Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino

Yleinen tietämys ja Nashin tasapaino 24.3.2010

Nashin tasapaino Ratkaisumalli kahden tai useamman pelaajan pelille. Yleisesti: Jos jokainen pelaaja on valinnut strategiansa eikä yksikään pelaaja voi hyötyä vaihtamalla omaa strategiaansa muiden pelaajien ollessa vaihtamatta omaansa, niin kyseisten strategioiden joukko yhdessä saatujen hyötyjen kanssa muodostaa Nashin tasapainon.

Yleinen tietämys Yleistä tietoa on tieto jonka kaikki tietävät ja tietävät että muut tietävät sen ja tietävät että muut tietävät

Esimerkki: Hienotunteiset naiset Liisa, Noora ja Karoliina ovat kävelyllä puistossa kun yhtäkkiä ukkoskuuro yllättää. He pakenevat kuuroa vauhdilla läheiseen kahvilaan. He istuvat pöytään ja Karoliina huomaa että Liisan ja Nooran otsat ovat likaiset. Karoliina on liian hienotunteinen mainitsemaan tästä nolosta asiasta, mikä varmasti johtaisi heidän punastumiseen. Mutta samalla hän huomaa, että kuten hän, myös kaksi muuta naista tietävät että jollakin on likainen otsa, mutta ovat liian hienotunteisia mainitsemaan asiasta.

Esimerkki: Hienotunteiset naiset Karoliinalle juolahtaa mieleen että hänellä itsellään saattaa olla likainen otsa, mutta lähistöllä ei ole peiliä tai mitään muuta millä hän pystyisi asian havaitsemaan. Tässä vaiheessa naisten ohi kulkee pieni poika joka toteaa että näen likaisen otsan. Hetken kiusallisen hiljaisuuden kuluttua, Karoliina tajuaa että hänellä on likainen otsa ja punastuu. Onko tällainen päättely loogista?

Esimerkki: Hienotunteiset naiset Äkkiseltään voisi kuvitella että pojan viestissä ei ole mitään uutta informaatiota kenellekään naisista. Selvästi jokainen naisista tietää että vähintään yhdellä heistä on likainen otsa. Lisäksi jokainen naisista tietää että kaksi muuta naista näkee vähintään yhden likaisen otsan. Mutta pojan viesti kertoo että he kaikki tietävät että kaikki tietävät että vähintään yhdellä heistä on likainen otsa. Tätä kukaan naisista ei tiennyt ennen pojan toteamusta. Karoliina voi nyt päätellä onko hänen kasvonsa likaiset seuraavan päättelyketjun avulla:

Esimerkki: Hienotunteiset naiset Karoliina olettaa että hänen kasvonsa ovat puhtaat jolloin hän uskoo että Liisa näkee yhdet likaiset kasvot. Nyt Karoliina tietää että jos Liisa kuvittelee että hänen otsansa on puhdas, niin Liisan mielestä Nooran pitäisi nähdä kaksi puhdasta otsaa, jolloin pienen pojan kommentti kertoisi Nooralle että hänen otsansa on likainen ja hänen tulisi punastua. Mutta koska Noora ei punastunut täytyy Liisan olla päätellyt että hänellä on likainen otsa ja hän punastuu. Mutta koska Liisakaan ei punastunut täytyy Karoliinan alkuperäisen oletuksen olla väärä ja hän itse punastuu.

Aumannin yksimielisyysteoreema Robert Aumann agreeing to disagree (1976) Kaksi rationaalisesti toimivaa pelaajaa joilla on samat prioritodennäköisyydet eivät voi hyväksyä olevansa erimieltä.

Aumannin yksimielisyysteoreema Jos kahdella henkilöllä on yhtenevät prioritodennäköisyydet ja heidän posteriotodennäköisyydet annetussa tapauksessa ovat yleistä tietoa, niin näiden posteriotodennäköisyyksien tulee olla samat. Näin on vaikka henkilöt perustaisivat posteriotodennäköisyytensä täysin eri informaatioon.

Esimerkki: Painotettu kolikko Joni ja Liisa yrittävät selvittää onko eräs tietty kolikko reilu. Molemmat uskovat että kolikko on reilu 80% todennäköisyydellä. Lisäksi he tietävät että jos kolikko on painotettu se tyypiltään sellainen heitettäessä että se jää 75% kerroista kruuna ylöspäin. Molempien prioritodennäköisyydet ovat samat

Esimerkki: Painotettu kolikko Liisa heittää kolikkoa viidesti ja suorittaa täydellisen Bayesilaisen päivityksen ja tulee siihen tulokseen että on 65% mahdollisuus että kolikko on epäreilu. Vastaavasti Joni heittää kolikkoa viidesti ja suorittaa täydellisen Bayesilaisen päivityksen ja tulee siihen tulokseen että on 39% mahdollisuus että kolikko on epäreilu.

Esimerkki: Painotettu kolikko He eivät kerro toisilleen että heittojensa tuloksia, vaan kertovat että toisilleen mitkä todennäköisyydet he saivat sille että kolikko on epäreilu. Nyt posteriotodennäköisyydet ovat yleistä tietoa joten teorian mukaan heidän tulee nyt päätyä yhtäläiseen tulokseen.

