Koska yhteys tavalliseen eksponenttifunktion sarjakehitelmään on selvä, asetetaan seuraava määritelmä.

Transkriptio

1 Ma-.433/433/45 Mariisiksponnifunkio, K3/P3/V3, syksy 22 Pkka Alsalo/(Hikki Apiola) Pkan ysävällissi käyööni anamaan lähkooiin oln hny omia lisäyksiäni, HA Viiiä [TE] Timo Eirola: Linaarialgbra, lunomonis [EN] EirolaNvanlinna: Diyhälösysmi, lunomonis [LAODE]GolubiskyDllniz: Linar Algbra an Dirnial Equaions, Ma-laioksn käsikirjaso: mona kappala. [NaSa] NaglSa: Sysms of i. qu. Mariisiksponnifunkio. Suraavassa A on raalinn n n-mariisi, jonka alkio ova vakioia. Tarkoiuksnamm on rakaisa alkuarvohävä y Ay, y() y. Tavallisn irniaaliyhälön y ay, y() y, rakaisu saaaan ksponnifunkion avulla muoossa y() y a. Hrää kysymys, voiaisiinko myös y-ryhmän y Ay rakaisu kirjoiaa suoraan muoossa y() X()y sopivan ajasa riippuvan n n-mariisin X() avulla. Täsä olisi mm. s u, ä alkuarvohävän rakaisu saaaan samalla vaivalla kuin ylinn rakaisu. Sijoiaan ällainn yri yhälöön y Ay, jolloin saaaan X ()y AX()y. Tämä ouuu, jos mariisill X() pä X () AX(). Alkuhosa y() y suraa lisäksi, ä X() I yksikkömariisi. Yhälön X () AX() ouavaan mariisiin X voiaan pääyä monlla ri avalla. Eräs mahollisuus on siä mariisia X ponssisarjan avulla: kirjoiaan (formaalisi li ilman huola suppnmissa) X() X + X + 2 X X , missä n n-mariisi X, X,... ivä riipu ajasa. Koska X() I, äyyy olla X I. Lisäksi jon sijoiamalla yhälöön X () AX() saaaan X () X + 2X X , X () X + 2X X 3 + A(I + X + 2 X X ) A + AX + 2 X Vraamalla lauskkin n (mariisi)kroimia, nähään ä X A, 2X 2 AX, 3X 3 AX 2 jn. Rakaismalla saaaan siis X A, X 2 2 A2, X 3 3! A3 jn. Mariisin X() äyyy siis olla muooa X() I + A + 2 (A)2 + 3! (A) Koska yhys avallisn ksponnifunkion sarjakhilmään on slvä, asaan suraava määrilmä. Määrilmä. Olkoon B n n-mariisi. Mariisiksponnifunkio B määrillään sarjakhilmällä B I + B + 2 B2 + 3! B Ensimmäinn onglma on s, miä ämä sarjakhilmä arkoiaa. Jos khilmä kakaisaan (k + ). rmin jälkn saaaan lausk I + B + 2 B2 + 3! B3 + + k! Bk, joka on määrily kaikill nliömariisill B. Sarjakhilmän suppnminn arkoiaa yksinkraissi siä, ä jokainn ylläolvan mariisin alkio lähsyy iyä lukua, kun k. Voiaan osoiaa, ä näin olla käy kaikill nliömariisill, ja sin B on hyvin määrily n n-mariisi. Tämä on harjoius 8 AV h. 6: Osoia, ä mariisiksponnifunkion sarjan suppn kaikilla nliömariisilla A. Tarvis kaha asiaa: ) x + x + x ! xn +... suppn kaikilla x R. n! 2) Yläraja-arvioa mariisin A k alkioill,joa pääs käyämään llä olvaa sarjaa vrailusarjana kullkin alkiosarjall. Voi rajoiua mariisiin, jonka alkio ova samoja, koska sillkin asian ul pää, ja oisaala milivalaisn mariisin apauksssa saaaan yläraja-arvio korvaamalla kaikki mariisin alkio isisrvolaan suurimmalla. Käsil nsin mariisia E, jonka kaikki alkio ova ykkösiä, ylinn apaus palauuu ähän hlposi. Kooaan yhn A :n ominaisuuksia. Laus

