PÄÄOMAPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ

PÄÄOMAPANOS TUOTANNONTEKIJÄNÄ Matti Estola 3. marraskuuta 203 Sisältö Johdanto 2 2 Pääomapanosten vuokraaminen 2 2. *Newtonilainen teoria pääomapanosten vuokraamisesta.... 4 3 Pääomahyödykkeiden hankinta eli investointi 4 3. Nykyarvot ja diskonttaaminen diskreetin ajan tapauksessa.. 5 3.2 *Nykyarvot ja diskonttaminen jatkuvan ajan tapauksessa... 8 3.3 Yrityksen investointipäätöksestä................. 3.4 Yrityksen pääomakannan virta- varantolaskelmat....... 5 3.5 *Yrityksen investointipäätökset jatkuvan ajan tapauksessa.. 7 3.6 *Newtonilainen teoria yrityksen investoinneista........ 8 Teksti on lainattu kirjasta: Estola, M. Kansantaloustieteen perusteet, Jyväskylän yliopisto, Taloustieteen laitos, Julkaisuja 04/96.

Johdanto Määritelmä: Yrityksen fyysinen pääoma koostuu niistä yrityksen omistamista tuotannontekijöistä, jotka tuottavat tuloa usean tilikauden aikana. Raaka-aineet kuluvat tuotannossa tuotantoprosessin aikana, joten niitä ei lueta kuuluvaksi yritysten fyysiseen pääomaan. Nimityksellä fyysinen pääoma tehdään ero yritysten nanssi- eli rahapääomaan. Pääoma -käsite viittaa puolestaan varanto -käsitteeseen, jolla tehdään ero virtasuureisiin. Erityyppisten pääomien määrät ovat varantosuureita, ja niiden mittayksiköitä voivat esimerkiksi olla: kpl, kg, mk. Virtasuureet taas ovat aikaan suhteutettuja suureita, ja niiden mittayksiköitä ovat esimerkiksi: kpl/kk, kpl/v, kg/h, mk/kk, mk/h vrt. luku 2 osio 2. Varannot ovat ajan myötä akkumuloituneita virtasuureita, jotka vastaavat virtauksen tiettyyn hetkeen mennessä kertynyttä kokonaismäärää vrt. luku 2 osio 2. Varantoja ovat esimerkiksi yritysten eri ajanjaksoilla myymättä jääneistä tuotteista tiettyyn hetkeen mennessä kertyneet varastot, eri ajanjaksoilla hankittujen koneiden ja laitteiden kertyneet määrät tietyllä hetkellä, tai eri ajanjaksoilla hankittujen koneiden ja laitteiden yhteisarvo tietyllä hetkellä. Yksiköissä aari, hehtaari jne. mitattu maa-ala voidaan myös lukea kuuluvaksi yritysten fyysiseen pääomaan. Maa tuottaa tuloja omistajalleen usean periodin aikana viljelysten, vuokratulojen tai säästöjen muodossa, sillä maan omistajan ei tarvitse maksaa vuokraa omistamansa maan käytöstä. Tarkasteltaessa pääomahyödykkeiden käyttöä tuotantoprosessissa, olennaista on tehdä ero virta- ja varantosuureiden välillä. Vuokra on korvaus pääomahyödykkeen tuottamista palveluksista tietyn ajanjakson ajalta; vuokran mittayksiköitä ovat esimerkiksi mk/kk, mk/v jne. Pääomahyödykkeen hinta taas on yksiköissä mk/kpl mitattu korvaus hyödykkeen tuottamista palveluksista koko sen käyttöajalta, eli korvaus pääomahyödykkeen tulevien ajanjaksojen palvelujen muodostamasta palveluvarannosta. Tässä kuvattua erottelua ei tarvinnut tehdä aiemmin työpanoksen käyttöä analysoitaessa, sillä työvoimaa voi ostaa omaksi ainoastaan orjayhteiskunnissa; yleensä sitä voi ainoastaan vuokrata. 2 Pääomapanosten vuokraaminen Jos yritys vuokraa pääomahyödykkeiden tuottamia palveluksia eikä osta niitä omakseen yrityksen pääomapanoskäyttö vastaa täysin edellä esitettyä analyysia työpanoskäytöstä. Yritys vertaa pääomahyödykkeiden tun- 2

tivuokria niiden tuottamien palvelusten arvoihin yhdeltä tunnilta, ja pyrkii tällä perusteella valitsemaan optimaalisen pääomapanoskäytön suunnittelujaksolleen. Yrityksen kuukausittainen tuotantofunktio kirjoitetaan tällöin yksiköissä h/kk mitatun pääomapanoskäytön funktiona. Yrityksen tietyn pääomahyödykkeen optimaalinen käyttö vastaa tilannetta, jossa pääomahyödykkeen yhden vuokratunnin tuottamien palvelusten arvo vastaa tuntivuokraa. Jos eri pääomahyödykkeiden tuntivuokrat ovat kiinteät ja niiden fyysinen rajatuottavuus alenee käytön myötä, niiden optimaaliset käytöt voidaan osoittaa yksikäsitteisiksi työpanoskäyttöä vastaavasti. Tilanne käydään läpi tässä varsin suppeasti, sillä kyseinen analyysi vastaa täysin edellä esitettyä analyysiä yrityksen työpanoskäytöstä. Kirjoitetaan hyödykettä k tuottavan yrityksen tuotantofunktio yhden tietyntyyppisen työpanoksen L k h/kk ja yhden tietyntyyppisen pääomapanoksen B k h/kk käytön funktioksi q k = fl k, B k, missä q k kg/kk on yrityksen tuotantonopeus. Tuotantofunktiolla on seuraavat ominaisuudet q k L k > 0, q k B k > 0, 2 q k L 2 k < 0, 2 q k B 2 k < 0 ja 2 q k L k B k = 2 q k B k L k = 0. Tuotantofunktion yllä esitetyt ominaisuudet merkitsevät sitä, että molempien tuotantopanosten rajatuottavuudet ovat positiiviset, niille pätee aleneva rajatuottavuus, tuotantofunktion osittaiskuvaukset ovat jatkuvia, ja panoskäytöt vaikuttavat tuotantonopeuteen toisistaan riippumatta. Viimeinen oletus tehdään siitä syystä, että sen avulla kumpaakin panoskäyttöä voidaan tarkastella toisesta riippumatta. Merkitään työpanoksen tuntipalkkaa w:llä mk/h ja pääomapanoksen vuokraa z:lla mk/h. Yrityksen kuukausittainen voitto voidaan tällöin kirjoittaa muodossa Π k t = p k q k t C 0 wl k t zb k t, q k t = f L k t, B k t, missä C 0 :lla merkitään kiinteitä kuukausikustannuksia, kaikkien kolmen hinnan oletetaan pysyvän kiinteinä, ja panoskäyttöjen riippuvuus ajasta t on kirjoitettu eksplisiittisesti näkyviin. Yrityksen oletetaan sopeuttavan työ- ja pääomapanoskäyttöään siten, että yrityksen kuukausittainen voitto lisääntyy ajan myötä. Voittofunktion aikaderivaatta on Π k = p k q k L k w L k + p k q k B k z Ḃ k. Yritys voi vaikuttaa kuukausittaiseen voittoonsa sopeuttamalla sekä työ- että pääomapanoskäyttöään toisistaan riippumatta. Aiemmin olemme jo analysoineet työpanoksen sopeuttamista, joten se voidaan nyt sivuuttaa. Pääomapanoskäytön sopeuttaminen tapahtuu vastaavasti. Kuukausittaista voittoa 3

