SMG-00 Piirianalyysi II Harjoitustehtävät Luu : Järjestelmien lineaarisuus, differenssiyhtälöt, differentiaaliyhtälöt Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmä on lineaarinen, jos T u u T u T u, jossa ja ovat vaioita ja u ja u ovat järjestelmän T asi eri sisäänmenoa (a) Järjestelmän ulostuloa on yleensä tapana meritä y:llä, jota ei uitenaan yllä olevasta lineaarisuuden määritelmästä löydy Mitä termit lineaarisuuden määritelmässä edustavat järjestelmän ulostuloa? (b) Maailmalla Kuninaan paluu on suosittu elouva, mutta Suomessa nuo asi sanaa taroittavat sitä esän 004 heteä, jolloin Jari Litmanen palasi Veiausliigaan FC Lahden riveissä Tarastellaan järjestelmää, jona sisäänmeno u on Litmasen peliaia ysittäisessä otiottelussa, ja ulostulo y on yseisen ottelun yleisömäärä Jos Jari ei pelaa minuuttiaaan, atsomossa on 000 silmäparia Jos Jari pelaa täydet 90 minuuttia, atsojia on 0000 Oletetaan, että yleisömäärän riippuvuus Litmasen peliminuuteista noudattaa suoran yhtälöä Ono järjestelmä lineaarinen? Järjestelmien lineaarisuus: Järjestelmän sisäänmeno on ondensaattorin virta, ja ulostulo on ondensaattorin yli oleva jännite Millä ehdolla yseinen järjestelmä on lineaarinen? 3 Järjestelmien lineaarisuus: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite y(t) Tarastele piirin lineaarisuutta, un (a) R = R (b) R = u(t)/r R u(t) R y(t) 4 Differenssiyhtälöt: (a) Teemu ostaa jänisaupasta asi vastasyntynyttä jänistä, joista toinen on uros ja toinen naaras Jänöset ovat tehoaita lisääntymään, miä paljastuu ahden uuauden uluttua jäleläisparin (uros ja naaras) syntyessä Oletetaan, että ysiään jänö ei uole, ja oletetaan lisäsi aiien jänisparien saavan uros- ja naaraspoiasen joa uuausi saavutettuaan ensin suuypsyyden uuaudessa Muodosta pitäorvaparisuntien luumäärää uvaava differenssiyhtälö Differentiaaliyhtälöt: (b) Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo virta i(t) Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö R i(t) u(t) L
5 Järjestelmien lineaarisuus: Vastus R on ytetty jännitelähteen u(t) anssa sarjaan Ono järjestelmä lineaarinen, un sisäänmeno on u(t) ja ulostulo on vastusen ottama teho p(t)? Luu : Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen aiatasossa Homogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä Ay By Cy 0 Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) A =, B = - ja C = - (b) A =, B = - ja C = /4 (c) A =, B = - ja C = / Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y D 0 Hae yleinen rataisu y :lle, un (a) D = (b) D = 5 (c) D = 3 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Rataise oheista lohoaaviota uvaava differenssiyhtälö, un u = 4 ja y 0 = 4 u y 3 4 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt: Alex Ferguson on laittanut Dimitar Berbatovin rangaistuspotuurssille, osa Dimitar teee tällä hetellä pilusta maalin säälittävällä 0%:n todennäöisyydellä Berbatov on uitenin nopea oppimaan, ja piluurssilla ollessaan hänen taitonsa ehittyy siten, että maalinteotodennäöisyys noudattaa yhtälöä P P 000, jossa taroittaa uuautta Kuina monta uuautta Dimitarin on vietettävä urssilla, jotta hän teee joaisesta pilusta maalin? Huomaa, että yseessä on disreettiaiainen järjesjestelmä, eli saa ainoastaan oonaisluuarvoja 5 Epähomogeeniset differenssiyhtälöt, oonaisrataisu: Muodosta oonaisrataisu oheista lohoaaviota uvaavalle differenssiyhtälölle, un y, 0 u u 0, 0 3 6
