Kirchhoffin jännitelain perusteella. U ac = U ab +U bc U ac = U ad +U dc. U ac = R 1 I 12 +R 2 I 12 U ac = R 3 I 34 +R 4 I 34, ja I 34 = U ac

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kirchhoffin jännitelain perusteella. U ac = U ab +U bc U ac = U ad +U dc. U ac = R 1 I 12 +R 2 I 12 U ac = R 3 I 34 +R 4 I 34, ja I 34 = U ac"

Transkriptio

1 1.1 a U ac b U bd c voimessa siltakytkennässä tunnetaan resistanssit,, ja sekä jännite U ac. Laske jännite U bd kun 30 Ω 40 Ω 40 Ω 30 Ω U ac 5V. d U ab U ac U bc Kirchhoffin jännitelain perusteella I 12 a I 34 b U ad U dc d c U ac U ab +U bc U ac U ad +U dc. Ohmin lain U I perusteella saadaan U ac I 12 + I 12 U ac I 34 + I 34, josta saadaan ratkaistua haaroissa kulkevat virrat I 12 U ac + ja I 34 U ac +. delleen Ohmin laista saadaan vastusten yli oleviksi jännitteiksi U ab I 12 U ac V U bc I 12 U ac V U ad I 34 U ac V U dc I 34 + U ac 15 7 V Jännitteen U bd lauseke voidaan Kirchhoffin jännitelain mukaisesti muodostaa joko pitkin reittiä b a d U ab b U bc U bd U ba +U ad U ab +U ad I 12 a U bd U ad U dc c 5 7 V 0,714V, tai se voidaan muodostaa pitkin reittiä b c d I 34 d U bd U bc +U cd U bc U dc 5 7 V 0,714V. 1

2 1.2 atkaise oheisesta piiristä virta I ja jännite U. I J U 1 Ω 2 Ω J 1 3V. U 2 I I 1 J U Jännitelähteen läpi kulkeva virta I saadaan selville Kirchhoffin virtalain avulla: I I 1 +J +J 4 Virtalähteen yli oleva jännite U saadaan selville Kirchhoffin jännitelain avulla: U U 2 J 1V 2

3 1.3 Laske virrat I 1, I 2 ja I 4. I 4 5 I 1 1 Ω J Ω 4 1 V 9 Ω 5 2 V. 4 J 3 I 2 I 4 5 U I 1 Ideaalisen jännitelähteen yli oleva jännite on aina täsmälleen lähteen arvon suuruinen, mutta ideaalisen jännitelähteen läpi kulkeva virta voi olla mitä tahansa (riippuu muusta piiristä). 4 J 3 I 2 U U Ideaalisen virtalähteen läpi kulkeva virta on aina täsmälleen lähteen arvon suuruinen, mutta ideaalisen virtalähteen yli oleva jännite voi olla mitä tahansa(riippuu muusta piiristä). Ideaalinen jännitelähde 4 on kytketty solmuihin ja, ja näin ollen määrää jännitteen U. U 4 Toisaalta vastus on myös kytketty solmuihin ja, joten Ohmin lain nojalla U I 1. Saadaan I 1 U 4 1. Jännitelähde 5 määrää solmujen ja välisen jännitteen (U 5 ), joten jännite U resistanssin kautta reittiä pitkin on U U +U 5 + I 2 atkaisemalla I 2 saadaan: I 2 U Soveltamalla Kirchhoffin virtalakia solmulle saadaan josta I 1 +I 2 +J 3 I 4 0, 1. I 4 I 1 +I 2 +J J 3 1, koska ideaalisen virtalähteen kanssa sarjassa olevan vastus ei vaikuta virran suuruuteen. 3

4 1.4 s kkua, jonka lähdejännite on a ja sisäresistanssi s, varataan lähdejännitteestä resistanssin kautta kuvan mukaisesti. Määrää resistanssi siten, että akun lähdeosaan virtaava teho on P a. a a 12 V P a 40 W. s 0,1 Ω 20 V U I s U s a a Olkoon suljetun silmukan virta I, joka kulkee molempien vastusten ja jännitelähteen läpi. Soveltamalla Kirchhoffin jännitelakia annetulle piirille saadaan Sijoitetaan yhtälöön Ohmin laki U I: U +U s + a 0. I + s I + a 0, josta ratkaistaan Lähdeosaan virtaava teho on Tästä saadaan ratkaistuksi I a + s. P a a I a a + s. a a P a s 2,3Ω 4

5 2.1 J 2 Laske virta I. J 1 1 J Ω 2 Ω 5 1 Ω 3V. I J 1 5 Muutetaan virtalähteet jännitelähteiksi lähdemuunnosten avulla. J 2 J 2 2 I I J J 1 Jatketaan muokkausta yhdistämällä ensin piirielementtejä piirin vasemmassa puoliskossa: 12 J 1 +J 2 7V ja 2 + 5Ω. Muutetaan sitten kaikki jännitelähteet virtalähteiksi. 2 I I Yhdistetään rinnankytketyt vastukset 2, ja 5 vastukseksi kok, ja yhdistetään virtalähteet virtalähteeksi J kok. J kok kok I J kok G kok G 12 +G 4 +G kok Ω Ω Kysytty virta I saadaan virranjakosäännöllä: I kok kok + J kok 0,947. 5

6 2.2 J 2 Laske vastuksen yli oleva jännite U Ω 500 Ω 1,5 kω 1 kω 1 5 V J m J m. J 1 1 U 4 Voidaan keskittyä tarkastelemaan pelkästään piirin oikeaa puoliskoa, koska jännitelähde 1 määrää solmujen ja välisen jännitteen. Tehdään lähdemuunnos. J 2 J 2 J 1 1 J 1 1 Piirin vasen puoli voidaan siis unohtaa kokonaan: J 2 I 1 U 4 Käytetään Kirchhoffin jännitelakia: Virta I voidaan ratkaista ja jännitteeksi U 4 saadaan nyt 1 J 2 + I + I I 1 + J 2 +, U 4 I ( 1 + J 2 ) + 92V. Viimeinen lauseke saataisiin myös suoraan yhdistämällä jännitelähteet ja soveltamalla jännitteenjakosääntöä: U 4 + ( 1 + J 2 ) 6

7 2.3 6 Laske pisteiden ja välinen kokonaisresistanssi a) Tähti-kolmiomuunnoksen avulla 5 1Ω, 6 2Ω. 5 b) Kolmio-tähtimuunnoksen avulla 5 2Ω, 6 1Ω. a) Tähti-kolmiomuunnoksessa käytetään konduktansseja. loitetaan laskemalla resistansseja vastaavat konduktanssit. G 1 G 2 G S G 3 G 4 G S 5 6 D Tähdet ja eivät kelpaa muunnettaviksi, koska tähtikolmiomuunnoksessa keskimmäinen solmupiste katoaa. Kolmioksi voidaan muuntaa siis joko tähti tai tähti D. Valitaan esim. tähti. G 4 G 6 D G 64 D G 5 G 45 G 56 G 45 Saadaan kokonaiskytkentä: G 4 G 5 G 4 +G 5 +G S G 56 G 3 G 5 G 6 G 4 +G 5 +G S G 64 G 6 G 4 G 4 +G 5 +G S G 1 G 45 G 64 D G 56 G 2 G 1 G 45 G G (G 3 +G 64 )(G 2 +G 56 ) (G 3 +G 64 )+(G 2 +G 56 ) 5 12 S Huom: Sarjaankytkettyjen konduktanssien kaava on samaa muotoa kuin rinnankytkettyjen resistanssien kaava. G G ag b G a +G b Kokonaiskonduktanssi ja -resistanssi: G G 1 +G 45 +G 5 3 S 1 G 3 5 Ω 0,6 Ω 7

8 b) 5 6 D Kolmio kelpaa muunnettavaksi, mutta silloin piiri ei redusoidu tarpeeksi ts. tarvittaisiin vielä yksi muunnos lisää. Minkä tahansa muun kolmion muuntaminen redusoi piiriä tarpeeksi, valitaan esimerkiksi kolmio D. 6 D X D D 5 Saadaan kokonaiskytkentä: Ω D Ω Ω D D X ( + D )( + ) ( + D )+( + ) Kokonaisresistanssi: Ω 8

9 2.4 I G G G G I Kuusi yhtä suurta konduktanssia G on kytketty lävistäjäneliöksi ja sen kautta kulkee virta I kuvan mukaisesti. Huomaa, että kuvan keskellä olevassa johdinristeyksessä ei ole liitosta. Laske piirissä lämmöksi muuttuva teho, kun G G G 3S I 7. G 1 G 2 Lasketaan aluksi solmujen ja välinen kokonaiskonduktanssi G I G 5 G 6 I tähti-kolmiomuunnoksen avulla kolmio-tähtimuunnoksen avulla G 3 G 4 symmetrian perusteella D Tähti-kolmiomuunnos Tähdet ja eivät kelpaa muunnettaviksi, koska tällöin solmu tai katoaisi muunnetusta piiristä. Kolmioksi voidaan siis muuntaa joko tähti tai tähti D. Valitaan esim. tähti : G 1 G 2 D G 12 G 5 G 15 G 25 D G 12 G 1 G 2 G 1 +G 2 +G 5 G 15 G 25 G D G G G+G+G 1 3 G Saadaan kytkentä: G 12 G G G 15 G 3 G 4 G G 4 3 G D 4 3 G D 2 3 G 2G 9

10 Kolmio-tähtimuunnos Mikä tahansa piirin kolmioista voidaan tässä tehtävässä muuntaa tähdeksi. (Miksi?) Valitaan esim. kolmio D: G 2 G 5 G 25 G 24 G 4 G 45 D Saadaan sijaiskytkentä: G 3G D G 1 G G G 6 G G G 24 G 3 G 45 G 6 D 3 2 G G 24 G G 6 G 6 2G 10

11 Symmetrian perusteella: Voidaan päätellä, että piirin symmetrisyyden vuoksi virta I jakautuu siten, että kaikissa neljässä konduktanssissa G, G, G D ja G D kulkee yhtä suuri virta. Kirchhoffin virtalain perusteella haara D on virraton, ts. se voidaan katkaista. Jos haara D on virraton, on sen yli vaikuttava jännite U D 0, ts. haara D voidaan myös oikosulkea. Mikäli molemmat em. kytkentätilanteet johtavat samaan kokonaiskonduktanssin lausekkeeseen, on tehty päättely oikea. Haara D katkaistu: G 1 G G G 6 G G 3 G G D 2G Haara D oikosuljettu: G 1 G 2 2G 2G G 3 G 4 D G 6 G 6 G 2G G Kunontodettu, ettäsolmujenjavälinenkokonaiskonduktanssig 2G,voidaanlaskeapiirissälämmöksi muuttuva teho: I U 2G P UI I I2 I 2G 2G ,17W 11

12 3.1 I 1 I 2 I 3 rat sekä näiden avulla eri lähteiden antamat tehot P 1, P 2 ja P 3. Laske kerrostamismenetelmällä piirin jännitteet ja vir- 2 Ω 4 Ω 6 Ω 1 200V J J U 1 J 2 U 2 J 3 U 3 Kerrostamismenetelmässä lineaarinen piiri ratkaistaan laskemalla jokaisen lähteen vaikutus erikseen. Tarkasteltaessa yhden lähteen vaikutusta, ovat muut lähteet sammutettuina. Sammutetun jännitelähteen jännite U 0 V, joten jännitelähteen sammuttaminen vastaa sen korvaamista oikosululla. Sammutetun virtalähteen virta I 0, joten virtalähteen sammuttaminen vastaa lähteen korvaamista avoimella piirillä. I 11 I 21 I 31 Lasketaan 1 :n vaikutus. Piirion avoin,joten virtojaei kulje, eikä siten vastuksissa synny jännitehäviöitä. 1 U 11 U 21 U 31 I 11 I 21 I 31 0 U 11 U 21 U 31 1 I 12 I 22 I 32 ja :ssa ei synny jännitehäviötä. Toisin sanoen U 32 on sama kuin :n yli oleva jännite. J 2 :n vaikutus: Koska avoimessapiirissä ei kulje virtaa I 32 0 U 12 J 2 U 22 U 32 I 12 I 22 J 2 I 32 0 U 12 0 U 22 ( + ) J 2 U 32 J 2 I 13 I 23 I 33 J 3 :n vaikutus: U 13 U 23 J 3 U 33 I 13 I 33 J 3 I 23 0 U 13 0 U 23 J 3 U 33 ( + ) J 3 Piirin kokonaisjännitteet ja -virrat saadaan laskemalla yhteen kunkin lähteen vaikutuksesta syntyneet osajännitteet ja -virrat. 12

