Kompleksianalyysi. Jukka Kemppainen. Mathematics Division
|
|
- Noora Nurminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kompleksianalyysi Jukka Kemppainen Mathematics Division
2 Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Integrointi 5. Sarjat 6. Residylaskentaa 7. Diskreetti systeemi 2 / 43
3 Kompleksiluvut C Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (x,y) R 2 joukkona, jolle on määritelty Yhtäsuuruus: (x,y) = (u,v) x = u jay = v. Yhteenlasku: (x,y) +(u,v) = (x + u,y + v). Kertolasku: (x,y) (u,v) = (x,y)(u,v) = (xu yv,xv + yu). Kompleksilukua (0,1) merkitään symbolilla i, jota käytetään nimitystä imaginaariyksikkö. Jokainen kompleksiluku z merk. = (x, y) voidaan kirjoittaa muodossa z = x + iy. 3 / 43
4 Kompleksilujen laskutoimitukset Huomautus 1 Kun laskutoimitukset on määritelty kuten edellä, voidaan osoittaa, että reaalilukujen tutut laskusäännöt pätevät myös kompleksiluvuille. Esimerkiksi (z 1 + z 2 )+z 3 = z 1 +(z 2 + z 3 ) ja (z 1 z 2 )z 3 = z 1 (z 2 z 3 ) kaikille kompleksiluvuille z 1,z 2 ja z 3 (summan ja tulon liitännäisyys) z + w = w + z ja zw = wz kaikille kompleksiluvuille z ja w (vaihdannaisuus). Huomautus 2 Nyrkkisääntönä voidaan todeta, että kompleksiluvuilla lasketaan kuten reaaliluvuilla, kunhan huomioidaan, että i 2 = 1. 4 / 43
5 Terminologiaa Kompleksiluvun z = x + iy konjugaatti (liittoluku): z = x iy reaaliosa: Re z = x imaginaariosa: Im z = y itseisarvo (pituus): z = + x 2 + y 2, missä +-merkki ilmoittaa, että kyseessä on positiivinen neliöjuuri (kompleksiluvun juuri määritellään myöhemmin). käänteisluku: Kompleksiluvun z 0 käänteisluku z 1 = 1 z on yhtälön zw = 1 ratkaisu w. 5 / 43
6 Kompleksikonjugaatti geometrisesti 2 z = 2+i z = 2 i 2 Kompleksiluvun konjugaatti saadaan peilaamalla luku reaaliakselin suhteen, jolloin reaaliosa säilyy samana ja imaginaariosa muuttuu vastaluvukseen. 6 / 43
7 Kompleksikonjugaatti geometrisesti Kuten edellä olevasta kuvasta näkyy, vastaa kompleksikonjugaatin ottaminen kompleksiluvun z = x + iy (tai yhtälailla sitä vastaavan paikkavektorin (x, y)) peilaamista reaaliakselin (x-akselin) suhteen. 7 / 43
8 Konjugaatin ominaisuuksia Lause 1 Kompleksikonjugaatilla on seuraavat ominaisuudet z = z; z = z z R; z + z = 2Re(z); z z = 2iIm(z); zz = Re(z) 2 + Im(z) 2 ; z + w = z + w; zw = z w. 8 / 43
9 Itseisarvon ominaisuuksia Lause 2 Kompleksiluvun z itseisarvolle pätee z 0 (joten pituus-sana on järkevä), z = z (pituus säilyy konjugoinnissa), zw = z w (tulon pituus on pituuksien tulo), Rez z, Imz z, zz = z 2, z w z + w z + w (kolmioepäyhtälö). 9 / 43
10 Kompleksilukujen erotus ja osamäärä Esim. 1 Osoita, että kompleksiluvun z = x + iy 0 käänteisluku on z 1 x = x 2 + y 2 + i y x 2 + y 2. Nyt voidaan määritellä puuttuvat kaksi peruslaskutoimitusta, jotka ovat z,w C Vähennyslasku: z w := z +( w). Lukua z w sanotaan lukujen z ja w erotukseksi. Jakolasku: z w := zw 1, kun w 0. Lukua z w sanotaan lukujen z ja w osamääräksi. 10 / 43
