T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Tehtäviä alkae sivulta. Vastauksia alkae sivulta 9. Kaavakokoelma alkae sivulta 7. T-6. igaalikäsittelyjärjestelmät Kevät Esimerkkejä laskutehtävistä Virheistä ja parausehtotuksista voi laittaa viestiä osoitteesee t6@cis.hut.fi. Huomaa myös, että iteretistä löytyy paljo tietoa ja esimerkkidemoja. Aihealue Tehtäviä Kompleksiluvut, parito ja parillie fuktio - igaalit xt ja sekvessit, fuktiot δ[], u[] 6 igaali ja sekvessi jaksollisuus 7-8,, 7 Järjestelmät ja iide omiaisuudet 9- Lohkokaaviot virtauskaaviot 9,, 8-9,, Lieaariset ja aikaivariatit LTI järjestelmät -, 8- Kovoluutio, dekovoluutio -7 Impulssivaste h[] 6, 8-9, -6 Jatkuva-aikaise sigaali Fourier-sarja - Diskreettiaikaise sekvessi Fourier-sarja -6 Jatkuva-aikaise sigaali Fourier-muuos CTFT 7- Diskreettiaikaise sekvessi Fourier-muuos DTFT -7 Diskreetti Fourier-muuos DFT, FFT 7 uotimie taajuusaalyysi taajuus-, amplitudi- ja vaihevaste 8-9, -8 Kovoluutio- ja kertolaskuomiaisuus 8, - Ryhmäviive, ousuaika, askelvaste, 6 Näytteeotto ja sigaali rekostruoiti 8- Matlab-kometoja 7, - Ohjeita pistelaskareide, välikokeide ja tettie tekemisee esitä laskutehtävissä tarpeelliset välivaiheet, kommetteja ja perusteluja tarvittaessa käytä A-ruutupaperia tai koseptia aloita jokaie tehtävä uudelta sivulta, alakohdat voi olla samalla. Tämä opeuttaa ja selkeyttää tehtävie tarkistamista. liitä jokaisee paperii yhteystiedot palauta tehtävät järjestyksessä T-6. Tehtäviä Vastauksia tehtävii sivulta 9.. Esitä kaava asteide muuttamiseksi radiaaeiksi ja päivastoi.. Piirrä yksikköympyrä. a Merkitse pisteet A,, B., ja C., /. Mitkä ovat tämä suorakulmaise kolmio ABC kulmie arvot? b Mitkä kaksi kulmaa välillä... toteuttavat si.?. Osoita a zz r b z + z z + z Kompleksilukuje kertausta esimerkiksi s. 7 / Oppeheim. Tärkeä Euleri kaava e j cos + j si. Kompleksiluku z voidaa esittää suorakulmaisessa koordiaatistossa z x + jy imagiaariyksikkö i tai j tai polaarikoordiaatistossa z r e jθ. Luvu z kompleksikojugaatti o z x jy r e jθ ja moduli pituus origosta z r x + y.. Fuktio voidaa jakaa parillisee Eve ja parittomaa Odd osaa: Evext} /[xt + x t] ja Oddxt} /[xt x t]. Olkoo H e j. Laske: a EveH} b OddH}. Tutkitaa kompleksilukuarvoista fuktiota H e j. Tämä osoittautuu myöhemmi tyypilliseksi diskreettiaikaiseksi suotimeksi. Laske arvot H, H ja H, ku, /, /, /, }. Määritellää yksikköimpulssifuktio δ[] ja yksikköaskelfuktio u[] joskus µ[]:, ku δ[], ku u[], ku, ku < 6. Piirrä seuraavat sigaalit ja sekvessit origo t tai ympärillä. a xt cost / b si. c x[] δ[ ] + δ[] + δ[ + ] d x[] δ[ ] + δ[] + δ[] e x6[] u[] u[ ] f x7[] x[ ] T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Jatkuva-aikaise aalogise sigaali jaksollisuus: T R s. e. xt xt+t, t R. Ekspoetti-, sii- ja kosiifuktio ovat jaksollisia : suhtee. ijoitukse xt + T jälkee o siis tarkoitus löytää sellaie arvo T:lle, että kulmaa lisätää aia vai moikertoja katso tehtäviä alla. Jos sigaalissa xt o useita siikompoetteja, ii lasketaa esi kaikkie jaksoajat Ti yksitelle ja etsitää piei yhteie jaksoaika T, joho kaikki Ti:t meevät tasa. Perusjakso o piei mahdollie T; sigaali o toki jaksollie myös T: moikertoje suhtee. Perustaajuus o f, joka avulla kaikki muut sigaali taajuudet voidaa esittää se harmoisia moikertoia. Tähä palataa Fourier-sarja yhteydessä. 7. Mitkä seuraavista jatkuva-aikaisista sigaaleista ovat jaksollisia? Määritä jaksolliste sigaalie perusjakso pituus. a xt cos 8 t b xt e jt c xt cos 8 t Diskreettiaikaise tai digitaalise sigaali eli sekvessi lukujoo jaksollisuus: N Z s. e. x[ + N], Z. Tämä poikkeaa jaksollise sigaali tarkastelusta vai siiä, että ideksi ja jaksoaika N tulevat olla kokoaislukuja. 8. Mitkä seuraavista sekvesseistä ovat jaksollisia? Määritä jaksolliste sekvessie perusjakso pituus. a cos 8 b cos 8 c cos si 6 + 6 9. Tarkastellaa kolmea järjestelmää, ja, joide syöte-vasterelaatiot ovat: Järjestelmillä voi olla erilaisia omiaisuuksia, joide avulla iitä voidaa luokitella. Tällä kurssilla tärkeimpiä järjestelmiä ovat LTI-järjestelmät liear ad time-ivariat, jotka ovat siis lieaarisia ja aikaivariatteja. LTI-järjestelmie kausaalisuutta ja stabiilisuutta voi helposti tutkia myös impulssivastee avulla.. Tutki kutaki järjestelmää ja osoita, oko se :. x[ + ] a muistito b lieaarie kuva c aikaivariatti kuva d BIBO-stabiili e kausaalie :. x[ ] : + Oddx[ + ]}. *Järjestelmä omiaisuudet. Tutki, oko alla oleva järjestelmä a lieaarie ja/tai kausaalie: ax[ ]+b, jossa a ja b ovat reaalisia vakioita b stabiili ja/tai kausaalie: x[ + ] +. x[ + ] c lieaarie ja/tai aikaivariatti: x [] d aikaivariatti ja/tai stabiili: x[ ] x x y y a b y * Kuva : Lieaarisuude osoittamie. Jos y y, ii lieaarie. x x a b x y : + x[ ] : x[ ] x[ ] x[/], parillie :, parito x x D k x x [-k] y D k y y * y [-k] Kuva : Aikaivariattisuude osoittamie. Jos y y, ii aikaivariatti. Kuva : Tehtävät 9: yöte, vaste ja diskreettiaikaie järjestelmä h[]. a Olkoo syötteeä lukujoo δ[] + δ[ ] δ[ ],, }. Aa kuki järjestelmä ulostulojoo. b Esitä syöte-vasterelaatio sarjaakytkeälle ja c Esitä syöte-vasterelaatio riakytkeälle ja d* Esitä syöte-vasterelaatio järjestelmälle, jossa esi o, siihe sarjaakytkettyä : ja : riakytketä, joka jälkee sarjassa ivertoitu. Miksi lopputulos ei ole sama kui kohdassa c?. Tarkastele kuva lohkokaaviokuvioita ja vastaa kysymyksii, oko järjestelmä a lieaarie ja aikaivariatti LTI? b takaisikytketty?. Kuvassa esitetty syöte xt tuottaa erääsee lieaarisee aikaivariattii LTI järjestelmää syötettyä vastee yt. Käyttämällä hyväksi LTI-järjestelmä omiaisuuksia, hahmottele sama järjestelmä vaste syötteelle xt.
