Relaation ominaisuuksia. Ominaisuuksia koskevia lauseita Sulkeumat. Joukossa X määritelty relaatio R on. (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
|
|
- Leena Hiltunen
- 9 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X,
2 Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x = y,
3 Relaation Joukossa X määritelty relaatio R on (r) refleksiivinen, jos xrx kaikilla x X, (ir) irrefleksiivinen, jos x Rx kaikilla x X, (s) symmetrinen, jos xry yrx, (as) antisymmetrinen, jos xry yrx x = y, (t) transitiivinen, jos xry yrz xrz, (v) vertailullinen, jos xry yrx kaikilla x, y X.
4 Kysymyksiä: (1) Onko relaatio aina joko refleksiivinen tai irrefleksiivinen? (2) Onko relaatio T = {(1, 2)} on transitiivinen? (3) Jos relaatio on symmetrinen ja transitiivinen, niin onko se myös refleksiivinen? Ei välttämättä, jollei relaatio ole myös vertailullinen.
5 Kysymyksiä: (1) Onko relaatio aina joko refleksiivinen tai irrefleksiivinen? (2) Onko relaatio T = {(1, 2)} on transitiivinen? (3) Jos relaatio on symmetrinen ja transitiivinen, niin onko se myös refleksiivinen? Ei välttämättä, jollei relaatio ole myös vertailullinen. (4) Millainen relaatio on tyhjä relaatio (siis kun R =, mitä R:llä on)? (5) Millainen relaatio (joukossa X ) on täysi relaatio X X?
6 Ekvivalenssirelaatio eli ekvivalenssi Relaatio on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen.
7 Ekvivalenssirelaatio eli ekvivalenssi Relaatio on ekvivalenssi, jos se on refleksiivinen, symmetrinen ja transitiivinen. Esimerkki. Missä tahansa perusjoukossa X määritelty identiteettirelaatio I X on ekvivalenssi: x = x aina, kun x X jos x = y, niin y = x jos x = y ja y = z, niin x = z
8 Järjestysrelaatio eli järjestys Relaation Relaatio on järjestys, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen, transitiivinen ja vertailullinen.
9 Järjestysrelaatio eli järjestys Relaation Relaatio on järjestys, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen, transitiivinen ja vertailullinen. Esimerkki. Lukujoukkojen N, Z, Q ja R tavalliset järjestykset ovat järjestysrelaatioita: x x aina, kun x X jos x y ja y x, niin y = x jos x y ja y z, niin x z x y tai y x aina, kun x, y X
10 Järjestysrelaatio eli järjestys Relaation Relaatio on järjestys, jos se on refleksiivinen, antisymmetrinen, transitiivinen ja vertailullinen. Esimerkki. Lukujoukkojen N, Z, Q ja R tavalliset järjestykset ovat järjestysrelaatioita: x x aina, kun x X jos x y ja y x, niin y = x jos x y ja y z, niin x z x y tai y x aina, kun x, y X Huom: Myös on järjestys, jos on järjestys.
11 Tiukka ( aito ) järjestys Muuten kuin järjestys, mutta on irrefleksiivinen. Esimerkiksi < luonnollisten lukujen joukossa. Määritelmän mukaan siis aito järjestys ei ole järjestys!
12 Tiukka ( aito ) järjestys Muuten kuin järjestys, mutta on irrefleksiivinen. Esimerkiksi < luonnollisten lukujen joukossa. Määritelmän mukaan siis aito järjestys ei ole järjestys! Osittainen järjestys eli osittainjärjestys Muuten kuin järjestys, mutta ei välttämättä vertailullinen.
13 Tiukka ( aito ) järjestys Muuten kuin järjestys, mutta on irrefleksiivinen. Esimerkiksi < luonnollisten lukujen joukossa. Määritelmän mukaan siis aito järjestys ei ole järjestys! Osittainen järjestys eli osittainjärjestys Muuten kuin järjestys, mutta ei välttämättä vertailullinen. Lineaarinen järjestys Varsinkin yhteyksissä, joissa esiintyy osittaisia järjestyksiä, kutsutaan tavallista järjestystä lineaariseksi (tai täydelliseksi).
14 Esimerkki. Joukossa Z + määritelty relaatio xry x y (lue: x jakaa y:n) on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen.
15 Esimerkki. Joukossa Z + määritelty relaatio xry x y (lue: x jakaa y:n) on refleksiivinen, antisymmetrinen ja transitiivinen. Sen sijaan ei ole irrefleksiivinen, ei symmetrinen eikä vertailullinen. Relaatio on siis osittainjärjestys.