11 Yksikköympyrä Havainnollistamisessa ja muutenkin kompleksiluvuilla laskemisessa on avuksi peruskurssilta tuttu yksikköympyrä. Tarkastellaan kompleksilukua z = x + iy, jolle x 2 + y 2 = 1, eli kyseessä on yksikköympyrällä oleva R 2 :n piste (vektori) (x,y). Siirtymällä napakoordinaatteihin voidaan x- ja y-koordinaatit kirjoittaa muodossa x = cos α ja y = sin α, missä α on pisteen (vektorin) (x,y) ja positiivisen x-akselin välinen vaihekulma. 11 / 43
12 Yksikköympyrä y α cosα sinα 1 x Esimerkissä kulma α on 30 (π/6 radiaania). Kulman α sini, joka on punaisen viivan pituus, on sinα = 1/2. Pythagoraan lauseen mukaan cos 2 α+sin 2 α = 1. Näin ollen sinisen viivan pituus, joka on kulman α kosini, on cosα = 1 1/4 = / 43
13 Kompleksiluvun napakoordinaattiesitys ja argumentti Siirtymällä napakoordinaatteihin x = r cosθ ja y = r sinθ saadaan kompleksiluvulle z = x + iy 0 napakoordinaattiesitys z = r(cosθ+isinθ), missä r = z ja vaihekulma θ on yhtälöparin { cosθ = x r, sinθ = y r, (1) ratkaisu. Yhtälöparista (1) saatavaa lukua θ sanotaan kompleksiluvun z argumentiksi ja merkitään θ = arg z. 13 / 43
14 Kompleksilukujen tulon ja osamäärän napakoordinaattiesitys Esim. 2 Määrää kompleksilukujen z ja w tulon ja osamäärän napakoordinaattiesitykset. Käytä hyväksi sinin ja kosinin yhteenlaskukaavoja sin(α±β) = sinαcosβ ± cosαsinβ, cos(α±β) = cosαcosβ sinαsinβ. 14 / 43
15 Argumentin ominaisuuksia Argumentti arg z on määritelty vain luvuille z 0. Koska sini ja kosini ovat 2π-jaksollisia funktioita, on kompleksiluvun argumentilla äärettömän monta arvoa. Välille ] π, π] kiinnitettyä vaihekulmaa Θ sanotaan argumentin pääarvoksi ja merkitään Θ = Arg z. Argumentin arg z ja argumentin pääarvon Arg z välillä on yhteys jollekin k Z. Esim. 3 arg z = Arg z + 2kπ Määrää kompleksiluvun tulon ja osamäärän argumentin pääarvo. Huomautus 3 Argumentin pääarvon määräämisessä kannattaa hyödyntää yksikköympyrää. 15 / 43
16 Laskutoimitukset geometrisesti Kompleksilukujen peruslaskutoimituksia kannattaa havainnollistaa geometrisesti. Geometrisessa havainnollistamisessa on suureksi hyödyksi napakoordinaattiesitys. 16 / 43
17 Kompleksilukujen summa geometrisesti 3 2 z + w = 3+2i w = 1+i 1 z = 2+i Kompleksilukujen summa saadaan laskemalla reaaliosat yhteen ja imaginaariosat yhteen. Tässä esimerkissä z + w = (2+i)+(1+i) = (2+1)+(1+1)i = 3+2i. 17 / 43
18 Kompleksilukujen summa geometrisesti Kuten kuvasta näkyy, vastaa kompleksilukujen z = x + iy ja w = u + iv (tai yhtälailla niitä edustavien paikkavektoreiden (x, y) ja (u, v)) summa z + w geometrisesti lukujen z ja w määräämän suunnikkaan lävistäjän määräämistä. 18 / 43
19 Kompleksilukujen tulo geometrisesti zw = 1+3i 3 2 w = 1+i z = 2+i 1 γ β α Kompleksilukujen z = 2+i ja w = 1+i tulo on zw = (2+i)(1+i) = i+i 1+i 2 = 1+3i. Tulon argumentti on argumenttien summa (2π:n monikertaa vaille) arg zw = γ = α+β = argz + argw ja pituus zw on pituuksien z ja w tulo zw = z w. 19 / 43
20 Kompleksilukujen tulo geometrisesti Kuten kuvastakin nähdään, vastaa kompleksiluvun z kertominen luvulla w pituuden venyttämistä, jos w > 1, ja kutistamista, jos w < 1, kompleksiluvun z kiertämistä vastapäivään kulman argw verran. 20 / 43
