VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1

VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON VEKTORIT9 KOORDINAATTIESITYS AIKKAVEKTORI VAIHEKULMA 4 TASON NAAKOORDINAATISTO 9 4 AVARUUDEN VEKTORIT 4 SUORAKULMAINEN AVARUUSKOORDINAATISTO 4 KOORDINAATTIESITYS 4 AVARUUDEN KANTA 44 AIKKAVEKTORI4 45 SOVELLUKSIA5 46 SUORA8 46 Tsosuor 5 SKALAARITULO 5 MÄÄRITELMÄ JA OMINAISUUDET 5 SKALAARITULO KOORDINAATTIMUODOSSA 5 5 VEKTORIN KOHTISUORA ROJEKTIO 9 54 TASO 4 54 isteen etäiss tsost4 54 Tsosuor4 55 ALLO 4 55 Ymprä 44 55 Neliöksi tädentäminen 46 6 VEKTORITULO47 6 OSITIIVINEN SUUNNISTUS 47 6 MÄÄRITELMÄ JA OMINAISUUDET 48 6 VEKTORITULO KOORDINAATTIMUODOSSA 49 64 VOIMAN MOMENTTI ISTEEN SUHTEEN5

Vektorilskent 7 SKALAARIKOLMITULO 5 7 MÄÄRITELMÄ5 7 SOVELLUKSIA54 7 TASON DETERMINANTTIMUOTO55

Vektorilskent VEKTORIN KÄSITE Monet suureet voidn ilmist hdellä luvull siihen liittvällä ksiköllä Tällisi ovt esimerkiksi nn pituus, kppleen tilvuus, lämpötil, ik ne Näitä suureit kutsutn sklreiksi On mös suureit, oiden kuvmiseen trvitn tieto pitsi suuruudest mös suunnst Tällisi suureit ovt esimerkiksi voim, nopeus, kiihtvs ne Näitä kutsutn vektoreiksi Vektorille on ominist, että sillä on suuruus suunt Vektori on n, ohon liitetään suunt sopimll nn toinen päätepiste lkupisteeksi toinen loppupisteeksi Sovittu suunt osoitetn nuolen kärellä Vektori, onk lkupiste on A loppupiste on B, merkitään AB Loppupistettä B kutsutn vektorin käreksi Vektori voidn merkitä mös hdellä kirimell u,, F, G, A AB B Vektorin AB pituudell eli itseisrvoll eli normill trkoitetn nn AB pituutt sitä merkitään AB ituus AB on reliluku, ohon voi liittä ksikkö Vektorin pituus on in suurempi ti htä suuri kuin noll: AB Vektorit ovt hdensuuntiset os ne siitsevt hdensuuntisill suorill Yhdensuuntiset vektorit voivt oll smnsuuntiset vstkkissuuntiset Tärkeitä erikoisvektoreit ovt nollvektori, ok on sellinen vektori, onk lku- loppupisteet htvät Nollvektori merkitään Siis nollvektori on vektori, onk pituus on noll: Nollvektori ero muist vektoreist siinä, että sen suunt on epämääräinen Sovitn, että nollvektori on smnsuuntinen okisen vektorin knss ksikkövektori, ok on sellinen vektori, onk pituus on ksi Vektorin knss smnsuuntist ksikkövektori merkitään Yksikkövektori kättäen voidn ilmoitt suunt vruudess

Vektorilskent Vektorin määrittää täsin sen pituus suunt: Vektorit, os niillä on sm pituus sm suunt Siis ovt smt Edellä olevn perusteell vektori ei ole sidottu tiettn pikkn: Vektori voidn siirtää sen suunt pituus säilttäen ilmn, että vektori muuttuu toiseksi Vektorin vstvektori on vektori, ok on htä pitkä kuin vektori, mutt vstkkissuuntinen Määritelmän mukn Vstvektorin vstvektori on vektori itse: ( ) Nollvektorist erovien vektoreiden, trkoitetn pienempää niistä khdest kulmst, otk muodostuvt, kun vektorit on setettu lkmn smst pisteestä Tällöin,, ( ) ( ) (, ) 8 Erikoisesti on voimss Vektoreiden merkitään (, ) (, ) 8 välisellä kulmll ( ) (, ) snotn olevn kohtisuorss toisin vstn, os (, ) 9 Tällöin Siis (, ) 9 HARJOITUSTEHTÄVÄT : Olkoon nelikulmio ABCD suunniks Mitkä nelikulmion kärkipisteitä hdistävistä vektoreist ovt smo kuin ) BC ) AB? Määritä kuvn tilnteess kulmt: ) (, ) ) (, c ) c) (, c ) A D B C

Vektorilskent c 5 VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET Seurvss esitetään vektoreiden peruslskutoimitukset hteenlsku, vähennslsku luvull kertominen Vektoreiden hteenlsku Vektoreiden summ on vektori, onk lkupiste on :n lkupiste loppupiste :n loppupiste, kun on setettu lkmn :n loppupisteestä Summvektori kutsutn mös resultntiksi hteenlskettvi komponenteiksi Vektoreiden hteenlsku noudtt seurvi sääntöä: erustelu: Nollvektorin ominisuus ( ) ( ) Vstvektorin ominisuus Vihdntlki ( ) c ( c ) Liitäntälki Kosk nollvektorin lku- loppupiste htvät, on nollvektorin ominisuus voimss Jos vektorin loppupistettä siirretään sen vstvektorin verrn, niin päädtään lkupisteeseen Siis vstvektorin ominisuus pätee Yllä olevien kuvien perusteell nähdään, että vektoreiden hteenlsku noudtt vihdnt- liitäntälki c ( ) c ( c ) c

Vektorilskent 4 Liitäntälin perusteell vektoreiden summ voidn esittää ilmn sulku Summ voidn muodost settmll komponenttivektorit peräkkäin Kosk kolmioss sivun pituus on pienempi kuin khden muun sivun pituuksien summ, on voimss kolmioepähtälö: N F 5 o G 5 o G F ESIMERKKI: Kpple kltevll tsoll Trkstelln tpust, oss kpple (mss m 6 kg) ps levoss kitkttomll kltevll tsoll Kuvn tilnteess kppleeseen vikutt kolme voim: pinovoim G, tukivoim N kltevn tson suuntinen vetävä voim F Voimn G itseisrvo on G mg 6 9,8N Määritetään voimn F itseisrvo siten, että kpple ps piklln Kppleen levoss psmisen ehton on, että kikkien siihen vikuttvien voimien summ on nollvektori iirretään summkuvio Se on suorkulminen kolmio, ost sdn F 6 9,8N sin 5 48,75 N 5 N Vektoreiden vähennslsku Vektoreiden erotuksell ( ) trkoitetn :n vektorin vstvektorin summ: Vektoreiden erotus voidn muodost pelkästään :n :n vull seurvsti: Kun vektorit setetn lkmn smst pisteestä, erotusvektorin lkupiste on :n loppupiste loppupiste :n loppupiste

Vektorilskent 5 Usein vektorin päätepisteisiin osoittvt smst pisteestä lkvt vektorit Tällöin vektori voidn esittää loppupisteeseen osoittvn lkupisteeseen osoittvn vektorin erotuksen Kuvss c O c HARJOITUSTEHTÄVÄT : Vektoreiden pituudet ovt 4, 7 Määritä, kun ) ) c) Vektoreist tiedetään, että, 86,, 74 (, ) 69, Oheinen kuvio esittää suuntissärmiötä Lusu vektoreiden u DA, v DC, w DH vull vektorit ) AC ) BH c) BG 4 Kösi on kuormitettu kuvion mukisesti Lske kösiin kohdistuvt voimt, kun F 76 N Määritä E A H D F B G C 5 66 5 Tolpp vedetään irti mst kohdistmll tolpn päähän kuvn osoittmll kksi voim F G, otk ovt smss pstsuorss tsoss Mikä on voimien suuruksien suhteen oltv, ott voimien resultntti suuntutuisi suorn löspäin? F G 7 5 F 6 urelentokone lentää kohti etelää 6 km/h (nopeus mhn nähden) Tuuli puhlt itäkkost purelentokoneen nopeusmittrin lukem on 85 km/h Mihin suuntn lentää oh konett mikä on tuulen nopeus?

