.. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi eli pelkkä päättely. Tämä mhdollist smoje tuloste soveltmise moess eri tilteess ii, että sm, jo kertllee hoideltu ivotyötä ei trvitse toist. Yksi esimerkki tästä o peräkkäiste kokoislukuje summ. Lsket sd esimmäise luoollise luvu summ eli lsket summ + + + + 00 00 i i. Tämä yälsku sitkeä lskij ehkä jks vielä hoit käsipelillä, mutt jos sitte pitäisi lske yhtee luvut 000 j sitte vikkp luvut 50, 49, 50, ii lkisi homm kyllästyttää pittyeitäki äpertelijää. Jos löydetää joki säätö eli kv, jok t summ kätevästi vi sijoittmll summ esimmäie j viimeie termi ti esimmäie termi j yhteelskettvie lukumäärä kv, ii si helpottuu oleisesti. Juuri siitä o kysymys tässä luvuss Mllitmie lukujooje vull... Lukujoo Lukujoo void määritellä kolmell eri tvll. Void ilmoitt joo esimmäie jäse eli esimmäie luku sekä säätö, jok vull joo muut termit lsket kokoisluvu fuktio. Toie mhdollisuus o loitt ilmoittmll esimmäie termi j sitte säätö, jok vull muut termit sd yhde ti usemm edellise termi vull. Kolms vihtoehto o luetell ii mot joo esimmäistä termiä, että joo yleie jäse tulee ilmeiseksi. Trkstell si esimerkkie vloss. Nimitys Lukujoo ti se määritelmää sot rekursiiviseksi, jos joo jäse määritellää sitä edeltävä ti edeltävie jäsete vull. Huom, että äskeisessä lukujoo mhdolliste määritelmie luetteloss järjestyksessä toise olev o oikest yhtälöpri. Voitisii siis esimerkiksi kirjoitt. f ( ) Tässä merkitä soo vi, että joo esimmäie jäse et. Merkitä f ( ) puolest soo, että joo :s lkio o : fuktio eli että lsket :stä. Huom, että yleesä lukujoo jäsete umeroiti eli ideksoiti lk ideksi rvost, mutt ei i. Äskeisessä merkiässä ideksiä käytettii :ää. Sillä, mistä f ( ) ideksoiti lk, ei lopultk ole väliä. Tärkeää o tietää, mistä se milloiki lk. Huom! Jos mitää muut ei sot eikä mistää ole mitää muut pääteltävissä, ii ideksoiti lk ykkösestä. (5)
.. Lukujoo Vlit joo esimmäiseksi jäseeksi luku. Vlit joo sääöksi ykköse lisäämie. Tällöi sd lukujoo, jok esimmäiset jäseet ovt,,, 4, eli luoolliset luvut, sillä esimerkiksi vikkp sd lisäämällä edeltävää jäseee eli kkkosee yksi. Huom lukujoo jäsete jälkee olevt kolme pistettä:. Tällä tvll void merkitä päättymätötä lukujoo. Voit jtell, että ämä kolme pistettä luet j ii edellee. Toisi soe, iitte vull sot, että o lueteltu vi lukujoo lust muutm jäse j että lukujoo jtkuu sm kv muk loputtomsti. Vstv päättyvä lukujoo merkitä o,,,, 00. Tässä siis päättyvä lukujoo käsittää luvut ykkösestä st. Yleisesti lukujoo o fuktio, joss luoollist luku vst joo jäse. Merkitää käytetää siis merkiä f() sijst! Yleesä voi oll mikä ths positiivie luoollie luku, mutt se void myös rjoitt lkm josti ykköstä isommst miimirvost. Alkurvo o luoollisesti i miittv. Mikää ei toislt estä loittmst umeroiti ollst, jos ii hlut. Lukujoo o myös vi eräs keio umeroid joki vlittu lukujoukko. Määritellää prilliset, luoolliset luvut käsittävä lukujoo eri meetelmillä. Käytetää esi joo esimmäiste lukuje luettelo:, 4, 6, 8, Tämä merkitä trkoitt siis prilliste luoolliste lukuje joo, missä oll ei ole otettu muk. Usei oll ei pidetä luoollise luku. Huom, että uo kolme pistettä ovt rtkisev tärkeät! Jos e jättää pois, lukujoo päättyy esimerkkimme tpuksess khdeksikkoo. Etsitää seurvksi lskukv, jok vull joo jäse void lske, ku luoollie luku o ettu. Kosk jokie prillie luku o jollie khdell, jokise luoollise luvu perusteell löydetää prillie kertomll tämä luoollie luku khdell. Jos siis o luoollie luku, ii o prillie luoollie luku. Oko muit prillisi luoollisi lukuj pitsi ämä luvut? Aloitet vstukse etsimie vlitsemll prillie luoollie luku k. Kosk k o prillie, o olemss sellie positiivie kokoisluku m, että k m. Kosk tässä esiityvä luku m o vi toie imi iemmlle luvulle, ii k o jo joukoss { o luoollie luku j vähitää yksi}. Tästä päätellää, että muit prillisi luoollisi lukuj ei ole. Lukujoo,,,,... luettelee siis kikki prilliset luoolliset luvut. Huom rmeiss olev merkitä! (5)