16 Esimerkki. Perusjoukon X potenssijoukossa P(X ) määritelty osajoukkorelaatio on osittainjärjestys. Vain triviaaleissa tapauksissa se on kuitenkin lineaarinen järjestys. Taululla.
17 Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =,
18 Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =, (3) symmetrinen, jos ja vain jos R 1 = R, (4) antisymmetrinen, jos ja vain jos R R 1 I X,
19 Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =, (3) symmetrinen, jos ja vain jos R 1 = R, (4) antisymmetrinen, jos ja vain jos R R 1 I X, (5) transitiivinen, jos ja vain jos R R R, (6) vertailullinen, jos ja vain jos R R 1 = X X.
20 Lause 5. Joukossa X määritelty relaatio R on (1) refleksiivinen, jos ja vain jos I X R, (2) irrefleksiivinen, jos ja vain jos R I X =, (3) symmetrinen, jos ja vain jos R 1 = R, (4) antisymmetrinen, jos ja vain jos R R 1 I X, (5) transitiivinen, jos ja vain jos R R R, (6) vertailullinen, jos ja vain jos R R 1 = X X. Todistus (valikoituja kohtia) Taululla.
21 Lause 6. Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. Tällöin (1) R I X on refleksiivinen, (2) R R 1 on symmetrinen, (3) k=1 Rk on transitiivinen.
22 Lause 6. Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. Tällöin (1) R I X on refleksiivinen, (2) R R 1 on symmetrinen, (3) k=1 Rk on transitiivinen. Todistus Taululla.
23 Jos relaatiolla R ei ole haluttua ominaisuutta, voimme joissakin tapauksissa täydentää (uusia alkioita lisäämällä) siitä relaation R, jolla on tämä ominaisuus. Voimme aina täydentää R:n refleksiiviseksi, symmetriseksi, transitiiviseksi tai vertailulliseksi.
24 Jos relaatiolla R ei ole haluttua ominaisuutta, voimme joissakin tapauksissa täydentää (uusia alkioita lisäämällä) siitä relaation R, jolla on tämä ominaisuus. Voimme aina täydentää R:n refleksiiviseksi, symmetriseksi, transitiiviseksi tai vertailulliseksi. Sen sijaan emme saa relaatiosta irrefleksiivistä tai antisymmetristä täydentämällä, vaan päinvastoin poistamalla alkioita.
25 Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen),
26 Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen), (2) R R,
27 Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen), (2) R R, (3) R S aina, kun S on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) ja R S,
28 Olkoon R relaatio joukossa X. Jos R on sellainen relaatio joukossa X, että (1) R on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen), (2) R R, (3) R S aina, kun S on refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) ja R S, niin relaatio R on relaation R refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma. Käytämme refleksiiviselle sulkeumalle merkintää r(r), symmetriselle s(r) ja transitiiviselle t(r).
29 Refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma on yksikäsitteinen. Relaation R refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) sulkeuma R on pienin sellainen refleksiivinen (symmetrinen, transitiivinen) relaatio, johon R sisältyy (ts. R R ). Ehto (3) määrittelee, mitä pienimmällä tässä yhteydessä tarkoitetaan. (Huomaa, että on osittainjärjestys.)
30 R on refleksiivinen, joss r(r) = R. R on symmetrinen, joss s(r) = R. R transitiivinen, joss t(r) = R.
31 Olkoon R joukossa X määritelty relaatio. Seuraava lause, osoittavaa, että r(r), s(r) ja t(r) ovat aina olemassa. Lause 7. (a) r(r) = R I X. (b) s(r) = R R 1. (c) t(r) = R k. k=1
32 Jos X on äärellinen, niin transitiivisen sulkeuman muodostamiseksi riittää tutkia äärellistä määrää R:n potensseja. Lause 8. Jos R on relaatio n-alkioisessa joukossa, niin t(r) = n k=1 Rk.
Jarkko Peltomäki. Järjestetyt joukot ja hilat
Jarkko Peltomäki Järjestetyt joukot ja hilat Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Turun yliopisto Syyskuu 2010 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Järjestetty joukko 3 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia...............
