L 9 8 Z S I G N A A L I E O R I A O S A I I : F O U R I E R - M U U N N O S 3 Fourir-muunnos...3 3. Fourir-ingraalin suppnminn... 5 3. Muuamia rikoisfunkioia... 6 Rc-funkio... 6 3.. Signum-funkio... 7 3..3 Yksikköasklfunkio... 7 3..4 Diracin dla-funkio li yksikköimpulssi... 7 3..5 Diracin kampafunkio li idaalinn näynoofunkio... 9 3.3 Raa-arvon avulla lasku Fourir-muunnos... 3 3.3. Vakiofunkion Fourir-muunnos... 3 3.3. Signum-funkion Fourir-muunnos... 3 3.3.3 Yksikköasklfunkion Fourir-muunnos... 3 3.3.4 rigonomrisn funkioidn Fourir-muunnoks... 33 3.4 Fourir-muunnoksn ominaisuuksia... 34 3.4. Vakiolla krominn... 34 3.4. Linaarisuus suprposiio... 35 3.4.3 Aan skaalaus... 35 3.4.4 Aikasiiro... 35 3.4.5 aauussiiro... 36 3.4.6 Ampliudimodulaaio... 38 3.4.7 Drivoini... 38 3.4.8 Ingroini... 39 3.4.9 Konvoluuio aikaasossa... 4 3.4. Konvoluuio aauusasossa... 4 3.5 Kaisaraoiu signaali a kaisanlvys... 4 3.6 Näynooorma... 4
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 3 3 FOURIER-MUUNNOS Fourir-muunnos laanaa dllä aksollisill signaalill siyä oriaa signaalihin, oka ova aksoomia. Fourir-muunnoksn arkoiuksna on kuvaa aikaason signaalin aauussisälö. Sillä on lukmaon määrä sovlluuksia kniikassa, magnikuvaukssa kännyköihin. Sysmiorian prusidn kurssilla oivoavasi opiiin Laplac-muunnos. Fourir-munnos i oikasaan olkaan miään muua kuin Laplac-muunnoksn rikoisapaus. Havainnollismpi ulkina on kuinkin arkaslla Fourir-muunnosa Fourir-saran rikoisapauksna, kun. Käyännön signaalinkäsily- a ioliiknnkniikan sovlluuksissa Fourir-muunnos on palon nmmän käyy kuin Laplac-muunnos. Lähdään liikkll Fourir-saran ksponnimuodosa: missä C n f C n n n / / f n d Kun aksonaika kasvaa, präkkäisn harmonisn aauuksin välimaka käy yhä pinmmäksi, li n n π/τ kun, muuuu diffrniaaliksi d. d, π Vasaavasi Fourir-kroim C n kun. ämähän arkoiaa, ä Fourir-kroim häviävä kun funkion aksollisuus häviää. ulon C n raa-arvo on kuinkin C n f d, JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 4 Edllä olva ingraali on funkion f Fourir-muunnos. Siä mrkiään I{ f } f d F Fourir-käänismuunnos määrillään puolsaan kaavalla f I { F } F d π Nämä kaksi muunnosa muodosava Fourir-muunnosparin. f F Esimrkki: Laskava ohisn kuvan suorakaidpulssin Fourir-muunnos. v Vasaavan aksollisn kaniaallon Fourir-saran kroim laskiin o dllä. Ny fv m, li s saa vakioarvon välillä -τ/ τ/ a on nolla muualla. Riiää ingroida ämä väli. V m τ τ F τ / V m τ / d Vm / τ / τ / V m τ / τ / [ ] ämä voidaan kiroiaa Eulrin kaavon avulla muooon Vm τ sinτ / F sin Vmτ Vmτ sinc τ / τ / JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 5 Jos vrraaan ää aksollisn kanionon Fourir-sarakhilmään C n Vmτ sin nϖ τ /. nϖ τ / havaiaan, ä nhän ova hyvin pikäll saman muoois. Molmma siävä sinc-funkioa. Eli kun