Vektorin kertominen luvull Vektorilskent 6 Reliluvuille kätetään vektoreiden htedessä nimitstä sklri Vektorin kertominen sklrill määritellään seurvsti: Reliluvun p vektorin tulo p on vektori, ok toteutt ehdot p p (tulovektorin pituus) p, os p, os p > (tulovektorin suunt) p < Määritelmän ehdost seur tulon nollsääntö (tote tämä!): p p ti Reliluvun vektorin tulon määritelmän mukn vektorit p ovt hdensuuntiset Kääntäen on voimss: Jos ovt hdensuuntiset vektorit, niin on olemss sklri p siten, että p erustelu: Suorn sklrin vektorin tulon määritelmää kättäen todetn helposti (trkist kohdt ), että, kun, kun 4 Eritisesti, os, niin Olkoot vektoreit sekä p q sklre Voidn osoitt, että seurvt lskulit ovt voimss: ( q ) ( pq) p Liitäntälki p ( ) p p ( p q) p q ESIMERKKEJÄ ( ) Osittelulit Jos vektori e on ksikkövektori ( e ), niin vektorin pe pituus on

p e p e p Vektorin suuntinen ksikkövektori on sillä ), kosk > ) Kertomll o htälö puolittin :ll sdn Vektorilskent 7 Edellä olevn mukn vektori on määrätt, kun tunnetn sen normi suunt: Jos vektori normi on r, niin r Voimill lskettess tämä voidn esittää seurvss muodoss: Jos voimst F tunnetn itseisrvo F p vikutussuunt s, niin voim F voidn esittää muodoss F p s 4 Vektorilusekkeiden käsittel Verrttess vektoreiden lskusääntöä relilukuen lskusääntöihin hvitn että ne ovt hvin smnlisi Vektorilusekkeit sievennettäessä voidnkin sovelt tuttu lgern sääntöä Mös sklrihtälöiden käsittelsäännöt ovt voimss vektorihtälöille ESIMERKKEJÄ On lskettv summ u v w, kun u i k v i 4 k w i 4k Rtkisu: ( i k ) ( i 4 k ) ( i k ) u v w 4 i 4 6k i 4 k i 6 k

i k On rtkistv vektorihtälö 6 6 6 Vektorilskent 8 iste k nn AB suhteess A : B m : n iste O on nn AB ulkopuolell olev piste On lusuttv vektori O vektoreiden OA OB vull Rtkisu: Kuvn merkinnöillä hvitn, että vektori O voidn lusu vektoreiden summn O OA A Kosk A AB, on luvun tuloksen perusteell A A AB AB Jkosuhteen perusteell tämä voidn kiroitt muotoon m A AB m n Lusumll vektori AB päätepisteisiin osoittvien vektoreiden vull (ks luku ) sdn edelleen m m O OA A AB m n m n m m m n m n m m n m Stiin siis O m n m n n ( ) m m n Erikoisesti silloin kun on nn AB keskipiste (m ( ) O n m n n ), on m m n A (m) (n) B O HARJOITUSTEHTÄVÄT : 7 Lusu u 4v w vektoreiden, u c v c w c 8 Rtkise vektori htälöstä ( ) 6,5,5 c vull, kun iste O s oll mös nll AB

Vektorilskent 9 9 Oheisess kolmioss on O : A : AQ : QB 5 : Lusu vektori Q vektoreiden OA OB vull B Q O A Oheisess tetredriss on A : B : AQ : QC 7 : Lusu vektori Q vektoreiden OA, OB c OC vull O c C B Q Oheisess kuvioss C on sivun AB keskipiste OM : MC : 7 Lusu vektori MA vektoreiden OA OB vull A B M C A O Olkoon ABCD kuvn mukinen suunniks Olkoon sivun AB keskipiste Q sivun CD piste siten, että CQ : QD 4 : Lusu Q vektoreiden AB AD vull A D B C TASON VEKTORIT Jos vektori u on hdensuuntinen tson T knss, niin snotn, että u on tson T vektori Eritisesti vektori, onk lku- loppupiste siitsevt tsoss, on tson vektori Tässä luvuss oletetn, että vektorit ovt smn tson vektoreit Olkoot kksi erisuuntist vektori tsoss Osoitetn, että mielivltinen tson vektori u voidn k :n :n suuntisiin komponentteihin u B Olkoon u AB iirretään u :n lkupisteen A kutt A vektorin suuntinen suor u :n loppupisteen B kutt vektorin suuntinen suor Kosk vektorit C ovt erisuuntisi, leikkvt suort toisens Merkitään leikkuspistettä kirimell C (ks kuv) Vektori u voidn nt esittää summn

Kosk u AC CB AC on olemss luku p (ks luku ) siten, että AC p Vstvsti on olemss luku q siten, että CB q Siis vektorille sdn esits u p q, Vektorilskent eli vektori u voidn k :n :n suuntisiin komponentteihin Erisuuntisi vektoreit snotn tson kntvektoreiksi luku p q vektorin u koordinteiksi knnn, suhteen Kosk pisteen A kutt kulkee täsmälleen ksi vektorin suuntinen suor pisteen B kutt kulkee täsmälleen ksi vektorin suuntinen suor erisuuntiset suort leikkvt täsmälleen hdessä pisteessä, ovt luvut p q ksikäsitteiset: ne määrätvät täsin vektorist u Koordinttiesits Yksinkertisin tson koordinttiesits on sellinen, missä vektorit esitetään toisin vstn kohtisuorss olevien ksikkövektoreiden i vull Edellä todetun perusteell okinen vektori u voidn ksikäsitteisesti k vektoreiden i suuntisiin kohtisuoriin komponentteihin ts esittää muodoss i u ui u u u i u Luku u u snotn vektorin u koordinteiksi vektoreiden i suhteen Itse esitstä snotn vektorin koordinttiesitkseksi Vektorin koordintit i :n :n suhteen ovt ksikäsitteiset: kksi vektori ovt smt täsmälleen silloin, kun niiden koordintit ovt smt u i u u u v v v i v Erikoisesti vektori on nollvektori täsmälleen silloin kun sen molemmt koordintit ovt nolli u i u u u i Trkstelln vektori vstvsti kuv) u u i u Kosk (!) u i u i u u u, sdn thgorn luseen (!!) perusteell (ks u u u

Vektorilskent u u u u u Täten vektorin normi eli pituus voidn lske seurvsti: Vektorin u u i u normi on u u u Huomutus: Vektorin normin kätevä kv perustuu siihen, että i ovt ksikkövektoreit (koht!) kohtisuorss toisin vstn (koht!!) Kättäen vektoreiden lskulke hvitn, että koordinttimuodoss nnettuen vektoreiden hteenlsku sklrill kertominen voidn suoritt koordinteittin: Jos Jos u u i u v v i v, niin ( u v ) i ( u v ) u v u u i u p on reliluku, niin pu ( pu ) i ( pu ) Huomutus: Kosk vektorin u koordinttiesits vektoreiden i suhteen u u i u on ksikäsitteinen, määrät vektori täsin koordinteistn Vektori voidn siis esittää mös ilmoittmll vin koordintit eli muodoss ( ) u u, u Tässä muodoss nnettuen vektoreiden hteenlsku sklrill kertominen tphtuvt seurvsti: ( u, u ) ( v, v ) ( u v, u v ) p ( u, u ) ( pu, pu ) ESIMERKKEJÄ Määritetään vektorien u i v 5 i resultntin normi u 5 4 Siten Rtkisu: v ( ) i ( ) i ( ) 4 5 u v HARJOITUSTEHTÄVÄT : Oheisess kuvss ksikön pituus on kksi ruutu Määritä kuvn vektoreiden koordintit vektoreiden i suhteen

Vektorilskent i Millä s:n t:n rvoill on voimss ( t) i ( s ) s? Millä s:n t:n rvoill vektorit ( t ) i s w si ( t ) v ovt smt? 4 Määritä seurvien vektoreiden pituudet ) u i 5 ) v i 6 5 Määritä vektoreiden,5i, 5,,i, 6 c 4,7i 5, resultntti Mikä on resultntin normi? 6 Määritä vektorin,u,4v 4, 5w normi, kun u i v i w i 7 Rtkise vektorihtälö 4,5 5,5i, 9, 5 8 Millä t:n rvoill vektorin 5 i ( t) pituus on 9 Määritä vektorin i 5 knss ) smnsuuntinen ) vstkkissuuntinen ksikkövektori Suunnikkn sivuin ovt vektorit 4 i i Määritä suunnikkn lävistäien pituudet ikkvektori Vektori r, onk lkupiste on -koordintiston origo loppupiste on, kutsutn pisteen pikkvektoriksi ikkvektori ilmisee -tson pisteen siinnin origon suhteen Vektorit i vlitn in siten, että i on positiivisen -kselin suuntinen ksikkövektori on positiivisen -kselin suuntinen ksikkövektori Tällöin pisteen (, ) pikkvektorin r koordinttiesits vektoreiden i suhteen on r i eli pisteellä pikkvektorill on smt koordintit c (, ) d O i