lisäävät pääomapanoskäytön muutossäännöt ovat Ḃ k > 0 kun p k q k B k z > 0, Ḃ k < 0 kun p k q k B k z < 0 ja Ḃ k = 0 kun p k q k B k z = 0. Yllä olevien sopeutussääntöjen mukaan yritys vuokraa lisää pääomahyödykepalveluja silloin, kun yhden vuokratunnin avulla aikaansaadun tuotannon arvo on tuntivuokraa suurempi ja päinvastoin. Optimitilanteessa yhden vuokratunnin avulla tehdyn tuotannon arvo vastaa tuntivuokraa. 2. *Newtonilainen teoria pääomapanosten vuokraamisesta Edellisessä osiossa esitetty analyysi voidaan tiivistää seuraavaan matemaattiseen muotoon Ḃ k = gx, x = p k q k B k z, g x > 0, g0 = 0, missä g on jokin yllä esitetyt ehdot toteuttava funktio. Koska Ḃk h/kk 2 on q pääomapanoskäytön kiihtyvyys jonka aiheuttaa suure p k k B k z, jälkimmäinen suureista voidaan tulkita yrityksen pääomapanoskäyttöön kohdistuvaksi voimaksi. Kaava on pääomapanoskäytön liikeyhtälö, jonka lineaarinen muoto vastaa pääomapanoskäytön newtonilaista liikeyhtälöä. Koska Ḃk B k = g xp k 2 q k B 2 k < 0, pääomapanoskäyttöä kuvaava liikeyhtälö on asymptoottisesti stabiili. Tässä osiossa tehty analyysi vastaa täysin aiemmin työpanoskäytöstä tehtyä, mistä syystä tilannetta ei analysoida tätä tarkemmin. 3 Pääomahyödykkeiden hankinta eli investointi Pääomahyödykkeen määritelmän mukaan hyödyke tuottaa palveluja usean tilikauden aikana. Pääomahyödyke voidaan arvostaa sen tulevaisuudessa tuottamien palvelusten ja käyttökustannusten mukaan. Jos tietyn pääomahyödykkeen eri tilikausien aikana tuottamien palvelusten rahamääräiset arvot 4

kyetään arvioimaan, pääomahyödykkeen arvo yritykselle voidaan laskea sen käyttöajalta saatavien palvelusten arvon ja käyttökustannusten välisenä erotuksena. Investoinnin kannattavuutta voidaan analysoida myös vertaamalla pääomahyödykepalvelujen vuokraamisen ja pääomahyödykkeen ostamisen tuottamia valmistuskustannuseroja pääomahyödykkeen käyttöajalta. Eri ajanjaksoilla saatavia rahamääräisiä tuottoja ja kustannuksia ei kuitenkaan voida suoraan laskea yhteen, sillä eri ajanjaksojen rahayksiköt eivät ole suoraan vertailukelpoisia. Tätä tarkastellaan seuraavaksi. 3. Nykyarvot ja diskonttaaminen diskreetin ajan tapauksessa Oletetaan, että aika on ositettu tasavälisiin t:n pituisiin jaksoihin, missä jakson t pituus voi olla yksi päivä, viikko, kuukausi, vuosi tai mikä tahansa muu ajanjakso; kolme päivää, neljä ja puoli kuukautta jne. Ajanhetkiä merkitään seuraavasti: t 0, t 0 + t = t 0 + t t 0 = t, t 0 + 2 t = t 0 + t + t = t + t = t 2 jne. ja ajanjaksot nimetään niiden loppuhetkien mukaan. Diskreetin ajan tapauksessa yksittäisen ajanjakson pituudella ei ole merkitystä; yleensä kuitenkin aika ositetaan yhtä pitkiin osaväleihin. Olennaista on se, että suureiden arvoja mitataan ainoastaan ajanjaksojen päättymishetkillä, eikä jaksojen t 0 + i t, i =, 2,..., aikana. Jaksot t 0 + i t järjestetään numerojärjestykseen niiden esiintymisjärjestyksen mukaisesti. Oletetaan nyt, että hetkellä t 0 xt 0 mk rahaa talletetaan pankkiin tai vastaavaan laitokseen korolla r. Korko r on rahamääräisten suureiden yksiköissä / t mitattu kasvuaste luku 2 osio.5, jolle pätee t xt 0 + t xt 0 = r xt 0 xt 0 + t xt 0 = r txt 0 xt 0 + t = xt 0 + r txt 0 xt 0 + t = + r txt 0. Hetkellä t 0 + t tilillä oleva rahamäärä xt 0 + t voidaan esittää koron r avulla yllä esitetyllä tavalla. Oletetaan nyt korko kiinteäksi ja korkoa korolle kasvavan n:n ajanjakson ajan siten, että korkotuotto lisätään talletettuun pääomaan ajanjaksojen lopussa. Eri ajanjaksojen lopussa pankkitilillä olevat 5