.. Lukujoo Nimitys Tällist merkitää, missä joo jokie jäse ilmoitet fuktio eli lskukv, jok riippuu vi :stä eli jäsee järjestysluvust se sij, että se ilmoitettisii edellise jäsee sijst, sot lyyttiseksi sääöksi. Sovellet esimerki päätteeksi joo luvu määrittelemistä joo edellise luvu perusteell. Esi o määriteltävä lähtökoht eli joo esimmäie jäse. Tehdää se äi: Olkoo. Määritellää sitte joo yleie jäse lusekkeell +, missä,, 4, Prilliste lukuje muodostm joo void siis määritellä myös seurvll tvll: j +, missä,, 4, Huom, että yt lk kkkosest. Tämä siksi, että : rvo vstv luku märiteltii eriksee. Ytimekäs tp määritellä lukujoo o kirjoitt, missä Ν,. Tämä kurssi trpeisii tämä stt oll turh muodollie tp. Päätä siä, mitä merkitää hlut käyttää! Esimerkki Määritä lukujoo 50. jäse, ku Ν j ku ) b) ( ) 5 Rtkisu 50 50 ) 50 5. Vstus: Joo 50. jäse o 5. b) ( ) 5 5 5. Vstus: Joo 50. jäse o 5. 50 50 Esimerkki Määritä lukujoo 0 esimmäistä jäsetä, ku se kolme esimmäistä jäsetä ovt, 4, 9. Rtkisu Kosk muut ei sot, oletet, että ideksi sokmme lk ykkösestä. Luvut, 4 j 9 ovt lukuje, j eliöt. Joo 0 esimmäistä jäsetä ovt siis: (5)
.. Lukujoo 4 5 6 7 8 9 0 ² 4 9 6 5 6 49 64 8 00 Vstus: Joo 0 esimmäistä jäsetä ovt, 4, 9, 6, 5, 6, 49, 64, 8, 00. Esimerkki Määritä lukujoo 0 esimmäistä jäsetä, ku Rtkisu j +, ku, 4, 5, Kosk, ii etu lskusääö muk + +, 4 + + j ii edellee. Näi sd oheie tulukko. 4 5 6 7 8 9 0 5 8 4 55 + Vstus: Joo 0 esimmäistä jäsetä ovt,,,, 5, 8,,, 4, 55. Esimerki joo sot Fibocci ( filius Bocci) lukujooksi. Esimerkki 4 Määritä lukujoo 0 esimmäistä jäsetä, ku joo kolme esimmäistä jäsetä ovt 996, 99 j 990. Rtkisu Kosk joo jäseet pieeevät : ksvess, tutkit esi, oko kyseessä vkio vähetämie josti lkukohdst lähtie. Lsket erotukset sekä :. Kosk äyttää siltä (!), että peräkkäiste jäsete erotus o vkio, päätetää, että kysymyksessä o miitu erotukse eli : vähetämie joo edellisestä jäseestä. Näi sd säätö. Joo täydellie määritelmä kuuluu siis: 996 j, ku. Huom, että tämä ei ole io mhdollie määritelmä. Sm joo void määritellä myös seurvsti: 999, ku. Vstus: Joo 0 esimmäistä jäsetä ovt 996, 99, 990, 987, 984, 98, 978, 975, 97 j 969. Esimerkki 5 Määritä lukujoo yleie jäse, ku se viisi esimmäistä jäsetä ovt 500, 50, 5, 6,5 j,5. Lske joo 0. jäse. 4(5)
.. Lukujoo Rtkisu Kosk tässä jooss joo jäse o i puolet edellisestä, sd säätö. Jos ideksoiti eli : rvot loitet ykkösestä, ii sd 500 j, ku ti 000, ku. Vstus: Joo yleie jäse o 500 j, ku j se 0. jäse o 000 000 0 0,976565. 0 04 Lukujoo muodostet fuktio vull, jok t luoolliste lukuje jouko jokiselle luvulle ti oslle se luvuist sitä vstv (reli)luvu Lukujoo muodostv fuktio et joko luettelemll joo lust riittävä määrä joo jäseiä ti tmll lskukv, jok vull jäse lsket :stä ti tmll joo lust muutm jäse j kv, joll edellisistä jäseistä lsket seurv. Lukujoo o edellä miitut (reli)luvut Merkitöjä Joo: ( ) ti,,, 4 Joo määritelmä: f ( ) ku r ti ( ) x j f,, missä r o joki lkurvo, usei.. Tässä luku x o joo esimmäie jäse. 5(5)