4 Tasavirrat ja magneettikentät

Transkriptio

1 4 Tasavirrat ja magneettikentät Edellisissä luvuissa käsiteltiin paikallaan olevien sähkövarausten välisiä voimia. Jos varaus on liikkeessä, se voi kokea myös magneettisen voiman. Magneettinen voima johtuu muiden liikkuvien varausten tai kestomagneettien vaikutuksesta kyseiseen liikkuvaan varaukseen. Magneettista voimavaikutusta kuvataan magneettikentän avulla. Tässä luvussa tarkastellaan magneettista voimaa ja magneettikenttiä sekä esitetään laskentamenetelmiä, joiden avulla magneettikenttä voidaan laskea, kun sähkövirtojen jakauma tunnetaan. 4.1 Johtavuus ja lähdejännite Virta ja resistanssi Kiinteissä johteissa osa elektroneista (johde-elektronit) voi liikkua vapaasti. Johdeelektronien liike on stokastista ja ne törmäilevät kidehilan atomeihin muuttaen jatkuvasti liikkeensä suuntaa. ähköstaattisessa tilanteessa (E = 0) on tämän elektronikaasun keskimääräinen nopeusvektori nolla. Jos johteessa ylläpidetään nollasta poikkeavaa sähkökenttää E, kohdistuu elektroneihin voima ee, jonka vaikutuksesta johde-elektronit pyrkivät muuttamaan nopeuttaan kyseisen voiman suuntaan törmäysten välillä. illoin elektronikaasu saa keskimääräisen nopeuden v, joka on kentän suunnalle vastakkainen. Kiinteissä johteissa sähköä johtavat siis johde-elektronit. Positiivisesti varautuneet atomit ovat kiinni kidehilassa eivätkä pääse vapaasti liikkumaan. Johdeaineet ovat kuitenkin yleensä ulospäin sähköisesti neutraaleja, ts. ne sisältävät yhtä paljon positiivisia ja negatiivisia varauksia. Nesteissä ja kaasuissa pääsevät atomitkin liikkumaan ja voivat ionisoituneina kuljettaa sähkövirtaa. Jos johde-elektronien tiheys on N, kuljettaa nopeudella v kulkeva elektronikaasu v:tä vastaan kohtisuoran pintayksikön läpi aikayksikössä sähkömäärän Nev. Voidaan siis määritellä virtatiheys Virtatiheyden yksikkö on [j] =[N][e][v] = 1 m 3 C m s = j = Nev. (4.1) 57 C m 2 s = A m 2.

2 58 Pinnan läpi kulkeva virta I on virtatiheyden vuo, eli I = j d, (4.2) ja virran yksikkö ona/m 2 m 2 = A. Virta kertoo siis pinnan läpi aikayksikössä kulkevan varauksen määrän. Virran pysyessä vakiona johteen jokaisen poikkipinnan läpi kulkeva virta on sama. Virran suuruuden määrää johteeseen saapuvien elektronien määrä aikayksikössä. tationaarisessa tilanteessa johteeseen saapuvien ja johteesta lähtevien elektronien määrä on sama, ts. ei tapahdu varauksen kertymistä johteeseen. Elektronien keskimääräisen nopeuden suuruutta voidaan arvioida seuraavasti. Oletetaan tasapaksu johde, jonka poikkipinta-ala on A, jolloin j on johteen suuntainen ja I = NevA. (4.3) Hyvällä johteella johde-elektroneja on noin 1 kpl/atomi. Esimerkiksi kuparissa N m 3. Jos A =1mm 2 ja I = 1 A, on v = I NeA = , m s 10 4 m/s, mikä on hyvin pieni nopeus. Esimerkiksi elektronien terminen nopeus on paljon suurempi. Useissa aineissa virtatiheys on verrannollinen sähkökenttään, eli on voimassa Ohmin laki j = σe. (4.4) Verrannollisuuskerroin σ on johtavuus (conductivity) ja se on kullekin aineelle ominainen, mutta esimerkiksi lämpötilasta riippuva suure. Tarkastellaan homogeenista johdinta (σ vakio), jonka poikkipinta A on vakio. Jos johtimessa on sähkökenttä E, on virta I = A j d = σ A E d. (4.5) Jos johtimen päiden välistä potentiaalieroa V pidetään vakiona ja johtimen pituus on l, one = V/l, joten (4.5) saadaan muotoon I = σae = σav/l. (4.6) Jännitteen ja virran suhde R = V I = l σa on johtimen resistanssi (vastus). Resistanssin yksikköon (4.7) [R] = [V ] [I] = V A = Ω (ohmi)

3 4.1. JOHTAVUU JA LÄHDEJÄNNITE 59 ja johtavuuden yksiköksi saadaan (Ωm) 1. Yleisessä tapauksessa johdekappale voi olla mielivaltaisen muotoinen ja sähkökenttä voi vaihdella paikan funktiona. Kuitenkin, aina kun (4.4) on voimassa, on virta verrannollinen jännitteeseen ja on mahdollista määritellä johteen resistanssi. Ohmin laki ei kuitenkaan aina ole voimassa. Esimerkiksi kaasut noudattavat Ohmin lakia vain, kun sähkökenttä on riittävän pieni; suuressa sähkökentässä tapahtuu sähköpurkaus, jossa johtavuus kasvaa epälineaarisesti. Toisaalta jotkut aineet muuttuvat matalissa lämpötiloissa suprajohtaviksi, jolloin johtavuus kasvaa lähes äärettömän suureksi. Johtavuuden käänteisarvosta ρ = 1/σ käytetään nimitystä ominaisvastus eli resistiivisyys. Resistiivisyyden yksikköonωm. Jotta virta voisi kulkea johtimessa, on sen päiden välillä pidettävä keinotekoisesti yllä potentiaalieroa jännitelähteen avulla. Kuormittamattoman jännitelähteen napajännitteestäkäytetään nimitystälähdejännite (electromotive force, emf); vanha termi on sähkömotorinen voima (smv). Jännitelähteitä ovat mm. sähköparistot ja akut, joissa kemiallinen energia muuttuu sähköenergiaksi, sekä aurinkokennot, joissa valon sisältämä energia muuttuu sähköenergiaksi. Kun vastuksen läpi kulkee virta I, kulkee ajassa dt sen jokaisen poikkipinnan läpi ja siis koko vastuksen läpi varaus dq, joten I = dq dt. Tämä varaus menettää potentiaalienergian Vdq, missä V on vastuksen päiden välinen jännite. Vastuksen kuluttama teho on siis P = V dq dt = VI = I2 R = V 2 R. (4.8) Tämä metallisten johteiden teoria on suuresti yksinkertaistettu. Kuitenkin se kuvaa sähkövirtojen ominaisuuksia riittävän hyvin monia käytännön tarpeita varten. Tarkemmassa kuvauksessa tarvitaan kvanttimekaniikkaa Resistanssin laskeminen Resistanssin laskeminen mielivaltaisen muotoiselle kappaleelle voi olla monimutkainen tehtävä. euraava esimerkki valaisee laskemisen periaatetta. Tarkastellaan kahta sisäkkäistä sylinteriä, joiden säteet ovat a ja b ja joiden välille on kytketty jännite V. ylinterien välinen tilavuus on täytetty aineella, jonka johtavuus on σ. Lasketaan sylinterien välinen vastus, kun sylinterien pituus on L. Kokonaisvirta voidaan laskea integroimalla virtatiheys esimerkiksi pinnan 1 yli, eli V a b σ Kuva 4.1 1