aksonpiuus kasvaa äärömäksi, ampliudispkri muuuu diskrisä viivaspkrisä akuvaksi. Viivaspkrin vrhokäyrällä on kuinkin äsmälln sama muoo kuin akuvalla spkrillä. F V m 4π /τ π /τ π /τ 4π / τ Edllissä simrkisä voidaan oda, ä kanipulssi a sinc-funkio muodosava Fourir-muunnosparin. ällä ulokslla on palon käyännön mrkiysä simrkiksi DSP:ssä a suodainsuunnilussa. Idaalisn suodaimn aauusvashan on muodolaan kani, li suodain pääsää läpi iyn aauuskaisan muuumaomana a vaimnaa kaisan ulkopuolis aauud nollaksi. Idaalisn suodaimn vasssa aikaasossa havaiaan pahoa häiriöiä, koska kanin Fourir-muunnospari on sinc-funkio. ää kusuaan kakaisufkiksi a sn akia idaalisia suodaimia i uurikaan voi käyää käyännön sovlluuksissa. Aihsa on ollu nmmän digiaalisn signaalinkäsilyn kurssilla. 3. FOURIER-INEGRAALIN SUPPENEMINEN Ylissi voidaan oda, ä funkiolla f on määrily Fourir-muunnos, mikäli Fourirmuunnosingraali suppn, li saa äärllisn arvon ingroimisvälillä. Suorakaidpulssin pina-ala slväsikin on äärllinn. Shän on pulssin korkus krrouna pulssin piuudlla. Ingraali voi supa myös, vaikka funkio f i koskaan saavua nollaa arkasluvälillä. Silloin kuinkin vaadiaan, ä f lähn asympooissi nollaa, li f kun. arkasllaan suraavaksi yhä ällaisa funkioa, vaimnvaa ksponniaalia. ällaisn käyäyymisnhän örmäiin mm. S:ssä asaanumispiirin yhydssä. f Esimrkki: Laskava vaimnvan ksponniaalin K fk -a Fourir-muunnos. Funkio näyää ohisn kuvan mukaisla. S läh arvosa K aanhkllä, koska f. S lisäksi f K a JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 6 lähn asympooissi nollaa kun kasvaa raaa. Funkion arvo on nolla, kun <. F K a f / d a K a K a d K a d K a Jäään haroiushäväksi ukia ollain ohlmalla, sim. Exclillä ai Malabilla, milä muunnos mahaisi näyää kuvaaana. 3. MUUAMIA ERIKOISFUNKIOIA Kanipulssi a vaimnva ksponniaali ova simrkkä "kilisä" funkioisa Fourir-muunnoksn kannala. ämä siksi, ä Fourir-ingraali suppn ns. Dirichlin hdon mukaan. On kuinkin hyvin suuri oukko funkioa signaala, oka ivä oua Dirichlin suppnmiskririä. Näisä mainiakoon Vakiofunkio fk. Sinimuoois funkio, sim. fcos. Porrasfunkio fku. Ennn kuin mnnään ukimaan, min niill voiaisiin laska Fourir-muunnos, oaan muuaman rikoisfunkion määrilmä, oia akossa arviaan: 3.. REC-FUNKIO, < < rc, JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 7 ämähän i ol miään muua kuin yksikkökanipulssin mamaainn määrilmä. S kuvaa kania, oka skä piuus ä korkus sin myös pina-ala on. Pulssin kskikoha on origossa, alkuruna aanhkllä -/ a loppu aanhkllä /. Esimrkki: Kanipulssi korkus A, piuus Τ siynä rc-funkion avulla. f Arc / Ny voidaan Fourir-muunnospari kiroiaa muodossa Arc / Asinc f 3.. SIGNUM-FUNKIO, sgn,, > < sgn Funkio saa siis arvon -, kun ollaan ngaiivisilla arvoilla, nollan origossa a arvon posiiivisilla arvoilla 