6 Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Tarastellaan samaa järjestelmää uin tehtävässä 5 Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase ulostulo onvoluutiosumman avulla Miä on y 3 :n arvo? Tulio sama tulos uin tehtävässä 5? 7 Disreettiaiajärjestelmien tilamuuttujaesitys: Tarastellaan edelleen samaa järjestelmää uin tehtävässä 5 Valitse viiveelementtien jäleiset tilat tilamuuttujisi ja muodosta järjestelmän tilamuuttujaesitys Ono järjestelmä stabiili? 8 Disreettiaiajärjestelmän stabiilisuus: Tehtävässä 7 esitettiin disreettiaiajärjestelmän stabiilisuusehto tilamatriisin ominaisarvojen avulla Miten voit tarastella stabiilisuutta tehtävän 5 differenssiyhtälön rataisusta? Mitä järjestelmän stabiilisuus siis taroittaa? 9 Impulssivaste ja onvoluutiosumma: Barcelonan jalapallojouueen hyöääjät suorittavat Cooperin testiä Tapahtuma poieaa uitenin hieman totutusta, sillä joaisella hyöääjällä on selässään puolustaja, joa pyrii estämään hyöääjän etenemisen Tarastellaan paria Messi - Puyol Messi juosee, ja Puyol yrittää laittaa hanttiin Kuina monta minuuttia Messi pystyy etenemään, un hänen nopeutensa v noudattaa minuuttien funtiona differenssiyhtälöä v v u? Muodosta järjestelmän impulssivaste ja lase onvoluutiosumman avulla Messin nopeus, un järjestelmän sisäänmeno u = 0 + 0 Taroitus on siis selvittää, uina monennella minuutilla Puyol alaa repiä Messiä taasepäin, jolloin Lionelin nopeus muuttuu siis negatiivisesi 0 Konvoluutiosumma: Andrey ostaa Tapsantorilta järjestelmän muttei ymmärrä mitään sen toiminnasta Hän pyytää apua Arsenelta, joa huomaa järjestelmän yljessä luevan: h 0, 0 b, 0 Auta tyimiesasioa ja määritä lausee järjestelmän ulostulolle y, un sisäänmenolle pätee u 0, 0 a, 0 Diagonalisointi: Diagonalisoi oheinen järjestelmä, jolle muodostettiin tilamuuttujaesitys tehtävässä 7 Mitä iloa diagonalisoinnista on?
y u 0,, 0 0 u 3 6 Luu 3: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen aiatasossa 3 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle d y t dy t A By t 0, un (a) A = 4, B = 7/4, (b) A =, B = 3 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu tehtävän 3 yhtälölle, un A = ja B = 5/4 Karateristisen yhtälön juuret ovat nyt omplesiluuja Mihin imaginääriysiö j atoaa homogeenisen yhtälön rataisusta? 33 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt: Hae yleinen rataisu differentiaaliyhtälölle 3 d d d y t y t y t 0 t t t 3 d d 4 d 34 Homogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Rataise v(t) C = 05 F, L = 8 H, R = 0, v(0) = 0 V ja i L (0) = -5 ma i C i L i R C L R v(t) 35 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Alla olevan uvan ytin S on aui, un t < 0 Tällöin piiri on tasapainotilassa, eli virta i(t) on vaio Ajanhetellä t = 0 ytin suljetaan Määritä virta i(t), un t 0 i(t) E L R S R 36 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (yleinen oonaisrataisu): Rataise differentiaaliyhtälö y t 4y t 4y t f t, un (a) f t e t, (b) f t 5t, t (c) f t sin t, (d) f t e 5t sin t
