. PROSENTTI JA GEOMETRINEN LUKUJONO. Prosenttikerroin LUO PERUSTA 0. a) 56 % = 0,56 b) 0, % = 0,00 c),9 % = 0,09 d) 0 % =, Vastaus: a) 0,56 b) 0,00 c) 0,09 d), 0. A: 00 % + 5 % = 05 % =,05 = 05. Vaihtoehdot III ja IV. 00 B: 00 % 5 % = 95 % = 0,95. Vaihtoehto II. 5 C: 5 % = 0,05 =. Vaihtoehtot I ja V. 00 D: 95 % = 0,95. Vaihtoehto II. E: 05 % =,05 = 05. Vaihtoehdot III ja IV. 00 Vastaus: A: III, IV, B: II, C: I, V, D: II, E: III, IV 0. a) Alkuperäistä lukua vastaa 00 %. Kun luku kasvaa 40 %, niin saatu luku on 00 % + 40 % = 40 % alkuperäisestä luvusta. Koska 40 % =,4, niin luku kerrotaan prosenttikertoimella,4.
b) Alkuperäistä lukua vastaa 00 %. Kun luku vähenee 0 %, niin saatu luku on 00 % 0 % = 70 % alkuperäisestä luvusta. Koska 70 % = 0,7, niin luku kerrotaan prosenttikertoimella 0,7. c) Alkuperäistä lukua vastaa 00 %. Kun luku kasvaa 5,5 %, niin saatu luku on 00 % + 5,5 % = 5,5 % alkuperäisestä luvusta. Koska 5,5 % =,55, niin luku kerrotaan prosenttikertoimella,55. Vastaus: a),4 b) 0,7 c),55 04. a) Kerrointa,7 vastaa prosenttiluku 70 %. Koska 70 % 00 % = 70 %, niin hinta on noussut 70 %. b) Kerrointa 0,6 vastaa prosenttiluku 60 %. Koska 00 % 60 % = 40 %, niin hinta on laskenut 40 %. c) Kerrointa 0, vastaa prosentti luku 0 %. Koska 00 % 0 % = 90 %, niin hinta on laskenut 90 %. d) Kerrointa,65 vastaa prosenttiluku 65, %. Koska 65, % 00 % = 65, %, niin hinta on noussut 65, %. Vastaus: a) nousee 70 % b) laskee 40 % c) laskee 90 % d) nousee 65, %
05. a) Toinen jäsen on 0 % suurempi kuin ensimmäinen, jolloin prosenttikerroin on 00 % + 0 % = 0 % =,. a =, 5 = 6 b) Toinen jäsen on 60 % pienempi kuin ensimmäinen, jolloin prosenttikerroin on 00 % 60 % = 40 % = 0,4. a = 0,4 5 = Vastaus: a), ja a = 6 b) 0,4 ja a = 06. a) 4 pistettä verrataan 5 pisteeseen, joten 4 0,8 80 %. 5 Koska 4 pistettä on 80 % 5 pisteestä, niin 4 pistettä on 0 % vähemmän kuin 5 pistettä. b) 5 pistettä verrataan 4 pisteeseen, joten 5,5 5 %. 4 Koska 5 pistettä on 5 % 4 pisteestä, niin 5 pistettä on 5 % enemmän kuin 4 pistettä. Vastaus: a) 0 % vähemmän b) 5 % enemmän
VAHVISTA OSAAMISTA 07. a) Alkuperäinen luku on 00 %, ja kun se kasvaa 00 %, niin uusi luku on 00 % + 00 % = 00 %. Alkuperäinen luku on kerrottava prosenttikertoimella. b) Alkuperäinen luku on 00 %, ja kun se kasvaa 50 %, niin uusi luku on 00 % + 50 % = 50 %. Alkuperäinen luku on kerrottava prosenttikertoimella,5. c) Alkuperäinen luku on 00 %, ja kun se vähenee 90 %, niin uusi luku on 00 % 90 % = 0 %. Alkuperäinen luku on kerrottava prosenttikertoimella 0,. Vastaus: a) b),5 c) 0, 08. a) Opiskelija käyttää oppitunnista opiskeluun 00 % 0 % = 80 %, jota vastaa prosenttikerroin 0,8. Oppitunnista jää opiskeluun aikaa 0,8 75 min = 60 min. b) Muuhun kuin opiskeluun kuluu yhdellä oppitunnilla 70 min 60 min = 5 min. Koko lukioajan oppitunneista kuluu aikaa muuhun kuin opiskeluun 75 8 5 min = 0 50 min. Aika tunteina on 050 7,5. 60 Vastaus: a) 60 min b) 7 h 0 min
09. a) Lasketaan, kuinka monta prosenttia kevytjuuston rasva on tavallisen juuston rasvasta. 7 g 0,586... 0,59 59 % 9 g Kevytjuustossa on siten 00 % 59 % = 4 % vähemmän rasvaa kuin tavallisessa juustossa. b) Lasketaan, kuinka monta prosenttia tavallisen juuston rasva on kevytjuuston rasvasta. 9 g,705...,7 = 7 % 7 g Tavallisessa juustossa on siten 7 % 00 % = 7 % enemmän rasvaa kuin kevytjuustossa. Vastaus: a) noin 4 % vähemmän b) noin 7 % enemmän 0. Koska jäsenten erotus on, niin aritmeettisen lukujonon jäsenet ovat, 5, 7, 9,... a) Lasketaan, kuinka monta prosenttia toinen jäsen on ensimmäisestä jäsenestä. 5,666...,67 67 % Toinen jäsen on 67 % 00 % = 67 % suurempi kuin ensimmäinen jäsen. b) Lasketaan, kuinka monta prosenttia kolmas jäsen on ensimmäisestä jäsenestä. 7,..., % Kolmas jäsen on % 00 % = % suurempi kuin ensimmäinen jäsen.
c) Lasketaan, kuinka monta prosenttia ensimmäinen jäsen on kolmannesta jäsenestä. 0,48... 0,4 4 % 7 Ensimmäinen jäsen on 00 % 4 % = 57 % pienempi kuin kolmas jäsen. Vastaus: a) n. 67 % suurempi c) n. 57 % pienempi b) n. % suurempi. a) Lukujen erotus on ) 4 6 4 4 4. b) Lasketaan, kuinka monta prosenttia luku on luvusta 4. : 4 4 00 % Luku on 00 % 00 % = 00 % suurempi kuin luku 4. Vastaus: a) 4 b) 00 %. Kun liuos on kylläinen, liuosta on 00 g + 5,7 g = 5,7 g. Lasketaan, kuinka monta prosenttia suolan määrä on koko liuoksen määrästä. 5,7 g 0,60... 0,6 6, % 5,7 g Vastaus: n. 6, %
. Osamaksulla maksettaessa hintaan lisätään avausmaksu ja kolme kertaa laskutuslisä, joten osamaksulla hinta on 6 + 9,90 +,95 = 8,75. Lasketaan, kuinka prosenttia osamaksulla maksettu hinta on käteismaksun hinnasta. 8,75,4..., %. 6 Osamaksulla hinta on % 00 % = % suurempi. Vastaus: n. % 4. Koska polttoaineen kulutus pienenee 5 %, niin uusi polttoaineen kulutus on 00 % 5 % = 85 % alkuperäisestä kulutuksesta. Uusi polttoaineen kulutus saadaan kertomalla alkuperäistä kulutusta 6,8 l / 00 km prosenttikertoimella 0,85. Uusi kulutus on 0,85 6,8 l / 00 km = 5,78 l / 00 km. Polttoaineen kulutus vuodessa on kilometrien määrä kerrottuna keskikulutuksella. Alkuperäinen kulutus on 6,8 l 5 000 km = 00 litraa. 00 km Uusi kulutus on 5, 78 l 5 000 km = 867 litraa. 00 km Kasvihuonepäästöjen määrä on kulutetun bensiinin määrä kerrottuna yhdestä litrasta syntyvän kasvihuonepäästöjen määrä. Alkuperäisestä kulutuksesta syntyvät kasvihuonepäästöt ovat 00 l,85 kg / l = 907 kg. Uudesta kulutuksesta syntyvät kasvihuonepäästöt ovat 867 l,85 kg / l = 470,95 kg.