3..3 YKSIKKÖASKELFUNKIO, u,, > < u u [ sgn ] 3..4 DIRACIN DELA-FUNKIO ELI YKSIKKÖIMPULSSI JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 8 δ, δ d Kysssä on siis funkio, onka lvys on nolla, korkus äärön, pina-ala a oka on nolla kaikkialla muualla paisi origossa. Aika vkkuli kavri siis Lin slvää, ä mikään avanomainn funkio i äyä ää määrilmää. Sn voidaan aalla olvan yksikköpulssin ääriapaus, kun pulssin lvys lähn nollaa a pina-ala pysyy vakiona: δ lim rc τ τ Dla-funkion ominaisuuksia:. Parillisuus: δδ. Pisssä määrillyn funkion g a dla-funkion δ ulon ingraali anaa funkion g arvon pisssä. g δ d g 3. Rplikoiniominaisuus: Edllinn ulos voidaan ylisää kiroiamalla s muooon g δ d g Koska dla-funkio on parillinn, ämä voidaan dlln kiroiaa muooon g τ δ τ dτ g * δ f missä ingroimismuuaa on vaihdu :sa τ:ksi. ää ingraalia kusuaan konvoluuioingraaliksi a siä symboloi *-mrkki. Palaaan konvoluuuioormaan myöhmmin arkmmin. Ny riiää iää, ä funkion konvoluuio dla-funkion kanssa uoaa uloksksi alkupräisn funkion. JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 9 4. Dla-funkion Fourir-muunnos saadaan kaavasa I{ δ } δ Siis dla-funkion Fourir-muunnos on vakio kaikilla aauuksilla -. ulos on saau ominaisuudn δ d pruslla. Shän sanoi, ä dlafunkion a minkä ahansa funkion ulon määräyn ingraalin arvo on sama kuin kysisn funkion arvo nollassa. Eksponnifunkion arvo nollassa on. δ I{ δ } 3..5 DIRACIN KAMPAFUNKIO ELI IDEAALINEN NÄYEENOOFUNKIO Idaalinn näynoofunkio koosuu äärömäsä onosa asavälin olvia yksikköimpulssa. δ δ m m Aika-alussa priodisn dlafunkioonon Fourir-muunnos koosuu onosa priodisia dlafunkioia aauusasossa: m n δ m f δ n Erikoisapauksssa, olloin akso s, on priodisn impulssiono Fourir-muunnos is impulssiono. δ I{ δ } 3 4 JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 3 3.3 RAJA-ARVON AVULLA LASKEU FOURIER-MUUNNOS Monill käyännössä ärkill funkioill ouduaan Fourir-muunnos laskmaan dllä siyn rikoisfunkioidn avulla. ämä apahuu sin, ä lähdään liikkll osain unnusa funkiosa, a annaan sin sn lähsyä raa-arvonaan kiinnosuksn kohna olvaa funkioa. Havainnollisaan mnlmää muuaman simrkin avulla. 3.3. VAKIOFUNKION FOURIER-MUUNNOS arkasllaan ohisn kuvan mukaisa kaksisuunaisa ksponnifunkioa f A A a ova vakioia, oka määräävä, min f käyäyyy. Kuvassa A a :lla on alhaala ylöspäin luuna arvo,,5 a,. Nähdään, ä kun, f A, li s lähn muodolaan vakiofunkioa. 