Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X)
Vaihtovirta ja osoitinlaskenta Luento Sinimuotoinen virta ja jännite Tehollisarvo, huippuarvo, vaihekulma Ajan vai taajuuden funktiona? Viime viikon kytkentäilmiöt ajan funktioita Osoitinlaskenta vain jatkuvassa tilassa! Kompleksiluvut, summamuoto vs. kulmamuoto Impedanssi ja admittanssi, yleistetty Ohmin laki Opit hienon menetelmän ja laskemaan tulevan koetehtävän! Lisätietoa: Sähkötekniikka ja piiriteoria Page 2 (22)
Keskiarvo, tehollisarvo, Average or Effective r = rectified u(t) U p U eff U r U av U r = tasasuuntauskeskiarvo u Ala = A t T/2 T U av = 1 T u dt T 0 T U r = 1 u dt = 1 T 0 T A 1 U = U eff = U rms = T T 0 u 2 dt root mean square Page 3 (22)
Jaksollisen aaltomuodon Fourier-sarja koostuu sinimuotoisista osista; kuvassa n MAX = 1, 10, 50, nollataso vaihtelee [ ] sin4nω (1 cos4nω) u(t) = U DC + U cosnωt + sin nωt n=1 nπ nπ Page 4 (22)
Verkkojännite, Mains AC Voltage Tehollisarvon fysikaalinen merkitys + 1A 230 V 230Ω AC vrt. DC 1A 230 V 230Ω P = 230W U = 230 V = U eff û = 325 V U av = 0 V f = 50 Hz ω = 314 rad s u pp = 650 V U r = 207 V T = 20 ms P = 230W Page 5 (22)
Vertailutesti: DC vs. AC, Introduction Voit oppia asian ytimen jo tästä, selitykset tuonnempana! R 1 E R 2 I E = 10 V R 1 = 4 Ω R 2 = 2 Ω E = 10 0 V + R 1 R 1 = 4 Ω E ωl = 2 Ω L I E + R 1 I + R 2 I = 0 E + R 1 I + ZI = 0 E I = I = E R 1 + R 2 R 1 + Z I = 10 6 I = 10 4 + j2 = 1,67 = 5 26,6 Page 6 (22)
Siniaalto AC (a.c.) u(t) +û φ û ωt ωt u(t) = ûsin(ωt+φ) ω = 2πf = 2π T U av = 0 U r = 2û π U = û 2 ω = kulmataajuus (rad/s = 1/s) T = jaksonaika (s) φ = (nolla)vaihekulma ( ) û = huippuarvo u = u(t) = hetkellisarvo u pp = 2û huipusta huippuun (peak-to-peak) Page 7 (22)
Osoitinlaskenta, Phasor Calculus u(t) +5 60 ωt 5 ωt u(t) = 5sin(ωt + 60 ) V = 5cos(ωt 30 ) V U = 5 2 + 60 V tai U = 5 30 V Tällä kurssilla: sinimuotoinen tehollisarvon osoitin Usein muualla: kosinimuotoinen huippuarvon osoitin Pienet kirjaimet ajan funktioita Isot kirjaimet jännite ja virta kompleksilukuina Alaviiva kompleksiluvun tunnus (en käytä) Page 8 (22)
Kulmamuoto ja summamuoto Osoitinlaskenta perustuu merkintäsopimukseen: sinifunktio vs. kompleksiluku Eulerin kaavan imaginääriosa: j(ωt+φ) i(t) = î sin(ωt + φ) = Im [îe ] I = î 2 + φ = I R }{{} Re Tehollisarvo I = î 2 ja vaihekulma φ = kulmamuoto (Polar form) Reaali- ja imaginääriosa = summamuoto (Rectangular form) +j I X }{{} Im Sähkötekniikassa imaginääriyksikkö on j Page 9 (22)
Koordinaatistomuunnos,Coordinate Transformation Tarvitaan käytännön laskuissa Summamuoto (rectangular) x + jy Kulmamuoto (polar) r θ Muunnos on ohjelmoitu laskimiin (X voi näyttää laskimestasi) z = 3 + j4 = 5 53,13 z = r y θ x x = rcosθ r = x 2 + y 2 ( y y = rsinθ θ = arctan x) Page 10 (22)
Summamuoto Kulmamuoto, Calculators Eri laskimissa eri tavoin, alla esimerkkejä. Joskus vaaditaan sulut, toisinaan s. t. e. POL(x,y) R P rθ x(r) a, y(θ) b REC(r,θ) P R xy r,θ REC REC(r θ) x + yi re iθ[t.l.luuleerad,vaikkadegvalittu] x y INV RV RCL tan math angle cmplx menu Kulmaa saa pyörittää ±360 2 240 = 2 120 t.l. = typerä laskin! Page 11 (22)
Koordinaatiston neljännekset, Quadrants Ongelmia arcus-tangentin kanssa (x < 0). Why does tan 1 suck?! 1 ± j 3 = 2 ± 60 1 + j 3 = 2 (180 60 ) = 2 120 (1 j 3) = 2 (180 60 ) = 2 120 1 j 3 = 2 (180 + 60 ) = 2 240 jy 1 + j 3 1 + j 3 x 1 j 3 1 j 3 Page 12 (22)