37 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Legendaariseen maineeseen noussut lasuvarjohyppy on monen mielestä Joerin ventti -nimisen untopiirin rasain liie Kyseinen liie on asivaiheinen Ensin ponnistetaan lattiasta ylös, ja laipisteen saavuttamisen jäleen leijaillaan taaisin lattialle Suorituseen valmistautuvaa henilöä voidaan uvata oheiselle meaanisella järjestelmällä Lytyssä oleva jousi (jousivaio ) uvaa untoilijan (massa m) ouussa olevia polvia, jota sinoavat hänet irti lattiasta Gravitaatio taas pitää huolen siitä, ettei untoilija lyö päätään liiuntahallin attoon x(t) uvaa untoilijan massaesipisteen sijaintia suoritusen aiana lepotilanteeseen verrattuna Kun ilmanvastusta ei oteta huomioon, tilannetta uvaavasi differentiaaliyhtälösi saadaan Newtonin II lain muaisesti 0 m m x(t) xt mg mxt Rataise x(t), un m = 70 g, = 000 N/m, g = 98 m/s, x(0) = -0 m ja x 0 0 m/s Mallin oieellisuutta on mahdollista tarastella liiuntahallissa torstaisin lo 7-8 Misi malli ei uvaa todellista tilannetta? 38 Epähomogeeniset differentiaaliyhtälöt (oonaisrataisu): Oheisen järjestelmän sisäänmeno on lähdevirta i(t) ja ulostulo jännite y(t) Muodosta ulostulon lausee, un sisäämeno i(t) = 0, un t < 0, ja i(t) = e -t sin(t), t 0 R =, C = mf i(t) R C y(t) 39 Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Muodosta tehtävän 38 järjestelmälle impulssivaste 30 Jatuva-aiajärjestelmän tilamuuttujaesitys: Kirjoita tilamuuttujaesitys oheiselle piirille i(t) Järjestelmän sisäänmeno on lähdejännite v(t) ja ulostulo vastusen R yli oleva jännite Käytä v(t) tilamuuttujina ondensaattorin yli olevaa jännitettä v C (t) ja äämin virtaa i(t) Ono järjestelmä stabiili, un R =, C = nf ja L = mh? Mistä jatuvaaiajärjestelmien stabiilisuusehto tulee? L R C v C (t) 3 Epälineaarisen yhtälön rataiseminen (Newton-Raphson): Rataise oheisen ytennän omponenttien yli olevat jännitteet Newton- Raphson -algoritmilla ahden desimaalin taruudella, un I = A, R = 05 ja diodin virta i D noudattaa lauseetta i D = e 0U -, missä U on diodin yli oleva jännite R R I R I
3 Jatuva-aiajärjestelmän impulssivaste: Diego Forlan antaa vapaapotua Tarastellaan palloa, joa ennen vaparia lepää liiumattomana nurmella Sillä hetellä, un Forlanin jala osuu palloon, siihen ohdistuu impulssimainen voima (t), josta seuraa pallon iihtyvyys h(t), ysiönä m/s Järjestelmää uvaava yhtälö on dht 000 h t 00 t Rataise pallon iihtyvyys h(t) Luu 4: Lineaaristen differenssiyhtälöiden rataiseminen Z-muunnosen avulla 4 Z-muunnosen muodostaminen: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Z-muunnoset, un 0 Termin x Z-muunnos on X(Z) (a) a (vaio) (b) (/3) (c) x +3 (d) x -3 (e) 4 Differenssiyhtälön rataiseminen aiatasossa: R Ana on matalla Hinustaniin ja rahaa säästääseen päättää ylittää Kamalajan aavion amelilla Ahmedin vesihuoltis Kamalajan aavion laitamilla myy vettä tasalitroittain pöyristyttävällä 0 centin litrahinnalla, joten Roope päättää lasea tarvittavan veden määrän Jotta Roope ehtii liietapaamiseen, amelin matanopeuden täytyy olla 0 m/h Vuoraamelin huoltoirjasta löytyvistä vedenulutustilastoista Roope näee em matanopeuden aiheuttaman vedenhäviin olevan,5 l/h Toisaalta ulolämpötilasta ja tuulioloista johtuen 5 % ameliin tanatusta vesimäärästä haihtuu joa tunti Kuina monta litraa vettä Roopen täytyy tanata amelinsa yttyröihin, jotta tanattu vesi ei lopu esen 50 m:n matalla? 