8. Kuvaustekniikat Tietokonegrafiikassa hyödynnetty termi tekstuuri on oikeastaan hieman kehno, sillä se on jossakin määrin sekoittava eikä tarkoita pinnan pienimittakaavaisen geometrian käsittelyä sanan yleismerkitystä. Parempi termi on värikuvaus. Seuraavaksi tarkastellaan informaationtalletusmenetelmiä, joita käytetään (tavallisesti) kaksiulotteiselle datalle tehtäessä tekstuurien simulointia. Tekstuurikuvaukset saatiin kehitettyä jo 1980 luvulla tasokkaiksi. Näissä pystyttiin laajentamaan Phongin sävytysmallia visuaalisesti paremmaksi ja näyttämään realistisemmalta. Pelkkää Phongin mallia soveltaen tekstuurit näyttävät muovimaisilta. Tekstuurikuvaukset kehitettiin samaa tahtia globaalin eli kokonaisvalaistusmallien kanssa (säteenjäljitys ja radiositeetti). Niillä saatiin tehokkaasti pikemmin visuaalisesti hyvää tulosta kuin fotorealismia. Pikselitason käsittely kätkee vaihtelevia vaikeuksia. Tekstuurikuvauksen geometria ei ole suoraviivaista. Pitää tehdä jälleen muutamia yksinkertaistuksia, jotka suovat kuitenkin visuaalisesti hyväksyttävän ratkaisun. Vaikeuksien alkuperä on seuraavissa kysymyksissä: (1) Tekstuurikuvausta halutaan soveltaa monikulmioverkkolaskennassa, kuten tavallista. Tällöin on kyse pinnan approksimoinnista verkolla. Eräässä mielessä mitään pintaa ei ole olemassa, vain sen approksimaatio. Kuinka voidaan näin ollen johtaa fysikaalisesti pinnan pisteen tekstuuriarvo, jos pintaa ei ole olemassa? 8. luku 414 8. luku 415 (2) Halutaan hyötyä kaksiulotteisista tekstuureista, joita on lukemattomia saatavilla. Pitää tarkastella, miten kaksiulotteinen kuvaus saadaan monikulmioverkolla approksimoidulle pinnalle. (3) Laskostumisilmiöt (aliasing) ovat tavallisia tekstuurikuvauksissa. Nämä sisältävät monesti jonkinlaista jaksollisuutta. Laskostuminen rikkoo jaksollisuuden, ja tästä aiheutuva sotku on näkyvää. Tekstuurikuvaus on suoritettavissa useilla tavoilla. Menetelmän valinta riippuu lähinnä suoritusaikavaatimuksista ja kuvan laatuvaatimuksista. Rajoitutaan kaksiulotteisiin tekstuurikuvauksiin tavallisimpiin. Näitä sovelletaan tyypillisesti monikulmioverkkokohteille Kaksiulotteisen tekstuurikuvauksen kehittäminen kohteen pinnalle ja sitten projisointi kuva avaruuteen tarkoittaa muunnosta kaksiulotteisesta esityksestä toiseksi kaksiulotteiseksi. Tavallisin menettely on käänteiskuvaus, jossa jokaiselle pikselille etsitään sen esikuva tekstuuriavaruudesta (kuva 8.1.). Tämän kuvauksen esittäminen ei ole kuitenkaan suoraviivaista. Niinpä se käydään läpi kaksivaiheisena prosessina. Ensin kuvataan kaksiulotteisesta tekstuuriavaruudesta kolmiulotteiseen kohdeavaruuteen. Tästä tehdään projektio kaksiulotteiseen kuva avaruuteen (kuva 8.1. (a)). Ensimmäinen muunnos on parametrisointi, ja toinen on tavanomainen projektiomuunnos. 8. luku 416 8. luku 417