Kasvihuonepäästöt vähenevät taloudellisessa ajotavalla 907 kg 470,95 kg = 46,05 kg 440 kg. Vastaus: n. 440 kg 5. a) Kolmessa vuodessa bonus kasvaa 5 = 5 prosenttiyksikköä, eli vakuutuksen hinta alenee 5 prosenttiyksikköä. b) Liikennevakuutuksen vuosimaksusta maksetaan nyt 45 % bonuksella 00 % 45 % = 55 %, joten vakuutusmaksu on 0,55 77,90 = 45,095 45,0. Kolmen vahingottoman vuoden jälkeen bonus on 45 % + 5 % = 60 %, jolloin maksettavaksi jää 40 % vuosimaksusta. 0,40 77,90 = 09,6 Lasketaan, kuinka monta prosenttia uusi vakuutusmaksu on aikaisemmasta vakuutusmaksusta. 09,6 0,77... 0,7 7 % 45,0 Vakuutuksen hinta kolmen vuoden jälkeen on noin 00 % 7 % = 7 % pienempi. Vastaus: a) 5 prosenttiyksikköä b) n. 7 % 6. a) Lasketaan, kuinka prosenttia puolueen äänimäärä muuttui edellisiin vaaleihin verrattuna. 550 000,085...,09 0,9 % 540 000 Koska puolueen äänimäärä oli 0,9 % edellisistä vaaleista, niin äänimäärä kasvoi noin 0,9 % 00 % =,9 %.
b) Lasketaan, kuinka monta prosenttia puolueen saama äänimäärä oli kaikista annetuista äänistä. 550 000 0,877... 8,77... % 90000 Edellisissä vaaleissa puolueen saama äänimäärä kaikista annetuista äänistä oli prosentteina 540 000 0,94... 9,4... % 80000. Muutos prosenttiyksikköinä 8,77... 9,4... = 0,77... 0,4 c) Annettujen äänien määrä kasvoi suhteellisesti (eli prosentteina) laskien enemmän kuin puolueen äänimäärä. Vastaus: a) kasvoi n.,9 %. b) väheni n. 0,4 prosenttiyksikköä. c) Annettujen äänien määrä kasvoi suhteellisesti (eli prosentteina) laskien enemmän kuin puolueen äänimäärä. 7. a) Yleinen verokanta: useimmat tavarat ja palvelut 4 % Alennettu verokanta: elintarvikkeet, rehu, ravintola- ja ateriapalvelut 4 % Alennettu verokanta: kirjat, lääkkeet, liikuntapalvelut, elokuvanäytökset, kulttuuri- ja viihdetilaisuuksien sisäänpääsy, henkilökuljetus, 0 % majoituspalvelut ja televisio- ja yleisradiotoiminnasta saadut korvaukset [Luettu 4.8.05] b) Merkitään puhelimen verotonta hintaa kirjaimella x. Kun verottomaan hintaan x lisätään 4 prosentin arvonlisävero, saadaan myyntihinta,4x. Ratkaistaan veroton hinta x yhtälöstä.,4x = 07,50 :,4 x 47,98 Arvonlisäveroton hinta on 47,98. Arvonlisävero on 07,50 47,98 = 59,5.
Merkitään lääkkeen verotonta hintaa kirjaimella y. Kun verottomaan hintaan y lisätään 0 prosentin arvonlisävero, saadaan myyntihinta,0y. Ratkaistaan veroton hinta y yhtälöstä,0y =,0.,0y =,0 :,0 y 0,09 Arvonlisäveroton hinta on 0,09. Arvonlisävero on,0 0,09 =,0. Vastaus: b) Puhelimen arvonlisäveroton hinta on 47,98 ja vero 59,5 (ALV 4 %). Lääkkeen arvonlisäveroton hinta on 0,09 ja vero,0 (ALV 0 %). 8. Merkitään kirjaimella x lisättävän suolan määrää grammoissa. Liuosta on tällöin yhteensä 500 + x (g). Suolan määrän suhde liuoksen määrään on 0,9 % = 0,009, joten ratkaistaan lisättävän suolan määrä yhtälön avulla. x 500 0,009 (500 ) x x x = 0,009(500 + x) x = 4,5 + 0,009x x 0,009x = 4,5 0,99x = 4,5 :0,99 x = 4,540... x 4,54 (g) Vastaus: n. 4,54 g
9. b) Vaihtoehto A: Tuotetta on muutoksen jälkeen, 00 ml = 60 ml. Koska 60 ml =,6 l, niin litrahinta on tällöin 5 57,69... /l 57,9 / l. 0,6 l Vaihtoehto B: Alennettu hinta on 0,7 5 = 0,50. Koska 00 ml = 0, l, niin litrahinta on tällöin 0,50 5,50 /l 0, l Mikäli tuotteen valmistuskustannukset ovat pakkauskoosta riippumattomia, niin valmistajalle edullisempi, eli tuottavampi on tapa A. Vastaus: b) kuluttajalle B, tuotteen valmistajalle A SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 0. Merkitään ostohintaa kirjaimella x. Kun ostohintaan lisätään myyntikate (00 % + 77,5 % = 77,5 % =,775), saadaan,775x. Myyntihinta voidaan nyt esittää yhtälönä,56 + 0,4 +,775x = 6,0. Ratkaistaan ostohinta x yhtälöstä.,56 + 0,4 +,775x = 6,0,775x =, :,775 x =,94... x,9 ( ) Myyntikate on 0,775,9 = 0,9... 0,9. Myyntikatteen osuus myyntihinnasta 0,9 0,50... 0,5 5 %. 6,0 Vastaus:,9 ja noin 5 %
. a) Liuoksessa on glukoosia 0, kg = 0,4 kg. Liuosta on yhteensä kg + kg = kg. Liuoksen glukoosipitoisuus on 0,4 kg kg 0,08 8%. b) Liuoksessa on glukoosia yhteensä 0,08 kg + 0,5 kg = 0,49 kg. Liuosta on yhteensä kg + 0,5 kg =,5 kg. Liuoksen glukoosipitoisuus on 0,49 kg 0,50... 0,5 5 %.,5 kg c) Liuoksessa on glukoosia yhteensä 0,05 kg + 0,07 kg = 0,9 kg. Liuosta yhteensä kg + kg = 5 kg. Liuoksen glykoosipitoisuus on 0,9 kg 5kg 0,058 5,8 % 6%. Vastaus: a) 8 % b) n. 5 % c) n. 6 %. Merkitään kiinteäkorkoisten sijoitusten vuosittaista prosenttikerrointa kirjaimella x. Sijoitusten vuosittainen kokonaisarvo voidaan esittää muodossa,050 500 + x 6800 = 5460 + 6800x. Koska sijoitusten kokonaisarvo nousi, %, sijoitusten kokonaisarvo oli,0 (500 + 6800) = 96. Ratkaistaan x yhtälöstä 5460 + 6800x = 96. 5460 + 6800x = 96 6800x = 96 5460 6800x = 696 : 6800 x 696 6800 x =,00 x = 0,0 %
