Mtemtiikn tukikurssi Integrointi Integrointi on derivoinnin käänteistoimitus: jos funktion F(x) derivtt on f (x), niin funktion f (x) integrli on F(x). Täten, kosk esimerkiksi funktion x + e x derivtt on x + e x, niin tämän funktion x + e x integrli on x + e x. Tätä merkitään seurvsti: x + e x dx x + e x. Tässä ( )dx trkoitt yksinkertisesti että luseke ( ) integroidn. Se on yhtenäinen merkintä, jonk ost j dx eivät trkoit yksinään vrsinisesti mitään, joskin dx kertoo, että integrointi suoritetn x:n suhteen. Vstvsti ( )dy trkoitt integrointi y:n suhteen. Vstvsti huomtn esimerkiksi, että x 5 dx 6 x6, kosk d dx 6 x6 x 5. Integrointi on siis helppo, jos ost rvt, minkä funktion derivtt tietty funktio on. Tvlln siis ost jo integroid, jos ost derivoid. Integrlifunktio ei kuitenkn ole yksikäsitteinen: myös funktio /6x 6 + on funktion x 5 integrlifunktio, kosk funktion /6x 6 + derivtt on x 5. Itse siss jos F(x) on funktion f (x) integrlifunktio eli dx d F(x) f (x), niin myös funktio F(x) + C on funktion f (x) integrlifunktio millä thns vkion C rvoll, kosk d (F(x) + C) f (x) + f (x). dx Kun nyt puhutn integroinnist, trkoitetn määräämättömän integrlin lskemist. Lisäksi on olemss määrätty integrli. Näiden khden välinen ero selviää iknn.
Esimerkki.. ( Funktion ) 4x kikki integrlifunktiot ovt muoto 4 3 x3 + C, kosk dx d 43 x 3 + C 4x. Kosk integrointi on derivoinnin käänteistoimitus, niin jokist derivoimissääntöä vst käänteinen integroimissääntö. Otetn näistä esimerkkejä. Esimerkki.. Potenssifunktion x n derivtt on nx n. Täten x n dx n + xn+ + C. Eli kosk potenssin derivoimissääntö kertoo, että potenssi tulee eteen kertoimeksi j potenssi vähenee yhdellä, kertoo vstv integrointisääntö että potenssi ksv yhdellä j tämän yhdellä ksvneen potenssin käänteisluku tulee eteen kertoimeksi. Tästä seur esimerkiksi, että x 35 dx 36 x36 + C. Esimerkki.3. Tunnetusti logritmin ln x derivtt on /x. Täten dx ln x + C, x kun x >. Tähän mennessä käsitellyt integroinnit ovt olleet käytännössä melko suorviivisi. Hnklmpi tehtäviä ovt usein derivoinnin ketjusääntöön perustuvt integroinnit. Derivoinnin ketjusääntöhän kertoo, että yhdistetyn funktion f (g(x)) derivtt on f (g(x))g (x). Eli ulkofunktion derivtt (rvoll sisäfunktio g(x)) kert sisäfunktion derivtt. Täten tämä sääntö kertoo meille esimerkiksi, että Dx(x + 6x) (x + 6x) 9 (x + 6). Täten luonnollisesti (x + 6x) 9 (x + 6)dx (x + 6x) + C, eli käytännössä tässäkään integroimissäännössä ei ole mitään uutt: se kertoo inostn että f (g(x))g (x)dx f (g(x)) + C. Käytännössä vike on huomt, että luseke (x + 6x) 9 (x + 6) on muoto f (g(x))g (x).
Esimerkki.4. (3x + )e x3 +x+5 dx e x3 +x+5 + C. Mtemttisen nlyysin kurssilt muistuu mieleen myös, että logritmin derivoimissääntöä j ketjusääntöä voi yhdistää derivoitess funktion f (x) logritmi: Dx ln f (x) f (x) f (x). Tässä pitää muist, että logritmi on määritelty inostn, kun f (x) >. Toislt jos f (x) <, niin silloin puolestn ln( f (x)) on määritelty (kosk tällöin f (x) > ) j Dx ln( f (x)) f (x) f (x) f (x) f (x). Täten funktion f (x) integrointi tuott tuloksen ln f (x) + C, jos f (x) on f (x) positiivinen, j tuloksen ln( f (x)) + C, jos f (x) on negtiivinen. Nämä kksi tpust voi yhdistää kätevästi kirjoittmll, että f (x) dx ln f (x) + C, f (x) joss f (x) voi oll negtiivinen ti positiivinen, kunhn f (x). Kosk esimerkiksi Dx ln(x + 5x + ) x + 5 x + 5x +, niin vstv integrointi kertoo täten, että ( ) x + 5 x dx ln x + 5x + + C. + 5x + Eli jos tunnistt integroitvn funktion olevn muoto f (x), niin integrointitehtävän vstus on yksinkertisesti ln f (x) + f (x) C. Esimerkki.5. Integroidn nyt funktio x + 4 x 3 + x. 3
Tämä ei itse siss ole muoto f (x)/ f (x), mutt sen huomtn olevn muoto 4 f (x)/ f (x). Kosk integrointi on linerinen opertio, tämän lusekkeen integrointi voidn suoritt helposti siirtämällä kerroin 4 eteen: x + 4 x 3 + x dx 4 3x + x 3 + x dx 4 ln x 3 + x. Tässä vditn täydellisyyden vuoksi vielä ehto x 3 + x. Huom, että integrlifunktio F(x) on in derivoituv, kosk määritelmän mukn F (x) f (x). nlyysin peruskurssill osoitettiin, että derivoituv funktio on in jtkuv. Tästä seur, että integrlifunktio on in jtkuv. Tästä tuloksest on pu, kun hetn ploittin määriteltyjen funktioiden integrlej, kuten ll olevss tehtävässä: Esimerkki.6. Etsitään funktion { x, kun x f (x) x, kun x < integrlifunktio. luksi integroidn funktio ploittin: funktion x integrlifunktiot ovt muoto 3 x3 + C j funktion x integrlifunktiot ovt muoto x + C. Täten funkion f (x) integrlifunktiot F(x) ovt muoto { 3 x 3 + C, kun x F(x) x + C, kun x <. Tämän integrlifunktion pitää kuitenkin oll jtkuv, kosk integrlifunktiot ovt in jtkuvi. Tämä rjoitt vkioiden C j C rvoj. Jott tuo integrlifunktio olisi jtkuv, on oltv että pisteessä x nuo kksi plst yhtyvät, eli 3 x3 + C x + C, kun x. Tästä seur, että on oltv C C. Täten hlutut integrlifunktiot voidn ilmist muodoss: { 3 x 3 + C, kun x F(x) x + C, kun x <. Tämä trkoitt, että ( f (x) + bg(x))dx f (x)dx + b g(x)dx. 4
Tässäkin esimerkissä tuloksen oli siis joukko integrlifunktioit: yksi integrlifunktio jokist vkion C rvo kohden. Käytännössä sdn vin yksi rtkisu, jos rjoitetn funktion rvo tietyssä pisteessä. Jos yllä olevss esimerkissä vdittisiin vikkp, että F(3), niin silloin 3 3 3 + C eli C 9. Tällöin stisiin yksikäsitteinen integrlifunktio: F(x) { 3 x 3 9, kun x x 9, kun x <. Tämä ehto F(3) on esimerkki lkurvost, joit tulln tpmn lisää esimerkiksi differentiliyhtälöiden yhteydessä. Osittisintegrointi Mtemttisen nlyysin peruskurssill derivoitiin funktioit, jotk olivt khden funktion tuloj: esimerkiksi funktio (x + 3x + )(e x + 4x) on funktioiden x + 3x + j e x + 4x tulo. Tällinen funktio derivoitiin tulosäännöllä, jok menee seurvsti: (.) d dx ( f (x)g(x)) f (x)g(x) + f (x)g (x). Tällä kvll voidn lske esimerkiksi yllä olevn funktion derivtt: d ( ) (x + 3x + )(e x + 4x) (4x + 3)(e x + 4x) + (x + 3x + )(e x + 4). dx Derivoinnin tulosääntö eli yhtälö (.) voidn luonnollisesti integroid kummltkin puolelt: d dx ( f (x)g(x)) dx f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Kosk integrointi j derivointi ovt toistens käänteistoimituksi, yllä olevn yhtälön vsemmll puolell nämä kksi toimitust kumovt toisens j koko yhtälö sdn seurvn muotoon: f (x)g(x) f (x)g(x)dx + f (x)g (x)dx. Tästä yhtälöstä voidn nyt vähentää kummltkin puolelt termi f (x)g(x)dx, 5
