisyysfuktiosta: Pr(X > ) = Pr(X = 2) + Pr(X = 3) = 3/8 + /8 = 4/8 = /2. Kertymäfuktiosta: Pr(X > ) = Pr(X ) = F() = 4/8 = 4/8 = /2. Esimerkki 3.4 Jatkuvalla satuaismuuttujalla X o tiheysfuktio muotoa " $ x + b, ku 0 x, f (x) = # %$ 0, muulloi. Määrää vakio b arvo. Määrää tapahtuma X = 0.5 todeäköisyys. (c) Määrää tapahtuma 0 X 0.5 todeäköisyys. (d) Määrää satuaismuuttuja X kertymäfuktio. Esimerkki 3.4 Mitä opimme? Esimerkissä 3.4 tarkastellaa jatkuva satuaismuuttuja tiheysfuktiota ja kertymäfuktiota. Esimerkki 3.4 Ratkaisu Koska kaikille tiheysfuktioille f(x) pätee + f( x) dx=, saadaa vakio b määrätyksi yhtälöstä L Leskelä (205) 5/39
+ 2 f x dx x b dx x bx b, = ( ) = ( + ) = + = + 2 2 ja ratkaisuksi saadaa b = /2. Oikealla o satuaismuuttuja X tiheysfuktio f(x) kuvaaja välillä [0, ]. 0 Koska jatkuvilla jakaumilla jokaise yksittäise pistee todeäköisyys o olla, ii Pr(X = 0.5) = 0. 0 f(x).5.0 0.5 0 0.5.0 x (c) Jos satuaismuuttujalla X o tiheysfuktio o f(x), ii Site b Pr( a X b) f( x) dx =. a 0.5 2 X x dx x x 3 Pr(0 0.5) = + = + = 2 2 2. 8 0 0 0.5 (d) Ku satuaismuuttujalla X o tiheysfuktio o f(x), se kertymäfuktio saadaa kaavalla x F( x) = f ( t) dt. Site tehtävä satuaismuuttuja X kertymäfuktioksi saadaa välillä [0, ]: x x x 2 ( ) = ( ) = ( + ) = + = ( + ). Fx ftdt t dt 2 t t xx 2 2 2 Tämä väli ulkopuolella F(x) = 0, ku x 0, F(x) =, ku x. 0 0 Esimerkki 3.5 Osallistut rahapelii, jossa heitetää kolmea symmetristä kolikkoa (ks. esimerkki 3.3). Pelii osallistumisesta pitää maksaa paos ja pelaaja saa voittoa kruuie verra euroja. Mikä o korkei paos, mikä siu kaattaa maksaa osallistumisesta pelii? L Leskelä (205) 6/39
Ohje: Määrää satuaismuuttuja odotusarvo. X = Kruuie lukumäärä 3:ssa rahaheitossa Mikä o voittosumma keskihajota? Esimerkki 3.5 Mitä opimme? Esimerkissä 3.5. tarkastellaa odotusarvo, variassi ja keskihajoa määräämistä esimerki 3.3. diskreetille satuaismuuttujalle. Esimerkki 3.5 Ratkaisu Esimerki 3.3 mukaa satuaismuuttuja X = Kruuie lukumäärä 3:ssa rahaheitossa pistetodeäköisyysfuktio f(x) = Pr(X = x), x = 0,, 2, 3, voidaa esittää seuraavaa taulukkoa: x f(x) = Pr(X = x) 0 /8 3/8 2 3/8 3 /8 Diskreeti satuaismuuttuja X, joka pistetodeäköisyysfuktio o f(x), odotusarvo saadaa kaavalla:. E( X) = x Pr( X = x) = x f( x) Tehtävä tapauksessa i x= 0 i i i i i 3 3 3 2 3 E( X) = xpr( X = x) = 0 + + 2 + 3 = = =.5. 8 8 8 8 8 2 Site siu kaattaa maksaa pelii osallistumisesta korkeitaa.5, koska se o odotettavissa oleva voitto. Muista, että odotusarvo o satuaismuuttuja todeäköisyysjakauma massakeskipiste. Huomaa, että tässä tapauksessa Pr(X = E(X)) = 0. Satuaismuuttuja keskihajota o satuaismuuttuja variassi eliöjuuri. Määrätää siksi esi satuaismuuttuja X variassi. Käytetää variassi laskemisee kaavaa L Leskelä (205) 7/39
Var(X ) = E(X 2 )! " E(X )# missä E(X) = satuaismuuttuja X odotusarvo, E(X 2 ) = satuaismuuttuja X toie mometti. Satuaismuuttuja X odotusarvoksi saatii -kohdassa E(X) = 3/2. Lasketaa satuaismuuttuja X toie mometti $2, Site 3 E(X 2 ) = x 2 Pr(X = x) = 0 2 8 +2 3 8 + 22 3 8 + 32 8 = 24 8 = 3. x=0 Var(X ) = E(X 2 )! " E(X )# 2 & $ 3 = 3 ( ) 2 ' 2* + = 3 4 = 0.75. Satuaismuuttuja X keskihajoaksi saadaa 3 2 = 0.866025. Variassi ja keskihajota kuvaavat satuaismuuttuja hajotaa jakauma odotusarvo eli massakeskipistee suhtee. Esimerkki 3.6 Määrää esimerki 3.4 todeäköisyysjakauma odotusarvo ja keskihajota. Esimerkki 3.6 Mitä opimme? Esimerkissä 3.6. tarkastellaa odotusarvo, variassi ja keskihajoa määräämistä esimerki 3.4. jatkuvalle satuaismuuttujalle. Esimerkki 3.6 Ratkaisu Ku satuaismuuttujalla X o tiheysfuktio f(x), se odotusarvo saadaa kaavalla + E( X) = xf( x) dx. Esimerki 3.4 tiheysfuktio: Odotusarvo o siis " x +/ 2, ku 0 x, f (x) = # $ 0, muulloi. + 2 3 2 = = + = + = + = 7 E( X) xf( x) dx x x dx x x dx x x 2 2 3 4 2. 0 0 0 L Leskelä (205) 8/39