21 Kompleksilukujen osamäärä geometrisesti 3 z = 1+3i 2 z w = 1+i w = 2+i 1 α β γ Kompleksilukujen z = 1 + 3i ja w = 1 + i osamäärä on z w = zw ww = 1 2 (2+i)(1 i) = 2+i. Osamäärän argumentti on argumenttien erotus (2π:n monikertaa vaille) arg z w = γ = α β = argz argw ja pituus z w on pituuksien z ja w osamäärä z w = z w. 21 / 43
22 Osamäärä geometrisesti Kompleksiluvun z jakaminen luvulla w vastaa geometrisesti pituuden z venyttämistä, jos w < 1, ja kutistamista, jos w > 1, kiertoa myötäpäivään kulman argw verran. 22 / 43
23 Kompleksiluvun kokonaislukupotenssi Määritellään kompleksiluvun kokonaislukupotenssi induktiivisesti asettamalla Määr. 1 z 0 = 1 kaikilla kompleksiluvuilla z 0, z 1 = z kaikilla z C, z n = z n 1 z kaikilla n Z + ja z C, z n = 1/z n kaikilla z 0 ja n Z + (negatiivinen potenssi on positiivisen potenssin käänteisluku). 23 / 43
24 Kompleksiluvun kokonaislukupotenssi Määritelmästä 1 saadaan induktiolla tutut potenssien laskusäännöt. Lause 3 Kaikilla m,n Z ja 0 z,w C pätee z m z n = z m+n, (z m ) n = z mn, z m /z n = z m n, (zw) n = z n w n, (z/w) n = z n /w n. Huomautus 4 Laskutoimituksissa kannattaa hyödyntää napakoordinaattiesitystä. 24 / 43
25 Potenssin napakoordinaattiesitys Induktiolla Esimerkistä 2 saadaan potenssin napakoordinaattiesitys z n = r n (cos nθ + isin nθ), (2) missä r = z ja θ = arg(z). Valitsemalla r = 1 saadaan kaavasta (2) De Moivre n kaava (cosθ + isinθ) n = cos nθ + isin nθ. Kaavasta (2) saattaa näyttää siltä, että arg z n = narg z, mutta yleisesti arg z n = n arg z + 2kπ, k Z kuten Esimerkissä 3 nähtiin tapauksessa n = / 43
26 Kompleksiluvun juuri Määr. 2 Olkoot n > 1 kokonaisluku ja w C. Jos on olemassa sellainen z C, että z n = w, niin lukua z sanotaan luvun w n:s juureksi ja merkitään z = w 1/n tai z = n w. Jos w = 0, niin z = 0 on ainoa (kertalukua n oleva) juuri. Jos taas w 0, niin siirtymällä napakoordinaatteihin nähdään, että luvulla w on n erisuurta juurta z k = r 1/n (cos(θ/n+ k2π/n)+ isin(θ/n+k2π/n)), missä k = 0,1,...,n 1, r = w ja θ = arg w. 26 / 43
27 Komleksiluvun juuri Valitsemalla edellä erityisesti k = 0, saadaan z 0 = r 1/n (cos(θ/n)+isin(θ/n)), jota sanotaan n:s juuren pääarvoksi. Esim. 4 Määrää ykkösen kuutiojuuret eli yhtälön z 3 = 1 (kaikki) ratkaisut. Kirjoita ratkaisut muodossa z = x + iy. 27 / 43
28 Kompleksiluvun murtopotenssi Esitetään seuraavaksi määritelmä kompleksiluvun potenssille, kun eksponentti on murtoluku m/n. Määr. 3 Olkoot m Z ja n > 1 kokonaisluku. Kompleksiluvun z 0 potenssi z m/n määritellään asettamalla z m/n = (z 1/n ) m = ( n z) m, missä oikea puoli tarkoittaa joukon n z alkioiden m:s potensseja. Määritelmästä 2 seuraa, että yleisesti potenssi z m/n saa n erisuurta arvoa z k, jolle z k = r m/n ja arg z k = m n θ + 2km n π, missä k = 0,1,...,n 1, r = z ja θ = arg z. 28 / 43
29 Kompleksiluvun murtopotenssi Koska murtopotenssi voi saada useita arvoja, kannattaa murtopotenssin kanssa olla tarkkana. Yleisesti z m/n = z m /n, missä m /n on m/n supistetussa muodossa. ( n z) m n z m, n z n w n zw, n z + n z 2 n z, missä molemmat puolet tulkitaan joukkoina. Esim. 5 Osoita, että 1 1 = ( 1) 2 ja Päteekö yhtäsuuruus pääarvoille? 29 / 43
