SMG-1100 Piirianalyysi I, kesäkurssi, harjoitus 2(3) Tehtävien ratkaisuehdotukset

Transkriptio

1 SMG- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjitus (3) Tehtävien ratkaisuehdtukset 6 Tarkitus n laskea V ja eveninin ekvivalentin avulla Tämä tarkittaa sitä, että mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti vastuksen R napjen suhteen, eli pistetaan R (krvataan avimella haaralla) ja krvataan jäljelle jäävä kytkentä jännitelähteen E ja vastuksen R sarjaankytkennällä eveninin lähdejännite E n tarkasteltavien napjen välinen tyhjäkäyntijännite, ja eveninin resistanssi R n kytkennän kknaisresistanssi navista katsttuna Muutetaan V:n jännitelähde virtalähteeksi 4 Ω:n vastus tulee virtalähteen rinnalle, ja virtalähteen lähdevirraksi saadaan /4 A 5 A Lähdevirran suunta n ylöspäin, kska jännitelähdekin syöttää virtaa ylöspäin (plusnavasta khti miinusnapaa piirin kautta) Yhdistetään sitten rinnakkain levat Ω:n ja 4 Ω:n vastukset Yhdistetyksi reistanssiksi R saadaan 4 R Ω 8 Ω + 4 Myös A:n ja 5 A:n virtalähteet vat rinnakkain Rinnakkain levat virtalähteet vidaan Kirchhffin virtalain perusteella yhdistää summaamalla Kska mlemmat lähteet syöttävät virtaa ylöspäin, yhdistetyn virtalähteen ylöspäin syöttämäksi virraksi saadaan + 5 A 5 A Nyt siis kytkennässä n rinnakkain 5 A:n virtalähde (virta ylöspäin) ja 8 Ω:n vastus Tämän rinnankytkennän kanssa n sarjassa Ω:n vastus Muutetaan virtalähde jännitelähteeksi R tulee jännitelähteen kanssa sarjaan, ja lähdejännitteeksi E saadaan E 5 8 V V Jtta virran suunta säilyy muuttumattmana, lähteen plusnavan n ltava ylhäällä ja miinusnavan alhaalla Nyt R ja Ω vat sarjassa, jten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan R 8 + Ω Ω R Mudstettu eveninin ekvivalentti näyttää seuraavalta Palautetaan sitten R paikalleen ja lasketaan V ja : E E R + R, V R (i) R Ω A, V V (ii) R 6 Ω 75 A, V 45 V (iii) R 5 Ω 48 A, V 7 V (iv) R 3 Ω 3 A, V 9 V (v) R 7 Ω 5 A, V 5 V 64 Mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti napjen a ja b suhteen eveninin lähdejännite E n napjen a ja b välinen tyhjäkäyntijännite ja eveninin resistanssi R n kytkennän kknaisresistanssi navista a ja b katsttuna

2 Käytetään silmukkavirtamenetelmää E :n ratkaisemiseen Sijitetaan myötäpäivään kiertävät silmukkavirrat sekä ylempään ( ) että alempaan ( ) silmukkaan Silmukkavirta n suraan lähdevirta 6 A, ja alemmasta silmukasta saadaan ( ) A 8 Napjen a ja b väliseksi jännitteeksi E saadaan täten E V 56 V Lasketaan vielä navista a ja b katsttu kytkennän kknaisresistanssi R Pistetaan selvyyden vuksi kytkennän lähteet, eli krvataan virtalähde avimella haaralla ja jännitelähde iksululla Tällöin havaitaan, että Ω ja 6 Ω vat rinnakkain, ja 5 Ω n tähän rinnankytkennän kanssa sarjassa Navista näkyväksi kknaisresistanssiksi saadaan siis R Ω Ω Nrtnin ekvivalentissa alkuperäinen kytkentä krvataan tietyistä navista katsttuna vastuksen ja virtalähteen rinnankytkennällä Muunnetaan jännitelähde E virtalähteeksi Vastus R tulee virtalähteen rinnalle ja lähdevirraksi saadaan E/R 5/5 A 5 A Lähdevirran suunta n ylöspäin, kska myös jännitelähde E syöttää virtaa ylöspäin Nyt vastukset R ja R vat rinnakkain, jten yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan R R R 5 Ω 4 Ω R + R 5 + Virtalähteet ja J vat rinnakkain, jten ne vidaan yhdistää Kirchhffin virtalain njalla Kska mlemmat syöttävät virtaa ylöspäin, yhdistetyn virtalähteen lähdevirraksi J tt saadaan J tt + J A 8 A Muunnetaan mudstunut virtalähde takaisin jännitelähteeksi, jtta saadaan yhdistettyä vastukset R ja R 3 Virtalähteen J tt rinnalla leva R tulee jännitelähteen E tt kanssa sarjaan, ja lähdejännitteeksi saadaan E tt R J tt 4 8 V 3 V Nyt R ja R 3 vat sarjassa, jten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R tt saadaan R tt R + R Ω 8 Ω Nyt n mudstettu kytkennän evenin ekvivalentti Mutta kska kysyttiin Nrtnin ekvivalenttia, muunnetaan jännitelähde vielä virtalähteeksi Nrtnin lähdevirraksi J N ja resistanssiksi R N saadaan siis R Ett 3 Ω, J N Ω 4 A R 8 N Rtt 8 tt