Esimerkki: Painotettu kolikko Nyt Liisa voi nyt käyttää hyväkseen Jonin hankkimaa tietoa että kolikko on epäreilu 39% eikä 20% todennäköisyydellä ja suorittaa täydellisen Bayesilaisen päivityksen jolloin hän tulee siihen tulokseen että kolikko on epäreilu 83% todennäköisyydellä. Myös Joni voi käyttää hyväkseen Liisan hankkimaa tietoa kolikosta ja suorittaa samat toimenpiteet kuin Liisa jolloin hän pääsee samaan tulokseen että kolikko on epäreilu 83% todennäköisyydellä.

Esimerkki: Painotettu kolikko Joni päätyy tulokseen että kolikko on epäreilu 39% todennäköisyydellä. Tällöin Jonin on täytynyt saada heitoillaan 4 kruunaa ja yksi klaava. P(neljä kruunaa ja yksi klaava epäreilu) = (0.75^4 0.25^1) = 0.079. P(neljä kruunaa ja yksi klaava reilu) = 0.031. P(epäreilu neljä kruunaa ja yksi klaava) = (0.2 0.079)/(0.2 0.079 + 0.8 0.031) = 0.39, mikä on Jonin saama posteriotodennäköisyys. Liisan on täytynyt vastaavasti nähdä viisi kruunaa ja nolla klaavaa päätyessään omaan tulokseensa. Nyt on siis saatu yhteensä 9 kruunaa ja yksi klaava,joten P(epäreilu 9 kruunaa ja yksi klaava) = ( 0.2 (0.75^9 0.25^1) ) / ( 0.2 (0.75^9 0.25^1) + 0.8 (0.5^9 0.5^1) ) = 0.83.

Esimerkki: Painotettu kolikko Jos Joni ei tiedä miten Liisa on päätynyt omaan tulokseensa. Niin hän voi silti käyttää Liisan saamaa tulosta että kolikko on 65% varmuudella epäreilu jolloin: P(epäreilu neljä kruunaa ja yksi klaava) = (0.65 0.079)/(0.65 0.079 + 0.35 0.031) = 0.83, Liisa voi tehdä vastaavasti jolloin hän päätyy samaan tulokseen.

Aumannin yksimielisyysteoreema Oletetaan että Liisa ja Joni ovat riskineutraaleita, molemmilla on jotain rahoitusomaisuutta, he ovat valmiita käymään kauppaa ja kaupankäynnistä syntyy pieni kustannus. Olkoon E tapahtuma että Liisan rahoitusomaisuus on odotusarvoisesti arvokkaampaa kuin Jonin. Jos he suostuvat kauppaan jossa rahoitusomaisuudet vaihdetaan keskenään, niin silloin Liisa uskoo tapahtumaan E tn:llä 1 ja Joni uskoo tapahtumaan E tn:llä 0, mikä on varmasti yleistä tietoa koska he ovat valmiita käymään kauppaa. Tämä on ristiriidassa teorian kanssa.

Aumannin yksimielisyysteoreema Kuitenkin rahoitus omaisuuksilla käydään päivittäin kauppaa valtavia määriä. Tämä tarkoittaa sitä että joko oletus rationaalisuudesta(ckr) tai yhteisistä prioritodennäköisyyksistä on väärä. Todennäköisesti molemmat oletukset ovat vääriä.

Yleisen tiedon ja Nashin tasapainon yhteys Teoreema: Olkoon G episteminen peli jossa on n 2 pelaajaa ja olkoon otaksumien joukko. Oletetaan että pelaajilla on yhteinen prioritodennäköisyys p. Kaikki pelaajat ovat rationaalisia ω є Ω:ssa ja on yleistä tietoa tietoa että tilassa ω, ϕ on uskomusten joukko kyseisessä pelissä. Siten jokaiselle j=1,,n, kaikille i=j indusoi samat otaksuma σj(ω) pelaajan j toiminnasta. Tällöin (σ1(ω),, σn(ω)) muodostaa pelin G Nashin tasapainon.

Yleisen tiedon ja Nashin tasapainon yhteys Teoreema osoittaa että yhteiset prioritodennäköisyydet ja yleinen tieto agenttien otaksumista ovat epistemiset ehdot mitä tarvitaan että voimme päätellä rationaalisen agentit toteuttavat Nashin tasapainon.

Methodologinen individualismi Ainoastaan tieto agenttien rationalisuudesta on oleellista analysoidessa pelejä. Tämän vuoksi epäonnistuu usein mallintaessa sosiaalisia järjestelmiä rationaalisten agenttien vuorovaikutuksiksi.

Kotitehtävät a. Pekka on päättänyt myöskin lähteä tutkimaan esimerkin painotettu kolikko kolikkoa. Pekka on rationaalinen ja hänellä samat uskomukset (prioritodennäköisyydet) kolikosta kuin Jonilla ja Liisalla. Pekka saa saman tuloksen kuin Joni 4 kruunaa ja klaavan. Laske nyt Pekan saama todennäköisyys sille että kolikko on epäreilu kun hän kuulee I. Liisan saaman tuloksen, II. Jonin saaman tuloksen tai III. Sekä Liisan että Janin saaman tuloksen. b. Pohdi tilannetta jossa Pekka saa tietää että kolikko on varmasti reilu.