Lyhyt johtus joukko-oppiin j reltioihin Tommi Syrjänen 1 Johnto Tämän oppn trkoituksen on esittää lyhyt tiivistelmä joukko-opin j reltioien perusteist. Esitys seur pääpiirteissään kirjn Lewis, Ppimitriou: Elements of the Theory of Computtion, 1998 ensimmäistä luku. Teksti on trkoitettu lähinnä muistin virkistämiseksi, j kikki toistukset on sivuutettu. Joukot 1. Mtemttisesti joukko (set) on kokoelm lkioit (element). Esimerkiksi englnninkielisen kkoston voklien joukko V merkitään seurvsti: V = {, e, i, o, u, y}.. Mikäli lkio on joukon S jäsen, merkitään sitä S. Päinvstisess tpuksess merkitään / S. Esimerkiksi ylläolevlle joukolle V pätee: e V k / V. 3. Joukko A on joukon B osjoukko (suset), mikäli kikki A:n lkiot ovt myös joukoss B. Tästä käytetään merkintää A B. Esimerkiksi: {, } {,,, } {, } {,, }. Joukot A j B ovt smt, mikäli A B j B A: {, } {, } j {, } {, }, joten {, } = {, }. 1
Kuten ylläolevst esimerkistä huomtn, joukon lkioien järjestyksellä ei ole väliä, kuten ei myöskään sillä, että jokin lkio esiintyy joukoss mont kert: {,,,, } = {, }. 4. Mikäli A B, mutt B A, on joukko A joukon B ito osjoukko (proper suset), j siitä käytetään merkintää A B. 5. Joukko, joss ei ole yhtään lkiot kutsutn tyhjäksi joukoksi (empty set), j siitä käytetään merkintää. Kikille joukoille S pätee: S. 6. Joukon S kikkien osjoukkojen joukko kutsutn potenssijoukoksi (power set), j siitä käytetään merkintää S. Kirjllisuuess esiintyy myös merkintä P(S). Esimerkiksi: {1,} = {, {1}, {}, {1, }}. Joukon lkioin voi siis oll myös toisi joukkoj. Erityisesti knntt huomt, että { }. 7. Joukko S voin määritellä joko luettelemll kikki sen lkiot ti jonkin toisen joukon vull. Esimerkiksi prittomien luonnolisten lukujen joukko O voin määritellä seurvsti: O = {x x N j x ei ole jollinen luvull }. Vrsinkin merikklisess kirjllisuuess käytetään usein pystyviivn tilll kksoispistettä..1 Joukko-opertiot Tvllisimmt joukko-opilliset opertiot ovt: 1. unioni (union): {1,, 3} {1, 4} = {1,, 3, 4}
. leikkus (intersetion) {1,, 3} {1, 4} = {1} 3. erotus (ifferene) {1,, 3} {1, 4} = {, 3} Joukkojen A j B erotuksest käytetään myös merkintää A \ B. 3 Reltiot j funktiot 1. Joukkojen A j B krteesinen tulo (Crtesin prout) on joukko: A B = {(x, y) x A, y B}, missä kukin (x, y) on järjestetty pri (orere pir). Esimerkiksi {1,, 3} {1, 4} = {(1, 1), (1, 4), (, 1), (, 4), (3, 1), (3, 4)}. Kuten jo nimestä voi päätellä, järjestetyt prit (, ) j (, ) eivät ole sm pri. Smoin (, (, )) ((, ), ). 3. Joukkojen A j B välille muoostettu reltio (reltion) R on osjoukko krteesisest tulost A B: R A B. 4. Merkinnän (, ) R lisäksi käytetään usein merkintää R, etenkin tvllisten mtemttisten reltioien tpuksess. Esimerkiksi (, ) < merkitään tuttuun tpn <. 5. Reltio voi oll muoostettu myös usemmn kuin khen joukon suhteen, esim.: R A B C. Mikäli joukkoj on kksi, on kyseessä inäärireltio (inry reltion). 6. Binäärireltio joukolt itselleen voin esittää suunntun grfin. Esimerkiksi reltiot R {,,, } {,,, }: R = {(, ), (, ), (, ), (, ), (, )} 3
