Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja"

Julia Ranta
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Laskennan teoria (kevät 2006) Harjoitus 3, ratkaisuja 1. S! axc X! axc X! by c Y! by c Y! " 2. (a) Tehtävänä on konstruoida rajoittamaton kielioppi, joka tuottaa kielen f0 n 1 n jn 1g. Vaihe1: alkutilanteen tuottaminen Vaiheessa 1 tuotetaan lähtösymbolista muotoa x[q 0 x] oleva merkkijono, missä x 2 f0; 1g. Vaiheen 1 toteuttava kielioppi: S! T [q 0 ] T! T! 0T A T! 1T B A[q 0! [q 0 A A0! 0A A1! 1A A]! 0] B[q 0! [q 0 B B0! 0B B1! 1B B]! 1] Vaihe2: siirtymien simulointi Vaiheessa 2 simuloidaan turingin koneen toimintaa vaiheessa 1 generoidulla syötteellä. Jokaista Turingin koneen siirtymää kohti tulee yksi tai useampia kieliopin produktioita.

2 Siirtymä vastaava(t) produktio(t) (q 0 ; 0) = (q 1 ; X; R) q 0 0! Xq 1 (q 0 ; Y ) = (q 3 ; Y; R) q 0 Y! Y q 3 (q 1 ; 0) = (q 1 ; 0; R) q 1 0! 0q 1 (q 1 ; Y ) = (q 1 ; Y; R) q 1 Y! Y q 1 (q 1 ; 1) = (q 2 ; Y; L) 0q 1 1! q 2 0Y 1q 1 1! q 2 1Y Xq 1 1! q 2 XY Y q 1 1! q 2 Y Y [q 1 1! [q 2 #Y (q 2 ; Y ) = (q 2 ; Y; L) 0q 2 Y! q 2 0Y 1q 2 Y! q 2 1Y Xq 2 Y! q 2 XY Y q 2 Y! q 2 Y Y [q 2 Y! [q 2 #Y (q 2 ; 0) = (q 2 ; 0; L) 0q 2 0! q q 2 0! q 2 10 Xq 2 0! q 2 X0 Y q 2 0! q 2 Y 0 [q 2 0! [q 2 #0 (q 2 ; X) = (q 0 ; X; R) q 2 X! Xq 0 (q 3 ; Y ) = (q 3 ; Y; R) q 3 Y! Y q 3 (q 3 ; #) = (q 4 ; #; R) q 3 ]! #q 4 ] Vaihe3: lopputilanteen siistiminen Vaiheessa 3 "siistitään"pois Turingin koneen tilannetta kuvaava osa. Jäljelle jää "arvattu"merkkijono x. Siistimisvaihe käynnistyy vain, jos simulointi on hyväksyvässä lopputilassa. q 4! X 0 Y 0 #X 0! X 0 XX 0! X 0 Y X 0! X 0 0X 0! X 0 1X 0! X 0 [X 0! Y 0 #! Y 0 Y 0 X! Y 0 Y 0 Y! Y 0 Y 0 0! Y 0 Y 0 1! Y 0 Y 0 ]! 2

3 (b) Johto Merkkijonolle "01": (vaihe 1) S T [q 0 ] 0T A[q 0 ] 01T BA[q 0 ] 01BA[q 0 ] 01B[q 0 A] 01[q 0 BA] 01[q 0 B0] 01[q 0 0B] 01[q 0 01] (vaihe 2) 01[Xq 1 1] 01[q 2 XY ] 01[Xq 0 Y ] 01[XY q 3 ] 01[XY #q 4 ] (vaihe 3) 01[XY #X 0 Y 0 ] 01[XY X 0 Y 0 ] 01[XX 0 Y 0 ] 01[X 0 Y 0 ] 01Y 0 ] (a) Merkkijono w 21 saadaan muodostamalla luvun 21 binääriesitys ja poistamalla siitä ensimmäinen ykkönen. Merkkijono on siis (b) Muodostetaan koodi kielen f0 n 1 n j n 1g tunnistavalle koneelle M = (fq 0 ; q 1 ; q 2 ; q 3 ; q 4 g; f0; 1g; f0; 1; X; Y; #g; ; q 0 ; #; fq 4 g): Koneen esitys ei ole vaaditun kaltainen, sillä tyhjä merkki # on aakkoston viimeinen merkki (pitäisi olla kolmas), tilojen numerointi alkaa nollasta (pitäisi alkaa yhdestä) ja hyväksyvä lopputila on q 4 (pitäisi olla q 2 ). Huomioidaan nämä seikat suoraan koodauksen yhteydessä. Tiloille, merkeille ja nauhapään siirroille saadaan seuraavat koodit: q 0 7! 0 q 1 7! 000 q 2 7! 0000 q 3 7! q 4 7! ! 0 1 7! 00 X 7! 0000 Y 7! # 7! 000 L 7! 0 R 7! 00 3