Vektorilskent Jos vektoreille kätetään edellisen luvun huomutuksess kätettä esitstä, on pisteen (, ) pikkvektori ( ) r, Siis pisteellä pikkvektorill on sm esits Tämä ei kuitenkn hitt, sillä piste voidn smist pikkvektorins knss ESIMERKKEJÄ Jnn AB päätepisteet ovt A (6, 4) B (, ) Määritä nn keskipiste Rtkisu: Jnn päätepisteiden pikkvektorit ovt 6i 4 i Luvun 4 esimerkin mukn keskipisteen pikkvektori on B O A ( ) ( 6i 4 i ) ( i 6 ),5i O Siis nn AB keskipiste on (,5;,) HARJOITUSTEHTÄVÄT : Olkoon A (5, 4) B (, ) Määritä sen pisteen koordintit, ok k nn AB pisteestä A lähtien suhteess : 5 Vihekulm Vektori on suure, oll on pituus suunt Siirretään vektori lkmn origost Olkoon siirrett vektori u Tämä siirrett vektori on smnsuuntinen kuin lkuperäinen vektori Vektorin u suunt voidn ilmoitt suunnttun kulmn -kselin positiivisen suuntn nähden: vektorin u vihekulmll trkoitetn positiivisen -kselin u :n välistä suunnttu kulm ϕ ositiivinen vihekulm mittn vstpäivään negtiivinen mötäpäivään Vektorin normi vihekulm määräävät vektorin täsin Vektorille on siis kksi esitstp: koordinttiesits normi-vihekulm-esits eli npkoordinttiesits Npkoordinttiesits on hvinnollinen esits vektorille Lskent tässä esitsmuodoss on kuitenkin hnkl Siksi on osttv siirtä esitsmuodost toiseen Johdetn siirtmäkvt u ϕ Npkoordinttiesitksestä koordinttiesitkseen Vektori u u i u voidn esittää muodoss (ks luku ) u ru,

Vektorilskent 4 missä r u u u, on vektorin normi u on u :n suuntinen ksikkövektori Siirretään ksikkövektori u lkmn origost Tällöin u :n loppupiste siitsee origokeskisen ksikkömprän kehällä Trigonometristen funktioiden sini kosini määritelmien perusteell u :n loppupiste on ( cos ϕ, sin ϕ), missä ϕ on vektorin u vihekulm Siten pikkvektorin u cosϕi sin ϕ Näin on stu vektorille u esits ( cos ϕi sin ϕ) r cosϕi r ϕ u r sin Kootn tulos: Jos tunnetn vektorin u normi r vihekulm ϕ, niin Vektorin u u r cos ϕi r sin ϕ u u u i u koordintit ovt siten r cosϕ r sin ϕ Nämä tulokset voi plutt helposti mieleen viereistä kuvst Kuvion mukn ost sdn u u cos ϕ sin ϕ, u u u u u cosϕ u sin ϕ Tämä päättel on voimss kuitenkin vin kun kulm ϕ on välillä 9 (miksi?) ϕ i u u (cosϕ,sinϕ ) ϕ u Koordinttiesitksestä npkoordinttiesitkseen Jos kääntäen tunnetn vektorin koordintit u u, on vektorin normill luseke r u u Tutkimll eri tilnteit hvitn, että nollst erovn vektorin u u i u vihekulm voidn määrittää seurvsti (selvitä tämä itsellesi):

u rctn u u ϕ rctn u 9, 9,, kun u 8, kun u kun u kun u Vektorilskent 5 > < u u > < Näin määritelt vihekulm on in välillä 9 7 Vihekulmn ei suinkn trvitse oll tällä välillä, vn vihekulm on 6 kulm ville ksikäsitteisesti määrätt Lskimess TI-89 on vlmiit toiminnot edellä esitetten muunnosten suorittmiseksi (*) ESIMERKKEJÄ Vektorin u itseisrvo vihekulm ovt: u 5,9; α 9, 7 Määritetään vektorin koordinttiesits Koordinttiesits sdn kvll u u cos αi u sin α, oten u 5,9 cos9,7 i 5,9sin 9,7,i, Määritetään vektoreiden u u u u 4,i 4,7,7i 6,6 7,6i 5,,8i,6 normit vihekulmt Vektoreiden normit lsketn kvll oten u u u, u u u u 4,,7 ( 7,6) 4,7 ( 6,6) 5, 5,7 7, 9, (,8 ) (,6), Vihekulm α lsketn o kvll

ϕ ϕ ϕ ϕ 4 4,7 rctn 55,75 56, 6,6 rctn 67,75 68,7 5, rctn 8 45,9 45 7,6,6 rctn 8 5,5 5,8 Vektorilskent 6 Määritetään oheisess kuvss nnettuen voimien resultntin itseisrvo suunt F 7 N F N 78 6 F 4 N 7 N F 4 On lskettv voimien resultntti eli summ R F F F F4 Summn lskeminen kä helposti, os voimvektorit on nnettu koordinttimuodoss Tätä vrten kiinnitetään positiivisen -kselin suunt voimn 4 N suuntiseksi Määritetään voimien itseisrvot, vihekulmt koordinttiesitkset: Voim Itseisrvo (N) Vihekulm Koordinttiesits (N) F 4 o 4 i F 6 o 55,i 79, 87 F 7 9 o,77i 77, F 7 o,59i 45, 4 R 4 8,77i, 58 Koordinttiesitkset määrätään kvll F F cos ϕi F sin ϕ Voimien resultntti on R 8,77i, 58 Tämän itseisrvo on

Vektorilskent 7 R 8,77,58 54,5 5 vihekulm on,58 ϕ rctn 6, 6 8,77 Vstus: Voimien resultntin itseisrvo on 5 N suunt 6 o voimst 4 N vstpäivään Lskin TI-89: Vektori esitetään kiroittmll koordintit pilkull erotettun hksulkuen sisään: Esim tsovektori vruusvektori (ks seur luku) i 5 sötetään seurvsti: [, 5]; i 4k sötetään seurvsti: [-,, 4] Lskent: vektorien lskutoimitukset muodostetn luonnollisell tvll kättäen operttoreit,, *, / Vektorin normi muodostetn komennoll norm: Esim i muodostetn komennoll norm([, ]) Vektorin suuntinen ksikkövektori muodostetn komennoll unitv: Esim vektorin unitv([-, 5, 4]) i 5 4k suuntinen ksikkövektori muodostetn komennoll Vektorin söttö npkoordinteiss: [r, <α], missä r on vektorin itseisrvo α vektorin vihekulm: esim [, <7] on vektori, onk itseisrvo on vihekulm 7 Kun pinetn ENTERiä, niin lskin tulost vektorin koordinttimuodoss Koordinttimuodoss nnetun vektorin npkoordinttiesits muodostetn komennoll 4olr: Esim vektorin,i 4, 9 itseisrvo vihekulm sdn komennoll [, -49]4olr Lskettess vektorit voidn söttää npkoordinteiss ESIMERKKI lskimell TI-89: Kiinnitetään positiivisen -kselin suunt määritetään voimien itseisrvot vihekulmt kuten esimerkissä Sen älkeen lsketn lskimell voimien summ npkoordinttimuodoss: [4,<][,<6][7,<9][7,<-] Tulos: [877, 589] Muodostetn npkoordinttiesits: [877, 589] 4olr Tulos: [5456, <6,], ost sdn vstus

ESIMERKKEJÄ 4 Määritä kuvn vektoreiden summn pituus suunt Vektorilskent 8,57,49 67,4 Rtkisu: Asetetn vektorit lkmn smst pisteestä Siirrtään koordinttiesitkseen kiinnittämällä positiivisen -kselin suunt vektorin suuntiseksi Vektoreiden normit vihekulmt ovt tällöin Normi Vihekulm,57,57,49 67,4-8 67,4-8 Lsketn lskimell vektoreiden summ npkoordinttimuodoss: [57,<][49,<8-67,4] Tulos: [6, 9879] Muodostetn npkoordinttiesits: [6, 9879] 4olr Tulos: [484, < 486] Siis vektoreiden summn pituus:,48 suunt: 4, mötäpäivään vektorist, onk pituus on,57,49 HARJOITUSTEHTÄVÄT : Vektoreiden u, u u itseisrvot vihekulm ovt: u u u : u,78; α 7, : u 85; α 7, : u 6,5; α, Määritä vektoreiden koordinttiesitkset Määritä seurvien vektoreiden itseisrvot vihekulmt ),65i, 85 ),7i, 4 c) 8,5i, c) 9i 7 4 Määritä oheisess kuvioss nnettuen voimien resultntin itseisrvo suunt