Peruslaskutoimitukset Eulerin identiteetti: e jπ + 1 = 0 z 1 = 4 + 2j = 20 26,6 = 20e j26,6 z 2 = 3 + 1j = 10 18,4 = 10e j18,4 z 1 +z 2 = (4+3) + j(2+1) j 2 = 1 z 1 z 2 = (4 3) + j(2 1) 1 j = j z 1 z 2 = (4 3 2 1) + j(4 1 + 2 3) 20 10 (26,6 + 18,4 ) = 10 + j10 z 1 (4 3 + 2 1) + j(2 3 4 1) = z 2 3 2 + 1 2 20 (26,6 18,4 ) = 1,4 + j0,2 10 z 1 = 4 j2 = 20 26,6 = 20e j26,6 ( ) 2 z 1 z 1 = z 1 2 = 4 2 + 2 2 = 20 Page 13 (22)
Impedanssi Z ja admittanssi Y Reaali- ja imaginääriosineen, Ohmin laki Onko impedanssi vaihtovirtavastus? Tarkkaan ottaen ei! Pyörrevirrat kasvattavat tavallista resistanssia vaihtovirralla. U = ZI Z I = YU Y Z = R + jx R = resistanssi (pätövastus) (Ω) X = reaktanssi (loisvastus) (Ω) G = konduktanssi (S) B = suskeptanssi (S) Y = G + jb = 1 Z Z φ R X Page 14 (22)
Vastus, kela, kondensaattori Impedanssit Z R, Z L, Z C, osoitinlaskennan ydin! u L = L d dt [îsin(ωt + φ) ] = ωl îcos(ωt + φ) }{{} îsin(ωt+φ+90 j) j:llä kertominen vastaa kompleksiluvun kulman kääntämistä 90. i = I e j(ωt+φ) u = U e j(ωt+θ) u L = L di dt = }{{} jωl j(ωt+φ) I e U }{{} L = Z L I i Z L i C = C du dt = }{{} jωc 1 Z C U e j(ωt+θ) } {{ } u I C = 1 Z C U C Z R = R Z L = jωl Z C = 1 jωc = j 1 ωc Page 15 (22)
Onko kompleksinen virta tai jännite järkevä? Jaetaan eksponenttifunktio kahdeksi tulon tekijäksi: i = îe j(ωt+ϕ) = îe jωt e jϕ = 2I eff e jωt ( cosϕ + jsinϕ ) Viedään lauseke vastukseen kelaan tai kondensaattoriin: ( ) u R = Ri = RI eff cosϕ + jsinϕ 2e jωt u L = L di dt = jωli ( ) eff cosϕ + jsinϕ 2e jωt u C = 1 idt = 1 C jωc I ( ) eff cosϕ + jsinϕ 2e jωt Aina toistuva 2e jωt voidaan "jättää" yhteisenä tekijänä pois. ( ) I = I eff cosϕ + jsinϕ = sin 2 ϕ + cos 2 ϕ I eff ϕ }{{} 1 Page 16 (22)
Ajan vai taajuuden funktiona? Function of time vs. jω Valitset sen itse; katso myös seuraava sivu! u C i U C I u = û sin(ωt + ϕ u ) i = C du dt = ωcûcos(ωt + ϕ u) i = ωcûsin(ωt + ϕ u + 90 ) î = ωcû U = U ϕ u I = jωcu I = ωc U ϕ u + 90 ϕ i = ϕ u + 90 Page 17 (22)
Kytkentäilmiö vs. jatkuva tila, Steady State + êsinωt t = 0 i(t) R C u(t) Page 18 (22)
Osoitindiagrammi, Phasor Diagram Havainnollistava graafinen esitys I U R R U jy U L L U C C U L x U R I U U C U R = RI U L = jωli U C = 1 jωc I = j 1 ωc I Page 19 (22)
Tentti 20.12.2001 Tällainen tehtävä tulee jokaiseen ykkösvälikokeeseen ja tenttiin! Laske virta I. R 1 = 2 Ω, R 2 = 10 Ω, C = 0,1 F, ω = 2 1 s. E 1 = 10 0 V, E 2 = 20 90 V e 1 (t) 14sinωt V e 2 (t) 28sin(ωt + 90 ) V I + 2 I R C 1 + E 1 R 2 E 2 E 1 + 1 jωc (I 2 + I) + R 2 I 2 = 0 R 2 I 2 + R 1 I + E 2 = 0 Page 20 (22)
Tulokset Kompleksiluvut ja sinimuotoiset lausekkeet toteuttavat Kirchhoffin lait Osoitinlaskennan käytännön laskutoimituksia ja tulosten tulkintaa on selitetty tarkemmin laskuharjoituksissa ja kirjassa. KCL : (3,6 + 0,8j) = (3 j) + (0,6 + 1,8j) KJL : (6 + 18j) + (6 2j) + 20j = 0 4 18j 6 2j 3,6 + 0,8j + 5j 3 j 2 + 10 10 6 + 18j 20j 0,6 + 1,8j I = 3 j = 3,16 18,4 A i(t) = 4,47sin(ωt 18,4 ) A Page 21 (22)
Tulosten tulkinta Kompleksiluku vastaa tiettyä ajan funktiota sopimukseen perustuen! + i R C 1 + E 1 u R 2 4,5sin(ωt 18 1 ) E 2 u 3 14sinωt 3 1j 0,32 Hz 28sin(ωt + 90 ) Page 22 (22)