rahamäärät on esitetty taulukossa 8.. ajanhetki markkaa tilillä t 0 xt 0 t 0 + t xt 0 + t = + r txt 0 t 0 + 2 t xt 0 + 2 t = + r t 2 xt 0 t 0 + 3 t xt 0 + 3 t = + r t 3 xt 0.. t 0 + n t xt 0 + n t = + r t n xt 0 Taulukko 8.. Talletuksen kasvu korkoa korolle kaavalla Tutkitaan nyt, miten taulukon 7. rivit on muodostettu. Hetkellä t 0 tehty talletus xt 0 mk kasvaa jakson t 0 + t aikana xt 0 + t = xt 0 +r txt 0 = + r txt 0 mk:ksi, missä xt 0 on sijoitettu pääoma ja r txt 0 on korkotuotto jaksolta t 0 + t. Jakson t 0 +2 t alussa sijoitettu pääoma on + r txt 0 :n suuruinen, ja korkotuotto jaksolta t 0 + 2 t on r t +r txt 0 mk. Toisen jakson lopussa tilillä on rahaa xt 0 + 2 t = + r txt 0 + r t + r txt 0 = + r txt 0 + r t = + r t 2 xt 0 mk. Kolmannen jakson alussa sijoitettu pääoma on + r t 2 xt 0 mk, ja korkotuotto jaksolta t 0 + 3 t on r t + r t 2 xt 0 mk. Kolmannen jakson lopussa tilillä on rahaa xt 0 +3 t = +r t 2 xt 0 +r t+r t 2 xt 0 = +r t 3 xt 0 mk jne. Nyt voidaan kysyä, paljonko hetkellä t 0 kannattaisi maksaa hetkellä t 0 + t saatavasta rahamäärästä yt 0 + t mk, eli mikä rahamäärä hetkellä t 0 vastaa hetkellä t 0 + t saatavaa rahamäärä yt 0 + t mk? Merkitään tuntematonta rahamäärää hetkellä t 0 yt 0 :lla ja talletuskorkoa r:llä. Se rahamäärä, joka hetkellä t 0 pankkiin talletettuna korolla r vastaa rahamäärää yt 0 + t hetkellä t 0 + t, saadaan seuraavasti + r tyt 0 = yt 0 + t yt 0 = + r t yt 0 + t Näin ratkaistua yt 0 :n arvoa kutsutaan määrän yt 0 + t nykyarvoksi, prosessia jolla nykyarvo saatiin kutsutaan diskonttaukseksi ja tekijää /+r t kutsutaan diskonttaustekijäksi. Koska yllä määritelty diskonttaustekijä on dimensioton suure, sillä kertominen ei vaikuta suureiden mittayksiköihin. Tulevaisuudessa saatavien rahamäärien muuntamista nykyhetken rahayksiköiden kanssa vertailukelpoiseksi kutsutaan rahamäärien nykyarvojen laskemiseksi. 6

Hetkellä t 0 + 2 t saatavaa rahamäärää yt 0 + 2 t mk hetkellä t 0 vastaava rahamäärä yt 0 mk lasketaan seuraavasti, + r t 2 yt 0 = yt 0 + 2 t yt 0 = yt 0 = 2 yt 0 + 2 t, + r t + r t 2 yt 0 + 2 t missä viimeisessä muodossa käytetään hyväksi tietoa 2 =. Hetken t 0 +2 t rahayksikön diskonttaustekijä on siten / + r t 2. Vastaavalla tavalla hetken t 0 + 3 t diskonttaustekijäksi saadaan / + r t 3 ja yleisemmin hetken t 0 + n t diskonttaustekijäksi / + r t n. Dimensionaalisesti ajatellen eri periodien markkamääräiset suureet ovat samandimensioisia ja siten yhteenlaskettavia suureita. Positiivinen korkotaso saa kuitenkin aikaan sen, että tulevien ajanjaksojen yhden markan arvo on nykyhetken markan arvoa pienempi. Diskonttaustekijä ilmaisee kahden ajanjakson esimerkiksi t 0 + 4 t ja t 0 + t:n rahayksiköiden vaihtosuhteen seuraavasti: xt 0 + 4 t xt 0 + t = + r t4 xt 0 + r t xt 0 xt 0 + 4 t = + r t 3 xt 0 + t. xt 0 + 4 t xt 0 + t = + r t3 Esimerkki. Olkoon r = 0 %/v = 0. /v ja t = v. Asettamalla edellä esitetyissä kaavoissa yt 0 + t = yt 0 + 2 t = yt 0 + 3 t = mk ja ratkaisemalla näitä vastaavat yt 0 :n arvot, hetken t 0 + t yhden markan nykyarvoksi tulee / + 0. = 0.9 mk, hetken t 0 + 2 t markan nykyarvoksi / + 0. 2 = 0.83 mk ja hetken t 0 + 3 t markan nykyarvoksi / + 0. 3 = 0.75 mk. Kiinteän korkotason vallitessa eri ajanjaksojen rahayksiköiden nykyarvot ovat sitä pienempiä, mitä kauempana tulevaisuudessa ajanhetki sijaitsee. Esimerkki 2. Olkoon r = 5 %/v = 0.05 /v ja t = v. Asettamalla edellä esitetyissä kaavoissa yt 0 + t = yt 0 + 2 t = yt 0 + 3 t = mk ja ratkaisemalla näitä vastaavat yt 0 :n arvot, hetken t 0 + t yhden markan nykyarvoksi tulee / + 0.05 = 0.95 mk, hetken t 0 + 2 t markan nykyarvoksi /+0.05 2 = 0.9 mk ja hetken t 0 +3 t markan nykyarvoksi / + 0.05 3 = 0.86 mk. Edelliseen esimerkkiin vertaamalla havaitaan, että eri ajanjaksojen rahayksiköiden nykyarvot ovat sitä suurempia, mitä alhaisempi on korkotaso. Esimerkki 3. Olkoon korko 0 %/v = 0/00 /v. Muunnoskaavan v = 52 vk avulla korkoa voidaan muuntaa seuraavasti /0 /v = 7