Vektorilskent 9 4 N 9 N 77 68 9 5 N 4 Tson npkoordintisto Tsoss on leisesti kätössä -koordintiston lisäksi npkoordintisto Olkoon -tson pisteen (, ) pikkvektori r i isteen (, ) npkoordintit (r, ϕ) määritellään vektorin r normin vihekulmn: r on pisteen (, ) etäiss origost eli vektorin r normi r r (*) Normin r ϕ on vektorin r vihekulm eli npkulm Edellisen luvun perusteell tson pisteiden suorkulmiset koordintit voidn esittää npkoordinttien r ϕ vull seurvsti: r cosϕ r sinϕ Käänteinen muunnos -koordinteist npkoordintteihin suoritetn kv (*) luvun kvn (*) tpist kv kättäen (muotoile tämä kv!) Jokist npkoordinttien rvopri (r, ϕ), r Käänteinen vstvuus ei ole ksikäsitteinen, vn origo vst npkoordintit r, ϕ on mikä thns vst ksikäsitteinen -tson piste muit -tson pisteitä vst ksikäsitteinen rvo r 6 :n monikerto ville ksikäsitteinen rvo ϕ ESIMERKKEJÄ Määritä R-säteisen origokeskisen mprän npkoordinttiesits Rtkisu: iste on mprän kehällä, os sen etäiss origost on R Vihekulm s oll mikä thns Siten npkoordinttiesits on r R ϕ r HARJOITUSTEHTÄVÄT : 5 isteiden npkoordintit (r; ϕ) ovt ) (,78; 7, ) ) (75; 7, ) c) (6,5;, )

Vektorilskent Määritä pisteiden -koordintit 6 Määritä seurvien -tson pisteiden npkoordintit: ) (; 4) ) (,5; 6,7) c) ( 4,;,7) 4 AVARUUDEN VEKTORIT 4 Suorkulminen vruuskoordintisto Tson käsitteln kätettiin kht toisin vstn kohtisuorss olev koordinttikseli: - -kselit Avruuden kuvioiden kppleiden käsitteln trvitn vielä kolms koordinttikseli, -kseli, ok on kohtisuorss - -kseli vstn Yleensä koordinttikselit sioitetn kuvn osoittmll tvll, olloin ne muodostvt positiivisesti suunnistetun eli oikekätisen ärestelmän - -kseli määräävät siis -tson, ot vstn kohtisuorss -kseli on (, ), Avruuden suorkulmisess koordintistoss okisell pisteellä on kolme koordintti:, Kuvss on merkitt piste (,, ) Kääntäen okist lukukolmikko (,, ) vst täsin määrätt vruuden piste Siis: Avruuden okist pistettä vst täsmälleen ksi relilukukolmikko (,, ) Kun on etsittävä esimerkiksi pisteen (, 4, ) pikk koordintistoss, menetellään seurvsti: origost siirrtään ensin ksikköä -kselin positiiviseen suuntn, siitä tketn 4 ksikköä -kselin negtiiviseen suuntn tästä edelleen ksikköä -kselin negtiiviseen suuntn 4 Koordinttiesits Tson vektorit voidn esittää khden toisin vst kohtisuorss olevn ksikkövektorin i vull Avruuden vektorien esittämiseen trvitn vielä kolms ksikkövektori k, ok on kohtisuorss vektoreit i vstn Seurvss osoitetn, että vruuden vektorit voidn esittää kolmen toisin vstn kohtisuorn ksikkövektorin i, k vull i k Kun oiken käden peuklo osoitt -kselin positiiviseen suuntn etusormi osoitt -kselin positiiviseen suuntn, niin tivutettu keskisormi osoitt -kselin positiiviseen suuntn

Vektorilskent Olkoon u AB mielivltinen vruusvektori Asetetn u :n lkupisteen A kutt vektoreiden i suuntinen tso T u :n loppupisteen B kutt vektorin k suuntinen suor Kosk k ei ole tson T vektori, leikk suor tson Merkitään leikkuspistettä kirimell C (ks kuv) Vektori u voidn esittää summn u AC CB, missä AC on tson T vektori CB k Kosk AC on vektoreiden i määräämässä tsoss, on luvun mukn AC u i oillin luvuill u u Kosk mukn CB u k ollin luvull u u CB k, on luvun On siis stu tson mielivltiselle vektorille u esits u u i u u k Luku u, u u snotn vektorin u koordinteiksi vektoreiden i, k suhteen Itse esitstä snotn vektorin koordinttiesitkseksi Voidn osoitt, että vektorin koordintit ovt ksikäsitteiset i k A u C B Kosk o esitksessä vektori k on kohtisuorss tso T vstn, on luseen mukn u AC CB AC CB thgorn Tsovektorin normin kv kättäen AC u u Kosk k on ksikkövektori, on Siten CB u k u u u u u Vektorin pituus eli normi voidn siis lske seurvsti: Tämä ohtuu siitä, että lkupisteen A kutt kulkee täsmälleen ksi vektoreiden i suuntinen tso loppupisteen B kutt täsmälleen ksi vektorin k suuntinen suor Nämä leikkvt täsmälleen hdessä pisteessä

Vektorilskent Jos u u i u u k, niin u u u u Lskutoimitukset vruusvektoreill suoritetn kuten tsovektoreillkin koordinteittin: Jos Jos u u i u u k v v i v v k, niin ( u v ) i ( u v ) ( u v )k u v u u i u u k p on reliluku, niin pu ( pu ) i ( pu ) ( pu )k Huomutus: Tsovektorin tpn vruusvektori u u i u u k voidn esittää ilmoittmll vin koordintit eli muodoss ( u, u u ) u, Vektoreiden hteenlsku sklrill kertominen tphtuvt tällöin seurvsti: ( u, u, u ) ( v, v, v ) ( u v, u v, u v ) p ( u, u, u ) ( pu, pu, pu ) HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: Määritä seurvien vektoreiden pituudet: u i k v,i,9,7 k w 7,i,4,k Määritä vektoreiden i 7 k, i 4k c 5i resultntin normi Määritä vektorin v c normi, kun ) i, i, c i ) i k, i k, c i 5k 4 Millä t:n rvoill vektorin v ti t k pituus on 9? 5 Määritä vektorin u i k knss hdensuuntiset ksikkövektorit 6 Vektorin v itseisrvo on se on smnsuuntinen vektorin ) s i ) s i 4k knss Määritä vektori v

4 Avruuden knt Vektorilskent Smn tpn kuin edellisessä luvuss voidn osoitt, että os, c ovt kolme nollvektorist erov vektori, otk kikki eivät ole smn tson suuntiset, niin okisell vektorill u on ksikäsitteinen esits u c, missä, ovt reliluku Tällisi vektoreit, c kutsutn kntvektoreiksi vektorikolmikko (, c ), vruuden knnksi Itse esitstä kutsutn vektorin u koordinttiesitkseksi knnss (, c ) snotn vektorin u koordinteiksi knnss (,, c ), Reliluku, Yleisimmin kätett knt on toisin vstn kohtisuorss olevien ksikkövektoreiden i, k muodostm luonnollinen knt ESIMERKKI: Vektorin ko komponentteihin Jetn vektori u i 4k vektoreiden i k i k c i k suuntisiin komponentteihin Rtkisu: On lödettävä luvut, siten, että eli u c i 4k ( i k ) ( i k ) ( i k ) ( ) i ( ) ( )k Koordinttiesitksen ksikäsitteisden perusteell ksikkövektoreiden kertoimet htälön molemmill puolill ovt smt, oten sdn htälörhmä, 4 ost rtkistn Vertmll vektoreit htälörhmän kertoimi keksit helposti säännön, onk perusteell voit heti kiroitt htälörhmän Mikä tämä sääntö on?

Vektorilskent 4 5 Sdun tuloksen perusteell 5 u c HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 7 J vektori v i k kolmeen komponenttiin, otk ovt vektoreiden i k, k c i k suuntiset 44 ikkvektori Vektori r, onk lkupiste on koordintiston origo loppupiste on, kutsutn pisteen pikkvektoriksi ikkvektorin vull voidn ilmist okisen vruuden pisteen siinti origon suhteen -koordintistoss vektorit i, k vlitn in siten, että i on positiivisen -kselin suuntinen positiivisen -kselin suuntinen k positiivisen -kselin suuntinen Tällöin pisteen (,, ) pikkvektorin r koordinttiesits vektoreiden i, k suhteen on r i k eli pisteen koordintit ovt smll sen pikkvektorin koordintit i r k (,, ) Jos vektoreille kätetään luvun 4 huomutuksess kätettä esitstä, on pisteellä pikkvektorill sm esits (vrt luku ) (, ) r, Olkoon (,, ) (,, ) kksi vruuden pistettä Niiden pikkvektorit ovt r i k r i k Tällöin vektori voidn kiroitt päätepisteiden koordinttien vull (vrt luku ): r O r