5-5 -3-3 5 f:n Fourir-muunnos on F A A / d A A A A A / d A d A A A d Huomaa, ä ingraali on laskava kahdssa osassa, koska funkio f on määrily riksn ngaiivislla a posiiivislla osalla aika-alua. Kun, havaiaan, ä F lähsyy yksikköimpulssia kulmaaauudlla. Jäään asian osoiaminn haroiushäväksi. F:n pina-ala saadaan ingroimalla A d F d 4A πa JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II JUKKA JAUHIAINEN 6 3 Siis pina-ala on riippumaon :n valinnasa. Viimisssä vaihssa on käyy ohisa aulukoiua määräyn ingraalin laskukaavaa: Funkio f siis lähsyy raa-arvonaan vakiofunkioa A, a sn Fourir-muunnos F lähsyy impulssifunkioa πaδ, li ämähän on ihan sama ulos, oka ohdiin dla-funkion yhydssä oisn suunaan! Edssä olva kiä π ul mukaan siiä, ä käänismuunnoksn kaavassa on dssä kiä / π. Esimrkiksi sähkökniikassa ulos voidaan ulkia sin, ä signaalin DC- li asavira-ännikomponni on nollaaauinn. ämähän on oisaala issään slvää 3.3. SIGNUM-FUNKION FOURIER-MUUNNOS Signum-funkio voidaan siää yksikköasklfunkion avulla kaavalla sgnu-u- Muodosaan ämän avulla funkio, oka lähsyy sgn:ä kun mn kohi nollaa: ällä funkiolla slväsikin on olmassa Fourir-muunnos, koska ingraali suppn skä posiiivislla ä ngaiivislla puollla: < >,, a a a x a adx π π πaδ A I [ ] lim sgn u u f u u / / I d d d d f
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 3 Kun Saaiin siis ulos I f lim Isgn Fourir-muunnos on imaginäärinn. Sn isisarvo näyää ohisn kuvan mukaisla. Funkio lähsyy - kun lähsyy nollaa ngaiivisla puolla, a, kun lähsyy nollaa posiiivisla puolla. -5-3 - 3 5-3.3.3 YKSIKKÖASKELFUNKION FOURIER-MUUNNOS Käyään hyväksi Fourir-muunnoksn linaarisuusominaisuua suprposiiopriaa, oka suraa suoraan muunnosingraalin määrilmäsä. Palaaan siihn arkmmin hkn pääsä. u I { u } sgn I I sgn Linaarisuusominaisuus siis arkoiaa siä, ä summan Fourir-muunnos voidaan laska sin, ä laskaan riksn rmin Fourir-muunnoks a summaaan n yhn. Ensimmäinn rmi on slväsikin vakiofunkio, oka saa arvon / kaikilla aanhkillä. Sin sn Fourir-muunnos on varmaankin dla-funkio. Edllä osoiiin, ä Ny A/, on Jälkimmäinn rmi anaa I A πaδ I π δ πδ I sgn JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 33 Siiä suraa, ä I { u } πδ 3.3.4 RIGONOMERISEN FUNKIOIDEN FOURIER-MUUNNOKSE arkasllaan funkioa cos. S voidaan kiroiaa ksponnimuodossa cos [ ] Käyään hyväksi Fourir-muunnoksn aauussiiro-ominaisuua, oka sanoo ä g πg Eriyissi, os funkio G- on dla-funkio, on g. Silloin πδ Muunnos voidaan ny kiroiaa muodossa { I I } Icos πδ πδ { πδ πδ } Mikä arkoiaa siä, ä kosinifunkion spkri koosuu kahdsa dla-funkiosa aauuksilla ±. Vasaavalla avalla voidaan ohaa sinill kaava Isin [ πδ πδ ] JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 34 cos π f sin π f Saau ulos on varsin odou. Kun sinimuooinn signaali sisälää vain yhdn aauudn f, kysinn aauus näkyy aauusasossa yhnä piikkinä. Miä ngaiivis aauud sin odllisuudssa ova? Ei kannaa vaivaa niillä pääään Käyännössä aauusaso kakaisaan puoliksi sin, ä arkaslun kohna ova ainoasaan posiiivis aauud. Ngaiivinn osa on siinäkin milssä urha, ä sn idään olvan arkka pilikuva mahdollisa vaih-roa lukuunoamaa posiiivissa. 