/0 /52vk = / /vk. Neljän viikon pituisen ajanjakson korko saadaan vastaavasti: / /vk = 4/4 / /vk = 4/ /4vk. Tarkastellaan seuraavaksi sellaisen tulovirran nykyarvoa, jossa neljän viikon kuluttua tarkasteluhetkestä saadaan neljä markkaa ja korkotaso on 0 %/v. Nykyhetkestä neljän viikon kuluttua saatavan tulon 4 mk/ t:n nykyarvo M na missä alaindeksi viittaa nykyarvoon ja M tuloihin lasketaan seuraavasti M na = 4 mk + r t = 4 mk + 4 = 4 mk 4vk + 4 = 4 mk 524 = 4 524 4vk mk = 3.969 mk. = 4 mk + 4 Lasketaan seuraavaksi sellaisen tulovirran nykyarvo, jossa neljän viikon ajan jokaisen viikon lopussa saadaan yksi markka. Yllä esitetyn perusteella viikon pituisen ajanjakson korko on / /vk. M na = mk + r t + mk + r t + mk 2 + r t + mk 3 + r t 4 mk mk = + = + + 52 + vk vk + + mk 3 + vk + vk 52 2 + 3 + 52 vk 52 vk 2 mk 4 vk vk 4 mk = 3.98 mk. Tämän esimerkin perusteella voidaan päätellä, että mitä tiheämmin kiinteällä korolla tapahtuva diskreetin ajan diskonttaus tehdään, sitä suurempi on kiinteän ajanjakson aikana saatavan kiinteän tulovirran nykyarvo. 3.2 *Nykyarvot ja diskonttaminen jatkuvan ajan tapauksessa Luvussa 2 esitetyn perusteella jatkuvan ajan tapauksessa korko rt on pankkitalletusten hetkellinen kasvuaste rt = x t/xt hetkellä t. Tämän ensimmäisen kertaluvun dierentiaaliyhtälön ratkaisu on muotoa x t t t = rtxt xt = Ae rsds 0, 2 8

missä A mk on dimensionaalinen integrointivakio ja s:llä merkitään juoksevaa aikaa. Lukija voi tarkistaa kaavan 2 oikeuden siten, että derivoi kaavan 2 jälkimmäisen yhtälön ajan suhteen saaden x t t t = Arte rsds 0. Kun näin johdettu x t:n lauseke jaetaan xt:n kaavan 2 jälkimmäisen yhtälön muodolla havaitaan, että saatu tulos on sama kuin alkuperäinen dierentiaaliyhtälö eli rt:n määritelmä. Asettamalla t = t 0 kaavassa 2, saadaan t t xt 0 = A, xt = xt 0 e rsds 0. 3 Näin saatu yhtälö ilmaisee sen, mikä on hetkellä t 0 tehdyn talletuksen määrä hetkellä t korolla rs jatkuvan ajan tapauksessa, missä korko voi vaihdella jakson t 0, t aikana. Jatkuvan ajan tapauksessa korko lisätään talletuspääomaan jokaisen a- janhetken jälkeen; talletus kasvaa tällöin korkoa korolle kaavassa 3 esitetyn exponentiaalifunktion mukaisesti. Jos siis talletamme tilille rahamäärän xt 0 mk hetkellä t 0, ja talletus kasvaa korkoa korolle hetkeen t > t 0 asti, hetkellä t tilillä on rahaa kaavassa 3 määritelty määrä xt. Kun t = t 0, xt = xt 0. Jatkuvan ajan tapauksessa hetkellä t saatavan rahamäärän nykyarvo hetkellä t 0 saadaan ratkaisemalla yhtälö 3 xt 0 :n suhteen, xt 0 = xte t t 0 rsds. Olettamalla korkotason säilyvän kiinteänä ajanjakson t 0, t ajan, rahamäärän xt nykyarvo voidaan esittää muodossa xt 0 = xte rt t 0. Asettamalla t 0 = 0 eli merkitsemällä nykyhetkeä nollalla jatkuvan ajan vastine diskreetin ajan diskonttaustekijälle /+r t n voidaan kiinteän koron tapauksessa esittää muodossa e rt. Tekijä e rt on dimensioton suure, sillä koron r mittayksikkö on / t ja ajan t mittayksikkö on t, missä t voi olla mikä tahansa ajanjakso, yksi vuosi, kaksi kuukautta, puoli viikkoa jne. Esimerkki. Tarkastellaan edellä esitetyissä esimerkeissä käsiteltyä neljän viikon aikana saatavan neljän markan suuruisen tulovirran nykyarvoa jatkuvan ajan tapauksessa. Oletetaan talouden talletuskorkotason olevan aiempaan tapaan kiinteä 0 %/v, mikä vastaa 4/ /4vk suuruista neljän viikon ajanjakson korkoa ja / /vk suuruista viikkokorkoa. Jatkuvaa 9