T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 h[]. -.7 i z - z - / -cospi/ iv - z. -.7 ii D - z -cospi/. / Kuva : Tehtävä järjestelmie lohkokaaviot x t t y t t v x t t Kuva : Tehtävä. Lieaarise aikaivariati järjestelmä syöte ja vaste. -.7.7 iii z - z -. - 6 7 6 Kuva 6: Tehtävä : Järjestelmä syöte ja impulssivaste. 6. Tarkastellaa kuvassa 7 esitety kolme lieaarise aikaivariati systeemi LTI kaskadikytketää. ysteemistä tiedetää, että impulssivaste h[] o h[] u[] u[ ], ja että koko systeemi impulssivaste o kuvassa 8 esitety kaltaie. Vihje: LTI-järjestelmille pätee esim. h h h h h h. a Mikä o impulssivastee h[] ollasta poikkeava osa pituus? Etsi impulssivaste h[]. b Mikä o systeemi vaste ku syöte o δ[] δ[ ]? h [] h [] h [] Kuva 7: Tehtävä 6: Kolme LTI-systeemi kaskadi. Kovoluutio jatkuville sigaaleille ja diskreettiaikaisille sekvesseille: + yt xt xt xτ xt τ dτ + x[k] x[ k] 8 h[] Kovoluutio voi yhdistää suodattamisee site, että jos o syöte ja h[] impulssivaste, ii h[] o vaste.. Piirrä esi lukujoot ja h[]. Laske sitte diskreettiaikaie kovoluutiosumma h[] h[] a,, }, h[], } h[k]x[ k] b δ[ ] + δ[ ], h[] δ[] δ[ ]. Laske seuraavie diskreettiaikaiste järjestelmie kovoluutio ku a ja h[] ovat kuva 6 kaltaiset LTI b α u[] h[] β u[], α β 7. Laske kovoluutio missä - 6 7 Kuva 8: Tehtävä 6: Kaskadisysteemi impulssivaste. h[] x[k]h[ k] u[ ] + u[] h[] u[ + ] a käyttämällä suoraa kovoluutio määritelmää, b käyttämällä kovoluutio osittelulakia x + x h x h + x h. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7 LTI-järjestelmät jaetaa yleesä kahtee luokkaa iide impulssivastee pituude perusteella: Äärellise pitkä impulssivastee FIR Fiite legth impulse respose suotimet, ja Äärettömä pitkä impulssivastee IIR Ifiite legth impulse respose suotimet. 8. Tarkastellaa systeemiä, joka o määritelty differessiyhtälöä a Piirrä systeemi lohkokaavio. b Määritä systeemi impulssivaste h[]. x[ ] c Mikä o systeemi vaste syötteellä u[]. 9. Tarkastellaa systeemiä, joka o määritelty differessiyhtälöä a Piirrä systeemi lohkokaavio. y[ ] b Määritä systeemi impulssivaste h[], ku. Mite impulssivaste käyttäytyy : suuremmilla arvoilla? c* Mikä o systeemi vaste ratkaise differessiyhtälö!, ku syöte o u[]. Vihje: yrite, homogeeie yhtälö, erityie yhtälö TAI z-muuos.. Tarkastellaa järjestelmiä ja kompleksisella syötteellä e j/6. Riittävätkö aetut tiedot osoittamaa, että järjestelmä tai ei aiakaa ole LTI? Kappale. : e j/6 e j/7 : e j/6. e j/6 Jaksollise jatkuva-aikaise sigaali Fourier-sarjaesitys esitellää luvussa. ja se omiaisuuksia luvussa. sekä taulukossa. sivulla 6 Oppeheim, Willsky. Jaksollise jatkuva-aikaise sigaali Fourier-sarjaesitys: xt + ak e jkt jossa ak xt e jkt dt T T Tässä Ω o peruskulmataajuus, f perustaajuus, ja T T perusjaksopituus. Jatkuvalle f /T, T f.. Tiedetää, että a, a a, a a, a a, ak muulloi. Muodosta syteesiyhtälöllä xt, ku perusjakso pituus o. Kappale.. Määrää seuraavie jaksolliste sigaalie peruskulmataajuudet ja Fourier-kertoimet aalyysiyhtälöllä a xt e jt, kompleksie sigaali b xt cost + cost, reaalie sigaali. Jaksollie sigaali xt, joka perusjakso o o määritelty seuraavasti: t, t xt t, < t a Piirrä xt, ku t... b Määrää Fourier-kerroi a. Mitä se esittää? c Määrää derivaata dxt Fourier-sarja. dt d* Käytä edellistä tulosta ja Fourier-sarja derivoitiomiaisuutta taulukosta: dxt dt... jkak ja laske xt: Fourier-kertoimet.. *igaalista xt tiedetää, että i xt o reaaliarvoie ii xt o jaksollie perusjaksolla T 6 iii ak, ku k ja k > iv xt xt v 6 xt dt vi a o positiivie reaaliluku Osoita, että xt A cosbt + C ja laske vakiot A, B ja C. Jaksollise diskreettiaikaise sekvessi Fourier-sarjaesitys esitellää luvussa.6 ja se omiaisuuksia luvussa.7 sekä taulukossa. sivulla Oppeheim, Willsky. Jaksollise diskreettiaikaise sekvessi Fourier-sarjaesitys: k N ak e jk jossa ak e jk N N Tässä o peruskulmataajuus, f perustaajuus, N N perusjatkopituus, ja fs Fs äytteeottotaajuus, joka useimmite voidaa skaalata ja merkitä oleva fs. Diskreettiaikaiselle sekvessille f/fs /N, N, site että N, Z. Ku f fs,, ii f /N.. Tiedetää, että perusjakso pituus N ja kertoimet a, a a, a a. Muodosta syteesiyhtälöllä. Kappale.6 6. Määrää seuraavie jaksolliste sekvessie peruskulmataajuudet ja Fourier-kertoimet aalyysiyhtälöllä a cos/ b si/ + cos/
T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 Jatkuva-aikaise sigaali Fourier-muuos xt Xj johdettii Fouriersarjoista ajattelemalla jaksoaika äärettömä pitkäksi. Näi saatii: F Xj} xt + Xj e jt d + F xt} Xj xt e jt dt Huomaa myös taulukot. s. 8, Properties of the F-trasform ja. s. 9, Basic F-trasform pairs. Esimmäisestä o usei apua tehtävissä, joissa tiedetää sigaali xt F-muuos Xj ja halutaa etsiä joku x:stä johdetu sigaali F-muuos. Jälkimmäisessä o suoraa tiettyjä muuoksia. 7. Kirja esimerkit. ja.: itegroitiharjoitus, sic-fuktio ja duaalisuus. a Laske Fourier-muuos määritelmä mukaa sigaalille, t < T xt, t > T si θ b Esitä a-kohdassa saatu F-muuos sic-fuktio avulla, sicθ θ 8. F-muua seuraavat sigaalit ja impulssivaste käyttäe hyväksi taulukkoa ja aiempia tuloksia. Vikit: aikasiirto a, aikasiirto ja li. b, aikasiirto c, derivoiti ajassa d., < t < a xt, muulloi, < t < b xt xt + xt + xt, < t <, < t <, muulloi c ht ht e t ut t, < t < d xt, muulloi 9. Kovoluutio-omiaisuutta s. käyttäe voidaa differettiaaliyhtälö ratkaista äppärästi algebrallisesti ilma yritteitä, vertaa tehtävä 9c: yt ht xt Y j HjXj Laske impulssivasteide ht e.t ut ja ht e t ut kovoluutio käyttämällä F- muuokse kovoluutio-omiaisuutta. Tällöi aikataso kovoluutio ht ht ht lasketaa F-muuoste Hj ja Hj kertolaskua Hj Hj Hj ja tämä tulos kääteismuuetaa takaisi aikatasoo Hj ht.. *Fourier-kääteismuuos a Laske kääteie Fourier-muuos Xj, < W, > W b Esitä a-kohdassa saatu sigaali sic-fuktio avulla, sicθ siθ θ c Esitä suorakaidepulssi ja sic-fuktio duaaliomiaisuudet Fourier-muuoksessa s. 9-.. *Lisää lasketaa a Laske ht e t u t ja xt e t ut kovoluutio yt ht xt käyttämällä kovoluutio-omiaisuutta. b Laske Rj, ku rt e t cost. R itegroimalla, R taulukosta, äide kovoluutio. Diskreettiaikaise sekvessi Fourier-muuos DTFT F Xe j } Xe j e j d F } Xe j e j Huomaa myös taulukot. s. 9, Properties of the d-t F-trasform ja. s. 9, Basic d-t F-trasform pairs. HUOM! Diskreetissä Fourier-muuoksessa DFT myös taajuusalue o diskreettitaajuie.. Laske seuraavie sekvessie diskreettiaikaiset Fourier-muuokset: a δ[ ] + δ[ + ] b u[ ]. Tuetaa reaalie sekvessi ja se diskreettiaikaie Fourier-muuos Xe j. Olkoo taajuudella c /: Xe j/ + j. Päättele jaksollisuude avulla ja laske a Xe j/ b Xe j/ c Xe j / d Xe j/+ e Jos fs Hz, ii mikä o tutkittava taajuus fc. Laske jaksollise sekvessi si/6 +/ diskreettiaikaie Fourier-muuos Xe j. Hahmottele kuvaajat Xe j ja Xe j.. Olkoo Xe j kuvassa 9 esitety sigaali Fourier-muuos. Tutki tauluko. omiaisuuksia. Fourier-muuosta Xe j ei tarvitse määrittää missää kohdassa, ku huomaa käyttää symmetrisyyttä x[ ]! a Laske Xe j. b Etsi Xe j. + c Laske Xe j d. d Etsi Xe j. + + e Määritä Xe j d ja dxe j d d. f Laske d d Xej. g Määritä ja piirrä sigaali, joka Fourier-muuos o ReXe j }. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 w lispace, M-/M*fs, M; % taajuusakseli plotw, xf.*cojxf; % piirretää Xexpjw ^ xlabel Frequecy Hz ; - 7 - - 6 -..8.6. Xe^jw Kuva 9: Tehtävä Diskreettiaikaie sekvessi. Xe^jw Xe^jw....6.8.. Time s. Frequecy Hz.8.6... f s / f..... Time s 6 8 Frequecy Hz Kuva : Tehtävä 6: pektrejä kaistalla [...fs/] tai [...]...8.6. 6. Diskreettiaikaie Fourier-muuos o -jaksollie, itseisarvo Xe j ollessa parillie ja Xe j parito fuktio. Kuvassa o reaalise sekvessi Fouriermuuokse itseisarvo Xe j. Hahmottele kuki Xe j alueelle fs... fs. Näytteeottotaajuude fs, äytteeottokulmataajuude s ja äyteväli yhteys o fs s/ /. Esimerkiksi fs Hz äytteide välie aika o, 7µs. 7. Matlabi fftx-kometo palauttaa sekvessi x diskreeti Fourier-muuokse discrete Fourier trasform, DFT: N X[k] Xe j k/n e jk/n, k N Tässä siis spektri o myös lukujoo spektrikompoettie arvoja. Täte laskuoperaatio voidaa toteuttaa tietokoeella. Yhdistä kuva vasemma sarakkee sekvessit ja oikea sarakkee tehospektrit Xe j. Vikki: Yksi jaksollie kosii taajuudella fi luo yhde piiki spektrii positiiviselle taajuudelle fi. Tehty Matlabilla: [x, fs, bits] wavread aai.wav ; % luetaa ääisigaali soudscx, fs; % kuuellaa M legthx; t [ : legthx] / fs; % aika-akseli plott, x; % piirretää aaltomuoto xlabel Time s ; xf fftx; % lasketaa DFT M legthxf; Diskreettiaikaisessa Fourier-muuoksessa, DTFT, Xe j saa R. Ku Jos esimerkiksi Matlab ataa kuvaaja Xe j :sta, se o useimmite laskettu riittävä moe pistee DFT:ä käyttäe..... Time s. 6 8 Frequecy Hz Kuva : Tehtävä 7: ekvessit vase sarake ja spektrit oikea. LTI-suotimet ovat laskeallisesti yksikertaisia. Niide iput-output-relaatio voidaa esittää differessiyhtälöllä. Niillä pystytää tekemää taajuusselektiivisiä suotimia, joilla voidaa vaimetaa haluttuja sigaali spektri kaistoja. 8. Hahmottele seuraavie suodityyppie amplitudivasteet taajuustasossa: a alipäästösuodi b ylipäästösuodi c kaistaestosuodi d kaistapäästösuodi 9. Tarkastellaa jatkuvaa periodista sigaalia xt, joka o määritelty seuraavasti: a Hahmottele sigaali xt aikatasossa. xt cost +. cost b Määritä sigaali xt peruskulmataajuus ja Fourier-sarjaesitykse kertoimet ak. c igaalia xt suodatetaa ideaalisella alipäästösuotimella, joka rajakulmataajuus c. Piirrä suodatettu sigaali. d igaalia xt suodatetaa ideaalisella ylipäästösuotimella, joka rajakulmataajuus c. Piirrä suodatettu sigaali.. Kovoluutio-omiaisuutta s. 8 h[] Y e j He j Xe j käyttäe ratkaise vrt tehtävä 9c ja 9
T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 a h[] δ[ ] δ[ ],.6 u[] b h[]. u[ ],.7 u[]. Käytä hyväksesi kertolaskuomiaisuutta s. 88 h[] Y e j He jθ Xe j θ dθ igaalie ja g[] Fourier-muuokset ovat Xe j ja Ge j. Lisäksi o voimassa yhtälö Xe jθ Ge j θ dθ + e j a Jos ii määrää diskreetti sigaali g[] site, että se Fourier-muuos Ge j toteuttaa ylläoleva yhtälö. Oko olemassa muita ratkaisuja g[]? b Toista edellie kohta sigaalille u[].. Ylipäästö- ja kaistapäästösuodattimia suuiteltaessa toteutetaa usei esi alipäästösuodati, jolla o halutut omiaisuudet ja se jälkee muuetaa se HP- tai BPsuotimeksi. Etua tästä o, että kaikkie suodityyppie toteutuksee riittävät pelkästää alipäästösuodattime suuittelualgoritmit. Tarkastellaa esimerkiksi diskreettiaikaista alipäästösuodatita, joka impulssivaste o hlp[] ja taajuusvaste Hlpe j. Moduloidaa impulssivastetta jaksolla, ii että hhp[] hlp[]. a Määritä Hhpe j Hlpe j : avulla. Osoita, että Hhpe j o ylipäästösuodattime taajuusvaste. b Osoita, että diskreettiaikaise HP-suodattime impulssivastee moduloiti jaksolla tuottaa alipäästösuodattime.. Lieaarise vakiokertoimise differessiyhtälö karakterisoima LTI-järjestelmä s. 96-99. Aikataso kovoluutio vastaa taajuustasossa muuoste kertolaskua h[] Y e j He j Xe j katso kuva. h[] Xe j He j j Ye Kuva : Tehtävä : h[] Y e j He j Xe j Muistetaa alkukurssista, että kausaalista, diskreettiä LTI-järjestelmää kuvaa vakiokertoimie differessiyhtälö N M ak y[ k] bk x[ k] k Ku F-muuoksessa käytetää hyväksi viivästysomiaisuutta x[ ] e j Xe j, saadaa N M ak e jk Y e j bk e jk Xe j k Tässä Xe j ja Y e j ovat selvästi vakioita ideksi k suhtee, jote e voidaa ottaa ulos summasta. Kovoluutio-omiaisuude Y e j He j Xe j huomioo ottae impulssivastee h[] Fourier-muuos He j eli taajuusvaste o k k He j Y ej M Xe j k bk e jk N k ak e jk Tuetaa LTI-järjestelmä se impulssivastee avulla h[] δ[] + δ[ ] δ[ ]. a Kirjoita differessiyhtälö ja piirrä aikatasossa lohkokaavio, jossa tulee vasemmalta järjestelmää ja ulostuloa o. b Kirjoita He j eli määrää kertoimet b, b ja b. Mitä tulee jakajaa arvoiksi ak? c Oko kyseessä ali- vai ylipäästösuodi? Usei halutaa aalysoida LTI-suotime käytöstä. Lähtötilateea voi olla a suotime lohkokaavioesitys, b impulssivaste h[], c differessiyhtälö... tai d taajuusvaste He j. Kaikki ämä ovat yksikäsitteisiä, jote ku yksi äkökulma tuetaa, voidaa muutki laskea tai havaiollistaa. Lohkokaaviosta tai differessiyhtälöstä ähdää usei suotime käytäö toteutus, lasketa-algoritmi. Impulssivaste h[] kertoo suotime käytökse aikatasossa. Impulssivastee Fourier-muuos He j kertoo käytöksestä taajuustasossa. Kute tehtävässä huomattii, äärellise pitkä impulssivastee FIR Fiite legth impulse respose taajuusvaste He j o e j : suhtee yksikertaie polyomi. Jos impulssivaste o äärettömä pitkä IIR Ifiite legth impulse respose, ii taajuusvaste He j o ratioaalilauseke, jossa sekä osoittajassa että imittäjässä o polyomilauseke. LTI-järjestelmissä impulssivasteesta h[] voidaa ähdä järjestelmä kausaalisuus ja stabiilisuus. Jos h[], kaikilla arvoilla <, ii järjestelmä o kausaalie. Jos h[k] <, ii järjestelmä o stabiili.. Olkoo aettua taajuusvaste He j. + e j. Taajuusvaste voidaa hajottaa amplitudi- ja vaihevasteesee He j He j e j arghej }. a Määrää impulssivaste h[], piirrä se ja järjestelmä lohkokaavio. Vikki: FIR-tapauksissa He j h[] e j ; IIR kts. tehtävä. b Laske ja piirrä askelvaste s[] m h[m]. c Hahmottele He j : kuvaaja kompleksitasoo, ku saa arvoja... Laske muutamia arvoja ja hahmottele pehmeästi iide väliltä. d Laske amplitudivaste He j kompleksiluvu itseisarvo ja hahmottele se välillä... e Laske vaihevaste arghe j } kompleksiluvu kulma ja hahmottele se välillä... f Desibeli-asteikolla teholliset amplitudiarvot saadaa laskemalla log He j log He j. Hahmottele d-kohda amplitudivaste yt desibeli-asteikolla. g Ryhmäkulkuaika/ryhmäviive/eteemisviive saadaa vaihevasteesta τ d d arghej }. Laske τ. Mikä o se yhteys impulssivasteesee? h Alla o aettu toise suotime He j. 9 k e jk amplitudivaste, impulssivaste ja askelvaste. Mitkä ovat suotimie He j ja He j erot kaistaleveyksissä ja askelvasteide ousuajoissa? Nousuaika o aika, jossa askelvaste ousee %:sta loppuarvostaa 9 %:ii. