2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn mittus n kert j sdn rvot c 1, c 2,...c n. Mittusten ntm rvo on siis keskirvo c = (c 1 + c 2 + + c n )/n. Voitisiin esim. etsiä c minimoimll sen etäisyys dtpisteistä. Tämä ei kuitenkn toimi hyvin, joten menetellään seurvsti: Minimoidn mitttujen pisteiden j c:n välisien etäisyyksien neliöiden summ S S = (c c 1 ) 2 (c c 2 ) 2 + + (c c n ) 2 = n (c c i ) 2 (1) i=1 1
Tämä c:n funktio on sileä j sillä on minimi kriittisessä pisteessä c, jok sdn yhtälöstä 0 = ds dc c= c = n 2( c c) = 2n c 2 i=1 n c i (2) i=1 c on siis dt rvojen keskirvo: c = 1 n n i=1 c i = c 1 + c 2 + + c n n (3) Oletetn, että systeemin mitttu vste y riippuu inputist x linerisesti: missä j b ovt tuntemttomi. y = x + b, (4) 2
Hlutn löytää suor, jok prhiten sopii mitttuihin dtpisteisiin. Minimoidn siis summ n S = (y i x i b) 2 (5) i=1 Minimoinnin tuloksen sdn linerinen yhtälöpri, jonk rtkisun sdn b = = n ( n i=1 x iy i ) ( n i=1 x i) ( n i=1 y i) n ( n i=1 x2 i ) ( n i=1 x i) 2 = ( n i=1 x2 i) ( n i=1 y i) ( n i=1 x i) ( n i=1 x iy i ) xy xȳ x 2 ( x) 2 n ( n i=1 x2 i ) ( n i=1 x i) 2 = x2ȳ xxy (6) x 2 ( x) 2 Prhiten dtpisteisiin sopivn suorn etsimistä pienimmän neliösummn menetelmällä kutsutn lineriseksi regressioksi j ko. suor empiiriseksi regressiosuorksi. 3
Pienimmän neliösummn menetelmää voidn käyttää myös integrlien pproksimointiin. Esim. Funktiot f voidn pproksimoid summll n b k sinkx (7) välillä 0 x π Tällöin b j = 2 π k=1 π 0 f(x) sinjxdx. (8) Tätä srj kutsutn Fourierin sinisrjksi; pproksimtio on ekskti, kun n. Vstvsti Fourierin kosinisrj f(x) = 0 2 + k=1 k cos kx, 0 < x < π (9) 4
2.5 Prmetrisi tehtäviä Jos integrli riippuu muist kuin integrointimuuttujst, integrli on näiden muuttujien funktio. Trkstelln funktiot F(x) = f(x, t)dt (10) Hlutn lske F (x) derivoimll integrlin sisällä, ts. F (x) = d dx f(x, t)dt = f(x, t)dt (11) x Sekä derivointi että integrointi edellyttävät rj rvojen ottmist, joten seurvien ehtojen on oltv voimss: 5
Oletetn, että kikill x välillä c < x < d pätee Integrlit ovt olemss f(x, t)dt j f 1 (x, t)dt (12) f 11 (x, t) on olemss j toteutt ehdot f 11 (x, t) g(t), < t < b, (13) missä g(t) = K <. (14) Tällöin kikill x välillä c < x < d on voimss d dx f(x, t)dt = f(x, t)dt (15) x 6
Trkstelln yhtälöä, jok on tyyppiä f(x, y, c) = 0, ts. yhtälö sisältää prmetrin c j muuttujt x j y. Yhtälö kuv käyräprve xy tsoss. Esim. f(x, y, c) = x c + cy 2 = 0 (16) Näiden käyrien yhteistä tngentti kutsutn verhokäyräksi (envelope). Oletetn, että funktioll f(x, y, c) on jtkuvt ensimmäiset osittisderivtt j että verhokäyrä on sileä. Tällöin voidn osoitt, että verhokäyrän yhtälö sdn eliminoimll c yhtälöistä f(x, y, c) = 0, f(x, y, c) = 0. (17) c Esim. Mchin krtio, jok sdn peräkkäisten plloltojen verhokäyränä. 7
