Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 14 Ratkaisut.

Transkriptio

1 Kenguru 2012 Junior sivu 1 / 14 Oikeat vastaukset on alleviivattu ja lihavoitu. TEHTÄVÄ VASTAUS D A D C A E D A B C TEHTÄVÄ VASTAUS D D C B C C B D B D TEHTÄVÄ VASTAUS A B D C C C C A D C

2 Kenguru 2012 Junior sivu 2 / 14 3 pistettä 1. (A) 9,009 (B) 9,0909 (C) 9,99 (D) 9,999 (E) 10 Ratkaisu:. 2. Kuvan kellolla on kolme erimittaista viisaria (tunneille, minuuteille ja sekunneille). Kello toimii normaalisti, mutta emme tiedä, mikä viisari on mikä. Oikealla kello näyttää aikaa 12:55:30. Missä kuvassa sama kello näyttää aikaa 8:10:00? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Mallikuvan perusteella lyhyt viisari on sekuntiviisari, pisin minuuttiviisari ja keskimmäinen tuntiviisari. 3. Kuvan suorakulmainen särmiö on tehty neljästä erivärisestä palasta. Kussakin palassa on neljä pientä kuutiota. Minkä muotoinen valkoinen pala on? (B) (A) (C) (D) (E)

3 Kenguru 2012 Junior sivu 3 / Viiden luvun listassa ensimmäinen luku on 2 ja viimeinen 12. Kolmen ensimmäisen luvun tulo on 30, kolmen keskimmäisen tulo 30 ja kolmen viimeisen 120. Mikä on keskimmäinen luku? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 10 Ratkaisu: Koska vasemmanpuoleisten ja keskimmäisten lukujen tulo on sama, myös neljännessä ruudussa on luku 2. Keskimmäisessä täytyy olla 5, jotta oikeanpuoleisten tulo olisi 120. Luvut ovat 2, 3, 5, 2 ja Kuvan alempi kolikko pysyy paikoillaan ja ylempää kieritetään sen ympäri liukumatta kuvan mukaisesti. Mikä on lopputulos? (A) (B) (C) (D) (E) ei mikään edellisistä Ratkaisu: Loppuasemassa sivuamispiste on siirtynyt kummankin kolikon reunalla neljännesympyrän. 6. Alica haluaa lähettää Bobille salatun viestin. Hän korvaa viestin jokaisen kirjaimen kaksinumeroisella luvulla: A = 01, B = 02, C = 03,..., Z = 26, ja laskee tämän jälkeen 2 luku + 9. Näin saadut luvut Alice lähettää Bobille. Bob sai viestin Mikä alkuperäinen viesti oli? (A) HERO (B) HELP (C) HEAR (D) HERS (E) Alice on tehnyt virheen Ratkaisu: Luvut muotoa ovat parittomia ja 38 on parillinen, joten on tapahtunut virhe.

4 Kenguru 2012 Junior sivu 4 / Neljässä alla olevista laskuista numerot 8 voitaisiin korvata jollakin toisella positiivisella luvulla ilman, että tulos muuttuisi. Millä alla olevista laskuista ei ole tätä ominaisuutta? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Nollasta poikkeavalle luvulle pätee 8. Seitsemännumeroisen luvut numeroiden summa on 6. Mikä on sen numeroiden tulo? (A) 0 (B) 6 (C) 7 (D) 5 (E) Ratkaisu: Koska summa on pienempi kuin numeroiden määrä, ainakin yksi numeroista on nolla.. 9. on suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat pituudeltaan 6 cm ja 8 cm. Pisteet, ja ovat kolmion sivujen keskipisteet. Kuinka suuri on kolmion piiri? (A) 10 cm (B) 12 cm (C) 15 cm (D) 20cm (E) 24 cm Ratkaisu: Pythagoraan lauseen nojalla kolmion hypotenuusa on 10 cm. Kolmiot ja ovat yhdenmuotoiset (sks), joten. Vastaavasti kolmion muutkin sivut ovat puolet ABC:n sivuista. Piiri on siis 3 cm + 4 cm + 5 cm = 12 cm.

