Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa
. Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa ennuseaessa. Muuujan aiemmalla hisorialla ei sien ole ennusekykyä ulevien arvojen suheen. Esim. osakekurssi noudaava yleensä Markov -prosessia, sillä sijoiajien suuri määrä ja heidän käyämänsä ennusemalli yhjenävä kaiken informaaion sien, eä jos aiemmalla hisorialla olisi ennusevoimaa, joku käyäisi sen ja osaisi/myisi osakkeia sen peruseella. Tämän jälkeen kurssi muuuisi sien, eä kyseisellä informaaiolla ei enää olisi ennusevoimaa kurssin suheen. Osakekurssien Markov -ominaisuus on sopusoinnussa markkinoiden heikon ehokkuuden (weak efficiency) kanssa, jonka mukaan valliseva osakekurssi sisälävä kaiken relevanin informaaion kurssien hisoriasa.
Oleeaan muuuja joka noudaaa Markov prosessia. Muuujan nykyinen arvo on 0 ja sen muuos vuoden aikana noudaaa normaalijakaumaa N(0, ), missä 0 on odousarvo ja keskihajona. Mikä on muuujan odennäköisyysjakauma kahden vuoden aikana? Muuujan muuos kahden vuoden aikana on kahden normaalisi jakauuneen saunnaismuuujan summa, joisa molemmilla on odousarvo 0 ja keskihajona. Koska muuuja noudaaa Markov prosessia, muuokse ova riippumaomia. Kahden riippumaoman normaalisi jakauuneen saunnaismuuujan summalle päee:, var( sillä N(0,), ) cov(, var( ) var( ) 0. Siis ) var( cov( 0,, ). ) var( ) var( ),
Toisin sanoen : N (0, ). Vasaavasi muuujan jakauma puolen vuoden aikana on normaalisi jakauunu saunnaismuuuja odousarvolla 0 ja varianssilla ½, eli: N(0, 0,5). Yleisemmin voidaan sanoa, eä muuuja noudaaa normaalijakaumaa: N( 0, ). Muuujan lisäysen odousarvo ja varianssi ova sien yheenlaskeavia, mua eivä keskihajonna. Muuujan varianssin miayksikkö on vuosi, ja keskihajonnan miayksikkö on neliöjuuri vuodesa.
Wiener -prosessi on ieynlainen Markov prosessi, jonka odousarvo on nolla ja varianssi per vuosi. Fysiikassa ko. prosessia käyeään yleisesi, ja siä kusuaan Brownin liikkeeksi (Brownian moion). Brownin liike on neseessä ai kaasussa olevia hyvin pieniä hiukkasia mikroskoopilla arkaselaessa havaiava saunnainen ja isenäinen siksak-liike. Ilmiön havaisi kasviieeilijä Roer Brown vuonna 87 ukiessaan mikroskoopin avulla vedessä kelluvaa kasvien siiepölyä. [
. Diskreeiaikainen Wiener -prosessi Muuuja noudaaa -uloeisa Wiener -prosessia, jos: Tällöin ) ) i) ii) i, j N(0, E{[ E{, ova ),. N(0,), riippuma omia. sillä 0, E{[ E{ Wiener -prosessia noudaavan saunnaismuuujan odousarvo on siis 0 ja varianssi on T ajanjakson T aikana; E on odousarvooperaaori.
3. Jakuva-aikainen Wiener -prosessi Saunnaismuuuja noudaaa jakuva-aikaisa Wiener -prosessia, jos muuujan differeniaalille (muuokselle) d päee: d d, d d 0, var( d) E{[ d d E{[ d d E{ d. 3.. Yleisey Wiener -prosessi Muuuja x noudaaa jakuva-aikaisa yleiseyä Wiener prosessia, jos: dx ad d, missä a on drif (viraus) -parameri ja varianssi -parameri.
Diskreeiaikaisena yleisey Wiener -prosessi on muooa: x a a. Tällä prosessilla on seuraava ominaisuude: ) x a, sillä 0, ) E{[ x x E{ ( ). x Ny jos = 0, niin a, Joen a on x:n kasvunopeus ilaneessa, eä x:n saunnaiskomponenin muuos = 0. Wiener -prosessia kusuaan usein myös Random walk (saunnaiskulku) -prosessiksi.
4. Osakekurssi sokasisena prosessina On luonnollisa ajaella, eä osakekurssi noudaava yleiseyä Wiener prosessia, jossa on kiineä drif -parameri (kasvuase) ja sen lisäksi sokasinen komponeni, jolla on kiineä varianssi. Osakekursseilla on kuienkin ominaisuus, eä niiden kasvuasee ova karkeasi oaen vakioia eikä kasvunopeude, sillä kasvunopeus riippuu kurssin asoluuisesa arvosa. Tällöin siis päee: S /, vakio, S missä S on osakekurssi, ilmaisee muuosa, aikaa ja :llä merkiään S:n kasvuasea. Tämän raja-arvona -> 0 saadaan seuraava jakuva-aikainen malli: ds / S d S( ) S(0) e,
missä S(0), S() ova osakekurssin arvo hekillä 0 ja. Eo. Kaava osoiaa, eä jos osakekurssissa ei ole saunnaisuua, se kasvaa vakioisella kasvuaseella. Osakekurssien kasvuasee vaiheleva kuienkin päiviäin, joen realisisempi malli on seuraava: ds S d d ds Sd Sd. Tämä, ns. Geomerinen Brownin liike, on yleisimmin käyey malli osakekurssien mallinamisessa. Siinä parameri vasaa muuujan ds/s odousarvoa ja σ keskihajonaa, molemma vakioia.