vst grfi: 7. Khen reltion R 1 A B j R B C kompositio (omposition) R 1 R A C määritellään seurvsti: R 1 R = {(, ) A, C, B : (, ) R 1 j (, ) R } Esimerkiksi reltioien: R 1 : R : kompositio R 1 R on: R 1 R : Komposition kri (, ) sn yhistämällä kret (, ) j (, ), kri (, ) krist (, ) j (, ), kri (, ) krist (, ) j (, ) sekä kri (, ) krist (, ) j (, ). 8. Reltion R A B käänteisreltio R 1 B A on reltio: R 1 = {(, ) (, ) R} Esimerkiksi: R 1 : R 1 : 9. Funktio (funtion) f on reltio f A B, joss jokist lähtövruuen (omin) A lkiot kohen löytyy täsmälleen yksi kuv-vruuen (imge) lkio siten, että (, ) f. Yleensä käytetään merkintöjä f : A B j f() =. 4
Trkstelln kht reltiot R 1 j R : 3 R 1 : 0 1 3 R : 0 1 Reltio R 1 on itsesiss funktio f : Z 4 Z 4, f(x) = x + 1 mo 4. Sitävstoin R ei ole funktio, sillä lkioll 0 on kksi kuv j lkioll 3 ei ole yhtään. 10. Funktio f : A B on injektiivinen (one-to-one), mikäli kikille erillisille lkiolle, A pätee f() f( ). Vstvsti f on surjektiivinen (onto), mikäli kikille B on olemss A siten, että f() =. Funktiot, jok on sekä injektiivinen että surjektiivinen, kutsutn ijektioksi (ijetion). f i : f s : f : Näistä funktioist f i on injektiivinen, f s surjektiivinen j f ijektio. 3.1 Reltioien luokittelu 11. Binäärireltiot voin luokitell niien ominisuuksien mukn. Tärkeimmät ominisuuet ovt: refleksiivisyys, symmetrisyys, trnsitiivisuus j srjllisuus. 1. Binäärireltio R A A on refleksiivinen (reflexive), mikäli A : (, ) R. Refleksiivinen reltion grfiesityksessä on kri jokisest solmust tkisin itseensä. Vstvsti reltio on ntirefleksiivinen, mikäli A : (, ) / R. Trkstelln seurvi kolme reltiot: R 1 : R : R 3 : 5
Näistä R 1 on refleksiivinen j R 3 on ntirefleksiivinen, sillä siinä ei ole yhtään refleksiivistä krt. Sitävstoin R ei ole kumpkn. 13. Binäärireltio R A A on symmetrinen (symmetri), mikäli, A : (, ) R (, ) R. Symmetristä reltiot kuvvss grfiss on jokisell krell pluukri. Trkstelln ts kolme reltiot: R 1 : R : R 3 : Tässä R 1 on symmetrinen, R 3 ntisymmetrinen j R ei ole kumpkn. 14. Binäärireltio R A A on trnsitiivinen (trnsitive), mikäli,, A : (, ) R (, ) R (, ) R Mikäli trnsitiivisen reltion grfiss on jokin polku solmust solmuun, täytyy siinä oll myös suor kri (, ). Allolevist reltioist R 1 on trnsitiivinen, mutt R ei ole, sillä kri (, ) puuttuu. R 1 : R : 15. Binäärireltio R A A on srjllinen (seril), mikäli A, A : (, ) R. Srjllisen reltion grfin kikist solmuist lähtee vähintään yksi kri. 16. Binäärireltio R A A on ekvivlenssireltio (equivlene reltion), mikäli se on sekä refleksiivinen, trnsitiivinen että symmetrinen. Ekvivlenssireltio jk joukon A ekvivlenssiluokkiin (equivlene lss). Allolev ekvivlenssireltio jk joukon {,,,, e, f, g} kolmeen ekvivlens- 6
siluokkn: f e g Luokt ovt {,,, }, {e, f} j {g}. 17. Binäärireltio R A A on osittisjärjestys (prtil orer), mikäli se on refleksiivinen, trnsitiivinen j kikille erillisille lkioille, A joko (, ) / R ti (, ) / R. Alkio on osittisjärjestyksen R minimi (minimum), mikäli A : ( = ) (, ) / R. Vstvsti mksimi (mximum) on lkio, jolle pätee: A : ( = ) (, ) / R. Esimerkiksi mielivltisen joukon S potenssijoukko S muoost osittisjärjestyksen -reltion yli. All on esitetty tämä joukolle S = {,, }: 1 {,, } {, } {, } {, } {} {} {} Järjestyksen ino minimi on j mksimi {,, }. 18. Mikäli osittisjärjestyksessä R kikille preille, A joko (, ) R ti (, ) R, on kyseessä täysjärjestys (totl orer). Esimerkiksi tvlliseen tpn määritelty reltio N N on täysjärjestys. 1 Kuvst on jätetty selvyyen vuoksi pois refleksiiviset j trnsitiiviset kret. Esimerkiksi reltioon kuuluu myös kri ({}, {,, }), sillä {} {, } {,, }. 7