Keskihajota o satuaismuuttuja variassi eliöjuuri. Määrätää siksi esi satuaismuuttuja X variassi. Käytetää variassi laskemisee kaavaa missä Var(X ) = E(X 2 )! " E(X )# $2, E(X) = satuaismuuttuja X odotusarvo, E(X 2 ) = satuaismuuttuja X toie mometti. Satuaismuuttuja X odotusarvoksi saatii edellä E(X) = 7/2. Määrätää satuaismuuttuja X toie mometti: + 2 2 2 3 2 4 3 5 E( X ) = x f( x) dx= x x+ dx= x + x dx= x + x = 2 2 4 6 2. Site variassiksi saadaa 0 0 Var(X ) = E(X 2 )! " E(X )# 2 $ 5 = 2 & 7 ) ( + ' 2* Satuaismuuttuja X keskihajoaksi saadaa 2 = 0.276385. 2 = 44 = 0.076389. 0 Esimerkki 3.8 Olkoo X diskreetti satuaisluku, joka pistetodeäköisyysfuktio o f (x i ) = Pr(X = x i ) =, i =,2,,. Satuaismuuttuja X oudattaa jouko {x,x 2,x 3,x 4 } diskreettiä tasajakaumaa. Määrää satuaismuuttuja X odotusarvo. Määrää satuaismuuttuja X variassi. Esimerkki 3.8 Mitä opimme? Esimerkissä 3.8 johdetaa diskreeti tasajakauma odotusarvo ja variassi. Esimerkki 3.8 Ratkaisu Suoraa diskreeti jakauma odotusarvo määritelmä mukaa E(X ) = µ X = x i f (x i ) = x i = x i = x, i= mikä o lukuje x, x 2,, x aritmeettie keskiarvo. Suoraa diskreeti jakauma variassi määritelmä mukaa i= i= L Leskelä (205) 9/39
Var(X ) = (x i µ X ) 2 f (x i ) = (x i x) 2, mikä o lukuje x, x 2,, x otovariassi. Huomautus: i= i= Aritmeettie keskiarvo ja otosvariassi ovat tärkeimpiä välimatka- ja suhdeasteikolliste muuttujie havaittuje arvoje tuuslukuja. Esimerkki 3.9 Jatkuva satuaismuuttuja X oudattaa ekspoettijakaumaa parametriaa b>0, ku sillä o tiheysfuktio f(x), missä ja f(x) = 0 ku x 0. f (x) = be bx, x > 0, Määrää satuaismuuttuja X odotusarvo ojate suoraa odotusarvo määritelmää. Opastus: Itegroieissa kaattaa käyttää osittaisitegroitia. Esimerkki 3.9 Mitä opimme? Esimerkissä 3.9 johdetaa ekspoettijakauma odotusarvo. Esimerkki 3.9 Ratkaisu Todetaa esi, että yllä määritelty fuktio f(x) kelpaa tiheysfuktioksi, koska + f (x)dx = be bx dx 0 = $ % e bx & =. Jatkuva jakauma odotusarvo määritelmästä seuraa soveltamalla osittaisitegroitia: + E(X ) = xf (x)dx = xbe bx dx 0 ' 0 = $ % xe bx + & ' 0 0 e bx dx = $ % βe bx & =/ b. ' 0 Esimerkki 4. Pelaaja heittää symmetristä elisivuista oppaa 2 kertaa. Oletetaa, että opa sivut o merkitty silmäluvuilla, 2, 3 ja 4. Tällöi jokaisella silmäluvulla o sama todeäköisyys realisoitua. Laske silmälukuje summa odotusarvo, variassi ja keskihajota. Pelaaja saa voittoaa silmälukuje summa euroia kymmekertaisea. Mikä o voito odotusarvo ja stadardipoikkeama? Kaattaako pelii osallistua, jos osallistumie maksaa 400 euroa? Esimerkki 4. Mitä opimme? L Leskelä (205) 20/39
Esimerkissä 4.. sovelletaa diskreettiä tasajakaumaa. Esimerkki 4. Ratkaisu Koska oppa o oletettu symmetriseksi, voidaa olettaa, että opaheito tulos X o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa jouko {,2,3,4} tasajakaumaa. Satuaismuuttuja X pistetodeäköisyysfuktio o f(x) = Pr(X = x) = /4, x =, 2, 3, 4. Satuaismuuttuja X odotusarvo o 4 + 2+ 3+ 4 0 E( X) = xpr( X = x) = + 2 + 3 + 4 = = = 2.5. 4 4 4 4 4 4 x= Satuaismuuttuja X toie mometti o 4 2 2 E( X ) = x Pr( X = x) x= Satuaismuuttuja X variassi o 2 2 2 2 2 2 2 2 + 2 + 3 + 4 30 = + 2 + 3 + 4 = = = 7.5 4 4 4 4 4 4 Var(X ) = E(X 2 )! " E(X )# 2 $ 30 = 4! 