Kiinteäkorkoisten sijoitusten vuosittainen korkoprosentti oli 0,0 % 00 % =,0 %. Vastaus: Korko oli,0 %. 0. Promille tarkoittaa tuhannesosaa, 0 = = 0,00. 0 litraa 000 Itämeren vettä sisältää suolaa 0,00 0 kg = 0, kg. Kun 0 litraan Itämeren vettä lisätään x litraa vettä, suolapitoisuus 0, määritetään lausekkeesta 0 x. 500 Makean veden suolapitoisuus on 500 ppm = 0, 0005 000 000. Lisättävän veden määrä voidaan ratkaista yhtälöstä 0,0 0 x 0,0005. 0,0 0 x 0,0005 0, = 0,0005(0 + x) 0, = 0,005 + 0,0005x 0,0005x = 0, 0,005 0,0005x = 0,095 :0,0005 0,095 x 0,0005 x = 90 Koska yhdessä sangossa on 0 litraa vettä, tarvitaan suolatonta sadevettä 90 9 sangollista. 0 Vastaus: 9 sangollista
4. Taulukoidaan viinirypäleiden ja rusinoiden paino, veden paino sekä kuiva-aineiden paino. Yhteensä Vettä Kuiva-aineet Viinirypäleet 00 kg 80 kg 0 kg Rusinat x 0,x 0,8x Kuiva-aineiden määrä ei muutu vettä haihduttaessa eli se on sama viinirypäleissä ja rusinoissa. Tästä saadaan yhtälö 0,8x = 0. Ratkaistaan yhtälöstä rusinoiden paino x. 0,8x = 0 : 0,8 x = 0 0,8 x = 5 (kg) Vettä on haihdutettava 00 kg 5 kg = 75 kg. Vastaus: 75 kg 5. Taulukoidaan uutuuspuhelimen myyntihinta, työvoimakustannukset, muut kulut ja myyntikate ennen ja jälkeen muutosten. Muut kulut saadaan, kun myyntihinnasta vähennetään työvoimakustannusten ja myyntikatteen osuus: 00 % 5 % 55 % = 40 %. Aluksi Lopuksi Myyntihinta 540 0,95 540 = 5 Työvoimakustannukset 0,05 540 = 7,005 7 = 7,5 Muut kulut 0,4 540 = 6 6 Myyntikate 0,55 540 = 97 5 7,5 6 = 69,865 Lasketaan, kuinka monta prosenttia myyntikate muutoksen jälkeen on alkuperäisestä myyntikatteesta. 69,865 0,9086... 0,909 90,9 % 97 Myyntikatetta on pienennettävä 00 % 90,9 % = 9, %. Vastaus: 9, %
6. Alennuksien prosenttikertoimet ovat 00% 0 % = 90 % = 0,9 00% 5 % = 85 % = 0,85 00% 0 % = 80 % = 0,8 00% 5 % = 75 % = 0,75. Kirjoitetaan alkuarvot soluihin A-A6. Soluun B kirjoitetaan =A 0.9 ja kopioidaan solua alaspäin. Soluun C kirjoitetaan =A 0.85 ja kopioidaan solua alaspäin. Soluun D kirjoitetaan =A 0.8 ja kopioidaan solua alaspäin. Soluun E kirjoitetaan =A 0.75 ja kopioidaan solua alaspäin.
. Prosentuaalisia muutoksia LUO PERUSTA 7. a) Ensimmäisen muutoksen prosenttikerroin on 00 % + 0 % = 0 % =,. Osallistujien lukumäärä ensimmäisen muutoksen jälkeen on,0 50 = 60. b) Toisen muutoksen prosenttikerroin on 00 % + 0 % = 0 % =,. Osallistujien lukumäärä toisen muutoksen jälkeen on, 60 = 66. Vastaus: a) 60 b) 66 8. a) Tuotteen hinta on ensimmäisen korotuksen jälkeen 00 % + 50 % = 50 % alkuperäisestä hinnasta. Hinta on ensimmäisen korotuksen jälkeen,5 0 = 0. Kun tuotteen 0 euron hintaa korotetaan uudelleen 50 %, on lopullinen hinta,5 0 = 45. Väite on väärin. Tuotteen lopullinen hinta on 45. b) Tuotteen hinta on ensimmäisen alennuksen jälkeen 00 % 50 % = 50 % alkuperäisestä hinnasta. Hinta on ensimmäisen alennuksen jälkeen 0,5 0 = 0. Kun tuotteen 0 euron hintaa alennetaan uudelleen 50 %, on lopullinen hinta 0,5 0 = 5. Lasketaan, kuinka monta prosenttia 5 euroa on 0 eurosta: 5 0,5 5 %. 0
Tuotteen hinta alennusten jälkeen on 5 % alkuperäisestä hinnasta, joten tuotteen hintaa on alentunut 00 % 5 % = 75 %. Väite on väärin. Tuotteen hinta alenee 75 %. Vastaus: a) Väite on väärin. Tuotteen lopullinen hinta on 45. b) Väite on väärin. Tuotteen hinta alenee 75 %. 9. a) Tuotteen hinta muutosten jälkeen on 0,8, 60 = 6,40. Tuotteen hinta nousi 60 eurosta 6,40 euroon, joten korotettu hinta on 6,40,04 04 % alkuperäisestä. 60 Tuotteen hintaa korotettiin kaikkiaan 04 % 00 % = 4 %. b) Tuotteen hinta muutosten jälkeen on, 0,7 60 = 50,40. Tuotteen hinta aleni 60 eurosta 50,40 euroon, joten alennettu hinta on 50,4 0,84 84 % alkuperäisestä. 60 Tuotteen hintaa alennettiin kaikkiaan 00 % 84 % = 6 %. Vastaus: a) nousi 4 % b) alenee 6 % 0. Merkitään kuukausipalkkaa ennen korotuksia kirjaimella x. Palkkaa korotusten jälkeen kuvaa lauseke,0,0 x =,00x, joten kuukausipalkka ennen korotuksia saadaan yhtälöstä,00x = 45,.,00x = 45, :,00 45, x 50, 00 Kuukausipalkka ennen korotuksia oli 50. Vastaus: Kuukausipalkka oli 50 euroa.