43 Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise tehtävän differenssiyhtälö Z-muunnosen avulla 44 Z-muunnosen muodostaminen: Hae u :n Z-muunnos U(Z), un u sin a, 0, missä a on vaio 45 Differenssiyhtälön rataiseminen Z-muunnosen avulla: Rataise y Z-muunnosen avulla, un y 0 = 0 ja y y 4 46 (a) Z-muunnosen muodostaminen: Muodosta y :n Z-muunnos Y(z), un y u, 0, ja Z{u } = U(z) (b) Loppuarvoteoreema: Disreettiaiajärjestelmän ulostulon y Z-muunnos Y(z) on
Y z 5z 0 z 05 z 06 04 z z z Määritä lim y 47 Impulssivasteen määrittäminen Z-muunnosen avulla: Rataise oheisen differenssiyhtälön impulssivaste Z-muunnosen avulla y y y 3u u 48 Siirtofuntion H(z) määrittäminen: Järjestelmän ulostulo on 5 y, 0, ja sisäänmeno u, 0 Määritä impulssivasteen h Z-muunnos H(z), jota siirtofuntiosiin utsutaan 49 Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Lase ulostulo y tehtävän 48 järjestelmälle, un järjestelmän sisäänmeno on u 3, 0 40 Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen: Valeaosen Haa vahvistaa rivejään Erityisesti juosuvoimalle on tarvetta, joten päävalmentaja Ristilä ostaa Roberto Carlosin Venäjän valioliigaa pelaavasta FK Anzi Mahatsalasta Kyseisellä pelaajalla on perinteisesti tapana toimia seä alimpana puolustajana että hyöäysen ärenä, minä seurausena hän juosee useamman maratonin yhden ottelun aiana Roberto saapuu Valeaoselle ontissa, jona rahtiirjasta Haan päävalmentaja luee uuden vahvistusensa siirtofuntion olevan H z 08z 8z Koittaa ensimmäinen pelipäivä Ristilä antaa Carlosille luvan juosta, ja Carloshan juosee Kun päävalmentajan lupa edustaa järjestelmän sisäänmenoa ja on u =, un 0, muodosta ulostulon y lausee Ulostulo y uvaa Carlosin juosemaa ilometrimäärää ottelun aiana, un edustaa uluneita peliminuutteja Kuina monen minuutin jäleen ensimmäinen maraton täyttyy? 4 Impulssivasteen h Z-muunnos H(z): Järjestelmän sisäänmeno u ja ulostulo y ovat u 5, un 0, 0, un 0 y 500, un 5 0, un 5 Muodosta järjestelmän siirtofuntio H(z) ja impulssivaste h 4 Siirtofuntion H(z) hyödyntäminen asadiytennässä: Kasi identtistä järjestelmää on ytetty sarjaan Ysittäisen järjestelmän impulssivaste h = (/), 0 Jos ensimmäisen järjestelmän sisäänmeno on u = (asel), miä on jälimmäisen järjestelmän ulostulo y?
43 Differenssiyhtälöt & Z-muunnos: Rataise tehtävä 9 (Messi & Puyol) Z-muunnosella Järjestelmää uvaava yhtälö on v v u, jossa v edustaa ulostuloa ja sisäänmeno u = -0 + 0 Taroitus on siis muodostaa järjestelmän impulssivaste h ja rataista v, joa uvaa Messin nopeutta minuuttien funtiona Aluarvo v 0 = 0 Luu 5: Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden rataiseminen Laplacemuunnosen avulla 5 Laplace-muunnos: Hae määritelmään perustuen seuraavien termien Laplace-muunnoset, un i(t):n Laplace-muunnos on I(s) (a) a (vaio) (b) 3t (c) / e t 5 Laplace-muunnos: Rataise Laplace-muunnosella differentiaaliyhtälö di t i t t, un i(0) = 0 A (d) d i t 53 Raúl Gonzáles: Raúl on erran antanut harhasyötön Tuosta