DEE- Lineaariset järjestelmät Harjoits 8, rataisehdotset Tämän harjoitsen ideana on opetella -mnnosen ättöä differenssihtälöiden rataisemisessa. Lisäsi ätetään -mnnosen ehäpä hödllisintä ominaistta, eli aiatason hanalahon onvoltiosmman orvatmista sinertaisella ertolaslla. Kse on siis implssivasteen hödntämisestä -tasossa. Tehtävä Tässä tehtävässä on taroits ättää hödsi tehtävän. -mnnosia ja rataista differenssihtälö -mnnosen avlla. Differenssihtälön -mntaminen taroittaa sitä, että htälön joainen termi -mnnetaan eriseen. Homaa, että mttjan edessä oleva vaioerroin säil vaioertoimena mös -mnnosen htedessä, sillä vaio voidaan ottaa smmalaseeesta los. Sisi esimerisi termin - mnnos on Z. Kn annett differenssihtälö -mnnetaan polittain, saadaan: / / / Z, = / / / Tehtävä on nt rataist -tasossa. Tehtävän rataisna tlee itenin lötää lasee :lle, joa on :n äänteismnnos. Vielä siis tarvitaan äänteismnnos taaisin aia-tasoon. Ongelma on siinä, että aiatason rataisa ei psttä näemään soraan llä olevasta :n laseeesta. Jotta saadaan selville, :n lasee on saatava sppenevan geometrisen sarjan smmaa mistttavaan motoon. Tällaiseen motoon päästään osamrtoehitelmän avlla. Tehdään sisi :lle osamrtoehitelmä. Kosa nimittäjä on jo valmiisi teijöissään, osamrtoehitelmäsi saadaan: / / / /. / / / / / / Nt päästiin motoon, jona nimittäjä on sama in termissä, jolle osamrtoehitelmä tehtiin. Kertoimet ja saadaan selville, n verrataan seisten termien osoittajia esenään. Toinen htälö saadaan osoittajien vaiotermien htäsrdesta, ja toinen htälö saadaan osoittajien :n ertoimien htäsrdesta:
/ / / 8/ 8 / /. Nt -tason ratais on saat pilotta osamrtoehitelmän avlla termeihin, jota mistttavat -mnnosen määritelmään liittvää sppenevan geometrisen sarjan smmaa. Täten äänteismnnosesi, eli aiatason rataissi, saadaan: 8, osa esimerisi Z. Mietitään vielä lopsi, miten tehtävässä annett alehto saadaan pääteltä soraan differenssihtälöstä. Lähtöohta tällä rssilla on se, että järjestelmän sisäänmenoljonossa voi olla nollasta poieavia arvoja vasta ei-negatiivisilla ajanhetillä. Ja tämän serasena mös aii lostloljonon aliot ovat nollia negatiivisilla ajanhetillä, sillä lostlo ajanhetellä oost vain sisäänmenosta samalla ajanhetellä seä lostlon aiemmista alioista. Kn järjestelmää vaavaan differenssihtälöön tehdään sijoits = -, saadaan. Tehtävä Modostetaan ensin tilannetta vaava differenssihtälö. Tehtävän asetteln persteella voidaan modostaa talo, jossa on listattna parien lmäärä mtaman ensimmäisen aden jäleen. Kasi arien lmäärä 8 6 Meritään parien lmäärää :na atena p :lla Tilannetta hallitseva differenssihtälö on siis p p p Havaitaan, että hallitseva htälö on homogeeninen, joten aiatasossa ratais lötisi helposti. Rataistaan htälö itenin Z-mnnosen avlla. Siirto-ominaistta hödntäen saadaan mnnostason htälösi p p p
Nt p = p =. Kertomalla polittain :lla, saadaan htälösi Täten mnnostason rataissi saadaan Missä nimittäjäpolnomin nollaohdat, Kirjoitetaan mnnostason ratais osamrtoehitelmänä: Lavennetaan oiealla polella samannimisesi ja verrataan osoittajia polittain esenään, jolloin saadaan Vaiot ja voidaan rataista modostamalla htälöpari vertaamalla :n potenssien ertoimia polittain, jolloin saadaan htälöparin rataissi saadaan Täten mnnostason ratais osamrtoihin hajotetssa modossa on Kosa ljonon a Z-mnnos on
a a a Z saadaan aiatason rataissi p Täten ahden voden jäleen =, parien lmäärä on 6 6 Tehtävä iatasossa ssteemiä vaava htälö on siis Otetaan htälöstä polittain Z-mnnos, jolloin siirto-ominaiss Toisaalta mnnostasonratais on tehtävän asetteln maisesti Vertaamalla mnnostason rataisja esenään, saadaan
Tehtävä Tehtävässä stään edellisen tehtävän lostlon arvoa, n disreetti mttja rajatta asvaa. Mnnostason rataissta ei välttämättä tarvitse ottaa äänteismnnosta, vaan voidaan hödntää ns. lopparvoteoreemaa, jona maisesti Täten stt raja-arvo on 6 Tehtävä Ssteemiä vaava differenssihtälöpari aiatasossa on siis Otetaan molemmista htälöistä polittain Z-mnnos, jolloin päädtään algebralliseen htälöpariin Sijoitetaan :n lasee lempään htälöön, jolloin 8 } { } {
6 Kirjoitetaan termit ai, jolloin päädtään htälöön 8 8 Rataistaan ja sijoitetaan annett alarvot ja jaetaan teijöihin, jolloin 8 8 8 8 Ottamalla äänteismnnos, saadaan