. Korkoprosentin prosenttikerroin on 00 % + % = 0 % =,0. a) Tilillä on rahaa vuoden kuluttua,0 500 = 50. b) Rahaa tilillä. vuoden jälkeen on,0 500. Rahaa tilillä. vuoden jälkeen on,0 (,0 500 ) =,0 500. Rahaa tilillä. vuoden jälkeen on,0 (,0 500 ) =,0 500. Rahaa tilillä 4. vuoden jälkeen on,0 (,0 4 500 ) =,0 4 500. Rahaa tilillä 5. vuoden jälkeen on,0 (,0 4 500 ) =,0 5 500 = 656,... 656,. Vastaus: a) 50 b) 656, VAHVISTA OSAAMISTA. a) Uusi hinta on kasvanut 0 %, joten se on 00 % + 0 % = 0 % hinnasta a. Koska 0 % =,, niin uutta hintaa kuvaa lauseke,a. b) Uusi hinta on alentunut 0 %, joten se on 00 % 0 % = 80 % hinnasta a. Koska 80 % = 0,8, niin uutta hintaa kuvaa lauseke 0,8a. c) Uusi hinta on kasvanut,5 %, joten se on 00 % +,5 % = 0,5 % hinnasta a. Koska 0,5 % =,05, niin uutta hintaa kuvaa lauseke,05a. d) Uusi hinta on alentunut 4,7 %, joten se on 00 % 4,7 % = 85, % hinnasta a. Koska 85, % = 0,85, niin uutta hintaa kuvaa lauseke 0,85a. Vastaus: a),a b) 0,8a c),05a d) 0,85a
. a) Alkuperäinen hinta a on kerrottu prosenttikertoimella,. Prosenttikerrointa, vastaa prosenttiluku 0 %. Hinta on noussut 0 % 00 % = 0 %. b) Alkuperäinen hinta a on kerrottu prosenttikertoimella 0,7. Prosenttikerrointa 0,7 vastaa prosenttiluku 70 %. Hinta on laskenut 00 % 70 % = 0 %. c) Alkuperäinen hinta a on kerrottu prosenttikertoimella,058. Prosenttikerrointa,058 vastaa prosenttiluku 05,8 %. Hinta on noussut 05,8 % 00 % = 5,8 %. d) Alkuperäinen hinta a on kerrottu prosenttikertoimella 0,4. Prosenttikerrointa 0,4 vastaa prosenttiluku 4, %. Hinta on laskenut 00 % 4, % = 56,7 %. Vastaus: a) nousee 0 % b) laskee 0 % c) nousee 5,8 % d) laskee 56,7 % 4. Hotellihuoneen alkuperäinen hinta on a. Korotuksen jälkeen hinta on, a. Koska 0 % hinnasta,a on 0,a, on 0 % vastaavasti 0,a = 0,4a. Hinta sesongin jälkeen on,a 0,4a = 0,96a. Lasketaan, kuinka paljon 0,96a on alkuperäisestä hinnasta a. Koska 0,96 a 0,96 96 %, a niin lopullinen hinta on 96 % alkuperäisestä hinnasta. Hinta on siis laskenut kaikkiaan 00 % 96 % = 4 %. Vastaus: Lopullinen hinta on laskenut 4 % alkuperäisestä hinnasta.
5. a) Merkitään myytyjen banaanien määrää kirjaimella a. Tällöin kolmen muutoksen jälkeen myytyjen banaanien määrä oli,060,054 0,975 a =,089...a,089a b) Muutosten jälkeistä myytyjen banaanien määrää kuvaa lauseke,089a, jossa alkuperäistä määrää on kerrottu prosenttikertoimella,089. Koska,089 = 08,9 %, on lopullinen määrä 08,9 % määrästä a. Banaanien maailmankauppa siis kasvoi noin 08,9 % 00 % = 8,9 %. Vastaus: a) n.,089a b) kasvoi n. 8,9 % 6. Jäsen on 5 % suurempi kuin edellinen eli 00 % + 5 % = 05 %, joten edellinen jäsen kerrotaan luvulla,05. a) Lukujonon. jäsen on 00. Lukujonon. jäsen on,05 00. Lukujonon. jäsen on,05 (,05 00) =,05 00. Lukujonon 4. jäsen on,05 (,05 00) =,05 00 ja niin edelleen. Lukujonon 0. jäsen on,05 0 00 = 55,... 55. Lasketaan, kuinka monta prosenttia luku 55 on luvusta 00: 55,55 55 %. 00 Koska kymmenes jäsen on 55 % ensimmäisestä jäsenestä, on se 55 % 00 % = 55 % suurempi kuin ensimmäinen jäsen. b) Kymmenes jäsen on,05 0 a =,55... a,55a. Kymmenes jäsen on noin 55 % suurempi kuin ensimmäinen jäsen. Vastaus: a) n. 55 % suurempi b) n. 55 % suurempi
7. a) - b) Merkitään muotilaukun alkuperäistä hintaa kirjaimella a. Kauppa A: Alkuperäisestä hinnasta saadaan ensin 0 % alennus, jolloin maksettavaksi jää 00 % 0 % = 80 % alkuperäisestä hinnasta eli 0,8a. Toisen alennuksen jälkeen maksettavaksi jää 00 % 5 % = 75 % alennetusta hinnasta 0,8a eli 0,75 0,8a = 0,6a. Kauppa B: Alennus on 40 %, jolloin maksettavaksi jää 00 % 40 % = 60 % alkuperäisestä hinnasta. Koska 60 % on prosenttikertoimena 0,60, niin alennuksen jälkeinen hinta saadaan lausekkeesta 0,6a. Molemmissa kaupoissa on alennuksien jälkeen sama hinta. Vastaus: b) Molemmissa kaupoissa on sama hinta. 8. Olkoon lukujonon ensimmäinen jäsen a. Tällöin toinen jäsen on, a =,a ja kolmas jäsen on,, a =,44a. Ratkaistaan ensimmäinen jäsen yhtälöstä,44a = 80.,44a = 80 :,44 a = 80,44 a = 5 Vastaus: 5
9. Koska väkiluku kasvoi vuosittain,4 %, väkiluku saadaan kertomalla edellisen vuoden väkiluku kertoimella,04. a) Jos väkiluku olisi kasvanut prosentuaalisesti samaa vauhtia, niin vuonna 000 Suomen väkiluku olisi ollut,04 00 4 000 6 800 000. b) Merkitään kirjaimella a Suomen väkilukua vuonna 780. Vuoden 800 väkiluvusta ja vuotuisen kasvuprosentin tiedoista saadaan yhtälö, josta ratkaistaan a.,04 0 a = 4 000 :,04 0 a = 4000,04 0 a = 9560,6... a 0000 Vastaus: a) n. 6,8 miljoonaa b) n. 0 000 40. Merkitään tuotteen verotonta hintaa kirjaimella x. Kun hintaan lisättävä vanha arvonlisävero oli % verottomasta hinnasta x, veron suuruus oli 0,x. Tuotteen vanha myyntihinta oli x + 0,x =,x. Kun hintaan lisättävä uusi arvonlisävero on 4 % verottomasta hinnasta x, veron suuruus on 0,4x. Tuotteen uusi myyntihinta on x + 0,4x =,4x. Lasketaan, kuinka monta prosenttia uusi myyntihinta,4x on vanhasta myyntihinnasta,x., 4 x,008... 00,8 %, x Koska uusi myyntihinta on 00,8 % vanhasta myyntihinnasta, niin myyntihinta nousi 00,8 % 00 % = 0,8 %. Vastaus: n. 0,8 %
4. Merkitään elintarvikkeen verotonta hintaa kirjaimella x. Verottomaan hintaan lisättävä arvonlisävero on 4 % verottomasta hinnasta x, joten veron suuruus on 0,4x. Tuotteen verollinen hinta on x + 0,4x =,4x. Lasketaan, kuinka monta prosenttia verollinen hinta,4x on verottomasta hinnasta x. x 0,877... 0,88 88 %,4 x,4 Vastaus: n. 88 % 4. a) Lasketaan, kuinka monta prosenttia vuoden 04 väkiluku 5 47 75 on vuoden 0 väkiluvusta 5 45 70. 54775,0075...,004 00,4 % 54570 Vuoden 04 väkiluku on 00,4 % vuoden 0 väkiluvusta, joten väestön kasvuprosentti vuodesta 0 vuoteen 04 oli 00,4 % 00 % = 0,4 %. Suomen väestön kasvuprosentti oli noin 0,4 %.
b) Kirjoitetaan soluun A 05, soluun A =A+ ja kopioidaan solua A alaspäin. Kirjoitetaan soluun B =54775/54570 5 47 75, soluun B = 54775/54570 B ja kopioidaan solua B alaspäin. Suomen väkiluku ylittää mallin mukaan 6 miljoonan rajan vuonna 09. Vastaus: a) n. 0,4 % b) Vuonna 09.