aikaa mitataan ensin neljän viikon pituisissa jaksoissa ja sitten viikon pituisissa jaksoissa. Tulovirran 4 mk/4vk nykyarvo on ensimmäisessä tapauksessa t= 4vk t= 4vk M na = 4e rt dt mk = 4 r e r 4vk t 4vk mk t=0 4vk = 4 mk/4vk r /4vk 4 = 4/ e 0 e 4 t=0 4vk e r 4vk 4vk e r 4vk 0 4vk mk = e 4 mk = 3.985 mk. Yllä olevan laskun mittayksiköitä tarkasteltaessa on syytä huomata se, että dt:tä mitataan yksiköissä 4vk. Laskukaavan ensimmäisen muodon mittayksikkö on siten 4 mk/4vk dt 4vk = 4dt mk kuten pitikin, sillä e rt on dimensioton suure. Oletetaan nyt aikaa mitattavan viikoissa. Tulovirta 4 mk/4vk vastaa tulovirtaa 4/4 mk/vk = mk/vk. Tällöin voimme kirjoittaa edellistä vastaavasti M na = t=4 vk t=0 vk = mk/vk r /vk = e rt dt mk = e 4 t=4 vk t=0 vk e r vk 4 vk mk = 3.985 mk. r e r vk t vk mk = / e 4r mk Jatkuvan ajan nykyarvolaskennassa saamme siis saman tuloksen riippumatta siitä, missä yksiköissä aikaa mitataan. Olennaista on huomata se, että integroitava suure ilmaistaan samoissa aikayksiköissä integrointirajojen kanssa. Lasketun summan nykyarvo on hieman korkeampi kuin diskreetin ajan tapauksessa. Tällä perusteella voimme päätellä, että jos ajan ositusta tihennetään diskreetin ajan tapauksessa, diskreetin ajan diskonttausmenetelmällä lasketut nykyarvot lähestyvät asymptoottisesti jatkuvan ajan diskonttausmenetelmällä laskettuja nykyarvoja. Esimerkki 2. Oletetaan hetkellä t 0 ääretönulotteisessa tulevaisuudessa saatava kiinteä tulovirta N mk/v, ja oletetaan korkotason säilyvän tulevaisuudessa kiinteänä r /v. Tämän tulovirran nykyarvo on M na = Ne rt t0 dt = N t 0 t 0 r e rt t 0 = N e r t 0 e rt 0 t 0 r = N e e 0 = N r r 0 = N r mk, 0

missä r t 0 = r + rt 0 =, sillä rt 0 on äärellinen positiivinen luku ja r =. Näin saatu tulos vastaa myöhemmin diskreetin ajan tapauksessa johdettavan saman tulovirran nykyarvoa. 3.3 Yrityksen investointipäätöksestä Yrityksen ajatellaan suunnittelevan pääomapanoskäytön lisäämistä tuotantoprosessissaan siitä syystä, että yritys toimii täydellä kapasiteetilla ja lisätuotannolle olisi menekkiä. Tarkastellaan aluksi sellaista tilannetta, että yrityksen ei ole mahdollista vuokrata kyseisiä pääomahyödykepalveluja niitä vuokraavilta yrityksiltä. Tällaisessa tilanteessa yritys joutuu harkitsemaan pääomahyödykkeen jatkossa koneen ostamista eli investointia. Kannattavuusperiaatteella tehtävä investointipäätös perustuu koneesta aiheutuvien tuottojen ja kustannusten vertailuun. Koneen kustannukset koostuvat ostohinnasta ja käyttökustannuksista ja tuotot koneen tulevaisuudessa tuottamien palvelusten arvoista. Unohdetaan nyt yrityksen toiminnan muu suunnittelu, ja tarkastellaan investointipäätöstä muusta toiminnasta erillisenä päätöksenä hetkellä t 0. Aika ositetaan t:n pituisiin jaksoihin seuraavasti: t 0, t 0 + t, t 0 +2 t, t 0 +3 t,... ja oletetaan, että kone kestää n ajanjaksoa. Merkitään koneen ostohintaa hetkellä t 0 C 0 :lla ja koneen käyttökustannusten ja sen tuottamien palvelusten tulojen markkamääräisiä arvoja Ct 0 + i t:llä mk/ t ja Mt 0 + i t:llä mk/ t jaksolla t 0 + i t, i =,..., n. Eri ajanjaksoilla vallitsevia korkotasoja merkitään r i :llä, i =,..., n. Investoinnin tuottamien tulojen nykyarvo n:ltä periodilta on M na = Mt 0 + t t + Mt 0 + 2 t t + r t + r t + r 2 t + + Mt 0 + n t t + r t + r n t, missä ajanjaksojen korkotasojen eroaminen toisistaan saa aikaan sen, että diskonttaustekijät eivät enää ole yhden tekijän potensseja, vaan ne ovat usean diskonttaustekijän tuloja. Lukija voi tarkistaa tämän edellä esitettyjen laskemisperiaatteiden avulla siten, että laskee miten hetkellä t 0 sijoitettu pääoma kasvaa korkoa korolle silloin, kun ajanjaksojen korkotasot poikkeavat toisistaan yllä esitetyllä tavalla. Jos r i = r, i =,..., n, tarkoittaa jokainen, diskonttaustekijät muuttuvat tekijän / + r t potensseiksi. Koneesta aiheutuvien kustannusten nykyarvo n:ltä jaksolta on C na = C 0 + Ct 0 + t t Ct 0 + 2 t t + + r t + r t + r 2 t + Ct 0 + n t t + + r t + r n t.