jolloin sdn osittisintegroinnin kv: (.) f (x)g (x) f (x)g(x) f (x)g(x)dx. Eli: hlumme integroid funktion f (x)g (x). Jos tämä integrointi ei onnistu suorn (esimerkiksi kppleess esitetyllä tvll), voidn kokeill osittisintegrointi. Tällöin lsketn ensin funktion f (x) derivtt f (x) j funktion g (x) integrli g(x). Lopuksi lsketn integrli f (x)g(x)dx, minkä jälkeen hluttu integrli sdn kvst (.). Esimerkki.. Lsketn integrli xe x dx käyttämällä osittisintegrointi. Ensinnä luonnollisesti lskettvn integrlin on oltv muoto f (x)g (x)dx. Esimerkin luseke on tätä muoto, kun xe x f (x)g (x). Käytännössä smme in vlit, kumpi osist x j e x on f (x) j kumpi on g (x). Tämä tehtävä rtke inostn, jos vlitsemme nämä seurvsti: f (x) x g (x) e x. Seurv vihe osittisintegroinniss on in lske funktiot f (x) j g(x). Nämä on tällä kert helppo lske: f (x) g(x) e x. Tällöin termi f (x)g(x) on yhtä kuin xe x. Tämän tehtävään sovellettun osittisintegroinnin kv kertoo siis seurv: f (x)g (x)dx f (x)g(x) f (x)g(x) xe x dx xe x e x dx. 6
Kosk tuo viimeinen termi e x dx on yhtä kuin e x, on tehtävän rtkisu seurv: xe x dx xe x e x. Tämä on vielä hyvä vrmist derivoimll yllä olevn yhtälön oike puoli (käytetään derivoinnin tulosääntöä): Eli tehtävän tulos pätee. d dx (xex e x ) e x + xe x e x xe x. Tässä esimerkissä huomsimme osittisintegroinnin pääviheet:. Vlitn kumpi integroitvn lusekkeen osist on f (x) j kumpi on g (x).. Lsketn f (x) j g(x). 3. Lsketn integrli f (x)g(x)dx 4. Käytetään osittisintegroinnin kv. Tämä oli yksinkertinen osittisintegrointitehtävä j kikki nämä viheet sujuivt vivtt. Seurvss esimerkissä koht 3 ei toimi suorn, vn osittisintegrointi joudutn soveltmn usen kertn. Esimerkki.. Lsketn seurvksi integrli x e x dx. Vlitn funktiot seurvsti: f (x) x j g (x) e x, jolloin f (x) x j g(x) e x. Tällöin sdn osittisintegroinnin kv käyttäen: x e x dx x e x xe x dx. Tässä integrli xe x dx 7
ei ole lskettviss suorn, mutt sekin voidn lske osittisintegroinnill, mikä oikestn tehtiinkin jo (vkiot ville) edellisessä esimerkissä: xe x dx xe x dx (xe x e x ). x e x dx x e x xe x dx x e x (xe x e x )dx x e x xe x + e x dx. Tämän esimerkin opetus on siis, että joskus osittisintegrointi pitää sovelt usemmn kerrn smss tehtävässä. Seurv esimerkki puolestn kertoo, että joskus osittisintegrointi vtii hiemn luovuutt funktioiden f (x) j g (x) vlinnss. Esimerkki.3. Lsketn integrli ln xdx. Tässä funktiot f (x) j g (x) tuntuvt luksi mhdottomilt muodost, kosk integrlin sisässä näyttää olevn vin yksi funktio: ln x. Pienellä luovuudell huommme kuitenkin että tämäkin luseke voidn esittää khden funktion tulon: muodoss ln xdx, jolloin voidn vlit f (x) ln x j g (x). Nyt f (x)g(x) x ln x j f (x)g(x)dx x dx x, x jolloin ln xdx x ln x x. ll olevss esimerkissä esiintyy kolms tpus, jok kohdtn usein osittisintegroitess: integrointi ei vrsinisesti tuot tulost, mutt lopult sdn luseke, jost integrli sdn pääteltyä. 8
Esimerkki.4. Integroidn nyt osittisintegroinnill e x sin xdx. Vlitn f (x) e x j g (x) sin x. Täten f (x) e x j g(x) cos x (kosk kosiinifunktion derivtt on sin x), joten e x sin xdx e x cos x e x ( cos x) e x cos x + e x cos x Sovelletn nyt osittisintegrointi toiseen kertn: nyt tuohon jälkimmäisen integrliin e x cos x. Vlitn tässä f (x) e x j g (x) cos x. Täten f (x) e x j g(x) sin x j yllä olev luseke sdn seurvn muotoon: ( ) e x cos x + e x cos xdx e x cos x + e x sin x sin x(e x dx) e x cos x + e x sin x 4 sin xe x dx. Nyt huomtn, että tähän sti stu tulos kertoo itse siss seurv: e x sin xdx e x cos x + e x sin x 4 sin xe x dx Tässä integrli yhtälön vsemmll puolell on sm kuin yhtälön oiken puolen viimeinen termi, joten ne voidn siirtää smlle puolelle. Tämän jälkeen integrli rtke helposti: 5 e x sin xdx e x cos x + e x sin x 4 e x sin xdx e x cos x + e x sin x e x sin xdx ( ) e x cos x + e x sin x 5 sin xe x dx Tiivisteenä: osittisintegrointi on derivoinnin tulosäännön käänteistoimitus 3. Sitä knntt sovelt silloin, kun f (x)g (x)dx 3 Jos et muist tentissä osittisintegroinnin kv ulko, riittää että muistt tulon derivoimissäännön, jolloin voit joht osittisintegrlin kvn tästä. 9
on vike lske, mutt f (x)g(x)dx on helppo lske. Kuten in integroitess, voi osittisintegroinninkin tuloksen trkist derivoimll stu luseke. 3 Osmurtohjotelm Usein integroitvn on rtionlifunktio eli funktio, jok on muoto P(x) Q(x), joss P(x) j Q(x) ovt polynomej. Tällinen rtionlifunktio on esimerkiksi x 5 + 3x + x 3 + x. Tässä knntt kiinnittää luksi huomiot polynomien steisiin: yllä osoittjn ste on 5 j nimittäjän ste on 3. Polynomin ste on siis sen korkeimmn potenssin ste. Rtionlifunktioiden integrlej lskettess on oleellist huomt ensiksi, onko osoittjn ste suurempi kuin nimittäjän ste. Yllä osoittjn ste on suurempi, kun ts funktion x + 4x x 7 + 5x + nimittäjän ste (eli 7) on suurempi kuin osoittjn ste (eli ). Se onko osoittjn vi nimittäjän ste suurempi rtkisee miten näitä integrlej knntt lske. luksi käsittelemme tpuksen, joss nimittäjän steluku on suurempi. Esimerkki tällisest funktiost on (x 4)(x ), jonk nimittäjän steluku on kksi, minkä voi nähdä lskemll nimittäjän lusekkeen uki. Tätä funktiot on kuitenkin mhdotont integroid suorn. Oleellist tällisess tpuksess on tutki nimittäjän nollkohti. Yllä olevll funktioll on kksi erillistä nollkoht: x 4 j x.
Tällisess tpuksess tuolle funktiolle voi tehdä seurvnlisen osmurtohjotelmn: (x 4)(x ) x 4 + x. Tässä j ovt vkioit, jotk pitää rtkist. Käytännössä nämä rtkistn vlitsemll ne siten, että yllä olevn yhtälön vsen j oike puoli ovt smoj: (x 4)(x ) x 4 + x (x ) (x )(x 4) + (x 4) (x 4)(x ) (x ) + (x 4) (x 4)(x ) x + x 4. (x 4)(x ) Tästä voidn nyt rtkist j : täytyy päteä, että (x 4)(x ) x + x 4 (x 4)(x ) eli että x + x 4. Kosk tällä vsemmll puolell on pelkkä luku, eikä yhtään x:ää sisältävää termiä, niin on oltv että x + x eli +. Toinen ehto, jok sdn on 4. Kun nämä kksi ehto yhdistetään, sdn ensimmäisestä ehdost, että, jonk voi sijoitt toiseen ehtoon j rtkist 4 eli /, jolloin /. Täten tuo tehtävän rtionlifunktio voidn esittää muodoss (x 4)(x ) x 4 + x / x 4 / x. Nyt tämä oike puoli on integroitviss: / x 4 / x dx / x 4 dx / x dx / ln x 4 / ln x + C.