Likimääräisiä rtkisuj etsittäessä voidn joskus käyttää yhtälöitä, joiss helposti rtkistvn yhtälöön on lisätty ylimääräinen termi. Tätä termiä kutsutn häiriöksi (perturbtion). Häiriötermi on yleensä pieni verrttun yhtälön muihin termeihin. Likimääräinen rtkisu sdn, kun kehitetään yhtälö srjksi tämän pienen prmetrin suhteen. Esim. etsi yhtälön likimääräinen rtkisu. y + 1 50 ln(1 + y) = x2 (18) Häiriökehitelmiä trvitn mm. kvnttimekniikss, esim. mgnetismin mikroskooppinen teori. 8
3 Kksiulotteinen integrli 3.1 Kksiulotteisen integrlin määritelmä Olkoon D xy tson lue j z = f(x, y) tässä lueess määritelty funktio. Ongelm: hlutn löytää pinnn z = f(x, y), xy tson j sen sylinteripinnn, jok sdn kun z kselin suuntinen suor kulkee lueen D reun pitkin, rjoittm tilvuus. Määritellään funktion f(x, y) kksinkertinen integrli yli lueen D, f(x, y)da (19) D siten, että se nt ym. kppleen S tilvuuden, kun D j f ovt hyvin määriteltyjä j f s positiivisi rvoj. 9
Trkstelln luksi tilnnett, joss D on suljettu suorkulmio, jonk sivut ovt xy tson koordinttikselien suuntiset. Jos D koostuu pisteistä (x, y) siten, että x b j c y d, voidn muodost D:n jko P pieniin suorkulmioihin jkmll välit [, b] j [c, d] pisteisiin = x 0 < x 1 < x 2 < x m 1 < x m = b c = y 0 < y 1 < y 2 < y n 1 < y n = d (20) Jko P koostuu mn:stä suorkulmiost R ij, joiden pint l on A ij = x i y j = (x i x i 1 )(y j y j 1 ) (21) j hlkisij dim(r ij ) = ( x 2i ) + ( y2j ) = (x i x i 1 ) 2 + (y j y j 1 ) 2 (22) 10
Jon P normi on näistä läpimitoist suurin: P = mx 1 j n 1 i m dim(r ij ) (23) Vlitn jokisest R ij :stä piste (x ij, y ij ), j muodostetn Riemnnin summ m n R(f, P) = f(x ij, yij) A ij (24) i=1 j=1 Tämän Riemnnin summn rj rvon sdn integrli f(x, y)da (25) D 11
Integrlin olemssolo: Funktio f on integroituv suorkulmioss D j sillä on kksinkertinen integrli I = f(x, y)da, (26) jos jokist positiivist luku ǫ kohti on olemss δ, siten että D R(f, P) I < ǫ (27) kikill D:n osituksill P, joille P < δ j kikill pisteiden (x ij, y ij ) vlinnoill Yllä da on pint lelementti, jok sdn termin A = x y rj rvon. Se voidn myös kirjoitt muotoon dydx ti dxdy. Funktiot, jotk ovt jtkuvi D:ssä, ovt siellä myös integroituvi. 12
3.2 Kksiulotteisen integrlin lskeminen Oletetn, että luett D rjoittvt käyrät x =, x = b ( < b), y = c(x) j y = d(x) (c(x) < d(x), kun x [, b]). Tällöin D missä da = dxdy. f(x, y)da = dx d(x) c(x) f(x, y)dy, (28) Huom. kun kksinkertinen integrli lsketn tällä tvll, on dx:n j dy:n järjestyksellä merkitystä: D f(x, y)da = d c dy (y) (y) f(x, y)dx (29) 13
Em. menetelmää kksinkertisen integrlin lskemiseksi kutsutn iteroinniksi. Integrli d(x) c(x) f(x, y)dy (30) yhtälössä (28) on sisempi integrli j se lsketn ensin, pitämällä x vkion. Alue D on projisoituv y:n suhteen, jos sitä rjoittvt suort x = j x = b j jtkuvt käyrät y = c(x) j y = d(x) (vstvsti x:n suhteen). Jos lue on projisoituv sekä x:n että y:n suhteen, voidn integrointi tehdä kummss thns järjestyksessä. Esimerkki: Lske neliön 0 x 1, 1 y 2 j tson z = 4 x y väliin jäävän lueen tilvuus. 14