3 74 Yleisesti sinimutiselle jännitteelle u(t) pätee u ( t ) uˆ sin ( t φ ) +, jssa û n jännitteen huippuarv, φ u n nllavaihekulma, ja n kulmataajuus, jka saadaan taajuudesta f lausekkeella u t 5sin t + π πf Tässä tehtävässä sinimutinen jännite nudattaa lauseketta Jännitteen tehllisarv U rms (rt-mean-square) määritellään lausekkeella u T U [ ] rms u( t) dt T, jssa T n yhteen sinin jaksn kuluva aika sekunneissa Sinin jaks (eli t) n radiaaneissa π, mutta yllä levaan integraaliin tarvitaan siis yhteen jaksn kuluva aika sekunneissa: T π T π Tarkasteltavan jännitteen tehllisarvksi saadaan: π 5sin ( π ) U rms t + dt π π 5 + 4π [ cs( t π )] dt π cs( x) sin ( x) 5 cs( t + π ) dt π cs( x) sin ( x) π / 5 t sin( t + π ) 4π 5 π π 5 π sin( + π ) sin( π ) 4π sin(6 π ) + sin( π ) 4π 5 π uˆ V (Yleisesti sinimutiselle jännitteelle pätee U rms ) 4π 4 75 Kndensaattri ja käämi vat rinnakkain Tästä vidaan päätellä, että kndensaattrin ja käämin yli n sama jännite Käämin virta i L (t) n annettu, jten lasketaan ensin käämin yli leva jännite u L (t): i ( t) 5sin( t) A L, L u t L L t L ( t ) L di ( t) 5 cs 5 cs V dt Kndensaattrin yli leva jännite u c (t) n siis sama kuin u L (t) Lasketaan kndensaattrin virta i c (t): ( ), c i t C C L t LC ( t ) u ( t) 5 L cs t V c 8 i a) φ c du ( t) ( 5 sin ) 5 sin A dt r φ re r csφ + j sinφ r csφ + jr sinφ 3

4 b) y y x + jy x + jy arctan x + y arctan x x j 3cs 55 + j3sin j j + 7 j c) d) j j5 ( 3 ) 7 + ( ) arctan ( 3 )( 7 j) j ( 5945 ) 84 ( )

5 86 5

6 87 Valitaan kytkennän vasempaan silmukkaan myötäpäivään kiertävä silmukkavirta ja ikeaan silmukkaan vastapäivään kiertävä silmukkavirta Silmukkavirtayhtälöpariksi saadaan tällöin j5 + + j5 + j j57 Ratkaistaan ratkaisemalla alemmasta yhtälöstä ja sijittamalla ylempään: + j57 ( j ) + j j57 j57) j57 Yllä levassa yhtälössä murtlauseke n lavennettu nimittäjän kmpleksiknjugaatilla, jtta nimittäjästä saadaan reaalinen ja jaklasku saadaan suritettua Tinen vaihteht lisi llut muuttaa murtlausekkeen termit plaarimutn Jka tapauksessa nyt saadaan: ( j ) ( 4 )( j57) ( + j57)( j57) j j68 + j j34 + j34 j 46 4 j j68 + j j j j56 cs 3 + jsin 3 + j j j j + j Silmukkavirraksi saadaan nyt: ( j ) A j j + j57 + j57 + j57 + j j j + j Kysytty virta n silmukkavirtjen summa: j3 A A 88 Ratkaistaan tehtävä slmupistemenetelmällä, mikä tarkittaa sitä, että ensin n selvitettävä kytkennästä löytyvien erisuurten ptentiaalien lukumäärä Kun kytkentä mukataan alla levaan mutn, humataan, että tuntemattmia ptentiaaleja löytyy klme kappaletta 6

7 Kun kytkennän alareunaan valitaan referenssiptentiaali V, ja kun ptentiaalit V ja V valitaan kuvan mukaisesti, Kirchhffin virtalain mukaisiksi slmupisteyhtälöiksi saadaan: V V V V j V V 533 j V V V V j V + j + V j4 4 j ( 4 j8)( 4 + j8) j V V j V V j8 3 3 V + j + V V + j V V 5V 533 5V V Kysyttiin impedanssin j4 Ω virtaa, jten kiinnstava ptentiaali n V Ratkaistaan V alemmasta yhtälöstä ja sijitetaan ylempään: V V V sij V 5V V 5V V 5V 533 j5 V 5V j5 V 533 V Täten kysytyksi virraksi saadaan V V j A 8 Vaihtsähköpiirien eveninin ekvivalentti mudstetaan täsmälleen samalla tavalla kuin tasasähköpiireillekin Kska ekvivalentti mudstetaan napjen a ja b suhteen, asetetaan navat tyhjäkäyntiin pistamalla impedanssi Z 4 7

8 Muunnetaan jännitelähde E virtalähteeksi J mpedanssi Z tulee virtalähteen rinnalle, ja lähdevirraksi J saadaan E 5 5 J A A A Z 5 + j J:n suunta n ylöspäin, kska myös jännitelähde E syöttää psitiivista virtaa ylöspäin mpedanssit Z ja Z vat nyt rinnakkain, jten niiden yhdistetyksi impedanssiksi Z saadaan: Z arctan Z Z 5 + cs 9 + sin j Z Z j Ω 5 Virtalähteet ja J vat rinnakkain, ja mlemmat syöttävät virtaa ylöspäin Kirchhffin virtalain perusteella yhdistetyn virtalähteen lähdevirta tt (virta ylöspäin) n tt + J A j j36 A Muunnetaan sitten virtalähde tt jännitelähteeksi E, jtta saadaan yhdistettyä impedanssit Z ja Z 3 Lähdejännitteeksi (plus ylhäällä) saadaan E Z tt V Z ja Z 3 vat sarjassa, jten niiden yhdistetyksi impedanssiksi Z saadaan Z Z + Z 3 8 j + j 8 Ω Nyt n mudstettu kytkennän eveninin ekvivalentti napjen a ja b suhteen Mititetaan vielä impedanssi Z 4 siten, että sen virta n /8 A: E Z Z E Z4 E Z Z + Z j ( 3 j3) 4 j4 Ω 8 8