Täten tehtävän rtkisu on dx / ln x 4 / ln x + C. (x 4)(x ) Yleisesti otten kun integroitvn on rtionlifunktio f (x) P(x)/Q(x), jonk nimittäjän Q ste on suurempi kuin sen osoittjn P ste j jonk nimittäjällä on erilliset nollkohdt (Q(x) (x x )(x x ) (x x n )) niin integrli sdn rtkistu jkmll tehtävän funktio ensin osmurtoihin: P(x) Q(x) + + + n x x x x x x n j rtkisemll tästä vkiot,..., n. Tästä sdn lopult integroimll rtkisuksi P(x) Q(x) dx ln x x + ln x x + + n ln x x n + C Esimerkki 3.. Hlutn lske integrli x x dx. Nyt pitää loitt jkmll nimittäjä tekijöihin, jolloin näemme sen nollkohdt: x x x(x ). Eli nimittäjän nollkohdt ovt selvästi j. Täten osmurtohjotelm on muoto x(x ) x + x. Tästä voidn rtkist kertoimet j vnhn mlliin: x(x ) x + x (x ) x(x ) + x x(x ) x + x. x(x ) Jälleen rtkistn termit j settmll x + x. Tästä seur heti, että. Tästä ts seur, että. Täten x(x ) dx x dx + x dx ln x dx + ln x + C.
Toinen osmurtotpus, jot käsittelemme, on tpus joss osoittjn steluku on suurempi kuin nimittäjän steluku. Tällinen funktio on esimerkiksi x 4 x 3x +. Tällinen polynomi pitää luksi muokt eri muotoon esimerkiksi jkokulmss. ll tämä muokkus kuitenkin suoritetn hiemn eri tvll. Iden on esittää osoittj x 4 muodoss nimittäjä kert jokin luku plus jokin luku. Eli yleisesti otten hlumme esittää rtionlifunktion P(x)/Q(x) muodoss (x)q(x) + b(x) Q(x) (x) + b(x) Q(x), joss (x) j b(x) ovt polynomej j P(x) (x)q(x) + b(x). Iden on, että osmäärä b(x) olisi muodoss, joss nimittäjän steluku olisi suurempi kuin osoittjn Q(x) steluku. Funktion x 4 x 3x + tpuksess hlumme siis lisätä osoittjn nimittäjän x 3x + kerrottun jollkin polynomill. Kosk osoittjss on termi x 4, niin kerrotn tämä nimittäjä termillä x, jolloin näiden tuloss esiintyy termi x 4 : x 4 x 3x + x (x 3x + ) + (3x 3 x ) x 3x + x + 3x3 x x 3x +. Tuoss jälkimmäinen termi 3x 3 x vlittiin siten, että pätee yhtäsuuruus x 4 x (x 3x + ) + (3x 3 x ). Tämän jälkeen osoittjn tekijät jettiin erikseen nimittäjällä. Sduss funktioss on kuitenkin edelleen tekijä (3x 3 x )/(x 3x + ), joss osoittjn ste ylittää nimittäjän steen. Sovelletn tähänkin sm tekniikk: esitetään sen osoittj nimittäjän kertoimen j jäännöstermin vull: 3x 3 x x 3x + 3x(x 3x + ) + (9x 6x) x 3x + 3x + 9x 6x x 3x +. 3
Tässä vlittiin jälleen nimittäjään kerroin 3x siten että osoittjn suurin termi 3x 3 stisiin nimittäjän j termin 3x kertoimen. Termi (9x 6x) vlittiin siten, että pätisi 3x 3 x 3x(x 3x + ) + (9x 6x). Nyt olemme sneet lkuperäisen funktion muotoon x 4 x 3x + x + 3x + 9x 6x x 3x +. Muoktn vielä tämä viimeinen termi smll tktiikll kuntoon. Esitetään se muodoss 9x 6x x 3x + 9(x 3x + ) + (x 8) x 3x + x 8 9 + x 3x + Täten olemme sneet muokttu lkuperäisen funktion muotoon x 4 x 3x + x + 3x + 9 + x 8 x 3x +. Tämän viimeinen termi ei ole vieläkään integroitviss, mutt inkin se on tuttu tyyppiä, joss nimittäjän steluku ylittää osoittjn steluvun. Lisäksi sen nimittäjä voidn esittää tulomuodoss: x 3x + (x )(x ), joten luseke voidn esittää osmurtoin: x 8 x 3x + x + x. Tästä voidn rtkist vnhn tpn 3 j 4. Täten lkuperäinen funktio sdn integroitu seurvsti: x 4 x 3x + dx x + 3x + 9 3 x + 4 x dx 3 x3 + 3 x + 9x 3 ln x + 4 ln x + C. 4 Lisää osmurtoj Tutkitn jälleen rtionlifunktion P(x)/Q(x) integrointi. iemmin käsittelimme tpuksen, joss nimittäjä voidn esittää muodoss Q(x) 4
(x x )(x x ) (x x n ). Tässä siis nimittäjällä on n kpplett nollkohti: nollkohdt ovt x, x,..., x n, jotk olivt kikki keskenään erisuuri eli x i x j kun i j. Tällinen yhtälö stiin integroitu esittämällä se muodoss P(x) Q(x) x x + x x + + n x x n j integroimll tämän lusekkeen oike puoli. Tässä siis rtionlifunktio jettiin osmurtoihin. Nyt jtketn osmurtojen käsittelyä, mutt enää ei oletet että nimittäjän voi esittää muodoss Q(x) (x x )(x x ) (x x n ), joss nollkohdt ovt erisuuri. Voi oll esimerkiksi, että integroitv rtionlifunktio on (4.3) (x 3) (x 3)(x 3), jolloin nimittäjällä (x 3) on kksi kert toistuv nollkoht x 3. Smoin funktioll (x )(x ) 8 on 8-kertinen nollkoht x, minkä lisäksi sillä on selvästi nollkoht x. Tällinen usempikertinen nimittäjän nollkoht voidn myös rtkist osmurtohjotelmll, mutt se vtii erilist osmurtohjotelm. Ensinnä pitää huomt, että yllä yhtälö (4.3) on helppo integroid, sillä Jetn nyt yhtälö osmurtoihin seurvsti: (x 3) dx (x 3) dx (x 3) + C x 3 + C. (x )(x 3) (x )(x 3) x + x 3 + 3 (x 3). 5
Nyt siis khteen kertn toistuv nollkoht 3 iheutt sen, että termi x 3 esiintyy osmurtohjotelmss sekä ensimmäisessä että toisess potenssiss. Nyt yllä olevst yhtälöstä voidn rtkist tuttuun mlliin kertoimet, j 3 : (x )(x 3) x + x 3 + 3 (x 3) (x 3) (x )(x 3) + (x )(x 3) (x )(x 3) + 3(x ) (x )(x 3) (x 6x + 9) (x )(x 3) + (x 4x + 3) (x )(x 3) + 3(x ) (x )(x 3). Tästä yhtälöstä voidn rtkist kertoimet, j 3 settmll osoittjt yhtä suuriksi: (x 6x + 9) + (x 4x + 3) + 3 (x ). Tämän yhtälön vsemmll puolell ei esiinny termejä, joss olisi kertoimen x ti x. Täten on oltv esimerkiksi, että x + x +. Vstvll päättelyllä sdn yhtälöryhmä Tästä sdn rtkistu kertoimet + 6 4 + 3 9 + 3 3 /4 /4 3 /. Täten integrointi voidn suoritt seurvsti: (x )(x 3) dx /4 /4 x dx + x 3 dx + 4 ln x 4 ln x 3 / (x 3) dx ( ) + C. x 3 Yllä olevll tekniikll voidn rtkist myös luseke, joss toistuvi nollkohti on enemmän kuin kksi. Esimerkiksi yhtälö (x )(x 3) 3 6
jetn osmurtoihin seurvsti: (x )(x 3) 3 x + x 3 + 3 (x 3) + 4 (x 3) 3. Yleisesti otten siis rtionlifunktio, jonk nimittäjässä on k-kertinen juuri, voidn jk osmurtoihin seurvsti: P(x) (x x )(x x ) k + + 3 x x x x (x x ) + + k (x x ) k. Osmurtohjotelmist on nyt on käsitelty tpukset, joiss rtionlifunktion P(x)/Q(x) nimittäjä voidn esittää nollkohtiens tulon eli muodoss (x x ) (x x n ). Kuitenkin esimerkiksi funktion (x )(x + ) nimittäjän tekijällä x + ei ole yhtään nollkoht, kosk x + > kikill x. Tällöin osmurtohjotelm s seurvn muodon: (x )(x + ) x + Bx + C x +, joss, B j C ovt relilukuj. Tällä kert nollkohdttomn termin x + osmurtoon tulee termi, jok on muoto Bx + C. Tämän jälkeen lsku sujuu smn tpn kuin ikisemminkin. Esimerkki 4.. Integroidn rtionlifunktio x x 3 x + x. Ensinnä huomtn kokeilemll, että nimittäjän yksi nollkoht on x. Täten nimittäjä voidn esittää termin (x ) j jonkin toisen termin tulon. Huomtn, että itse siss nimittäjä voidn jk tekijöihin seurvsti: x 3 x + x (x )(x + ). Täten integroitvn on funktio x (x )(x + ). Tässä tekijällä x + ei ole yhtään nollkoht. Täten osmurtohjotelm on seurv: x (x )(x + ) x + Bx + C x +. 7
