6 ähkömagneettinen induktio ja magneettinen energia Edellisissä luvuissa virrat ja kentät oletettiin ajasta riippumattomiksi. Tässä luvussa käsitellään tilanteita, joissa virrat ja kentät riippuvat ajasta, siis esimerkiksi B = B(r, t)jae = E(r, t). 6.1 ähkömagneettinen induktio Tarkastellaan ideaalista jännitelähdettä, jolla ei ole sisäistä vastusta. Tällöin napajännite on aina yhtä suuri kuin lähdejännite, vaikka jännitelähteestä otettaisiinkin virtaa. Jos pisteet A ja B ovat jännitelähteen navat, on sen lähdejännite V = φ(r A ) φ(r B )= B A E dl. (6.1) Jännitelähde joutuu tekemään työtä sähkövirran ylläpitämiseksi napoja yhdistävässä johteessa. Varauksen q siirtyessä navasta A napaan B jännitelähde tekee työn B B Vq= q E dl = F dl, missä F on varaukseen q kohdistuva voima. iis A V = 1 q B A A F dl. (6.) Koska staattinen sähkökenttä on konservatiivinen, sen viivaintegraali pitkin suljettua tietä häviää. Ajallisesti muuttuvassa tilanteessa syntyy indusoitu sähkökenttä, jonka kiertointegraali ei välttämättä häviä. Jos johtavan silmukan lävitse kulkeva magneettivuo muuttuu, havaitaan silmukassa sähkövirta. Tämä tarkoittaa sitä, että yksittäiseen varauksenkuljettajaan kohdistuvan voiman viivaintegraali silmukan ympäri poikkeaa nollasta. Analogisesti yhtälön (6.) kanssa määritellään silmukassa vaikuttava lähdejännite V = 1 F dl = E dl. (6.3) q 103
104 6.1.1 Magneettikentässä liikkuvaan johteeseen syntyvä lähdejännite Tarkastellaan metallisauvaa, joka liikkuu vakionopeudella v kohtisuoraan magneettikenttää B vastaan. Elektroneihin kohdistuvan Lorentz-voiman vaikutuksesta johdeelektroneja siirtyy sauvan toiseen päähän (a), jonne syntyy negatiivinen varaus, samalla kun toiseen päähän (b) jää positiivinen varaus. Tämän varausjakautuman synnyttämä sähkökenttä E kasvaa, kunnes sen aiheuttama voima kumoaa magneettisen voiman. iis ee =+ev B, joten syntyy sauvan suuntainen sähkökenttä E = v B. (6.4) v F = -evxb a auvan päiden välinen potentiaaliero on V ba = a b missä L on sauvan pituus. E dl = vbl, (6.5) b Kuva 6.1 B Esim.: Jos lentokone, jonka siipiväli on 50 m, lentää nopeudella 800 km/h paikassa, jossa maan magneettikentän pystysuora komponentti on 10 5 T, syntyy siivenkärkien välille potentiaaliero V = vbl = 0. V. Edellä esitetyssä tilanteessa syntyy vain potentiaaliero, mutta ei virtaa. Jos liikkuva sauva asetetaan kulkemaan pitkin johtavia toisesta päästään yhdistettyjä raiteita, tilanne muuttuu. Tässä tapauksessa elektronit kulkevat Lorentz-voiman vaikutuksesta b:stä a:han, mutta pääsevät palaamaan takaisin pisteeseen b paikallaan olevaa johdinta pitkin. Varaukseen q kohdistuvan voiman kiertointegraali tämän suljetun tien yli on siis F dl = qvbl, missä L on liikkuvan sauvan pituus. Tässä integraalissa siis F 0 vain liikkuvan sauvan alueella. Piirin siis syntyy lähdejännite 1 F dl = vbl (6.6) q v b I a B Kuva 6. ja se aiheutuu johteen liikkeestä magneettikentässä. Jos piirin resistanssi on R, kulkee siinä virta I = vbl (6.7) R L
6.1. ÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 105 ja piirissä kuluu teho P = I R = (vbl) R. Tämä teho on peräisin sauvan liikuttamiseen tehdystä työstä. Jos sauvaa vedetään voimalla F ja nopeudella v, on teho F v, joten josta F v = (vbl) R, F = v(bl) R. auvan liikuttamiseksi vakionopeudella tarvitaan siis ulkoinen voima F. (Tässä on oletettu, että sauva liikkuu kitkattomasti.) Tarkastellaan seuraavaksi tilannetta, jossa liikkuva suorakulmion muotoinen johdinsilmukka saapuu nopeudella v alueeseen, jossa magneettikenttä B v. Kun sivu cd ei vielä ole magneettikentässä, eivät sen johde-elektronit koe Lorentz-voimaa, joten johdinsilmukkaan syntyy sivun ab liikkeestä aiheutuva lähdejännite vbl ja silmukassa kulkee virta I = vbl/r. Kun silmukka on kokonaisuudessaan magneettikentässä, lähdejännite ja virta ovat nollia, sillä sivuissa ab ja cd Lorenz-voimien vaikutukset kumoavat toisensa. ilmukan poistuessa magneettikentästä magneettinen voima vaikuttaa sivussa cd ja lähdejännite vbl syöttää virtaa päinvastaiseen suuntaan kuin alussa. I v B L b L 0 Kuva 6.3 a I c L d Kun silmukka on vain osittain magneettikentässä, I = vbl/r 0 ja silmukan läpi kulkeva magneettivuo muuttuu nopeudella I vbl/r dφ = BLdx = BLv. L/v L 0 /v (L+L 0 )v t Ilmeisesti BLv on silmukkaan syntynyt lähdejännite V, joten -vbl/r Kuva 6.4
106 dφ V = (6.8) On huomattava, että liikkuvan silmukan mukana kulkevan havaitsijan mielestä silmukka on levossa, ja magneettikenttä sekä sen vuo Φ ovat ajasta riippuvia. Koska tässä koordinaatistossa silmukan nopeus v on nolla, on myös qv B = 0, eikä elektronien liike silmukan ympäri voi aiheutua Lorenz-voimasta. Tässä koordinaatistossa täytyy siis olla sähkökenttä, joka aiheuttaa elektronien liikkeen. Tämä sähkökenttä liittyy magneettikentän muutokseen. 6.1. Faradayn laki Johdinsilmukan lävitse kulkeva magneettivuo voi muuttua joko silmukan liikken vuoksi tai magneettikentän aikavaihtelun vuoksi. Tällöin havaitaan aina, että silmukassa kulkee sähkövirta, joten silmukkaan myös syntyy indusoitu lähdejännite. Koska lähdejännite on V = E dl, silmukassa vaikuttaa indusoitu sähkökenttä E. Jos silmukan resistanssi on R, siinä kulkee virta I = V R = 1 E dl. (6.9) R Havaintojen perusteella induktiovirta on verrannollinen silmukan läpi kulkeneen magneettivuon aikaderivaattaan. Tällöin yhtälön (6.9) mukaan myös E dl dφ. (6.10) Induktiovirran ja indusoituneen lähdejännitteen suunnan määrittelee Lenzin laki: Induktiovirran suunta on sellainen, että sen aiheuttama magneettikenttä pyrkii vastustamaan magneettivuon muutosta. B δ I ulkoinen kenttä indusoitunut kenttä Kuva 6.6
6.1. ÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 107 ilmukan läpi kulkeva magneettivuo on Φ= B d, missä on silmukan rajoittama pinta. Valitaan elementin d suunta siten, että vuo on positiivinen. Jos kenttää pienennetään, vuo :n läpi pienenee, ja dφ/ < 0. Tällöin Lenzin lain mukaan silmukkaan indusoituu virta I, ja sen aiheuttama magneetikenttä pyrkii vastustamaan kentän pienenemistä. Indusoidun sähkökentän viivaintegraali on siis positiivinen, jos kiertosuunta on oikeakätinen d:n suuntaan katsottaessa. Jotta indusoidun kentän aiheuttama magneettivuo olisi positiivinen, yhtälö (6.10) on kirjoitettava muotoon E dl dφ. (6.11) I-yksiköissä verrannollisuuskerroin on yksi, joten eli E dl = dφ E dl = d (6.1) B d. (6.13) Tässä on mikä tahansa pinta, jonka rajakäyränä on viivaintegraalin