Investointi on kannattava silloin, kun koneen tuottamien tulojen nykyarvo ylittää sen tuottamien kustannusten nykyarvon, eli M na > C na. Jos eri ajanjaksoilta saadut tuotot ja kustannukset vähennetään toisistaan, investoinnin kannattavuusehto voidaan esittää muodossa Mt0 + t Ct 0 + t t M na C na > 0 + r t Mt0 + 2 t Ct 0 + 2 t t + + r t + r 2 t Mt0 + n t Ct 0 + n t t + + > C 0. + r t + r n t Investointi kannattaa siis silloin, kun koneen nettotuottojen tulovirran nykyarvo ylittää koneen ostohinnan. Jos ehto M na > C na toteutuu, yrityksen kannattaa maksaa koneesta korkeintaan nettotuottojen nykyarvon verran, mikä on koneen arvo yritykselle. Olennaista yllä esitetyssä laskelmassa on se, että koneen tulevaisuudessa tuottamia nettotuottoja ei verrata koneen ostohintaan sellaisenaan, vaan nettotuottojen tulovirran nykyarvoa verrataan nykyhetkellä maksettavaan hintaan. Mitä kauempana tulevaisuudessa koneen tuottamat tuotot sijaitsevat, sitä pienempi nykyarvo niillä on korkotason ollessa positiivinen. Tarkastellaan edelleen yrityksen tietyn koneen ostopäätöstä hetkellä t 0. Investointipäätöstä tehdessään yrityksen päättäjillä ei ole varmaa tietoa tulevaisuudessa vallitsevasta korkotasosta, investoinnin tuottamista tuloista eikä koneen käyttökustannuksista. Päättäjät joutuvat arvioimaan näitä oman näkemyksensä perusteella. Oletetaan nyt, että yrityksen päättäjät kykenevät arvioimaan koneen keskimääräiset tuotot ja käyttökustannukset eri ajanjaksoilta, ja oletetaan näiden pysyvän vakioina koko koneen käyttöajan. Vaikka koneen tuotantoteho laskisikin ajan myötä, koneen keskimääräiset tuotot ja kustannukset yhtä jaksoa kohti voidaan laskea jakamalla koko käyttöajalta arvioidut kokonaistuotot ja kustannukset jaksojen lukumäärällä. Yrityksen päättäjien oletetaan arvioivan investoinnin kannattavuutta yhteen tiettyyn korkotasoon pitäytymällä, joka vastaa päättäjien arviota koron tulevasta tasosta. Merkitään koneen nettotuottoja jaksolta t 0 + i t seuraavasti Nt 0 + i t = Mt 0 + i t Ct 0 + i t = N mk/ t, i = 0,,..., n. Edellä esitettyjen oletusten avulla yrityksen päättäjien arvio koneen 2

tuottamien nettotulojen nykyarvosta voidaan esittää muodossa N t N na = + r t + N t + r t + N t 2 + r t + + N t 3 + r t n = N t + r t + + r t + 2 + r t + + 3 + r t n n i = N t. + r t i= Yllä kuvattu summalauseke muodostaa positiivitermisen geometrisen suppenevan sarjan, jossa sarjan termit ovat muotoa i a i =, i =, 2, 3,..., n, + r t ja 0 < a = / + r t < kun r > 0. Merkitään geometrisen sarjan n:n termin summaa seuraavasti n S n = a + a 2 + a 3 + a n = a i. Kertomalla tämä summa a:lla, saadaan as n = a 2 + a 3 + a 4 + + a n+. Vähentämällä näin muodostetut kaksi summaa toisistaan, geometrisen sarjan n:n termin summa saadaan muotoon S n as n = a a n+ as n = a a n+ S n = a an a. Positiiviterminen geometrinen sarja suppenee kun 0 a <. Suppenevan ääretöntermisen geometrisen sarjan summa voidaan esittää muodossa lim n S n = a/ a, sillä lim n a n = 0. Oletetaan nyt yksinkertaisuuden vuoksi, että yrityksen havittelema kone kestää ikuisesti. Tällöin voimme käyttää yllä esitettyä ääretöntermisen suppenevan geometrisen sarjan summaa laskujen yksinkertaistamiseksi. Geometrisen sarjan summan avulla lausuttuna investoinnin kannattavuusehto voidaan esittää seuraavasti N na > C 0 N t +r t +r t > C 0 N t +r t +r t +r t i= > C 0 N t r t > C 0 N r > C 0. Viimeinen epäyhtälöistä osoittaa sen, miten korko r vaikuttaa investoinnin kannattavuuteen. Kun N > 0, korkotason lähestyminen nollaa tekee investoinnin varmasti kannattavaksi, sillä tällöin epäyhtälön vasen puoli kasvaa rajatta oikean puolen pysyessä äärellisenä. Jos taas N < 0, investointi 3

ei kannata. Mitä korkeampi korkotaso on, sitä pienempi on epäyhtälön vasen puoli kun N > 0, eli sitä pienemmällä todennäköisyydellä investointi on kannattava. Yllä johdettu nykyarvo osoittaa sen, että diskreetin ajan diskonttausmenetelmällä laskettu ääretönulotteisen kiinteän tulovirran nykyarvo vastaa aiemmin jatkuvan ajan diskonttausmenetelmällä saatua. Esimerkki. Pääomahyödykkeen arvon määrittäminen. Oletetaan yrityksen harkitsevan sellaisen koneen ostoa, jonka arvioidaan tuottavan palveluja 3 vuoden ajan 4000 mk:n arvosta vuodessa siten, että koneesta ei aiheudu käyttökustannuksia ja se voidaan myydä kolmen vuoden jälkeen romutushintaan 0000 mk. Oletetaan taloudessa vallitsevan korkotason olevan 0 %/v. Paljonko yrityksen kannattaisi maksaa koneesta? Vastaus. Eri vuosien diskonttaustekijät on laskettu edellä. Tulevaisuudessa saatavien tuottojen nykyarvojen summa on siten N na = 0.9 4000 + 0.83 4000 + 0.75 4000 = 9960 mk. Koneen romuttamisesta saatavien tulojen nykyarvo on 0.75 0000 = 7500 mk. Yrityksen kannattaisi maksaa koneesta 9960 + 7500 = 7460 mk, jos eri vuosien tuotot oletetaan saaduiksi vuosien lopussa. Oletetaan nyt, että yrityksellä on kaksi vaihtoehtoista tapaa lisätä pääomapanoskäyttöään hetkellä t 0 : vuokrata pääomahyödykepalveluja kiinteällä tuntivuokralla tai 2 ostaa pääomahyödyke omaksi. Pääomapalvelujen tarve yhtä ajanjaksoa kohti oletetaan kiinteäksi B h/ t. Yritys voi vuokrata pääomahyödykepalveluja kiinteään hintaan z mk/h, tai ostaa vastaavat palvelut tuottavan koneen omaksi hintaan C 0 mk. Oletetaan lisäksi, että yritys ei voi toimia ilman kyseistä konetta, joten koneen vuokraaminen tai ostaminen on välttämätöntä. Koneen jälleenmyyntiarvo oletetaan nollaksi, ja koneesta oletetaan koituvan huolto- ja käyttökustannuksia a mk/ t < zb mk/ t. Koneen kulumisesta aiheutuvien huoltokustannusten oletetaan sisältyvän koneen käyttökustannuksiin, millä perusteella koneen voidaan ajatella kestävän ikuisesti. Yrityksen päättäjien oletetaan arvioivan korkotason pysyvän tulevaisuudessa kiinteänä r / t. Edellä esitetyn perusteella yrityksen pääomapalvelujen vuokrakustannukset jakson t aikana ovat zb t mk. Vuokrakustannusten muodostaman rahavirran nykyarvo ääretönulotteiselta tulevaisuudelta V na mk voidaan edellä esitetyn perusteella esittää ääretöntermisen geometrisen sarjan summan avulla seuraavasti V na = zb t r t 4 = zb r.