30 Kompleksinen eksponentti Määritellään kompleksinen eksponentti, kun kantalukuna on Neperin luku e. Määr. 4 Jokaisella kompleksiluvulla z = x + iy asetetaan e z = e x+iy = e x (cos y + isin y). Erityisesti, kun y = 0, antaa Määritelmä 4 reaalisen eksponentin e x. Jos taas valitaan x = 0, saadaan Eulerin kaava e iy = cos y + isin y. 30 / 43
31 Kompleksisen eksponentin ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että Määritelmän 4 mukainen e z toteuttaa kaikki reaalisen eksponentin laskusäännöt. Lause 4 Kompleksiselle eksponentille pätee e 2kπi = 1, k Z. Erityisesti e 0 = 1. e z e w = e z+w. e z = 1/e z. e z /e w = e z w. e z = e x, arg e z = y + 2kπ, k Z. e z 0 kaikilla z C. e z+2kπi = e z kaikilla k Z. (e z ) n = e nz, n Z. 31 / 43
32 Eksponenttiesitys Eulerin kaavasta ja kompleksiluvun napakoordinaattiesityksestä saadaan kompleksiluvun eksponenttiesitys z = re iθ missä r = z ja θ = arg z. Eksponenttiesitys on erityisen kätevä laskutoimitusten havainnollistamisessa ja ominaisuuksien perustelemisessa. Kannattaa käydä esimerkiksi aiemmin esitettyjen tulon ja osamäärän geometrinen vaikutus sekä (murto)potenssi ja juuri läpi eksponenttiesityksen avulla. 32 / 43
33 Vaihtovirtapiirit Tarkastellaan kompleksianalyysin sovelluksena yksinkertaisten vaihtovirtapiirien analysointia. Palautetaan mieliin rinnan ja sarjaan kytkettyjen sähkövastusten yhteisen reistanssin laskukaavat tasavirtapiirissä. 33 / 43
34 Resistanssin laskukaavat Rinnankytkentä Sarjaankytkentä R 1 R 1 R 2 R 2 1 R = 1 R R 2 R = R 1 + R 2 Kaavat saadaan Ohmin laista U = RI ja Kirchhoffin virtalaista. 34 / 43
35 Jännitehäviöt vastukselle, käämille ja kondensaattorille Ohmin lain mukaan U = RI, missä R on vastus, U jännite ja I on virta. Jos U on jännite ja I virta käämissä, jonka induktanssi on L, niin U = L di dt. Kondensaattorissa, jonka kapasitanssi on C, on U = 1 C t I(s)ds + U(0) / 43
36 Jännitehäviöt vaihtovirtapiirissä Oletetaan nyt, että ao. piirissä on sinimuotoinen virta, I(t) = I 0 cosωt(= I 0 sin(ωt + π 2 )). Kuva 1 : RLC-piiri Jännitehäviöt vastukselle, käämille ja kondensaattorille ovat U R = RI 0 cosωt U L = ωli 0 sinωt U C = 1 ωc I 0 sinωt + U C (0). (3) 36 / 43
37 Kompleksinen esitys Virran I(t) = I 0 cosωt sijasta kirjoitetaan Ĩ(t) = I 0e iωt jolloin fysikaalinen virranvoimakkuus on Re(Ĩ(t)). Kaavat (3) saavat muodon Ũ R = RĨ Ũ L = iωlĩ (4) Ũ C = 1 iωc Ĩ + vakio, josta reaaliosille saadaan ReŨR = RI 0 cosωt = U R, ReŨL = ωli 0 sinωt = U L, ReŨC = 1 ωc I 0 sinωt + U C (0) = U C, kuten pitääkin 37 / 43
38 Kompleksinen impedanssi Jos (4):ssa oletetaan vakio nollaksi, niin kaikki ovat muotoa Ũ = ZĨ, (5) 1 missä Z on R tai iωl tai iωc = i 1 ωc. Lukua Z sanotaan (kompleksiseksi) impedanssiksi. Impedanssi on suure, joka virtapiirin vaihtovirralle aiheuttamaa vastusta. Yleisesti impedanssi Z on (kulma)taajuuden funktio Z = Z(ω). Taajuutta ω, jolla impedanssin imaginaariosa häviää eli ImZ = 0, sanotaan resonanssitaajuudeksi. 38 / 43