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7.8.6.....8.6. c Määritä, mikä seuraavista väitteistä pitää paikkasa ryhmäviiveelle τ darg Hj/d: i τ, ku > ii τ >, ku > iii τ <, ku >..... Kuva : Tehtävä : He j : Amplitudivaste He j, impulssivaste h[] ja askelvaste s[]. *i Matlabi komeot?. Kausaalie ja stabiili LTI-systeemi o määrätty seuraava differessiyhtälö avulla: a Piirrä lohkokaavio. b Laske taajuusvaste He j. c Hahmottele He j. d Laske impulssivaste h[]. y[ ] 6. Tutki seuraavissa kuvissa esitettyjä realisoituje suotimie amplitudi- ja impulssivasteita...8.6.. N N N....8.6....... 6 8...... 6 8 Kuva : Tehtävä 6: Vasemmalla toteutetu suotime He j amplitudivaste asteluvuilla N,, } ja kuki suotime h[], h[], h[] impulssivaste. 8. *Tutkitaa kuvassa esitettyä mekaaista systeemiä. ysteemi liikeyhtälö o muotoa Bvt + K vtdt ft. a Oletetaa, että vaste o fst, jousta kokoo puristava voima. Kirjoita differetiaaliyhtälö fst: ja ft: avulla, etsi systeemi taajuusvaste ja osoita, että se approksimoi LP-suodita. b Oletetaa, että vaste o fdt, hydraulista vaimeita puristava voima. Kirjoita differetiaaliyhtälö fdt: ja ft: avulla, etsi systeemi taajuusvaste ja osoita, että se approksimoi HP-suodita. ft vt B K Kuva : Tehtävä 8 järjestelmä. Näytteeotossa jatkuvasta sigaalista otetaa yleesä tasavälisi ajoi äytteitä, jolloi saadaa lukujoo. O olemassa myös täysi syteettisiä lukujooja, jotka voidaa rekostruoida jatkuvaksi sigaaliksi tietokoeääet yms. 9. Näytteistä kuvassa 6 olevaa jatkuvaa kosiisigaalia xt cos t kolmella äytteeottovälillä i. s, ii. s, iii.666 s, ja piirrä diskreetit arvot kuvaajii. Tarkista äytteeottotaajuude riittävyys ja hahmottele diskreeteistä äytteistä jatkuvaksi palautettu sigaali ˆxt. a Mite suotime asteluku vaikuttaa päästö- ja estokaista välisee siirtymäkaistaa trasitio bad? b Mite suotime asteluku vaikuttaa ryhmäviiveesee, ku kaikki toteutukset ovat lieaarivaiheisia suotimia. c Mikä o askelvastee ousuaja suotime opeus ja siirtymäkaista leveyde suhde? *d Millaiselta ideaalisuodi äyttäisi? Mitä tarkoittaa suotime realisaatio? Mitä suotime suuittelussa lasketaa? Mite digitaalie suodi voidaa tehdä? 7. Jatkuva-aikaise, kausaalise ja stabiili LTI-systeemi taajuusvaste o Hj j +j a Osoita, että Hj A ja laske A b Mikä tyyppie suodi o kyseessä?.................. Kuva 6: Tehtävä 9: xt, äytteistä käyttäe i. s, ii. s, iii.666 s. Osoita, että jaksollie impulssijua pt pt δt
T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7 voidaa esittää Fourier-sarjaa pt e j/kt jossa s / o äytteeottokulmataajuus.. *Edellise tehtävä impulssijua Fourier-muuos voidaa esittää myös muodossa Pj δ k s Näytteistämie voidaa mallittaa aikataso kertolaskulla xpt xtpt. Mikä o Xpj mielivaltaiselle syötespektrille Xj? Vikit: jaksollise sigaali Fourier-sarja Fourier-muuosesitys Xj akδ k b Hahmottele : spektri, ku fs o. igaali rekostruoiti äytteistä i 6 Hz ii 8 Hz iii Hz a Piirrä mielivaltaie kaistarajoitettu Xj, joka suuri kulmataajuus o M. b Näytteistä sigaali äytteeottokulmataajuudella s > M. Piirrä äytteistety sigaali spektri Xpj. c Näytteistettyä sigaalia o voitu suodattaa digitaalisella suotimella, toisi saoe, lukujoolle o voitu tehdä muutoksia. Rekostruoi sigaali spektri takaisi jatkuvaksi käyttämällä ideaalista alipäästösuodita Hj, joka rajataajuus c o M < c <. s. Piirrä palautetu sigaali spektri Xrj XpjHj. d Esitä edellise kohda yhtälö aikatasossa xrt xpt ht xpkht kt Mikä o c-kohda ideaalise alipäästösuotime Hj impulssivaste ht? igaalie kertolasku aikatasossa vastaa muuoste kovoluutiota taajuustasossa: xt xt [ Xj Xj ] XjθXj θdθ. Tuetaa jatkuva sigaali xt spektri Xj, joka o piirretty kuvaa 7. igaali korkei taajuuskompoetti o fh. Näytteistetää sigaalia äytteeottotaajuudella fs eli äytteet otetaa /fs välei: x. Hahmottele diskreeti sigaali spektri Xe j, ku a fh. fs b fh. fs c fh.7 fs Xjw f h Kuva 7: Tehtävä : pektri Xj. Tarkastellaa jatkuva-aikaista jaksollista sigaalia xt xt cos t + cos t + cos 7 t, t, t < jossa siis kosiitaajuudet, ja 7 Hertziä. igaali äytteistetää taajuudella fs. Toisi saoe, /fs, pt fs ejfskt. Näi saadaa diskreetti sekvessi xpt x. a Hahmottele xt: spektri kosii vastaa piikkiä taajuustasossa T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. Vastauksia tehtävii Parito/Odd xt x t Parillie/Eve xt x t. Ympyrä 6 astetta vastaa :ä. Eli: DEG 6 RAD Esimerkiksi suorakulma o /. Jatkossa käytetää lähiä radiaaeja perusvälillä...+.. Ekspoettifuktio e j cos + j si piirtää yksikköympyrä, ku... +. Nähdää: e j cos + j si cos + si. a uorakulmaise kolmio Pythagoras a + b c kulmat: ABC / BCA arcta. / /6 CAB / BCA / b Laski ataa radiaaeissa arcsi..6. /6, ja yksikköympyrästä voidaa tarkistaa, että C halutut kulmat ovat /6 ja /6. Voidaa siis ähdä, että x cos ja y si.... Kompleksilukuja suorakulmaisessa ja polaarikoordiaatistossa. a Polaarik.: zz r e jθ r e jθ r e jθ θ r, suorakulmaie: zz x + yjx yj x + y. b z + z x + jy + x + jy x + x + jy + y x + x jy + y x jy + x jy z + z. Parilliset ja parittomat fuktiot: Fuktio fx o parito, jos f x fx kuvassa vasemmalla Fuktio fx o parillie, jos f x fx oikealla.... B uorakulmaie ja polaarikoordiaatisto y r siθ.. r θ A z x + yj r e jθ x r cosθ ii o parito fuktio ja kosii o parillie fuktio. Mikä tahasa fuktio fx voidaa ilmaista parittoma ja parillise kompoeti summaa: fx Evefx} + Oddfx}, missä Evefx} /[fx + f x] Oddfx} /[fx f x] z* EveH} Evee j } ej + e j cos + j si + cos + j si cos + j si + cos j si cos OddH} Odde j } ej e j cos + j si cos + j si cos + j si cos + j si j si. Tutkitaa kompleksilukuarvoista fuktiota H e j. Lasketaa taulukkoo kysytyt arvot. Jos laskimesi tukee kompleksiarvoise ekspoettifuktio laskemista, voit käyttää suoraa H e j, muute hajoita Euleri kaavalla H cos + j si. Huomaa parillise kosii ja parittoma sii laskusääöt: cos cos ja si si. H H H /.99 +.77j.76.7 /. +.j.. /.77 +.77j.878. epäjatkuvuuskohta, lim + H +., lim H.. Vaihtoehtoisesti voit ajatella lasku osoittimie avulla H + H: H, joka o siis vakio ja jolla siirrytää origosta kohtaa,, ja summataa siihe H e j, joka piirtää -säteise yksikköympyrä puolikkaa. 6. Piirrä seuraavat sigaalit ja sekvessit origo t tai ympärillä. a xt cost / b si. c x[] δ[ ] + δ[] + δ[ + ]