onnettomasta hetestä lähtien todennäöisyys onnistuneelle syötölle p(t) on noudattanut differentiaaliyhtälöä p t 5p t 75 Rataise p(t) Laplace-muunnosella, un p(0) = 097 Millä todennäöisyydellä Raúl antaa onnistuneen syötön, un tuosta synästä virheestä on ulunut 05 s? 54 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Oheisen RLC-piirin ytin suljetaan, un t = 0 s Kun ytin on aui, ondensaattorin yli on 40 V:n jännite Rataise Laplace-muunnosen avulla ondensaattorin yli oleva jännite ajan funtiona, v C (t) U = 00 V, R = 50, L = 0 mh, C = 5 F U R L C 55 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise oheinen differentiaaliyhtälöpari, un x(0) = ja y(0) = 0 xt 4xt yt yt x t y t y t 0
56 Siirtofuntio: Muodosta tehtävän 5 järjestelmän siirtofuntio H(s), un i(t) edustaa järjestelmän ulostuloa ja aselfuntio (t) edustaa järjestelmän sisäänmenoa Varmista lisäsi tehtävässä 5 saatu ulostulo H(s)U(s):n avulla 57 Siirtofuntio ja loppuarvoteoreema: Jatuva-aiajärjestelmää uvaavasi siirtofuntiosi on saatu s H s s s s 3 Rataise järjestelmän ulostulo y(t), un sisäänmeno u t loppuarvoteoreemalla lim t 4e t y t Varmista tulos aiatason rataisusta t Lase vielä 58 The Science of Soccer: Kuvitellaan, että jalapallon törmäystä maalin tolppaan voidaan uvata homogeenisella differentiaaliyhtälöllä dbt cp 0 bt m, un 0 t t max Yhtälössä b on pallon muodonmuutosen syvyys, c pallon ehän pituus, p erotus pallon sisällä olevasta paineesta ja ympäröivästä ilmanpaineesta ja m pallon massa Tarastellaan SMG:n wirallista tyy-palloa, jolle m = 044 g, c = 0703 m, p = 086 0 5 N/m (083 atm) ja t max = 8 ms Rataise Laplace-muunnosen avulla pallon muodonmuutos b(t), un Risto ampuu pallon tolppaan maltillisella 87 m/h:n nopeudella Tarastelun aluhetellä pallo on juuri osumassa tolppaan, eli b(0) = 0 m 59 Laplace-muunnos: Tarastellaan indutanssiltaan 50 mh:n äämiä Ajatellaan sitä järjestelmänä, jona sisäänmeno on äämin yli oleva jännite u L (t) ja ulostulo äämin virta i L (t) Rataise Laplace-muunnosen avulla i L (t), un u L (t) noudattaa lauseetta ul t sin t V, jossa = 00 Oleta äämin tasavirtaomponentti nollasi Aluarvo i L (0) on pääteltävissä u L (t):stä, vaia vaatiiin hieman pähäilyä 50 Differentiaaliyhtälöt & Laplace-muunnos: Rataise tehtävä 37 (lasuvarjohyppy) Laplace-muunnosella Rataise siis x(t) differentiaaliyhtälöstä x t mg mx t,
jossa m = 70 g, = 000 N/m, g = 98 m/s, x(0) = 0 m ja x 0 0 Luu 6: Jasolliset funtiot ja Fourier'n sarjaehitelmä 6 Fourier'n esponenttisarja: Esitä oheinen jasollinen jännitesignaali Fourier'n esponenttisarjana v(t) (V) 5 0 t (ms) 6 Taajuusvaste: Järjestelmää, jona sisäänmeno on u(t) ja ulostulo y(t), uvaava differentiaaliyhtälö on y t y t 4y t u t 3u t Määritä järjestelmän taajuusvaste 63 Taajuusvaste: Järjestelmän taajuusvasteesi on saatu H j 3 3 j j j Muodosta järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö 64 Taajuusvasteen hyödyntäminen järjestelmän ulostulon määrittämisessä: Tarastellaan oheista ytentää, jona sisäänmeno on lähdejännite u(t) ja ulostulo ondensaattorin yli oleva jännite y(t) Muodosta ulostulon lausee, un R L sisäänmenosi syötetään tehtävän 6 sahalaitasignaali R = 000, L = 50 mh, C = 00 F u(t) C y(t)