Tästä rtkistn seurvksi kertoimet, B j C: x (x )(x + ) x + Bx + C x + (x + ) (Bx + C)(x ) (x )(x + + ) (x )(x + ) x + (x )(x + ) + Bx Bx + Cx C (x )(x. + ) setetn jälleen smnkertoimiset termit yhtä suuriksi, jolloin sdn /5 B /5 C /5 Täten integrointi voidn suoritt seurvll hjotelmll: x (x )(x + ) dx 5 /5 /5x + /5 x dx + x dx + x dx x 5 x + dx + 5 x + dx 5 ln x 5 ln x + + rctn x + C. 5 Tässä toisell rivillä jettiin tekijä ( /5x + /5)/(x + ) khteen osn, joist toiseen käytettiin tulost, jonk mukn funktion /( + x ) integrli on rctn x. Nyt olemme käsitelleet kikki osmurtotpukset. Rtionlifunktio P(x)/Q(x) integroidn siis seurvsti:. Jos rtionlifunktio on muoto F (x)/f(x) se voidn integroid suorn: sen integrli on ln F(x) + C. Smoin jos rtionlifunktio on muoto /(x x n ) k, se voidn integroid suorn. Kolms suorn integroitv luseke on /( + x ).. Jos rtionlifunktio ei ole jomp kump näistä muodoist, se plutetn näihin muotoihin osmurtohjotelmn vull. Tästä on useit tpuksi: () Jos osoittjn ste on suurempi ti yhtä suuri kuin nimittäjän ste, se muoktn esimerkiksi jkokulmn vull muotoon, joss nimittäjän ste ylittää osoittjn steen. 8
(b) Jos nimittäjän ste ylittää osoittjn steen, rtionlifunktio esitetään osmurtojen summn. Osmurtojen trkk muoto riippuu siitä, onko nimittäjällä kuink mont nollkoht, j jos on, niin ovtko nämä nollkohdt usempikertisi vi uniikkej. Osmurtohjotelmn vull rtionlifunktio plutetn muotoon, joss se voidn esittää esimerkiksi muoto F (x)/f(x) olevien termien summn. 5 Sijoituskeino Jos integrli ei rtke tähän mennessä käsitellyillä tekniikoill, voidn integroitv luseke usein muokt rtkevn muotoon sijoittmll x:n piklle jokin muu muuttuj. Esimerkiksi integrlin x + 6x + dx voi rtkist sijoituskeinoll. Muoktn luksi nimittäjä x + 6x + muotoon, jost nähdään millinen sijoitus knntt tehdä. Huomtn, että x + 6x + x + 6x + 9 + (x + 3) +, joten luontev sijoitus olisi vlit t x + 3. Eli nyt tekijä x + 3 korvtn t:llä: x + 6x + dx (x + 3) + dx t + dt Yllä sijoitettiin myös dx:n piklle dt, kosk integrointi suoritettiin lopult t:n suhteen. Nyt integrli on rtkevss muodoss, sillä integrli, jok on muoto /( + x ) on rkustngenttifunktion integrli. Eli: t dt rctn t + C + Sijoituskeino käyttäessä pitää muist lopuss sijoitt tkisin x:ää sisältävä luseke t:n piklle. Tässä tehtävässä siis sijoitetn t x + 3 tkisin, jolloin sdn lopullinen vstus: x dx rctn(x + 3) + C. + 6x + Sijoituskeinoss siis sijoitetn jonkin x:n lusekkeen piklle t. Tyypillinen sijoitus on esimerkiksi t x eli x t. 9
Tällisen sijoituksen ide on siis tehdä integroitvst lusekkeest helposti lskettv. Sijoituskeinoss siis korvtn x lusekkeell g(t) eli jollkin t:n funktioll. Käytännössä tehtävästä etsitään x:ää sisältäviä termejä, joiden piklle olisi kätevää sijoitt t. Yllä esimerkiksi vlitsimme termin x + 3 korvttvksi t:llä, kosk se teki integroinnist helpomp. Sijoituskeino soveltviss tehtävissä ongelmn on yleensä nimen omn keksiä mikä luseke knntt korvt t:llä. Usein ensimmäinen sijoitusyritys ei tuot tulost, vn on yritettävä uudestn eri sijoituksell. in kun sijoitt t:n lusekkeeseen, pitää muist myös korvt dx lusekkeell g (t)dt eli funktion g derivtn j dt:n tuloll. Yllä tämä ei ollut ongelm, kosk jos t x + 3 niin x t 3 g(t) j selkeästi g (t), jolloin dx dt. Esimerkki 5.. Lsketn integrli x x + dx sijoituksell. Tässä potentilisin sijoituksin tulee mieleen t x + j t x +. Tämä tehtävä rtke kätevästi tällä jälkimmäisellä sijoituksell, joten olkoon t x +. Ensin rtkistn tästä x: t x + t x + x t g(t) Tästä sdn, että g (t) t, jolloin meidän pitää muist sijoitt dx:n piklle tdt. Tällöin tehdään sijoitukset x + t x t j dx tdt jolloin luseke sdn muotoon x x + dx (t )t(tdt) t 4 t dt 5 t5 3 t3 + C
Lopullinen vstus sdn sijoittmll yllä t:n piklle tkisin luseke x + : x x + dx 5 ( x + ) 5 3 ( x + ) 3 + C 5 (x + )5/ 3 (x + )3/ + C. Yllä sijoituskeino rtkisi tehtävän melko suorn. Usein sijoituksen tuloksen kuitenkin päädytään lusekkeeseen, jot on muokttv esimerkiksi osmurroill prempn muotoon. Sijoituskeinoss j osmurroiss on siis kummsskin iden muokt integroitv lusekett helpompn muotoon. Usein lusekkeen s helpompn muotoon muullkin tvoin. Esimerkiksi jos lskettvn on integrli sin x cos xdx voimme käyttää kv sin x cos x sin x, joll integrli rtke helposti. 6 Määrätty integrli iemmin trkstelimme määräämätöntä integrli ( )dx, jonk hyöty on pääosin siinä, että se on derivoinnin käänteistoimitus. Nyt käsittelemme lustvsti määrättyä integrli b ( )dx. Tähän on iempn verrttun lisätty integroinnin rjt: integrointi loitetn pisteestä x j lopetetn pisteeseen x b. Eli väli (, b) on integrointiväli: funktio integroidn tältä väliltä. Määrätty integrli on hyvin kätevä käsite. Esimerkiksi jos f (x) on ei-negtiivinen funktio eli f (x), niin määrätty integrli b f (x)dx mitt funktion f j x-kselin rjoittmn lueen pint-l välillä x b. Määrätyn integrlin intuitio on se, että jos välin (, b) pituus on
(eli jos b + ), niin määrätty integrli nt funktion keskirvon tällä välillä. Esimerkiksi tiedetään, että x dx 3. Kosk välin (, ) pituus on yksi, niin voimme sno, että funktion x keskirvo tällä on tällä välillä on /3. Yllä huomtn, että määrätyllä integrlill on myös se hyvä puoli, että sen rvo on yksikäsitteinen. Sm ei voi sno määräämättömästä integrlist, joss on in mukn vkio C. Jos välin (, b) pituus ei ole yksi, voidn sno että määrätty integrli nt funktion keskirvon tällä välillä kerrottun välin (, b) pituudell eli luvull b : b ( ) f (x)dx Funktion f keskirvo välillä (, b) (b ). Tämän intuition vull voimme nt rvioit tietyn määrätyn integrlin rvolle. Jos tiedämme vikk, että funktio f s in rvons välillä / j 3/ eli / f (x) 3/, niin luonnollisesti tämän funktion keskirvo on myös tällä välillä. Kosk määrätty integrli on funktion keskirvo tietyllä välillä (, b) kerrottun tämän välin pituudell, voidn nyt sno (b ) b 7 Ylä- j lsumm f (x)dx 3 (b ). Määrätyn integrlin täsmällinen määritelmä vtii lsummn j yläsummn käsitteitä. Ylä- j lsumm kertovt yksinkertisesti rvion tietyn käyrän ll olevn lueen pint-llle. Oletetn nyt, että hlumme lske määrätyn integrlin f (x)dx eli hlumme lske funktion f (x) ll olevn lueen pint-ln, kun x (, ). lsumm nt tälle pint-llle lrjn j yläsumm ā nt puolestn tälle pint-llle ylärjn, eli f (x)dx ā