Koneen ostamisen ja sen käyttökustannusten muodostaman rahavirran nykyarvo C na mk on vastaavasti C na = C 0 + a t r t = C 0 + a r. Investoinnin kannattavuusehto voidaan tällöin esittää muodossa C na < V na C 0 + a r < zb C 0 < zb a. r r Koneen hankinnan kannattavuus perustuu sen käyttöajalta ääretönulotteiselta tulevaisuudelta tuottamien kustannussäästöjen nykyarvon ja koneen hankintahinnan erotukseen. Mitä korkeampi korkotaso on, sitä suuremmalla todennäköisyydellä investointi ei ole kannattava, sillä zb a > 0 ja epäyhtälön oikea puoli pienentyy koron nousun myötä. Mitä kalliimpi kone on ja mitä pienemmät kustannussäästöt se yritykselle tuottaa, sitä suuremmalla todennäköisyydellä koneen hankinta ei kannata. Yrityksen harkitseman investoinnin kannattavuutta voitaisiin tarkastella vielä sellaisessa tilanteessa, jossa yritys rahoittaa investointinsa velkarahalla. Tällaisessa tilanteessa sekä laina- että talletuskoron suuruus vaikuttaa investoinnin kannattavuuteen, sillä velasta aiheutuvat yhtä ajanjaksoa kohti lasketut korkomenot kasvavat koron myötä. Tämä jätetään kuitenkin tekemättä siitä syystä, että äärellisulotteisen geometrisen sarjan laskukaavan käyttö laina on maksettava takaisin äärellisessä ajassa tekee analyysista turhan monimutkaisen. Yllä johdettu suure zb a C r 0 voidaan nimetä yrityksen pääomakantaan kohdistuvaksi voimaksi yhtä rahayksikköä kohti. Jos kyseinen suure on positiivinen, yrityksen kannattaa lisätä pääomakantaansa ostamalla kone, sikäli kun yritys uskoo toimintansa jatkuvan riittävän pitkään. Yrityksen pääomakantaa voidaan tarkastella tuotannon tapaan kertymäfunktiona, jota jokainen investointi kasvattaa. Pääomavarantoa voidaan analysoida tuotannon tapaan jatkuvana suureena, vaikka sen lisäykset tapahtuisivatkin tietyin aikavälein. Tätä tarkastellaan seuraavassa osiossa. 3.4 Yrityksen pääomakannan virta- varantolaskelmat Ajatellaan yrityksen fyysistä pääomakantaa varantosuureena, joka kertyy eri ajanjaksoilla tehtävistä hankinnoista. Koska pääomahyödykkeiden määrien painokoneet, trukit, tietokoneet jne. yhteenlasku on vaikeaa erilaisten mittayksiköiden vuoksi, pääomakanta ilmaistaan yleensä arvo- eli rahamääräisenä suureena. Pääomakannan lisäyksiä investointeja mitataan tällöin rahamääräisinä suureina. Oletetaan yrityksen toiminnan alkaneen hetkellä t 0 ja merkitään jaksolla t 0 +i t tehtävää pääomakannan lisäystä It 0 +i t:llä mk/ t. 5

Oletetaan lisäksi ettei pääomakanta kulu, eikä sen arvo alene ajan myötä. Nämä viimeiset oletukset tehdään ainoastaan tilanteen yksinkertaistamiseksi. Ajanhetkellä t = t 0 + n t yrityksen pääomakannan arvo, Kt merkintä K tulee sanasta das Kapital Karl Marxin mukaan, on seuraava markkamääräinen suure n Kt = It 0 + t t+it 0 +2 t t+ +It 0 +n t t = It 0 +i t t, missä yrityksen koko olemassaolon aikana tekemien investointien arvot on laskettu yhteen. Oletetaan nyt aika jatkuvaksi, eli asetetaan t 0. Yrityksen pääomakanta hetkellä t = t 0 + n t voidaan tällöin ilmaista seuraavana määrättynä integraalina liite; luku 9 osio 2 Kt = lim t 0 n It 0 + i t t = i= t i= t 0 Isds, 4 missä juoksevaa aikaa välillä t 0, t merkitään s:llä. Kaavan 4 perusteella hetkellä t tehtävä investointi vastaa pääomakannan aikaderivaattaa, dk dt = K = It. Jatkuvan tai diskreetin ajan käyttö ei tee eroa analyysiin. Vaikka investoinnit tapahtuisivatkin diskreetisti siten, että ensimmäisen puolen vuoden aikana ostetaan yksi 000 markan arvoinen kone, ja toisen vuosipuoliskon aikana ostetaan kaksi 000 markan arvoista konetta, vuosittaisten investointien yhteisarvo on 3000 mk/v. Tämä vastaa 3000/52 mk/vk suuruista viikottaista investointinopeutta, 3000/52 7 24 mk/h suuruista investointien tuntinopeutta, ja näin jatkamalla saadaan muodostettua keskimääräinen investointinopeus miten pitkältä ajanjaksolta halutaan. Yrityksen pääomakannan vuoden aikana tapahtunut muutos saadaan johdettua investointinopeuden avulla seuraavasti K0, = 3000 ds = 3000 s = 3000 0 = 3000 mk, 0 0 missä aikaa mitattiin vuosissa. Sama tulos saadaan viikottaisen investointinopeuden avulla 52 52 3000 K0, 52 = 52 ds = 3000 52 s = 3000 52 0 = 3000 mk jne. 52 0 0 6