3.4 FOURIER-MUUNNOKSEN OMINAISUUKSIA Kooaan suraavaksi yhn Fourir-muunnoksn ominaisuud a laskaan muuaman ärkän funkioyypin muunnoks näiä ominaisuuksia käyän. Osa, kun linaarisuus a aauussiiro, ulivakin o dllä. 3.4. VAKIOLLA KEROMINEN Jos K vakio a I { f } F Niin Siis funkion f { } KF I Kf JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 35 krominn vakiolla K vasaa muunnoksn F kromisa samalla luvulla. 3.4. LINEAARISUUS SUPERPOSIIO Jos funkioidn f, f a f 3 ova F,F a F 3, niin I f f f3 F F F3 odisus suraa suoraan määräyn ingraalin laskulaisa. 3.4.3 AJAN SKAALAUS Kun aikaskaalaa vnyään, aauusskaala kuisuu a päinvasoin, li f a F, a > a a Kun <a<, aika "vnyy" a kun a>, aika "kuisuu". 8 6 4 / / - -5 5-3.4.4 AIKASIIRO Jos funkioa f siirrään aikaasossa a:n vrran, niin f a a F πfa F f JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 36 Jos a >, funkioa siirrään vasmmall ngaiivisn aan suunaan. Jos a <, funkioa siirrään oikall posiiivisn aan suunaan. Aikasiiro muuaa vaiha, mua äää funkion isisarvon muuumaomaksi. Esimrkki: arkasllaan kanipulssia f, oka alkaa aanhkllä a loppuu hkllä rc rc / rc /. Ny pulssia on siirry /:n vrran posiiivisn suunaan vrrauna rc- / / funkion määrilmään. Silloin pulssi voidaan siää muodossa f / Arc Rc-funkion Fourir-muunnos oli Arc / Asinc f Ny voidaan käyää aikasiiroa a -> /, olloin πf f Asinc f Jos pulssi siirrään /:n vrran ngaiivisn suunaan, saadaan vasaavasi πf f Asinc f 3.4.5 AAJUUSSIIRO aauusason siiro :n vrran vasaa kromisa rmillä : f F JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 37 Esimrkki: Radioaauuspulssi RF-pulssi. Pulssi koosuu äärllisn piuissa siniaallosa, onka ampliudi on A a aauus f c.. Nimi ul siiä, ä ylnsä ämän yyppisä pulssia käyään radioaauusalulla simrkiksi ukissa. Signaali on muooa g Arc cosπf c A g f c Fourir-muunnoksn laskmisksi muuaan kosini nsin ksponnimuooon: / / g Arc Arc Arc πf c πfc πfc πfc Vrraaan oikanpuolisa lauska aauussiirron kaavaan. Havaiaan, ä shän on äysin samaa muooa, li ässä apauksssa funkio f/arc/ krrouna ksponnirmillä. Rc-funkion Fourir-muunnos m osaaan laska: Arc / Asinc f Ny voidaan käyää aauussiiro-ominaisuua, olloin πfc Arc Asinc[ f f c ] πf c Arc Asinc f f c RF-pulssin g Fourir-muunnos Gf on sin [ ] A I g G f { sinc[ f f ] sinc[ f f ]} c c JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 38 S siis koosuu kahdsa aauuksilla - f c a f c olvasa sinc-pulssisa. Huomaa kakaisufkin vaikuus! Koska käyännön pulssi ova AINA äärllisn miaisia, aauusasossa on aina nmmän ai vähmmän sinc-funkion aihuamaa oskilloinia. Edllisssä simrkissä on isasiassa kys ampliudimodulaaiosa. ulos voidaankin ylisää: 3.4.6 AMPLIUDIMODULAAIO Ampliudimodulaaiossa sinimuooisn kanoaallon ampliudia muuaan lähävän signaalin ahiin. Kanoaalo on vakioaauinn a informaaioa väliävä signaali sisälyy