3. Esimerkkejä reltiotyypeistä 19. Seurviss esimerkeissä käytetään trksteltvn joukkon kikkien ihmisten joukko P. 0. Määritellään reltio R 1 P P : R 1 = {(, ) :ll j :llä on smt vnhemmt } R 1 on refleksiivinen, symmetrinen (jos :ll on smt vnhemmt kuin :llä, niin myös :llä on smt vnhemmt kuin :ll) j trnsitiivinen (jos on :n veli j on :n sisko, niin on :n veli), joten se on myös ekvivlenssireltio. Yhen priskunnn lpset muoostvt in yhen ekvivlenssiluokn. 1. Määritellään R P P : R = {(, ) on :n äiti} R on ntirefleksiivinen (kukn ei ole itsensä äiti), ntisymmetrinen (kukn ei ole äitinsä äiti) j srjllinen (kikill on äiti). Kosk kikill henkilöillä on täsmälleen yksi äiti, reltio voin tulkit myös funktion f() = :n äiti. Funktio ei kuitenkn ole injektiivinen, sillä nisell voi oll useit lpsi, eikä surjektiivinen, sillä kikki ihmiset eivät ole äitejä.. Määritellään R 3 P P : R 3 = {(, ) on :n esi-isä } R 3 on ntirefleksiivinen, ntisymmetrinen, srjllinen j trnsitiivinen (jos on :n esi-isä j on :n esi-isä, niin on myös :n esi-isä). 3. Siirrytään trkstelemn luonnollisten lukujen joukko N = {0, 1,,... }. 4. Reltio N {0} N {0}: = {(, ) on jollinen :ll } on refleksiivinen j trnsitiivinen. Lisäksi tilnne j on mhollinen vin, jos =. Näin ollen on osittisjärjestys. Järjestyksellä on yksikäsitteinen minimilkio 1. 8
Esimerkiksi lukujoukon {1,, 3, 5, 6, 10, 15, 30} jollisuusreltio on : 30 6 10 15 3 5 1 5. Viimeisenä esimerkkinä trkstelln reltiot N N: = {(, ) on pienempi ti yhtäsuuri kuin } Kuten, myös on osittisjärjestys. Lisäksi kikill preill, N pätee ti, joten kyseessä on täysjärjestys. 0 1 3 4 4 Sulkeumt 1. Olkoon R D D inäärireltio j joukko B D. Tällöin B on suljettu (lose uner) reltion R suhteen, mikäli B, D : (, ) R B. Toisin snoen, grfiesityksessä yhestäkään joukkoon B kuuluvst solmust ei s lähteä krt solmuun, jok ei kuulu siihen. Trkstelln esimerkiksi ll olev reltiot R, missä D = {,,, }, A = {, } j B = {, }: Myös tästä kuvst puuttuvt refleksiiviset j trnsitiiviset kret. 9
Joukko B on suljettu R:n suhteen, sillä solmuist j ei joh yhtään krt solmuihin j. Sitävstoin A ei ole suljettu, sillä esimerkiksi (, ) R, mutt / A.. Joukko voi oll suljettu myös jonkin funktion suhteen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukko N on suljettu yhteenlskun suhteen, sillä + N in kun N j N. Se ei kuitenkn ole suljettu vähennyslskun suhteen, sillä esimerkiksi 1 3 = / N. 3. Reltion R A A trnsitiivinen sulkeum (trnsitive losure) R + on pienin trnsitiivinen reltio, johon sisältyvät kikki R:n prit. 4. Esimerkiksi ll on reltio R j sen trnsitiivinen sulkeum R + : R : R + : 5. Trnsitiivinen sulkeum voin muoost seurvnlisell lgoritmill: R + := R while i, j, k A : ( i, j ), ( j, k ) R + ( i, k ) / R + o R + := R + {( i, k )} en while Algoritmiss lähetään liikkeelle lkuperäisestä reltiost R j etsitään siitä khen skeleen mittisi polkuj, jotk rikkovt trnsitiivisuusehon. 6. Esimerkki. Muoostetn yllä esitetyn reltion R trnsitiivinen sulkeum: R : 10