0 # & ' " 4 $ 2 = 20 6 =.25. Satuaismuuttuja X keskihajota o variassi eliöjuuri eli.25 =.8034. Ku tetraedri muotoista oppaa heitetää kertaa, jokaise heito tulos X i, i =, 2,, o satuaismuuttuja, joka oudattaa edellä määriteltyä diskreettiä tasaista jakaumaa. Lisäksi voimme olettaa, että heittoje tulokset ovat toisistaa riippumattomia. Heittotuloste summa 2 Z = X i= i o diskreetti satuaismuuttuja, joka o riippumattomie, samaa (edellä määriteltyä) diskreettiä tasajakaumaa oudattavie satuaismuuttujie X i, i =, 2,, 2 summa. Summa Z odotusarvo: ( i i) 2 2 E( Z ) = E X = E( X ) = 2 2.5 = 30 = i= k Huomaa, että satuaismuuttujie summa odotusarvo o aia satuaismuuttujie odotusarvoje summa myös silloi ku summattavat ovat riippuvia. Summa Z variassi: L Leskelä (205) 2/39
Var(Z) =Var 2 ( X i= i ) = 2 Var(X ) i= i =2.25 =5 Huomaa, että satuaismuuttujie summa variassi o satuaismuuttujie variassie summa yleesä vai silloi, ku summattavat ovat ovat riippumattomia. Summa Z keskihajota o D( Z ) = 5 = 3.873 Huomaa, että D(Z) 2 D(X i ) ts. satuaismuuttujie summa keskihajota ei ole satuaismuuttujie keskihajotoje summa. Tämä johtuu tietysti siitä, että summa eliöjuuri ei ole ko. lukuje eliöjuurie summa. Esimerkki 4.2 Pelaaja saama voitto Y = 0 Z o diskreetti satuaismuuttuja. Voito Y odotusarvo: E(Y) = 0 E(Z) = 300 Voito Y variassi: D 2 (Y) = 0 2 D 2 (Z) = 500 2 Voito Y keskihajota: D(Y) = 38.73 Koska pelii osallistumie maksaa 400, pelaajat kärsivät jokaisessa pelissä keskimääri tappio, joka suuruus o 400 E(Y) = 400 300 = 00 Ruuveja valmistava koe tekee viallisia ruuveja todeäköisyydellä /0. Poimitaa koee valmistamie ruuvie joukosta 20 ruuvia tarkastettavaksi satuaisesti yksi kerrallaa. Oletetaa, että koee valmistamie ruuvie lukumäärä o ii suuri otoskokoo 20 verrattua, että voimme approksimoida vialliste ruuvie lukumäärä jakaumaa otoksessa biomijakaumalla. (c) Mikä o todeäköisyys, että viallisia ruuveja löydetää täsmällee 2 kpl? Mikä o todeäköisyys, että viallisia ruuveja löydetää vähitää kpl? Mikä o odotusarvo vialliste ruuvie lukumäärälle? Esimerkki 4.2 Mitä opimme? Esimerkissä 4.2 sovelletaa biomijakaumaa. Esimerkki 4.2 Ratkaisu L Leskelä (205) 22/39
Ruuveja valmistava koe tekee viallisia ruuveja todeäköisyydellä /0. Poimitaa satuaisesti 20 ruuvia tarkastettavaksi yksi kerrallaa. Oletetaa, että koee valmistamie ruuvie lukumäärä o hyvi suuri otoskokoo 20 verrattua. Tällöi vialliste ruuvie lukumäärä X tarkastettavaksi poimittuje 20 ruuvi joukossa o diskreetti satuaismuuttuja, joka jakaumaa voidaa approksimoida biomijakaumalla: jossa X a Bi(, p) = 20 p = 0. Tämä perustuu seuraavaa: Tarkastettavaksi poimittuje 20 ruuvi joukko muodostaa yksikertaise satuaisotokse valmistettuje ruuvie joukosta. Otosta poimittaessa o käytetty otataa ilma palautusta. Tällöi vialliste ruuvie lukumäärä otoksessa oudattaa hypergeomerista jakaumaa. Koska valmistettuje ruuvie lukumäärä o oletettu hyvi suureksi otoskokoo 20 verrattua, o otatasuhde ii piei, että voimme approksimoida hypergeometrista jakaumaa biomijakaumalla. Satuaismuuttuja X pistetodeäköisyysfuktio o likimai! f (x) = Pr(X = x) = # " 20 x $ & p x ( p) 20 x, p = 0., x = 0,,2,,20 % Todeäköisyys, että viallisia ruuveja löydetää täsmällee 2 kpl, o 20 Pr( X 2) 0. 0.9 2 2 8 = = 0.285 (c) Se, että viallisia ruuveja löydetää vähitää kpl, voidaa esittää tapahtumaa seuraavassa muodossa: { X > 0} = { X = } { X = 2} L { X = 20} Määrätää todeäköisyys tälle tapahtumalle soveltamalla vastakohda todeäköisyyde kaavaa: 20 0 0 20 Pr( X > 0) = Pr( X = 0) = 0. 0.9 = 0.22 = 0.878 Odotusarvo vialliste ruuvie lukumäärälle o E(X) = p = 20 0. = 2 Esimerkki 4.3 L Leskelä (205) 23/39