ampliudin muuoksiin. Jos moduloivaa signaalia mrkiään f:llä, moduloiu kanoaalo on muooa fcos. Kanoaallon ampliudispkri on yhä kuin f:n ampliudispkri akauunna asan aauuksin ± välill: 3.4.7 DERIVOINI I { f cos } F F Funkion f Fourir-muunnoksn. drivaaa on df I d F Ylissi n:s drivaaa määrillään kaavalla n d f n I F n d Drivoini aikaasossa arkoiaa siis siä, ä muunnoksssa korka aauud vahvisuva vrrannollisna kiään. ulos voidaan odisaa varsin suoraviivaissi: Drivoidaan f aan suhn. Drivoinnin a ingroinnin ärsys voidaan vaihaa: H d H d f df d f H d d d JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 39 Jos f F, niin dllä siyn vakiolla kromissäännön mukaan df I I d { f } F 3.4.8 INEGROINI Jos g f x dx niin Kaava on voimassa, mikäli I { g } F Ingroinnin vaikuus on, kun odoaa sopiikin, uuri päinvasainn drivoinnill. Ingroini vaimnaa korka aauud :hn vrrannollissi. Esimrkki: arkasllaan ohisn kuvan mukaisa bipolaarisa kanipulssia duplipulssi g. Kun pulssi ingroidaan aan suhn, saadaan, kuinka palon kanin pina-alaa iyyn aanhkn mnnssä on kryny. Posiiivislla puoliaksolla pina-ala kasvaa a ollaan kolmion nousvalla runalla. Kanin ngaiivislla puoliaksolla ollaan kolmion laskvalla runalla. Nopina-ala on nolla. ällaisilla bipolaarisia pulssa käyään simrkiksi magnikuvauksssa proonin radioaauusviriyksn yhydssä arkmmin mialaikurssilla. f x dx g g A A hävänä on laska kolmiopulssin g Fourir-muunnos G f. ämä apahuu hlpoin sin, ä laskaan nsin g.n Fourir-muunnos G f, a käyään ingraalin muunnoksn määrilmää. Kanin A / rc Asinc f πf JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 4 posiiivinn puoliakso on äsmälln sama, oll laskiin muunnos aikasiirron yhydssä: Vasaavasi, ngaiivinn puoliakso on muooa / rc Asinc f πf missä miinusmrkki ul siiä, ä s on invroiunu nurinpäin. Ny voidaan kiroiaa suoraan G f käyän hyväksi linaarisuussäänöä: G f Asinc f Asinc f πf πf πf [ ] Asinc f sin πf Asinc f πf Viimisssä vaihssa on käyy Eulrin muunnoskaavaa sinill. Kolmioaalo on kanin ingraali. Sin kolmion a kanin Fourir-muunnosn välillä on yhys G f G f πf sin πf A sinc f A πf A sinc f Asinc f sin πf πf sin πf sinc f πf 8 Kolmioaallon Fourir-muunnos on siis sinc-funkion nliö. Ohisssa kuvassa on siy sincin a sn nliön kuvaaa. Kolmioaallon spkri on kskiyny nmmän nollaaauudn ympärisöön ässä maksimi on 64 a s vaimn 6 4 - -5 5 - JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 4 nopammin. Vaimnminn on sinc :ll vrrannollinn kiään /f, kun s sincill on vrrannollinn /f:ään. 3.4.9 KONVOLUUIO AIKAASOSSA Jos funkio y on funkioidn x a h konvoluuio, li y x λ h λ dλ x * h niin I y Y X H Missä Y, X, a H ova y:n, X:n a h:n Fourir-muunnoks. oisin sanon kahdn funkion konvoluuio aikaasossa siis vasaa niidn Fourir-muunnosn kromisa aauusasossa. Konvoluuioorma on räs kskisimpiä Fourir-muunnosn sovlluuksia. Palaaan siihn myöhmmin arkmmin. 