2 . O I, jos O on nollamariisi 2. I I, sillä I n I kaikilla n 3. jos D on lävisäjämariisi iag([λ,..., λ n ]), niin D iag([ λ,..., λ n ]). Syy: D k iag([λ k,..., λ k n ]) 4. A A A A A (johiin alussa!) 5. Alkuarvohävän y Ay, y() y, yksikäsiinn rakaisu on y() A y 6. Dirniaaliyhälöryhmän y Ay ylinn rakaisu on muooa y() A c, missä c [c,..., c n ] T on vapaisa paramrisa c,..., c n muoosu vkori 7. A+B A B, jos AB BA, mua i ylnsä muulloin 8. A on aina käänyvä ja ( A ) A. To: Koha,2,3 ova varsin slviä. Kohan 4. o. myös suoraan rivoimalla: [EN] Laus 2.2 s ja 6 suraava suoraan rvoimiskaavasa 4. Huom! Rakaisun yksikäsiisyys voiaan oisaa samanin, arvismaa nojauua ylisn rakaisujn olmassaolo- ja yksikäsiisyyslaussn. (Ks. [EN] Laus 2.2) Koha 7 voiaan oisaa aivan kun sarjojn krominn raaliluvuilla ([TE] Laus 4.2). Vaihohoinn oisus kohaan 7: Funkio V y() (A+B) V y on alkuarvohävän (lyh. AA-hävän) V y (A + B)V y, V y() V y -käs. rakaisu. Toisaala V z() A B V y on saman AA-hävän rakaisu, sillä V z () A A B V y + A B B V y. Koska AB BA, niin A B B A, kun nähään kromalla A :n sarjakhilmä vasmmala ja oikala B:llä. (Kysymys palauuu siihn, ä AB BA A k B BA k.) Niinpä V z () (A + B) A B V y (A + B)V z(). Lisäksi V z() A B V y V y. Yksikäsiisyyslausn pruslla (A+B) V y A B V y V y R n. Valismalla V y V k, k... n, missä V k on R n :n k : s yksikkövkori, nähään kummankin mariisin k:s sarak samaksi kaikilla k:n arvoilla, li mariisi (A+B) ja A B ova samoja. 7 Koha 8: A ja A kommuoiva, jon I E O (A A) A A. Huom! Tarkkaavainn lukija huomaa khäpäälyn ainksia, jos sauu lukmaan myös [EN]-prujusa yksikäsiisyysoisuksn. Siinä arviaan kohan 8 ulosa, joka oisaan kohan 7 avulla. No, [EN]/[TE]-prujuissa i ol khäpäälyä, koska sillä oisaan ominaisuus 7 ri avalla. Yllä olva puhisuu voamalla ylisn (linaarisn sysmin) olmassaolo- ja yksikäs. laussn. Min A käyännössä laskaan? Diagonalisoiuva mariisi: Hlpoin apaus on jälln iagonalisoiuva mariisi. Jos A XDX, missä A:n ominaisarvo ova mariisin D lävisäjällä ja ominaisvkori mariisin X sarakkina, niin nsinnäkin A k (XDX )(XDX )... (XDX )(XDX ) XD k X, sillä välissä olva rmi X X supisuva pois! Tämän pruslla A I + A A 2 + X(I + D D )X X D X. Ny D iag([ λ,..., λ n ]) ja vasaus saaaan kromalla nämä kolm mariisia ksknään. Eriyissi on huomaava, ä vaikka A:n ominaisarvo ja -vkori olisiva komplksisia, niin loppuulos on ällöinkin raalinn, koska kaikki sarjakhilmän ponssi A k ova raalisia mariisja! Esimrkki 2. Olkoon A. Tällöin A XDX 2, missä D 2 ja X 2 ;

3 ämä li räs aikaismpi simrkki iagonalisoinnisa. Ny X A, jon Esimrkki 3. 3 Olkoon A. Tällöin ominaisarvo ova ± 3i ja niiä vasaava ominaisvkori x 3 () [, i] T ja x (2) [, i] T. Elln on voimassa A XDX, jossa + 3i D ja X. 3i i i Ny X sivnnysn jälkn. /2 i/2 ja siis /2 i/2 A (+3i) /2 i/2 i i ( 3i) /2 i/2 [ ] 2 (+3i) + i 2( 3i) 2 (+3i) + i 2 ( 3i) i 2 (+3i) + i 2 ( 3i) 2 (+3i) + 2 ( 3i) [ cos(3) ] sin(3) sin(3) cos(3) Kun huomaamm, laskujn välivaih saaava näyää himan hankalila, mua una on joka apauksssa s, ä alkuarvohävin rakaisu saaaan hi. Esimrkki 4. Rakais llisiin mariisihin liiyvä alkuarvohävä y Ay, y() [, 2] T. Esimrkissä 2 rakaisu on li y () 2 2 ja y 2 () 2 2. y() A y() , Esimrkissä 3 rakaisu on muooa y() cos(3) sin(3) sin(3) cos(3) 2 li y () cos(3) + 2 sin(3) ja y 2 () 2 cos(3) sin(3). cos(3) + 2 sin(3) 2 cos(3), sin(3) Mariisi, joka ivä iagonalisoiu: Kaikki mariisi ivä kuinkaan ol iagonalisoiuvia, ja niin kohalla on mnlävä oislla avalla. Esimrkki ällaissa mariisisa on A, jolla on kaksinkrainn ominaisarvo [ ] x λ λ 2. Kun yriämm laska ominaisvkoria, saamm yhälöparin, josa i millään avalla x 2 saaa kaha LRT ominaisvkoria. k Tällaisill mariisill A on laskava jollakin muulla avalla, ja simrkiksi yllä olvall mariisill on A k, jon A ! Alkuarvohävän y Ay, y() [, 2] T rakaisu on ässä apauksssa y()

4 Huom. Toinn apa laska A yllä olvassa simrkissä on kirjoiaa A I + B ja käyää kaavaa A I B, joka on voimassa yhälön IB BI pruslla. Ylinn apaus voiaan slviää priaassa samalla avalla, mua iagonalisoinnin sijasa on käyävä ns. Joranhajolmaa. Yllä olva simrkki liiyykin yksinkraisimman Joran-lohkon mariisiksponnifunkion laskmisn, ja vasaava pääly ylisyy suurmmill mariisill. Malabin avulla mariisiksponnifunkio A saaaan kmällä nsin :sää symbolinn muuuja käskyllä syms ja kirjoiamalla sin xpm(a*). Epähomognisn yhälöryhmän rakaisminn. Suraavassa siään, kuinka myös pähomogninn irniaaliyhälöryhmä y Ay +g() voiaan rakaisa mariisiksponnifunkion avulla. Tässä A on n n-vakiomariisi ja g() [g (),..., g n ()] T on pysyvkori. Kirjoiaan yhälö aluksi muooon y Ay g() ja krroaan sn jälkn molmma puol vasmmala mariisilla A, jolloin saaaan yhälö A y A Ay A g(). Koska mariisill on voimassa ulon rivoimissäänö (XY ) X Y + XY (syy: (XY ) ij k x iky kj, misä väi suraa avallisn ulon rivoimissäännön avulla), niin yhälö ul muooon ( A y) A g(). Mariisja rivoiaan alkio krrallaan, jon niiä voiaan myös ingroia alkioiain. Näin olln saamm A y A g() + c, missä ingroini kohisuu riksn pysyvkorin A g() jokaisn komponniin ja c [c,..., c n ] T on ingroimisvakioisa koosuva pysyvkori. Mariisin A käänismariisi on A, jon rakaisuksi saaaan y() A A g() + A c. Tässä rmi A c on vasaavan homogniyhälön ylinn rakaisu ja lausk A A g() on puolsaan alkupräisn yhälön yksiäisrakaisu. Mariisiksponnifunkion avulla yksiäisrakaisull saaaan siis ksplisiiinn lausk. Ylnsä saaaa kuinkin olla hlpompi haka yksiäisrakaisua sopivan yrin avulla, sillä yo. kaava johaa usin osiaisingroinihin. Jos haluaan rakaisa yhälöryhmään y määräyä ingraalia välillä [, ]. Koska Ay + g() liiyvä alkuarvohävä y() y, niin voiaan käyää niin alkuarvohävän rakaisuksi saaaan s ( sa y(s)) s A y() O y() A y() y, y() A y + A sa g(s) s. Esimrkki 5. Rakaisaan ryhmä y Ay + g(), missä A on simrkin 2 mariisi ja g() [, ] T. Aikaismmin laskiin jon Tällöin jon A 2 2, A ( )A 2 2. A g() 2 2 A g() 2, [ ] (2 ) 2. Ryhmän yksiäisrakaisu on siis muooa y () A A g() 2 2 2, 4

5 jonka avulla ylisksi rakaisuksi saaaan { y () (c c 2 ) + c 2 2 y 2 () c 2 2. Vasaavalla avalla saaaan simrkiksi alkuarvohävän y() [, 2] T rakaisuksi [ ] y() (2 s ) s 3 2 s s 3 2. Sabiilisuus. Mariisiksponnifunkion avulla voiaan ukia myös asapainorakaisujn sabiilisuua ja yyppiä. Diagonalisoiuvill mariisill A X D X, jon yyppi ja sabiilisuus slviävä suoraan lävisäjämariisin D käyäyymisä ukimalla. 5