4 60 I = j d. (4.9) 1 Koska j = σe, ja pinnalla 1 sähkökentän radiaalikomponentti E(a) = vakio, on I =2πaLσE(a). (4.10) Tämän jälkeen on esitettävä E(a) V :n avulla. Koska sähkökenttä on staattinen (ajallisesti vakio), on myös E = φ, (4.11) joten Ohmin laki saadaan muotoon j = σ φ. Ottamalla tästä divergenssi saadaan j = σ φ = σ 2 φ. Kun virta ei muutu ajan funktiona, ei mihinkään tilavuuteen kerry avaruusvarausta, joten virtatiheyden vuo mielivaltaisen suljetun pinnan läpi johteessa on välttämättä nolla. iis divergenssilauseen avulla j d = j dτ =0. Koska tilavuus V on mielivaltainen, on tämän perusteella välttämättä V j =0. Näin ollen virtaa kuljettavassa neutraalissa johteessakin on ajasta riipumattomassa tilanteessa voimassa Laplacen yhtälö 2 φ =0. (4.12) ama yhtälö on voimassa sähköstatiikassa. Laplacen yhtälön sylinterisymmetrinen ratkaisu on tunnetusti muotoa φ = A ln r +. (4.13) Reunaehdosta φ(b) = 0 saadaan = A ln b, joten φ(r) =A ln(r/b). Koska φ(a) = V, saadaan edelleen A = V/ln(a/b), joten φ(r) = V ln(a/b) ln r b. Tällöin sähkökentän radiaalikomponentti sylinterikoordinaatistossa on E = dφ dr = V ln(a/b) 1 r = V ln(b/a) 1 r ja E(a) = V a ln(b/a).

5 4.2. MAGNEETTIKENTTÄ 61 Kaava (4.10) saadaan nyt muotoon I =2πaσL V a ln(b/a) = 2πσLV ln(b/a). Resistanssi on siis R = V I = ln(b/a) 2πσL. (4.14) Tämän kaavan avulla voidaan laskea vuotovirtoja koaksiaalikaapeleissa. Jos esimerkiksi eristeessä σ =10 12 /(Ωm), L = 100 m, a =1, 5mmjab = 10 mm, niin R Ω. 4.2 Magneettikenttä Lorentz-voima Liikkuviin varauksiin havaitaan sähköisten voimien lisäksi vaikuttavan myös magneettisia voimia. Jos asetetaan kaksi virtajohdinta lähekkäin, havaitaan johdinten välilläve- tovoima, jos virtojen suunnat ovat samat, ja poistovoima, jos suunnat ovat vastakkaiset. amoin kestomagneetin kentässä olevaan virtajohtimeen vaikuttaa magneettinen voima. Tässäkin tapauksessa I 1 I 2 F F Kuva 4.2 voiman suunta muuttuu vastakkaiseksi, jos virran suunta muuttuu. Kokeet osoittavat, että voima on verrannollinen virtaan. Koska I qv, on myös F qv. Lisäksi havaitaan, että magneettikentän suunnan ja varausten nopeuksien suunnan välisen kulman vaikutus on sellainen, että varaukseen q vaikuttava voima voidaan esittää muodossa F = qv. (4.15) missä on magneettivuon tiheys (englanniksi magnetic induction; joskus myös suomeksi magneettinen induktio). Voima on siis kohtisuorassa sekä magneettikenttää että nopeutta vastaan. Tästä voimasta käytetään nimitystä Lorentz-voima. Komponenttimuodossa F x = q(v y z v z y ) F y = q(v z x v x z ) F z = q(v x y v y x ). F I 1 I 2 F

6 62 Yhtälöä (4.15) voidaan pitää magneettivuon tiheyden määritelmänä. Magneettivuon tiheyden yksikkö I-järjestelmässä on [] = [F ] [q][v] = Ns Cm = Nms As m 2 = J Am = VAs 2 Am = Vs 2 m = T 2 (tesla), cgs-systeemissä yksikkö on gauss; 1G=10 4 T. Maan magneettikentän vuon tiheys on suuruusluokkaa 1 G. Rautasydämisen sähkömagneetin aiheuttamat kentät voivat olla jopa 2 T ja tiettyjen atomiytimien läheisyydessä = 10 4 T. ähkö- ja magneettikentän yhteisvaikutuksena varaukseen q vaikuttaa kokonaisvoima F = qe + qv. (4.16) Magneettikentän kenttäviivat ja Hall-ilmiö Kenttäviivakäsitettä voidaan käyttää ilmaisemaan myös magneet- - P - - F tivuon tiheyden suuntaa ja suuruutta: :n suunta on kenttävii- L I v - E A + Q van tangentin suunta kussakin pisteessä ja kenttäviivojen tiheys on Kuva 4.6 verrannollinen :n itseisarvoon. Magneettivuon tiheyden mittaaminen voidaan suorittaa Hall-kiteen avulla. Asetetaan johtava levy kohtisuoraan magneettikenttää vastaan ja ohjataan sen läpi virta I. Lorentz-voiman vaikutuksesta elektronit pyrkivät kohti pintaa P, jolle syntyy negatiivinen varaus. Tällöin pinnalle Q jää positiivinen varaus, joten syntyy :tä ja I:tä vastaan kohtisuora sähkökenttä. Varausten kertymistä jatkuu, kunnes syntyneen sähkökentän aiheuttama voima kumoaa magneettisen voiman. iis ee ev =0. Tätä mekanismia kutsutaan Hall-ilmiöksi. Jos pintojen P ja Q välinen etäisyys on L, on niiden välinen potentiaaliero eli Hall-jännite V H = EL = vl. Kun N on johde-elektronien tiheys ja A on levyn poikkipinta, on I = NevA, joten V H = IL. (4.17) NeA Mittaamalla V H ja I saadaan lasketuksi, kun L, N ja A tunnetaan. iis Hallkidettä voidaan käyttää magneettivuon tiheyden mittaamiseen. Esim: Kuparissa johde-elektroneja on noin 1 kpl/atomi. Jos valitaan L = 0,5 cm ja d = 0,1 cm on A = m 2. Jos vielä =1TjaI = 1 A, saadaan V H =10 7 V. Näin pientä jännitettä on hankala mitata. Koska N on nimittäjässä kaavassa