Vektorilskent 5 ( ) i ( ) ( )k r r ( ) isteiden välinen etäiss d d, on vektorin pituus: ( ) ( ) ( ) ( ), HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 8 Olkoon (,,7) Q (,,) Missä pisteessä vektorin Q kärki on silloin, kun sen lkupiste on origoss? 9 Määritä nn AB keskipiste, kun A (7,, 4) B (, 4, ) Olkoot A (,, ) B (, 4, 6) iste k nn AB A:st lukien suhteess : Määritä pisteen koordintit Olkoon A (, 4, ) B (,, ) Määritä vektori AB Mikä on pisteiden välinen etäiss d A, B? ( ) Määritä kolmion ABC sivuen pituudet, kun A (,, ), B (,, ) C (,, 5) Suunnikkn ABCD kolme kärkeä ovt A(,,), B(,,) C(,,) ) Määritä piste D ) Määritä suunnikkn lävistäien pituudet c) Määritä suunnikkn lävistäien leikkuspiste 45 Sovelluksi Seurvss esimerkissä kätetään luvuss esitettä tärkeää tulost Jos voimn suuruus F p vikutussuunt on s, niin F p s ESIMERKKI: Voimien esittäminen vruudess (lskimen TI-89 kättö) Tkk, onk mss on 7 kg, riippuu kuvn osoittmll tvll puomin vrss Määritä puomin rsitus sekä hrusvierien ännitkset 5 m A m k F F 4 F F m 8 m 6 m i Rtkisu: isteeseen A vikutt kuvn mukiset nelä voim Vlitn kntvektoreiden i, k suunnt kuvn mukisesti Voimien knss smnsuuntiset ksikkövektorit ovt (TI-89: unitv) Nostovierin suuntinen voim F : s k Lskimen rvot on ktkistu kolmeen numeroon; lskimess rvot trkemmin!

uomin suuntinen voim F : Hrusvierin suuntinen voim F : s,58i,685, 489k Hrusvierin suuntinen voim F 4 : Vektorilskent 6 s 6 k s,54, 857k s k 4 i i 4 k s 5i 4 k s,657i,6, 48k 4 4 isteeseen A vikuttvien voimien suuruudet ovt (ksikkö N) F 7 g 7 9,8 F 6677 F F 4, oten voimt ovt: F 6677s 6677k F s,54, 857k F s,58i,685, 489 k F s,657i,6, 48k 4 4 Tspinotilnteess voimien resultntti Lsketn summ (lskimell TI-89): F F F F 4 (,58,657) i (,54,685,6) (,857,489,48 6677) k,58,657,54,685,6,857,489,48 6677 Rtkistn htälörhmä (TI-89: solve): 45 4 475 5 78 Vstus: uomin rsitus on 4 N hrusvierien ännitkset 5 N N Lskin TI-89: Esitetään vielä trkemmin lskimen TI-89 kättöä Esimerkki voidn rtkist seurvill komennoill: [,,-] s Vektorin koordinttiesits on in stä kiroitt ärestksessä i,, k, muuten lskimen kätössä stt tull virheitä!

Vektorilskent 7 unitv([,6,]) s unitv([,-4,-]) s unitv([-5,-4,-]) s4 6677*s*s*s*s4 f solve(f[,] nd f[,] nd f[,],{,,}) Lskun voi möhempää kättöä vrten tllent tiedostoon komennoll F: Sve Cop As Tllennettu tekstitiedosto voi trkstell muutell tekstieditoriss AS: Tet Editor Tiedoston komennot voidn suoritt viemällä kohdistin tiedoston lkuun ntmll komento F: Eecute to EOF HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 4 Kuvss on esitett voimt N 87 N ) Määritä voimien koordinttiesitkset ) Määritä voimien resultntti Mikä on resultntin suuruus? 7 N 87 N 8 5 5 lvään päähän vikutt kolme voim F, F F, oist tiedetään: F Ni, F 7N F 5N Voimien resultntin on suuntuduttv suorn lspäin Mikä on voimn F suuntinen ksikkövektori?

Vektorilskent 8 6 Msto on tuetn kolmell smlle korkeudelle kiinnitettävällä hrusvierill Hrusviereist kksi sennetn kuvn osoittmll tvll ) Määritä näistä mstoon kohdistuvien voimien koordinttiesitkset ) Määritä näiden khden voimn resultntti c) Kolmnteen hrusvieriin on vedetään 8 N ännits sen toinen pää sioitetn kohtn (, ) Määritä tästä mstoon kohdistuvn voimn koordinttiesits 85 N N m m m 5 m d) Mihin kohtn -tsoll kolms vieri on kiinnitettävä, ott näistä kolmest vierist mstoon kohdistuvien voimien resultntti olisi mston suuntinen 46 Suor Suor on määrätt, os tunnetn sen ksi piste suunt Suorn suunt voidn ilmist vektorill, ot kutsutn suorn suuntvektoriksi Olkoon L pisteen Olkoon r tunnetun pisteen kutt kulkev suor, onk suuntvektori on s pikkvektori r suorn mielivltisen pisteen pikkvektori Tällöin voidn päätellä seurvsti (ks kuv): L s r r s Luvun tuloksen perusteell sdn edelleen Esitstä r r ts, r r ts, r r ts, t R t R t R snotn suorn L vektorimuotoiseksi prmetriesitkseksi Kerroin t on prmetri O r L r s

Vektorilskent 9 Edellä olev prmetriesits trkoitt seurv: iste on suorll L täsmälleen silloin, kun sen pikkvektori on muoto r r ts ollin t Voidn tell, että kun prmetri t s eri rvo, niin vektorin r r ts kärki piirtää suorn L Olkoon nt, (,, ) Tällöin ( ), i k r i k r Olkoon lisäksi Tällöin prmetriesits seurvsti: i k i s s i s s k r r ts voidn kiroitt k t ( s i s s k ) ( ts ) i ( ts ) ( ts )k Vertmll ksikkövektoreiden kertoimi päädtään suorn L koordinttimuotoiseen prmetriesitkseen ts ts ts, t R r L (, ), r s (,, ) Edellä on esitett vruussuorn koordinttimuotoinen prmetriesits Tsosuorn koordinttimuotoinen prmetriesits on muuten sm, mutt siitä puuttuu -koordintti ESIMERKKEJÄ isteen (,, 4) kutt kulkevn vektorin i 5 k suuntisen suorn prmetriesits vektorimuodoss on r i 4k t r ( i 5 k ) ; t R ( t) i ( 5t ) ( 4 t) k ; t R Suorn koordinttimuotoinen prmetriesits on t 5t 4 t ; t R Koordinttimuotoisest prmetriesitksestä näkee välittömästi suorn pisteen suuntvektorin (miten?) Suorn kikki pisteet sdn ntmll prmetrille t eri relirvo Esimerkiksi piste t 7 5t 9 4 t on rtkisu t ( 7, 9, ) on suorll, sillä htälörhmällä

Sen sin piste ( 9,, ) ei ole suorll, sillä htälörhmällä t 9 5t 4 t Vektorilskent ei ole rtkisu: ensimmäisen htälön rtkisu on t ; tämä ei kuitenkn toteut toist htälöä Tsosuorien leikkuspiste Määritä suorien t t leikkuspiste t t Rtkisu: Suorien prmetrit eivät riipu toisistn Merkitään älkimmäisen suorn prmetri t:n sist s:llä Leikkuspisteessä - -koordinteill on smt rvot Siten t s t s Tämän htälöprin rtkisu on s t Leikkuspisteen koordintit sdn älkimmäisestä prmetriesitksestä prmetrin rvoll s (ti edellisestä prmetrin rvoll t ) ( ) Leikkuspiste on siis, Khden pisteen kutt kulkev suor Edellä suorn esitksen lähtökohtn oli suorn ksi piste suunt Suor on mös määrätt, os tunnetn sen kksi pistettä Trkstelln tällisen suorn esitstä Olkoon L pisteiden kutt kulkev suor isteiden pikkvektorit olkoot r r Tällöin suorn suuntvektori on s r r Ottmll suorn pisteeksi piste, sdn suorn vektorimuotoiseksi prmetriesitkseksi ( r r ) R r r t, t Jos pisteiden koordinttiesitkset ovt (, ) (, ), koordinttimuotoinen prmetriesits kiroitt seurvsti: t( ) t( ) t( ), t R O r, L r s, voidn suorn

HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 7 Mitä suorn ( i k ) r i k t 4 pistettä vst prmetrin t rvo ) ) c) 8 Onko piste ) (,,) ) ( 7,,) c) (,,7) suorll t t 4t 9 iirrä -tson suor t ) ) t Vektorilskent r i t i d) 7 Kiroit pisteen (,,4) kutt kulkevn vektorin s i 4k suuntisen suorn prmetriesits ) vektorimuodoss ) koordinttimuodoss Koordinttimittuslitteell määritettiin pisteet (, 87) ( 9, ), oiden kutt kulkev suor pitkin lserleikkurin tuli leikt lev khti Määritä suorn prmetriesits sekä pisteitä vstvt prmetrin rvot Määritä -tson suorien t t t t leikkuspiste Määritä suorn t t t tson leikkuspiste 46 Tsosuor Edellisen luvun mukn -tson suorn koordinttimuotoinen prmetriesits on ts ts ; t R Tsosuor esitetään leensä htälömuodoss Ktsotn kuink tämä esits sdn ikiseksi Kosk suorn suuntvektori

s s i s on nollst erov, on Vektorilskent s ti s Molemmiss tpuksiss eliminoimll t suorn prmetriesitksestä, päädtään htälöön (trkist si rtkisemll t toisest htälöstä sioittmll toiseen htälöön) s ( ) s ( ) s Merkitsemällä s s s c s s s, s voidn tämä kiroitt htälönä c, missä ti Tämä on tsosuorn htälömuotoinen esits Yhtälöistä (*) nähdään, että Suorn c suuntvektori on s i Tsosuorn koordinttimuotoisest prmetriesitksestä siirrtään siis htälöesitkseen eliminoimll prmetri t Yhtälöesitksestä voidn puolestn siirtä koordinttimuotoiseen prmetriesitkseen vlitsemll prmetriksi toinen muuttuist ESIMERKKEJÄ Muunn prmetriesits t 5 4t htälöesitkseksi Rtkisu: Rtkistn lemmästä htälöstä t: t Sioitetn tämä toiseen htälöön, olloin sdn htälöesits 5 4 ( ) 5 4 5 8 4 4 7 Muunn htälöesits 4 9 prmetriesitkseksi (*)

Rtkisu: Vlitsemll t sdn ost t 4 9, 9 t 4 4 Siis suorn prmetriesits on t 9 t 4 4 Vektorilskent Jos prmetriksi olisi vlittu muuttu, olisi stu toisenlinen prmetriesits Yleisemmin suorll on ääretön määrä erilisi prmetriesitksiä Keksi pri muut prmetriesitstä! HARJOITUSTEHTÄVÄT 4: 4 Muunn prmetriesits t 5t htälöesitkseksi 5 SKALAARITULO 5 Määritelmä ominisuudet Luvuss määriteltiin vektoreiden välinen kulm ( ) vektoreiden välinen sklritulo eli pistetulo: Vektoreiden sklritulo on cos(, ), Tätä käsitettä kättäen määritellään Sklritulo on sklri, ei vektori Merkintä luetn " piste ", ost tulee sklritulon nimits pistetulo Kosk sklritulon merkkinä kätetään pistettä, ei luvun vektorin kertolskuss tule kättää pistettä Kosinifunktion ominisuuksien perusteell sklritulon positiivisuus negtiivisuus määrät vektoreiden välisen kulmn suuruudest: (, ) 9 9 (, ) 8 ti ti (, ) 9 Eritisesti vektoreille pätee

Vektorilskent 4 Jos, niin sklritulon määrittelevästä kvst voidn rtkist luseke vektoreiden väliselle kulmlle ), cos( Tästä sdn vektoreiden väliselle kulmlle esits rccos ), ( Vektorin normi voidn lusu sklritulon vull: ( ) cos, cos Siis ost sdn Kosk ( ), cos, on sklritulon määrittelevän kvn perusteell voimss Schwrin epähtälö: Voidn osoitt, että sklritulo noudtt seurvi lskusääntöä: Vihdntlki ( ) ( ) Osittelulit ( ) ( ) ( ) p p p Sklritekiän siirtosääntö Sklritulon lskusäännöt muistuttvt siis hvin plon relilukuen tulon lskusääntöä ESIMERKKEJÄ ( ) ( ) Vert tätä lgerss esiintvään smoen lukuen summ tulon kvn Mitä ero hvitset? ( ) ( ) 8 4 4 4 Kertolsku suoritetn siis tvllisi lgern sääntöä kättäen: kerton okisell termillä kerrotn kerrottvn okinen termi Lopuksi on kätett kertolskun vihdnnisuutt sklritulon normin välistä htettä Vinokulmisen kolmion rtkisemisess kätetään kosinilusett, onk mukn kolmioss (ks lempää kuv)

Vektorilskent 5 c cos γ Johdetn kosiniluse sklritulo kättäen Määritellään lemmn kuvn mukiset vektorit Tällöin Kosk on,, c c, c c c c γ (, ) ( ) ( ) Kättämällä sklritulon määrittelevää kv sdn tästä ( ) c cos,, ost kosiniluse seur 4 Jos vkiovoim F siirtää kpplett vektorin s verrn, niin teht tö on γ (, ) W F s F s c c HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: erustele sklritulon vihdntlki erustele sklritekiän siirtosääntö tpuksess ) p > ) p < Määritä u v, kun u, 67, v 4, 58 u v 8, 5 4 Vektoreiden pituudet ovt,75,5 sekä, Määritä vektoreiden välinen kulm 5 Vektoreist u v tiedetään, että u 5, 4 u v u välinen kulm 5 Sklritulo koordinttimuodoss v ( u,v ) Määritä vektoreiden Koordinttimuodoss nnettuen vektoreiden sklritulo on helppo lske: kosk ksikkövektoreiden i, k pituus on ksi ne ovt toisin vstn kohtisuorss, on i i k k i k k i Siis sklritulon kertotulu ksikkövektoreille on seurv: Lskuärests: ensin vkriviltä sitten pstriviltä (vikk ei ole väliä, sillä sklritulo on vihdnninen)

i k i k Lsketn nt vektoreiden i k i k sklritulo kättäen osittelulki llä olev kertotulu Stiin tulos: Jos Vektorilskent 6 ( i k ) ( i k ) ( )( i i ) ( )( i ) ( )( i k ) ( )( i ) ( )( ) ( )( k ) ( )( k i ) ( )( k ) ( )( k k ) i k i k, niin Sklritulo lsketn siis kertomll vstinkoordintit keskenään lskemll tulot hteen Yo kv pätee mös tsovektoreille: ätetään vin ksikkövektori k pois ESIMERKKEJÄ Lske vektoreiden i k i 5 k välinen kulm Rtkisu: Kulmn lskent perustuu kvn cos(, ) Tätä vrten lsketn ( ) 5 7 ( ) 4 Siis ( ) 5 8 7 cos(, ),488, 4 8 ost vektoreiden väliseksi kulmksi sdn (, ) rccos,488 7, Määritä okin tsovektori u i vstn kohtisuorss olev vektori Rtkisu: Vektori

v i on kohtisuorss vektori u vstn, os u v Tämä htälö pätee, os esimerkiksi v i Vektorilskent 7,, olloin Tsovektori vstn kohtisuorss olev vektori sdn siis vihtmll koordintit keskenään sen älkeen ensimmäisen (ti toisen koordintin) etumerkki Tällä toimenpiteellä sdn esimerkiksi ksikkövektori ksikkövektorist i Trkempi trkstelu osoittisi, että muut vektori u vstn kohtisuorss olevt vektorit ovt muoto ( i ) R v t, t Osoitetn, että puolimprän sisältämä kehäkulm on suor kulm uolimprän sisältämällä kehäkulmll trkoitetn kulm, onk kärki on puolimprän kehällä klet leikkvt puolimprän kehän hlkisin päätepisteissä Olkoot kulmn klkien suuntiset vektorit, oiden lkupiste on kulmn kärki loppupisteet ovt hlkisin päätepisteet (ks kuv) Kuvn merkintöä kättäen sdn Siten Kosk on r s r s ( r s ) ( r s ) r s r s mprän säde,, oten vektorit ovt toisin vstn kohtisuorss kulm (, ) on suor kulm s r s Lskin TI-89: Vektorien sklritulo muodostetn komennoll dot: Esim ( i,7,k ) (,5 4, k ) lsketn komennoll dot([,-7,],[,5,4]) HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 6 Määritä vektoreiden välinen kulm (, ), kun ) 5i i 4 ),i, 4, k,4i,7, 8k 7 Ovtko vektorit ) v i k u i k

) v i k u i 7k c) v i k u i Vektorilskent 8 kohtisuorss toisin vstn? 8 Määritä tsovektori u i 4 vstn kohtisuort tson ksikkövektorit 9 Neläkäs on suunniks, onk kikki sivut ovt htä pitkiä Osoit, että neläkkään lävistäät ovt kohtisuorss toisin vstn Nelikulmion OABC kärkinä ovt pisteet O (,), A (, ), B (, ) C (, ) Määritä siten, että kulmt OAB OCB ovt suori C B O A Määritä oheisess suorkulmisess särmiössä vektoreiden AB CD välinen kulm AB, CD ( ) C B 47 cm A 98 cm cm D Kuvn säännöllisen nelisivuisen prmidin pohneliön sivun pituus on 5, m korkeus on 7, m isteet Q ovt sivusärmillä siten, että A : E : CQ : QE 4: Määritä Q, BE vektoreiden Q BE välinen kulm ( ) E Q D C A B Vkiovoim F 6,7Ni 8,N,4Nk kulett kpplett vektorin s,4mi,9m,4mk verrn Määritä voimn tekemä tö