Kummnkin lskeminen loitetn jkmll väli (, b) osiin. Yllä käytetty väli on (, ). Tämän voi jk osiin esimerkiksi seurvsti: (, ) (, /3] (/3, /3] (/3, ) Tässä jkopisteet ovt /3 j /3. Ne siis jkvt välin (,) kolmeen osn. lsumm sdn tämän jon vull lskettu kolmess osss. Vlitn ensin väliltä (, /3) funktion f (x) pienin 4 rvo tällä välillä. Olkoon tämä m. Seurvksi vlitn funktion pienin rvo väliltä (/3, /3). Olkoon tämä m. Vlitn vstvsti funktion pienin rvo välillä (/3, ), jot merkitään m 3. Nyt näiden jkopisteiden määrittämä lsumm sdn lskettu kertomll nuo pisteet m, m j m 3 kyseisten välien pituuksill (eli luvull /3): 3 m + 3 m + 3 m 3. Yläsumm sdn vstvsti lskemll funktion suurimmt rvot yllä muodostetuill väleillä. Merkitään näitä suurimpi rvoj M, M j M 3. Näistä sdn lskettu yläsumm kvll ā 3 M + 3 M + 3 M 3. Esimerkki 7.. Lsketn integrlille x dx ylä- j lsumm. Ensin pitää päättää välin (, 3) jkopisteet. Vlitn pisteiksi 4/3 j 5/3, jolloin smme siis kolme väliä. Ensin pitäisi lske funktion pienemmät j suurimmt rvot näillä väleillä. Tämä on helppo, kosk f on välillä (, 3) idosti ksvv funktio: suurin rvo on siis in välin oikess päätepisteessä j pienin rvo on ts vsemmss päätepisteessä. Täten lsummn kv on 3 f () + 3 f (4/3) + 3 f (5/3) 3 + 3 6/9 + 3 5/9 9 7 + 6 7 + 5 7 5, 85 7 4 Jos funktio ei svut minimiä tällä välillä, vlitn infimum minimin semest: m inf{ f (x) : x (, /3)}. 3
Vstvsti yläsummn kv on ā 3 f (4/3) + 3 f (5/3) + 3 f () 3 6/9 + 3 5/9 + 3 4 6 7 + 5 7 + 36 7 77, 85 7 Todellisuudess tuo määrätty integrli on rvoltn 7/3, 33. Tässä tehtävässä nähtiin myös esimerkki siitä, että lsumm on in pienempi kuin yläsumm, kun ts itse määrätty integrli on näiden khden välissä. Yllä joimme välin vin kolmeen osn. Jko voi kuitenkin tihentää vlitsemll enemmän j enemmän jkopisteitä. Tällöin tämän jon määrittämät ylä- j lsummt lähestyvät toisin j niiden ntm rvio funktion rjoittmn ln pint-llle on yhä prempi. Tämän tki määrätty integrli määritellään ylä- ti lsummien rj-rvon, kun tuot jko tihennetään rjtt, eli kun jkopisteitä vlitn yhä enemmän j enemmän. Tästä määritelmästä nähdään myös, miksi määrätty integrli voidn tulkit keskirvon, kun integrointivälin pituus on. Jos jkopisteitä on luksi vikk 5, on lsumm 5 m + 5 m + 5 m 3 + 5 m 4 + 5 m 5 5 (m + m + m 3 + m 4 + m 5 ). Toisin snottun lsumm on funktion viiden rvon keskirvo. Jos jko tihennetään, niin funktiost otetn keskirvoj, joss on mukn yhä enemmän j enemmän funktion pisteitä. Esimerkiksi jos jkopisteitä on, sdn lsumm m i. i Täten määrätyn integrlin tulkint keskirvon on oikeutettu. Tästä nähdään myös, että määrätty integrli on siis eräänlinen summ. 4
8 Määrätyn integrlin lskeminen iemmin määrittelimme määrätyn integrlin b f (x)dx funktion f (x) l- j yläsummien rj-rvon. Määrätyllä integrlill on kksi intuitiivist tulkint:. Mikäli f (x) on ei-negtiivinen eli f (x), niin määrätty integrli nt funktion f (x) j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln välillä (, b).. Määrätty integrli b f (x)dx on funktion f (x) keskirvo välillä (, b) kerrottun tämän välin pituudell eli luvull b. Funktion f (x) määräämätön integrli f (x)dx määriteltiin puolestn ilmn vstvnlist intuitiot: se on inostn lskusääntö, jok on derivoinnin käänteistoimitus. Eli esimerkiksi ( x 3 + + x ) dx 4 x4 + rctn x + C. Määräämätön integrli j määrätty integrli kuitenkin liittyvät toisiins kiinteästi, kuten näiden nimistäkin voi päätellä. Merkitään ll määräämätöntä integrli f (x)dx merkinnällä F(x). Eli F(x) f (x)dx. Täten esimerkiksi jos f (x) x 3, niin F(x) (/4)x 4 + C. Integrlilskennn pääluse snoo, että määrätyt integrlit voi lske määräämättömien integrlien vull: b f (x)dx F(b) F(). Eli: hlutn lske funktion f (x) määrätty integrli välillä (, b). Tämä sdn lskemll luksi funktion f määräämätön integrli F(x) j ktsomll, mikä sen rvo on pisteessä j mikä sen rvo on pisteessä b. Esimerkki 8.. Hlutn lske määrätty integrli 4 3 x dx. Integrlilskennn pääluseen mukn: 4 3 x dx F(4) F(3), 5
joss F on funktion x määräämätön integrli eli F(x) (/3)x 3 + C. Täten 4 x dx F(4) F(3) 3 ( 3 43 + C 64 3 9 37 3. ) ( ) 3 33 + C Toisin snottun funktion x määrätty integrli välillä (3, 4) on 37/3, 3. Huom yllä, että vkio C häviää määrättyä integrli lskettess. Näin käy in, joten sitä on turh pitää lskuss mukn. Huom edellisessä esimerkissä, että tulos 4 3 x dx, 3 kertoo, että funktion x keskimääräinen rvo välillä (3, 4) on,3. Toinen tulkint on, että tämän funktion j x kselin väliin jää pint-l, jok on suuruudeltn,3 välillä (3, 4). Esimerkki 8.. Lsketn b ex dx. Kosk e x on om integrlins, niin b e x dx F(b) F() e b e. Huom, että tässä vkiot C ei pidetty lskuss mukn. Määrätyn integrlin lskemist helpott käytännössä, jos käytämme nottion F(b) F() semest merkintää b. Täten siis esimerkiksi b b ( ) (3x + )dx 3 ( 3 b + b x + x ) ( ) 3 +. Kuten yllä minitsimme, määrätyn integrlin voi nähdä keskirvon ti pint-ln. Tästä tulkinnst seur hyödyllisiä sovelluksi. Seurvss esimerkissä käytetään lisäksi tieto b f (x)dx + b eli integroinnin linerisuutt. g(x)dx 6 b ( f (x) + g(x)) dx,
Esimerkki 8.3. Lske käyrien y x j y x sekä suorien x j x reunustmn lueen pint-l. Rtkisu. Kuten tunnettu, pint-ln voi lske integrlin b f (x)dx. Kosk reunustmss on suort x j x, niin vlitn integroinnin päätepisteiksi j b. Lisäksi tiedetään. Integrli b x dx nt käyrän y x j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Merkitään tätä l.. Integrli b xdx nt suorn y x j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Merkitään tätä l B. 3. Välillä (, ) pätee x > x, eli käyrä y x on suorn y x yläpuolell. Täten käyrien y x j y x välissä olevn lueen pint-l sdn erotuksen B. Eli erotuksen b x dx b xdx b (x x)dx. Tästä seur, että käyrien y x j y x reunustmn lueen pint-l välillä (, ) sdn integroimll erotus x x integrointirjoill j b : (x ( x)dx 3 x3 ) x ( 8 3 4 ) ( 3 ) 7 3 3 5 6. Eli käyrien y x j y x sekä suorien x j x reunustmn lueen pint-l on 5/6. Esimerkki 8.4. Lske käyrien y x j y x sekä suorien x j x reunustmn lueen pint-l. Rtkisu. Integrointiväli on nyt (, ). Huomtn, että välillä (, ) pätee x > x, mutt välillä (, ) ts pätee x > x. Käyrien välistä pint-l 7