39 Kompleksinen impedanssi, esimerkki Kuvan 1 piirin jännitteeksi saadaan Ũ = ŨR + ŨL + ŨC = [R + i(ωl 1 ωc )]Ĩ, joten piirin (kompleksinen) impedanssi on Z = R + i(ωl 1 ωc ). Piirin resonanssitaajuudeksi saadaan ωl 1 ωc = 0 ω = 1 LC. 39 / 43
40 Impedanssin laskusäännöt Rinnankytkentä Sarjaankytkentä Z 1 Z 1 Z 2 Z 2 1 Z = 1 Z Z 2 Z = Z 1 + Z 2 Impedanssille pätee täsmälleen samat laskukaavat kuin tasavirtapiirin resistanssille. 40 / 43
41 Kokonaisimpedanssin laskeminen Jos piirissä esiintyy sekä sarjan- että rinnankytkentää, saadaan kokonaisimpedanssi osakytkentöjen impedanssien avulla. Tarkastellaan esimerkkiä. 41 / 43
42 Kokonaisimpedanssin laskeminen, esimerkki Z 1 Z 3 Z 2 1 Z = 1 Z Z 2 Piirin punaisessa osassa on rinnankytkentä, jonka impedanssiksi saadaan Z = Z 1Z 2 Z 1 +Z 2. Punainen osa muodostaa yhdessä mustan osan kanssa sarjaankytkennän, joten piirin kokonaisimpedanssiksi Z T saadaan Z T = Z + Z 3 = Z 1Z 2 + Z 3. Z 1 + Z 2 42 / 43
43 Esimerkki Esim. 6 Laske alla olevan piirin jännite ja resonanssitaajuus. Vihje: Käytä kompleksista virtaa Ĩ(t) = eiωt, kaavaa (5) ja impedanssin laskusääntöjä. Fysikaalinen jännite on U(t) = ReŨ(t). 43 / 43
1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Kompleksiluvut Riikka Korte (muokannut Riikka Kangaslammen materiaalin pohjalta) Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.11.2015 1 /
Lisätiedoty z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2
Kompleksiluvut. Määritelmä Tarkastellaan euklidista tasoa R = {(, y), y R}. y y z = (, y) R Kuva : Euklidinen taso R Suorakulmaisessa koordinaatistossa on -akseli ja y-akseli. Luvut ja y ovat pisteen z
Lisätiedot1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa
1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotKompleksiluvut 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut
Kompleksiluvut 1/6 Sisältö Kompleksitaso Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien
LisätiedotAnalyysi I. Visa Latvala. 3. joulukuuta 2004
Analyysi I Visa Latvala 3. joulukuuta 004 95 Sisältö 6 Kompleksiluvut 96 6.1 Yhteen- ja kertolasku.............................. 96 6. Napakoordinaattiesitys............................. 10 96 6 Kompleksiluvut
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n.
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 8.9.015 Reaalinen
LisätiedotMatriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa
Matriisilaskenta Luento 10: Polaarimuoto ja kompleksilukujen geometriaa Antti Rasila 2016 Polaarimuoto Kuvasta nähdään: { x = r cos θ, y = r sin θ. Siis z = x + iy = r cos θ + ir sin θ. Saadaan kompleksiluvun
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotKompleksiluvut. JYM, Syksy /99
Kompleksiluvut JYM, Syksy 2014 1/99 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotVII. KOMPLEKSILUVUT. VII.1. Laskutoimitukset
VII. KOMPLEKSILUVUT Kompleksilukujen joukko on VII.1. Laskutoimitukset C = {(x, y x R ja y R} ; siis joukkona C = taso R 2. Kun z = (x, y C, niin x R on z:n reaaliosa ja y R imaginaariosa, merkitään x
Lisätiedot1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.
BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i
LisätiedotKompleksianalyysi Funktiot
Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSIN KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Kompleksiluvuista Kaksiulotteinen reaalinen vektoriavaruus R 2 koostuu lukupareista (x 1, x 2 ), missä x 1 ja x 2 ovat reaalilukuja, eli R 2
LisätiedotSisältö. 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi
Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi Kompleksiluvut C Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (a, b)
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
Lisätiedot6. Kompleksiluvut. Kompleksilukuja esiintyy usein polynomiyhtälöiden ratkaisuina. Esim:
6. Kompleksiluvut Yhtälöllä x = 1 ei ole reaalilukuratkaisua: tarvitaan uusia lukuja. Kompleksiluku on kahden reaaliluvun järjesteby "pari" (x,y): Z = x +iy Missä i on imaginääriyksikkö, jolla on ominaisuus
LisätiedotKOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut
KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen
LisätiedotTämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. { (a, b) a, b œ R }
7 Kompleksiluvut Tämän luvun tarkoituksena on antaa perustaidot kompleksiluvuilla laskemiseen sekä niiden geometriseen tulkintaan. 7.1 Kompleksilukujen määritelmä Määritelmä 7.1.1. Kompleksilukujen joukko
LisätiedotPERUSASIOITA ALGEBRASTA
PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen
Lisätiedot2. Kompleksiluvut. 2A. Kompleksilukujen konstruktio
2 Kompleksiluvut 2A Kompleksilukujen konstruktio Kompleksiluvut ovat syntyneet reaaliluvuista luonnollisen tarpeen myötä: kaikilla epätriviaaleilla polynomiyhtälöillä, kuten yhtälöllä z 2 +1 = 0, ei ole
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2
Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα
Lisätiedot(a, 0) + (c, 0) = (a + c, 0)
. Kompleksiluvut Kompleksiluvut C saadaan varustamalla taso R komponenteittaisella yhteenlaskulla (Esimerkki.3 (b)) ja kertolaskulla, joka määritellään asettamalla Huomaa, että ja (a, b)(c, d) =(ac bd,
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
Vaihtosähkö SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Sinimuotoiset suureet Tehollisarvo Sinimuotoinen vaihtosähkö & passiiviset piirikomponentit Käydään läpi, mistä sinimuotoiset jännite ja virta ovat peräisin. Näytetään,
LisätiedotKompleksilukujen alkeet
Kompleksilukuje alkeet Samuli Reuae Soja Kouva Kuva 1: Abraham De Moivre (1667-175) Sisältö 1 Kompleksiluvut ja kompleksitaso 1.1 Yhtee- ja väheyslasku...................... 1. Kertolasku ja z = x + yi
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA. Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien
SMG-100: SÄHKÖTEKNIIKKA Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Osoitin Trigonometrinen muoto Polaarimuoto Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset Viime luennolla esitettiin, että
LisätiedotLuku 13. Vaihtovirrat Sinimuotoinen vaihtojännite
Luku 13 Vaihtovirrat 13.1 Sinimuotoinen vaihtojännite Vaihtojännitegeneraattorin toimintaperiaate on esitetty kappaleessa 10.7. Sen perusteella homogeenisessa magneettikentässä pyörivään johdinsilmukkaan
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotKompleksilukujen kunnan konstruointi
Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa Mathematican
Lisätiedot14.1 Tasavirtapiirit ja Kirchhoffin lait R 1. I 1 I 3 liitos + - R 2. silmukka. Kuva 14.1: Liitoksen, haaran ja silmukan määrittely virtapiirissä.
Luku 14 Lineaaripiirit Lineaaripiireillä ymmärretään verkkoja, joiden jokaisessa haarassa jännite on verrannollinen virtaan, ts. Ohmin laki on voimassa. Lineaariset piirit voivat siis sisältää jännitelähteitä,
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin
LisätiedotC = {(x,y) x,y R} joiden joukossa on määritelty yhteen- ja kertolasku seuraavasti
Vaasan yliopiston julkaisuja 189 9 OMINAISARVOTEHTÄVÄ Ch:EigSystem Sec:CMatrix 9.1 Kompleksinen lineaariavaruus 9.1.1 Kompleksiluvut Pian tulemme tarvitsemaan kompleksisen lineaariavaruuden alkeita. Tätä
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkön teho kompleksinen teho S pätöteho P loisteho Q näennäisteho S Käydään läpi sinimuotoisiin sähkösuureisiin liittyviä tehotermejä. Määritellään kompleksinen teho, jonka
LisätiedotMatriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37
Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 - Ratkaisut / vko 37 Tehtävä 1: Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotSähkötekniikka ja elektroniikka
Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Vaihtovirta ja osoitinlaskenta Luento Sinimuotoinen virta ja jännite Tehollisarvo, huippuarvo, vaihekulma Ajan vai taajuuden funktiona? Viime viikon kytkentäilmiöt
LisätiedotKuva 1: Vaihtovirtapiiri, jossa on sarjaan kytkettynä resistanssi, kapasitanssi ja induktanssi
31 VAIHTOVIRTAPIIRI 311 Lineaarisen vaihtovirtapiirin impedanssi ja vaihe-ero Tarkastellaan kuvan 1 mukaista vaihtovirtapiiriä, jossa on resistanssi R, kapasitanssi C ja induktanssi L sarjassa Jännitelähde
LisätiedotKompleksianalyysi viikko 3
Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
LisätiedotKompleksiluvut Kompleksitaso
. Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen
LisätiedotOlkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x 1 ja x 2 on voimassa ehto:
4 Reaalifunktiot 4. Funktion monotonisuus Olkoon funktion f määrittelyjoukkona reaalilukuväli (erityistapauksena R). Jos kaikilla määrittelyjoukon luvuilla x ja x on voimassa ehto: "jos x < x, niin f (x
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
LisätiedotR = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1
Fysiikan mittausmenetelmät I syksy 206 Laskuharjoitus 4. Merkitään kaapelin resistanssin ja kuormaksi kytketyn piirin sisäänmenoimpedanssia summana R 000.2 Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen
LisätiedotRCL-vihtovirtapiiri: resonanssi
CL-vihtovirtapiiri: resonanssi Olkoon tarkastelun kohteena tavallinen LC-vaihtovirtapiiri. Piirissä on kolme komponenttia, ohmin vastus, L henryn induktanssi ja C faradin kapasitanssi. Piiriin syötettyyn
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotSinimuotoinen vaihtosähkö ja siihen liittyviä käsitteitä ja suureita. Sinimuotoisten suureiden esittäminen osoittimilla
LIITE I Vaihtosähkön perusteet Vaihtojännitteeksi kutsutaan jännitettä, jonka suunta vaihtelee. Vaihtojännite on valittuun suuntaan nähden vuorotellen positiivinen ja negatiivinen. Samalla tavalla määritellään
LisätiedotSisältö MONISTEESTA...2 KOMPLEKSILUVUT...4 JOHDANNOKSI...4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA...4 HUOMAUTUS...8 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY...5 ARGUMENTTI...
Sisältö MONISTEESTA KOMPLEKSILUVUT4 JOHDANNOKSI4 KERTAUSTA LUKUJOUKOISTA 4 HUOMAUTUS5 KOMPLEKSILUKUJEN MÄÄRITTELY 5 HUOMAUTUS8 ARGUMENTTI 9 KOMPLEKSILUVUN ITSEISARVO9 LIITTOLUKU 0 VASTALUKU KOMPLEKSILUKUJEN
LisätiedotTehtävä 2. Osoita, että seuraavat luvut ovat algebrallisia etsimällä jokin kokonaislukukertoiminen yhtälö jonka ne toteuttavat.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN syksy 017) HARJOITUS 6, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi Pellin yhtälön x Dy = 1 pienin positiivinen ratkaisu kun D {,, 5, 6, 7, 8, 10}. Ratkaisu 1. Tehtävässä annetuilla D:n arvoilla
LisätiedotSimo K. Kivelä. Kompleksiluvut. 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012
Simo K. Kivelä Kompleksiluvut 30.8.2009 Versio 1.01, 23.10.2012 c Simo K. Kivelä Tämän teoksen käyttöoikeutta koskee Creative Commons Nimeä-JaaSamoin 3.0 Muokkaamaton -lisenssi (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/deed.fi)
LisätiedotKompleksilukujen kunnan konstruointi
ckunta.nb Kompleksilukujen kunnan konstruointi Seuraava esitys osoittaa, miten kompleksilukujoukko voidaan määritellä tunnetuista reaalisista käsitteistä lähtien. Määrittelyjen jälkeen on helppoa osoittaa
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 5
Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa
LisätiedotHELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Matemaattis-luonnontieteellinen
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Esa
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia
Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotKompleksiluvut. Johdanto
Kompleksiluvut Johdato Tuomo Pirie tuomo.pirie@tut.fi Aikoje kuluessa o matematiikassa kohdattu tilateita, jolloi käytetyt määrittelyt ja rajoitukset (esimerkiksi käytetyt lukujoukot) eivät ole olleet
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 4
Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,
LisätiedotEsipuhe. Sirkka-Liisa Eriksson
3 Esipuhe Matematiikka tieteiden kuningatar ja palvelija on lukioihin ja ammattikorkeakouluihin suunnattuun koulukohtaiseen valinnaiseen syventävään kurssiin perustuva kirja. Kirjan tarkoituksena on kerrata
LisätiedotKolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Johanna Harju Kolmannen asteen yhtälön ratkaisukaava Matematiikan tilastotieteen laitos Matematiikka Heinäkuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan tilastotieteen
Lisätiedot1.1 Vektorit. MS-A0007 Matriisilaskenta. 1.1 Vektorit. 1.1 Vektorit. Reaalinen n-ulotteinen avaruus on joukko. x 1. R n. 1. Vektorit ja kompleksiluvut
ja kompleksiluvut ja kompleksiluvut 1.1 MS-A0007 Matriisilaskenta 1. ja kompleksiluvut Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 26.10.2015 Reaalinen
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 1 / vko 44
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko Tehtävä (L): Käynnistä Matlab-ohjelma ja kokeile laskea sillä muutama peruslaskutoimitus: laske jokin yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku. Laske
LisätiedotNELIÖJUURI. Neliöjuuren laskusääntöjä
NELIÖJUURI POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA2 Tarkoittaa positiivista tai nollaa Määritelmä, neliöjuuri: Luvun a R neliöjuuri, merkitään a, on se ei-negatiivinen luku, jonka neliö (eli toiseen potenssiin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
Lisätiedot2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division
2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =
LisätiedotJohdatus matematiikkaan
Johdatus matematiikkaan Luento 5 Mikko Salo 5.9.2017 The natural development of this work soon led the geometers in their studies to embrace imaginary as well as real values of the variable.... It came
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotKaikki tarpeellinen kompleksiluvuista
Solmu 1 Kaikki tarpeellinen kompleksiluvuista Matti Lehtinen Maanpuolustuskorkeakoulu Kompleksiluvut ovat poistumassa lukion matematiikan opetussunnitelmista Ne ovat kuitenkin keskeinen osa matematiikan
Lisätiedot1 Peruslaskuvalmiudet
1 Peruslaskuvalmiudet 11 Lukujoukot N {1,, 3, 4,} on luonnollisten lukujen joukko (0 mukana, jos tarvitaan), Z {, 3,, 1, 0, 1,, 3,} on kokonaislukujen joukko, Q m n : m, n Z, n 0 on rationaalilukujen joukko,
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Teho vaihtosähköpiireissä ja symmetriset kolmivaihejärjestelmät Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Kompleksinen teho S ja näennästeho S Loisteho
LisätiedotTRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT
TRIGONOMETRISET JA HYPERBOLISET FUNKTIOT ARI LEHTONEN. Trigonometriset funktiot.. Peruskaavat. tan x := sin x cos x, cos x cot x := sin x Anglosaksisissa maissa käytössä ovat myös funktiot sekantti sec
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
LisätiedotKompleksianalyysi I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi Kari Astala
Kompleksianalyysi I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2016 Kari Astala Teksti hyödyntää myös Pekka Niemisen ja Ritva Hurri-Syrjäsen aikaisempia muistiinpanoja. Kuvat:
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
Lisätiedot3.3 Funktion raja-arvo
3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotTrigonometriset funktiot
Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
LisätiedotSini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotReaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011
Toisen viikon luennot Reaaliluvuista. Yleistä funktio-oppia. Trigonometriset funktiot. Eksponentti- ja logaritmifunktiot. LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu paljolti lukion oppikirjoihin ja Trench in verkkokirjaan,
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotDeterminantti 1 / 30
1 / 30 on reaaliluku, joka on määritelty neliömatriiseille Determinantin avulla voidaan esimerkiksi selvittää, onko matriisi kääntyvä a voidaan käyttää käänteismatriisin määräämisessä ja siten lineaarisen
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotMat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT. Sisältö
Mat-1.433/443 Matematiikan peruskurssit K3/P3 syksy 2004 KOMPLEKSILUVUT JA -FUNKTIOT Sisältö Päivitetty 16. syyskuuta 2004 Johdanto ii 1. Kompleksiluvun määritelmä ja perusominaisuudet 1 1.1. Kompleksiluvun
Lisätiedot3. Kirjoita seuraavat joukot luettelemalla niiden alkiot, jos mahdollista. Onko jokin joukoista tyhjä joukko?
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät luentokalvoihin 1 14. Erityisesti esimerkistä 4 ja esimerkin
LisätiedotTehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Lisätiedot