integroimistie. Yhtälö (6.13) on voimassa täysin yleisesti. e on kokeellinen tulos, joka tunnetan nimellä Faradayn laki. Faradayn laki kertoo, millaisen indusoidun sähkökentän magneettikentän muutos aiheuttaa. On huomattava, että laki on voimassa mille tahansa pinnalle ja sen rajakäyrälle; johdinsilmukan läsnäolo ei ole oleellista. Jos muuttuvaan magneettikenttään asetetaan johdinsilmukka, indusoitunut sähkökenttä saattaa johde-elektronit liikkeeseen ja syntyy induktiovirta. Magneettivuo silmukan läpi voi muuttua jos B muuttuu, silmukan koko tai muoto muuttuu tai silmukan asento avaruudessa muuttuu. Viimeksi mainittua tilannetta käytetään hyväksi vaihtojännitegeneraattoreissa vaihtojännitteen synnyttämiseen. 6.1.3 Esimerkkejä induktiosta ω = ω + ω ω = ω ω Kuva 5. Kuva 5.3
108 Esim. A: Tarkastellaan elektronia joka kiertää atomia kulmanopeudella ω 0 r- säteisellä ympyräradalla. Atomi asetetaan magneettikenttään, jonka vuon tiheyttä kasvatetaan nollasta arvoon B, jolloin elektronin radan läpi kulkee vuo Magneettikenttä kasvaessa indusoituu lähdejännite Φ f = Bπr. (6.14) E dl = dφ, joka vaikuttaa elektroniin siten, että sen tuottama magneettikenttä pyrkii vastustamaan ulkoisen magneettikentän kasvua. Kuvan 5. tapauksessa lähdejännite pyrkii siis kiihdyttämään elektronin liikettä ja sen kulmanopeus kasvaa ω 0 :sta arvoon ω f (kuvan 5.3 tapauksessa lähdejännite hidastaa elektronin liikettä). Hetkellä t, kun kulmanopeus on ω, elektroni kiertää ajassa osan /T = f = ω/π koko kierroksesta ja niinpä indusoitu sähkökenttä tekee siihen tänä aikana työn dw = ω π edφ = eω π dφ. Tämä työ kiihdyttää elektronin nopeutta ja lisää sen kineettistä energiaa määrällä ( ) ( ) 1 1 d m ev = d m er ω = m e r ωdω, jos oletetaan, että r pysyy likimäärin vakiona. Tästä saadaan yhtälö eω π dφ=m er ωdω dω dφ = josta integroimalla ja yhtälön (6.14) avulla ω f Φ f e dω = πm e r dφ ω f ω 0 = ω 0 0 eli sama muutos kuin aiemmin kappaleessa 5.1.1. e πm e r, eφ f πm e r = eb = ω L, m e Esim. B: Betatronissa (ks. kuva 6.7) kiihdytetään elektroneja relativistisiin nopeuksiin vaihtuvalla magneettikentällä, jonka suuruus on sellainen, että elektronit pysyvät samalla radalla kiihtymisestään huolimatta. Indusoitu sähkökenttä on samansuuruinen kaikkialla elektronin radalla (säde r), joten yhtälöstä (6.1) saadaan E = 1 πr dφ. (6.15) ähkökentän suunta on elektronin nopeudelle vastakkainen ja siis kiihdyttää sitä. Elektronin radan säde sen liikkuessa nopeudella v magneettikentässä B on (ks. kpl 4.7.1) r = m ev eb = p eb, (4.58)
6.1. ÄHKÖMAGNEETTINEN INDUKTIO 109 josta B = p er, (6.16) missä p = m e v on elektronin liikemäärä. Tästä saadaan derivoimalla db = 1 dp er = 1 er ee = E r. Kun tähän sijoitetaan E:n lauseke yhtälöstä (6.15), saadaan edelleen r db = 1 dφ πr = 1 d B, Kuva 6.7 missä B =Φ/(πr ) on magneettivuon tiheyden keskiarvo elektronin radan sisällä. iis B = B/ on ehto, jonka magneettivuon tiheyden on toteutettava kiihdytyksen aikana, jotta eletroni pysyisi samalla radalla. Koska radan säde pyrkii kasvamaan kiihdytyksessä, tulee magneettikentän heiketä keskimääräisen radan ulkopuolella. Jos suurin saavutettava magneettivuon tiehys on B max, niin yhtälöstä (6.16) saadaan suurin mahdollinen liikemäärä p max = erb max. Betatronissa elektronit saavuttavat relativistisia nopeuksia, jolloin energia E r = c p + m ec 4 cp, eli E r,max = cerb max. Jos B max =0, 5 T ja r =0, 5 m, elektronien maksimienergia on noin 40 MeV ( m e c 0, 5 MeV). 