T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 x t x [].... cos t / t d x[] δ[ ] + δ[] + δ[] e x6[] u[] u[ ] f x7[] x[ ]..8.6.. δ[ ] + δ[] + δ[]. x [] x 6 []...8.6.. si. u[] u[ ] 6 x [] x 7 [] δ[ ] + δ[] + δ[+].. x [ ].. 8. Jaksolliselle diskreetille sigaalille o olemassa vakio N Z+, jolle x[+n], kaikille Z. a o jaksollie perusjaksolla N. Huomaa ero edellise tehtävä a-kohtaa! Katso kuvaa 8: cos 8 x[ + N] cos 8 + N cos8 + N josta /N k, jossa N, k Z, ja edellee N /k. Näi olle piei jakso N eli perusjakso o. Huomaa, että se o eri kui kohdassa a. b ei ole jaksollie, koska yksikää 6: moikerta ei ole kokoaisluku: cos 8 x[ + N] cos + N 8 cos 8 + N 6 c o jaksollie. Lasketaa kuki kosii jakso eriksee, jolloi saadaa N 8 ja N. Perusjakso o jaksoje piei yhteie jaettava eli N N. 7. Jaksolliselle jatkuvalle sigaalille o olemassa vakio T >, jolle xt xt + T kaikilla t: arvoilla. Perusjakso T o lyhyi jakso. ijoitukse t t + T jälkee yritetää etsiä vakiota T perustue sii/kosii/ekspoettifuktio -jaksollisuutee. Problems a, a: cos8 / t vs cos8 / T/ N xt a xt o jaksollie ja perusjakso o T /: xt cos 8 t xt + T cos 8 t + T cos8 t + T Huomaa siis, että T tulee valita ii, että alemma lausekkee vaihesiirto o joku -moikerta: cost cost + cost +.... b xt o jaksollie ja perusjakso o T : xt e jt xt + T e jt+t e jt +T c xt ei ole jaksollie, koska ei löydetä arvoa T, joka tuottaisi kulmaa -moikerra muutokse jokaisella t R: xt cos 8 t xt + T cos 8 t + T cos 8 t + tt 8 + T 6, t Kuva 8: Vastaus 8: Tehtävie 7a ja 8a ero! 9. Tarkastellaa kolmea järjestelmää, ja, joide syöte-vasterelaatiot ovat: : + x[ ] : x[ ] x[ ] x[/], parillie :, parito a Piirrä esi lukujoo. Ulostulo voidaa laskea vaikkapa yksikertaisella taulukolla. T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 x[ ] x[ ] x[ ] 9 7 6 6 6 6 b ja sarjassa. Vaste saadaa sijoittamalla edellise järjestelmä vaste aia seuraavaa. : jälkee + x[ ], joka sijoitetaa syötteeä :e: y[ ] y[ ] + x[ ] x[ ] + x[ ] x[ ] + x[ ] x[ ] 6x[ ] x[ ] c ja ria. Vaste saadaa laskemalla haarat yhtee. + x[ ] + x[ ] x[ ] x[ ] d* Esi, sitte ja ria, ja lopuksi ivertoitu - Kääteiseksi järjestelmäksi saadaa :. Koska diskreetti järjestelmä o määritelty vai, ku o kokoaisluku, o aia ku ei ole kokoaisluku. x[/], parillie, parito [ [ ] y[ ] x x ] [ ] [ ] x x x[ ] Kokeile vaikkapa syötteellä,,,. Lieaarisille ja aikaivariateille järjestelmille pätee, että iide keskiäistä järjestystä voidaa muuttaa lopputulokse muuttumatta. Koska järjestys ria, ataa eri tulokse kui yllä laskettu järjestys, kaikki kolme eljä järjestelmää eivät ole lieaarisia ja aikaivariatteja.. Huomaa, että o lieaarikombiaatio kahdesta esimmäisestä järjestelmästä :.x[ + ] :.x[ ] : + a Järjestelmä o muistito Oppeheim s., ku se vaste riippuu vai se hetkisestä syötteestä, esimerkiksi +. Järjestelmässä ei siis tarvita muistirekistereitä välituloksia tai sisäätulo puskuria varte. Järjestelmää tarkastelemalla havaitaa vastee muodostuva termi x[ ] avulla, jote o muistillie. Myös muut ovat yhtälailla muistillisia. b Järjestelmä o lieaarie s., ku se o additiivie ja skaalautuva eli αxt + βxt αyt + βyt α + β α + β Lieaarisuude osoittamie voidaa tulkita kuva 9 mukaa. Olkoo käytössä kaksi mielivaltaista syötettä ja. Tutkitaa, tuottaako äide vasteide lieaarikombiaatio sama tulokse kui syötteide lieaarikombiaatio vaste. Merkitää syötteide ja vasteita ja :lla:. x[ + ]. x[ + ] Näide vasteide lieaarikombiaatio o kuva 9 vasemma puoleise kaavio ulostulo y []: y [] α + β α. x[ + ] + β. x[ + ] Tutkitaa sitte kuva 9 oikeapuoleista kaaviota eli yt syötteeä järjestelmää o alkuperäiste syötteide lieaarikombiaatio α + β:. x[ + ]. αx[ + ] + βx[ + ].αx[ + ] +.βx[ + ] Koska y [], ii järjestelmä o siis lieaarie. Lieaarisessa järjestelmässä voidaa hyödytää superpositiota esimerkiksi siihe, että sisäätuloa jaetaa pieempii osii, suodatetaa läpi järjestelmä eriksee, ja kootaa tulos lopuksi yhtee. Voidaa myös laskea vastaavasti, että o myös lieaarie, samoi kui iide lieaarikombiaatio.
T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 x x y y a b y * Kuva 9: Lieaariselle järjestelmälle pätee y y. Tässä * o vai eri ulostulot erottava symboli, ei kompleksikojugaatti tai mikää muu fuktio. x x a b x y e Järjestelmä o kausaalie s. 6, ku järjestelmä vaste yt riippuu vai syötteestä xt ajahetkeä t sekä meeisyydessä. Kausaalie järjestelmä o realisoitavissa sisältää viivästyksiä, ei aikaistuksia, se ei siis käytä laskeassa tulevaisuude arvoja. Järjestelmä vaste riippuu kuiteki termistä x[ + ], eli ei ole kausaalie. Järjestelmä kausaalisuutta pitää tarkastella myös egatiivisilla : arvoilla, jolloi huomataa, ettei sekää ole kaussaalie. c Järjestelmä o aikaivariatti s., ku järjestelmä käyttäytymie ei muutu aja mukaa. Aikaivariattisuude osoittamie voidaa tulkita kuva mukaa. Tutkitaa tilaetta, jossa syötettä viivästetää ja sitte syötetää järjestelmää yläkuva ja tilaetta, jossa vastetta viivästetää alakuva. Jos ulostulot ovat samoja, järjestelmä o aikaivariatti. Tuetaa järjestelmä vaste mielivaltaiselle sekvesille Viivästetää tätä vastetta k yksikköä:.x[ ] y [] y[ k].x[ k ].x[ + k] Tutkitaa toisaalta viivästettyä syötettä x[ k]:.x[ ].x[ k].x[ k] Jos järjestelmä o aikaivariatti, o oltava y []. x x D k x x [-k] y D k y y * y [-k] Kuva : Aikaivariatille järjestelmälle pätee y y. Ylemmässä kuvassa siirretää x:ä, alemmassa y:ä. Koska y[ k], ei järjestelmä ole aikaivariatti. e sijaa järjestelmä o aikaivariatti! Osoita! d Järjestelmä o stabiili s. 8, ku järjestelmä ataa rajoitetu vastee aia ku syöte o rajoitettu BIBO bouded iput, bouded output. Oletetaa siis, että järjestelmä syötteelle tiedetää max B, jolloi saadaa kohdassa kolmioepäyhtälöä a b a + b hyväksikäyttäe x[ + ] x[ ] x[ + ] + x[ ] B + B B. Eli järjestelmä o stabiili, kute myös se osatki. y[].x[6] y[].x[ 6] y[ ].x[]. *LTI vaatii sekä lieaarisuude että aikaivariattisuude. a Ei ole lieaarie vakio lisäämie. O kausaalie. Ei ole LTI. b Ei stabiili egaativiset arvot!. Ei kausaalie. Ei ole LTI. c Ei ole lieaarie sigaali eliö. O aikaivariatti. Ei ole LTI. d Ei ole aikaivariatti ei vakiokerroita eikä stabiilikaa. Ei ole LTI.. Diskreettiaikaie kausaalie LTI-järjestelmä voidaa esittää lieaarisea vakiokertoimisea differessiyhtälöä N M aky[ k] bkx[ k] k jossa o siis vai vakioilla skaalattuje ak, bk ja viivästettyje [ k] sekvessie summia. Jos mukaa o viivästettyjä y-termejä, tarkoittaa se yleesä takaisikytkettyä, rekursiivista järjestelmää IIR. Toisessa tapauksessa suodi o FIR. Huomaa LTI-järjestelmälle sallitut rakeuspalikat : sigaali haarautumie molempii haaroihi sama sigaali, sigaalie yhteelasku, sigaali kertomie vakiolla kolmio äissä kuvissa ja viiveyksiköt joko D tai z. Halutessaa voi siis kirjoittaa kuvaajat i-v auki sopivaksi y: ja x: esitykseksi, kohta iv o helpoi:. cos/. a LTI ovat i, ii, iii. Kuvassa iv kerroi uohtuut alemmasta haarasta, jolloi tulee vakiotermi