lskiess pitää in vähentää korkemmll olevst käyrästä mtlmmll olev käyrä, joten tämä tehtävä on lskettv khdess osss. Välillä (, ) pätee x > x, joten integroidn erotus x x tällä välillä: (x x )dx 3 6. ( x ) 3 x3 Välillä (, ) pätee x > x, joten integroidn tällä välillä puolestn erotus x x: (x ( ) x)dx ( 8 3 4 5 6. 3 x3 x ) ( 3 Täten käyrien y x j y x sekä suorien x j x reunustmn lueen pint-l on /6 + 5/6. ) 9 Määrätyn integrlin lskeminen sijoituksell iemmin lskimme määräämättömiä integrlej sijoituksell x g(t). Siinä siis integroitvn lusekkeen muuttuj x korvttiin sijoituksell g(t) j vstvsti termi dx korvttiin termillä g (t)dt. Määrätyn integrlin lskeminen tällä tvll on peritteess smnlist, mutt integroinnin rjt j b pitää myös muunt. Esimerkki 9.. Lsketn nyt integrli x x + dx. Tehdään luksi sijoitus t x +, jolloin x t j dx dt. Integrointilusekkeeseen tehdään nyt nämä sijoitukset, mutt pitää huomt että 8
sijoituksen tki myös integroinnin rjt muuttuvt. Integrointirjt j b on määritelty muuttujn x suhteen j nyt siirrytään muuttujn t x +. Täten jos x, niin t j jos x, niin t. Integrointirjojen j b piklle tulevt täten uudet rjt c j d. Tällöin integrli sdn muotoon x x + dx 5 3 (t ) tdt t 3/ t / dt ( 5 t5/ ) 3 t3/ 4 5 Seurvksi käsitellään trigonometristen funktioiden integroimist sijoituskeinoll. Määritellään luksi trigonometrisen funktiot yksikköympyrän vull. Trkstelln ll olev kuv. Huom ensinnä, että kuvss pätee Pythgorn luse + b c eli hypotenuusn neliö on yhtä kuin kteettien neliöiden summ: + t t x Eli pätee ( + t ) + t. Toislt kosk kulmn x sini on määritelmän mukn sen vstisen sivun j hypotenuusn suhde, pätee sin x t + t. 9
Vstvsti kulmn kosiini on sen kulmn viereisen sivun j hypotenuusn suhde, joten cos x. + t Tngentti puolestn on kulmn vstisen j viereisen sivun suhde eli kuvss tn x t. Näitä tietoj voi käyttää sovellettess sijoitust t tn x. Tätä sijoitust käytetään integrleihin, jotk ovt muoto Tällöin tehdään korvukset Esimerkki 9.. Integroidn + b sin x + c cos x dx. sin x t + t j cos x + t. π/4 π/4 4 3 sin x dx. Tehdään sijoitus tn x t. Täten x rctn t, joten dx dt/( + t ). Termin sin x piklle puolestn sijoitetn termi t /( + t ). Myös integroinnin rjt muuttuvt: kun x π/4, niin tn x j kun x π/4, niin tn x. Tehdään kikki nämä sijoitukset: π/4 π/4 4 3 sin x dx 4 3(t /( + t )) 4( + t ) 3t dt 4 + t dt. ( dt ) + t Tämä integrli näyttää nyt kohtlisen yksinkertiselt. Huomtn, että 3
tämä sdn lskettu rkustngenttifunkion vull: ( ) 4 + t dt 4 + (t/) dt ( ) rctn(t/) (rctn(/) rctn( /)) rctn(/). Tässä viimeinen yhtäsuuruus perustuu siihen, että rctn( /) rctn(/). Sijoituskeino käytettäessä pitää siis tehdä seurvt korvukset:. Muuttuj x sisältävät termit pitää korvt termillä g(t).. Termi dx pitää korvt termillä g (t)dt. 3. Integroinnin rjt pitää korvt uusill rjoill. Määrätyn integrlin derivoiminen Tutkitn nyt määrättyä integrli, jonk ylärj on muuttuj x. Tutkitn siis integrli x f (t)dt. Tämä integrli on nyt muuttujn x funktio, joten voidn merkitä F(x) x f (t)dt. Esimerkki tällisest funktiost on F(x) x (t + t)dt. Huom, että tämä on nimenomn muuttujn x funktio, eikä muuttujn t funktio. Muuttuj t häviää integroitess, joten yhtä hyvin voitisiin kirjoitt F(x) x (c + c)dc, 3
eli tuo integrlin sisässä olev kirjin ei ole lskennn knnlt oleellinen. f (t)dt de- Integrlilskennn toinen pääluse kertoo, että integrlin x rivtt muuttujn x suhteen on funktio f (x): d x f (t) f (x). dx Tämän tuloksen voi tulkit intuitiivisesti, kun muist, että määrätyn integrlin voi tulkit pint-ln. Derivtt d x dx f (t) siis kertoo, kuink funktion f (x) j x-kselin väliin jäävän lueen pint-l muuttuu, kun siirrytään hiemn oikelle eli ksvtetn rgumentti x hiemn. Vstus on, että l muuttuu funktion f rvon verrn. Tämä on sikäli intuitiivist, kosk kyseinen pint-l muuttuu pljon, jos f (x) on suuri luku j vähän jos f (x) on pieni luku. Esimerkki.. Lske derivtt F (x), kun F(x) x (t + t)dt. Rtkisu. Integrlilskennn pääluseen mukn x F (x) d (t + t)dt dx x + x. Seurvss esimerkissä käytetään tieto x f (t)dt x f (t)dt, eli jos integrointirjojen järjestystä viht, niin integrli kertoutuu luvull. Esimerkki.. Lske derivtt F (x), kun F(x) x ln tdt. Rtkisu. Integrlilskennn pääluseen mukn d ln tdt d dx x dx ln x. x ln tdt 3
Siispä lrjll olev muuttuj x on helppo plutt ylärjlle. Hiemn enemmän ongelmi tuott integrlin x f (t)dt lskeminen, sillä tässä ylärjn ei ole muuttuj x, vn tämän muuttujn funktio x. Tästä tilnteest selvitään kuitenkin sopivll nottioll: merkitään F(x ) x f (t)dt, eli nyt merkitään, että lskettv integrli on jonkin muuttujn F rvo pisteessä x. Täten siis F(x) x f (t)dt. Derivoinnin ketjusäännön perusteell pätee d dx F(x ) xf (x ), eli yhdistetyn funktion derivtt sdn sisäfunktion x j ulkofunktion F derivttojen tulon. Tästä seur, että d x dx f (t)dt x f (x ), joss siis x on sisäfunktion x derivtt j f (x ) on ulkofunktion F(x) derivtt rvioitun pisteessä x. Esimerkki.3. Derivoi funktio F(x ) x cos tdt. Rtkisu. Ketjusäännön j integroinnin pääluseen mukn d x cos tdt x cos x. dx Jos integroinnin rjn on jokin muu funktio kuin x, selvitään tästäkin ketjusäännön yksinkertisell sovelluksell. 33
Esimerkki.4. Derivoi funktio sin x ln tdt. Rtkisu. Merkitään ensinnä tätä integrli funktion F rvon pisteessä sin x: F(sin x) sin x ln tdt. Tässä siis sisäfunktio on sin x. Tämän derivtt on tunnetusti cos x. Nyt voidn jälleen sovelt ketjusääntöä: d sin x ln tdt cos x ln sin x. dx Yllä todettiin, että muuttuj x s esiintyä joko integroinnin l- ti ylärjll. Se voi kuitenkin esiintyä kummllkin rjll yhtä ik. Tämä ei tuot lskuihin ongelmi, kosk integrlin voi in jk osiin: x x f (t)dt x x f (t)dt + x f (t)dt + f (t)dt x f (t)dt. Integrlin x f (t)dt voi derivoid jälleen ketjusäännöllä: merkitään Täten Tämän perusteell F( x) x f (t)dt. d F( x) f ( x). dx d x f (t)dt d x f (t)dt + d dx x dx dx f ( x) + f (x). x f (t)dt Esimerkki.5. Derivoi x 3 x e t dt. 34
Rtkisu. Jetn tämä integrli ensin khteen osn: x 3 x e t dt e t + x x x 3 e t x 3 e t + Näistä kummnkin integrointi sujuu nyt kätevästi ketjusäännöllä: e t. d x 3 e t dt d x e t dt + d x 3 e t dx x dx dx e ( x) + 3x e (x3 ) e x + 3x e x6. Määrätyn integrlin sovelluksi Määrätyllä integroinnill on runssti sovelluksi, jotk perustuvt siihen, että integrli esittää pint-l. Tloustieteessä esimerkiksi kuluttjn ylijäämä on khden käyrän välissä olev pint-l, joten sen voi lske määrättynä integrlin. Integrlill voi lske pitsi loj, myös tilvuuksi. Tyypillinen sovellus on seurv: jokin käyrä y f (x) pyörähtää x-kselin ympäri tietyllä välillä (, b). Tällisell pyörähdyskppleell on tilvuus, jok on helppo lske integrlin vull: sen kv on π b ( f (x)) dx, eli kyseisen tilvuuden s integroimll f : neliön pyörähdysvälillä (, b) j kertomll tuloksen π:llä. Esimerkki.. Käyrä y x + pyörähtää x-kselin ympäri välillä (, ). Lske syntyneen kppleen tilvuus. 35