Tehdas valmistaa tuotetta, jolla o erittäi korkeat laatukriteerit. Keskimääri vai 60 % tuotteista täyttää kriteerit. Poimitaa palauttae tuotteita tarkastettavaksi satuaisesti yksi kerrallaa. (c) Mikä o todeäköisyys sille, että joudumme tarkastamaa vähitää 4 tuotetta esimmäise viallise tuottee löytämiseksi? Oletetaa, että olemme tarkastaeet 3 tuotetta löytämättä yhtää viallista tuotetta. Mikä o todeäköisyys, että joudumme tarkastamaa vähitää 4 tuotetta lisää esimmäise viallise tuottee löytämiseksi? Mikä o odotettavissa oleva lukumäärä tuotteille, jotka joudumme tarkastamaa esimmäise viallise tuottee löytämiseksi? Esimerkki 4.3 Mitä opimme? Esimerkissä 4.3 sovelletaa lukujouko {,2,3,...} geometrista jakaumaa. Esimerkki 4.3 Ratkaisu Poimitaa tuotteita tarkastettavaksi satuaisesti yksi kerrallaa. Esimmäise viallise tuottee järjestysumero X o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa lukujouko {,2,3,...} geometrista jakaumaa parametrilla p = 0.6 = 0.4, joka o todeäköisyys löytää viallie tuote. Satuaismuuttuja X pistetodeäköisyysfuktio o f (x) = Pr(X = x) = q x p, p = 0.4, q = p = 0.6, x =,2,3, Satuaismuuttuja X kertymäfuktio kokoaislukupisteissä o F(k) = Pr(X k) = ( p) k,k =,2,3..., Todeäköisyys sille, että joudumme tarkastamaa vähitää 4 tuotetta esimmäise viallise tuottee löytämiseksi, o Pr( X 4) = Pr( X > 3) = Pr( X 3) = F(3) = 3 [ ( p) ] = ( p) = = 3 3 0.6 0.26 Jatkoa kohdalle. Oletetaa, että olemme tarkastaeet 3 tuotetta löytämättä yhtää viallista tuotetta. Tällöi esimmäise viallise tuottee järjestysumero o oltava 4 tai suurempi. Se, että joudumme tarkastamaa vähitää 4 tuotetta lisää esimmäise viallise L Leskelä (205) 24/39
tuottee löytämiseksi, merkitsee sitä, että joudumme kaikkiaa tarkastamaa vähitää 7 tuotetta. Site kysytty todeäköisyys o ehdollie todeäköisyys Pr( X 7 ja X 4) Pr( X 7 X 4) = Pr( X 4) Pr( X 7) = Pr( X 4) Pr( X > 6) = Pr( X > 3) F(6) = F(3) 6 0.6 = = = 3 0.6 3 0.6 0.26 Toisaalta todeäköisyys, että joudumme tarkastamaa vähitää 4 tuotetta esimmäise viallise tuottee löytämiseksi, o -kohda mukaa 3 Pr( X 4) = F(3) = 0.6 = 0.26 Se, että olemme saaeet - ja -kohdassa sama tulokse ei ole sattumaa, vaa tulos voidaa yleistää seuraavaa muotoo: Jos satuaismuuttuja X oudattaa geometrista jakaumaa, ii aia pätee Pr( X a+ b X a) = Pr( X + b), a=, 2,3, K, b= 0,, 2,3, K Tulos merkitsee sitä, että geometrisella jakaumalla o s. uohtamisomiaisuus: Todeäköisyys joutua tarkastamaa vähitää b tuotetta lisää esimmäise viallise tuottee löytämiseksi ei riipu siitä, kuika mota tuotetta o aikaisemmi jouduttu tarkastamaa löytämättä yhtää viallista. Voimme ilmaista tämä saomalla, että tarkastusprosessi uohtaa oma historiasa. (c) Jatkoa kohdalle. Odotettavissa oleva lukumäärä tuotteille, jotka joudumme tarkastamaa kues löydämme esimmäise viallise tuottee, o E(X) = /p = /0.4 = 2.5 Esimerkki 4.4 Pakkauksessa o 00 tuotetta, joista 20 o viallisia. Poimitaa pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi otaalla ilma palautusta. Mikä o todeäköisyys, että otoksee tulee täsmällee viallie tuote? Mikä o odotettavissa olevie vialliste tuotteide lukumäärä otoksessa? Poimitaa pakkauksesta 5 tuotetta tarkastettavaksi otaalla palauttae. Mikä o todeäköisyys, että otoksee tulee täsmällee viallie tuote? Mikä o odotettavissa olevie vialliste tuotteide lukumäärä otoksessa? L Leskelä (205) 25/39