Näytteistys ja laskostuminen Laskostumisen esto (anti aliasing) on välttämätöntä tekstuurikuvaustenkin yhteydessä. Pohditaan aluksi sen perusteita. Kuva 8.1. Kaksi tapaa katsoa kaksiulotteista tekstuurikuvausta: (a) kuvaus eteenpäin ja (b) käänteiskuvaus. Laskostumisongelmassa kaikki lähtee liikkeelle siitä, että diskreettiin esitykseen pääsemiseksi on tehtävä jonkinlainen jatkuvan esityksen diskretisointi, joka tarkoittaa esim. yksiulotteiselle signaalille (kuva on kaksi tai kolmiulotteinen signaali) aika tai ylipäänsä vaaka akselin suhteen tehtyä näytteistystä eli näytteenottoa. Otetaan siis jatkuvasta kuvauksesta näytteitä määrävälein, jotka ovat tavallisesti tasavälisiä. Toki approksimointia, josta on jälleen loppujen lopuksi kyse, tehdään myös pystyakselin suhteen. jolloin kvantisoidaan, esim. analogiadigitaali muuntimessa signaalia jollakin resoluutiolla, kuten 12 tai 16 bittiä. Laskostumiseen vaikuttaa edellinen. 8. luku 418 8. luku 419 Katsotaan kaksiulotteista jatkuvaa esitystä eli kuvaa f(x,y). Kun tälle tehdään näytteistys eli muunnos jatkuvasta muodosta diskreetiksi approksimoinniksi, laskostumista voi esiintyä, mikäli sitä ei kunnolla estetä. Kaksiulotteisen funktion arvo on pikselin väriarvo (tai harmaasävysarvo). (Lisäksi tehdään kvantisointi, mutta sitä ei nyt tarkastella). Näytteenottoteorian mukaan saadaan nyt kuvan 8.2. hila, jossa sen ollessa tasavälinen saadaan yksittäinen arvo: f ij = f ( x + ibx, y0 + jb 0 y Tällöin b x ja b y ovat pisteiden välisiä etäisyyksiä akseleiden x ja y suunnissa. Nousee kysymys, kuinka paljon informaatiota kuvasta tulisi kerätä, ts. kuinka suurella tarkkuudella näytteistetään eli kuinka pienellä välillä näytteitä kerätään. ) Kuva 8.2. Näytteistys kaksiulotteisena. Voidaan pohtia myös ns. rekonstruointia, joka tarkoittaa muunnosta takaisin näytteistetystä jatkuvaan. Tässä on tietysti vastassa seikka, kuinka suuren virheen voidaan sallia tulla mukaan, koska oli kyse approksimaatiosta lähtötilanteessa. 8. luku 420 8. luku 421
Tällaisessa tarkastelussa voitaisiin käyttää Fourierin muunnosta, jota ei tässä esitellä, mutta sillä signaali voidaan hajottaa sinimuotoisten esitysten joukoksi. Voidaan muodostaa signaalin frekvenssi eli taajuusesitys, spektri. Kaksiulotteiselle voidaan tilannetta kuvata tila eli spatiaalisina kuvauksina. Kuva 8.3. (a) edustaa yksiulotteista signaalia, joka on hajotettu näin osiinsa kuvassa 8.3. (b). Kaksiulotteisia esimerkkejä on kuvassa 8.4. Nähdään, että näissä on jaksollisia funktioita. Kuva 8.3. (a) Yksiulotteinen signaali, (b) joka on hajotettu kahteen komponenttiinsa. 8. luku 422 8. luku 423 Kuva 8.4. Kaksiulotteisia jaksollisia funktioita. Tarkastellaan nyt ideatasolla Nyquistin teoreemaa, jonka ensimmäinen osa koskee näytteenottoa ja toinen signaalin rekonstruktiota. Nyquistin näytteenottoteoreema (1. osa): Jatkuvan funktion (signaalin) ideaaliset näytteet sisältävät kaiken informaation alkuperäisestä funktiosta, jos ja vain jos funktio näytteistetään taajuudella, joka on suurempi kuin kaksi kertaa funktion käsittämä suurin taajuus. Täten, jotta ei informaatiota kadotettaisi, on rajoituttava funktioihin, jotka ovat