Reltioss on kret (, ) j (, ), joten kri (, ) täytyy lisätä siihen: R + 1 : Tämän lisäyksen jälkeen R + :ssä on kret (, ) j (, ), joten myös (, ) täytyy lisätä: R + : Kosk solmut, j muoostvt silmukn, täytyy niien välillä oll kret kumpnkin suuntn. R + 3 : Lopuksi täytyy vielä lisätä refleksiiviset kret silmukss mukn oleville solmuille: R + 3 : 7. Trnsitiivisen sulkeumn lisäksi voin määritellä smll tvoin myös symmetrinen j refleksiivinen sulkeum. 8. Käytännön knnlt tärkein on grfin R refleksiivinen j trnsitiivinen sulkeum, sillä se sisältää kikki R:n polut. R = {(, ) grfiss R on polku solmust solmuun } 11
5 Äärelliset j äärettömät joukot 1. Joukon S mhtvuus (rinlity) S on sen sisältämien lkioien määrä. Joukot A j B ovt yhtä mhtvi (equinumerous), mikäli niien välille voin muoost ijektio f : A B.. Joukko S on äärellinen (finite), mikäli se on yhtä mhtv joukon {1,..., n} knss jollkin n N. Joukko, jok ei ole äärellinen, on ääretön (infinite). 3. Joukko S on numeroituv (ountle), mikäli se on äärellinen ti yhtä mhtv luonnollisten lukujen joukon N knss, muuss tpuksess se on ylinumeroituv (unountle). 4. Esimerkiksi prittomien luonnollisten lukujen joukko O = {1, 3, 5,... } on numeroituv. Tässä tpuksess ijektio f : N O voin määritellä seurvsti: f(n) = n + 1. 5. Numeroituvi joukkoj ovt myös kokonislukujen Z j rtionlilukujen Q joukot. Lisäksi khen numeroituvn joukon krteesinen tulo on in numeroituv. 6. Relilukujen R j kompleksilukujen C joukot sekä luonnollisten lukujen joukon N potenssijoukko N ovt ylinumeroituvi. 6 Toistuksist 1. Hlutn toist, että jokin väite P (n) pätee kikille luonnollisille luvuille, esimerkiksi, että kikill n 0. n i=1 i = n + n. Mtemttisen inuktion (inution) perusjtuksen on toist väite khess osss: 1
1. Toistetn, että väite pätee tpuksess P (0). (perustpus, si se);. Toistetn, että kikill n, P (n) P (n+1). (inuktio-skel, inution step). Näien osien yhistämisestä seur se, että väite pätee kikill n N: Perustpuksest seur, että P (0) on tosi. Siitä voin inuktio-skeleen vull näyttää, että P (1) on tosi, jost puolestn seur, että P () on tosi, jne. Inuktio-skel toistetn yleensä inuktio-oletuksen (inution hypothesis) vull. 3. Toistetn ylläolev väite inuktioll. Perustpus. Kun n = 0, n i=1 i = 0 = 0 +0, joten väite pitää pikkns. Inuktio-oletus. Oletetn, että on olemss jokin k N siten, että väittämä pitää pikkns kikill n k. Inuktio-skel. Trkstelln tpust n = k + 1. Tällöin summ on k+1 i = 1 + + + k + (k + 1). i=1 Inuktio-oletuksen perusteell k i=1 i = k +k, joten yhtälö sievenee muotoon: k+1 i = k + k i=1 + (k + 1) = k + k + k + = (k + k + 1) + (k + 1) = (k + 1) + (k + 1). 4. Toinen tietojenkäsittelyteoriss hyöyllinen toistusmenetelmä on niin kutsuttu kyyhkyslkkperite (pigeonhole priniple). Formlisti perite määritellään seurvsti: Mikäli A j B ovt äärellisiä joukkoj j A > B, ei ole olemss injektiivistä funktiot f : A B. Nimi kyyhkyslkkperite tulee teoreem hvinnollistvst esimerkistä: 13
Mikäli n + 1 kyyhkystä vrten on n pesää, täytyy inkin yhteen pesään mennä vähintään kyyhkystä. Tässä teoreemn minitsem injektiivinen funktio olisi tp jk kikki kyyhkyset pesiin siten, että kuhunkin pesään tulisi korkeintn yksi kyyhkynen. 14