4. Taulukoidaan taulukkolaskentaohjelmalla. Sarakkeessa A latausten lukumäärä kasvaa yhtä monta prosenttia joka viikko. Lasketaan peräkkäisten viikkojen prosentuaalinen muutos 5800,07 4700. Taulukossa tämä on laskettu taulukkolaskentaohjelman avulla. Eli soluun A on syötetty ensin 4700, soluun A on syötetty 5800, soluun A on syötetty =(A/A) A. Sitten on vedetty oikeasta alakulman mustasta pisteestä 0 viikkoa. Sarakkeessa B latausten lukumäärä kasvaa yhtä monella latauksella joka viikko. Lasketaan kahden peräkkäisen viikon latauksien erotus eli 5800 4700 = 00. Taulukossa on syötetty ensin luku 4700 soluun B, sitten soluun B on syötetty 5800, soluun B erotus =(B B)+B. Sitten vedetään neliöstä 0 viikon mittaiseksi sarakkeeksi.
Lasketaan, kuinka monta prosenttia kymmenessä viikossa prosentuaalinen kasvu (47409 latausta) on kappalemääräisestä kasvusta (45700 latausta). 47409,07...,04 04 % 45700 Koska prosentuaalinen kasvu on 04 % kappalemääräisestä kasvusta, niin prosentuaalinen kasvu on 04 % 00 % = 4 % suurempi. Vastaus: Latausmäärä kasvaa enemmän prosenttikasvulla. Kasvu on n. 4 % enemmän kuin vakiokasvulla. SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 44. Merkitään yrityksen nykyistä tulosta kirjaimella a. Jos tulos kasvaa vuosittain 50 %, tulos neljän vuoden kuluttua on,5 4 a = 5,065a. Jos tulos kasvaa vuosittain 0 %, tulos neljän vuoden kuluttua on, 4 a =,856a. Lasketaan, kuinka monta prosenttia tulos 50 %:n vuotuisella kasvulla saatu tulos on 0 %:n vastaavasta kasvusta: 5,065 a,77...,77 77 %,856a Vuotuisella kasvulla 50 % saatu yrityksen tulos on 77 % 0 %:n vuotuiseen kasvuun verrattuna. Tulos on siis 77 % 00 % = 77 % suurempi. Vastaus: n. 77 %
45. a) Olkoon elokuvalipun hinta a. Tällöin filmivuokra on 0,45a, verot 0,08a ja teostomaksut 0,0a. Teatterin ylläpidolle jää lipun hinnasta a 0,45a 0,08a 0,0a = 0,46a. Kun ylläpitokulut nousevat 5 %, lipun hinta olisi,05 0,46a + 0,45a + 0,08a + 0,0a =,0a. Lipun hinnan lausekkeesta,0a nähdään, että lipun hintaa a kerrotaan luvulla,0. Prosenttikerrointa,0 vastaa prosenttiluku 0, %, joten lipun hintaa tulisi korottaa 0, % 00% =, %. b) Kun veron osuus nousee prosenttiyksikköä, on verojen osuus lipun hinnasta 0 %. Ylläpitoon lipun hinnasta jää a 0,45a 0,a 0,0a = 0,44a. Lasketaan, kuinka monta prosenttia uudet ylläpitokulut 0,44a on alkuperäisistä ylläpitokuluista 0,46a. 0,44 a 0,9565... 0,957 95,7 % 0,46 a Uudet ylläpitokulut ovat 95,7 % alkuperäisistä ylläpitokuluista, joten ylläpitokuluja on alennettava 00 % 95,7 % = 4, %. Vastaus: a), % b) n. 4, % 46. Merkitään ensimmäistä jäsentä kirjaimella a. Lukujonon jäsen saadaan edellisestä jäsenestä kertomalla se luvulla 0,9. Lukujonon viides jäsen 0,9 4 a = 0,656a 0,66a. Viides jäsen on 66 % ensimmäisestä jäsenestä a, joten viides jäsen on 00 % 66 % = 4 % pienempi kuin ensimmäinen jäsen. Vastaus: n. 4 % pienempi
47. a) Kaksiviivainen C on kolmas puolisävelaskel yksiviivaisesta A lähtien, kun sävelen taajuus kasvaa. Sävelen A taajuus on 440 Hz. Sävelestä A lähtien. puolisävelaskeleen taajuus on,0595 440 Hz. Sävelestä A lähtien. puolisävelaskeleen taajuus on,0595,0595 440 Hz =,0595 440 Hz. Sävelestä A lähtien. puolisävelaskeleen taajuus on,0595,0595 440 Hz =,0595 440 Hz. Kysytyn C-sävelen taajuus on tämän perusteella,0595 440 Hz = 5,... Hz 5 Hz. b) Kaksiviivainen A on puolisävelaskelta yksiviivaisesta A lähtien, kun sävelen taajuus kasvaa. Kysytyn A-sävelen taajuus on tämän perusteella,0595 440 Hz = 880,... Hz 880 Hz. c) Lasketaan, kuinka monta prosenttia 880 Hz on 440 Hz:sta. 880 Hz 440 Hz 00 % Kaksiviivaisen A-sävelen taajuus on 00 % 00 % = 00 % suurempi kuin yksiviivaisen A-sävelen taajuus. d) Kolmiviivaisen C-sävelen taajuus on kaksinkertainen kaksiviivaisen C- sävelen taajuuteen verrattuna, joten se on 5 Hz = 046 Hz. Vastaus: a) 5 Hz b) 880 Hz c) 00 % d) 046 Hz
48. Merkitään alkuperäistä verotonta hintaa kirjaimella x. Hintaan lisättävä arvonlisävero on % verottomasta hinnasta x, joten veron suuruus on 0,x. Tuotteen myyntihinta on siten,x. Merkitään alennettua verotonta hintaa kirjaimella k. Hintaan lisättävä uusi arvonlisävero on 4 % verottomasta hinnasta k, joten veron suuruus on 0,4k. Koska myyntihinta ei muutu, saadaan yhtälö,x =,4k, josta ratkaistaan k.,x =,4k :,4, x k, 4 k = 0,999...x k 0,99x Uusi veroton hinta on 99, % alkuperäisestä verottomasta hinnasta x, joten verotonta hintaa on alennettava 0,8 %. Vastaus: n. 0,8 % 49. Taulukoidaan annetut tiedot ja lasketaan myyntitulo, joka on tuotteen hinnan ja myyntimäärän tulo. Tuotteen hinta Myyntimäärä Myyntitulo Aluksi x y xy Lopuksi,5x a,5xa Koska myyntitulo säilyi samana, saadaan yhtälö,5xa = xy, josta ratkaistaan a.,5xa = xy : (,5x) xy a,5 x a y,5 a = 0,869...y a 0,87y
Myyntimäärää lopussa kuvaa lauseke 0,87y, jonka mukaan myyntimäärä on 87 % alkuperäisestä myyntimäärästä. Myyntimäärä alenee siis 00 % 87 % = %. Vastaus: n. %. 50. Merkitään tuoreen banaanin painoa kirjaimella a ja kuivatun banaanin painoa kirjaimella x. Taulukoidaan tuoreen ja kuivatun banaanin paino, veden ja kuiva-aineiden osuus. Banaania Vettä Kuiva-aineita Tuore a 0,74a 0,6a Kuivattu x 0,x 0,8x Koska kuiva-aineiden määrä ei muutu, saadaan kuivatun banaanin paino x ratkaistua yhtälöstä 0,8x = 0,6a. 0,8x = 0,6a : 0,8 x = 0,5a Kuivatussa banaanissa on vettä 0, 0,5a = 0,065a. Lasketaan, kuinka monta prosenttia kuivatun banaanin vesimäärä on tuoreen banaanin vesimäärästä. 0,065 a 0,0878... 0,09 9 % 0,74 a Koska kuivatun banaanin vesimäärä on 9 % tuoreen banaanin vesimäärästä, niin vedestä on haihtunut 00 % 9 % = 9 %. Vastaus: n. 9 %.