5 Kenguru 2012 Junior sivu 5 / Neliön sivun pituus on 4 cm. Neliöllä on sama ala kuin kolmiolla. Kuinka kaukana piste E on suorasta? (A) 8 cm (B) cm (C) 12 cm (D) cm (E) Riippuu pisteen E sijainnista. Ratkaisu: Kolmion kanta on 4 cm, joten sen korkeuden täytyy olla 8 cm. Etäisyys on siis 8 cm + 4 cm = 12 cm. 4 pistettä 11. Kun luku 144 tai luku 220 jaetaan luvulla, kumpikin jakojäännös on 11. Mikä on? (A) 7 (B) 11 (C) 15 (D) 19 (E) 38 Ratkaisu:, ja vastaavasti. Koska jakajan täytyy olla jakojäännöstä suurempi,. 12. Kuvassa on tasakylkinen kolmio. ja ovat yhtäpitkien sivujen keskipisteet. Kolmio on jaettu neljään alueeseen, joista kolmen alat ovat 3, 3 ja 6 kuvan mukaisesti. Kuinka suuri on neljännen alueen ala? (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 (E) 7

6 Kenguru 2012 Junior sivu 6 / 14 Ratkaisu: Pisteeseen N piirretty mediaani jakaa kolmion alaltaan kahteen yhtä suureen kolmioon (yhtä pitkät kannat ja yhteinen korkeusjana), joten kysytty ala on Jos Adam seisoo pöydällä ja Mike lattialla, Adam on 80 cm pidempi kuin Mike. Jos Mike seisoo pöydällä ja Adam lattialla, Mike on metrin korkeampi kuin Adam. Kuinka korkea pöytä on? (A) 20 cm (B) 80 cm (C) 90 cm (D) 100 cm (E) 120 cm Ratkaisu: Olkoon Adamin pituus, Miken ja pöydän korkeus. Saadaan, josta puolittain yhteen laskemalla on 10 cm pidempi kuin Adam.. Adamin ja Miken pituuksista tiedetään vain, että Mike 14. Denis ja Mary heittivät kolikkoa. Jos tuli kruuna, Mary antoi Denisille kaksi karkkia. Jos tuli klaava, Denis antoi Marylle kolme karkkia. 30 pelin jälkeen kummallakin oli karkkeja yhtä paljon kuin alussa. Kuinka monta klaavaa tuli? (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 (E) 30 Ratkaisu: Jotta palattaisiin alkutilaan, kruunien ja klaavojen suhteen täytyy olla 3 : 2. Klaavoja tuli siis. 15. Kuvan suorakulmion sisällä on toisiaan sivuavista ympyröistä rakennettu tasasivuinen kolmio. Mikä on harmaalla merkittyjen ympyröiden välinen pienin etäisyys? Suorakulmion toinen sivu on 6 cm kuvan mukaisesti. (A) 1 cm (B) cm (C) cm (D) cm (E) 2 cm

