Kolmio 1/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Kolmio: perusominisuudet Yksinkertisin monikulmio on kolmio, jok muodostuu kolmest pisteestä, kolmion kärjistä, j näitä yhdistävistä jnoist, kolmion sivuist. Kusskin kärjessä kohtvien sivujen välissä on yksi kolmion kulmist. monikulmio kolmio (l) kulm (tso-) Toisin kuin muut monikulmiot kolmio on in tsokuvio: Jos kolme pistettä eivät ole smll suorll, mutt sijitsevt vruudess muutoin miten thns, ne määräävät in tson yksikäsitteisesti. Pisteiden määräämä kolmio sijitsee tässä tsoss. Prlleeliksioomst seur, että minkä thns (euklidisen) kolmion kulmien summ on 180. Epäeuklidisess geometriss prlleeliksioom ei kuitenkn ole voimss eikä kolmion kulmien summ myöskään ole 180. Esimerkkinä olkoon pllokolmio, jok muodostuu pllon päiväntsjn krest sekä khdest nvlt päiväntsjlle ulottuvst meridinikrest, joiden välinen ste-ero on. Kolmion kulmien summ on tällöin 180 +. prlleeliksioom prlleeliksioom prlleeliksioom geometri (epäeuklidinen) geometri (epäeuklidinen) pllokolmio Tvllisen (euklidisen) kolmion sivujen pituuksille pätee seurv: Khden sivun summ on suurempi kuin kolms sivu. Khden sivun erotus on pienempi kuin kolms sivu. Täten muodostuvi epäyhtälöitä kutsutn kolmioepäyhtälöiksi j niillä on tvttomn pljon yleistyksiä monille mtemtiikn loille. Esimerkiksi reli- ti kompleksilukujen itseisrvoj koskeviss epäyhtälöissä z 1 + z 2 z 1 + z 2 j z 1 z 2 z 1 + z 2 ti vektoreiden pituuksi koskeviss epäyhtälöissä + + j + on kyse smst sist. Lukij piirtäköön kuvn! epäyhtälö itseisrvo (reliluvun) itseisrvo (kompleksiluvun) vektorin pituus Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 2/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Tskylkinen, tssivuinen, suorkulminen kolmio Jos kolmion sivuist kksi on yhtä pitkiä, snotn, että kolmio on tskylkinen. Yhtä pitkät sivut ovt tskylkisen kolmion kyljet, kolms sivu on sen knt. Yhtä pitkien kylkien vstiset kulmt ovt yhtä suuret. Jos kolmion kikki sivut ovt yhtä pitkiä, kolmio on tssivuinen. Tällöin myös kikki kulmt ovt yhtä suuri, kukin 60. Jos yksi kolmion kulmist on suor, ts. =90, kolmiot snotn suorkulmiseksi. Suorn kulmn kylkinä olevt sivut ovt suorkulmisen kolmion kteetit, suorn kulmn vstinen sivu sen hypotenuus. kulm (suor) Ks. myös Pythgorn lusett j ns. muistikolmioiden ominisuuksi. Pythgorn luse muistikolmio muistikolmio Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 3/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Kolmioiden yhtenevyys Kht (euklidisen geometrin) kolmiot snotn yhteneviksi, jos ne voidn siirtää toistens päälle siten, että kärjet yhtyvät, jolloin myös sivut yhtyvät. Tällöin on sllittu myös kääntää kolmio peilikuvkseen, ts. siirtää j kiertää sitä kolmiulotteisess vruudess. Yhtyvät kärjet, kulmt j sivut ovt kolmioiden vstinkärkiä, vstinkulmi j vstinsivuj, yleisemmin vstinosi. Yhtenevien kolmioiden vstinkulmt ovt preittin yhtä suuri, smoin vstinsivut. All olevn kuvion kolmiot ovt kikki yhteneviä: geometri (euklidinen) geometri (euklidinen) Synteettisen geometrin päättelyt perustuvt usein kolmioiden todistmiseen yhteneviksi. Tällöin nojudutn yleensä johonkin seurvss esitettävään kolmioiden yhtenevyyttä koskevn luseeseen. geometri (synteettinen) Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 4/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Yhtenevyysluseet I Kolmioit koskevt yhtenevyysluseet ovt seurvt. Kunkin luseen lopuss on ilmoitettu siitä usein käytettävä lyhenne, missä kirjimet (S = sivu, K = kulm) kuvvt yhtenevyyteen vdittvien yhtä suurten vstinosien keskinäistä sijinti. Jos kolmioss ovt kikki sivut yhtä suuret kuin vstinsivut toisess kolmioss, niin kolmiot ovt yhtenevät (SSS). Jos kolmioss on kksi sivu j niiden välinen kulm yhtä suuret kuin vstinost toisess kolmioss, niin kolmiot ovt yhtenevät (SKS). γ γ Jos kolmioss on kksi kulm j niiden välinen sivu yhtä suuret kuin vstinost toisess kolmioss, niin kolmiot ovt yhtenevät (KSK). Jtkuu Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 5/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Yhtenevyysluseet II Jos kolmioss on kksi kulm j toisen vstinen sivu yhtä suuret kuin vstinost toisess kolmioss, niin kolmiot ovt yhtenevät (KKS). Jos kolmioss on kksi sivu j toisen vstinen kulm yhtä suuret kuin vstinost toisess kolmioss j jos lisäksi toisen sivuprin vstisten kulmien summ ei ole 180, niin kolmiot ovt yhtenevät (SSK). Kuvion ktkoviiv osoitt tilnnett, missä lisäehto ei täyty. Yhtenevyyslusett KKK ei luonnollisestikn ole: Kulmt voivt preittin oll yhtä suuri, mutt kolmiot ovt silti mittkvltn erilisi. γ γ Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 6/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Kolmioiden yhdenmuotoisuus Kht kolmiot snotn yhdenmuotoisiksi, jos toinen voidn suurentmll ti pienentämällä (so. mittkv muuttmll, mutt millään muull tvll venyttämättä) stt yhteneväksi toisen knss. Yhdenmuotoisten kolmioiden vstinosist puhutn smn tpn kuin yhtenevien kolmioiden tpuksess. Yhdenmuotoisten kolmioiden vstinkulmt ovt keskenään yhtä suuri j vstinsivut ovt verrnnollisi, ts. niiden pituuksien suhteell on sm rvo sivuprist riippumtt. Tätä suhdett kutsutn kolmioiden yhdenmuotoisuussuhteeksi. Jos kolmioiden yhdenmuotoisuussuhde on k, niiden pint-lojen suhde on k 2. Seurvss esitettävät kolmioiden yhdenmuotoisuusluseet ovt smntyyppiset kuin yhtenevyysluseet. Joitkin eroj kuitenkin on. verrnto Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 7/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Yhdenmuotoisuusluseet Seurvill perusteill kksi kolmiot voidn päätellä yhdenmuotoisiksi. Luseist käytetään smntyyppisiä lyhenteitä kuin yhtenevyysluseist. Jos kolmioss on kksi kulm yhtä suurt kuin vstinkulmt toisess kolmioss, niin kolmiot ovt yhdenmuotoiset (KK). = = Jos kolmioss ovt kikki sivut verrnnolliset vstinsivuihin toisess kolmioss, niin kolmiot ovt yhdenmuotoiset (SSS). = = Jos kolmioss on kksi sivu verrnnollist vstinsivuihin toisess kolmioss j niiden välinen kulm on yhtä suuri kuin vstinkulm toisess kolmioss, niin kolmiot ovt yhdenmuotoiset (SKS). = = Jos kolmioss on kksi sivu verrnnollist vstinsivuihin toisess kolmioss j toisi vstinsivuj vstvt kulmt ovt yhtä suuret sekä lisäksi toisen sivuprin vstisten kulmien summ ei ole 180, niin kolmiot ovt yhdenmuotoiset (SSK). = = Kuvion ktkoviiv osoitt tilnnett, missä lisäehto ei täyty. Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 8/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Kulmnpuolittjt j keskijnt Kolmion kulmnpuolittj jk kulmn khteen yhtä suureen osn. Kikkien kolmen kulmn puolittjt leikkvt toisens smss pisteessä, mikä on suhteellisen helposti todistettviss synteettisen geometrin keinoin. Kulmnpuolittjien leikkuspiste on myös kolmion sisään piirretyn ympyrän (so. kolmion sivuj sivuvn ympyrän) keskipiste. geometri (synteettinen) ympyrä Kolmion keskijn on jn, jok yhdistää kolmion kärjen vstisen sivun keskipisteeseen. Kikki kolme keskijn leikkvt toisens smss pisteessä, jok jk jokisen keskijnn suhteess 1:2. Todistus on helpoin vektorigeometri käyttäen, mutt