6.1.4 Faradayn lain differentiaalimuoto oveltamalla tokesin lausetta Faradayn lain (6.13) vasempaan puoleen saadaan E dl = E d = d B d. l Kun magneettivuon tiheys on paikan ja ajan funktio, eli B = B(r,t), kertoo B/ t kussakin pisteessä magneettivuon tiheyden muutosnopeuden. Magneettivuon muutosnopeus on B:n muutosnopeuden integraali :n yli, joten d B d = B t d,
110 jolloin B E d = t d. Tämäyhtälö pitää paikkansa kaikilla pinnoilla, joten integrandien täytyy olla yhtä suuret kaikissa pisteissä. On siis voimassa Faradayn lain differentiaalimuoto E = B t. (6.17) Ajasta riippumattomissa tilanteissa B/ t = 0, ja Faradayn laki palautuu muotoon E = 0, joka on voimassa staattisissa sähkökentissä. iksi yhtälössä (6.17) esiintyvä E voidaan tulkita kokonaisähkökentäksi, joka on indusoituneen kentän ja mahdollisen staattisen sähkökentän summa. Koska E 0 ajasta riippuvissa tilanteissa, sähkökenttää ei voida aina ilmaista pelkän skalaaripotentiaalin avulla, kuten staattisessa tilanteessa. en sijaan magneettivuon tiheys voidan aina ilmaista vektoripotentiaalin avulla muodossa B = A, sillä B = 0 on aina voimassa. Kun tätä sovelletaan yhtälöön (6.17), saadaan E = ( ) A t ( A) =, t eli ( E + A ) =0. t Tämän yhtälön eräs ratkaisu on E = A/ t, mutta siihen voidaan lisätä mikä tahansa funktio, jonka roottori = 0. Koska mielivaltaisen funktion φ(r, t) gradientin roottori on nolla, on yleinen ratkaisu muotoa E = A φ. (6.18) t Funktiosta φ käytetään nimitystä skalaaripotentiaali, ja ajasta riippumattomassa tapauksessa se palautuu sähköstaattiseksi potentiaaliksi. 6. Induktanssi 6..1 Itseinduktanssi Faradayn lakia voidaan soveltaa myös tilanteessa, jossa silmukan läpi kulkeva magneettivuo on silmukassa olevan virran aiheuttama. Jos virtaa muutetaan, vuo muuttuu ja silmukkaan indusoituu lähdejännite. Magneettivuon tiheys pitkän solenoidin sisällä on B = µ 0 NI, (4.36) missä N on kierrosten lukumäärä pituusyksikköä kohti ja I on solennoidissa kulkeva virta. Jos solenoidin poikkileikkaus on r-säteinen ympyrä, kulkee yhden kierroksen läpi magneettivuo µ 0 NI πr, ja kaikkien kierrosten läpi kulkeva kokonaisvuo on Φ=µ 0 NIπr Nl,
6.. INDUKTANI 111 missä l on solenoidin pituus. Jos virta muuttuu, syntyy Faradayn lain mukaan lähdejännite V = E dl = dφ = µ 0N πr l di, joka on verrannollinen virran muutosnopeuteen. Voidaan siis kirjoittaa missä V = L di, L = µ 0 N πr l (6.19) on solenoidin induktanssi (itseinduktanssi). Induktanssi on siis vain solenoidin ominaisuuksista, ts. geometriasta ja kierrosten lukumäärästä riippuva vakio. Induktanssin yksikkö on [L] = Vs A = H (henry). Induktanssi voidaan määritellä samalla tavalla mille tahansa virtapiirille. Jos piirissä kulkeva virta muuttuu, myös piirin lävitse kulkeva magneettivuo muuttuu, joten syntyy lähdejännite V = dφ = dφ di di = LdI. Induktanssi voidaan siis määritellä yleisesti kaavalla L = dφ di. (6.0) Jos magneettivuo on verrannollinen sähkövirtaan, on L = Φ I. (6.1) Tämä on voimassa silloin kun systeemissä ei ole ferromagneettisia (epälineaarisia) aineita Jos sen sijaan esimerkiski solenoidilla on rautasydän, on käytettävä kaavaa (6.0). 6.. Keskinäisinduktanssi Tarkastellaan kahta päällekkäin kiedottua solenoidia, joiden molempien pituus on l ja säde r. Ensiöpiirissä kulkeva virta I 1 aiheuttaa toisiopiirin jokaisen kierroksen läpi magneettivuon µ 0 N 1 I 1 πr, joten I 1 :n aiheuttama kokonaisvuo toisiopiirin läpi on I 1 toisio l I ensiö Φ = µ 0 N 1 N lπr I 1. Kuva 6.9
11 Jos I 1 muuttuu, toisiopiiriin indusoituu lähdejännite V = dφ joka voidaan kirjoittaa muotoon = µ 0 N 1 N lπr di 1, Tässä on käytetty merkintää V = M 1 di 1. (6.) M 1 = µ 0 N 1 N lπr. amoin toisiopiirissä kulkevan virran I muutos aiheuttaa ensiöpiiriin lähdejännitteen missä V 1 = M 1 di, (6.3) M 1 = µ 0 N 1 N lπr. Yhtälöissä (6.) ja (6.3) olevat kertoimet M 1 ja M 1 ovat siis samoja, joten voidaan merkitä M 1 = M 1 = M. Näin määritelty suure M on on kelojen välinen keskinäisinduktanssi. Myös tilanteissa, joissa Φ ei riipu lineaarisesti I 1 :stä (ferromagneettinen sydän), on voimassa V = dφ joten keskinäisinduktanssi on = dφ di 1 di 1 = M di 1, M = dφ di 1 = dφ 1 di. Koska kelojen itseinduktanssit ovat L 1 = µ 0 N1 lπr ja L = µ 0 N lπr, havaitaan, että M = L 1 L. (6.4) Tämä pitää paikkansa silloin, kun kummankin kelan läpi kulkee sama magneettivuo. Jos keloja ei ole käämitetty päällekkäin, kulkee vain osa toisen käämin aiheuttamasta vuosta toisen läpi, ja on voimassa M = k L 1 L, (6.5) missä kytkentäkerroin k on välillä 0 < k < 1. Esim.: Auton sytytyspuola. Pituus l =10cmjasäde r = 3 cm, N 1 = 400/10 cm 1 sekä N = 16000/10 cm 1. Jos primääripuolen virta I 1 = 3 A katkaistaan ajassa 10 4 s, on di 1 / 3 10 4 A/s ja (6.):n mukaan V 6000 V.
6.3. MAGNEETTINEN ENERGIA 113 6.3 Magneettinen energia 6.3.1 Induktiokelan magneettinen energia Tarkastellaan kelaa, jonka induktanssi on L ja sisäinen resistanssi R. Hetkellä t = 0 kela kytketään jännitelähteeseen V (asento 1). Piirin lähdejännitteiden summan täytyy olla sama kuin jännitehäviö vastuksessa, eli V 1 L R josta V L di = IR, Ajassa T paristo tekee työn V = L di + IR. W P = T 0 T VI= L 0 I di T + R 0 I = 1 T LI T + R 0 I, missä I T = I(T ). Jälkimmäinen W P :n termeistä on vastuksessa lämmöksi muuttunut energia (lämpöhäviö). Termi LIT / on kelan magneettikenttään varastoitunut magneettinen energia. Tämä voidaan varmistaa osoittamalla, että kääntämällä kytkin asentoon syntyy oikosulkupiirissä virta, joka aiheuttaa R:ssä lämpöhäviön LIT /. Asennossa on voimassa yhtälö L di + RI =0 di I = R L ln I = R L t +lnk I = Ke Rt/L. Alkuehtona on, että hetkellä t = T virta I = I T.Tästä I T = Ke RT/L, eli K = I T e RT/L. aamme siis lopulta I = I T e R(t T )/L, eli virta häviää eksponentiaalisesti. Lämpöhäviö vastuksessa R on tällöin T RI = RI T T ( e R(t T )/L = RIT e RT/L L ) / e Rt/L = 1 R T LI T. iis pariston tekemä työ on varastoitunut kelaan magneettisena energiana, joka voidaan palauttaa kokonaan takaisin lämmöksi. Kela on siis laite, joka varastoi magneettista energiaa induktanssinsa avulla samaan tapaan kuin kondensaattori varastoi sähköstaattista energiaa kapasitanssinsa avulla.
114 6.3. Virtapiirisysteemin magneettinen kokonaisenergia Tarkastellaan systeemiä, joka koostuu n:stä ideaalisesta virtapiiristä. Kussakin piirissä on vain ideaalinen jännitelähde ja induktanssi, mutta ei resistanssia eikä kapasitanssia. Kukin virtapiiri aiheuttaa oman magneettikenttänsä, joka aiheuttaa magneettivuon sekä oman virtapiirinsä että muiden virtapiirien lävitse. Hetkellä t on i:nnen piirin virta I i (t) ja sen läpi kulkee magneettivuo Φ i (t). Hetkellä t indusoituu i:nteen piiriin lähdejännite dφ i / ja jännitelähde kuluttaa tehon P i = dq i dφ i = I dφ i i syöttäessään virtaa tämän jännitteen yli. Kaikkien jännitelähteiden ajassa δt tekemä työ on n dφ i δw P = I i δt. (6.6) i=1 Jos piirit pidetään avaruudessa paikoillaan, tämä työ muuttuu systeemin magneettiseksi energiaksi δw P = δu, sillä vastuksettomissa piireissä ei tapahdu lämpöhäviöitä. Tehtävänä onmäärittää magneettinen energia U hetkellä T, kun virrat ja vuot ovat kasvaneet nollista arvoihin I 0i ja Φ 0i. Tämä suoritetaan integroimalla yhtälö (6.6) välillä (0,T). Tulos ei riipu siitä, millä tavalla virrat kasvavat, joten voidaan olettaa lineaarinen riippuvuus I i = I 0i T t. Jos systeemissä ei ole ferromagneettisia materiaaleja väliaineina, ovat vuot verrannollisia virtoihin, ja Φ i = Φ 0i T t. Yhtälöstä (6.6) saadaan nyt integroimalla U = n T i=1 0 I i dφ i = n T i=1 0 I 0i T t Φ0i T = n i=1 I 0i Φ oi T T 0 t, eli U = 1 n I 0i Φ 0i. (6.7) i=1 Vuo Φ 0i voidaan ilmaista itse- ja keskinäisinduktanssien avulla seuraavasti Φ 0i = L i I 0i + M ij I 0j. j i Kun tämä sijoitetaan (6.7):ään, saadaan U = 1 n I 0i (L i I 0i + M ij I 0j )= 1 n L i I0i + 1 i=1 j i i=1 n M ij I 0i I 0j. i=1 j i
6.3. MAGNEETTINEN ENERGIA 115 Jos virtapiirejä on vain kaksi kappaletta U = 1 L 1I 1 + M 1 I 1 I + 1 L I, (6.8) sillä M 1 = M 1. Keskinäisinduktanssi M 1 voi olla joko positiivinen tai negatiivinen riippuen siitä, kasvattaako vai pienentääkö kelan 1 virta kelan vuota. 6.3.3 Magneettikentässä olevan kelan potentiaalienergia ja kelaan vaikuttava voima Koska kentässä B olevan magneettimomentin m potentiaalienergia on m B, on kaavan (4.5) mukaisesti kelan 1 (virta I 1 ) potentiaalienergia kelan aiheuttamassa kentässä B U P = I 1 B d. (6.9) 1 Jos kelojen välinen keskinäisinduktanssi on M 1, on kelan aiheuttama vuo kelan 1läpi B d = M 1 I. (6.30) 1 Jos d on valittu siten, että sen suuntaan katsottuna I 1 :n positiivinen kiertosuunta on oikeakätinen, antaa yhtälö (6.30) automaattisesti M 1 :n etumerkin. Yhdistämällä (6.9) ja (6.30) saadaan U P = I 1 I M 1. (6.31) Annetaan kelan 1 likkua siihen kohdistuvan magneettisen voiman vaikutuksesta, mutta pidetään virtoja vakioina. Magneettinen voima tekee mekaanisen työn, joka on yhtä suuri kuin kelan potentiaalienergian muutos. iis dw = F dr = du P = U P dr. (6.3) Näinollen F = U P. Koska virrat I 1 ja I pidetään vakioina, tekevät jännitelähteet indusoituneita jännitteitä dφ 1 / ja dφ / vastaan ajassa työn ( ) dφ 1 dw P = I 1 + I dφ = I 1 dφ 1 + I dφ. ysteemin magneettisen energian muutos on yhtälön (6.7) mukaan du = 1 (I 1dΦ 1 + I dφ )= 1 dw P. Paristojen tekemä työ dw P energian muutokseen, joten kuluu mekaaniseen työhön ja systeemin magneettisen dw P = dw + du.
116 ijoittamalla tämä edelliseen yhtälöön saadaan du = 1 dw P = 1 (dw + du) =1 dw + 1 du, josta yhtälön (6.3) avulla Koska F = U P,on du = dw = du P. F = U. (6.33) Tätä yhtälöä voidaan käyttää magneettikentässä oleviin kappaleisiin kohdistuvien voimien laskemisessa. Vertaamalla yhtälöitä (6.31) ja (6.8) nähdään, että U P = I 1 I M 1 on magneettisen energian lausekkeessa olevan vuorovaikutustermin M 1 I 1 I vastaluku. Koska kelojen liikuttaminen virtojen pysyessä vakioina muuttaa ainoastaan keskinäisinduktanssia, tämä on sopusoinnussa tuloksen du = du P kanssa. 6.3.4 Magneettinen kokonaisenergia B:n ja H:n avulla lausuttuna Tarkastellaan pitkää solenoidia, jonka magneettinen energia on yhtälön (6.8) mukaan U = 1 LI = 1 µ 0N πr li. (6.34) olenoidin sisällä B = µ 0 NI ja H = B/µ 0 = NI, joten (6.34) voidaan kirjoittaa muotoon U = 1 (µ 0NI) (NI) πr l = 1 BHτ, missä τ on solenoidin tilavuus. olenoidin ulkopuolella oleva heikko kenttä on tässä jätetty huomiotta. Voidaan siis kirjoittaa U = 1 BH dτ, missä tilavuusintegrointi suoritetaan koko avaruuden yli. Koska B ja H ovat samansuuntaisia ei-ferromagneettisissa aineissa, on voimassa U = 1 B H dτ, (6.35) mikä pätee yleisesti lineaarisessa väliaineessa vaikuttavalle kentälle. Näyttää siltä, että magneettinen energia voidaan ilmaista magneettisen energiatiheyden u = 1 B H avulla. Tämä tulos on analoginen sähkökentän energiatiheyden D E/ kanssa.
6.3. MAGNEETTINEN ENERGIA 117 Jos suhteellinen permeabiliteetti on kaikkialla 1, on magneettinen energiatiheys u = B µ 0. Esim.: uprajohtavissa magneeteissa on tyypillinen magneettivuon tiheyden arvo B 10 T, jolloin u 4 10 7 J/m 3. uurimpia makroskooppisia sähkökenttiä (E 10 7 V/m) vastaava sähköinen energiatiheys on noin 450 J/m 3, eli paljon pienempi. Todistetaan yhtälö (6.35) nyt yleisesti. Tarkastellaan jälleen n:n ideaalisen virtapiirin muodostamaa systeemiä. Piirissä i kulkee virta I i ja sen läpi kulkeva kokonaismagneettivuo on Φ i = B d, i missä B on kaikkien systeemin virtojen aiheuttama magneettivuon tiheys. Koska B = A, on tokesin lauseen nojalla Φ i = A d = A dl, i missä l i on pinnan i rajakäyrä. ysteemin magneettinen kokonaisenergia on yhtälön (6.7) mukaan U = 1 n I i Φ i = 1 n I i A dl. (6.39) i=1 i=1 l i Virrat I i voidaan esittää myös vapaan virtatiheyden j f avulla, joka on nollasta poikkeava johtimissa ja häviää muualla. Koska I i = j f, missä on johtimen poikkipinta, ja j f ja dl ovat samansuuntaisia, voidaan I i dl korvata j f dτ:lla, jolloin U = 1 A j f dτ. (6.40) Koska Ampèren lain mukaan j f = H, on U = 1 A Hdτ. Käyttämällä vektori-identiteettiä (A H) =H ( A) A ( H), l i josta A ( H) =H ( A) (A H), saadaan divergenssilauseen avulla U = 1 H Adτ 1 (A H) dτ = 1 H Adτ 1 A H d,
118 missä on äärettömän kaukana oleva pinta, joka sulkee sisäänsä koko avaruuden. Koska kentät pienenevät r:n funktioina vähintään kuten 1/r, pienenee A vähintään kuten 1/r ja A H kuten 1/r 3. Jos on pallo, sen pinta-ala on kääntäen verrannnollinen säteen neliöön, joten pintaintegraali A H d pienenee vähintään kuten 1/r eli äärettömän suuri pallo antaa pintaintegraaliksi nollan. On siis voimassa U = 1 H Adτ = 1 H B dτ, eli tulos (6.35) on voimassa yleisesti, mikäli avaruudessa ei ole ferromagneettisia aineita. Likimääräisesti tätä voidaan käyttää myös ferromagneettisille aineille, jolloin epälineaarista riippuvuutta B = B(H) approksimoidaan suoralla. 6.3.5 Epälineaariset väliaineet ja hysteresis Myös ferromagneettisia aineita sisältävissä systeemeissä virtapiirin jännitelähde tekee ajassa työn dw P = I dφ. (6.36) Koska B ei ole verrannollinen H:hon, ei myöskään Φ ole verrannollinen I:hin, eikä voida kirjoittaa U = IΦ/, kuten yhtälössä (6.7) tehtiin. en sijaan aina on voimassa Φ= B d, josta dφ = B t d dw P = I B t d. Faradayn lain mukaan E = B/ t, joten tokesin lauseen avulla dw P = I E d = I E dl. Vapaan virtatiheyden j f = H avulla Idl j f dτ, joten Koska josta dw P = E j f dτ = E H dτ. (E H) =H E E H, E H = H E (E H),
6.3. MAGNEETTINEN ENERGIA 119 saadaan divergenssilauseen avulla dw P = = H Edτ + H Edτ + (E H) dτ (E H) d. Kun :n annetaan lähestyä äärettömyyttä, pintaintegraali lähestyy nollaa, ja Faradayn lain mukaan dw P = H Edτ = 0 H B t dτ. Kentän B muuttuessa määrällä db on jännitelähteen tekemä työ siis dw P = H B t dτ = H db dτ. (6.37) Jos kenttää kasvatetaan välillä 0 B 0, tekee jännitelähde työn B 0 W P = H db dτ. (6.38) Kun kenttä pienennetään takaisin nollaan, on työ kokonaistyö nolla, mikäli nollaan palataan HB-tasossa pitkin samaa tietä, sillä silloin B 0 0 H db = 0 B 0 H db. Jos sen sijaan palataan pitkin eri tietä, kuten yleensä tapahtuu, kun demagnetoinnissa liikutaan pitkin hysteresiskäyrää, työ ei ole nolla, ja osa energiasta muuttuu väliaineessa lämmöksi. Tätä energiaa nimitetään hysteresishäviöksi. Yhtälöstä (6.38) nähdään, että kierrettäessä hysteresiskäyrän ympäri tapahtuu hysteresishäviö, jonka suuruus aineen tilavuusyksikköä kohti on hysteresiskäyrän pinta-ala. Kun ferromagneettista ainetta käytetään esimerkiksi muuntajan sydämessä, vaihtovirran jokaisen periodin aikana syntyy hysteresishäviö, jonka suuruus on muuntajasydämen tilavuus kertaa hysteresiskäyrän pinta-ala. Tämä energia muuttuu lämmöksi muuntajan sydämessä. Hysteresishäviö on suurimmillaan, jos sydämen annetaan saturoitua. Normaalisti kentät pyritään rajoittamaan siten, ettei saturaatiota synny, vaan kuljetaan pitkin jotain pienempää hysteresiskäyrää. Tällöin hysteresishäviön aiheuttama kuumeneminen on pienempi. Hysteresishäviön lisäksi muuntajasydän kuumenee myös sydämeen indusoituvan sähkökentän vaikutuksesta. Koska sydän on johtava, indusoitu sähkökenttä synnyttää pyörrevirtoja, joiden kuluttama teho muuttuu lämmöksi. Pyörrevirtojen vaikutusta pyritään vähentämään rakentamalla ydin liuskoista, joiden väliin asetettu ohut eriste estää pyörrevirtojen kulkua.