5. Merkitään tuoreen luumun painoa kirjaimella a, jolloin luumun veden määrä on 0,85a ja kuiva-aineiden määrä on 0,5a, joten sokerin määrää tuoreen luumun painosta kuvaa lauseke 0,085a. Merkitään kuivatun luumun painoa kirjaimella x. Koska kuivatun luumun vesipitoisuus on 0 %, on kuivatun luumun veden määrä 0,x ja kuivaaineiden määrä 0,7x. Kuivatuksessa kuiva-aineiden määrä ei muutu, joten kuivatun luumun paino x ratkaistaan yhtälöstä 0,7x = 0,5a. 0,7x = 0,5a : 0,7 0,5a x 0,7 x = 0,4...a Kuivatun luumun sokeripitoisuus on 0,085 a 0,96... 0,40 40 % 0,4... a. Vastaus: n. 40 %
. Geometrinen lukujono LUO PERUSTA 5. a) Lasketaan peräkkäisten jäsenten osamääriä. a 6 a a a 6 a4 4 a Lukujono voi olla geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. b) Lasketaan peräkkäisten jäsenten osamääriä. a 6 a ( a 0 5 a 6 ( a4 4 7 a 0 5 Lukujono ei ole geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole vakio.
c) Lasketaan peräkkäisten jäsenten osamääriä. (00 a 00 a 400 (00 a 00 a 00 (50 a4 50 a 00 Lukujono voi olla geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. Vastaus: a) Osamäärä on aina. Voi olla. b) Osamäärät ovat, 5 ja 7. Ei voi olla. 5 c) Osamäärä on aina. Voi olla. 5. a) Geometrisen lukujonon suhdeluku saadaan ensimmäisen ja toisen a jäsenen avulla q. a Puuttuvat jäsenet ovat a = a q = = 9 a 5 = a 4 q = 7 = 8.
b) Geometrisen lukujonon suhdeluku saadaan neljännen ja viidennen a5 jäsenen avulla q. a 6 4 Koska q =, saadaan seuraava jäsen kertomalla luvulla, joten edellinen jäsen saadaan jakamalla luvulla. Siten a = a 4. Kolmas jäsen on a = a q = 4 = 8 Vastaus: a) Puuttuvat jäsenet ovat 9 ja 8. q =. b) Puuttuvat jäsenet ovat ja 8. q =. 54. a) Geometrisen lukujonon suhdeluku a = a = 6 a = 6 = 8 a 4 = 8 = 54 b) Geometrisen lukujonon suhdeluku a = 5 a = 0 a = 0 ( ) = 0 a 4 = 0 ( ) = 40 q q a ( 6. a a ( 5 0. a 5
c) Geometrisen lukujonon suhdeluku a = 000 a = 00 a = 00 00 40 5 5 a 4 = 40 40 8 5 5 q a (00 00. a 000 5 Vastaus: a), 6, 8 ja 54 b) 5, 0, 0 ja 40 c) 000, 00, 40 ja 8 55. a) Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a = 4 ja suhdeluku q =. n. jäsenen lauseke on a n = a q n = 4 n. Kymmenes jäsen on a 0 = 4 0 = 4 9 = 78 7. b) Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a = ja suhdeluku a q 5 5. a n. jäsenen lauseke on a n = a q n = 5 n. Kymmenes jäsen on a 0 = 5 9 = 5 859 75. Vastaus: a) a n = 4 n, a 0 = 78 7 b) a n = 5 n, a 0 = 5 859 75
56. a). taiton jälkeen: kerrosta. taiton jälkeen: = = 4 kerrosta. taiton jälkeen: 4 = = = 8 kerrosta 4. taiton jälkeen: 8 = = 4 = 6 kerrosta 5. taiton jälkeen: 6 = 4 = 5 = kerrosta Jokaisen taiton jälkeen paperikerrosten lukumäärä kaksinkertaistuu. b) a-kohdan nojalla. taitossa on = 89 kerrosta. c) Paperikerrosten lukumäärä muodostaa geometrisen lukujonon, jonka ensimmäinen jäsen on a = ja suhdeluku on q =. n. jäsenen lauseke on a n = a q n = n = + n = n Vastaus: a), 4, 8, 6 ja b) 89 c) a n = n VAHVISTA OSAAMISTA 57. a) Geometrisen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen suhdeluvulla. Koska suhdeluku on,45 = 45 %, on jäsen 45 % edellisestä jäsenestä. Jäsen on 45 % 00 % = 45 % edeltäjäänsä suurempi. b) Geometrisen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen suhdeluvulla. Koska suhdeluku on 0,6 = 6 %, on jäsen 6 % edellisestä jäsenestä. Jäsen on 00 % 6 % = 8 % edeltäjäänsä pienempi. c) Geometrisen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen suhdeluvulla. Koska suhdeluku on = 00 %, on jäsen 00 % edellisestä jäsenestä. Jäsen on 00 % 00 % = 00 % edeltäjäänsä suurempi.