cos/, eikä järjestelmä ole LTI. Miksi? Kuvassa v operaatio o sigaalie kertolasku, eikä järjestelmä ole LTI. Miksi? b Takaisikytkettyjä IIR ovat i, ii, iii. Niide impulssivaste o äärettömä pitkä. Tehtävässä 8 o esimerkki järjestelmästä, jota ei ole takaisikytketty ja joka impulssivastee pituus o site äärellie Fiite legth Impulse Respose. Tehtävä 9 järjestelmä o taase takaisikytketty IIR Ifiite legth Impulse Respose.. Käyttämällä hyväksi lieaariste aikaivariattie järjestelmie omiaisuuksia additiivisuus, skaalaus, siirto ajassa voidaa havaita, että sigaali xt voidaa muodostaa skaalamalla ja viivästämällä xt:ä xt. xt. Tällöi myös vaste yt saadaa skaalaamalla ja viivästämällä eli yt. yt. Katso kuva. Vastaavasti syöte x voidaa ajatella koostuva esimerkiksi kahdesta yhde levyisestä suorakulmiosta, joista toista o vai viivästetty yhde verra eemmä. ei-kausaalisessa tapauksessa tulisi ideksi k egatiivisia arvoja mukaa k T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7 x t t y t t x t t y t 6 t Kuva : Vastaus : LTI: omiaisuuksie avulla voidaa esittää y. Lasketaa diskreettiaikaie, äärellise pitkä tässä tapauksessa lyhyt kovoluutiosumma käyttäe määritelmää h[] h[] h[k]x[ k] a Lasketaa tämä tehtävä skaalattuje ja siirrettyje sekvessie summaa s. 79-8, Example.: h[k]x[ k] }}}} h[k]x[ k] h[] x[ ] + h[] x[ ] k x[ ],,, },,, } ummaukse rajat ja tulivat siis siitä, että h[] o olla kaikilla muilla idekseillä. b Lasketaa tämä tehtävä liu uttae yksi ulostulo piste kerrallaa s. 8-8, Example.: h[k]x[ k] h[k]x[ k] k Nyt lasketaakii siis piste kerrallaa, mikä graafisesti vastaa sekvessie liu uttamista toistesa yli, ku toie sekvesseistä o kääetty. Liu utus x-akseli tapahtuu siis ideksi k suhtee. y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[ ] k + y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[] k + y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[] k + y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[] k + y[] h[k]x[ k] h[]x[] + h[]x[] k + Näi olle δ[ ] + δ[ ] δ[ ]. Huomaa, että tässä b-tehtävässä alkoi viivästettyä, jote myös ulostulo o viivästetty. Ulostulosekvessi pituus o kahde kovoloitava sekvessi summa miius. Katso seuraava tehtävä.. Lasketaa kovoluutio ku a ja h[] ovat kuva kaltaiset. Tehtävässä kovoluutio voidaa ajatella kuvassa esitetyllä tavalla, jolloi käytetää edellise tehtävä b-kohda liu utusta. Impulssivasteessa h[ k] esiityvä termi k aiheuttaa esiäki, että sekvessiä h tarkastellaa kiepauttamalla se ympäri, ku taas termi aiheuttaa siirrokse, joka esimerkkikuvassa o. Kovoluutio tulokse kohdassa saadaksee o vai kerrottava e x[k]: ja h[ k]: arvot keskeää, jotka poikkeavat ollasta samalla kohdalla ja summattava ämä yhtee: y[] k h[k]x[ k]. Tämä tehdää kaikille arvoille. Lopputuloksea saadaa syötteelle kuvassa esitety kaltaie vaste. Huomaa, että sekvessie pituudet ovat Legth}, Legthh[]} osa arvoista o ollia ja Legth} + 9. Huomaa myös, että ulostulo esimmäie ollasta eroava kohta o kahdesta kovoloitavasta sekvessistä jälkimmäise aloituskohta. h[] - 6 7 6 Kuva : Tehtävä : Järjestelmä syöte ja impulssivaste h[].
T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 x[k] 6. LTI-systeemie assosiatiivisuudesta seuraa, että h[] h[] h[] h[] h[] h[], h[-k] - - - - Kuva : Kovoluutio tulos, ku. yöte ja impulssivaste meevät päällekkäi kohdissa k ja k tuottae arvo. 9 6 7 8 7 8 9 6 Kuva : Vastaus : Kovoluutio tulos, korostettua kohta eli y[] k x[k]h[ k] + b* α u[] h[] β u[] Ku systeemi h[] impulssivaste ja koko systeemi impulssivaste h[] ovat tehtävässä aettuja, voidaa päätellä impulssivaste h[]. Prosessia kutsutaa dekovoluutioksi. Lasketaa esi kovoluutio h[] h[] ja merkitää tätä vaikka p[]:llä: p[] h[k]h[ k] u[k] u[k ]u[ k] u[ k ] kovoluutio termi u[k] u[k ], jossa kaksi askelfuktiota o väheetty toisistaa, poikkeaa ollasta k: arvoilla ja, jote kovoluutioksi saadaa p[] u[ k] u[ k ] u[ ] u[ ] + u[ ] u[ ] k Tämä perusteella saadaa vasteeksi p[], p[] ja p[], muute kovoluutio tulos o olla. Ylläoleva voidaa toki laskea δ[] + δ[ ] eli, } kovoluutioa itsesä kassa. ysteemi h[] h[] impulssivasteeksi saadaa siis : p[] Muistetaa, että geometrise sarja summa, jossa suhdeluku o q < Kovoluutiolausekkeeksi saadaa q k q+ q k α k u[k]β k u[ k]. Tarkastelemalla askelfuktioita havaitaa, että u[k], ku k, ja u[ k], ku k. ummalauseke poikeea siis ollasta ku x [, ], eli α k β k β α k β k. k Kyseessä o ähtävästiki geometrise sarja summa, jossa suhdeluku q α. Kaattaa muistaa, että ku o oltava q <, jotta sarja olisi rajoitettu. β arjalle + β α β α β k β+ α +. β α - a Impulssivaste h[] saadaa dekovoluutiolla. Impulssivastee h[] ollasta poikkeava pituus o Nh Nh + Np eli tässä tapauksessa Nh 7+. Tehtävä voi miettimällä kovoluutio kautta parillaki tavalla, joissa etsitää h:lle sopivaa muotoa: h[] p[k]h[ k] k joka voidaa avata, koska p[] tuetaa: h[] + h[ ] + h[ ] h[], Toie vaihtoehtoie tapa o ajatella haettava sellaisia skaalauskertoimia h[], joilla saa impulssivastee h[] esitettyä p[]: superpositioia, eli h[] h[k]p[ k] k h[]p[] + h[]p[ ] + h[]p[ ] + h[]p[ ] + h[]p[ ] euraava sivu kuvassa o esitetty, mite h[] etsitää ja saadaa lopulta siis muotoo h[] h[]p[] + h[]p[ ] + h[]p[ ] + h[]p[ ] + h[]p[ ] p[] + p[ ] + p[ ] + p[ ] + p[ ] h[] δ[] + δ[ ] + δ[ ] + δ[ ] + δ[ ] T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 h[] h []p[] + h []p[-] + h []p[-] + h []p[-] + h []p[-] p[] h []?? h[] - 6 7 8 p[-] h []?? - 6 7 p[-] h []?? - 6 7-6 7-6 7 8 - - - - Kuva 6: Tehtävä 6b: Vaste syötteesee δ[] δ[ ]. - - p[-] h []?? 6 7 6 7 p[-] h []?? Tuloksea saatu impulssivaste : - h [] 6 7 itte oletetaa tuetuksi kovoluutio osittelulaki: u[ ] / u[ + ] +/ u[] / u[ + ] k k k k u[ k ] u[ + k] + u[k] u[ + k] mi,+ k + k k + k k h[] 8-6 7 Kuva : Tehtävä 6a: Dekovoluutio b Voidaa laskea ormaalia kovoluutioa jo ee a-kohda laskemistaki. Kysytty vaste o kahde impulssivastee superpositio, jossa siis väheetää yhdellä askeleella positiivisee suutaa siirretty impulssivaste alkuperäisestä impulssivasteesta eli h[] h[ ], joka o esitetty kuvassa 6. x[k]h[ k] x[]h[ ] + x[]h[ ] h[] h[ ] 7. Tehtävä ideaa o vai huomata, että LTI-järjestelmissä tarvittaessa voimme jakaa joko sigaali tai impulssivastee osii. Lasketaa esi raa asti eli käytetää kovoluutio määritelmää. h[] k k x[k]h[ k] k k u[ k + ] Jos yt + >, saadaa k + k k + k k + k / k Jos taas + < o jälkimmäie summa olla ja esimmäisestä summasta tulee + k / k eli saadaa sama tulos kui ilma osittelulai käyttöä. 8. Tarkastellaa systeemiä, joka o määritelty differessiyhtälöä a ysteemi lohkokaavio D o viive: x[ ]. + k / k x[-] D - Nähdää siis, että lasketa eteee vasemmalta oikealle, eikä takaisikytketää ole. Tästä voidaa jo eakoida, että impulssivaste o äärellise pitkä FIR.