voidn suhteellisen helposti tehdä myös synteettisellä geometrill. keskijn (esimerkki) keskijn (esimerkki) keskijn (esimerkki) geometri (vektori-) Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 9/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Korkeusjnt j keskinormlit Kolmion korkeusjn on kolmion kärjestä vstiselle sivulle piirretty normli, so. sivu vstn kohtisuor suor. Kikkin näitä on kolme. Sekä synteettisen geometrin että vektorigeometrin keinoin voidn melko helposti osoitt, että korkeusjnt leikkvt toisens smss pisteessä. normli geometri (synteettinen) geometri (vektori-) Kolmion keskinormli on kolmion sivun keskipisteen kutt setettu sivun normli. Näitäkin on kolme j smoinkuin korkeusjnojen tpuksess voidn osoitt, että ne leikkvt toisens smss pisteessä, jok on myös kolmion ympäri piirretyn ympyrän (so. kolmion kärkien kutt kulkevn ympyrän) keskipiste. ympyrä Korkeusjnojen leikkuspiste, keskinormlien leikkuspiste j keskijnojen leikkuspiste sijitsevt kolmiost riippumtt smll suorll, jot kutsutn Eulerin suorksi. Kulmnpuolittjien leikkuspiste ei sen sijn yleensä ole tällä suorll. Kolmiost voidn löytää moni muitkin geometrisi yhteyksiä. Eräs tällinen on Feuerhin ympyrä, jok kulkee jokisess kolmioss seurvien yhdeksän pisteen kutt: kolmion korkeusjnojen kntpisteet, so. ne pisteet, joiss korkeusjnt kohtvt vstisen sivun; kolmion sivujen keskipisteet; kolmion kärjet korkeusjnojen leikkuspisteeseen yhdistävien jnojen keskipisteet. Feuerhin ympyrän keskipiste puolestn on Eulerin suorll. Euler Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 10/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Siniluse j kosiniluse Moniss sovelluksiss joudutn määrittämään kolmion sivujen pituudet j kulmien suuruudet, kun joitkin tietoj kolmiost on käytettävissä. Tyypillinen esimerkki on mnmittrin ongelm: On mitttu khden pisteen välinen etäisyys j suuntkulmt näistä pisteistä kolmnteen pisteeseen, jonk etäisyys on määritettävä. Tunnetn siis kksi kolmion kulm j näiden välisen sivun pituus; on määritettävä kolmion muut sivut. Tämäntyyppisten tehtävien rtkiseminen perustuu siniluseeseen j kosiniluseeseen: γ sini kosini Jos kolmion sivut ovt, j sekä näiden vstiset kulmt smss järjestyksessä, j γ,on sin = sin = sin γ =2r (siniluse) 2 = 2 + 2 2 os γ (kosiniluse). Tässä r on kolmion ympäri piirretyn ympyrän, so. kolmion kärkien kutt kulkevn ympyrän säde. Luseiden todistukset seurvss. Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11
Kolmio 11/11 Sisältö ESITIEDOT: piste, suor, kulm Hkemisto KATSO MYÖS: geometriset proleemt, Pythgorn luse, monikulmiot Sini- j kosiniluseen todistmisest Siniluseen ensimmäinen os sin = /(2r) voidn todist muodostmll kolmion ympäri piirretyn ympyrän sisään uusi kolmio, jonk yhtenä sivun on lkuperäisen kolmion sivu j toisen ympyrän hlkisij. Hlkisijn vstinen kulm (ympyrän kehäkulm) on suor, kuten esimerkiksi vektorigeometrill nähdään. Tulos seur tämän jälkeen sinin määritelmästä (vstinen kteetti / hypotenuus) j siitä, että ympyrässä kikki sm krt vstvt kehäkulmt ovt yhtä suuri. Kosiniluseen todistminen on yksinkertinen vektorigeometrin sovellus: Jos kolmion sivuvektorit ovt j, on kolmnnen sivun vektoriesitys. Tällöin on sklritulon ominisuuksien perusteell kehäkulm (esimerkki) kehäkulm (esimerkki) kehäkulm trigonometrinen funktio (suorkulmisess kolmioss) geometri (vektori-) sklritulo 2 =( ) ( )= + 2 = 2 + 2 2 os γ. Kosiniluse on itse siss Pythgorn luseen yleistys: Jos γ =90, sdn Pythgorn luse. Pythgorn luse Kivelä, M niinkuin mtemtiikk, versio 1.11