Esimerkki 4.4 Mitä opimme? Esimerkissä 4.4 sovelletaa biomijakaumaa ja hypergeometrista jakaumaa satuaisotataa palautuksella ja ilma palautusta. Esimerkki 4.4 Ratkaisu Tehtävä tapauksessa perusjouko S koko o N = (S) = 00 vialliste tuotteide jouko A S koko o r = (A) = 20 ja otokse B S koko o = (B) = 5 Määritellää diskreetti satuaismuuttuja X = Vialliste tuotteide lukumäärä otoksessa Satuaismuuttuja X jakauma riippuu siitä poimitaako otos ilma palautusta tai palauttae: Jos otos poimitaa ilma palautusta, X oudattaa hypergeometrista jakaumaa. Jos otos poimitaa palauttae, X oudattaa biomijakaumaa. Huomaa, että tehtävä tapauksessa otatasuhde /N = 0.05 jote biomijakauma pitäisi melko hyvi approksimoida hypergeometrista jakaumaa. Jos otokse poimita tapahtuu ilma palautusta, ii X HyperGeom(N, r, ) jossa N = 00 r = 20 = 5 Site todeäköisyys, että otoksee poimittuje joukossa o viallie, o 20 00 20 5 f() = Pr( X = ) = = 0.420 00 5 Satuaismuuttuja X odotusarvo o r 20 E( X) = = 5 = N 00 Vertaa saatuja tuloksia -kohda tuloksii. Jos otata suoritetaa palauttae, vialliste lukumäärä tarkastettuje joukossa o L Leskelä (205) 26/39
X Bi(, p) jossa = 5 p = r/n = 0.2 Site todeäköisyys, että otoksee poimittuje joukossa o täsmällee viallie, o f 5 4 () = Pr( X = ) = 0.2 0.8 = 0.40 Satuaismuuttuja X odotusarvo o E( X) = p= 5 0.2 = Vertaa saatuja tuloksia -kohda tuloksii. Esimerkki 4.5 Taksikeskukse palvelujooo tulevie asiakkaide lukumäärä miuuti aikaa oudattaa Poisso-jakaumaa ii, että keskimääri jooo tulee 4 asiakasta miuutissa. (c) Mikä o todeäköisyys, että miuuti kuluessa ei tule yhtää asiakasta? Mikä o todeäköisyys, että miuutissa tulee korkeitaa 4 asiakasta? Mikä o odotettavissa olevie asiakkaide lukumäärä miuuti aikaa? Esimerkki 4.5 Mitä opimme? Esimerkissä 4.5 sovelletaa Poisso-jakaumaa. Esimerkki 4.5 Ratkaisu Oletetaa, että miuuti aikaa jooo tulevie asiakkaide lukumäärä X o diskreetti satuaismuuttuja, joka oudattaa Poisso-jakaumaa: jossa X Poisso(λ) λ = miuutissa jooo tulevie asiakkaide keskimääräie lukumäärä = 4. Site satuaismuuttuja X pistetodeäköisyysfuktio o f (k) = Pr(X = k) = e 4 4 k k!, x = 0,,2, Todeäköisyys, että miuutissa ei tule yhtää asiakasta, o Pr(X = 0) = e 4 (4) 0 0! = 0.08. Todeäköisyys, että miuutissa tulee korkeitaa 4 asiakasta, o L Leskelä (205) 27/39
Pr(X 4) = Pr(X = x) 4 x=0 4 e λ (λ) x = x=0 x! $ = e 4 4 0 0! + 4! + 42 2! + 43 3! + ' & 44 ) % 4! ( = 0.0836 (+ 4 +8+0.667+0.667) = 0.0836 34.333 = 0.62884 (c) Koska Poisso-jakauma odotusarvo sama kui se parametri, kysytty odotusarvo o E(X) = λ = 4. Esimerkki 4.7 Biomijakauma pistetodeäköisyysfuktio o Todista, että x x f( x) = Pr( X = x) = p q,0< p<, q= p, x= 0,,2, K, x x= 0 Todista, että E( X) f( x) = = p Esimerkki 4.7 Mitä opimme? Esimerkissä 4.7 tarkastellaa biomijakauma omiaisuuksia. Esimerkki 4.7 Ratkaisu Suoraa biomikaava mukaa x x f( x) = p q = ( p+ q) = = x x= 0 x= 0 Suoraa laskemalla saadaa L Leskelä (205) 28/39
! x E( X) = xf( x) = x p ( p) x!( x)! x= 0 x= 0! x = x p ( p) x!( x)! x=! x = p ( p) ( x )!( x)! x= ( )! x = p p ( p) ( x )!( x)! = p x= missä viimeie yhtälö perustuu siihe, että ( )! (x )!( x)! p x ( p) x =. x= Tämä seuraa siitä, että summassa lasketaa yhtee kaikki biomijakauma Bi(, p) pistetodeäköisyydet x x x ( )! f x p p x x!( x)! x x x ( ) = ( ), = 0,,2, K, Biomijakauma odotusarvo saadaa myös helposti johdetuksi käyttämällä hyväksi sitä, että riippumattomie, samaa Beroulli-jakaumaa oudattavie satuaismuuttujie summa oudattaa biomijakaumaa: Olkoot X, X 2,, X riippumattomia, samaa Beroulli-jakaumaa Ber(p) oudattavia diskreettejä satuaismuuttujia: Tällöi diskreetti satuaismuuttuja X = X i= i oudattaa biomijakaumaa parametrei ja p: X : Bi(, p) Odotusarvo omiaisuuksie perusteella E( X ) = E( X ) = p = p i i= i= koska Beroulli-jakauma omiaisuuksie perusteella E(X i ) = p, i =,2,, Esimerkki 5. Sähkölampu eliikä X (yksikköä 000 h) oudattaa jakaumaa, joka tiheysfuktio o f(x) = c/x 3, x L Leskelä (205) 29/39
missä c o vakio. Määrää vakio c arvo. Millä todeäköisyydellä lamppu kestää yli 5000 h? (c) Mikä o lampu keskimääräie eliikä? (d) Määrää lampu eliiä mediaai eli määrää aika x, jolla Pr(X x) = 0.5. Esimerkki 5. Mitä opimme? Esimerkissä 5. tarkastellaa erää jatkuva jakauma omiaisuuksia. Esimerkki 5. Ratkaisu Jatkuva satuaismuuttuja tiheysfuktio f(x) toteuttaa aia ehdo + f( x) dx Site vakio c saadaa määrätyksi yhtälöstä jote + c f( x) dx= c dx= c c 0 3 2 x = = = 2 x 2 2 c = 2 Tapahtuma {Lampu eliikä X > 5000 h} todeäköisyys saadaa itegroimalla satuaismuuttuja X tiheysfuktio välillä (5, ): 2 Pr( X > 5) = f( x) dx= dx= 0 0.04 3 2 x = = = x 25 25 5 5 5 (c) Lampu keskimääräie eliikä o lampu eliiä X odotusarvo 2 2 2 E( X) = xf( x) dx= x dx= dx= = 2 0 = 2 x x x 3 2 Site lampu keskimäääräie eliikä o tuteia 2000 h. (d) Lampu eliiä mediaai saadaa ehdosta x x 2 Pr( X x) = f( t) dt = dt = = = 0.5 t t x jote mediaaiksi saadaa 3 2 2 x L Leskelä (205) 30/39
x = 2.42 Site lampu eliiä mediaai o tuteia. 42 h. Esimerkki 5.2 Eräässä laitteessa o kompoetti, joka eliikä X (yksikköä kuukausi) oudattaa ekspoettijakaumaa parametriaa /4. Mikä o kompoeti keskimääräie eliikä? Määrää kompoeti eliiä mediaai eli määrää ikä x site, että Pr(X x) = 0.5. (c) (d) (e) Määrää todeäköisyys, että kompoetti kestää kauemmi kui 6 kuukautta. Millä todeäköisyydellä kompoetti toimii vielä vähitää yhde kuukaude, jos se o jo toimiut kuukaude? Millä todeäköisyydellä kompoetti toimii vielä vähitää yhde kuukaude, jos se o jo toimiut kaksi kuukautta? Esimerkki 5.2 Mitä opimme? Esimerkissä 5.2. sovelletaa ekspoettijakaumaa. Esimerkki 5.2 Ratkaisu Tehtävä satuaismuuttuja X = kompoeti eliikä kuukausia oudattaa ekspoettijakaumaa parametrilla λ = /4: X Exp(/4). Kompoeti keskimääräie eliikä o kompoeti eliiä X odotusarvo E(X) = /λ = 4 kuukautta. (c) Ekspoettijakautueelle satuaismuuttujalle X pätee Pr(X > x) = P(X x) = F(x) = exp( λx) jossa F(x) o ekspoettijakauma kertymäfuktio. Site Pr(X > x) = 0.5 exp( λx) = 0.5 x = log(2)/λ = 4log(2) 2.773 Satuaismuuttuja X mediaai o site. 2.773 kuukautta. Kohdassa maiitusta aputuloksesta seuraa, että Pr(X > 6) = exp( 6λ) = exp( 3/2) 0.223 (d) ja (e) Koska espoettijakaumalla o s. uohtamisomiaisuus, kohdissa (d) ja (e) saadaa sama vastaus: L Leskelä (205) 3/39
Pr( Toimii vähitää vielä kuukaude O toimiut jo a kuukautta ) = Pr(X > a + X > a) = Pr(X > a + )/Pr(X > a) = exp( λ(a + ))/exp( λa) = exp( λ) = Pr(X > ) = Pr( Toimii vähitää vielä kuukaude ) Site kohdassa maiitusta aputuloksesta seuraa, että Pr(X > ) = exp( λ) = exp( /4) 0.779 Esimerkki 5.3 Olkoo satuaismuuttuja Z N(0,). Määrää satuaismuuttuja Z mediaai eli piste z site, että Pr(Z z) = 0.5. Määrää Pr(Z >.85). (c) Määrää Pr(Z.85). (d) Määrää z site, että Pr(Z z) = 0.2. (e) Määrää z site, että Pr(Z z) = 0.8. (f) Määrää Pr( Z 2). (g) Määrää z site, että Pr( Z z) = 0.. Olkoo satuaismuuttuja X N( 3,9). (h) Määrää Pr(X 2). (i) Määrää x site, että Pr(X x) = 0.05. Esimerkki 5.3 Mitä opimme? Esimerkissä 5.3. tarkastellaa ormaalijakaumaa ja todeäköisyyksie määräämistä ormaalijakaumasta. Esimerkki 5.3 Ratkaisu Koska satuaismuuttuja Z jakauma o symmetrie jakauma paiopistee 0 suhtee, ii Pr(Z 0) = 0.5 = Pr(Z 0) Tämä äkyy myös stadardoidu ormaalijakauma taulukoissa. Vastakohda todeäköisyyde kaavasta ja taulukoista ähdää, että Pr(Z >.85) = Pr(Z.85) = 0.9678 = 0.0322 L Leskelä (205) 32/39
(c) Taulukoista: Pr(Z.85) = 0.0322 Tulos saadaa myös -kohdasta, koska stadardoitu ormaalijakauma N(0,) o symmetrie paiopisteesä 0 suhtee: Pr(Z.85) = Pr(Z.85) = Pr(Z >.85) = 0.0322 (d) (e) Taulukoista: Pr(Z z) = 0.2 z 0.84 Todetaa esi, että komplemettitapahtuma todeäköisyyde kaavasta seuraa, että Pr(Z z) = 0.8 Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0.8 = 0.2 Site (d)-kohda mukaa Pr(Z z) = 0.2 z 0.84 (f) Todetaa esi, että stadardoidu ormaalijakauma N(0,) symmetria takia Pr( Z 2) = Pr( 2 Z +2) = Pr(Z +2) Pr(Z 2) = Pr(Z +2) ( Pr(Z +2)) = 2 Pr(Z +2) Taulukoista: Pr(Z +2) = 0.9772 Site Pr( Z 2) = 2 Pr(Z +2) = 2 0.9772 = 0.9544 (g) Todetaa esi, että stadardoidu ormaalijakauma N(0,) symmetria takia Pr( Z z) = 2 Pr(Z z) Site Pr( Z z) = 2 Pr(Z z) = 0. Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.95 Taulukoista: z.64 Olkoo satuaismuuttuja X N( 3,9), jolloi E(X) = µ = 3 Var(X) = σ 2 = 9 σ = 3 L Leskelä (205) 33/39
Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja X µ X + 3 Z = = : N(0,) σ 3 ja X = σ Z + µ = 3Z 3: N( 3,9) (h) Todetaa esi, että X + 3 2+ 3 Pr( X 2) = Pr = Pr( Z / 3) 3 3 jossa X + 3 Z = : N(0,) 3 Taulukoista: Pr(Z /3) = 0.6293 = Pr(X 2) (i) Taulukoista: Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.95 z.64 Site x = 3z 3 3.64 3 =.92 Esimerkki 5.4 Olkoo satuaismuuttuja X N(4,4). Määrää P(X = ). Määrää satuaismuuttuja X mediaai eli x site, että Pr(X x) = 0.5. (c) Määrää Pr(X 3). (d) Määrää x site, että Pr(X x) = 0.99. (e) Määrää x site, että Pr(X x) = 0.0. (f) Määrää satuaismuuttuja X odotusarvo µ suhtee symmetriset pisteet µ x ja µ + x ii, että iide ulkopuolelle jää todeäköisyysmassasta 5%. Esimerkki 5.4 Mitä opimme? Esimerkissä 5.4. tarkastellaa ormaalijakaumaa ja todeäköisyyksie määräämistä ormaalijakaumasta. Esimerkki 5.4 Ratkaisu Olkoo satuaismuuttuja X N(4,4), jolloi E(X) = µ = 4 L Leskelä (205) 34/39
Var(X) = σ 2 = 4 D(X) = σ = 2 Tällöi stadardoitu satuaismuuttuja X µ X 4 Z = = : N(0,) σ 2 ja X = σ Z + µ = 2Z + 4: N(4,4) Kaikilla jatkuvilla jakaumilla yhde pistee todeäköisyys = 0. Site Pr(X = ) = 0 Koska ormaalijakauma o symmetrie paiopisteesä suhtee, ii Pr(X 4) = 0.5 = Pr(X 4) (c) Todetaa esi, että X 4 3 4 Pr( X 3) = Pr = Pr( Z 0.5) 2 2 jossa X 4 Z = : N(0,) 2 Taulukoista: Pr(Z 0.5) = 0.3085 = Pr(X 3) (d) Taulukoista: Pr(Z z) = 0.99 z 2.33 Site x = 2 z 4 2 (2.33) + 4 = 8.66 (e) Taulukoista: Pr(Z z) = 0.0 z 2.33 Site x = 2z 4 2 ( 2.33) + 4 = 0.66 Kommetti (d)- ja (e)-kohtii: L Leskelä (205) 35/39
Pisteet 0.66 ja 8.66 sijaitsevat symmetrisesti ormaalijakauma N(4,4) odotusarvo 4 molemmilla puolilla. Piste 0.66 erottaa jakauma vasemmalle häälle todeäköisyysmassa 0.0 ja piste 8.66 erottaa jakauma oikealle häälle todeäköisyysmassa 0.0. Pisteide 0.66 ja 8.66 välii jäävä todeäköisyysmassa o kooltaa Pr(X 0.66) Pr(X +8.66) = 0.0 0.0 = 0.98 (f) Todetaa esi, että stadardoidu ormaalijakauma N(0,) symmetria takia Pr( Z z) = 2 Pr(Z z) Site Pr( Z z) = 2 Pr(Z z) = 0.05 Pr(Z z) = 0.025 Koska Pr(Z z) = Pr(Z z) voimme ratkaista z: yhtälöstä Pr(Z z) = Pr(Z z) = 0.025 = 0.975 Taulukoista: z.96 Site µ + x = µ + σz 4 + 2.96 = 7.92 µ x = µ σz 4 2.96 = 0.08 Esimerkki 5.5 Tehtaalla o aulakoe, joka tekemie auloje paiot vaihtelevat satuaisesti ja toisistaa riippumatta oudattae ormaalijakaumaa odotusarvoaa 0 g ja variassiaa 0.05 g 2. Naulat pakataa laatikoihi ii, että yhtee laatikkoo tulee aia 000 aulaa. Valitaa satuaisesti joukko aulalaatikoita ja puitaa laatikoide sisällöt. Mikä osuus laatikoista o sellaisia, joide sisältö paiaa vähemmä kui 9.99 kg? Esimerkki 5.5 Mitä opimme? Esimerkissä 5.5. sovelletaa ormaalijakaumaa. Esimerkki 5.5 Ratkaisu Laatikkoo pakattuje auloje paiot ovat riippumattomia satuaismuuttujia X i, i =, 2,, 000, 2 2 jotka oudattavat ormaalijakaumaa parametrei µ = 0 g ja σ = 0.05 g : Naulalaatiko sisällö paio 000 Y = X i= i o ormaalijakautuut satuaismuuttuja, joka parametrit ovat X X L Leskelä (205) 36/39
µ = 000 0 g = 0000 g Y σ = 000 0.05 g = 50 g 2 Y eli Y : N(0000,50) Site Y 0000 Z = : N(0,) 50 ja Y 0000 9990 0000 Pr( Y 9990) = Pr = Pr( Z.4) = 0.0793 50 50 Suurte lukuje lai mukaa 00 0.0793 = 7.93 % aulalaatikoide sisällöistä isossa otoksessa paiaa alle 9.99 kg. Esimerkki 5.6 Eräässä maassa mieste pituudet vaihtelevat satuaisesti ja toisistaa riippumatta oudattae ormaalijakaumaa odotusarvoaa 80 cm ja variassiaa 25 cm 2. Kerätää joukko 200 miehe satuaisotoksia ja määrätää jokaisesta otoksesta mieste pituuksie aritmeettie keskiarvo. Mikä osuus otoksista määrätyistä keskiarvoista o väli (79.5, 80.5) ulkopuolella? Esimerkki 5.6 Mitä opimme? Esimerkissä 5.6. sovelletaa ormaalijakaumaa. Esimerkki 5.6 Ratkaisu Mieste pituudet otoksessa ovat riippumattomia satuaismuuttujia X i, i =, 2,, 200 2 2 jotka oudattavat ormaalijakaumaa parametrei µ = 80 cm ja σ = 25 cm. Otoksee poimittuje mieste pituuksie aritmeettie keskiarvo 200 X = Xi 200 i= o ormaalijakautuut satuaismuuttuja, joka parametrit ovat µ = 80 cm Y X X eli 25 σ = cm = 0.25 cm 200 2 2 2 Y X : N(80,0.25) L Leskelä (205) 37/39
Tällöi X 80 Z = : N(0,) 0.25 Edellä esitetystä seuraa, että Pr( X 79.5 tai X 80.5) = Pr(79.5 X 80.5) 79.5 80 X 80 80.5 80 = Pr 0.25 0.25 0.25 = Pr(.4 Z +.4) = {Pr( Z +.4) Pr( Z.4)} = {Pr( Z +.4) [ Pr( Z +.4)]} = 2 { Pr( Z +.4)} = 2 ( 0.9207) = 2 0.0793 = 0.586 Todeäköisyyde frekvessitulkia mukaa 00 0.586 = 5.86 % otoksie aritmeettisista keskiarvoista o väli (79.5,80.5) ulkopuolella. Esimerkissä 5.7 tarkastellaa keskeise raja-arvolausee soveltamista biomi- ja Poissotodeäköisyyksie laskemisee. Esimerkki 5.7 Heität virheetötä oppaa 60000 kertaa. Mikä o odotettavissa oleva kuutoste lukumäärä? Mikä o arviolta todeäköisyys, että kuutoste lukumäärä o suljetulla välillä [9900, 050]? Ohje: Käytä -kohdassa keskeisee raja-arvolauseesee perustuvaa ormaalijakaumaapproksimaatiota. Esimerkki 5.7 Mitä opimme? Esimerkissä 5.7 tarkastellaa keskeise raja-arvolausee soveltamista biomitodeäköisyyksie approksoimisee. Esimerkki 5.7 Ratkaisu Kuutoste lukumäärä X o satuaismuuttuja, joka oudattaa biomijakaumaa Bi(, p), jossa = 60000 L Leskelä (205) 38/39
p = /6 Site odotettavissa oleva kuutoste lukumäärä o E(X) = p = 0000 Keskeise raja-arvolausee mukaa stadardoitu satuaismuuttuja missä Z = X E(X ) D(X ) E(X) = p = 0000 N(0,) D 2 (X) = Var(X) = p( p) = 8333.33 D(X) = 9.287 Stadardoimalla satuaismuuttuja X ja käyttämällä stadardoidu ormaalijakauma N(0,) taulukoita saadaa kysyty todeäköisyyde approksimaatioksi: Pr(9900 X 050) # 9900 0000 = Pr% $ 9.287 Pr(.0 Z.64) X 0000 9.287 = Pr(Z.64) Pr(Z.0) = 0.9495 0.357 = 0.838. 050 0000 9.287 & ( ' L Leskelä (205) 39/39