Tehtava, x cos. t + cos. t T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 b Impulssivaste h[] o systeemi vaste yksikköimpulssii δ[]. Laitetaa siis syötteeksi δ[] eli ykköe ajahetkellä ja saadaa h[] δ[] δ[ ] -x[-] - x[-] - - - FIR-tapauksissa differessiyhtälöissä ei ole viivästettyjä y-termejä mukaa suotime impulssivaste saadaa siis suoraa differessiyhtälöstä vaihtamalla y h:ksi ja x δ:ksi. c ysteemi vaste syötteellä u[] o laskettu alle ja piirretty kuvaa 7. / - -x[-] - x[-] - / - -/ /9 -/ -/9 /7 -/9 -/7 /8 -/8 -/8........ /9 /7 /8 6 7 x[ ] u[] u[ ] [ ] u[] u[ ] - - - - -/ 6 7 -/9 -/8 -/7 6 7 -x[-] h[] - -/ -/7 -/9 6 7 -x[-] Kuva 7: Vastaus 8: Vastee laskemie. Vasemmalla, keskellä ylhäällä impulssivaste h[] ja alhaalla x[ ] ja oikealla vaste h[k]x[ k]. 9. Tarkastellaa systeemiä, joka o määritelty differessiyhtälöä y[ ] a ysteemi lohkokaavio D o viive: y[ ] + / y[-] Nyt ähdää, että kaaviossa o takaisikytketä. Tämä tarkoittaa siis toisi saoe rekursiivista lasketaa eli että ulostulo laskemiseksi tarvitaa joitaki etisiä ulostulo arvoja. Impulssivastee pituudeksi tulee ääretö IIR; käytäö asioihi ei tässä puututa bittimäärä rajoittaa esitystarkkuude. Esimerkiksi Fiboacci lukujoo voi hyvi helposti esittää rekursiivisessa muodossa kahde edellise luvu avulla, mutta se o mahdollista myös yhtä lailla esittää eirekursiivisea FIR. b Impulssivaste h[] saadaa syöttämällä systeemii yksikköimpulssi δ[]: / y[-] + / y[-] - / / / / /8 /8 /6 /6........ Nähdää, että h[] u[]. c* Differessiyhtälöide ratkaisemie tapahtuu kahdessa vaiheessa. Esi ratkaistaa homogeeie yhtälö, jossa häiriötermi o asetettu ollaksi. Tyypillie yrite o z. Erityise yhtälö ratkaisu taas saavutetaa yritteellä, joka o samaa muotoa häiriötermi kassa. Koko yhtälö ratkaisu o äide kahde ratkaisu lieaarie yhdistelmä D Ayh[] + Byp[], jossa A saadaa mahdollisesta alkuehdosta ja B erityise yhtälö ratkaisusta. Toimitaa edellä kerrottuu tapaa tehtävää ratkaistessa. H.Y. y[ ], sij. yrite y z z z z + z T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 6 / 7 Homogeeise yhtälö ratkaisuksi saadaa siis yh[] A. E.Y. Tutkitaa tilae, jossa >.. yteesiyhtälö o: Nyt kertoimet ak ovat: + xt ak e jkt, y[ ], sij. yrite y B B B B B B B. Täydellise yhtälö ratkaisu o siis muotoa A. Kyse o kausaalisesta systeemistä, sillä mitää arvoja ei pyritä eustamaa tulevaisuude perusteella. Tästä syystä ovat vastee arvot ku <, sillä tuolloi syöte. Tämä alkuehdo perusteella saadaa y[] y[ ] x[], jossa y[ ]. ijoitetaa tähä täydellise yhtälö ratkaisu : - - - - Ku perusjakso pituus o T ii f / ja jolloi f.. aadaa kuva 8 mukaie sigaali käyttämällä kertoimia a a, a a ja ak muilla k: arvoilla: xt + ak e jkt... + a e j t + a e j t + a e jt + a e jt +... e j.t + e j.t + e j.t e j.t e j.t + e j.t + e j.t + e j.t cos.t + cos.t k A A, jote täydelliseksi ratkaisuksi saadaa :,, <. Tehtävä voi ratkaista myös z-muutamalla x: ja y:, hakemalla osittaismurtokehitelmä avulla kertoimet ja muutamalla takaisi aikatasoo tai kovoluutiolla h[]. HUOM! Numeeriset ratkaisut ovat aia vai umeeriisia, mutta iillä pääsee alkuu: / y[-] + / y[-] - / / /6 /9 / 9/6 /7 9/7 6/6......... LTI-järjestelmä muuttaa vai syöttee amplitudia - ei taajuutta, katso kappale., s. 8: e j He j e j Täte ei voi olla LTI, mutta voi olla. 6 Kuva 8: Vastaus : xt koostuu kahdesta kosiista eli eljästä Fourier-kertoimesta.. Vastaukset voidaa ähdä suoraa sarjaesityksestä syteesiyhtälöstä! a xt... + a e j t +... e jt, josta a ja kaikille muille k: arvoille ak. Huomaa, että sigaali o kompleksie, jolloi Fourier-kertoimet eivät ole symmetrisesti y-akseli ympäri. Voidaa laskea myös aalyysiyhtälö ak xt e jkt dt T T avulla. Tällöi esimerkiksi kerroi a a xte j t dt e jt e jt dt dt T T T T T T
T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 7 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 8 / 7 Muilla k: arvoilla itegradii tulee ekspoettitermi argumettii : moikerta, jolloi itegraalista yli yhde jaksopituude tulee olla. b Nyt pitää esi selvittää peruskulmataajuus. Esimmäise summattava jakso o T ja toise T /. Näi olle summasigaali perusjakso o T T T T ja /T /. Käyttäe Euleri kaavaa lasketaa ekspoettiesitys kosieille käyttäe peruskulmataajuutta : cost cost. e jt + e j t ja cost:llä samoi, cost cost. e jt + e j t joide avulla josta kertoimet xt a e j t + a e j t + ae jt + ae jt a a /, a a /, muulloi ak.. Jaksollie sigaali xt - t Kuva 9: Alkuperäie sigaali xt, kertoimet ak a a ataa sigaali keskiarvo, DC-kompoeti. b igaali derivaatta o a xtdt / xtdt T T dxt/dt, < t <, < t < - - t -T/ T T/ Kuva : igaali, joka Fourier-kertoimet dk tuetaa., T o kohta, jolloi askel putoaa ollaa ja T o jaksopituus, katso kuva alla. Tällöi kertoimet: dk sikt, k kt Taulukosta. ähdää, että ku sigaalia, joka Fourier-kertoimet ovat ak, viivästetää aikatasossa t, ii siirrety sigaali Fourier-kertoimet ovat ake jkt. Tässä tehtävässä derivaata sigaali keskiarvo o olla eli b. igaali amplitudi o kaksi ja T., T, josta. Jaksopituude skaalaamie ei vaikuta kertoimii, mikäli Fourier-sarja perustaajuus skaalataa samalla tekijällä. igaalia o viivästetty t.. Näi saadaa dk o kaavasta. saatu, yllä äkyvä tulos kaavassa. merkitty ak, ck o kahdella kerrottu suorakaidepulssi, bk tämä siirrettyä, jolloi saadaa tehtävässä kysytty derivaata fuktio, ck bk dk sikt kt sik/ k sik/ k ck e jkt ck e jk/ sik/ k t e jk/ c Derivoitiomiaisuus Fourier-kertoimille tarkoittaa, että jos sigaali xt Fourierkertoimet ovat ak, ii derivaata dxt/dt Fourier-kertoimet ovat jk ak. Olkoo yt tässä tehtävässä alkuperäise sigaali kertoimet ak, jolloi ak jk ataa kohdassa b ratkaistut bk:t. Koska T, ii. Kuva : igaali xt derivaatta Kirjassa o johdettu kertoimet suorakaidepulssille Example. ja vastaavalla tavalla