13 I 1 I 11 +I 12 +I 13 (J 2 +J 3 ) 150 I 2 I 21 +I 22 +I 23 J I 3 I 31 +I 32 +I 33 J 3 50 U 1 U 11 +U 12 +U V U 2 U 21 +U 22 +U ( + )J 2 + J 3 900V U 3 U 31 +U 32 +U J 2 +( + )J 3 800V Teho P ei ole lineaarinen suure, joten sitä ei voida laskea osittain, vaan se lasketaan kokonaisjännitteistä ja -virroista! Jos lähteen tai vastuksen virran ja jännitteen suunta on sama, kuluttaa elementti tehoa ja jos taas erisuuntaiset, se tuottaa tehoa. Lähteiden luovuttamia tehoja ovat P 1 U 1 I 1 1 (J 2 +J 3 ) 30kW P 2 U 2 I 2 [ 1 +( + )J 2 + J 3 ]J 2 90kW P 3 U 3 I 3 [ 1 + J 2 +( + )J 3 ]J 3 40kW. Huomataankin, että jännitelähde 1 ei luovuta tehoa, vaan se kuluttaa tehoa. Tarkistuksen vuoksi lasketaan vastusten kuluttamat tehot: P 1 I1 2 (J 2 +J 3 ) 2 45kW P 2 I2 2 J2 2 40kW P 3 I3 2 J3 2 15kW Tarkistetaan lopuksi tehotasapaino. Tehojen summan tulisi olla nolla. Lähteiden luovuttamien tehojen summan tulisi olla sama kuin vastuksissa kuluvien tehojen summa. P 1 +P 2 +P 3 P 1 +P 2 +P 3 ( )kW ( )kW 100kW 100kW 13

14 3.2 U 0 k I a a Oheisessa piirissä on ennen kytkimien sulkemista vain yksi silmukka. Laske solmuista ja näkyvän Théveninin lähteen lähdejännite T ja sisäinen resistanssi T. Laske sitten virta I a, joka saadaan, jos kytkimet suljetaan, kun a) a 0 Ω, b) a 8 Ω, c) a 12 Ω. 3 5 Ω 3 Ω 4 Ω 3 16V. 8 Ω k Théveninin menetelmässä yksinkertaistetaan piiriä korvaamalla kiinteä piirin osa sarjaan kytketyillä jännitelähteellä ja vastuksella. T T 3 Théveninin lähde voidaan muodostaa joko tyhjäkäyntijännitteen U 0 ja oikosulkuvirran I k avulla: T U 0, T U 0 I k, U 0 I k käyttäen lähdemuunnoksia J / J J tai tyhjäkäyntijännitteestä U 0 ja passiivisen piirin resistanssista p : T U 0, T p. (piiri ei tällöin saa sisältää ohjattuja lähteitä) U 0 lähteet sammutettu p Seuraavassa muodostetaan Théveninin lähde kolmella vaihtoehtoisella tavalla ja lopuksi ratkaistaan kysytty virta yksinkertaistetusta piiristä. 14

15 Théveninin lähteen muodostaminen tyhjäkäyntijännitteen ja oikosulkuvirran avulla I 12 3 U 0 3 I 3 I k Koska I 4 0, U 0 U 1 +U (jännitteenjakokaava), I k + I (virranjakokaava) (1+2) ( + + ) +( + ) + 3, ( + ) +( + + ) T U , T U 0 I k ( + ) +( + + ) + + ( + ) Théveninin lähteen muodostaminen käyttäen lähdemuunnoksia ( + ) + + ( + )

16 Théveninin lähteen muodostaminen tyhjäkäyntijännitteen ja passiivisen piirin resistanssin avulla T lasketaan kuten edellä tyhjäkäyntijännitteestä. Koska piiri ei sisällä ohjattuja lähteitä, voidaan T laskea vastaavasta passiivisesta piiristä. Sammutetaan lähteet ja lasketaan T T T U , T + ( + ) + +. Yksinkertaistettu piiri Théveninin muunnoksen jälkeen: T T k I a T a V T + ( + ) Ω k Virraksi I a, kun kytkin suljetaan, saadaan a) 8V I a 8 Ω+0 Ω 1 b) 8V I a 8 Ω+8 Ω 0,5 c) 8V I a 8 Ω+12 Ω 0,4 I a T T + a. 16

17 3.3 Laske Nortonin menetelmällä virta I 3. I 3 1kΩ 2kΩ J 9m 1 12V 4 18V. 1 J 4 Poistetaan kuormaresistanssi ja ratkaistaan sisäinen resistanssi sammuttamalla lähteet. N kω 1 2 kω 2 atkaistaan oikosulkuvirta: 1 J J N 4 J N 1 +J + 4 (12+9+9) m 30m Korvataan piiri Nortonin lähteellä ja lasketaan I 3. J N N I 3 I3 N N + J N 6m 17

18 3.4 I 1 I 3 5 I 5 Olettaen, että jännite tikapuupiirin loppupäässä on U 6 1V, laske sitä vastaava jännite U 0 piirin alkupäässä ja laske myös tätä olettamusta vastaava piirissä lämmöksi muuttuva teho P. 2kΩ 5kΩ 4kΩ 6kΩ 5 2kΩ 6 1kΩ. 0 U 0 U 2 U 4 6 U 6 Kuinka suuri olisi jännite U 6, jos alkupään lähdejännite 0 10V? Mikä olisi tällöin lämmöksi muuttuva teho? I 1 I 3 5 I 5 U 0 U 2 U 4 6 U 6 Lähdetään systemaattisesti etenemään piirin loppupäästä kohti piirin alkupäätä ratkaisemalla vuorotellen piirin virrat ja jännitteet Ohmin lain avulla. U 6 1V I 5 U 6 6 1m U 4 ( ) I 5 3V I 3 U 4 +I 5 1,5m U 2 I 3 +U 4 9V I 1 U 2 +I 3 3,3m U 0 I 1 +U 2 15,6V Piirissä lämmöksi muuttuva teho on sama kuin lähteen piiriin syöttämä teho P U 0 I 1 51,48mW. Koska piiri on lineaarinen (ei sisällä lähteitä, resistanssit ovat vakioita), muuttuvat kaikki piirin virrat ja jännitteet samassa suhteessa. Kun U 0 muuttuu suhteessa µ U 0 U 0 0 U 0 0,641, muuttuvat kaikki muutkin jännitteet 0,641 kertaisiksi. Piirin loppupään jännite on U 6 µ U 6 0,641V. Teho P ei ole lineaarinen suure, joten muuttunut teho tulee laskea muuttuneista jännitteistä ja virroista! P U 0 I 1 µu 0 µi 1 µ 2 U 0 I 1 µ 2 P 21,15mW. 18

19 4.1 I 1 I 3 I 4 Kirjoita oheiselle piirille matriisiyhtälö silmukkavirtojen I a ja I b avulla. atkaise yhtälöstä piirin virtojen I 1, I 3 ja I 4 lausekkeet. Tutki sitten, miten lausekkeen merkit muuttuvat, jos virran I b suunta vaihdetaan. 1 I a I b Silmukkayhtälöt: 1 I 1 I 3 I 4 [ ][ ] I a I b Ia I b [ ] Saadaan: I 1 I a I 4 I b Kun I b :n suunta vaihdetaan, saadaan: ( 1 3 )( ) ( 4 3 ) ( + + )( ) 3 ( 4 3 )( + + ) ( 1 3 ) ( + + )( ) 3 I 3 I a I b ( 3 1 )( + 5 )+( 3 4 )( + ) ( + + )( ) 3 1 I 1 I a I 3 3 I b I 4 4 [ ][ ] I a I b Kun ratkaistaan I a ja I b todetaan: I a I a I b I b I 4 I 3 I a +I b I a I b [ ] I 3 :n lauseke ei siis riipu silmukkavirtojen valinnasta! 19

20 4.2 Laske jännite U solmumenetelmällä. 1 Ω 1 2 Ω 1 Ω 1 Ω J 1 1 J 2 2. J 1 J 2 U atkaistaan solmumenetelmällä. 4 J 1 J 2 U Sijoitetaan lukuarvot atkaistaan jännite U U : G 1 +G 2 +G 3 G 2 G 3 G 2 G 2 +G 4 G 4 G 3 G 4 G 3 +G U U U U U U 0 J 1 J 2 0 J 1 J 2 U U V 2V. 20

21 4.3 5 Laskevirta I 6 ja jännite U 6 silmukkamenetelmän avulla. I V, J 2 1, Ω. 6 U 6 J 2 1 Muunnetaan aluksi virtalähde jännitelähteeksi, koska silmukkamenetelmässä on vain jännitelähteitä. 5 I c I 6 I a 6 I b 1 J 2 Valitaan silmukkavirrat niin, että resistanssissa 6 kulkee vain yksi silmukkavirta. Tällä valinnalla riittää ratkaista vain yksi tuntematon virta. atkaistaan I 6 I a : I 6 I a ( + ) ( + ) J ( + ) 0 ( + ) I a I b I c ( + ) ( + ) J 2 0 missä delleen: 1 11 ( 1 J 2 ) ( ) 11 ( + ) 21 31, 11 ( )( ) ( + ) 2 8 Ω 2 21 ( + )( ) ( + ) 4 Ω 2 31 ( + )( + )+ ( ) 0. I ,75 U 6 I 6 6 2,75V 21

22 4.4 U 3 LaskesolmumenetelmälläjänniteU 1.Laskevielälopuksi virta I 3 ja jännite U 3. G 3 I 3 J 1 0,2 G 1 3mS G 2 6mS J 2 0,3 G 3 14mS 1V. J 1 G 1 U 1 U 2 G 2 J 2 Valitaan piirin alin solmu referenssisolmuksi, jolloin U 1 ja U 2 ovat solmujännitteet, ja tehdään lähdemuunnos piirin jännitelähteelle. Saadaan: G 3 I 3 G 3 [ G1 +G 3 G 3 G 3 G 2 +G 3 ][ U1 U 2 ] [ ] J1 + G 3 J 2 G 3 J 1 G 1 U 1 G 2 U 2 J 2 atkaistaan U 1 : U 1 J 1 + G 3 G 3 J 2 G 3 G 2 +G 3 G 1 +G 3 G 3 G 3 G 2 +G 3 (G 2 +G 3 )(J 1 + G 3 )+G 3 (J 2 G 3 ) G 1 G 2 +G 2 G 3 +G 3 G 1 57,5V Huom! Lähdemuunnoksessa kadotettiin alkuperäinen haara, jonka virtaa ja jännitettä kysyttiin. Muunnellun piirin G 3 :n yli oleva jännite I ole alkuperäisen piirin U 3!!! Katsotaansiis nyt alkuperäistä piiriä, josta virtalain perusteella: I 3 J 1 G 1 U 1 27,4m U 3 I 3 G 3 1,96V 22

23 5.1 gu 1 G 4 G 5 Laske jännite U 3 oheisessa piirissä. G 1 1S G 2 2S G 3 3S G 4 4S G 5 5S g 6/V J 1 3. J 1 G 1 U 1 G 2 G 3 U 3 Valitaan solmujännitteet esim. kuvan mukaisesti, jolloin saadaan: gu 1 G 4 G 5 J 1 G 1 U 1 G 2 U 2 G 3 U 3 G 1 +G 4 G 4 0 G 4 G 2 +G 4 +G 5 G 5 0 G 5 G 3 +G 5 U 1 U 2 U 3 J 1 gu 1 gu 1 Tässä vaiheessa konduktanssimatriisi on symmetrinen. Siirretään ohjatusta lähteestä aiheutuvat termit vasemmalle puolelle, minkä jälkeen konduktanssimatriisi on epäsymmetrinen. G 1 +G 4 G 4 0 G 4 g G 2 +G 4 +G 5 G 5 U 1 U 2 J 1 0 g G 5 G 3 +G 5 U 3 0 atkaistaan U 3 : missä U 3 G 1 +G 4 G 4 J 1 G 4 g G 2 +G 4 +G 5 0 g G 5 0 G 1 +G 4 G 4 0 G 4 g G 2 +G 4 +G 5 G 5 g G 5 G 3 +G 5 J G 5 23+(G 3 +G 5 ) 33, Saadaan: 13 (G 4 +g)g 5 (G 2 +G 4 +G 5 )g 16S 2 23 (G 1 +G 4 )G 5 +gg 4 1S 2 33 (G 1 +G 4 )(G 2 +G 4 +G 5 ) G 4 (G 4 +g) 15S 2. U V 0,417V 23

24 5.2 Laske jännite U 2 oheisessa piirissä. 1 2V 2 1V α 3 1 Ω 2 Ω 3 Ω. U αu 2 TP 1 silmukkamenetelmä: Valitaan silmukkavirrat esim. kuvan mukaisesti, jolloin saadaan: 1 U 2 I b [ ][ ] [ I a αu Ia + I b ] α I a 2 Tässä vaiheessa resistanssimatriisi on symmetrinen. Siirretään ohjatusta lähteestä aiheutuvat termit vasemmalle puolelle, minkä jälkeen resistanssimatriisi on epäsymmetrinen. [ ][ ] [ ] 1 + Ia 1 2 +α + I b 1 atkaistaan silmukkavirta I a : I a + +α + delleen saadaan jännite U 2 : 1 ( + ) 2 + +(1 α). U 2 I a 1 ( + ) 2 + +(1 α) 4 5 V 0,8V. 24

25 TP 2 - solmumenetelmä: lkuperäinen piiri: U αu 2 Tehdään ensin lähdemuunnokset. J 1 J 2 J 3 J 1 G 1 1 J 2 G 2 2 J 3 G 3 αu 2 Kysytty jännite U 2 on nyt hävinnyt muunnetusta piiristä. Se voidaan kuitenkin ratkaista, koska alkuperäisen piirin perusteella tiedetään, että solmun jännite on U Kirjoitetaan solmuyhtälöt: sijoittamalla U U ja kertomalla auki saadaan [G 1 +G 2 +G 3 ]U G 1 1 +G 2 2 +G 3 αu 2 (G 1 +G 2 +G 3 )U 2 +G 1 2 +G 3 2 G 1 1 +G 3 αu 2 eli U 2 (G 1 +G 3 ) 2 G 1 1 αg 3 (G 1 +G 2 +G 3 ) 4 5 V. 25

26 5.3 I 1 ri 1 U 2 Laske virta I 1 oheisessa piirissä. 1 1 V 2 2 V α 4 1 Ω 2 Ω r 3 Ω. 1 2 αu 2 U 2 1 I 1 I a ri 1 αu 2 I b 2 Ohjattujen lähteiden tarvitsemat suureet silmukkavirtojen avulla lausuttuna: I 1 I a U 2 I b Silmukkayhtälöt: [ ][ ] [ ] [ ] 1 0 Ia 1 +ri 1 αu 2 1 +ri a α I b 0 I b 2 +ri 1 αu 2 2 +ri a α I b Siirretään ohjattujen lähteiden termit yhtälön vasemmalle puolelle: [ ][ ] 1 r α Ia r (1+α) I b [ 1 2 ] ramerin säännöllä saadaan ratkaistua kysytty virta: 1 α 2 (1+α) I 1 I a r α (1+α) 1 α 2 (1+α)( r)+αr r (1+α) 26

27 5.4 J G 1 G 2 gu 2 U 1 U 2 gu 1 G 3 U Laske konduktanssin G 3 arvo, kun jännite U 1 V. G 1 4S G 2 2S J 3 g 5S. a b c G 2 J G 1 gu 2 U 1 U 2 gu 1 G 3 U Kirjoitetaan solmuyhtälöt. Siirretään g:t konduktanssimatriisiin. G 1 +G 2 G 2 0 G 2 G G 3 G 1 +G 2 G 2 0 G 2 G 2 g 0 g G 3 U a U b U c U a U b U c J gu c gu b J 0 0 Sijoitetaan lukuarvot atkaistaan U c. Koska U c 1 V, niin ja näin ollen atkaisu on G 3 U c U a U b U c ( 2 5) G 3 ( ) G 3 150, 8G G 3 15S. 27

28 6.1 I U Laske vastuksen ja kondensaattorin sarjaankytkennän impedanssi Z, kun taajuus saa kolme arvoa a) f 397,9 khz b) f 795,7 khz c) f 1592kHz. Laske vastaavat admittanssit Y. 2 Ω 0,1µF. Kytkennän impedanssi (ω 2πf): dmittanssi: Z + 1 jω j 1 ω Y 1 Z Lukuarvot: a) b) c) Z (2 j4,0) Ω 4,47/ 63,43 Ω Y 1 Z 1 4,47/ 63,43 Ω 0,224/63,43 S (0,10+j0,20) S Z (2 j2) Ω Y (0,25+j0,25) S Z (2 j1) Ω Y (0,40+j0,20) S 28

29 6.2 j(t) L u L (t) u (t) u(t) Laske jännitteet U L, U ja U osoittimina ja muunna ajan funktioiksi. Miksi induktanssi L ei vaikuta jännitteeseen U, eikä resistanssi jännitteeseen U L? Miksi jännitteen U L vaihekulma ei ole 90, vaikka kelan impedanssi on puhtaasti imaginaarinen? j(t) ĵ sin(ω t+φ). ω rad s 10 Ω L 1mH φ 30 π 6rad ĵ 1. loitetaan muuntamalla j(t) osoittimeksi: J ĵ 2 /φ 1 2 /30 Lasketaan kysytyt jännitteet osoittimina: Muunnetaan osoittimet takaisin ajan funktioiksi: U J 10 2 /30 V U L jωlj 10 2 /120 V U U L +U 10/75 V u (t) 10sin(ω t π)v 10sin(ω t+ π 6 )V u L (t) 10sin(ω t π 180 π)v 10sin(ω t+ 3 )V u(t) 10 2sin(ω t π)v 10 2sin(ω t+ 5 π 12 )V Piirissä oleva virtalähde on ideaalinen, mistä seuraa että sen syöttämä virta ei riipu kuormaimpedanssista. Koska piirissä on ainoastaan yksi silmukka, on kaiken virran kuljettava vastuksen ja kelan kautta. Sarjaankytkennän takia kummankin virta on sama J (tai j(t)) ja siis toisesta komponentista riippumaton. Impedanssin vaihekulma on yhtä suuri kuin jännitteen ja virran vaiheiden erotus. Induktanssin tapauksessa se tarkoittaa, että jännite on 90 virtaa edellä. Koska virran vaihe on 30, jännitteen vaiheen on oltava 120. Osoitindiagrammi: U U L U J 29

30 6.3 esistanssin 20Ω ja induktanssin L 1 100mH sarjaankytkennän rinnalle on kytketty resistanssin ja kapasitanssin 2 sarjaankytkentä. Taajuudella f 50 Hz ovat haarojen virtojen itseisarvot yhtä suuret ja niiden vaihe-ero on 90. Laske ja 2. L 1 2 I 2 jω 2 U I 2 U jωl 1 I 1 L 1 2 I 2 I 1 I 1 Käytetään apuna osoitinlaskentaa. Koska virtojen itseisarvot ovat yhtä suuret, ja vaihe-ero on 90, voidaan virroille kirjoittaa yhtälö: I 2 ±ji 1 Kaksi kompleksilukuahan voidaan kertoa keskenään kertomalla itseisarvot ja laskemalla kulmat yhteen. Imaginaariyksikön itseisarvo on yksi ja kulma on vaadittu 90. Kertominen j:llä kääntää siis vaihetta 90. ±-merkki tarvitaan koska ei tiedetä kumpi virta on vaiheessa edellä. Koska haarat on kytketty rinnan, niiden jännitteiden on oltava samat. Kirjoitetaan jännitteelle yhtälö: U I 1 ( +jωl 1 ) I 2 ( ) ±ji 1 ( j ) jω 2 ω 2 +jωl 1 ±j ± 1 ω 2 Merkitään reaaliosat keskenään yhtä suuriksi, samoin imaginaariosat: ± 1 ω 2 ωl 1 ± Miinusmerkit hylätään, koska arvojen on oltava positiivisia ωl 1 31,42Ω 2 1 ω 159,2µF. 30

31 6.4 e(t) u (t) Kuvan mukaisessa piirissä tunnetaan kondensaattorin jännite u (t). Laske lähdejännite e(t). u (t) û sin(ωt+φ) û 10 V ω 500 rad/s φ π 6 10 Ω 1 mf. e(t) u (t) Siirrytään osoittimiin: Jännitteenjakosääntö: Tästä ratkaistaan kysytty : U U 10 2 / 30 1 jω + 1 jω 1 1+jω (1+jω)U (1+j5) 10 2 / 30 36,056/48,69 Siirrytään takaisin aika-alueeseen: e(t) 50,99sin(ωt+48,69 )V 31

32 7.1 e(t) L Laske generaattorin antama pätö- ja loisteho sekä komponenttien yli olevat jännitteet hetkellä t 0. e(t) êsin(ωt+ϕ)v ê 10 V f 50Hz ϕ 45 1 Ω L 1mH 1 mf. I L Siirrytään osoittimiin: e(t) e(t) êsin(ωt+ϕ) ê 2 /ϕ 10 2 /45 Piirin kokonaisimpedanssi (ω 2πf): Virraksi saadaan: Z +jωl+ 1 jω +j(ωl 1 ω ) 3,038/ 70,78 Ω ϕ z j(ωl 1 I Z 2,327/115,78 Z ω ) Generaattorin antama kompleksinen teho on josta saadaan suoraan pätö- ja loisteho: Komponenttien jännitteet ovat siis Siirrytään hetkellisarvoihin: Sijoitetaan t 0: S I 16,45/ 70,8 V (5,417 j15,54)v, P e{s} 5,417W Q Im{S} 15,54Vr U I 2,327/115,78 V U L jωli 0,731/ 154,22 V U 1 jω I 7,408/25,78 V. u (t) 2 2,327sin(ωt+ 115,78 π 180 )V 3,291sin(ωt+ 115,78 π 180 )V u L (t) 2 0,731sin(ωt+ 154,22 π 180 )V 1,034sin(ωt+ 154,22 π 180 )V u (t) 2 7,408sin(ωt+ 25,78 π 180 )V 10,48sin(ωt+ 25,78 π 180 )V u (0) 2,964V u L (0) 0,450V u (0) 4,556V Kaikilla t:n arvoilla jännitelain on oltava voimassa. Tarkistetaan vielä, että jännitteiden summa on sama kun lähdejännitteen arvo hetkellä t 0: u (0)+u L (0)+u (0) 7,07V 10sin(45 )V 32

33 Kuvan piirissä on resistanssin ottama teho P 30 4 W, kun jännitteen 1 taajuus on f 0Hz. Millä taajuudella f c resistanssi ottaa vain P 3 2 W, kun jännitteen tehollisarvo ei muutu? 5kΩ 10kΩ 2 1 µf. TP 1: I Muodostetaan :n ottaman tehon lauseke ω:n funktiona. loitetaan laskemalla jännitelähteen syöttämä virta: :n virta saadaan virranjakosäännöllä: I + 1 jω jω 2 I 3 1 jω jω 2 I 1 jω jω jω jω jω 2 P 3 (ω) e{u 3 (ω) I 3(ω)} e{ I 3 (ω) I 3(ω)} I ( + ) 2 +(ω 2 ) 2 Tässä 1 2 :a ei tunneta. Tunnetaan kuitenkin :ssa kulmataajuuksilla ω 0 0 ja ω c kuluvien tehojen suhde. Näin ollen ω c :n ratkaisu saadaan helpoiten muodostamalla lauseke tälle tehojen suhteelle, jolloin 1 2 :a ei tarvitse erikseen laskea. P 30 ( + ) 2 +(ω c 2 ) P ( + ) 2 +(ω 0 2 ) 2 ( + ) 2 +(ω c 2 ) 2 ( + ) 2 ω c 2 +( + ) P30 P 3 1 ω c P ( + ) 30 P s f c ω c 47,75 Hz 2π TP 2: Tarkastele piiriä ensin nollataajuudella, jolloin kapasitanssi korvautuu avoimella piirillä. Laske 1 :n arvo annetun tehon P 30 avulla. ( 1 300V) Muodosta :n ottaman tehon lauseke taajuuden funktiona (kuten tavalla 1 laskettaessa) ja ratkaise lausekkeesta kysytty taajuus f c. 33

34 7.3 L Laske kondensaattorivirta I oheisessa piirissä I 20V 20 Ω L 2 mh 0,5 µf 40 Ω f 5 khz. TP 1: Lasketaan ensin kondensaattorin ja vastuksen rinnankytkennän impedanssi: Z 1 Lähteen näkemä kokonaisimpedanssi: Lasketaan lähteen syöttämä virta: jω + 1 jω 1+jω 33,87/ 32,14 Ω Z 2 Z 1 +jωl+ 66,16/42,63 Ω I Z 2 Kondensaattorin virta saadaan virranjakosäännöllä: I 1 jω + 20/φV 66,16/42,63 Ω 0,3023/φ 42,63 I jω 1+jω I 0,161/φ+15,2 I 0,161 TP 2: Valitaan silmukkavirrat esim. seuraavasti: L I I I Kirjoitetaan silmukkayhtälöt matriisimuodossa ja ratkaistaan kysytty virta. [ ] [ ] [ jωl+1 + I + 1 jω I 0 I I jω (jωl+ + )( + 1 jω ) 2 2 (jωl+ + )(jω +1) jω2 2 jω ω 2 L + + +jω(l+ ) 0,161/φ+15,2 I 0,161 ] 34

35 7.4 L U Kuinka suuri on suodattimen jälkeen esiintyvä häiriöjännite U, kun 1000Ω,L 0,225H, 0,113µF sekä 1V jos a) f 0Hz b) f 1kHz c) f 5kHz. Lasketaan lähteen syöttämä virta: I jωl+ jω + 1 jω jωl+ 1+jω Jännite U saadaan kertomalla virta vastuksen ja kondensaattorin rinnankytkennän impedanssilla: U 1 jω + 1 jω U I (1+jω)jωL+ 1+jω I [(1 ω 2 L)] 2 +(ωl) 2 1+jω (1 ω 2 L)+jωL jωl+ 1+jω Lukuarvot: a) f 0 U 1V b) f 1kHz U 0,707V c) f 5kHz U 39,83mV 35

36 8.1 Z Kuorma on kytketty generaattoriin pitkillä johtimilla, joiden resistanssi on. Kuinka suuri tehohäviö johtimissa tapahtuu? Kuorman loisteho kompensoidaan kuorman rinnalle kytketyllä kondensaattorilla. Mikä on kondensaattorin kapasitanssi ja kuinka suuri on johtimien tehohäviö kompensoinnin jälkeen? 230/0 V 1 Ω Z 40/45 Ω f 50 Hz. atkaistaan ensin johtimissa kulkeva virta ja siitä johtimissa kuluva tehohäviö: I Z I 2+Z 5,55/ 43,04 P 2 I 2 61,6 W Mitoitetaan kondensaattori niin, että kuorman ja kondensaattorin kokonaisimpedanssi on puhtaasti reaalinen. Kuormaa on helpointa käsitellä admittanssina, koska rinnankytkennässä admittanssit summautuvat. I Y jω Y jω +Y, Y 1 Z 1 40 / 45 S ( ) 2 2 Y G+j 80 j S 80 { Im Y } ω + 0 ω ω 56,3 µf Nyt kondensaattorin admittanssi ja kuorman admittanssin imaginaariosa ovat kumonneet toisensa ja jäljellä on ainoastaan kuorma-admittanssin reaaliosa. Y e{y} G Z 1 e{y} 56,57 Ω Lasketaan uutta tilannetta vastaava virta ja hukkateho. I 2+Z 3,93 P 2 I 2 30,8 W 36

37 8.2 L g g g L L Generaattori halutaan liittää kuormaan L siten, että kuormaan saatava teho on mahdollisimman suuri. Generaattorin ja kuorman väliin liitetään kuvan mukainen sovituspiiri. Valitse L ja siten, että edellä esitetty ehto toteutuu. Laske kuormaan saatava teho ja vertaa tätä ilman sovituspiiriä saatavaan tehoon. g 30/0 V L 100 Ω f 1kHz g 10 Ω L g 1 mh. Kuormassa ilman sovituspiiriä kuluva teho: g L g g P L,ilman L I L 2 L g g + L +jωl g L L g 2 ( g + L ) 2 +(ωl g ) 2 7,41W 2 Tarkastellaan nyt tilannetta sovituspiirin kanssa. Koska sovituspiiri ei kuluta pätötehoa, lähteen luovuttama maksimiteho on samalla kuormassa kuluva maksimiteho. Saadaan: P g,max P L,max g 2 Sovituspiirin induktanssin ja kapasitanssin määrääminen: 4 g 22,5W TP 1 P g,max saavutetaan kun Z g Z L. Sovituspiiri sisältyy Z L :ään. Saadaan: Kun merkitään Z g Z L, saadaan: Z g g +jωl g Z g g jωl g Z L jωl+ 1 jω L 1 jω + jωl+ L L g jω(l g +L)+ 1+jω L L 1+jω L g +jω L g L [ 1 ω 2 (L g +L) ] +jω(l g +L) Merkitään reaaliosat keskenään yhtäsuuriksi, samoin imaginääriosat, jolloin saadaan yhtälöt: g L [ 1 ω 2 (L g +L) ] L g L g +L Kun jälkimmäinen yhtälö sijoitetaan edelliseen, saadaan: g L [ 1 ω 2 2 L g ] atkaistaan tästä yhtälöstä : 1 L 1 4,77µF ω L g 37

38 L ratkaistaan yhtälöstä L g L g +L, jolloin saadaan: L g ω L g 1 L g 3,77mH TP 2 Lasketaan kuormavastuksen L ja kondensaattorin rinnankytkennän impedanssi Z L. Z L L jω L + 1 jω L jω L +1 Tutkitaan aluksi impedanssin reaaliosaa. Lausekkeen nimittäjä on ensin lavennettava reaaliseksi. Z L L jω L (ω L ) 2 +1 { } e Z L L (ω L ) 2 +1 Sarjainduktanssin L lisääminen vaikuttaa ainoastaan impedanssin imaginaariosaan ja reaaliosa jää muuttumattomaksi. innakkaiskapasitanssi sen sijaan vaikuttaa sekä reaaliosaan, että imaginaariosaan. innakkaiskapasitanssilla säädetään siis ensin reaaliosa oikean suuruiseksi. Imaginaariosa voidaan sovittaa lisäämällä reaktiivinen sarjakomponentti, tässä tapauksessa kela. Generaattorin ja kuorman impedanssien reaaliosien on oltava yhtä suuret: atkaistaan kapasitanssi : { } g e Z L L (ω L ) 2 +1 L g (ω L ) 2 4,77 µf g Lasketaan nyt lukuarvo impedanssin Z L imaginaariosalle. { } Im Z L ω2 L (ω L ) Ω Z L Z L +jωl Kuorma- ja generaattori-impedanssien imaginaariosien on oltava yhtä suuret, mutta vastakkaismerkkiset. { } ωl g Im Z L +ωl { } Im Z L ωl g L 3,77 mh ω 38

39 8.3 Millä taajuuksilla oheinen piiri on resonanssissa? a L b 10 µf 100 Ω L 10 mh. Muodostetaan piirin impedanssin lauseke: Z ab jωl+ 1 jω 1 jω + jωl+ 1+jω jωl(1+jω)+ 1+jω josta edelleen laventamalla nimittäjän kompleksikonjugaatilla Z ab (jωl ω2 L +)(1 jω) 1+(ω) 2 Sarjaresonanssi: Im{Z ab } ωl+ω3 L 2 ω 1+(ω) 2 0 Piirin admittanssin lauseke saadaan impedanssin lausekkeesta: Y ab Z 1 ab 1+jω ω 2 L +jωl (1+jω)( ω2 L jωl) ( ω 2 L) 2 +(ωl) 2 ω2 L jωl+jω +ω 2 L jω 3 L 2 ( ω 2 L) 2 +(ωl) 2. jωl ω2 L +, 1+jω jωl ω2 L ++ω 2 L +jω 3 L 2 jω 1+(ω) 2. innakkaisresonanssi: Im{Y ab } ω2 ωl ω 3 L 2 ( ω 2 L) 2 +(ωl) 2 0. esonanssiehdoksi saadaan sekä sarja- että rinnakkaisresonanssissa: ω ωl+ω 3 L 2. Tästä saadaan: ω( L ω 2 L 2 ) 0 Tämä toteutuu, kun Lisäksi yhtälö toteutuu, kun ω 0 0 f 0 0 (triviaaliratkaisu) ω 2 L 2 L ω 2 L L rad/s f 477 Hz. 39

40 8.4 g L L Laske komponenttien L 1 ja 2 arvot siten, että kuormaan L ei mene tehoa kulmataajuudella ω 1 40 Mrad/s, ja suodatinpiiri (L ) vastaa oikosulkua kulmataajuudella ω 2 20 Mrad/s pF. innankytketyt L 1 ja 1 muodostavat kaistanestosuodattimen, jonka tulee vastata avointa piiriä (Z ) kulmataajuudella ω 1 40 Mrad/s. Z L (ω 1 ) jω 1L 1 jω 1 1 jω 1 L jω 1 1 jω 1 L 1 1 ω 2 1 L 1 1 Saadaan ehto 1 ω 2 1 L eli L 1 1 ω ,125 µh Koko sovituspiirin pitää vastata oikosulkua kulmataajuudella ω 2 20 Mrad/s. Lasketaan siis rinnankytkennän impedanssi kulmataajuudella ω 2 20 Mrad/s: Z L (ω 2 ) Kapasitanssin 2 pitää kumota tämä impedanssi eli jω 2 L 1 1 ω 2 2 L 1 1 j83,33ω 1 j jω 2L 1 jω 2 2 ω ω2 2L j83, josta saadaan [ (ω1 ) 2 2 1] 1 ω pf ω 2 83,33 simerkin suodatinpiiri suodattaa (häiriö)signaalin pois kulmataajuudelta ω 1, mutta ei vaikuta ollenkaan laitteen toimintaan kulmataajuudella ω 2. Suodatin on toteutettu käyttämällä rinnakkaisresonanssiin perustuvaa kaistanestosuodatinta. Vastaavan suodatinpiirin voisi suunnitella myös käyttämällä seuraavia kytkentöjä. g g 1 L 2 Z L Sarjaresonanssiin (L 1 ja 1 ) perustuva kaistanestosuodatin. Mitoittamalla kela L 2 oikein saadaan piiri näyttämään oikosululta, kun ω ω 2. L 1 g g L Sarjaresonanssiin (L 1 ja 1 ) perustuva kaistanpäästösuodatin. Tässä L 1 :n ja 1 :n arvo mitoitetaan siten, että ne näyttävät oikosululta kulmataajuudella ω 2. :n arvo määräytyy siitä, että kytkennän pitää näyttää L avoimelta piiriltä, kun ω ω 1. 40

41 g L 2 g L ja 1 ) perustuva kais- innakkaisresonanssiin (L 1 tanpäästösuodatin 1 L 1 41

42 9.1 Laske jännite U 3 sekä ideaaliseksi oletetun operaatiovahvistimen ulostulovirta I o 2/0 V 2nF ω rad/s 10 kω 20kΩ 80 kω 50 kω. I O U 3 loitetaan tekemällä jännitelähteelle lähdemuunnos. I o U 3 I o U 3 G 2 Solmuyhtälö : G 2 +G G 1 +G 4 +jω G 4 jω 0 G 4 jω G 4 +jω U U U G 2 0 I o U U Voidaan laskea 1. ja 2. pystyrivi yhteen. Jäljelle jää kaksi tuntematonta (U, U ) ja kolme yhtälöä. Yksi yhtälöistä on ylimääräinen, ja koska I o on tuntematon jätetään 3. yhtälö käyttämättä. Saadaan : [ atkaistaan U 3 U : U 3 U Lukuarvot: G 2 +G 3 0 G 1 +G 4 +jω G 4 jω G 2 +G 3 G 2 G 1 +G 4 +jω 0 G 2 +G 3 0 G 1 +G 4 +jω G 4 jω ][ U ] U [ G2 0 G 2(G 1 +G 4 +jω) (G 2 +G 3 )( G 4 jω) G 2(G 1 +G 4 +jω) (G 2 +G 3 )(G 4 +jω) ( + +jω ) ( + )(1+jω ) U 3 ( + +jω ) ( + )(1+jω ) 4,525/ 45 V I o lasketaan aiemmin käyttämättä jätetystä 3. yhtälöstä: I o ( G 4 jω)u +(G 4 +jω)u (G 4 +jω)(u U ) ] 42

43 atkaistaan U joko suoraan piiristä jännitteenjaolla ( U ) tai matriisiyhtälöstä: G G 4 jω G U U 2 ( G 4 jω) G 2 +G 3 0 (G 2 +G 3 )( G 4 jω) G 1 +G 4 +jω G 4 jω delleen: G 2 G 2 +G 3 U U ( G 1 +G 4 +jω G 4 +jω 1) G 2 G 2 +G 3 G 1 G 2 (G 4 +jω)(g 2 +G 3 ) I o (G 4 +jω) (U U ) G 1G 2 G 2 +G 3 ( + ) 160/0 µ 43

44 9.2 Laske kuvan ylipäästösuodattimen jännitevahvistus U 0(jω) sekä sen itseisarvo. Operaatiovahvistin oletetaan ideaaliseksi. 1F 2 Ω 1 2 Ω. U 0 loitetaan tekemällä jännitelähteelle lähdemuunnos. I o U O jω I o U O Solmuyhtälö: G 2 +j2ω jω G 2 jω G 1 +jω 0 G 2 0 G 2 U U U jω 0 I o U U Voidaan laskea 2. ja 3. pystyrivi yhteen. Jäljelle jää kaksi tuntematonta (U, U ) ja kolme yhtälöä. Yksi yhtälöistä on ylimääräinen, ja koska I o on tuntematon jätetään 3. yhtälö käyttämättä. Saadaan : [ G2 +j2ω G 2 jω jω G 1 +jω atkaistaan U O U U : G 2 +j2ω jω jω 0 U O U G 2 +j2ω G 2 jω jω G 1 +jω Jännitevahvistus: Sijoitetaan lukuarvot: ][ U ] U [ jω 0 (jω) 2 (G 2 +j2ω)(g 1 +jω) jω(g 2 +jω) U O (jω) 2 (G 2 +j2ω)(g 1 +jω) jω(g 2 +jω) (jω) 2 (jω) 2 +jω 2G 1 +G 1 G 2 U O ω 2 1 ω 2 +j 2 ω U O ω 2 (1 ω 2 ) 2 +( 2 ω) 2 ] ω 2 ω

45 9.3 Z O1 Muodosta navoista - näkyvän impedanssin lauseke kulmataajuuden ollessa ω. Operaatiovahvistimet oletetaan ideaalisiksi. Impedanssin saat kun laitat napoihin virtalähteen J ja lasket napojen välisen jännitteen. Muista Ohmin laki U Z J. O2 TP 1: Kytketään napoihin - virtalähde J ja muodostetaan sitten napojen - välisen jännitteen lauseke. Impedanssi saadaan, kun jännite jaetaan virralla J. J O1 I O1 D O2 I O2 Solmuyhtälöt : jω 0 0 jω 0 G 1 G G 1 G 1 +G 2 G 2 jω 0 G 2 G 2 +jω U U U D U U U lasketaan 1. ja 2. pystyrivi yhteen. U D 0 poistetaan 3. pystyrivi. Kaksi tuntematonta voidaan valita 4:stä yhtälöstä 2, jotka ratkaistaan. I O1, I O2 tuntemattomia jätetään 2. ja 4. yhtälö käyttämättä. Saadaan : atkaistaan U : J jω 0 G 2 U jω jω G 1 G 2 Pisteiden ja välinen impedanssi: [ ][ ] [ ] jω jω U J G 1 G 2 U 0 J( G 2 ) jω( G 2 ) jωg 1 J I O1 0 I O2 G 2 jω(g 1 +G 2 ) J Z U J G 2 jω(g 1 +G 2 ) 1 ( jω 1+ G ) 1 G 2 1 ( jω 1+ ) 45

46 TP 2: I 3 I 2 I O1 I 1 D O2 U 0 U U Operaatiovahvistimet ideaalisia sisääntulonapojen välinen jännite 0 V: U U U D 0 I 1 U U D U Operaatiovahvistimet ideaalisia sisääntulonapoihin ei mene virtaa: I I 3 (U U ) jω I 2 I 1 U U U D I 2 U 2 Z U I ( ) U +U 2 jω U 1 ( ) 1+ 2 jω ( 1+ ) 2 jω 46

47 9.4 U in Kuvan mukaisessa kytkennässä operaatiovahvistin oletetaan ideaaliseksi. Mitoita kapasitanssi siten, että Uout U in α. α 10 2kΩ. f 20kHz 100 Ω U out I 1 I 2 U in U out Koska operaatiovahvistimen positiivinen ottonapa on maadoitettu, myös negatiivisen navan jännite U 0. Tästä saadaan virroille I 1 ja I 2 lausekkeet: Koska ottonapojen virrat ovat nollia, saadaan: I 1 U in ja I 2 U out 1 jω+1 I 1 +I 2 0 U out U in (jω +1) U out jω+1 U in U out U in jω +1 U out U in 2 (ω2 ) 2 +1 α 1+(ω ) 2 ( ) α ω ( ) α 3 2π F 6,892nF 47

48 10.1 M Laske jännitelähteen syöttämä pätöteho ja loisteho. Mikä on vastuksessa kuluva pätöteho? L 1 L 2 10 Ω 100 Ω L mh L mh M 300 mh 50 µf 230/0 V f 50 Hz. Korvataan aluksi muuntaja sijaiskytkennällään: jωl 1 jωl 2 I 1 I 2 jωmi 2 jωmi 1 jω Z 1 jω + 1+jω 53,703/ 57,52 Ω Valitaan silmukkavirrat kuvan mukaisesti siten, että virrat menevät keloihin sisään niiden pisteellisistä päistä. (Silmukkavirtojen suunnat voitaisiin valita toisinkin.) Kela L 1 korvataansijaiskytkennässäsitä vastaavallaimpedanssilla Z L1 ja impedanssin kanssa sarjassaolevallaohjatullajännitelähteelläjωmi 2,jokaottaaohjauksensakelanL 2 virrasta.m onkeskinäisinduktanssi, joka kuvaa kytkeytymistä muuntajan käämien välillä. Ohjatun jännitelähteen jωmi 2 +-napa osoittaa samaan suuntaan kuin kelan L 1 pisteellinen pää, koska ohjaava virta I 2 tulee kelaan L 2 pisteellisestä päästä. Kela L 2 korvataan vastaavasti kuin kela L 1. Kuten edellä, ohjatun jännitelähteen jωmi 1 +-napa osoittaa samaan suuntaan kuin kelan L 2 pisteellinen pää, koska ohjaava virta I 1 tulee kelaan L 1 pisteellisestä päästä. Kirjoitetaan silmukkayhtälöt, kun rinnankytketyt vastus ja kondensaattori on yhdistetty impedanssiksi Z: [ ][ ] [ ] 1 +jωl 1 0 I1 jωmi2 0 Z +jωl 2 I 2 jωmi 1 Siirretään ohjattujen lähteiden kertoimet matriisin puolelle: [ ][ ] [ 1 +jωl 1 jωm I1 jωm Z +jωl 2 I 2 0 atkaistaan I 1 : I 1 Lasketaan kompleksinen teho: Vastuksessa kuluva pätöteho: (Z +jωl 2 ) ( +jωl 1 )(Z +jωl 2 )+ω 2 M 2 6,522/ 34.0 S UI I 1 (1243+j839,6)V P e{s} 1243W Q Im{S} 839,6Vr P e{u 1 I 1 } e{i 1 I 1 } I ,3W ] 48

49 10.2 I 1 L 1 L 2 I 2 atkaise virta I 2 silmukkamenetelmällä. M 13 M 23 L /0 V 2 40/90 V 10 Ω 2 Ω 5 Ω ωl 1 2 Ω ωl 3 2 Ω ωl 2 4 Ω ωm 13 1 Ω ωm 23 1 Ω. 1 2 Korvataan aluksi muuntaja sijaiskytkennällä: jx 13 (I a +I b ) jx 1 jx 2 jx 23 (I a +I b ) I 1 I 2 jx 3 I 3 jx 13 I a I a I b jx 23 I b 1 2 Valitaan silmukkavirrat kuvan mukaisesti siten, että I a I 1 ja I b I 2, jolloin I 3 I a +I b. Jokainen käämi korvataan sijaiskytkennässä sitä vastaavalla impedanssilla ja jokainen keskinäisinduktanssi kahdella virtaohjatulla jännitelähteellä. Virta I a aiheuttaa keskinäisreaktanssin X 13 kautta käämiin X 3 lähdejännitteen jωm 13 I a. Koska ohjaava virta I a menee käämiin X 1 sisään pisteettömästä päästä, lähteen +-napa osoittaa samaan suuntaan kuin käämin X 3 pisteetön pää. Vastaavasti virta I 3 I a + I b aiheuttaa keskinäisreaktanssin X 13 kautta käämiin X 1 lähdejännitteen jx 13 I 3. Koska ohjaava virta I 3 menee käämiin X 3 sisään pisteellisestä päästä, vastaavan lähteen +-napa osoittaa samaan suuntaan kuin käämin X 1 pisteellinen pää. Keskinäisreaktanssi X 23 korvataan samalla tavalla ohjatuilla lähteillä. Kirjoitetaan silmukkayhtälöt: [ 1 + +jx 1 +jx 3 +jx 3 +jx 3 + +jx 2 +jx 3 ][ Ia I b ] [ ] 1 +jx 13 (I a +I b )+jx 13 I a jx 23 I b 2 jx 23 (I a +I b )+jx 13 I a jx 23 I b Siirretään ohjattujen lähteiden kertoimet matriisin puolelle: [ ][ ] 1 + +jx 1 +jx 3 2jX 13 +jx 3 jx 13 +jx 23 Ia +jx 3 jx 13 +jx jx 2 +jx 3 +2jX 23 I b [ 1 2 ] 49

50 atkaistaan virta I 2 I b : + +jx 1 +jx 3 2jX jx 3 jx 13 +jx 23 2 I b + +jx 1 +jx 3 2jX 13 +jx 3 jx 13 +jx 23 +jx 3 jx 13 +jx jx 2 +jx 3 +2jX j j2 j40 15+j2 5+j2 5+j2 7+j8 4,48/43,45 I 2 50

51 10.3 L 1 Induktanssien L 1 ja L 2 välinen kytkentäkerroin on k. Laske pisteiden ja välinen jännite U. I M L mh L mh 100 Ω 200nF I 3/0 f 800 Hz k 0,3. L 2 TP 1: Korvataan aluksi muuntaja sijaiskytkennällään: I Z Z M I 2 I 1 Z L1 Z Z 1 jω Z M jωm jωk L 1 L 2 Z L1 jωl 1 Z Z M I 1 I 2 Z L2 Z L2 jωl 2 Merkitään virta I jakautuneeksi virroiksi I 1 ja I 2. Tällöin haaran 2 virta voidaan ilmaista I 2 I I 1. Jännite U on sama kummankin haaran yli: haara 1: U Z I 1 +Z M I 2 +Z L1 I 1 Z I 1 +Z M I Z M I 1 +Z L1 I 1 (Z Z M +Z L1 )I 1 +Z M I haara 2: U Z I 2 +Z M I 1 +Z L2 I 2 Z I Z I 1 +Z M I 1 +Z L2 I Z L2 I 1 ( Z +Z M Z L2 )I 1 +(Z +Z L2 )I atkaistaan virta I 1 : (Z Z M +Z L1 )I 1 +Z M I ( Z +Z M Z L2 )I 1 +(Z +Z L2 )I Z +Z L2 Z M I 1 I 4,59/ 130,9 o Z Z M +Z L1 +Z Z M +Z L2 ja sijoitetaan haaran 1 jännitteen U lausekkeeseen: [ (Z Z M +Z L1 )(Z +Z L2 Z M ) U +Z M Z +Z L1 +Z 2Z M +Z L2 ( ) ( jωk 1 L1 L 2 +jωl 1 jω +jωl 2 jωk ) L 1 L 2 910/ 39,4 V ] I +jωl jω 2jωk L 1 L 2 +jωl 2 +jωk L1 L 2 I 51

52 TP 2: Muuntajan kelojen päiden välillä on oikosulku, joten voidaan käyttää myös yksinkertaisempaa sijaiskytkentää, jolloin piiriin ei tule ohjattuja lähteitä. L 1 M I M L 2 M Lasketaan piirin impedanssi. Kyseessä on kahden sarjaankytkennän rinnankytkentä, joiden kanssa sarjassa on vielä yksi kela. Z [+jω(l 1 1 M)][ jω +jω(l 2 M)] +jω(l 1 M)+ 1 jω +jω(l 2 M) +jωm 303,5/ 39,4 Ω Jännite on siis U ZI 910/ 39,4 V 52

53 10.4 U Määrää jännite U. M 2 Ω ωl 2 Ω ωm 1 Ω J 2/0 3/0 V. J L L U J I U 1 jωl jωl J U 2 jωmi jωmj U 3 Jännite U saadaan jännitelain avulla: U U 1 +U 2 +U 3 Vastuksen ja muuntajan vasemmanpuoleisen käämin virta on ideaalisen virtalähteen J lähdevirta. Tästä saadaan jännitteet U 1 ja U 2. U 1 J U 2 jωlj +jωmi Kirjoitetaan oikean puolen silmukalle jänniteyhtälö ja ratkaistaan tuntematon virta I: Sijoitetaan I jännitteen U 2 lausekkeeseen. jωli +jωmj 0 I M L J U 2 jωlj jω M2 L U 3 on ideaalisen jännitelähteen jännite. U 3 ( U J +jωl jωm M L J jω(l M2 L )J ) 1+j3V 3,16/72 V 53

54 11.1 v1 L1 L 2 v2 Symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä on kaksi konetta, joiden lähdejännitteet ovat vaihejännitteinä v1 ja v2. Järjestelmä on aluksi oikosulussa. Laske oikosulkuvirta I k ja sitten Nortonin menetelmällä jännite U 0, joka saadaan, kun oikosulku avataan. ωl 1 2 Ω v1 230/30 V 1 Ω ωl 2 3 Ω v2 230/0 V. U 0 I k Yksivaiheinen sijaiskytkentä: v1 jωl1 jωl 2 v2 I k Oikosulkuvirta: I k v1 v ,83/ 64,48 jωl 1 +jωl 2 Kytkimen navoista näkyvä kokonaisadmittanssi passiivisesta verkosta: Kytkimen yli vaikuttava jännite, kun kytkin on avattu: Y N ,806/ 82,87 S jωl 1 +jωl 2 J N Y N U 0 U 0 J N Y N I k Y N 231,73/18,40 V dellälaskettuu 0 on-vaiheenjännite. KysyttyT-vaiheenjänniteontämänkanssaitseisarvoltaansama,mutta eri vaiheessa. U 0 231,73/(120+18,40) V 231,73/( ,40) V 231,73/138,40 V 54

55 11.2 v L U S Laske symmetrisen kolmivaihepiirin jännite U S. v 230V 60 Ω 20 µf L 10 mh f 50 Hz. Muutetaan ensin kytkennän kolmiot tähdiksi: v L /3 N N 3 N Yhden vaiheen sijaiskytkentä: L v 3 /3 U esistanssin ja kapasitanssin rinnankytkennän impedanssi: Z Lasketaan jännite jännitteenjakosäännöllä: N /3 jω3 1 jω3 +/3 /3 1+jω 18,714/ 20,7 Ω U Z jωl+z v 241,139/ 9,5 V U S U U S U U / /20,5 V 55

56 11.3 v1 L1 L 2 v2 Symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä on tähteen kytketyt kuormavastukset ja kolmioon kytketyt kuormakondensaattorit. Laske vastusten yhdessä ottama pätöteho P ja kondensaattorien yhdessä ottama loisteho Q. ωl 1 40 Ω v1 220/30 V 80 Ω ωl 2 60 Ω v2 220/0 V ω 10mS. Muunnetaan ensin kolmioon kytketyt kondensaattorit tähteen kytketyiksi, jolloin niiden arvot muuttuvat: Ĉ 3 Kun kaikki komponentit ovat symmetrisesti tähteen kytkettyjä, voidaan tehdä yksivaiheinen sijaiskytkentä: v1 L1 L 2 v2 Ĉ Lähdemuunnokset: v1 jωl 1 L 1 Ĉ L 2 v2 jωl 2 Vastuksen ja kondensaattorin ylitse on sama jännite U v : U v v1 jωl 1 + v2 jωl 2 Vastusten ottama kokonaisteho: { P 3P v 3 e{u v I} U } v 3 e U v { Uv 2 } 3 e 10,085kW Kondensaattorien ottama kokonaisloisteho: Q 3Q v 3 Im{U v I} 3 Im {U v (jωĉu v) } { 3 Im jωĉ U v 2} 24,204kVr 1 jωl jωĉ + 518,58/ 28,91 V 1 jωl 2 56

57 11.4 U S P 1 I I S Symmetrisesti kuormitettuun kolmivaihejohtoon on kytketty kaksi wattimittaria kuvan esittämällä tavalla. Vaihejännite on U 200V ja tähteen kytketyn kuorman jokainen impedanssi on Z 200/30 Ω. Mitä tehoja P 1 ja P 2 mittarit näyttävät? U TS P 2 I T Valitaan U :n kulmaksi 0 U U /0, U T U /120 ja U S U /240 Lasketaan pääjännitteet U S ja U TS. Lasketaan seuraavaksi virrat I ja I T. Z I U S U U S 346,4/30 V U TS U T U S 346,4/90 V I S I T Z Z I U Z 1/ 30 I T U T Z 1/90 Lasketaan mittarien näyttämät pätötehot: P 1 e{u S I } 173W P 2 e{u TS I T} 346W 57

S Piirianalyysi 1 2. välikoe

S Piirianalyysi 1 2. välikoe S-55.20 Piirianalyysi 2. välikoe 4.2.200 aske tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin selvästi nimi, opiskelijanumero, kurssin nimi ja koodi. Tehtävät lasketaan

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIIANALYYSI I Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Kirja: luku 3 Luentomoniste: luvut 4.2, 4.3 ja 4.4

Lisätiedot

SATE1040 Piirianalyysi IB kevät /6 Laskuharjoitus 5: Symmetrinen 3-vaihejärjestelmä

SATE1040 Piirianalyysi IB kevät /6 Laskuharjoitus 5: Symmetrinen 3-vaihejärjestelmä 1040 Piirianalyysi B kevät 2016 1 /6 ehtävä 1. lla olevassa kuvassa esitetyssä symmetrisessä kolmivaihejärjestelmässä on kaksi konetta, joiden lähdejännitteet ovat vaihejännitteinä v1 ja v2. Järjestelmä

Lisätiedot

Luento 6. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Luento 6. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Luento 6 1 DEE-11000 Piirianalyysi Ensimmäinen välikoe keskiviikkona 19.11. klo 13-16 salissa S1. Aihepiiri: Tasasähköpiirin analyysi (monisteen luvut 1-6) 2 Solmupistemenetelmä

Lisätiedot

DEE Sähkötekniikan perusteet

DEE Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Tasasähköpiirien systemaattinen ratkaisu: kerrostamismenetelmä, silmukkavirtamenetelmä, solmupistemenetelmä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet silmukkavirtamenetelmä

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Teho vaihtosähköpiireissä ja symmetriset kolmivaihejärjestelmät Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Kompleksinen teho S ja näennästeho S Loisteho

Lisätiedot

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit DEE-11110: SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kirchhoffin lait Aktiiviset piirikomponentit Resistiiviset tasasähköpiirit jännitelähde virtalähde Kirchhoffin virtalaki Kirchhoffin jännitelaki Käydään läpi Kirchhoffin lait,

Lisätiedot

Théveninin teoreema. Vesa Linja-aho. 3.10.2014 (versio 1.0) R 1 + R 2

Théveninin teoreema. Vesa Linja-aho. 3.10.2014 (versio 1.0) R 1 + R 2 Théveninin teoreema Vesa Linja-aho 3.0.204 (versio.0) Johdanto Portti eli napapari tarkoittaa kahta piirissä olevaa napaa eli sellaista solmua, johon voidaan kytkeä joku toinen piiri. simerkiksi auton

Lisätiedot

R = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1

R = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1 Fysiikan mittausmenetelmät I syksy 206 Laskuharjoitus 4. Merkitään kaapelin resistanssin ja kuormaksi kytketyn piirin sisäänmenoimpedanssia summana R 000.2 Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen

Lisätiedot

SATE.1040 Piirianalyysi IB syksy /8 Laskuharjoitus 1: Ohjatut lähteet

SATE.1040 Piirianalyysi IB syksy /8 Laskuharjoitus 1: Ohjatut lähteet STE. iirianalyysi syksy 6 /8 Tehtävä. Laske jännite alla olevassa kuvassa esitetyssä piirissä. Ω, Ω, Ω,, E V, E V E E Kuva. iirikaavio tehtävään. atkaisu silmukkamenetelmällä: E E Kuva. Tehtävän piirikaavio

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vastusten kytkennät Energialähteiden muunnokset sarjaankytkentä rinnankytkentä kolmio-tähti-muunnos jännitteenjako virranjako Käydään läpi vastusten keskinäisten kytkentöjen erilaiset

Lisätiedot

Luento 4 / 12. SMG-1100 Piirianalyysi I Risto Mikkonen

Luento 4 / 12. SMG-1100 Piirianalyysi I Risto Mikkonen SMG-00 Piirianalyysi I Luento 4 / Kerrostamismenetelmä Lineaarisuus = Additiivisuus u u y y u + Homogeenisuus u y y Jos verkossa on useita energialähteitä, voidaan jokaisen lähteen vaikutus laskea erikseen

Lisätiedot

( ) ( ) ( ) ( ) SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

( ) ( ) ( ) ( ) SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset SMG-11 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 1(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset. Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W saadaan lausekkeesta t1 t1,

Lisätiedot

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /9 Laskuharjoitus 4: Kerrostamis- ja silmukkamenetelmä

SATE1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät /9 Laskuharjoitus 4: Kerrostamis- ja silmukkamenetelmä ST1140 Piirianalyysi, osa 1 kevät 018 1 /9 Tehtävä 1. Määritä alla esitetyssä piirissä kuormassa (vastuksessa) R L lämmöksi kuluva teho käyttäen hyväksi kerrostamismenetelmää. 0 kω, R 5 kω, R 0 kω, 0 kω,

Lisätiedot

DEE Sähkötekniikan perusteet

DEE Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Theveninin ja Nortonin ekvivalentit, kuorman maksimiteho Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Theveninin ekvivalentti Nortonin ekvivalentti kuorman

Lisätiedot

Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä. 1 DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Silmukkavirta- ja solmupistemenetelmä 1 Verkon systemaattinen ratkaisu Solmupisteiden lukumäärä n (node) Haarojen lukumäärä b (branch) 2 Verkon systemaattinen ratkaisu Muodostetaan

Lisätiedot

2.2 Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W tot saadaan lausekkeesta ( )

2.2 Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W tot saadaan lausekkeesta ( ) DEE- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjoitus (3) Tehtävien ratkaisuehdotukset. Energia W saadaan, kun tehoa p(t) integroidaan ajan t suhteen. Täten akun kokonaisenergia W saadaan lausekkeesta t t () ()()

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S-55.103 SÄHKÖTKNKKA 7.5.004 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät 1,3,5,7,9 1. välikoe: tehtävät 1,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,10 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn? Voit täyttää lomakkeen nyt.

Lisätiedot

14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä.

14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä. Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä,

Lisätiedot

1. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait

1. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait Kimmo Silvonen, Sähkötekniikka ja elektroniikka, Otatieto 2003. Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait Sähkötekniikka ja elektroniikka, sivut 5-62. Versio 3..2004. Kurssin Sähkötekniikka laskuharjoitus-,

Lisätiedot

ELEC-E8419 syksy 2016 Jännitteensäätö

ELEC-E8419 syksy 2016 Jännitteensäätö ELEC-E849 syksy 06 Jännitteensäätö. Tarkastellaan viittä rinnakkaista siirtojohtoa. Jännite johdon loppupäässä on 400, pituus on 00 km, reaktanssi on 0,3 ohm/km (3 ohmia/johto). Kunkin johdon virta on

Lisätiedot

Sinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla

Sinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla LIITE I Vaihtosähkön perusteet Vaihtojännitteeksi kutsutaan jännitettä, jonka suunta vaihtelee. Vaihtojännite on valittuun suuntaan nähden vuorotellen positiivinen ja negatiivinen. Samalla tavalla määritellään

Lisätiedot

C 2. + U in C 1. (3 pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0 (4 pistettä). Komponenttiarvot ovat

C 2. + U in C 1. (3 pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan ajanhetkellä t = 0 (4 pistettä). Komponenttiarvot ovat S-87.2 Tentti 6..2007 ratkaisut Vastaa kaikkiin neljään tehtävään! C 2 I J 2 C C U C Tehtävä atkaise virta I ( pistettä), siirtofunktio F(s) = Uout ( pistettä) ja jännite U C (t), kun kytkin suljetaan

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNKKA JA KTONKKA Tentti 5.5.008: tehtävät,3,4,6,9. välikoe: tehtävät,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Saat vastata vain neljään tehtävään/koe; ne sinun pitää itse valita! Kimmo Silvonen.

Lisätiedot

2. Vastuksen läpi kulkee 50A:n virta, kun siihen vaikuttaa 170V:n jännite. Kuinka suuri resistanssi vastuksessa on?

2. Vastuksen läpi kulkee 50A:n virta, kun siihen vaikuttaa 170V:n jännite. Kuinka suuri resistanssi vastuksessa on? SÄHKÖTEKNIIKKA LASKUHARJOITUKSIA; OHMIN LAKI, KIRCHHOFFIN LAIT, TEHO 1. 25Ω:n vastuksen päiden välille asetetaan 80V:n jännite. Kuinka suuri virta alkaa kulkemaan vastuksen läpi? 2. Vastuksen läpi kulkee

Lisätiedot

Sähkövirran määrittelylausekkeesta

Sähkövirran määrittelylausekkeesta VRTAPRLASKUT kysyttyjä suureita ovat mm. virrat, potentiaalit, jännitteet, resistanssit, energian- ja tehonkulutus virtapiirin teho lasketaan Joulen laista: P = R 2 sovelletaan Kirchhoffin sääntöjä tuntemattomien

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-1100: PIIRIANALYYSI I Keskinäisinduktanssi induktiivisesti kytkeytyneet komponentit muuntajan toimintaperiaate T-sijaiskytkentä kytketyn piirin energia KESKINÄISINDUKTANSSI M Faraday: magneettikentän

Lisätiedot

1. Erään piirin impedanssimittauksissa saatiin seuraavat tulokset:

1. Erään piirin impedanssimittauksissa saatiin seuraavat tulokset: 521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 4 1. Erään piirin impedanssimittauksissa saatiin seuraavat tulokset: f [MHz] [Ω] 870 120-j100 875 100-j80 880 80-j55 885 70-j30 890 70-j15 895 65+j10 900 70+j30

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkö SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Sinimuotoiset suureet Tehollisarvo Sinimuotoinen vaihtosähkö & passiiviset piirikomponentit Käydään läpi, mistä sinimuotoiset jännite ja virta ovat peräisin. Näytetään,

Lisätiedot

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset SMG- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjitus (3) Tehtävien ratkaisuehdtukset 6 Tarkitus n laskea V ja eveninin ekvivalentin avulla Tämä tarkittaa sitä, että mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti vastuksen

Lisätiedot

Lasketaan siirretty teho. Asetetaan loppupään vaihejännitteelle kulmaksi nolla astetta. Virran aiheuttama jännitehäviö johdolla on

Lasketaan siirretty teho. Asetetaan loppupään vaihejännitteelle kulmaksi nolla astetta. Virran aiheuttama jännitehäviö johdolla on ELEC-E849. Tarkastellaan viittä rinnakkaista siirtojohtoa. Jännite johdon loppupäässä on 400, pituus on 00 km, reaktanssi on 0, ohm/km ( ohmia/johto). Kunkin johdon virta on 000. Jätä rinnakkaiskapasitanssit

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I. Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet SMG-00: PIIRIANALYYSI I Verkkojen taajuusriippuvuus: suo(dat)timet alipäästösuodin ylipäästösuodin kaistanpäästösuodin kaistanestosuodin jännitevahvistus rajataajuus kaistanleveys resonanssi Suotimet:

Lisätiedot

ELEC-C3230 Elektroniikka 1. Luento 1: Piirianalyysin kertaus (Lineaariset vahvistinmallit)

ELEC-C3230 Elektroniikka 1. Luento 1: Piirianalyysin kertaus (Lineaariset vahvistinmallit) 1 ELEC-C3230 Elektroniikka 1 Luento 1: Piirianalyysin kertaus (Lineaariset vahvistinmallit) 1 luennon pääaiheet Motivointi Piirianalyysin kertaus Vahvistinmallinnus (liuku 2. luentoon) 2 https://www.statista.com/outlook/251/100/consumer-electronics/worldwide

Lisätiedot

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Mittalaitetekniikka. NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Mittalaitetekniikka NYMTES13 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.1100 SÄHKÖTKNIIKKA A KTONIIKKA Tentti 0.1.006: tehtävät 1,3,4,6,8 1. välikoe: tehtävät 1,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,10 Saat vastata vain neljään tehtävään/koe; ne sinun pitää itse valita! Kimmo

Lisätiedot

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla

1. Tasavirta. Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit. Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Fy3: Sähkö 1. Tasavirta Virtapiirin komponenttien piirrosmerkit Virtapiiriä havainnollistetaan kytkentäkaaviolla Sähkövirta I Sähkövirran suunta on valittu jännitelähteen plusnavasta miinusnapaan (elektronit

Lisätiedot

TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) Syksy 2011 / Luokka AS11

TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) Syksy 2011 / Luokka AS11 TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) Syksy 2011 / Luokka AS11 Vesa Linja-aho Metropolia 7. syyskuuta 2011 Vesa Linja-aho (Metropolia) TA00AB71 Tasasähköpiirit (3 op) 7. syyskuuta 2011 1 / 123 Sisällysluettelo

Lisätiedot

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2

Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S55.103 SÄHKÖTKNKK 21.12.2000 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät 1,3,4,8,9 1. välikoe: tehtävät 1,2,3,4,5 2. välikoe: tehtävät,7,8,9,10 Oletko jo ehtinyt vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.

Lisätiedot

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Aktiiviset piirikomponentit. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Aktiiviset piirikomponentit 1 Aktiiviset piirikomponentit Sähköenergian lähteitä Jännitelähteet; jännite ei merkittävästi riipu lähteen antamasta virrasta (akut, paristot, valokennot)

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkön teho kompleksinen teho S pätöteho P loisteho Q näennäisteho S Käydään läpi sinimuotoisiin sähkösuureisiin liittyviä tehotermejä. Määritellään kompleksinen teho, jonka

Lisätiedot

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi

RATKAISUT: 22. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi Physica 9. painos (0) RATKAST. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi RATKAST:. Vaihtovirtapiiri ja resonanssi. a) Vaihtovirran tehollinen arvo on yhtä suuri kuin sellaisen tasavirran arvo, joka tuottaa vastuksessa

Lisätiedot

Harjoitus 5 / viikko 7

Harjoitus 5 / viikko 7 DEE-000 Piiianalyysi Hajoitus 5 / viikko 7 5. Laske solmupistemenetelmällä oheisen kuvan esittämän piiin jännite ja vita i. 0k ma k k k i ma Solmupistemenetelmää käytettäessä takasteltavan kytkennän jännitelähteet

Lisätiedot

Sähkötekniikka ja elektroniikka

Sähkötekniikka ja elektroniikka Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Vaihtovirta ja osoitinlaskenta Luento Sinimuotoinen virta ja jännite Tehollisarvo, huippuarvo, vaihekulma Ajan vai taajuuden funktiona? Viime viikon kytkentäilmiöt

Lisätiedot

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3

521384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 51384A RADIOTEKNIIKAN PERUSTEET Harjoitus 3 1. Tutkitaan mikroliuskajohtoa, jonka substraattina on kvartsi (ε r 3,8) ja jonka paksuus (h) on,15 mm. a) Mikä on liuskan leveyden w oltava, jotta ominaisimpedanssi

Lisätiedot

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013

SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI. NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 SÄHKÖSTATIIKKA JA MAGNETISMI NTIETS12 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2013 1. RESISTANSSI Resistanssi kuvaa komponentin tms. kykyä vastustaa sähkövirran kulkua Johtimen tai komponentin jännite on verrannollinen

Lisätiedot

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q

Coulombin laki. Sähkökentän E voimakkuus E = F q Coulombin laki Kahden pistemäisen varatun hiukkasen välinen sähköinen voima F on suoraan verrannollinen varausten Q 1 ja Q 2 tuloon ja kääntäen verrannollinen etäisyyden r neliöön F = k Q 1Q 2 r 2, k =

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNKKA A KTONKKA Kimmo Silvonen Tentti 20.5.200: tehtävät,3,5,6,8.. välikoe: tehtävät,2,3,4,5. 2. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain neljään tehtävään/koe. Sallitut: Kako, (gr.)

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S-55.3 SÄHKÖTKNKKA.5.22 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,3,4,6,9. välikoe: tehtävät,2,3,4,5 2. välikoe: tehtävät 6,7,8,9, Oletko muistanut vastata palautekyselyyn? Voit täyttää lomakkeen nyt.. Laske virta.

Lisätiedot

Kolmivaihejärjestelmän perusteet. Pekka Rantala 29.8.2015

Kolmivaihejärjestelmän perusteet. Pekka Rantala 29.8.2015 Kolmivaihejärjestelmän perusteet Pekka Rantala 29.8.2015 Sisältö Jännite- ja virtalähde Kolme toimintatilaa Theveninin teoreema Symmetrinen 3-vaihejärjestelmä Virrat ja jännitteet Tähti- ja kolmiokytkentä

Lisätiedot

Kuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi

Kuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi 31 VAIHTOVIRTAPIIRI 311 Lineaarisen vaihtovirtapiirin impedanssi ja vaihe-ero Tarkastellaan kuvan 1 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa on resistanssi R, kapasitanssi C ja induktanssi L sarjassa Jännitelähde

Lisätiedot

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C

Tehtävä 1. a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt = 1, A = 1, C s protonin varaus on 1, C Tehtävä a) sähkövirta = varausta per sekunti, I = dq dt =, 5 0 3 =, 5 0 3 C s protonin varaus on, 6 0 9 C Jaetaan koko virta yksittäisille varauksille:, 5 0 3 C s kpl = 9 05, 6 0 9 s b) di = Jd = J2πrdr,

Lisätiedot

SÄHKÖTEKNIIKKA. NTUTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015

SÄHKÖTEKNIIKKA. NTUTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015 SÄHKÖTEKNIIKKA NTTAS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri kevät 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään

Lisätiedot

Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Johdatus vaihtosähköön, sinimuotoiset suureet 1 Vaihtovirta vs tasavirta Sähkömagneettinen induktio tuottaa kaikissa pyörivissä generaattoreissa vaihtojännitettä. Vaihtosähköä on

Lisätiedot

S PIIRIANALYYSI 1

S PIIRIANALYYSI 1 A! Aalto-yliopisto Sähkötekniikan korkeakoulu S-55.1210 PIIRIANALYYSI 1 Luentomoniste 2012 Martti Valtonen u i malli u i R i 7 2 Aalto ELEC, Copyright c 2012 Martti Valtonen Aalto ELEC, Copyright c 2012

Lisätiedot

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA

SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA SMG-: SÄHKÖTEKNIIKKA Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Tarkoitus on yrittää ymmärtää passiivisten piirikomponenttien toiminnan taustalle olevat luonnonilmiöt. isäksi johdetaan näiden

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S55.0 SÄHKÖTEKNKKA 9.5.000 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät,,5,8,9. välikoe: tehtävät,,,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn Voit täyttää lomakkeen nyt.. aske virta.

Lisätiedot

Omnia AMMATTIOPISTO Pynnönen

Omnia AMMATTIOPISTO Pynnönen MMTTOSTO SÄHKÖTEKNKK LSKHJOTKS; OHMN LK, KCHHOFFN LT, TEHO, iirrä tehtävistä N piirikaavio, johon merkitset kaikki virtapiirin komponenttien tunnisteet ja suuruudet, jännitteet ja virrat. 1. 22:n vastuksen

Lisätiedot

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0

l s, c p T = l v = l l s c p. Z L + Z 0 1.1 i k l s, c p Tasajännite kytketään hetkellä t 0 johtoon, jonka pituus on l ja jonka kapasitanssi ja induktanssi pituusyksikköä kohti ovat c p ja l s. Mieti, kuinka virta i käyttäytyy ajan t funktiona

Lisätiedot

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu S-55.00 SÄHKÖTKNKKA JA LKTONKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu Kimmo Silvonen Tentti 4.5.0: tehtävät,3,4,6,8.. välikoe: tehtävät,,3,4,5.. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain neljään

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A3/A5 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 Tehtävä (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 2i = 2, b) z 2i < 2, c) /z

Lisätiedot

SÄHKÖTEKNIIKKA. NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015

SÄHKÖTEKNIIKKA. NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015 SÄHKÖTEKNIIKKA NBIELS13 Tasasähköpiirit Jussi Hurri syksy 2015 1. PERSKÄSITTEITÄ 1.1. VIRTAPIIRI Virtapiiri on johtimista ja komponenteista tehty reitti, jossa sähkövirta kulkee. 2 Virtapiirissä on vähintään

Lisätiedot

SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy /8 Laskuharjoitus 7 / Smithin-kartan käyttö siirtojohtojen sovituksessa

SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy /8 Laskuharjoitus 7 / Smithin-kartan käyttö siirtojohtojen sovituksessa SATE2010 Dynaaminen kenttäteoria syksy 2010 1 /8 Tehtävä 1. Häviötön linja (70 Ω), joka toimii taajuudella 280 MHz, on päätetty kuormaan Z = 60,3 /30,7 Ω. Käytä Smithin karttaa määrittäessäsi, kuinka suuri

Lisätiedot

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet

DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kirchhoffin lait, rinnan- ja sarjakytkentä, lähdemuunnokset Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Kirchhoffin virtalaki rinnankytkentä sarjakytkentä

Lisätiedot

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.

Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u. DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

Luento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen

Luento 2. DEE Piirianalyysi Risto Mikkonen DEE-11000 Piirianalyysi Luento 2 1 Luento 1 - Recap Opintojakson rakenne ja tavoitteet Sähkötekniikan historiaa Sähköiset perussuureet Passiiviset piirikomponentit 2 Luento 2 - sisältö Passiiviset piirikomponentit

Lisätiedot

Taitaja2005/Elektroniikka. 1) Resistanssien sarjakytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden rinnankytkentä

Taitaja2005/Elektroniikka. 1) Resistanssien sarjakytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden rinnankytkentä 1) Resistanssien sarjakytkentä kuormittaa a) enemmän b) vähemmän c) yhtä paljon sähkölähdettä kuin niiden rinnankytkentä 2) Kahdesta rinnankytketystä sähkölähteestä a) kuormittuu enemmän se, kummalla on

Lisätiedot

DEE Sähkötekniikan perusteet Tasasähköpiirien lisätehtäviä

DEE Sähkötekniikan perusteet Tasasähköpiirien lisätehtäviä DEE-0 Sähkötekniikan peusteet Tasasähköpiiien lisätehtäviä Laske oheisen piiin vita E = V, R = 05, R =, R 3 = 05, R 4 = 05, R 5 = 05 Ykköstehtävän atkaisuehdotus: Kun kytkentä on oheisen kuvan mukainen,

Lisätiedot

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I

SMG-1100: PIIRIANALYYSI I SMG-00: PIIIANAYYSI I Passiiviset piirikomponentit vastus kondensaattori käämi Kirja: luku. (vastus), luku 6. (käämi), luku 6. (kondensaattori) uentomoniste: luvut 3., 3. ja 3.3 VASTUS ja ESISTANSSI (Ohm,

Lisätiedot

Harjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt.

Harjoitus 1. Tehtävä 1. Malliratkaisut. f(t) = e (t α) cos(ω 0 t + β) L[f(t)] = f(t)e st dt = e st t+α cos(ω 0 t + β)dt. Harjoitus Malliratkaisut Tehtävä L[f(t)] ˆ f(t) e (t α) cos(ω t + β) f(t)e st dt ˆ e st t+α cos(ω t + β)dt cos(ω t + β) 2 (ej(ωt+β) + e j(ωt+β) ) L[f(t)] 2 eα 2 ˆ ˆ e st t+α (e j(ω t+β) + e j(ω t+β) )

Lisätiedot

Sähkötekiikka muistiinpanot

Sähkötekiikka muistiinpanot Sähkötekiikka muistiinpanot Tuomas Nylund 6.9.2007 1 6.9.2007 1.1 Sähkövirta Symboleja ja vastaavaa: I = sähkövirta (tasavirta) Tasavirta = Virran arvo on vakio koko tarkasteltavan ajan [ I ] = A = Ampeeri

Lisätiedot

Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t.

Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä 0 jännitteen ja virran arvot ovat. 500t. DEE- Piirianalyysi Harjoitus / viikko 4 Erään piirikomponentin napajännite on nolla, eikä sen läpi kulje virtaa ajanhetkellä jännitteen ja virran arvot ovat t Kun t, v te t 5t 8 V, i te t 5t 5 A, a) Määritä

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA S-55.00 SÄHKÖTKNIIKKA JA KTONIIKKA Tentti 9..006: tehtävät,3,5,7,9. välikoe: tehtävät,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0 Saat vastata vain neljään tehtävään/koe; ne sinun pitää itse valita! Kimmo Silvonen.

Lisätiedot

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri)

Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Kondensaattori ja vastus piirissä (RC-piiri) Virta alkaa kulkea, kondensaattori varautua, vastustaa yhä enemmän virran kulkua I Kirchhoffin lait ovat hyvä idea 1. Homogeeniyhtälön yleinen ratkaisu: 2.

Lisätiedot

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos

SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos SMG-5250 Sähkömagneettinen yhteensopivuus (EMC) Jari Kangas jari.kangas@tut.fi Tampereen teknillinen yliopisto Elektroniikan laitos Sähkömagnetiikka 2009 1 Ei-ideaaliset piirikomponentit Tarkastellaan

Lisätiedot

Kuva 1. Vastus (R), kondensaattori (C) ja käämi (L). Sinimuotoinen vaihtojännite

Kuva 1. Vastus (R), kondensaattori (C) ja käämi (L). Sinimuotoinen vaihtojännite TYÖ 54. VAIHE-EO JA ESONANSSI Tehtävä Välineet Taustatietoja Tehtävänä on mitata ja tutkia jännitteiden vaihe-eroa vaihtovirtapiirissä, jossa on kaksi vastusta, vastus ja käämi sekä vastus ja kondensaattori.

Lisätiedot

1. a) Piiri sisältää vain resistiivisiä komponentteja, joten jännitteenjaon tulos on riippumaton taajuudesta.

1. a) Piiri sisältää vain resistiivisiä komponentteja, joten jännitteenjaon tulos on riippumaton taajuudesta. Fysiikan mittausmenetelmät I syksy 2013 Malliratkaisut 3 1. a) Piiri sisältää vain resistiivisiä komponentteja, joten jännitteenjaon tulos on riippumaton taajuudesta. b) Ulostulo- ja sisäänmenojännitteiden

Lisätiedot

Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/

Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/ 4.1 Kirchhoffin lait Katso Opetus.tv:n video: Kirchhoffin 1. laki http://opetus.tv/fysiikka/fy6/kirchhoffin-lait/ Katso Kimmo Koivunoron video: Kirchhoffin 2. laki http://www.youtube.com/watch?v=2ik5os2enos

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteet o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa

FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT. 1 Johdanto. 2 Teoreettista taustaa FYSP105/2 VAIHTOVIRTAKOMPONENTIT Työn tavoitteita o Havainnollistaa vaihtovirtapiirien toimintaa o Syventää ymmärtämystä aiheeseen liittyvästä fysiikasta 1 Johdanto Tasavirta oli 1900 luvun alussa kilpaileva

Lisätiedot

ELEC C4210 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

ELEC C4210 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Kimmo Silvonen, Aalto ELEC 2. välikoe 12.12.2016. Saat vastata vain neljään tehtävään! 1. Tasajännitelähde liitetään parijohtoon hetkellä t 0. Lakse kuormavastuksen jännite u 2 (t) hetkellä t 3,1 t ottamalla

Lisätiedot

Jännite, virran voimakkuus ja teho

Jännite, virran voimakkuus ja teho Jukka Kinkamo, OH2JIN oh2jin@oh3ac.fi +358 44 965 2689 Jännite, virran voimakkuus ja teho Jännite eli potentiaaliero mitataan impedanssin yli esiintyvän jännitehäviön avulla. Koska käytännön radioamatöörin

Lisätiedot

Kuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V.

Kuva 1. Ohmin lain kytkentäkaavio. DC; 0 6 V. TYÖ 37. OHMIN LAKI Tehtävä Tutkitaan metallijohtimen päiden välille kytketyn jännitteen ja johtimessa kulkevan sähkövirran välistä riippuvuutta. Todennetaan kokeellisesti Ohmin laki. Välineet Tasajännitelähde

Lisätiedot

VAIHTOVIRTAPIIRI. 1 Työn tavoitteet

VAIHTOVIRTAPIIRI. 1 Työn tavoitteet Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Sähkö- ja magnetismiopin laboratoriotyöt AHTOTAP Työn tavoitteet aihtovirran ja jännitteen suunta vaihtelee ajan funktiona. Esimerkiksi Suomessa käytettävä verkkovirta

Lisätiedot

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7

Fy06 Koe 20.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 Fy06 Koe 0.5.015 Kuopion Lyseon lukio (KK) 1/7 alitse kolme tehtävää. 6p/tehtävä. 1. Mitä mieltä olet seuraavista väitteistä. Perustele lyhyesti ovatko väitteet totta vai tarua. a. irtapiirin hehkulamput

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu

S SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu S-55.00 SÄHKÖKNKKA JA KONKKA Aalto-yliopisto, sähkötekniikan korkeakoulu Kimmo Silvonen entti 0..0: tehtävät,3,5,6,8.. välikoe: tehtävät,,3,4,5.. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,0. Saat vastata vain neljään

Lisätiedot

Jännitteenjaolla, sekä sarjaan- ja rinnankytkennällä saadaan laskettua:

Jännitteenjaolla, sekä sarjaan- ja rinnankytkennällä saadaan laskettua: DEE-11000 Piiianalyysi Hajoitus 6 (ketaus) / viikko 8 4 Laske oheisen piiin jännite v g ännitteenjaolla, sekä sajaan- ja innankytkennällä saadaan laskettua: 5 U5 0 U s U s 80 5 15 1 1 1 1 1 1 1 0 40 16

Lisätiedot

SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA

SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA 1 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA txt-4 2017, Kimmo Silvonen Osa IV, 9.10.2017 1 Vaihtovirran teho ja kompleksinen teho Tasavirran tehon kaava pätee myös vaihtovirran ja vaihtojännitteen hetkellisarvoille,

Lisätiedot

Sähkötekniikka. NBIELS12 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014

Sähkötekniikka. NBIELS12 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 Sähkötekniikka NBIELS12 Vaihtosähköpiirit Jussi Hurri syksy 2014 1 1. VAIHTOSÄHKÖ, PERUSKÄSITTEITÄ AC = Alternating current Jatkossa puhutaan vaihtojännitteestä. Yhtä hyvin voitaisiin tarkastella vaihtovirtaa!

Lisätiedot

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen

S SÄHKÖTEKNIIKKA Kimmo Silvonen S-55.103 SÄHKÖTKNIIKKA 19.12.2002 Kimmo Silvonen Tentti: tehtävät 1,3,4,7,9 1. välikoe: tehtävät 1,2,3,4,5 2. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,10 Oletko muistanut vastata palautekyselyyn? Voit täyttää lomakkeen

Lisätiedot

Analogiapiirit III. Keskiviikko , klo , TS127. Jatkuva-aikaiset IC-suodattimet ja PLL-rakenteet

Analogiapiirit III. Keskiviikko , klo , TS127. Jatkuva-aikaiset IC-suodattimet ja PLL-rakenteet Oulun yliopisto Sähkötekniikan osasto Analogiapiirit III Harjoitus 8. Keskiviikko 5.2.2003, klo. 12.15-14.00, TS127. Jatkuva-aikaiset IC-suodattimet ja PLL-rakenteet 1. Mitoita kuvan 1 2. asteen G m -C

Lisätiedot

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen.

ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. ELEC-C6001 Sähköenergiatekniikka, laskuharjoitukset oppikirjan lukuun 10 liittyen. X.X.2015 Tehtävä 1 Bipolaaritransistoria käytetään alla olevan kuvan mukaisessa kytkennässä, jossa V CC = 40 V ja kuormavastus

Lisätiedot

ELEC C4210 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Kimmo Silvonen

ELEC C4210 SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA Kimmo Silvonen 2. välikoe.2.207. Saat vastata vain neljään tehtävään!. aske jännite u 2 (t) ajan t 4 t kuluttua kytkimen sulkemisesta. 9 V S 50 Ω, 00 Ω, 50 Ω. t 0 {}}{{}}{ S t 0 u u 2 (t) 2. aske jännite U yhden millivoltin

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0007 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A000 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2..205 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x x 2 =

Lisätiedot

SATE1050 PIIRIANALYYSI II / MAARIT VESAPUISTO: APLAC, MATLAB JA SIMULINK -HARJOITUSTYÖ / SYKSY 2015

SATE1050 PIIRIANALYYSI II / MAARIT VESAPUISTO: APLAC, MATLAB JA SIMULINK -HARJOITUSTYÖ / SYKSY 2015 1 SAT1050 PANAYYS / MAAT VSAPUSTO: APA, MATAB JA SMUNK -HAJOTUSTYÖ / SYKSY 2015 Harjoitustyön tarkoituksena on ensisijaisesti tutustua Aplac-, Matab ja Simulink simulointiohjelmistojen ominaisuuksiin ja

Lisätiedot