d) Geometrisen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen suhdeluvulla. Koska suhdeluku on,0785 = 07,85 %, on jäsen 07,85 % edellisestä jäsenestä. Jäsen on 07,85 % 00 % = 7,85 % edeltäjäänsä suurempi. Vastaus: a) 45 % suurempi b) 8 % pienempi c) 00 % suurempi d) 7,85 % suurempi 58. a) Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5 ja suhdeluku q =. Lukujonon n. jäsen on a n = a q n = 5 n. b) Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5 ja suhdeluku q =. n 5. Lukujonon n. jäsen on a n = a q n = c) Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a = 5 ja suhdeluku q =,5. Lukujonon n. jäsen on a n = a q n = 5,5 n. Vastaus: a) a n = 5 n b) a n n 5 c) a n = 5,5 n 59. a) Ensimmäisen ohjelman juoksumatkat muodostavat aritmeettisen lukujonon, koska peräkkäisten viikkojen juoksumatkojen erotus on vakio (d = km). Toisen ohjelman juoksumatkat muodostavat geometrisen lukujonon, koska peräkkäisten viikkojen juoksumatkojen suhde on vakio (q =,05). b) Ensimmäisen ohjelman 0. viikko: 5 km + 9 km = 4 km Toisen ohjelman 0. viikko:,05 9 5 km =, km
c) Kirjoitetaan soluihin A ja B luku 5. Soluun A kirjoitetaan =A+ ja kopioidaan solua A alaspäin. Soluun B kirjoitetaan =B.05 ja kopioidaan solua B alaspäin. Vastaus: a) Ensimmäisen ohjelman juoksumatkat muodostavat aritmeettisen lukujonon ja toisen ohjelman geometrisen lukujonon. b) Ensimmäisen ohjelman mukaan 4 km, toisen mukaan, km. 60. a) a = 5, a = 5 ( ) = 5 a = 5 ( ) = 45 a n = a q n = 5 ( ) n b) Lukujonon joka toinen jäsen on positiivinen ja joka toinen negatiivinen. Parilliset jäsenet ovat negatiivisia, joten 000. jäsen on negatiivinen. Vastaus: a) a = 5, a = 5, a = 45 ja a n = 5 ( ) n b) negatiivinen
6. Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen a = ja suhdeluku saadaan a ensimmäisen ja toisen jäsenen avulla q. a 0. jäsen on a 0 = a q 0 = 0 = 5 767 68 n. jäsen on a n = a q n = n Vastaus: a 0 = 5 767 68, a n = n 6. a) Lukujonon ensimmäinen jäsen on 8, ja toisesta jäsenestä alkaen jäsen saadaan jakamalla edellinen jäsen luvulla. b) Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on 8 ja suhdeluku Analyyttisessa muodossa n. jäsen on n n a a q 8 n Vastaus: a) Lukujonon ensimmäinen jäsen on 8, ja toisesta jäsenestä alkaen jäsen saadaan jakamalla edellinen jäsen luvulla. n b) 8 a n q.
6. a) Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten osamääriä. a 5 5 5 4 : a 6 4 6 5 a 5 6 : a 9 5 5 5 9 6 Lukujono voi olla geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 4 ja lukujonon jäsen saadaan toisesta jäsenestä alkaen kertomalla edellinen jäsen luvulla. b) Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten osamääriä. a : a 4 a : 4 a 4 Lukujono ei ole geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole vakio. Vastaus: a) Voi olla. Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5, ja toisesta 4 jäsenestä alkaen jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. b) Ei voi olla.
64. a) Geometrisen lukujonon suhdeluku saadaan ensimmäisen ja toisen ( a jäsenen avulla q. a 999 Kolmas jäsen on a aq. Neljäs jäsen on a 4 aq 7. n. jäsen on an 999 n n aq. b) Geometrisen lukujonon suhdeluku saadaan ensimmäisen ja toisen a jäsenen avulla q : 4. a Kolmas jäsen on a 4 8 aq. 9 Neljäs jäsen on a 8 4 4 aq. 9 7 n. jäsen on an n n aq 4. Vastaus: a) a = ja a 4 = 7 ja b) a = 8 9 ja a 4 = a n 7 ja n a 4 n n 999
65. a) Lukujono on geometrinen, koska lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla,. Geometrisen lukujonon suhdeluku on siis,. Koska seuraava jäsen saadaan kertomalla luvulla,, niin edellinen jäsen saadaan jakamalla luvulla,. a = a 0.,, Lukujonon ensimmäinen jäsen a = 0. b) Geometrisen lukujonon n. jäsen on a n = a q n = 0, n. Vastaus: a) a = 0 b) a n = 0, n 66. a) Rahasumma on aluksi 500 euroa ja se kasvaa joka vuosi,0- kertaiseksi, joten vuosittaiset talletusten arvot muodostavat geometrisen lukujonon, missä ensimmäinen jäsen on talletuksen arvo ensimmäisen vuoden jälkeen eli a =,0 500 ja q =,0. Talletuksen arvo n vuoden kuluttua on a n = a q n = 500,0,0 n = 500,0 + n = 500,0 n
b) Kirjoitetaan soluun A 500.0. Soluun A kirjoitetaan =A.0 ja kopioidaan solua A alaspäin.... Talletus on kaksinkertaistunut 6 vuoden jälkeen eli talletus on kaksinkertaistunut 7 vuodessa. Vastaus: a) a n = 500,0 n b) 7 vuoden
67. a) Alkuperäisen kolmion pinta-ala A =. Kuvio jaetaan neljään osaan, joista yksi poistetaan, joten jäljelle jääneen kuvion pinta-ala on 4 alkuperäisestä. Toisessa vaiheessa jäljelle jääneen kolmion pinta-ala on A = 4. Kolmannessa vaiheessa jäljelle jääneistä kolmioista jokainen jaetaan neljään osaan, joista yksi poistetaan. Kolmannen vaiheen pinta-ala on -kertainen edelliseen vaiheeseen verrattuna. 4 Näin jatkamalla jäljelle jääneiden kolmioiden pinta-alat muodostavat geometrisen lukujonon n n A n 4 4, missä n on vaiheen numero.
b) Kirjoitetaan soluun A luku. Soluun A kirjoitetaan =/4 A ja kopioidaan solua A alaspäin. Pinta-ala on alle neljäsosan alkuperäisestä 6. vaiheen jälkeen. n Vastaus: a) 4 b) 6. vaiheen SYVENNÄ YMMÄRRYSTÄ 68. a) Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten erotuksia. a a = = a a = = a 4 a = 4 = Lukujono voi olla aritmeettinen, koska peräkkäisten jäsenten erotus on aina. Aritmeettisen lukujonon n. jäsen on a n = a + (n )d = + (n ) = n. Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten osamääriä. a a a a a4 4 a Lukujono ei voi olla geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole vakio.
b) Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten erotuksia. a a = = a a = ( ) = + = 5 a 4 a = 4 = 7 Lukujono ei voi olla aritmeettinen, koska peräkkäisten jäsenten erotus ei ole vakio. Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten osamääriä. a a a a a4 4 4 a Lukujono ei ole geometrinen, koska peräkkäisten suhde ei ole vakio. c) Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten erotuksia. a a = = a a = ( ) = + = a 4 a = = Lukujono ei ole aritmeettinen, koska peräkkäisten jäsenten erotus ei ole vakio. Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten osamääriä. a a a a a4 a Lukujono voi olla geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde on vakio. Geometrisen lukujonon n. jäsen on a n = a q n = ( ) n = ( ) n.
d) Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten erotukset a a = 4 = a a = = a 4 a = = Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten suhteet a a 4 a a a4 a Lukujono voi olla aritmeettinen, koska peräkkäisten jäsenten erotus on aina. Aritmeettisen lukujonon n. jäsen on a n = a + (n )d = 4 + (n ) ( ) = 5 n. Lukujono ei voi olla geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole vakio. e) Koska tunnetaan lukujonosta vain kaksi jäsentä, lukujono voi olla aritmeettinen tai geometrinen. Jos lukujono on aritmeettinen, erotusluku on d = a a = = ja yleinen jäsen on a n = a + (n )d = + (n ) = n. a Jos lukujono on geometrinen, suhdeluku on q ja yleinen jäsen a on a n = a q n = n = n.
f) Koska tunnetaan lukujonosta vain kaksi jäsentä, lukujono voi olla aritmeettinen tai geometrinen. Jos lukujono on aritmeettinen, erotusluku on d = a a = 4 = ja yleinen jäsen on a n = a + (n )d = 4 + (n ) ( ) = 4 n + = 5 n. a Jos lukujono on geometrinen, suhdeluku on q ja yleinen jäsen a 4 n n on a n a q 4 4. Vastaus: a) Voi olla aritmeettinen, a n = n. b) Ei voi olla aritmeettinen tai geometrinen. c) Voi olla geometrinen, a n = ( ) n. d) Voi olla aritmeettinen, a n = 5 n. e) Voi olla aritmeettinen, a n = n. Voi olla myös geometrinen, a n = n. f) Voi olla aritmeettinen, a n = 5 n. Voi olla myös geometrinen, n 4. 4 a n
69. Geometrisen lukujonon ensimmäinen jäsen on a =, toinen jäsen on a = a q ja kolmas jäsen on a = a q = a q. Koska kolmas jäsen on, saadaan yhtälö q =, josta ratkaistaan q. q = : q q 4 q Suhdeluku voi olla tai, joten ratkaistaan 6. ja n. jäsen molemmissa tapauksissa. Jos q =, niin a a q ja 6 5 6 96 a a q n n n. Jos q =, niin a 6 5 6 aq ( ) 96 ja a a q n n n ( ). Vastaus: a 6 = 96 ja a n n tai a 6 = 96 ja a n ( ) n 70. Ensimmäinen lukujono näyttää geometriselta, koska jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. Koska ei tiedetä sääntöä, niin ei voida varmasti tietää mikä on lukujonon 5. jäsen. Lukujonon a n = n eräs jäsen on a k = k ja siitä seuraava jäsen on a k + = k + = k. Peräkkäisten jäsenten suhde on a k k k k ( k ) k k. k k a k Lukujono on geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde on aina vakio.
7. a) Lukujono on geometrinen, koska lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. b) Lasketaan lukujonon ensimmäisiä jäseniä. a =, a = + = 7, a = + 7 = Lasketaan lukujonon peräkkäisten jäsenten osamääriä. a 7 a a a 7 Lukujono ei ole geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole vakio. c) Lasketaan lukujonon ensimmäisiä jäseniä a =, a = =, a = = a a a a Lukujono ei ole geometrinen, koska peräkkäisten jäsenten suhde ei ole vakio. d) Lukujono on geometrinen, koska lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla. Vastaus: a) On. b) Ei ole c) Ei ole. d) On.
7. a) Lukujonon ensimmäinen jäsen on a = ja suhdeluku on q 6. Lukujonon ensimmäinen jäsen on ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla, joten a = ja a n = a n, kun n =,, 4,... b) Lasketaan geometrisen lukujonon ensimmäisiä jäseniä. a = 5 4 = 5 4 0 = 5 = 5 a = 5 4 = 5 4 = 5 4 = 0 Geometrisen lukujonon suhdeluku q 0 4. 5 Lukujonon ensimmäinen jäsen on 5 ja toisesta jäsenestä alkaen lukujonon jäsen saadaan kertomalla edellinen jäsen luvulla 4, joten a = 5 ja a n = 4a n, kun n =,, 4,... Vastaus: a) a = ja a n = a n, kun n =,, 4,... b) a = 5 ja a n = 4a n, kun n =,, 4,... 7. Kirjoitetaan ensimmäiseen sarakkeeseen vuodet vuodesta 00 eteenpäin. Kirjoitetaan toiseen sarakkeeseen ensimmäiselle riville prosenttikerroin, jonka arvo voidaan muuttaa. Kopioidaan prosenttikertoimen sisältävän solu muille riveille, jotta riittää vaihtaa prosenttikerroin vain ensimmäiselle riville. Kirjoitetaan kolmanteen sarakkeeseen tuulivoimalla tuotetun sähkön määrä kilowattitunteina. Kirjoitetaan soluun A luku 00, soluun A=A+ ja kopioidaan solua A kymmenen riviä alaspäin. Nämä solut tarkoittavat vuosia. Kirjoitetaan soluun B luku., soluun B=B ja kopioidaan solua B kymmenen riviä alaspäin. Nämä solut tarkoittavat tuulivoiman lisäämisen prosenttikerrointa. Kirjoitetaan soluun C luku ja soluun C =C B ja kopioidaan solua kymmenen riviä alaspäin. Nämä solut tarkoittavat kuinka monta miljardia kwh sähköä tuulivoimalla vuosittain tuotettaisiin, jos sitä lisätään prosenttikertoimen verran.
Nyt kokeilemalla soluun B eri prosenttikertoimia saadaan, että vuosittain tuulivoiman tuottaman sähkön tulisi noin,-kertaistua eli kasvaa %, jotta kymmenen vuoden jälkeen tuulivoimalla tuotettu sähkö kahdeksankertaistuisi. Tuulivoimaa tulisi lisätä vuosittain noin %. Vastaus: n. % 74. a) Esimerkiksi, jos geometrinen jono on,, 9, 7,... Tällöin aa 9 a ja aa 4 7 89 a Ensimmäisen ja kolmannen jäsenen geometrinen keskiarvo on sama kuin toinen jäsen ja toisen ja neljännen geometrinen keskiarvo on sama kuin kolmas jäsen. Geometrisen lukujonon jäsen näyttäisi olevan sama kuin edellisen ja seuraavan jäsenen geometrinen keskiarvo.
b) Kun geometrisen lukujonon jäsen on a n = a q n, seuraavat kaksi jäsentä ovat a n + = a q n + ja a n + = a q n +. Nyt jäsenten a n ja a n + geometrinen keskiarvo on aa n n n aq n n n nn a q n a q ( n) a q n a q n a q n n aq a a q q aq a a-kohdan havainto pätee myös lukujonolle a n = a q n. Vastaus: a) esim.,, 9, 7,... Keskiarvot, 9,... LUVUN PÄÄTÖSSIVUN TEHTÄVÄT. a) 00 % 75 % = 5 %. Hiili C-4 pitoisuutta on jäljellä neljäsosa alkuperäisestä, joten pitoisuus on puoliintunut kaksi kertaa. Eliön kuolemasta on noin 570 = 460 vuotta. b) Taulukoidaan arviota varten puoliintumisajat ja C-4 pitoisuudet Puoliintumisaika (vuotta) Hiili C-4 pitoisuus (%) 570 50 460 5 790,5 90 6,5 8650,5 Hiili C-4 pitoisuus on alle 6,5 % alkuperäisestä noin 90 vuoden kuluttua.
c) Aiemmassa arviossa puoliintumisaika oli pienempi, joten näytteiden iät arvioitiin pienemmiksi kuin nykyään. d) Sopivalla ohjelmalla ratkaistuna q 0,999879 = 99,9879 %. C-4 vähenee vuodessa 00 % 99,9879 % = 0,0 %. e) Merkitään C-4 alkuperäistä pitoisuutta kirjaimella a.. vuoden jälkeen pitoisuus on aq. vuoden jälkeen pitoisuus on aq q = aq. vuoden jälkeen pitoisuus on aq... n. vuoden jälkeen pitoisuus on a n = aq n = a 0,999879 n. Vastaus: a) n. 460 vuoden kuluttua b) n. 90 vuoden kuluttua d) n. 0,0 % e) a n = a 0,999879 n