siirretylle ja skaalatulle Example.6 suorakaidepulssille. ivulla 9 kaava T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu 9 / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 ak jk sik/ e jk/ bk k ak sik/ e jk/ jk k j k sik/ e jk/ k j sik/ e jk/ k j k j ejk/ e jk/ e jk/ k e jk k k parito k parillie Kerätää tulokset c-kohdasta, eli kertoimet alkuperäiselle sigaalille: k, k parito ak, k, k k parillie Kertoimet olisi voitu toki ratkaista suoraa laskemalla.. yteesiyhtälö o Nyt kertoimet ak ovat: - - - - k N ak e jk k Huomaa erityisesti, että diskreeti sigaali Fourier-kertoimet ovat jaksollisia, toisi saoe esimerkiksi a a a a a... Merkitää äissä vastauksissa yllä maiittuja kertoimia merkiällä k eli toisi saoe k m, jossa m Z ja tulee jaksopituudesta. Ku perusjakso pituus o N, jolloi /N.. aadaa: ak e jk k e j. + e j. + e + e j. e j. e j.8 + e j.8 + + e j. + e j. cos.8 + cos. +. *Koska xt: perusjakso o T 6, ii kirjoitetaa Fourier-sarja xt k ak e jtk/ igaali reaaliarvoisuudesta seuraa, että ak a k. Koska ak, ku k,,,,..., ii silloi ak, ku k,,,. illoi Koska a > ja reaalie, ii xt a e jt/ + a e jt/ + a e jt/ + a e jt/ Yhtälöstä xt xt seuraa, että xt a cost/ + a e jt/ + a e jt/ xt a cost/ + a e jt/ + a e jt/ a cost / a e jt / a e jt / a cost / e j a e jt/ + a e jt/ a cost/ a e jt/ a e jt/ a cost/ a e jt/ a e jt/ Tästä seuraa, että a e jt/ + a e jt/ eli a. aadaa xt a cost/ A cosbt+c. Vakiot ovat A a, B /, C. Omiaisuus v kertoo, että ak / eli a /. Tästä saadaa a / eli A. Lopulta o osoitettu, että xt cost/. 6 8 Kuva : Tehtävä : cos.8 + cos. + 6. Edellee pyydettii aalyysiyhtälöllä, vaikka käsi laskettaessa lyhyitä muuoksia päättely syteesiyhtälö kautta o ehkä äppärämpää. a-kohta lasketaa sekä syteesi- että aalyysiyhtälöä käyttäe. a Peruskulmataajuus / ja jakso pituus N 6. Kertoimet voidaa päätellä syteesiyhtälö kehitelmästä, ja saadaa... + a e j / + a + ae j/ +... josta a a /, ja muut ak, ku k,,,. Jos halutaa käyttää aalyysiyhtälöä, muokataa kosii Euleri avulla ekspoettimuotoo ja lasketaa:
t T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 ak e jk 6,,,,,.e j / +.e j/ e jk/ 6,,,,,.e j / e jk/ +.e j/ e jk/ 6,,,,,.e j/+k +.e j/ k 6,,,,,., ku k ±, ±6,..., muulloi b Esimmäise summattava jaksopituus o N ja toisella N 8. Tällöi perusjakso N 8 ja peruskulmataajuus /. aadaa siis... + a e j / + a e j / + a + ae j/ + ae j/ +... josta a, j a, a, a, ja muut ak, ku k,,,. j 7. Fourier-muuos, sic-fuktio. Kirja esimerkit. ja.. a Laske Fourier-muuos sigaalille xt F xt} Xj, t < T, t > T + xt e jt dt T e jt dt T T j e jt T e jt e j T j e jt e jt j sit, Ku eli halutaa s. DC-kompoetti, voidaa ylläoleva vielä muuttaa muotoo T sit Xj T joka läheee T:ä, ku, koska tiedetää, että six x si θ b Esitä a-kohdassa saatu F-muuos sic-fuktio avulla, sicθ θ sit si T T T sic T T T sic T, ku x. 8. F-muua seuraavat sigaalit ja impulssivaste käyttäe hyväksi taulukkoa aikasiirto, lieaarisuus, derivoiti ajassa ja aiempia tuloksia tehtävä 7., < t < a xt, muulloi Kyseessä o tehtävä 7 sigaali, jota o viivästetty yhdellä sekuilla ja kerrottu kahdella piirrä!. Lisäksi T. Taulukosta ähdää ajassa siirtämie: jos xt Xj, ii xt t e jt Xj. Xj e j Xj e j sic, < t <, < t < b xt, < t <, muulloi e j sic Tässä voidaa käyttää hyväksi lieaarisuutta eli ajatella sigaali xt muodostuva vaikkapa kolme osasigaali summaa. Esimmäie Xa o yhde korkea suorakaide välillä.., toie Xb kolme korkea välillä.. ja kolmas Xc kahde..8.6... xt, t < T ; xt, t > T ; T........ Xj T si T / T ; T. rad Kuva : uorakulmafuktio xt Fourier-muuos o sic-fuktio T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 T-6. KJ Esimerkkitehtäviä ivu / 7 korkea välillä... Käytetää edellee tehtävä 7 tulosta Xj ic T. Xj Xaj + Xbj + Xcj e j. sic. + e j. sic. + e j sic c ht e t ut Nyt ähdää, että kyseessä o ajassa siirto t ja taulukosta ähdää muuospari e at ut, jossa a. Näi impulssivasteesta ht saadaa taajuusvaste Hj a+j Hj e jt a + j e j + j d xt t, < t <, muulloi Aiemmi tehtävässä kolmioaalto oli jaksollie yt ei-jaksollie. Nytki käytetää hyväksi derivoitiomiaisuutta. Nähdää piirrä!, että dxt, < t < dt, < t < Nämä ovat kaksi suorakaidetta aikaistettu Xa ja viivästetty sekä egatoitu Xb : X j e j.. sic. e j.. sic. sic. j si. Taulukosta ähdää, että d xt jxj. Nyt siis dt dxt x t jxj dt X j. X j tuetaa, jote saadaa Xj j X j sic. j si. j sic. si. sic. DC-kompoetti saadaa lasketuksi: X, joka o kolmio xt pita-ala. 9. Kovoluutio-omiaisuus s. yt ht xt Y j HjXj Laske impulssivasteide ht e.t ut ja ht e t ut kovoluutio ht ht käyttämällä F-muuokse kovoluutio-omiaisuutta muuoste kertolasku, osamur- tokehitelmällä tulo summatermeiksi, kääteismuuos takaisi aikatasoo. Hj. + j Hj + j Hj Hj Hj. + j + j Halutaa Hj kahde esimmäise astee ratioaalipolyomi summaksi. Käytetää osamurtokehitelmää hajottamaa kertolasku summaksi. Kertaa osamurtokehitelmä partial fractio expasio matematiikasta tai Appedix A, jos ei ole tuttu! aadaa yhtälöryhmä A. + j + B A + Aj +.B + Bj + j. + j + j A +.B A + B Näistä saadaa A, B, jote taajuusvaste Hj ja se kääteismuuos taulukosta! impulssivaste ht ovat Hj. + j + j ht e.t ut e t ut Tätä omiaisuutta Y j HjXj käytetää rusaasti!. Kääteie F-muuos a Laske kääteie Fourier-muuos Xj, < W, > W Laske vastaavasti kui tehtävässä 7. Tulos: xt siwt t b Esitä a-kohdassa saatu sigaali sic-fuktio avulla, sicθ siθ θ Laske vastaavasti kui tehtävässä 7. Tulos: W sicwt c Duaaliomiaisuus tarkoittaa, että suorakulmafuktio muuttuu muuoksessa sicfuktioksi ja päivastoi. Tätä o selvitetty kirjassa sivulla 9- ja luetokalvoissa.. *Lisää lasketaa a Laske ht e t u t ja xt e t ut kovoluutio yt ht xt käyttämällä kovoluutio-omiaisuutta. Xj ja Hj. Jälkimmäie muuos seuraa, koska ht x t. +j j Kirjoitetaa Y j XjHj osamurtoia: