Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja

Transkriptio

1 Matemaattisten työvälineiden täydentäviä muistiinpanoja Antti-Juhani Kaijanaho 7 maaliskuuta 0 Deduktiivinen ja induktiivinen päättely Deduktiivisessa päättelyssä johtopäätös seuraa aukottomasti premisseistä Sen vastakohta on induktiivinen päättely, jossa tehdyistä havainnoista johdetaan niitä koskeva yleinen laki (tämä voi johtaa toisinaan virheelliseen tulokseen) Induktiivista päättelyä käytetään empiirisessä tutkimuksessa Matemaattinen (ja tietojenkäsittelyteoreettinen) päättely on deduktiivista, ja tällä kurssilla käytetäänkin nimenomaan deduktiivista päättelyä Valitettavasti induktio tarkoittaa myös erästä deduktiivisen päättelyn muotoa (matemaattinen induktio) Tällä kurssilla induktiolla tarkoitetaan, ellei toisin mainita, matemaattista induktiota Esimerkki RAA-todistuksesta Määritelmä Reaaliluku r R on rationaalinen eli rationaaliluku, jos on olemassa kokonaisluvut p Z ja q Z +, joille pätee r p/q Lause Ei ole olemassa pienintä positiivista rationaalilukua Todistus Oletetaan, että r on pienin positiivinen rationaaliluku Tällöin on olemassa p Z ja q Z +, joille pätee r p/q Mutta p/(q + ) on myös positiivinen rationaaliluku, ja se on pienempi kuin r, mikä on ristiriidassa tehdyn oletuksen kanssa TIEA Automaatit ja kieliopit, kevät 0 On tosin mainittava, että induktion asema on kovasti kiistelty asia tieteenfilosofiassa Hyvä johdatus aiheeseen on mielestäni Peter Godfrey-Smithin Theory and reality: an introduction to the philosophy of science (University of Chicago Press, 00)

2 Esimerkki induktiotodistuksesta Lause Olkoon n N Tällöin pätee n n(n + ) i Todistus Induktio n:n suhteen Olkoon n 0 (perustapaus) Tällöin väite on triviaali: 0 i 0 0(0 + ) Olkoon n k + (induktioaskel) Tehdään induktio-oletus, että pätee Nyt voidaan laskea: k i k(k + ) n k+ i i n k + k i + k + :n ominaisuus k(k + ) + k + induktio-oletus k(k + ) + (k + ) murtolukujen laskusääntö (k + )(k + ) osittelulaki (n + )n n k + n(n + ) vaihdantalaki Induktioperiaatteen nojalla väite on siis tosi Mahtavuus Tämä osa luennosta jäi oman harrastuneisuuden varaan, eikä se siten kuulu koealueeseen

3 Q ja N ovat yhtä mahtavat Määritelmä Funktio f : A B on injektio, jos jokaiselle y B on enintään yksi x A, jolle pätee f(x) y Määritelmä 5 Joukko A on enintään yhtä mahtava kuin joukko B, jos on olemassa injektio f : A B Määritelmä 6 Joukot A ja B ovat yhtä mahtavat, jos A on enintään yhtä mahtava kuin B ja B on enintään yhtä mahtava kuin A Todistetaan ensiksi apulause eli lemma Lemma 7 Joukko A on yhtä mahtava kuin joukko B, jos olemassa bijektio f : A B (Huomaa: tässä oletukset ovat, että A ja B ovat joukkoja ja että f : A B on bijektio, ja väite on se, että A on yhtä mahtava kuin B) Todistus Se, että A on enintään yhtä mahtava kuin B, seuraa suoraan oletuksesta (sillä bijektio on aina myös injektio) Riittää siis todistaa, että on olemassa injektio g : B A Koska f on bijektio, pätee jokaiselle b B, että joukon { a A f(a) b } koko on Näin ollen voidaan määritellä g siksi yksikäsitteiseksi funktioksi g : B A, jolle pätee a A: g(f(a)) a On vielä osoitettava, että g on injektio Olkoot b, b B ja a A sellaiset, että g(b ) a ja g(b ) a Mutta tällöin g:n määritelmästä ja f:n surjektiivisuudesta seuraa, että b f(a) b, joten b b Näin ollen g on injektio Nyt päästään itse asian kimppuun: Lause 8 Q ja N ovat yhtä mahtavat

4 Todistuksen idea Tarkastellaan seuraavaa kaaviota: 5 Kaaviossa on matriisiin aseteltuna murtolukuja siten, että luvun osoittaja kasvaa pystysuunnassa ja nimittäjä vaakasuunnassa Jokainen murtoluku, jota voidaan supistaa, on yliviivattu Selvää on, että tässä äärettömässä matriisissa on jokainen positiivinen rationaaliluku edustettuna ainakin kerran (ja yliviivatut esiintymät poislukien täsmälleen kerran) Kaaviossa on lisäksi osoitettu nuolella tapa, jolla matriisia käydään läpi Varsin selvää on, että tämä läpikäyntitapa käy jokaisen positiivisen murtoluvun kautta (ja yliviivatut esiintymät huomiotta jättäen täsmälleen kerran) Negatiiviset rationaaliluvut voidaan lisätä läpikäyntijärjestykseen siten, että jokaisen positiivisen luvun jälkeen käydään sen vastaluvussa ennen seuraavaan positiiviseen lukuun siirtymistä Myös nollan lisääminen järjestykseen on triviaalia Kun nyt nuolijonon alkupisteeseen liitetään luonnollinen luku 0 ja jokaisen nuolen loppupäässä olevaan rationaalilukuun (yliviivatut yli hyppien) liitetään alkupäähän liitetty numero yhdellä korotettuna, saadaan aikaiseksi funktio f : Q N On helppo nähdä, että se on bijektio Haasteena on todistuksen kirjoittaminen matemaatikon tarkkuudella Se kannattaa tehdä useassa palasessa: Osoitetaan, että Cantorin pariutusfunktio f : N N N f : (n, m) (m + n)(m + n + ) + m on bijektio (Huomaa, että tämä funktio tuottaa hieman eri kuvion kuin yllä on kuvattu, mutta tällä ei ole asian kannalta merkitystä)

5 Osoitetaan, että jos S T, niin S on enintään yhtä mahtava kuin T Osoitetaan näiden aputulosten avulla N ja Q yhtä mahtaviksi Nämä jääköön lukijalle harjoitustehtäviksi R on mahtavampi kuin N Määritelmä 9 [a, b] { r R a r b } Lause 0 R on mahtavampi kuin N Todistuksen idea Se, että N on enintään yhtä mahtava kuin R seuraa suoraan siitä, että N R pätee Johdetaan nyt diagonaaliargumentilla ristiriita siitä oletuksesta, että N olisi yhtä mahtava kuin [0, ] Tästä ristiriidasta seuraa, että [0, ] on mahtavampi kuin N, josta taas seuraa, että R on mahtavampi kuin N Oletetaan, että N on yhtä mahtava kuin [0, ] Tällöin on olemassa bijektio g : N [0, ] Koska välillä [0, ] olevat reaaliluvut voidaan esittää äärettömän pitkinä desimaalikehitelminä ilman kokonaisosaa ( 0999 ), voimme kuvitella tuon bijektion näyttävän jokseenkin tältä: Merkitään jatkossa, kullekin i N ja j Z +, luvun g(i) j:nnettä desimaalia g(i) j :llä Konstruoidaan nyt uusi positiivinen reaaliluku r siten, että sen ensimmäinen desimaali on 9 g(0), toinen desimaali on 9 g() jne Yllä esimerkinomaisessa taulukoinnissa on lihavoitu se desimaali, jota kustakin luvusta tarkastellaan Taulukoinnin kuvaamassa tapauksessa pätisi siis r 06 Huomaa nyt, että r:n i:nnes desimaali ei voi olla sama kuin g(i):n i:nnes desimaali Näin ollen ei voi olla n N jolle g(i) r Mutta oletimme, että g on bijektio, joten tässä on ristiriita Matemaatikon tarkkuudella tehtäessä todistus vaatii desimaalikehitelmien teorian kehittelyä, jota ei tässä ole syytä tehdä Tässä on itse asiassa pieni huijaus, sillä desimaalikehitelmät eivät ole yksikäsitteisiä ( 0999 ) Huijaus on kuitenkin väistettävissä poistamalla desimaalikehitelmien joukosta duplikaatit 5