3.4. KONVOLUUIO AAJUUSASOSSA Jos funkioidn f a f ulo on f f f niin F F u F u du π missä F, F a F ova vasaavin pinn kirainn Fourir-muunnoks. ulos on siis uuri päinvasainn kuin dllä. 3.5 KAISARAJOIEU SIGNAALI JA KAISANLEVEYS Edllisisä simrkisä kävi varmasi ilmi, ä aika- a aauusaso ova käänän vrrannollisia oisiinsa. Jos signaalin ominaisuud kiinniään ommassakummassa asossa, s samalla yksikäsiissi kiinniää n myös oisssa. Signaalin sanoaan olvan iukasi kaisaraoiu aauusasossa, os s sisälää JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 4 vain iyn aauuskaisan sisällä nollasa roavia aauuksia a on nolla ämän aauuskaisan ulkopuollla. ällainn signaali on aina asympooissi kaisaraoiu aikaasossa. Esimrkiksi sinc-pulssi aikaasossa on asympooissi kaisaraoiu. S saa yhä pinmpiä a pinmpiä arvoa, kun ±, mua s i mn koskaan nollaksi. Sn Fourir-muunnos on kani, oka sisälää vain iyllä välillä olvia aauuksia a on nolla aina kanin ulkopuollla. ämä on slväsikin iukasi kaisaraoiu signaali. Signaali i voi olla yhä aikaa iukasi kaisaraoiu skä aika- ä aauusasossa. Kaisalvys miaa siä, kuinka laaalla aauusalulla -kaisalla signaalin spkrissä on mrkiäväsi nollasa riäviä aauuksia. iukasi kaisaraoiull signaalill kaisalvys on hlposi määriävissä, simrkiksi kanipulssin piuus. Asympooissi raoiuill signaalilla ouduaan sopimaan okin muu määrilmä kaisanlvydll. ällaisill s voidaan määrillä ylä- a alaraaaauuksin rouksna kun S:n labroissa. Jos signaalin spkrissä on slväsi rouva päämaksimi, oa roaa sivumaksimisa nolla sim. sinc, on kaisalvys päämaksimin molmmin puolin olvin nollakohin väli. oinn varsin palon käyy kaisalvydn mia on määrily -3 db:n raon avulla. Raaaauud ova silloin n aauud, oilla signaali on vaimnunu kroimlla,77 maksimiarvosa. 3.6 NÄYEENOOEOREEMA Näynoo sampling on prusopraaio, olla analoginn signaali muuaan digiaalisksi.sn avulla signaalisa oaan ylnsä asaisin väliaoin näyiä. On ärkää valia näynooaauus oikin, oa näyono yksikäsiissi kuvaa signaalin. arkasllaan ohisa akuvaa nrgiasignaalia g. Kun g :sä oaan näyiä oka s skunnin välin, saadaan uusi diskri signaali g δ. s :n käänisluku on näynooaauus f s / s.. Signaali g δ on siis funkiolla g painou Diracin kampafunkio. Mnmää ässä orian ohoon sn arkmmin, voidaan näynooorma siää muodoissa: g g δ s Kaisaraoiu nrgiasignaali, onka suurin aauuskomponni on W hrsiä, on äysin määräy, kun signaalisa oun näyidn väli on ninään /W skunia. JUKKA JAUHIAINEN 6
L98Z SIGNAALIEORIA, OSA II 43 Kaisaraoiu nrgiasignaali, onka suurin aauuskomponni on W hrsiä, voidaan palauaa alkupräisksi siiä oun näyidn pruslla, os näynooaauus on W hrsiä. Edllä on siy ns. Nyqvisin kriri. Raaaauua W sanoaan Nyqvisin aauudksi. End of par wo JUKKA JAUHIAINEN 6