LisätiedotA-B, kun A < B 1 / 20
A-B, kun A < B 1 / 20 Ylivuoto Luvunk p esittäminen vaatiip+1merkkiä, joista 1. merkki on1ja loputpmerkkiä0:ia. Tapauksessa, missäajab ovat positiivisia,a > B, on lukua B:kin positiivinen, joten A B +k
Lisätiedot2. Polynomien jakamisesta tekijöihin
Imaginaariluvut mielikuvitustako Koska yhtälön x 2 x 1=0 diskriminantti on negatiivinen, ei yhtälöllä ole reaalilukuratkaisua Tästä taas seuraa, että yhtälöä vastaava paraabeli y=x 2 x 1 ei leikkaa y-akselia
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011 Maarit Järvenpää 1 Todistamisesta Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta 1/7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, lukumäärän laskeminen, funktiokäsite Hakemisto
Todennäköisyyslaskenta /7 Sisältö ESITIEDOT: joukko-oppi, n laskeminen, käsite Hakemisto Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet Todennäköisyyslaskennassa tarkastelun kohteena ovat satunnaisilmiöt.esimerkkejä
LisätiedotDISKREETTI MATEMATIIKKA
DISKREETTI MATEMATIIKKA 1 2 DISKREETTI MATEMATIIKKA Sisällysluettelo 1. Relaatio ja funktio 3 1.1. Karteesinen tulo 3 1.2. Relaatio ja funktio 3 2. Kombinatoriikkaa 8 2.1. Tulo- ja summaperiaate 9 2.2.
LisätiedotKarttojen värittäminen
Karttojen värittäminen Neliväriongelman värityskombinaatioiden lukumäärän etsiminen graafien avulla Eero Räty & Samuli Thomasson Valkeakosken Tietotien lukio / Päivölän Kansanopisto Tieteenala: Matematiikka
LisätiedotKaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä
Kaikki mitä olet aina halunnut tietää pumppauslemmoista, mutta mitä et ole kehdannut kysyä Tommi Syrjänen 1 Yleistä pumppauslemmoista Pumppauslemmalla voidaan todistaa, että kieli ei kuulu johonkin kieliluokkaan.
LisätiedotLaskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti?
Laskennanteoria: Mitä voimmelaskea tietokoneella ja kuinkatehokkaasti? Wilhelmiina Hämäläinen Johdatus tietojenkäsittelytieteeseen 1.-2.12. 2003 Tietojenkäsittelytieteen laitos Joensuun yliopisto 1 Johdanto
LisätiedotJHS 109 Huoneiston tunniste
JUHTA - Julkisen hallinnon tietohallinnon neuvottelukunta JHS 109 Huoneiston tunniste Versio: Julkaistu: Voimassaoloaika: Toistaiseksi Sisällys 1 Soveltamisala... 1 2 Huoneiston tunnisteen antaminen...
LisätiedotY100 kurssimateriaali
Y kurssimateriaali Syksy Jokke Häsä ja Jaakko Kortesharju Sisältö Johdanto 4 Reaaliarvoiset funktiot 5. Funktio.................................... 5. Yhdistetty funktio.............................. 7.3
Lisätiedot1.1 Yhtälön sieventäminen
1.1 Yhtälön sieventäminen Lausekkeeksi voidaan kutsua jokaista merkittyä laskutoimitusta. Sellaisia matema-tiikan tehtäviä on vähän, joita suorittaessaan ei joutuisi sieventämään lausekkeita, millä tarkoitetaan
Lisätiedot(Monisteen Esimerkki 2.6.8) Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään
Monisteen Esimerkki 2.6.8 Olkoon R polynomifunktioiden rengas R[x]. Kiinnitetään c R. Merkitään I c = {px R pc = 0}. Osoitetaan, että I c on renkaan R ihanne. Ratkaisu: Vakiofunktio 0 R I c joten I c.
Lisätiedot4.1 Kaksi pistettä määrää suoran
4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,
LisätiedotTIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho. 31. maaliskuuta 2011
TIEA241 Automaatit ja kieliopit, kevät 2011 (IV) Antti-Juhani Kaijanaho TIETOTEKNIIKAN LAITOS 31. maaliskuuta 2011 Sisällys Sisällys Chomskyn hierarkia kieli säännöllinen kontekstiton kontekstinen rekursiivisesti
LisätiedotHallitus osakeyhtiössä
Hallitus osakeyhtiössä Jokaisella osakeyhtiöllä on Osakeyhtiölain (OYL) mukaan oltava hallitus, johon kuuluu yhdestä viiteen varsinaista jäsentä, ellei yhtiön omassa yhtiöjärjestyksessä määrätä toisin.