Rtkisu. Kyseinen tilvuus sdn integrlin π (x + ) dx π (x 4 + x + )dx π ( 5 x5 + 3 x3 + x) π( 5 + 3 + ) 8 5 π. Tilvuuden j vipn ln lskeminen Kuten iemmin käsittelimme, määrätyn integrlin vull voi lske pintloj j tilvuuksi. Tyypillisenä sovelluksen tilvuuden lskemisest on tpus, joss jokin käyrä y f (x) pyörähtää x-kselin ympäri jollkin välillä x b. Tällisen kppleen tilvuus stiin lskettu kvll π b ( f (x)) dx. Toislt määrätyn integrlin vull voi lske myös tällisen pyörähtämällä syntyneen kppleen vipn l. Tämä l B sdn lskettu kvll b B π f (x) + ( f (x)) dx. Esimerkki.. Käyrä f (x) + x pyörähtää x-kselin ympäri välillä x. Syntyneen kppleen tilvuus sdn lskettu yllä esitetyllä kvll: π π π π π b ( f (x)) dx ( + x) dx ( + x + x ) dx (x + x + 3 x3 ) (( + 4 + 8 3 ) ( + + )) 9 3 3 π. 36
Vstvsti syntyneen pyörähdyskppleen vipn l B sdn lskettu seurvsti: b B π f (x) + ( f (x)) dx π + x + dx π ( + x) dx π (x + x ) ( ) 5 π 5 π. Tässä itseisrvot voitiin poist, kosk + x on positiivinen tutkitull välillä x. 3 Epäoleelliset integrlit Tähän mennessä lsketut integrlit ovt olleet hyvin käyttäytyviä eli muoto b f (x)dx, joss j b ovt olleet relilukuj. Tällinen integrli on ollut yleensä kohtuullisen suorviivisesti lskettviss: jos f (x) on jtkuv funktio, niin yllä olev tyyppiä olev integrli on in olemss eli voidn kirjoitt b f (x)dx, eli integrli b f (x)dx on jokin reliluku. Tässä oleellist siis on, että f on jtkuv funktio välillä [, b] j että j b ovt relilukuj. Tällöin tämä integrli on olemss eli f on integroituv välillä [, b]. Ennen kuin etenemme, on syytä ymmärtää intuitiivisesti miksi yllä olev tyyppiä olev integrli on in olemss. Tämän voi perustell sillä, että integrli voidn ymmärtää käyrän j x-kselin välissä olevn lueen pint-ln. Jos piirrät jtkuvn funktion f jollekin äärelliselle välille [, b], niin tämän funktion j x-kselin välissä on in pkoll äärellinen 37
pint-l. Täten jtkuv funktio on integroituv äärellisellä välillä. Nyt tutkimme tpust, joss f :n jtkuvuus ti :n j b:n äärellisyys eivät enää päde. Tyyppiesimerkki tälläisestä integrlist on x dx. Tässä siis toisen integrointirjn on ääretön. Onko tämä integrli olemss? Tämä riippuu intuitiivisesti siitä, onko käyrän y /x j x- kselin välissä olevn lueen pint-l ääretön vi äärellinen välillä x [, [. Tätä ei voi kuitenkn päättää ennen kuin tiedetään, miten tällinen integrli lsketn. Määritellään siis epäoleellinen integrli seurvnlisen rj-rvon: M f (x)dx lim f (x)dx. M Tässä määritelmässä siis hlutn lske integrli äärettömyydessä. Tämä tphtuu siten, että lsketn luksi integrli M f (x)dx, j nnetn tämän jälkeen integroinnin ylärjn ksv rjtt eli otetn rj-rvo M lim f (x)dx. M Tämä on siis määritelmän mukn sm si kuin integrli äärettömyydessä eli M lim f (x)dx f (x)dx. M Nyt voimme lske epäoleellisen integrlin x dx. Merkitään siis integroinnin ylärj kirjimell M j nnetn tämän ylä- 38
rjn ksv rjtt: dx lim x M lim M lim M M x dx M ( ) x ( M ) ( ) lim M ( M ). Täten tämä integrli on siis olemss j täten käyrän y /x j x- kselin välissä olevn lueen pint-l välillä [, [ on yksi. Epäoleellinen integrli lsketn täsmälleen smll tekniikll kuin yllä, jos integroitv on funktio jok on epäjtkuv integroimisvälillä. Esimerkki tälläisestä integrlist on Nyt funktio /x on epäjtkuv nollss, joten tämä integrli määritellään jälleen rj-rvon: x. dx lim x x dx. 4 Integrlien suppeneminen Yllä lskettiin esimerkkinä integrli dx. x Tässä siis epäoleellinen integrli oli olemss. Näin ei kuitenkn in käy. Tämä huomtn lskemll esimerkiksi funktion /x integrli vä- 39
lillä [, ] dx lim x M lim M M M x dx ln x lim (ln M ln ) M, eli kyseinen integrli on ääretön. Toisin snottun siis funktion /x j x-kselin välissä olev pint-l on ääretön välillä [, [. Jos integrli f (x)dx on rvoltn jokin reliluku, snotn että se suppenee. Jos tämä epäoleellinen integrli puolestn ei ole reliluku (vn esimerkiksi ääretön ti miinus ääretön), niin kyseinen integrli hjntuu. Usein hjntumisen ti suppenemisen voi päättää yksinkertisesti lskemll epäoleellisen integrlin, kuten ll olevss esimerkissä. Esimerkki 4.. Tutki suppeneeko vi hjntuuko xe x dx. Rtkisu. Integrli näyttää lkuun siltä, että siinä trvitsisi käyttää osittisintegrointi, mutt tämä itse siss sujuu helpommin, sillä integroitv luseke xe x on itse siss melkein muoto f (x) f (x), joss f (x) e x : xe x dx lim M lim M lim M M M xe x dx ( ) e x ( e M ( e ) ( /) /. ) 4
Usein integroitv funktiot ei kuitenkn voi suorn lske. Tällinen on esimerkiksi integrli e x dx, jot ei voi suorn lske siitä yksinkertisest syystä, että tähän lskuun trvittv määräämätöntä integrli e x dx ei ole olemss. Tämän j monet muut ei-negtiivisten funktioiden integrlit voi kuitenkin osoitt suppeneviksi mjornttiperitteen vull. Tätä peritett käytetään, kun hlutn osoitt että integrli 5 b f (x)dx. on olemss. Muistetn luksi, että integrli on pint-l. Hlumme siis osoitt, että jokin pint-l on äärellinen. Oletetn nyt, että löydetään jokin integrli b g(x)dx jok on suurempi kuin f :n integrli: b f (x)dx b g(x)dx. Jos tämä integrli b g(x)dx on nyt olemss äärellisenä, niin integrli b f (x)dx on myös pkoll olemss: pint-l b f (x)dx on äärellisenä olemss, kosk se on pienempi kuin pint-l b g(x)dx, jok on myös äärellisenä olemss. Oletetn siis että seurvt seikt pätevät:.. f (x) f (x) g(x) kun x [, b] 3. Integrli on äärellisenä olemss. b 5 Tässä b voi oll myös j voi oll. g(x)dx 4
Tällöin pätee b f (x)dx b g(x)dx j integrli b f (x) suppenee mjornttiperitteen nojll. Mjornttiperitteess siis etsitään suurempirvoinen integrli, jok suppenee. Esimerkki 4.. Osoit, että suppenee. e x dx Rtkisu. Nyt f (x) e x. Tämä funktio on in positiivinen, joten siihen voi mhdollisesti sovelt mjornttiperitett. Hlutn löytää tätä suurempirvoinen funktio g(x), jonk integrli suppenee. Välillä [, ] pätee e x e x e x e x. Täten funktioksi g voidn vlit g(x) e x. Tämän integrli on helppo lske: Eli e x dx lim M lim M M M e x dx ( e x ) lim M ( e M ( e )) e. e x dx e x dx e, joten esimerkin integrli suppenee mjornttiperitteen nojll. Nyt kun mjornttiperite on käsitelty, on helppo rvt mistä on kyse minornttiperitteess. Tässä trkstelln jälleen kht funktiot f j g, jotk ovt kumpikin ei-negtiivisi j joille pätee b g(x)dx b f (x)dx 4