taajuudeltaan nolla muualla kuin ikkunassa leveydeltään pienempi kuin näytteenottotaajuus. Matalin taajuus, jota ei datassa voi esiintyä, on puolet näytteenottotaajuudesta eli Nyquistin taajuus. Funktiot, joiden spektrit ovat nolla tällaisen ikkunan ulkopuolella, ovat kaistarajoitettuja. Kaksiulotteiselle käytetään hilaa Nyquistin taajuuden määräämiseksi vastaavasti. Teoreema esittää ideaalisen tilanteen. Käytännössä ei voida ottaa ääretöntä määrää näytteitä. Tämän vuoksi ei voida saada tarkasti kaistarajoitettuja funktioita. Kuvaan astuu jälleen approksimointia tässäkin. Käytännössä tulee muistaa myös, että Nyquistin taajuus on raja. Pitää käyttää tiukempaa rajaa, että approksimointi olisi riittävän hyvä. 8. luku 424 8. luku 425
Nyquistin kriteerin rikkomisesta seuraa laskostumisvirheitä. Laskostuminen (aliasing, aliasten muodostuminen) merkitsee eräänlaista vääristymää signaalista, joka johtuu liian epätarkasta näytteenotosta. Kuvassa 8.5. (a) on yksiulotteinen funktio näytteistettynä. Kuva 8.5. (b) esittää sen spektrin eli mitä taajuuskomponentteja jatkuvassa funktiossa esiintyy, ja kuva 8.5. (c) esittää vastaavasti näytteistetyn signaalin spektrin kuvaten osakuvan (b) toistoa. Koska oli näytteistetty korkeammalla taajuudella kuin Nyquistin, osakuvan (c) sininkaltaiset taajuuskaistat eivät mene päällekkäin. Kuva 8.5. Kaistarajoitettu funktio: (a) funktio näytteineen, (b) jatkuvan funktion spektri ja (c) näytteiden muodostaman diskreetin esityksen spektri. Kuvassa 8.6. on rikottu Nyquistin kriteeriä, jolloin toistot eli taajuuskaistat menevät osin päällekkäin. Katsotaan sen keskikohtaa, joka on suurennettuna kuvassa 8.7. 8. luku 426 8. luku 427 Kuva 8.6. Päällekkäin osuvat kaistat. Kuvan 8.7. tilanteessa keskikomponenteilla on toisto eli alias, joka syntyi liian alhaisen näytteenottotaajuuden takia. Olennaista on, että mikäli laskostuminen eli alias pääsee syntymään, sitä ei millään pysty enää erottamaan todellisesta informaatiosta. Näin ollen ainoa keino on estää se ennakolta, ts. näytteistää riittävän tarkasti. Laskostumista voi pohtia ilman Fourierin muunnosta, ts. taajuusspektriä, kun katsoo esim. kuvan 8.8. tapaista (alinta) signaalia. Siitä voisi saada erilaisia näytteistyksiä, jos näytteenottotaajuus on liian alhainen Nyquistin kriteerin mukaan. Kuva 8.7. Laskostuminen nähtävissä spektrin keskitaajuuskomponenteissa.. Vaikka on mahdotonta tarkasti ottaen rakentaa kaistarajoittunutta äärellisen kokoista signaalia tai kuvaa, laskostuminen voidaan käytännössä aika kätevästi estää. Näet todellisissa kuvissa taajuuskomponentit keskittyvät usein melko alhaisille taajuuksille. Tällöin laskostuminen on minimaalista suurilla taajuuksilla, kun näytteistäminen on tehty asiallisesti. 8. luku 428 8. luku 429