5 Vektorin kohtisuor proektio Vektorilskent 9 Trkstelln tilnnett, oss on kksi vektori v rkimksenä on k vektori khteen komponenttiin v, (*) oist v v v Komponenteill on seurvt nimitkset: v on :n proektio v :llä on normlikomponentti Määritetään luseke proektiolle v Kosk v v, on luvun mukn olemss luku t siten, että v tv Määritetään luku t Yhtälön (*) perusteell Siis v tv v ( tv ) v Kosk vektorit ovt toisin vstn kohtisuorss täsmälleen silloin, kun niiden sklritulo on noll, sdn ( tv ) v v tv v ost voidn rtkist t: v v t v v v Näin on stu luseke vektorin proektiolle v :llä v v v v Normlikomponentti määrätään proektion vull: v ESIMERKKEJÄ Jetn vektori i k khteen komponenttiin, oist toinen on vektorin v i k suuntinen toinen sitä vstn kohtisuorss Rtkisu: Komponentit ovt proektio v normlikomponentti Lsketn ensin v Siten v v ( ) ( ) ( ) 8 v v

Vektorilskent 4 8 8 4 ( i k ) i k v 8 v v v Normlikomponentti on v 8 8 4 i k i k i Jos e on ksikkövektori, on e Siten vektorin proektiolle e :llä sdn esits e e e ( e )e e 9 k HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 4 Olkoot,87i 7,9, k,45i,5, 5k Määritä 5 J voim F 87 Ni 5N 6Nk khteen komponenttiin, oist toinen on vektorin i k suuntinen toinen tätä vstn kohtisuorss 54 Tso Tso on määrätt, os tunnetn sen ksi piste vektori, ok on kohtisuorss tso vstn Tätä vektori kutsutn tson normlivektoriksi Olkoon T pisteen kutt kulkev tso, onk normlivektori on n Olkoon r pisteen pikkvektori r tson mielivltisen pisteen pikkvektori Oheisen kuvn merkinnöin voidn päätellä seurvsti: T n n r r ( r r ) n On stu tson vektorimuotoinen htälö ( r r ) n ( ) Olkoon nt, (,, ), olloin pikkvektorit ovt, i k r i k r Olkoon lisäksi normlivektori n i ck Tällöin htälö ( r r ) n voidn kiroitt seurvsti: ( i ck ) [( i k ) ( i k )] ( i ck ) [( ) i ( ) ( ) k ] Stiin tulos ( ) ( ) c( ) T n r O r

( isteen,, ) kutt kulkevn vektori n i ck htälö on ( ) ( ) c( ) Vektorilskent 4 ( ) vstn kohtisuorn tson Jos tässä htälössä inkin ksi kertoimist, c on nollst erov, niin htälön kuv on vektori n i ck, kutt vstn kohtisuor tso, ok kulkee pisteen ( ) Edellä olev htälö voidn kiroitt muotoon Jos merkitään c c d c d c,, päädtään tson koordinttimuotoisen htälöön Tässä muodoss nnetun tson normlivektori voidn luke suorn :n, :n :n kertoimist: n i ck HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 6 Mitkä ovt koordinttitsoen htälöt? A ( ) ( ) 7 Jnn päätepisteet ovt, 4, B,, Määritä nn keskinormlitson koordinttimuotoinen htälö 8 Määritä pisteiden A (,, ) B (,, 4) kutt kulkevn suorn tson ) ) 4 leikkuspiste 9 Muodost tsoen 4 leikkussuorlle prmetriesits 54 isteen etäiss tsost Määritetään pisteen (, ) c d määrittämästä tsost Olkoon (, etäiss δ htälön,, ) okin tson piste Kuvst nähdään, että etäiss δ on vektorin v tson normlivektorille n i ck muodostetun proektion normi Kosk v n v n δ n n n n v n n n ( ) i ( ) ( )k v sdn edelleen, v δ

v n δ n ( ) ( ) c( ) c Kosk on tson piste, on c c d d c Vektorilskent 4 c c Sioittmll tämä etäisden lusekkeeseen sdn seurv tulos: isteen (,, ) etäiss tsost c d on δ c c d ESIMERKKEJÄ Määritä pisteen (,, ) etäiss tsost 7 6 8 5 Rtkisu: Kättäen edellä ohdettu kv sdn etäisdeksi D 6 ( ) ( 7) 6 7 8 5 9 D,779 8 49 54 Tsosuor Tsosuor on määrätt, os tunnetn sen ksi piste vektori (normlivektori), ok on kohtisuorss suor vstn Lähtökoht on siis sm kuin vruudess olevn tson tpuksess Jos lukuen 54 54 trksteluiss ätetään -koordintti pois, päädtäänkin tsosuori koskeviin tuloksiin Kootn nämä tulokset Tsosuorn vektorimuotoinen htälö on ( r r ) n, missä r suorn pisteen ( pikkvektori n on suorn normlivektori isteen, ) kutt kulkevn vektori n i suorn htälö on ( ) ( ) Suorn koordinttimuotoisen htälö on missä c, ( ) n vstn kohtisuorss olevn ti Tässä muodoss nnetun suorn normlivektori on n i ( isteen, ) etäiss suorst c on δ c

Vektorilskent 4 55 llo llopint eli pllo on niiden vruuden pisteiden oukko, otk ovt htä etäällä (säteen etäisdellä) kiinteästä pisteestä (pllon keskipisteestä) Olkoon pllon keskipisteen pikkvektori on r, r säde on R pllopinnn mielivltisen pisteen pikkvektori r Tällöin piste on pllopinnll, os vin os :n etäiss pisteestä on R: O r r r R Tämä on pllopinnn vektorimuotoinen htälö ( ) ( ) Jos,,,, on r i k r i k llopinnn vektorimuotoinen htälö voidn nt kiroitt seurvsti: ( ) ( ) ( ) R Korottmll tämä toiseen potenssiin sdn pllopinnn koordinttimuotoinen htälö ( ) ( ) ( ) R Tästä esitsmuodost nähdään välittömästi pllon keskipiste säde Suorittmll edellisessä htälössä neliöön korotukset hiemn muokkmll, sdn R llopinnn htälö voidn siis in kiroitt muodoss c d, c missä,, c d ovt reliluku Tällisen htälön kuv ei kuitenkn in ole pllopint Se esittääkö htälö pllo, voidn selvittää neliöksi tädentämisellä Tätä trkstelln lähemmin luvuss 55 ESIMERKKEJÄ llon keskipiste on (,, ) säde 5 Mikä on pllon htälö? Rtkisu: Sioittmll koordinttimuotoiseen htälöön sdn ( ( )) ( ) ( ( ) ) 5 ( ) ( ) ( ) 5 Tämä voidn edelleen kiroitt muodoss 4 6 d llopint snotn oskus lhesti plloksi

Vektorilskent 44 Määritä pllon ( ) ( ) ( ) pisteeseen (,5,6) setetun tngenttitson htälö? Rtkisu: iste (,5, 6) on todellkin pllopinnll, sillä ( ) ( 5 ) ( 6 ) (,, ) ( 6) llon keskipisteen sivumispisteen,5, kutt kulkev suor on kohtisuorss tngenttitso vstn Täten vektori ( ( ) ) i ( 5 ) ( 6 ) k i k 5 on tngenttitson normlivektori Kosk sivumispiste on tngenttitson eräs piste, niin tson htälö on ( ) ( 5) 5( 6) 5 4 HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: llon keskipiste on (,, ) säde Kiroit pllon koordinttimuotoinen htälö Määritä kksi pllopinnn pistettä llon keskipiste on (,, 4) piste (4, 5, ) on pllopinnll Määritä pllon htälö Määritä pllon ( ) ( ) 9 pisteeseen (,, ) setetun tngenttitson htälö 55 Ymprä Ymprä on niiden tson pisteiden oukko, otk ovt htä etäällä (säteen etäisdellä) kiinteästä pisteestä (mprän keskipisteestä) Trkstelu on smnlinen kuin edellä pllon tpuksess: vin -koordintti ää pois Siten mprän vektorimuotoinen htälö on sm kuin pllopinnn koordinttimuotoinen htälö on ( ) ( ) R Ymprän htälö voidn in stt muotoon c, missä, c ovt reliluku Ymprän htälö on siis sekä :n että :n suhteen toiseen steen h- R (, ) (, )