7 4.2. MAGNEETTIKENTTÄ 63 (4.17), on hyvä johde huono Hall-kiteen rakennusaine. Käyttämällä puolijohteita, joissa vapaiden elektronien määrä johteisiin verrattuna on kertainen, saadaan voltin suuruusluokkaa olevia Hall-jännitteitä, joiden mittaaminen käy helposti. Kun tutkitaan magneettikenttää pitkän suoran virtajohtimen ympärillä, havaitaan, että :n kenttäviivat ovat ympyröitä ja:n itseisarvo pienenee kääntäen verrannollisena johtimesta mitattuun etäisyyteen. Kentän suunta on oikeakätinen kiertosuunta virran suuntaan katsottaessa. uljetun virtasilmukan kentän voimaviivojen havaitaan kulkevan silmukan läpi. Jos silmukka on hyvin pieni, sen kenttä on samantapainen kuin sellaisella sähköisellä dipolilla, jonka dipolimomentti on virtasilmukan normaalin suuntainen. I Kuva 4.7 Kaikissa tunnetuissa tilanteissa magneettikentän voimaviivat ovat sulkeutuvia eli jatkuvia. Niillä ei ole alkua eikä loppua. Tässä suhteessa magneettikenttä poikkeaa staattisesta sähkökentästä, jonka voimaviivat alkavat positiivisesta varauksesta ja päättyvät negatiiviseen varaukseen. Mielivaltaisen suljetun pinnan läpi menee siis yhtä monta I :n kenttäviivaa sisälle kuin tulee ulos, eli kokonaisvuo suljetun pinnan lävitse häviää. Tämä voidaan kirjoittaa muotoon Kuva 4.8 d =0. (4.18) Jos V on :n sisältämä tilavuus, saadaan divergenssilauseen avulla V dτ =0. Koska tämä on voimassa kaikissa tilavuuksissa V,on =0. (4.19) Tällä yhtälöllä on sama asema magneettikentän suhteen kuin Gaussin lailla sähkökentän suhteen. Koska D = ρ f, voidaan (4.19) tulkita siten, ettei magneettikentällä ole lähteitä; ts. vapaita magneettisia varauksia (magneettisia monopoleja) ei ole olemassa. Magneettisia monopoleja on etsitty erilaisin koejärjestelyin, mutta ilman tulosta.

8 Magneettimomentti Tarkastellaan aluksi :n voimavaikutusta virtajohtimeen. Johde-elektronien varaus pienessä johdinalkiossa dl on en Adl. Magneettikentän aiheuttama kokonaisvoima alkioon dl on df = enadl v. Virran suuntainen johdinelementti voidaan esittää vektorina dl = dlv/v. Tämän avulla df = enavdl = Idl Koko johtimeen vaikuttava voima on siis F = I dl. (4.20) Ampeerin määritelmä: Tarkastellaan kahta pitkää yhdensuuntaista johdinta, jotka kuljettavat virtoja I 1 ja I 2. Virtajohtimet vaikuttavat toisiinsa synnyttämiensä magneettikenttien välityksellä. Kaavan (4.20) mukaan esimerkiksi johdin 1 vaikuttaa johtimeen 2 voimalla F 12 /l = I 2 1. Toisaalta 1 I 1, joten F 12 I 1 I 2. Ampeeri määritellään virtajohtimien välisen voimavaikutuksen avulla. Jos kahden yhdensuuntaisen pitkän johtimen välinen etäisyys on 1 m, johtimissa kulkee yhtäsuuret virrat ja johtimien välillä vaikuttaa voima N/m, on johtimissa kulkevien virtojen voimakkuus 1 A. Ampeeri on ainoa sähköopin yksikkö, joka määritellään kokeellisesti. Kun ampeeri tunnetaan, coulombi määräytyy ampeerin ja sekunnin avulla Virtasilmukka magneettikentässä Katsotaan oheisten kuvien mukaista suorakaiteen muotoista virtasilmukkaa, jonka sivujen pituudet ovat δl 1 ja δl 2 ja jossa kulkee virta I. ilmukka on magneettikentässä. Välillä PQ virta ja ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, joten siihen vaikuttaa kokonaisvoima δf 1 = IδL 1, δ θ δl 1 R δl 2 Kuva 4.9 P I Q jonka suunta on kohtisuorassa I:n ja :n suuntia vastaan. Välillä R vaikuttaa voima δf 2 = δf 1.Nämä kaksi voimaa kumoavat toisensa. amoin väleillä QR ja P vaikuttavien voimien summa on nolla. Virtasilmukkaan vaikuttavien voimien kokonaissumma on siis nolla. en sijaan voimat δf 1 ja δf 2 muodostavat voimaparin, jonka momentti on δ δf 1 P θ δl 2 δf 2 Kuva 4.10

9 4.3. MAGNEETTIMOMENTTI 65 T = δf 1 δl 2 sin θ = IδL 1 δl 2 sin θ = Iδ sin θ, (4.21) missä δ on silmukan pinta-ala. ivuihin QR ja P vaikuttavat voimat ovat samalla suoralla ja siksi niiden momentti häviää. Käyttäen voiman momentin määritelmää T = r F tulos voidaan kirjoittaa vektorimuotoon T = Iδ, (4.22) missä positiivinen δ:n suunta on valittu siten, että sen suuntaan katsottaessa virran kiertosuunta on oikeakätinen. Yhtälö (4.22) on voimassa riippumatta silmukan muodosta. Momentti T pyrkii kääntämään δ:n :n suuntaiseksi. Tämä suunta on sellainen, että silmukan tuottaman magneettikentän pohjoisnapa osoittaa ulkoisen kentän etelänapaa kohti. Jos silmukkaa väännetään vastakkaiseen suuntaan momentilla -T, on tehty työ yhtä suuri kuin silmukan potentiaalienergian muutos. iis du P = dw = Tdθ = Iδ sin θdθ, eli U P = Tdθ + U 0 = Iδ cos θ + U 0. Jos valitaan U P (π/2) = 0, on U 0 =0. Tällöin U P = Iδ cos θ = Iδ. (4.23) Magneettimomentti ja sen kenttä Pieni virtasilmukka magneettikentässä muistuttaa sähködipolia p, jonka potentiaalienergia sähkökentässä E on yhtälön (2.11) mukaan U = p E. Myös virtasilmukan aiheuttaman magneettikentän kenttäviivojen muoto on samanlainen kuin p:n aiheuttaman sähkökentän kenttäviivojen muoto. Tämä analogia tulee vielä ilmeisemmäksi kun määritellään virtasilmukan magneettimomentti m = I, (4.24) missä on silmukan pinta-ala ja I virta. Pintavektori on valittu siten, että sen suuntaan katsottaessa virta kiertää oikeakätisesti. Magneettisen momentin avulla virtasilmukkaan magneettikentässä vaikuttava vääntömomentti on T = m (4.25) ja virtasilmukan potentiaalienergia on U p = m. (4.26)

10 66 Magneettimomentin yksikkö onam 2. Esim. Jos A =50mm 2 ja I =0, 2A,onm =10 5 Am 2. Jos tämä silmukka pannaan kohtisuorassa asennossa kenttään =0, 1T,onT =10 6 Nm. Tämä vastaa momenttia, jonka 0,1 mg:n punnus aiheuttaa 1 m:n päässä Maan vetovoimakentässä. Jos magneettimomentti asetetaan epähomogeeniseen kenttään siihen vaikuttava voima F = U p, eli F = (m ). (4.27) Jos m osoittaa z-akselin suuntaisen kentän suuntaan, saadaan F = m z z. Esim. Jos atomilla on magneettimomentti, se on tyypillisesti suuruusluokkaa Am 2. uurimmat magneettivuon tiheyden gradientit ovat laboratorio-olosuhteissa noin 10 T/m, jolloin atomiin vaikuttaa voima F =10 22 N. Tämä on noin 50 kertaa keskimääräisen atomin paino. Magneettimomentin kenttä on erittäin hyödyllinen käsite, koska kaikkien virtapiirien aiheuttamat kentät voidaan laskea pienten virtasilmukoiden kenttien avulla atomin ydintä kiertävät elektronit muodostavat virtasilmukoita, jotka vaikuttavat aineen magneettisiin ominaisuuksiin. Myöhemmin osoitetaan, että ympyränmuotoisen a-säteisen virtasilmukan aiheuttama magneettivuon tiheys silmukan akselilla etäisyydellä r on (r) = µ 0 Ia 2, (4.40) 2(a 2 + r 2 ) 3/2 I a r a 2 + r 2 missä µ 0 on tyhjiön permeabiliteetti. I-yksiköissä µ 0 =4π 10 7 Vs/Am. Magneettimomentin määritelmän perusteella m = Iπa 2. Magneettivuon tiheys akselilla on siis (r) = µ 0 4π 2m (a 2 + r 2 ) µ 0 3/2 4π 2m, kun r a. (4.29) r3 Magneettikentän suunta akselilla on sama kuin silmukan magneettimomentin suunta.

11 4.4. AMPÈREN LAKI 67 Esim. Jos m =10 5 Am 2, sen aiheuttama vuon tiheys metrin etäisyydellä magneettimomentin suunnassa on noin T. Esim. Maan magneettikentän dipoliapproksimaatio. Maan magneettikenttää voidaan approksimoida moniin tarkoituksiin riittävän tarkasti maapallon keskipisteeseen asetetun magneettimomentin m =8, Am 2 avulla. Navoilla eli pisteissä, joissa m:n suuntainen suora leikkaa maanpinnan = µ 0 4π 2m =6, T. φ RE 3 m Magneetisten napojen sijainnit maantieteellisessä koordinaatistossa ovat etelänapa: 79 o N, 70 o W pohjoisnapa: 79 o,70 o E. Magneettinen etelänapa sijaitsee siis pohjoisella ja pohjoinen eteläisellä pallonpuoliskolla. Tämä johtuu tavasta, jolla sauvamagneetin tai magneettineulan navat aikoinaan määriteltiin. Pohjoiseen pyrkivä pää nimettiin pohjoisnavaksi ja etelään pyrkivä etelänavaksi. Koska Maa on suuri mangeetti ja kahden magneetin vastakkaismerkkiset navat vetävät toisiaan puoleensa, täytyy silloin Maan magneettisen etelänavan sijaita pohjoisella pallonpuoliskolla. Maan magneettimomentin avulla voidaan määritellä ns. geomagneettinen koordinaatisto missä φ on geomagneettinen leveysaste λ on geomagneettinen pituusaste r etäisyys etäisyys maapallon keskipisteestä. Tässä koordinaatistossa N sin 2 φ = µ 0 4π m r 3 Magneettinen koordinaatisto ei ole ajallisesti vakio, sillä magneettiset navat vaeltavat. Lisäksi Maan magneettikenttä ontällä hetkellä hitaasti heikkenemässä. Dipolikenttä eimyöskään kuvaa Maan kenttää tarkasti, vaan kentässä on paikallisia anomalioita, esimerkiksi ns. outh Atlantic Anomaly (AA). Myöskin avaruuden sähkövirrat muokkaavat suuresti Maan pinnalla havaittavaa kenttää. 4.4 Ampèren laki Tässä kappaleessa esitellään kaksi tärkeää lakia, iot-avartin ja Ampèren lait, jotka kuvaavat tasavirtojen ja niiden synnyttämien magneettikenttien yhteyttä. Esitys poikkeaa hieman Grant-Phillipsin kirjasta, jossa Ampèren laki perustellaan sähködipolin ja magneettimomentin välisen analogian avulla. Tässä käytetään kuitenkin tavanomaisempaa tarkastelutapaa, jossa lähdetään liikkeelle iot-avartin laista. r

12 68 Koska iot-avartin laki ja Ampèren laki ovat yhtäpitävät, ovat molemmat esitystavat yhtä oikeita iot-avartin laki Tarkastellaan pitkää virtajohdinta, jossa kulkee virta I. Etäisyydellä r johtimesta magneettikenttä on atsimuuttikulman suuntainen ja magneettivuon tiheys on (r) = µ 0I 2πr. (4.34) Tämän kokeellisen tuloksen ovat ensimmäisinä esittäneet iot ja avart ja siksi sitä tulisi oikeastaan nimittää iot-avartin laiksi. Usein siitä kuitenkin käytetään nimitystä Ampèren laki. Tulos voidaan johtaa yleisempien Ampèren ja iot- avartin lakien avulla. Yhtälössä (4.34) on kaikkien eri etäisyydellä olevien suoran johtimen virta-alkioiden tuottamat magneettivuon tiheydet laskettu yhteen. Jos johdin ei ole suora, ovat eri paikoissa johdinta olevat virta-alkiot eri suuntaisia. Kaikki havainnot osoittavat, että johtimen muodosta riippumatta yhden virta-alkion dl aiheuttama magneettivuon tiheys on suoraan verrannollinen virtaan I sekä kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. Lisäksi sen suunta on kohtisuorassa sekä dl :ää että virtaalkiosta havaintopisteeseen piirrettyä etäisyysvektoria vastaan. Pisteessä r olevan virta-alkion dl aiheuttama pieni magneettivuon tiheysvektori pisteessä r on I r d = µ 0I 4π dl (r r ) r r 3. Tällöin koko johtimen aiheuttama magneettivuon tiheys pisteessä r on kaikkien virtaalkioiden aiheuttamien kenttien summa (r) = µ 0I 4π dl (r r ) r r 3. (4.32) dl I r - r r O Kuva 4.15 r d P Tämä on iot-avartin lain yleinen muoto ja se on voimassa mielivaltaisen muotoiselle virtajohtimelle. Joskus tästä käytetään myös nimitystä Ampère-Laplacen laki. iot-avartin laki on kokeellinen tulos, jolla on sama asema magnetostatiikassa kuin Coulombin sähkökentän lausekkeella sähköstatiikassa. Esim. 1: Osoitetaan ensin, että yhtälöstä (4.32) todella saadaan integroimalla yhtälö (4.34), eli pitkän suoran virtajohtimen kenttä. Valitaan origo pisteeseen O siten, että OP on kohtisuorassa johdinta vastaan. Merkitään r = ze x, ja dl = dze z.

13 4.4. AMPÈREN LAKI 69 Geometrian perusteella z/r = tan α dz = rdα cos 2 α z I dl θ ja r r r = cos α 1 r r = cos α. r e z O α r P d Näiden avulla dl (r r ) r r 3 = dz r r sin θ r r 3 = dz cos α r r 2 = cos α rdα cos 2 α cos2 α r 2 = 1 cos αdα, r missä onkäytetty tietoa sin θ = sin(π θ) = cos α. Jokaisen d:n suunta on sama, joten kenttien itseisarvot voidaan laskea yhteen. Näin saadaan (r) = d = = µ +π/2 0I 4πr / π/2 µ0 I 4π Tulos on siis sama kuin yhtälössä (4.34). dl (r r ) r r 3 = µ 0I 4π sin α = µ 0I 4πr 2= µ 0I 2πr. Esim. 2: Lasketaan seuraavaksi magneettivuon tiheys ympyräjohtimen akselilla. Katsotaan kahta ympyrän vastakkaisilla puolilla olevaa alkiota dl 1 ja dl 2. Ilmeisesti dl 1 (r r )jadl 2 (r r ). Kenttäalkioiden d 1 ja d 2 y-komponentit ovat yhtä suuret mutta vastakkaissuuntaiset, joten ne kumoavat toisensa. en sijaan x-komponentit ovat z yhtä suuret ja samansuuntaiset. iis riittää kun lasketaan komponentti d x = d 1 cos θ, I y r θ a +π/2 π/2 O dl 2 dl 1 1 cos α dα r r - r missä d 1 = µ 0I dl 1 (r r ) 4π r r 3 = µ 0I dl 1 4π r r 2 Jokainen virtaelementti aiheuttaa samansuuruisen d x :n, joten x (r) = µ 0I dl 1 cos θ 4π r r 2 = µ 0I a 4π a2 + r 1 2 (a 2 + r 2 ) µ 0 Ia = 4π(a 2 + r 2 ) 2πa = µ 0 Ia 2 3/2 2(a 2 + r 2 ). 3/2 Tämä tulos esitettin aiemmin kaavassa (4.40). r d 2 θ P x d 1 dl 1

14 Ampèren laki iot-avartin lain lisäksi magneettivuon tiheys voidaan laskea myös Ampèren lain avulla. Kun iot-avartin lailla on magnetostatiikassa sama asema kuin Coulombin lailla sähköstatiikassa, on Ampèren lailla puolestaan sama asema kuin Gaussin lailla. iot-avartin laki ja Ampèren laki ovat siis ekvivalentteja. Tämä todistetaan myöhemmin kappaleessa Ampèren lain mukaan dl = µ 0 I i = µ 0 j d, (4.31) C i missä C on mielivaltainen suljettu käyrä ja on pinta, jonka rajakäyrä C on. Tämä on Ampèren lain integraalimuoto, ja se tarkoittaa, että magneettivuon tiheyden viivaintegraali pitkin suljettua tietä on aina sama kuin permeabiliteetti kertaa se kokonaisvirta, joka kulkee tien lävitse. Tämä on voimassa riippumatta siitä, millainen virtojen jakauma on. Ampèren lain avulla voidaan laskea helposti erityisesti symmetristen virtajakautumien tapauksessa. Ampèren laissa virta I on skalaarisuure, joka voi olla positiivinen tai negatiivinen. Merkkisääntö on seuraava: Määritellään C:n sisään jäävän pinnan pintavektori siten, että :n suuntaan katsottaessa integointisuunta kiertää oikeakätisesti. Jos virta kulkee C:n läpi :n suuntaan, on virta positiivinen, jos taas vastakkaiseen suuntaan, virta on negatiivinen. Esimerkiksi oheisessa kuvassa I 1 C I 3 I 4 I 2 dl I = I 1 + I 2 I 2 I 3 + I 4 = I 1 I 3 + I 4. Esim.: Pitkän suoran johtimen kentän laskeminen Ampèren lain avulla. Lasketaan :n integraali pitkin r-säteistä ympyrää. Koska ja dl ovat samansuuntaisia, on dl = dl = dl = 2πr = µ 0 I, josta C C C = µ 0I 2πr. Esim.: Kenttä pitkän solenoidin sisällä Tarkastellaan ohutta pitkää solenoidia, jonka kierrosten lukumäärä pituusyksikköä kohti on N. olenoidin läpi kulkee virta I. Valitaan sellainen integrointitie, joka kulkee L:n mittaisen matkan solenoidin sisällä sen akselin suuntaisena, kulkee sitten solenoidin lävitse ja sulkeutuu kaukana sen ulkopuolella. Pitkin tätä tietä

15 4.4. AMPÈREN LAKI 71 A L Q d D C P I Kuva 4.17 dl = NLµ 0 I, (4.35) sillä integrointitien rajoittaman pinnan läpi kulkee virta NLI. olenoidin silmukoiden tuottamat kentät summautuvat sisällä mutta kaukana solenoidin ulkopuolella kenttä on heikko. Likimäärin voidaan siis katsoa, että integraaliin tulee kontribuutiota vain solenoidin sisältä L:n mittaiselta matkalta, muulta osalta integroimistietä tuleva kontribuutio on niin vähäinen, että sejätetään huomiotta. Ampèren laki antaa siis likimääräisen kaavan josta Jos I =1AjaN =20/cm on L = NLµ 0 I, = µ 0 NI. (4.36) =4π T=2, 5mT. Esim.: Atomin sisäisestä magneettikentästä voidaan saada karkea arvio seuraavasti. Oletetaan, että elektroni kiertää ydintä a-säteisellä ympyräradalla nopeudella v, jolloin sen kiertoaika on T = 2πa/v. Elektronin liike aiheuttaa sähkövirran I = e T = ev 2πa. Yhtälön (4.40) mukaan virta aiheuttaa radan keskipisteessä magneettivuon tiheyden = µ 0I 2a = µ 0ev 4πa 2 = µ 0e 4πm e a 3 m eva = µ 0e 4πm e a 3 L, missä m e on elektronin massa ja L = m e va on elektronin kiertoliikkeeseen liittyvä liikemäärämomentti. Atomitason ilmiöiden teoria edellyttää kvanttimekaniikan käyttöä. Kvanttimekaniikan mukaan liikemäärämomentti on kvantittunut suure ja sen komponenti mielivaltaisessa suunnassa voi saada vain suureen h/2π monikertoja, missä h =6, Js on Planckin vakio. Jos L = h/2π on magneettivuon tiheys elektronin radan keskipisteessä = µ 0eh 8π 2 m e a 3. (4.42)

16 72 ijoittamalla tähän vakioiden arvot ja atomin säteen suuruusluokka a =10 10 m, saadaan 2 T, mikä olisi erittäin suuri arvo makroskooppisissa kentissä. Tässä laskussa ei ole huomioitu elektronin ja ytimen ns. sisäisiä liikemäärämomentteja eli spinejä, jotka ovat samaa suuruusluokkaa kuin yllä laskettu rataimpulssimomentti. 4.5 Ampèren lain differentiaalimuoto amoin kuin Gaussin laki sähkökentille, voidaan Ampèren lakikin esittää sekä integraali- että differentiaalimuodossa. Ampèren lain differentiaalimuodossa tarvitaan magneettikentän roottoria ja tokesin lausetta :n roottori ja tokesin lause Vektorikentän F roottori (englanniksi curl eli pyörre) F on vektorikenttä, jonka komponentti jossakin suunnassa saadaan pitkin suljettua tietä lasketun F:n viivaintegraalin avulla. Integroimistie on tasossa, joka on kohtisuorassa kyseistä suuntaa vastaan ja integrointisuunta on oikeakätinen katsottaessa roottorin positiiviseksi määritellyn komponentin suuuntaan. Kun integraalin sulkeman alueen annetaan pienetä kohti nollaa, integraalin arvokin lähestyy nollaa, mutta integraalin ja alan suhde lähestyy arvoa lim δ 0 1 δ l F dl =( F) δ, (4.43) joka on F:n roottorin komponentti δ:n suunnassa. Pintavektori määritellään siten, että sen suuntaan katsottaessa integroinnin kiertosuunta on oikeakätinen. Lasketaan nyt kiertointegraali karteesisessa koordinaatistossa. Tarkastellaan pisteen (x, y, z) ympärillä olevaa xy-tason suuntaista neliötä, jonka sivujen pituudet ovat δx ja δy. Kiertointegraali tämän neliön ympäri on x x z z ( xf) z δx δy y Kuva 4.21 y F dl = F x (x, y 1 2 δy, z)δx + F y(x δx,y,z)δy Kun pinta-ala δ = δxδy 0, saadaan lim δ 0 1 δxδy F x (x, y δy, z)δx F y(x 1 2 δx,y,z)δy. F dl = F y (x + 1 lim 2 y(x 1 δx, y, z) 2 δx 0 δx F x (x, y + 1 lim 2 x(x, y 1 δy, z) 2 δy 0 δy = F y x F x y.

17 4.5. AMPÈREN LAIN DIFFERENTIAALIMUOTO 73 Yhtälön (4.43) ja valitun kiertosuunnan perusteella tämä on F:n z-komponentti ( F) z = F y x F x y. Integroimalla samalla tavalla yz- jaxz-tasoissa saadaan ( F) x = F z y F y z ( F) y = F x z F z x. Koko roottorivektori voidaan siis esittää determinanttimuodossa e x e y e z F = x y z F x F y F z ( Fz = y F ) ( y Fx e x + z z F ) ( z Fy e y + x x F ) x e z. (4.44) y taattisen sähkökentän kiertointegraali jokaisen suljetun tien yli on aina nolla, joten sen roottorin jokainen komponentti on nolla. Toisaalta staattinen sähkökenttä on konservatiivinen, joten se voidaan esittää potentiaalin φ gradienttina E = φ. Tällöin E = φ = 0, sillä gradientin roottori on aina nolla. iis myös näin nähdään, että sähkökentän roottori häviää. ellaisia vektorikenttiä, joiden roottori häviää, sanotaan myös pyörteettömiksi. Kaikki konservatiiviset kentät (kuten staattinen sähkökenttä) ovat siis pyörteettömiä. Tarkastellaan vielä mielivaltaisen avoimen pinnan rajakäyrää l pitkin laskettua integraalia. Jaetaan pinta pieniin pinta-alkioihin δ i, joiden reunaviivat ovat l i.tällöin on voimassa F dl = F dl, i l l i δ i l sillä kahden vierekkäisen pinta-alkion rajalla vastakkaisiin suuntiin lasketut viivaintegraalit kumoavat toisensa. Toisaalta, kun δ i 0, saadaan l i dl F F dl = 1 F dl δ i F δ i, δ i l i l i sillä yhtälön (4.43) mukaan kiertointegraalin avulla saadaan pinta-alkion δ i normaalin suuntainen roottorin komponentti. Kaikkien alkioiden yli laskettu summa antaa tokesin lauseen F dl = F d, (4.45) l joka pätee mielivaltaiselle riittävän säännölliselle vektorikentälle F.

18 Ampèren lain differentiaalimuoto ovelletaan yllä esitettyjä tuloksia magneettivuon tiheyteen ja sitä synnyttäviin virtoihin. Jos virtatiheys on j, on pinnan läpi kulkeva kokonaisvirta I = j d. Ampèren lain integraalimuoto (4.31) voidaan kirjoittaa l dl = µ 0 I = µ 0 ovelletamalla tokesin lausetta (4.45) kenttään saadaan dl = d, l j d. (4.46) jolloin yhtälön (4.46) perusteella d = µ 0 j d. Koska tämä on voimassa kaikilla pinnoilla, on välttämättä = µ 0 j. (4.47) Tämä on Ampèren laki differentiaalimuodossa. e yhdistää kussakin pisteessä mitatun magneettivuon tiheyden roottorin samassa pisteessä kulkevan virtatiheyteen. Ampèren laki on tässä muodossa voimassa vain ajasta riippumattomassa tilanteessa, siis magnetostatiikassa Vektoripotentiaali Jos yhtälössä (4.47) on j = 0, on Ampèren laki =0. Tällöin on olemassa sellainen skalaarikenttä ψ, että = ψ. Koska ψ:llä ontässä samanlainen rooli kuin sähköisellä potentiaalilla sähköstatiikassa, sitä nimitetään magneettiseksi skalaaripotentiaaliksi. Erona kuitenkin on, että magneettivuon tiheys voidaan magnetostatiikassa ilmaista skalaarifunktion gradientin avulla vain sellaisessa alueessa, missä ei ole sähkövirtoja. ähköstatiikassa sähkökenttä saadaan potentiaalin gradienttina kaikkialla.

19 4.5. AMPÈREN LAIN DIFFERENTIAALIMUOTO 75 Tarkastellaan mielivaltaista vektorikenttää A. en roottorin divergenssi on x y z A = x y z A x A y A z = ( Az x y A ) y + ( Ax z y z A ) z + ( Ay x z x A ) x =0. y Koska = 0, näyttää siltä, että voidaan lausua toisen vektorikentän, eli ns. magneettisen vektoripotentiaalin A roottorina = A. (4.49) On kuitenkin huomattava, että tämä yhtälö ei määrittele A:ta yksikäsitteisesti. Jos nimittäin A toteuttaa yhtälön (4.49), niin jokainen A = A+A 0 toteuttaa sen myös, jos vain A 0 = 0. Esimerkiksi A 0 = φ toteuttaa tämän ehdon, kun φ on mielivaltainen skalaarifunktio. Tilanne on analoginen sähköisen potentiaalin kanssa, johon lisätty mielivaltainen vakio ei muuta gradientin avulla laskettua sähkökenttää. Vektoripotentiaali A voidaan määritellä yksikäsitteisesti valitsemalla lisäehto eli mittaehto. Usein käytetään Coulombin mittaa A =0, mutta muitakin mittoja on käytössä. Mittaa valittaessa on tärkeätä, miten se helpottaa ongelman ratkaisemista. Coulombin mitta on käytännöllinen, sillä silloin = A = A 2 A = 2 A ja Ampèren laki voidaan kirjoittaa muodossa Komponenttimuodossa 2 A x = 2 A x x 2 2 A y = 2 A y x 2 2 A z = 2 A z x 2 2 A = µ 0 j. + 2 A x y A y y A z y A x z A y z 2 = µ 0 j x = µ 0 j y + 2 A z z 2 = µ 0 j z. Jokainen näistä on saman muotoinen kuin sähköisen potentiaalin Poissonin yhtälö 2 φ = ρ ε 0. (3.2) iksi myös jokaisen yhtälön ratkaisu on samaa muotoa kuin Coulombin potentiaali ja voidaan suoraan kirjoittaa A(r) = µ 0 4π V j(r ) r r dτ (C.4)

20 76 Kun virta kulkee ohuessa johtimessa, on virtatiheys j(r ) nollasta poikkeava vain johtimen alueella. illoin integroinnissa voidaan ensin suorittaa pintaintegrointi johtimen poikkipinnan yli. Tämän kaksiulotteisen integroinnin tuloksena voidaan tehdä sijoitus j(r )dτ Idl missä I on kokonaisvirta ja dl on pisteessä r sijaitseva virran I suuntainen pieni johdinalkio. Jäljellä on siis vain integrointi johtimen suunnassa, joten A(r) = µ 0I dl 4π r r. Magneettivuon tiheyden = A laskemiseksi on derivoitava A:n lauseke r:n komponenttien suhteen. Koska dl on vain r :n funktio, se on derivoinnissa vakio, joten dl r r = dl 1 r r = dl r r r r 3. Tämän avulla (r) = µ 0I 4π mikä on iot-avartin laki. l l dl (r r ) r r 3, (4.32) Tässä kappaleessa kirjoitettiin Ampèren laki vektoripotentiaalin avulla ja kirjoitettiin sille muodollinen ratkaisu, josta laskettiin magneettivuon tiheys. Lopputuloksena saatiin iot-avartin laki. Näinollen Ampèren ja iot-avartin lait ovat ekvivalentteja. 4.6 Magneettinen voima ja vääntömomentti Tarkastellaan virtasilmukkaa, jonka pintaala on ja jossa kulkee virta I. Jaetaan pieniin pinta-alkioihin δ, joissa kussakin kulkee virta I. Koska viereisten pintaalkioiden vastinsivujen virrat ovat vastakkaiset ja yhtäsuuret, ne kumoavat toisensa. Jos silmukka on ulkoisessa kentässä, jokaisen pinta-alkion potentiaalienergia on l δ i δu p = Iδ. (4.23) Koko silmukan potentiaalienergia on siis U p = I d = IΦ, (4.52) missä Φ= d (4.54) l

21 4.7. VARATTUJEN HIUKKATEN LIIKE ÄHKÖ- JA MAGNEETTIKENTIÄ77 on silmukan läpi kulkeva magneettivuo. Magneettivuon yksikkö on [Φ]=[] [] = Vs m 2 m2 =Vs=Wb (Weber). Magneettivuon arvo voi siis olla positiivinen tai negatiivinen riippuen :n ja pintaelementin δ suunnasta. Jälkimmäisen määrää virran I suunta oikean käden säännön mukaisesti. Magneettikenttä vaikuttaa virtasilmukkaan voimalla F. Jos tämä voima siirtää silmukkaa matkan dr, se tekee työn F dr. Tällöin silmukan potentiaalienergia pienenee samalla määrällä joten potentiaalienergian muutos on du p = F dr. Toisaalta potentiaalienergian muutos matkalla dr on joten du p = U p dr, F = U p = I Φ. (4.53) Epähomogeenisessa magneettikentässä, missä Φ 0, kohdistuu virtasilmukkaan siis voima, joka pyrkii saattamaan silmukan etenemisliikkeeseen. Tämän lisäksi magneettikentän aiheuttama voima kohdistaa virtasilmukkaan vääntömomentin T. Jos silmukka on ripustettu pystysuunnassa ja vääntömomentti kiertää sitä pystyakselin ympäri kulman dθ, tekee vääntömomentti työn T dθ ja potentiaalienergian muutos on du p = T dθ. Tässä T = U p θ = I Φ (4.55) θ on vääntömomentin komponentti kyseisessä suunnassa. Kaavassa (4.53) ja (4.55) esiintyvä magneettivuo Φ on ulkopuolisten virtojen tuottama. Yhtä hyvin voitaisiin käyttää kokonaisvuota Φ T =Φ+Φ I, missä Φ I on silmukan oman virran aiheuttama vuo, sillä virran pysyessä vakiona ei jäykän silmukan paikan tai asennon muuttaminen muuta Φ I :tä. iis esimerkiksi Φ T = Φ I + Φ = Φ. 4.7 Varattujen hiukkasten liike sähkö- ja magneettikentissä ähkö- ja magneettikentässä varaukseen q vaikuttaa Lorentz-voima F = qe + qv. (4.16)

22 78 Tämän lisäksi hiukkaseen kohdistuu gravitaatiovoima, joka on kuitenkin yleensä niin pieni sähköisiin ja magneettisiin voimiin verrattuna, ettei sitä tarvitse ottaa huomioon. Esimerkiksi protoniin, joka kulkee kohtisuoraan maan magneettikenttää vastaan nopeudella 2 km/s, kohdistuu magneettinen voima, joka on gravitaatiovoimaan verrattuna noin miljoonakertainen. Toisaalta jo sähkökenttä, jonka suuruus on vain 0.1 µv/m, aiheuttaa protoniin yhtä suuren voiman kuin gravitaatio. Tyhjiössä olevan varatun hiukkasen liikeyhtälö on siis dp dt missä p on hiukkasen liikemäärä. = qe + qv, (4.56) Varatun hiukkasen liike homogeenisessa magneettikentässä Koska magneettinen voima qv on aina kohtisuorassa nopeusvektoria vastaan, se ei voi muuttaa hiukkasen liike-energiaa. Jos hiukkanen liikkuu :tä vastaan kohtisuorassa tasossa, on voiman suuruus qv ja hiukkanen joutuu R-säteiselle ympyräradalle. Jos katsotaan magneettikentän suuntaan, on positiivisten hiukkasten kiertoliike magneettikentässä vasenkätistä ja negatiivisesti varattujen hiukkasten liike oikeakätistä. R vx Kuva 4.23 Voima aiheuttaa keskeiskiihtyvyyden v 2 /R, joten 1 mv 2 = qv, (4.57) R mistä R = mv q. (4.58) R Tästä nähdään, että kaikki hiukkaset, joilla suhde mv/q on sama, joutuvat samansäteisille kiertoradoille. Tähän seikkaan perustuu massaspektrometrin toiminta. mv/q = R Kuva Massaspektrometrissä tutkittavat atomit tai molekyylit ionisoidaan ja kiihdytetään sähkökentällä. Ionisuihku johdetaan magneettikenttään, jossa jokainen ioni joutuu ympyräradalle. Jos kaikilla ioneilla on sama varaus, ne saavat sähkökentässä saman energian W. Koska epärelativistinen liike-energia W = 1 / 2 mv 2, saadaan R = mv q = 2mW q 2. mv/q < R v mv/q > R uuretta mv/q kutsutaan joskus magneettiseksi rigiditeetiksi eli jäykkyydeksi.

23 4.7. VARATTUJEN HIUKKATEN LIIKE ÄHKÖ- JA MAGNEETTIKENTIÄ79 Jos ionisuihkussa on eri massaisia isotooppeja, saa suure R näille erilaisen arvon, joten ne joutuvat kukin omalle ympyräradalleen. Näin eri isotoopit voidaan erottaa toisistaan massaspektrometrissä. Toisaalta, jos tiedetään tai voidaan olettaa, että kaikilla hiukkasilla on sama massa ja varaus mutta eri energia, voidaan massaspektometrin periaatetta käyttää hiukkasten energia-analysaattorina. amaa laitetta voidaan myös käyttää sekä positiivisten että negatiivisten hiukkasten analysoimiseen, jos magneettikentän suunta laitteessa voidaan vaihtaa vastakkaiseksi.