Kun kuvassa on säännöllisyyttä eli jaksollisuutta, ongelmia esiintyy, mikäli tämän takia jokin esiintyvistä taajuuksista nousee Nyquistin taajuuden yli. Se näkyy konkreettisesti kuvassa virheenä. Esim. videokuvassa raitaiset vaatteet voivat näkyä vääristyneinä. Vääristymiä voi nähdä televisiokuvassa, kun siinä näytetään näyttöruutua. Samoin villin lännen elokuvissa saattaa näyttää ikään kuin hevosvetoisten postivaunujen puiset puolapyörät pysyisivät paikallaan tai jopa pyörisivät taaksepäin, vaikka kärryt selvästi kulkevat eteenpäin. Nämä johtuvat liian alhaisesta näytteenotosta (kuvaa / sekunti) televisio tai elokuvauksessa. Kuva 8.8. Muna vai kana? Signaalin (kuvan) Nyquistin taajuus tulee tuntea, jotta laskostumista ei syntyisi. Laskostumista estetään erityisesti myös suodatuksella. Ideana on suodattaa ylätaajuudet pois, jostakin katkaisutaajuudesta (enintään Nyquistin taajuus) lukien. Kuvia suodatetaan mm. kuvan 8.9. tapaisesti. 8. luku 430 8. luku 431 Nyquistin näytteenottoteoreema (2. osa): Jatkuva funktio f(x) voidaan rekonstruoida näytteistään {f i } kaavalla: f ( x) = f sin c( x ) = i x i i Kuva 8.9. Kuvan selausta: (a) Pistemäinen näytteistys ja (b) alueellinen keskiarvoistus. Kuvassa 8.9. lasketaan näytteelle painotettu keskiarvo sen naapurinäytteiden avulla. Näin suodatetaan koko kuva. Seuraavaksi oletetaan, että käytettävissä on (ääretön) näytejoukko, joka on näytteistetty suuremmalla taajuudella kuin (käytännössä kaksi kertaa) Nyquistin taajuus. Jatkuvan funktion rekonstruointi näytteistä tapahtuu seuraavan tuloksen perusteella. Funktio sinc (kuva 8.10.) määritellään seuraavasti: sinπx sin c( x) = πx Kaksiulotteinen versio kaavasta funktiolle f(x,y) ideaalisilla näytteillä on: f ( x, y) = f sin c( x x )sin c( y y ) ij i= j= i j 8. luku 432 8. luku 433
Kuva 8.10. Yksiulotteinen sinc funktio. Kuva 8.11. Yksiulotteista rekonstruktiota. Kuvassa 8.11. on yksiulotteisen funktion rekonstruktiota. Kaksiulotteisessa tapauksessa tarvitaan kaksiulotteinen funktio, joka on kuvassa 8.12. Laskennassa ei luonnollisesti voi käyttää ääretöntä määrää näytteitä, joten kyseeseen tulee approksimointi. 8. luku 434 8. luku 435 Kohteen koon pienentyessä tekstuurin pikselin esikuva kasvaa kattaen entistä suuremman alan. Jos otetaan näyte pikselin keskeltä ja sen arvo on T(u,v) vastaavassa pisteessä tekstuuriavaruudessa, tästä seuraa kuvan 8.13. virhetilanne. Kuvan 8.13. osissa (a) ja (b) kohde projisoituu yksittäiselle pikselille ja siirtyy tavalla, jossa esikuva siirtyy tekstuuriavaruudessa. Kohteen siirtyessä väri vaihtuisi mustasta valkoiseksi. Kuva 8.12. Kaksiulotteinen sinc funktio. Havainnollistetaan vielä laskostumisen estoa kaksiulotteisessa eli kuvan tilanteessa. Pohditaan tilannetta, jossa kohdetta etäännytetään katsojasta, jolloin kuvan projektio sisältää yhä vähemmän pikseleitä. Laskostumisen esto (anti aliasing) tarkoittaa nyt informaation integrointia pikselin esikuvan yli ja tämän arvon käyttämistä sävytyslaskennassa (kuva 8.13. (d)). Integraalia voidaan parhaimmillaan vain approksimoida, sillä ei tunneta nelisivuisen alueen muotoa, vaan vain sen kulmapisteet. 8. luku 436 8. luku 437
Kuva 8.13. Pikseleitä ja esikuvia tekstuuriavaruudessa. 8. luku 438