Vektorilskent 45 tälö, oss toisen steen termien kertoimet ovt htä suuret ost puuttuu sektermi Tätä muoto olevn htälö kuv ei kuitenkn in ole mprä Tätä selvitetään luvuss 55 ESIMERKKEJÄ Yksikkömprä Origokeskistä mprää, onk säde on, snotn ksikkömpräksi Yksikkömprän htälö on Määritä pisteiden (, ), (, 5) (5, ) kutt kulkevn mpräviivn htälö Rtkisu: Ympräviivn htälö on muoto c isteiden on siittv mprällä, oten niiden koordinttien on toteutettv mprän htälö: 5 5 ( ) ( ) 5 c 5 c Yhtälörhmän rtkisu on 7 4 8 5 c 8 c oten nnettuen pisteiden kutt kulkev mprä on 7 5 4 8 8 Tämä voidn kiroitt mös muodoss 8 8 4 5 c 5 5 c 4 5 c 6 HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: Kiroit mprän htälö, kun mprän keskipiste on säde on r ) (, ); r 5 ) (, ); r 4 iste (, ) on mprän kehällä mprän keskipiste on (, 5) Määritä mprän htälö 5 Määritä pisteiden (, ), (, ) (, -) kutt kulkevn mprän htälö

Vektorilskent 46 55 Neliöksi tädentäminen Kosk inomin neliön kvn mukn, ( ) ± ± voidn tppiä olev luseke kiroitt seurvsti: p ± ± ± ± ± p p p p p p p Tätä toimenpidettä snotn neliöksi tädentämiseksi, sillä muodoss ± p p muuttu esiint hdessä lusekkeess, ok on korotettu toiseen potenssiin ESIMERKKEJÄ ( ) 6 6 6 6 6 6 4 49 7 7 7 7 7 7 Neliöksi tädentämistä kättäen voidn selvittää milloin htälö c esittää mprää Kiroitetn htälö muotoon c Tädennetään merkitt lusekkeet neliöksi lisäämällä htälö molemmille puolille sopivt termit: c c 4 Jott tämä esittäisi mprää, on lusekkeen c 4 oltv säteen neliö eli positiivinen äädtään seurviin tpuksiin: Jos 4 > c, on htälön kuv mprä, onk keskipiste on, säde c 4 Tässä kuten seurvisskin lusekkeiss merkinnässä ± lemmät merkit vst toisin, smoin lemmt Vstv trkstelu voidn tehdä pllon tpuksess

Jos c, on htälön kuv piste, 4 Jos c <, ei htälö ole minkään kärän kuv 4 ESIMERKKEJÄ Määritä mprän 4 9 keskipiste säde Rtkisu: Neliöksi tädentämällä sdn 5 5 4 9 ( 5) ( ) Vektorilskent 47 9 5 Tästä nähdään, että htälö esittää mprää, onk keskipiste on (5, ) säde HARJOITUSTEHTÄVÄT 5: 6 Tädennä neliöksi seurvt lusekkeet: ) 6 ) c) 9 d) 7 Tutki, onko seurvien htälöiden kuv mprä Mönteisessä tpuksess selvitä millinen mprä on kseessä ) ) c) 6 9 d) 8 Määritä niiden pisteiden oukko, oiden etäiss pisteestä (, ) on in kksi kert niin suuri kuin sen etäiss pisteestä (5, ) iirrä kuvio 9 Millä t:n rvoill htälön t kuv on mprä? 6 VEKTORITULO 6 ositiivinen suunnistus Olkoon, c kolme vruuden vektori, otk muodostvt knnn Tällöin kolmikko (,, c ) on positiivisesti suunnistettu, os seurv ehto pätee: kun oiken käden peuklo osoitt vektorin suuntn etusormi vektorin suuntn, niin tivutettu keskisormi osoitt vek-,, c muodost oikekätisen ärestelmän torin c suuntn Snotn mös, että kolmikko ( ) Jos tivutettu keskisormi osoitt vektorin c suuntn, niin kolmikko (, c ), on negtiivisesti suunnistettu Tätä snotn mös vsenkätiseksi ärestelmäksi

6 Määritelmä ominisuudet Vektorilskent 48 Vektoreiden välinen vektoritulo eli ristitulo määritellään seurvsti : Jos vektorit ovt erisuuntisi, niin niiden vektoritulo on sin(, )e, missä e on vektoreit vstn kohtisuorss olev ksikkövektori, olle kolmikko,, e on positiivisesti suunnistettu ( ) Jos vektorit ovt hdensuuntisi, niin niiden vektoritulo on nollvektori ( ) Jos vektorit ovt erisuuntiset, niin niiden väliselle kulmlle, pätee < (, ) < 8, olloin sin (, ) > Siten vektorituloss vektorin e kerroin sin (, ) > Siis erisuuntisill vektoreill vektoritulo on kohtisuorss vektoreit vstn:, kolmikko (, ), on positiivisesti suunnistettu Vektoritulon normill ( ) sin, on seurv geometrinen tulkint (perustele tämä!): Vektoritulon normi (, ) on sen suunnikkn pint-l, onk sivuin ovt vektorit Vektoritulolle ovt voimss seurvt lskusäännöt: Antismmetriss! ( c ) c ( ) c c c p ( ) ( p ) ( p ) Osittelulit Sklritekiän siirtosääntö Liitäntälki ei vektoritulolle ole voimss: leensä ( c ) ( ) c Huom, että suorn määritelmän perusteell ESIMERKKEJÄ ( ) ( ) Miksi on määriteltävä erikseen hdensuuntisten vektoreiden vektoritulo?

Vektorilskent 49 Vert tätä lgerss esiintvään smoen lukuen summn tulon kvn Mitä ero hvitset? Osoit, että sklritulo vektoritulo sitoo toisiins seurv htälö ( ) Rtkisu: Kosk ( ) ( ) sin, cos, sdn trigonometrin peruslusett kättäen ( ) sin (, ) cos (, ) ( sin (, ) cos (, ) Määritetään pisteen (pikkvektori r ) etäiss d suorst r r ts Kuvn merkinnöin ( r on pisteen (, s ) r r sin( r r s ) d sin, pikkvektori) hvitn, että Etäisden luseke voidn kiroitt vektoritulo kättäen seurvsti: d r r s sin, s ( r r s ) ( r r ) s s d s HARJOITUSTEHTÄVÄT 6: erustele vektoritulon ntismmetriss erustele sklritekiän siirtosääntö tpuksess ) p > ) p < 6 Vektoritulo koordinttimuodoss Avruuden ksikkövektorit i, k vlitn in siten, että kolmikko ( i, k ), on positiivisesti suunnistettu Tällöin vektoritulon määritelmästä sdn seurv kertotulu ksikkövektoreiden i, k vektoritulolle: i k i k k i k i i k Lskuärests: ensin vkriviltä sitten pstriviltä

Vektorilskent 5 Yksikkövektoreiden i, k vektorituloen rvot muist prhiten o kviost Jos kierretään nuolten osoittmn suuntn rvo on positiivinen Jos kierretään vstkkiseen suuntn rvo on negtiivinen Olkoon nt k i k i Kättäen vektoritulon lskusääntöä llä olev kertotulu sdn vektoreiden vektorituloksi ( ) ( ) ( )k i -rivisten determinnttien vull vektoritulo voidn kiroitt muotoon k i Tämä voidn edelleen kiroitt kolmirivisenä determinnttin: Jos k i k i,niin k i ESIMERKKEJÄ Vektoreiden k i 4 k i vektoritulo on 4 k i k i k i 7 4 4 -tson kolmion käret siitsevt pisteissä ( ),, ( ), Osoit, että kolmion pint-l on (, ) A Rtkisu: Kolmion pint-l on puolet sen suunnikkn pint-lst, onk sivuin ovt vektorit Kosk ( ) ( ) i ( ) ( ) i, on

i k k Siis kolmion pint-l on A k Vektorilskent 5 Lskin TI-89: Vektorien vektoritulo muodostetn komennoll cross: Esim ( i,7,k ) (,5 4, k ) lsketn komennoll cross([,-7,],[,5,4]) HARJOITUSTEHTÄVÄT 6: Määritä, kun ) i 4 k i k ) i 4k i k 4 Olkoot i k, 4i k c i 4k ( c ) Määritä ( ) c 5 Määritä ne ksikkövektorit, otk ovt kohtisuorss vektoreit u i 5 k v i k vstn 6 Suunnikkn sivuin ovt vektorit, i,, k,i 4,, k Määritä suunnikkn pint-l 7 Kolmion käret ovt pisteissä (, ), ( 8,7) ( 7,) Määritä kolmion pint-l 8 Kolmion käret ovt pisteissä (,, ), (,,) (,, ) 9 J voimvektori F Ni N 9Nk i ksi vektorin k suun- kolmeen komponenttiin, oist ksi on vektorin tinen sekä ksi näitä vstn kohtisuorss 64 Voimn momentti pisteen suhteen Voim vikutt kppleeseen ulkoisesti seurvsti: Se rittää liikutt kpplett vikutussuorns suuntisesti Määritä kolmion pint-l Se rittää pörittää kpplett sellisen kselin (ti suorn) mpäri, ok ei ole voimn vikutussuorll Voimn pöritskkä kuvtn voimn momentill: