VAASAN YLIOPISTO TEKNILLINEN TIEDEKUNTA SÄHKÖTEKNIIKKA Jussi Sievänen, n86640 Tuomas Yli-Rahnasto, n85769 Markku Taikina-aho, n85766 SATE.2010 Dynaaminen Kenttäteoria ELEKTROMAGNEETTISET VOIMAT SAMANSUUNTAISISSA VIRTA- JOHDOISSA Sivumäärä: 9 Jätetty tarkastettavaksi: 8.12.2008 Työn tarkastaja Maarit Vesapuisto
2 SISÄLLYSLUETTELO SYMBOLI- JA LYHENNELUETTELO 3 1. JOHDANTO 4 2. MALLIN MÄÄRITTELY 5 3. TULOKSET 7 4. YHTEENVETO 11
3 SYMBOLI- JA LYHENNELUETTELO H B J A T µ Magneettikentän voimakkuus Magneettivuon tiheys Virran tiheys Nabla-operaattori Magneettinen vektoripotentiaali Jännitystensori Permeabiliteetti
4 1. JOHDANTO Harjoitustyön tarkoituksena oli tutustua kahden rinnakkain olevan johtimen muodostamiin elektromagneettisiin voimiin käyttäen COMSOL Multiphysics-ohjelmistoa, sekä simuloida ja tutkia kenttien käyttäytymistä johtimen virtojen ja etäisyyden muuttuessa. Aluksi ajoimme simuloinnin alkuarvoilla ja sen jälkeen muutimme virran suuntaa ja arvoa sekä myös johtimien etäisyyttä. Taulukko 1. Simuloinnin alkuarvot. NIMI ARVO KUVAUS r 0,2[m] Johtimen säde A pi r 2 Johtimen pinta-ala I 0 1[A] Johtimessa kulkeva virta J 0 I 0 /A Virrantiheys
5 2. MALLIN MÄÄRITTELY Mallimme perustui tilanteeseen, jonka mukaan määritellään Ampeeri. Ampeeri on ajallisesti muuttumaton sähkövirta, joka kulkiessaan kahdessa suorassa yhdensuuntaisessa, äärettömän pitkässä ja poikkipinnaltaan mitättömässä pyöreässä johtimessa, jotka ovat metrin etäisyydellä toisistaan tyhjiössä, aikaansaa johtimien välille 2 10-7 Newtonin voiman (johtimen) metriä kohti. Malli on rakennettu käyttäen "2D Perpendicular Induction Currents" -mallinnustilaa. Mallinnusalusta on poikkileikkaus kahdesta johdosta ja niitä ympäröivästä ilmasta. Mallille pätee seuraava kaava, missä µ on johtojen permeabiliteetti ja e J z on virta, joka kulkee johtimissa. Johtimissa kulkevat virrat ovat suuruudeltaan 1 A, mutta vastakkaissuuntaiset. Mallin oletuksena on, että johtimissa magneettinen vektoripotentiaali A z ei ole nolla, mikä toteutuu, koska virta ei ole nolla. Johtimien ulkopuolella A z on asetettu nollaksi. e ( µ ) A = J. (1) z z Aineeseen kohdistuvan jännityksen kaava on esitetty alla, missä n 1 on rajapinnan normaali osoittaen ulos johteesta ja T 2 on ilman jännitystensori. 1 ( ) ( ) T n1t 2 = H B n1 + n1 H B. (2) 2 Otettaessa suljettu viivaintegraali johtojen keskinäisvaikutuksesta, saadaan tuloksiksi molemmille johdoille jännitys -1,92 10-7 Nm. Negatiivinen tulos tarkoittaa sitä, että voima johtojen välillä on vastakkainen. Voimantiheys tilavuudessa lasketaan kaavalla: F e e = J B = J z B y, J z B x,0. (3) Laskettaessa pintaintegraali johdon poikkileikkauksen tilavuuden voiman x-komponentista saadaan tulokseksi -1,92 10-7 Nm. Ohjelman verkkoelementtien lukumäärä ja geometrian äärelli-
6 nen koko rajoittavat laskentatarkkuutta. Simulointimallimme eroaa Ampeerin määrittelyn mallista siten, että johtimet eivät ole poikkipinta-alaltaan äärettömän pieniä.
7 3. TULOKSET Kuvissa olevat kenttäviivat kuvaavat magneettikenttää (oikeanpuoleinen asteikko kuvaa magneettikentän voimakkuutta). Kuvissa eri värit kuvaavat johtimiin kohdistuvaa voiman vaikutusta [N/m 3 ]. Aluksi simuloimme mallia alkuarvoilla (Ampeerin määrittely). Johtimien välinen etäisyys d = 1 m ja johtimissa vastakkaisiin suuntiin kulkevat 1 A virrat synnyttävät magneettikentän, joka muodostaa johtimien välille vetovoiman (vasemmanpuoleinen asteikko kuvaa voiman suuruutta). Kuva 1. Alkuarvoilla simulointi. Johtimien välinen voima: -1,917612e-7 N.
8 Seuraavaksi puolitimme virran arvon. Magneettikenttä pieneni ja siten myös johtimiin vaikuttava voima pieneni huomattavasti. Kuva 2. Simulointi virran arvolla 0,5 A. Johtimien välinen voima: -4,772259e-8 N.
9 Seuraavaksi muutimme virran takaisin arvoon 1 A ja vaihdoimme virtojen suunnat samaan suuntaan. Johtojen muodostamat magneettikentät hylkivät toisiaan. Kuva 3. Simulointi yhdensuuntaisilla virroilla. Johtimien välinen voima:1,999595e-7 N.
10 Lopuksi pienensimme johtojen välimatkaa puoleen eli 0,5 metriin. Pidimme virran arvossa 1 A. Johtimiin vaikuttavat voimat kasvoivat huomattavasti. Kuva 4. Simulointi puolella etäisyydellä. Johtimien välinen voima: -3,942813e-7 N.
11 4. YHTEENVETO Työssämme huomasimme, että johtimien etäisyyden pienentäminen ja virtojen suurentaminen kasvattavat johtimien välisiä voimia. Yhdensuuntaiset virrat muodostavat toisiaan hylkivät voimat, kun taas erisuuntaiset virrat muodostavat johtimia toisiaan puoleensa vetävät voimat.