7 Kenguru 2012 Junior sivu 7 / 14 Ratkaisu: Ympyröiden säde on 1cm. Kolmen toisiaan sivuavan ympyrän keskipisteet muodostavat siis tasasivuisen kolmion, jonka sivu on 2 cm ja korkeus Pythagoraan lauseen nojalla cm. Kysytty etäisyys on 2(korkeus säde). 16. Billyn huoneessa on neljä kelloa, joista jokainen näyttää väärää aikaa. Yksi näyttää 2 minuuttia väärin, toinen 3 minuuttia, kolmas 4 minuuttia ja neljäs 5 minuuttia. Eräänä unettomana yönä Billy halusi tietää, kuinka paljon kello on. Hän näki kelloista seuraavat ajat: 6 vaille 3, 3 vaille 3, 2 yli 3 ja 3 yli 3. Mikä oli oikea kellonaika? (A) 2:57 (B) 2:58 (C) 2:59 (D) 3:00 (E) 3:01 Ratkaisu: Eniten ja vähiten näyttävien kellojen ero on 9 minuuttia, joten toinen niistä on 4 minuuttia väärin näyttävä ja toinen 5 minuuttia. Oikea aika on siis 2:58 tai 2:59. Näistä vain 2:59 poikkeaa 2 ja 3 minuutilla annetuista ajoista. 17. Kengu kirjoittaa 4 3 -ruudukkoon kokonaislukuja 1 9. Jokaisella rivillä lukujen summan pitää olla sama. Myös jokaisen sarakkeen lukujen summan pitää olla sama (muttei välttämättä sama kuin riveillä.) Mikä luku kuuluu tummennettuun ruutuun? (A) 1 (B) 4 (C) 6 (D) 8 (E) 9

8 Kenguru 2012 Junior sivu 8 / 14 Ratkaisu: Olkoon ylärivin puuttuvat luku sama, toisessa sarakkeessa täytyy olla ruutuun 4.. Jotta kahden keskimmäisen sarakkeen summa olisi. Vertaamalla 1. ja 3. riviä saadaan tummennettuun 18. Nelikulmion kaksi sivua ovat pituudeltaan 1 ja 4. Yksi nelikulmion lävistäjistä on pituudeltaan 2, ja se jakaa nelikulmion kahteen tasakylkiseen kolmioon. Kuinka suuri on nelikulmion piiri? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12 Ratkaisu: Nelikulmion lävistäjä kulkee nelikulmion jokaisen sivun toisen päätepisteen kautta. Kun sivun pituus on 4, täytyy lävistäjän olla tasakylkisen kolmion kanta, koska mitoista 2, 2, 4 ei synny kolmiota. Vastaavasti sivun 1 tapauksessa lävistäjän täytyy olla kylki. Piiri on siis joka tapauksessa = 11. Päättely pätee myös koverille nelikulmioille. 19. Oheisessa kuvassa on kaksi neliötä, joiden sivut ovat 4 cm ja 5 cm. Kuvan kolmion pinta-ala on 8 cm 2. Varjostettu kuvio on suunnikas. Mikä on sen ala? (A) 15 cm 2 (B) 16 cm 2 (C) 18 cm 2 (D) 20 cm 2 (E) 21 cm 2

9 Kenguru 2012 Junior sivu 9 / 14 Ratkaisu: Tieto neliöiden sivuista on tarpeeton. Suunnikkaan ala on kaksi kertaa kolmion ala, sillä kolmion alan sinikaavan mukaan. 20. Kolme juoksijaa (Ken, Gu ja Ru) osallistui maratonjuoksuun. Ennen kilpailua neljä katsojaa keskusteli kunkin juoksijan mahdollisuuksista. Ensimmäinen sanoi: Ken tai Gu voittaa. Toinen: Jos Gu on toinen, Ru voittaa. Kolmas: Jos Gu on kolmas, Ken ei voita. Neljäs: Gu tai Ru on toinen. Kilpailun ratkettua kävi ilmi, että Ken, Gu ja Ru olivat kilpailun kolme parasta juoksijaa ja kaikki neljä katsojaa olivat olleet oikeassa. Missä järjestyksessä juoksijat tulivat maaliin? (A) Ken, Gu, Ru (B) Ken, Ru, Gu (C) Ru, Gu, Ken (D) Gu, Ru, Ken (C) Gu, Ken, Ru Ratkaisu: Neljännen mukaan Gu tai Ru on toinen. Näistä Gu ei voi olla toinen, sillä silloin 1. ja 2. lausunto ovat ristiriidassa. Ru on siis toinen. Kolmas lause johtaa ristiriitaan, jos Gu oli kolmas, joten järjestys on Gu, Ru, Ken.

10 Kenguru 2012 Junior sivu 10 / 14 5 pistettä 21. Korusepällä on 12 kahden lenkin ketjua. Hän haluaisi rakentaa niistä yhden suljetun renkaan. Lenkkien liittämiseksi ne täytyy avata ja sulkea sitten taas. Mikä on pienin mahdollinen määrä lenkkejä, jotka täytyy avata? (A) 8 (B) 9 (C) 10 (D) 11 (E) 12 Ratkaisu: Valmiita kahden lenkin ketjuja kannattaa avata mahdollisimman vähän, joten paras tapa on avata 8 lenkkiä samoista ketjuista ja yhdistää niillä 8 kahden lenkit ketjua renkaaksi. 22. Kuvassa on suorakulmainen kolmio, jonka sivut ovat 5, 12 ja 13. Kuinka suuri on kuvan mukaisesti sen sisään piirretyn puoliympyrän säde? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Kuvan suorakulmaiset kolmiot ovat yhdenmuotoiset (kk). Saadaan verranto.

11 Kenguru 2012 Junior sivu 11 / Ann on kirjoittanut, missä ja ovat positiivisia kokonaislukuja. Mikä on? (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 9 (E) 11 Ratkaisu: Luvun 2012 alkutekijähajotelma on, joten täytyy olla. Sopivasti, joten (Huomattakoon, että luku ei saa olla suurempi kuin Jo, joten ja riittää tarkastella 4 tapausta.) 24. Huoneessa on 5 lamppua, joista jokaisella on oma katkaisija. Sähkötyöt on tehty huonosti: aina kun laitat yhden lampun päälle tai pois, myös jokin toinen satunnainen katkaisija kääntyy ja sitä vastaava lamppu menee päälle tai pois päältä. Aluksi kaikki lamput ovat poissa päältä. Painat 10 katkaisijaa. Mikä seuraavista on totta? (A) On mahdotonta, että kaikki lamput olisivat poissa päältä. (B) Kaikki lamput ovat varmasti päällä. (C) On mahdotonta, että kaikki lamput olisivat päällä. (D) Kaikki lamput ovat varmasti poissa päältä. (E) Mikään vaihtoehdoista A D ei ole oikein. Ratkaisu: Joka painalluksella kahden lampun status muuttuu. Paritonta lamppumäärää ei siis mitenkään voi saada palamaan yhtä aikaa alkutilasta, jossa kaikki ovat poissa päältä. 25. Mikä on luvun viimeinen nollasta poikkeava numero? (A) 1 (B) 2 (C) 4 (D) 6 (E) 9 Ratkaisu: Nollia loppuun tuottavat tulot, joten viimeinen nollasta poikkeava numero on luvun viimeinen numero, eli 4.