Tässä esitetyn perusteella yrityksen pääomakantaa ja sen tekemiä investointeja voidaan kuvata ajan suhteen jatkuvana prosessina, vaikka yritys todellisuudessa tekisikin investointeja kerran kymmenessä vuodessa. 3.5 *Yrityksen investointipäätökset jatkuvan ajan tapauksessa Oletetaan aika jatkuvaksi kuukausissa mitatuksi suureeksi ja tarkastellaan yrityksen investointipäätökseen vaikuttavia hetkellisiä voimia. Ajatellaan investointia sellaisena hankintana, joka toteutetaan aina kun se on taloudellisesti kannattava. Yrityksen pääomakannan oletetaan koostuvan m:stä erilaisesta koneesta, joita yritys voi ostaa tai vuokrata muilta yrityksiltä. Yrityksen pääomakanta hetkellä t koostuu yrityksen perustamishetkestä t 0 lähtien yritykseen hankituista erityyppisistä koneista. Koska kaikkien koneiden hinnat ovat markkamääräisiä suureita, yrityksen pääomakantaa tarkastellaan arvosuureena. Merkitään yrityksen hetkellä t yksiköissä mk mitattua pääomakannan arvoa Kt seuraavasti Kt = m K i t, K i t = i= t t 0 I i sds, dk i dt = I i t, missä K i t on tyyppiä i olevista koneista koostuvan pääomakannan arvo hetkellä t ja I i t mk/kk on yrityksen hetkellä t tekemä investointi konetyyppiin i. I i t voi olla joko positiivinen tai negatiivinen. Jos I i t < 0, yritys supistaa tyyppiä i olevaa konekantaansa myymällä tai romuttamalla näitä koneita hetkellä t. Investointi merkitsee yrityksen pääomavarannon lisääntymistä, ja K = dk/dt = m i= I it on yrityksen pääomakannan hetkellä t yksiköissä mk/kk mitattu muutosnopeus, eli yrityksen nettoinvestoinnit. Edellä esitetyn perusteella yrityksen pääomakannan muutosnopeus voidaan mallittaa seuraavasti K i = f i y i, y i = N nai C 0i, f iy i > 0, f i 0 = 0, i =,..., n, 5 missä f i, i =,..., n, ovat jotkin yllä esitetyt ehdot toteuttavat funktiot, N nai on yrityksen tyyppiä i olevien koneiden tulevaisuudessa tuottamien kustannussäästöjen nykyarvo ja C 0i on tyyppiä i olevan koneen ostohinta hetkellä t. Yrityksen pääomakantaan kohdistuva voima koostuu erityyppisten pääomahyödykkeiden tuottamien kustannussäästöjen nykyarvojen ja niiden ostohintojen erotuksesta. Mitä suurempi kyseinen erotus on, sitä suurempi voima yrityksen pääomakantaan kohdistuu kyseistä konetyyppiä kohti. Jos jokin yllä esitetyistä voimakomponenteista y i on negatiivinen, yrityksen kannattaa myydä kyseisiä pääomahyödykkeitä, mikä toteutuessaan pienentää 7

yrityksen pääomavarantoa. Nollavoimatilanteessa yrityksen pääomakanta ei muutu. 3.6 *Newtonilainen teoria yrityksen investoinneista Tarkastellaan yrityksen tietyntyyppisen koneen hankintapäätöstä jatkuva-aikaisena päätöksenä, ja oletetaan aikaa mitattavan vuosissa. Korkotaso oletetaan kiinteäksi r /v, ja koneen tulevaisuudessa tuottamia vuosittaisia nettomääräisiä kustannussäästöjä merkitään N:llä mk/v, jotka oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi vakioiksi. Yrityksen investointipäätöstä tarkastellaan ajan kulumista mittaavalla hetkellä t, ja tarkasteltavien koneiden oletetaan kestävän kulumatta äärettömän kauan. Koneiden huoltomenojen oletetaan siis sisältyvän niiden tuottamiin nettomääräisiin kustannussäästöihin. Edellisen osion kaavassa 5 esitetty funktio f i oletetaan lineaariseksi origon kautta kulkevaksi kasvavaksi kuvaukseksi. Yrityksen investointipäätös hetkellä t kuten myös yrityksen pääomakannan aikaura voidaan tällöin esittää muodossa It = A e rs t Nds C 0 t + F Kle Kt = m K Kt = Kt 0 + t N r C 0t + F Kle t t 0 m K N r C 0s + F Kle ds, It = Kt, A = m K. Kaavassa A = /m K positiivinen dimensionaalinen vakio, m K on yksiköissä v mitattu yrityksen pääomakannan hitausmassa ja F Kle on pääomakannan lepokitka. Viimeksi mainittua tarvitaan selittämään se ilmiö, että vallitsevaa pääomakantaa ei aina muuteta, vaikka siihen kohdistuva voima eroaakin nollasta. Lepokitka pitää sisällään kaikki ne pääomakannan muuttamista jarruttavat kitkatekijät, jotka eivät sisälly koneesta koituviin tuottoihin ja kustannuksiin. Nämä tekijät on summattu yhdeksi yksiköissä mk mitatuksi dimensionaaliseksi vakioksi, jonka numeerista arvoa voidaan arvioida havaintojen perusteella. Yrityksen pääomakantaan kohdistuva voima on muotoa N/r C 0 t + F Kle ja sen mittayksikkö on mk. Voiman mukaan yrityksen pääomakanta muuttuu silloin, kun tarkasteltavien koneiden tuottamien kustannussäästöjen nykyarvon ja hankintahinnan erotuksen absoluuttinen arvo ylittää pääomakannan lepokitkan. Korkotason nousu vaikuttaa koneiden tuottamien nettotulojen nykyarvoon negatiivisesti. Tällä tavalla johdettu yrityksen investointikäyttäytyminen vastaa aiemmin esitettyä kansantaloustieteen mallittamisaksioomaa. 8