4 Sen jälkeen koodataan siirtymät: (q 0 ; 0) = (q 1 ; X; R) 7! (q 0 ; Y ) = (q 3 ; Y; R) 7! (q 1 ; 0) = (q 1 ; 0; R) 7! (q 1 ; 1) = (q 2 ; Y; L) 7! (q 1 ; Y ) = (q 1 ; Y; R) 7! (q 2 ; 0) = (q 2 ; 0; L) 7! (q 2 ; X) = (q 0 ; X; R) 7! (q 2 ; Y ) = (q 2 ; Y; L) 7! (q 3 ; Y ) = (q 3 ; Y; R) 7! (q 3 ; #) = (q 4 ; #; R) 7! Koneelle M saadaan koodi luettelemalla siirtymien koodit mielivaltaisessa järjestyksessä merkkijonoilla 11 eroteltuina. Yksi mahdollinen koodi on esimerkiksi Jos v; w 2, niin merkitään v < w jos merkkijono v on leksikograsessa järjestyksessä ennen merkkijonoa w. Olkoon w i aakkoston leksikograsessa järjestyksessä i:s merkkijono, toisin sanoen = f w 1 ; w 2 ; : : : g missä w 1 < w 2 < : : :. (a) Oletuksen mukaan siis A = f f (w 1 ); f(w 2 ); : : : g ja f on laskettava. Tarkastellaan seuraavaa algoritmia, joka saa syötteenä merkkijonon x 2 : 1. i := 1; 2. jos f (w i ) = x niin hyväksy; 3. i := i palaa kohtaan 2. Jos x 2 A, niin oletuksen mukaan x = f (w i ) jollain i, jolloin algoritmi hyväksyy. Muuten x 6= f (w i ) kaikilla i, ja algoritmi jää ikuiseen silmukkaan. Algoritmi voidaan toteuttaa esim. kolmenauhaisella Turingin koneella seuraavasti: Nauha 1 sisältää syötteen x. Nauha 2 on työnauha. Nauha 3 sisältää käsittelyvuorossa olevan merkkijonon w i. Olkoon M f funktion f laskeva yksinauhainen Turingin kone, joka siis oletuksen mukaan on totaalinen. Kielen A tunnistavan koneen toiminta on seuraava: 0. (Alussa nauhat 2 ja 3 ovat tyhjiä.) 1. Simuloi konetta M f nauhalla Kun M f pysähtyi, vertaa nauhan 2 sisältöä nauhan 1 sisältöön. Jos ne ovat samat, niin hyväksy. 3. Vaihda nauhan 3 ei-tyhjä osuus leksikograsessa järjestyksessä seuraavaan merkkijonoon. 4. Kopioi nauhan 3 sisältö nauhan 2 sisällöksi. 5. Palaa kohtaan 1. (b) Nyt siis A = f f (w 1 ); f(w 2 ); : : : g, missä f (w 1 ) < f(w 2 ) < : : :. Siis jos x < f(w k ) jollakin k, niin varmasti x 6= f (w i ) kaikilla i > k, ja x 2 A jos ja vain jos x = f (w i ) jollakin i < k. Kieli A voidaan tunnistaa seuraavalla algoritmia, joka saa syötteenä merkkijonon x 2 : 4

5 1. i := 1; 2. jos f (w i ) = x niin hyväksy; 3. jos f (w i ) > x niin hylkää; 3. i := i palaa kohtaan 2. Koska merkkijonot f (w i ) muodostavat kasvavan jonon, algoritmi pysähtyy millä tahansa x. Edellä esitetyn perusteella algoritmi hyväksyy jos ja vain jos x 2 A, ja hylkää jos ja vain jos x 62 A. (c) Oletetaan, että A on rekursiivinen ja ääretön. (Äärettömyysoletus oli virheellisesti jäänyt pois tehtävästä.) Olkoon A = f a 1 ; a 2 ; : : : g, missä a 1 < a 2 < : : :. Kun määritellään f (w i ) = a i, niin selvästi A = f f (w) j w 2 g ja f on monotoninen. Funktio f argumentilla x voidaan laskea seuraavasti: 1. määritä k, jolla x = w k ; 2. p := 0; % montako A:n alkiota on löytynyt 3. toista arvoilla i = 1; 2; : : :: 4. jos w i 2 A niin p := p + 1; 5. jos p = k niin palauta w i. Syötteellä w k algoritmi siis palauttaa sen merkkijonon w, joka on joukon A leksikograsessa järjestyksessä k:s alkio. Koska A on rekursiivinen, algoritmin jokainen yllä esitetty askel voidaan toteuttaa äärellisessä ajassa. Koska A on ääretön, laskuri p saavuttaa jossain vaiheessa arvon k, ja algoritmi pysähtyy. Se siis laskee totaalisen funktion, jolla on haluttu ominaisuus. 5

Samankaltaiset tiedostot

Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja

582206 Laskennan mallit (syksy 2009) Harjoitus 11, ratkaisuja 1. Seuraavissa laskennoissa tilat on numeroitu sarakkeittain ylhäältä alas jättäen kuitenkin hyväksyvä tila välistä. Turingin koneen laskenta