12 Kenguru 2012 Junior sivu 12 / Peter laatii Kengurupelin, jonka pelilauta on esitetty kuvassa. Pelin alussa kenguru on ruudussa Puisto ja peli päättyy heti, kun kenguru saapuu ruutuun Koti. Hypätä saa vain viereiseen ruutuun. Kuinka monella eri tavalla kenguru voi päätyä ruutuun Koti tasan 13 hypyllä? (A) 12 (B) 32 (C) 64 (D) 144 (E) 1024 Ratkaisu: Ensimmäisen hypyn täytyy suunnata Leikkikentälle. Tämän jälkeen Kenguru jatkaa Puistoon tai Rantaan ja palaa sitten takaisin Leikkikentälle. P ja R voidaan valita toisistaan riippumatta 6 kertaa, joten vaihtoehtoja on. 27. On valittu kuusi eri positiivista kokonaislukua, joista suurin on. Näiden kuuden luvun joukossa on tasan yksi pari, jossa pienempi ei jaa suurempaa tasan. Mikä on luvun pienin mahdollinen arvo? (A) 18 (B) 20 (C) 24 (D) 36 (E) 45 Ratkaisu: 24 on mahdollista valitsemalla 1, 2, 3, 6, 12, 24 tai 1, 2, 4, 8, 16, 24. Näytetään vielä, että 24 on minimi. Kuuden luvun joukossa täytyy joka tapauksessa olla vähintään neljä luvun tekijää, jotka jakavat toisensa tehtävänannon mukaisesti. Vähintään neljä (lukua itseään pienempää) tekijää on vain seuraavilla lukua 24 pienemmillä luvuilla: 20: 10, 5, 4, 2, 1; tasan ei mene: 10:4, 5:4, 5:2 18: 9, 6, 3, 2, 1 tasan ei mene: 9:6, 9:2, 3:2 12: 6, 4, 3, 2, 1 tasan ei mene: 6:4, 4:3 Näistä jokaisella on ongelmia jaollisuuden kanssa liian monen tekijän kesken. Minimi on siis Junaradan vieressä on koivu. Juna G ohittaa koivun 8 sekunnissa. Sitten se kohtaa vastaantulevan junan H ja ohittaa sen 9 sekunnissa. Tämän jälkeen juna H ohittaa koivun 12 sekunnissa. Junat liikkuvat tasaisilla nopeuksilla. Mikä seuraavista on totta? (A) G on kaksi kertaa niin pitkä kuin H (C) H on 50 % pidempi kuin G (B) G ja H ovat yhtä pitkät (D) H on kaksi kertaa niin pitkä kuin G (E) Junien pituuksista ei voida päätellä mitään.

13 Kenguru 2012 Junior sivu 13 / 14 Ratkaisu: Olkoot junien pituuden ja sekä nopeudet ja. Nopeus on matka jaettuna ajalla, joten junan G nopeus on ja junan H nopeus. Junien kulkiessa vastakkaisiin suuntiin niiden suhteellinen nopeus on lausekkeet, jolloin saadaan.. Sijoitetaan tähän nopeuksien 29. Olkoot kuperan kahdeksankulmion kärjet tässä järjestyksessä A, B, C, D, E, F, G ja H. Valitaan satunnaisesti jokin kärjistä C, D, E, F, G, H ja piirretään siitä jana kärkeen A. Tämän jälkeen valitaan samoista kuudesta kärjestä satunnaisesti yksi ja piirretään siitä jana kärkeen B. Millä todennäköisyydellä nämä janat jakavat kahdeksankulmion täsmälleen kolmeen alueeseen? (A) (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Jotta alueita ei tulisi liikaa, janat eivät saa leikata kahdeksankulmion sisällä. Vastaavasti janat ja eivät käy, koska silloin alueita olisi liian vähän. Yhteensä janat voidaan piirtää tavalla. Taulukoidaan suotuisat tilanteet ensimmäisen jana mukaan: Jana 1 Suotuisat janat 2 kpl AC - 0 AD BD 1 AE BD, BE 2 AF BD, BE, BF 3 AG BD, BE, BF, BG 4 AH - 0 Yhteensä suotuisia tapauksia on siis 10, joten kysytty todennäköisyys on.

14 Kenguru 2012 Junior sivu 14 / Nick kirjoitti paperille kaikki kolminumeroiset kokonaisluvut ja laski kunkin luvun numeroiden tulon. Sitten hän laski tulot yhteen. Mikä Nickin pitäisi saada summaksi, jos hän laski oikein? (A) 45 (B) (C) (D) (E) Ratkaisu: Olkoon lopullinen summa S. Voidaan jättää huomiotta luvut, joiden jokin numero on 0. Otetaan kustakin tulosta yhteiseksi tekijäksi satojen numero, jolloin saadaan eli. S=. Otetaan nyt yhteiseksi tekijäksi kymmenten numerot, jolloin saadaan = Summamerkinnällä lasku on lyhyt: =