LisätiedotLukiotason matematiikan tietosanakirja
niinkuin matematiikka Simo K. Kivelä Lukiotason matematiikan tietosanakirja Versio 1.12 / 10.08.2000 Simo K. Kivelä Riikka Nurmiainen TKK 1998 2005 Taustat 1/1 Lukiotason matematiikan tietosanakirja M
Lisätiedot1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa
1. Muutamia erityisongelmia murtolukujen käsitteen oppimisessa (Lähde: Lamon, S. 1999. Teaching fractions and ratios for understanding. New Jersey: Lawrence Erlbaum Publishers.) Murtolukujen alueelle siirryttäessä
LisätiedotTiedon tuonti. Sisältö
Tiedon tuonti Sisältö Yleistä... 2 Vaihe 1 Tietojen valmistelu... 2 Vaihe 2 Testaaminen... 4 Vaihe 3 Oikeellisuuden tarkistus... 5 Vaihe 4 Kenttien liittäminen... 7 Vaihe 5 Luontitapa... 10 1 Tiedon tuonti
LisätiedotKreikkalainen historioitsija Herodotos kertoo, että Niilin tulvien hävittämät peltojen rajat loivat maanmittareiden
MAB2: Geometrian lähtökohdat 2 Aluksi Aloitetaan lyhyellä katsauksella geometrian historiaan. Jatketaan sen jälkeen kuvailemalla geometrian atomeja, jotka ovat piste ja kulma. Johdetaan näistä lähtien
Lisätiedot1.Kuvauksen lähtöaineisto
1.Kuvauksen lähtöaineisto 1 Tieteen tehtävänä on uuden tiedon hankkiminen. Käyttäytymistieteet tutkivat elollisten olioiden käyttäytymistä voidakseen ymmärtää sitä tai ainakin löytääkseen siitä säännönmukaisuuksia;
LisätiedotPELIOHJEET (suomeksi) Koira. Peli on kaksivaiheinen: Vaihe 1:
PELIOHJEET (suomeksi) Koira Peli on kaksivaiheinen: Vaihe 1: Jokaiselle osanottajalle/pelaajalle jaetaan kolme (3) korttia. Loput kortit asetetaan pelipöydälle pinoon, pakaksi. Huomattavaa on, että pakan
LisätiedotMarkkinoiden toimivuudesta 1
Kansantaloudellinen aikakauskirja 97. vsk. 1/2001 Markkinoiden toimivuudesta 1 KATSAUKSIA JA KESKUSTELUA Klaus Kultti Professori Helsingin kauppakorkeakoulu 1 Virkaanastujaisesitelmä Helsingin yliopistossa
Lisätiedot1.1 Tavallinen binäärihakupuu
TIE-20100 Tietorakenteet ja algoritmit 1 1 Puurakenteet http://imgur.com/l77fy5x Tässä luvussa käsitellään erilaisia yleisiä puurakenteita. ensin käsitellään tavallinen binäärihakupuu sitten tutustutaan
LisätiedotD I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I. origo x
D I G I T A A L I N E N K U VA N K Ä S I T T E L Y, O S A I I origo f ( x, y ) x y 4 1 Segmentointi...43 1.1 Epäjatkuvuuskohtiin perustuva segmentointi... 43 1.1.1 Pisteentunnistus (point etection)...
LisätiedotLuento 5: Peliteoriaa
Luento 5: Peliteoriaa Tässä kappaleessa tutustutaan lyhyesti peliteoriaan. Peliteorian ratkaisukäsite on Nashin tasapaino, jonka jo Augustin Cournot esitti duopolimallinsa ratkaisuna v. 1838. Cournot n
LisätiedotPohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 1995 2015
Pohjoismaisten matematiikkakilpailujen tehtävät ja ratkaisut 995 05 Tehtävät 9. Pohjoismainen matematiikkakilpailu, 5.3.995 995.. Olkoon AB O-keskisen ympyrän halkaisija. Valitaan ympyrän kehältä pistec
LisätiedotLauselogiikka Tautologia
Lauselogiikka Tautologia Hannu Lehto Tautologia Annetuista lauseista loogisilla konnektiiveillä saatu yhdistetty lause on on tautologia(pätevä), jos se on aina tosi siis riippumatta annettujen lauseiden
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotKysymys 1. Mistä tiedän verkkokaupasta ostaessani, toimiiko paketinohjauspalvelu juuri kyseisen
Usein kysyttyjä kysymyksiä ohjauspalvelusta 26.3.2015 Kysymys 1. Mistä tiedän verkkokaupasta ostaessani, toimiiko paketinohjauspalvelu juuri kyseisen verkkokaupan lähetysten kohdalla? Miten ranskalaisen
Lisätiedot