j lisäksi oletetn, että integrli b g(x)dx hjntuu. Tällöin minornttiperitteen nojll myös integrli b f (x)dx hjntuu6. Eli intuitiivisesti jteltun funktion f j x-kselin välinen pint-l on ääretön, kosk tämä l on suurempi kuin funktion g j x-kselin välinen pint-l, jok on ääretön. Minornttiperitett käytetään seurvsti:. Hlutn todist, että jokin integrli b f (x)dx hjntuu.. Etsitään funktio g, jok on pienempi kuin f eli g(x) f (x) j jonk integrli b g(x)dx hjntuu. 3. Tällöin integrli b f (x)dx hjntuu. Esimerkki 4.3. Osoit minornttiperitteen vull, että integrli hjntuu. x dx Rtkisu. Nyt f (x) x. Pitäisi löytää tätä funktiot pienempi funktio g, jonk integrli hjntuu välillä [, ]. Helppo tp löytää pienempi funktio on ksvtt osoittj yhdellä: >. x x Eli nyt etsimämme funktio on g(x) / x. Tämän integrli voidn lske jälleen suorviivisesti: x dx lim M lim M M M x dx x lim M ( M ). 6 Tämä perite seur itse siss suorn mjornttiperitteest: jos f suppenisi, niin silloin mjornttiperitett voisi sovelt j myös g suppenisi. 43
Täten kosk x < x, niin integrli x hjntuu. 5 Tiheysfunktiot Kuten jo usen kertn on todettu, integrlill voi lske loj j tilvuuksi. Yksi määrätyn integrlin tärkeimpiä sovelluksi on lisäksi se, että sillä voi lske tphtumien todennäköisyyksiä. Tämän sovelluksen käyttäminen vtii kuitenkin tiheysfunktion käsitettä. Tiheysfunktio on mtemttisesti jteltun mikä thns ei-negtiivisi rvoj sv funktio, jok integroituu relikselill lukuun yksi eli jolle pätee f (x)dx j f (x). Grfisesti tulkittun tiheysfunktio on siis funktio, jok on jtkuvsti x- kselin yläpuolell (ti x-kselill) j jonk ll olevn lueen pint-l on yksi. Tiheysfunktion ide on seurv: jos stunnismuuttujll X on tiheysfunktio f (x), niin tätä tiheysfunktiot integroimll voi lske todennäköisyyksiä. Jos merkitään P( X b) todennäköisyyttä, että stunnismuuttuj X s rvon välillä [, b], niin tämän todennäköisyyden voi lske integroimll stunnismuuttujn tiheysfunktion f (x) tällä välillä: P( X b) b f (x)dx. ll oleviss esimerkeissä käytetään lisäksi seurv integrointisääntöä : jos funktio f (x) on jollkin välillä [i, j] noll eli pätee f (x), x [i, j], niin myös tämän funktion integrli välillä [i, j] on noll eli j f (x). Trkstelln nyt funktiot f (x), jok on määritelty ploittin: { e x, kun x [, b] f (x) muulloin. i 44
Eli funktio f s positiivisen rvon e x joukoss [, b] j on noll muull. Kun tätä funktiot nyt integroi välillä [, ], niin se lue joss funktio on noll voidn sivutt: b f (x)dx e x dx. Eli kosk funktion integrli on noll sillä lueell joss funktio on noll, niin integroitess tämä noll-lue voidn poist eli integroinnit rjt voidn muutt siten, että noll-lue poistuu. Trkstelln nyt esimerkkien vull tiheysfunktioit j niiden integrointi. Esimerkki 5.. Stunnismuuttuj X on tsjkutunut, jos todennäköisyys että X s rvon tietyssä joukoss riippuu inostn tämän joukon koost (eikä tämän joukon sijinnist x-kselill). Jos X on esimerkiksi tsjkutunut välillä [, ], sen tiheysfunktio on {, jos x f (x) muulloin. Tämä on tiheysfunktio, kosk se on in ei-negtiivinen j sen integrli relikselill on yksi: f (x)dx x. dx Nyt tätä tiheysfunktiot integroimll voi siis lske todennäköisyyksiä. Lsketn todennäköisyys, että X s rvon välillä [, /6]: P( X /6) /6 /6 dx x /. Esimerkki 5.. Toinen esimerkki stunnismuuttujn tiheysfunktiost on { e x, jos x f (x) muulloin. 45
Tämä on tiheysfunktio, kosk se on in ei-negtiivinen j se integroituu yhteen: f (x)dx lim M lim M e x dx M M e x dx e x lim M ( e M ( e )) ( ). Tämä on erään eksponenttijkumn tiheysfunktio. Integroimll tiheysfunktiot voidn jälleen lske välien todennäköisyyksiä: joss oletetn, että >. P( X b) b e x dx ( e ( e b ) e b e, Trkstelln nyt ploittin määriteltyä funktiot { x, jos x f (x) muulloin. Tässä on jokin vkio. Kysymys kuuluu: millä :n rvoll tämä funktio on tiheysfunktio? Kosk tiheysfunktiolt vditn ensinnäkin ei-negtiiviisuus, niin on pkko oll, että, sillä muuten yllä olev tiheysfunktio sisi negtiivi rvoj. Toislt tiheysfunktiolt vditn, että se integroituu yhteen relikselill eli f (x)dx. Integroidn nyt funktio f (x) x j ktsotn millä :n rvoll se 46
integroituu lukuun yksi: f (x)dx x dx x dx 3 x3. 3. Nyt tämä funktio on siis tiheysfunktio, kun tämä integrli s rvon yksi eli pätee, 3 eli 3/. Täten funktio { 3 f (x) x, jos x muulloin on tiheysfunktio. 6 Tsointegrlit Ennen tsointegrleihin siirtymistä käsitellään hiemn integroinnin nottiot. Trkstelln jälleen tvllist yksiulotteist integrli b f (x)dx. Tässä siis integrointi tphtuu välillä x [, b]. Tätä väliä [, b] voidn kuitenkin merkitä [, b], jolloin yllä olev integrli voidn merkitä vstvsti: b f (x)dx f (x)dx. Integrli f (x)dx ilmisee, että funktio f (x) integroidn joukoss. Tässä tpuksess kosk [, b], niin tämä on sm si kuin integrli b f (x)dx. 47
Tälle uudelle lyhyemmälle nottiolle tulee käyttöä, kun trkstelemme usemmn muuttujn funktion integroimist. Trkstelln khden muuttujn funktiot f : R R R, (x, y) f (x, y). Tämän muuttujn lähtöjoukko on nyt tso eli R R. Sen mlijoukko on puolestn reliluvut eli R. Yksi esimerkki tällisest khden muuttujn funktiost on f (x, y) x + y, jolle pätee siis esimerkiksi että f (, ) 3. Nyt tällist funktiot f (x, y) voi integroid tsoss eli khden muuttujn x j y suhteen. Syntynyt integrli on nimeltään tsointegrli. Seurvksi tsointegrli pitäisi määritellä. Plutetn luksi mieliin, että yhden muuttujn tpuksess määrätty integrli b f (x)dx määriteltiin l- j yläsummien vull. Esimerkiksi lsumm stiin lskettu jkmll ensin integrointiväli [, b] osiin j lskemll funktion f pienin rvo jokisess näistä osiss. Esimerkissämme väli [, b] jettiin kolmen osn, joiden jokisen pituus oli /3. Lskimme seurvksi funktion f pienimmän rvon jokisess näistä osiss: merkitsimme näitä m, m j m 3. lsumm stiin tämän jälkeen summn 3 m + 3 m + 3 m 3, joss siis jokisen välin pituus kerrottiin funktion pienemmällä rvoll kyseisellä välillä. Kuten yhden muuttujn tpuksess, määrätty integrli tsoss määritellään ylä- j lsummien vull. Nyt emme kuitenkn voi enää pelkästään ositt väliä, kosk tsointegrli on nimensä mukisesti määritelty tsoss eikä välillä. Vlitn integroitvksi funktioksi f (x, y) x + y. Tutkitn kuitenkin helppo esimerkkiä, joss integrointi tphtuu joukoss [, 3] [, 3], eli joukoss joss x [, 3] j y [, 3]. Tämä joukko on sikäli helppo, että se määritellään khden välin krteesisen tulon. Kyseinen joukko on siis yksinkertinen suorkulmio, jok näyttää kuvn seurvlt: 48