Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2

Transkriptio

1 S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi) (pyrykivisaari@tkkfi) (lsalmia@cchutfi) (Kirjan tehtävä 834) Näytä että sekä symmetrinen aaltofunktio S = n x n ' x n ' x n x että antisymmetrinen aaltofunktio A = n x n ' x n ' x n x ovat ratkaisuja -hiukkasiselle Schrödingerin yhtälölle ħ m x ħ m x x x U x x x x =E x x jonka energia on sama kuin siinä tapauksessaettä sen aaltofunktio olisi epäsymmetrinen tulo x x = n x n ' x Ratkaistaan sekä symmetrisen että antisymmetrisen aaltofunktioiden tapaukset samalla kertaa käyttämällä ± merkintää missä + vastaa symmetristä tapausta ja - antisymmetristä tapausta Sijoitetaan sekä symmetrinen että antisymmetrinen aaltofunktio Schödingerin yhtälön vasemmelle puolelle: ħ m x ħ m x [ x ' x ± x ' x ] n n n n + U x x [ n x n ' x ± n x n ' x ] = ħ m ± ħ m x ħ m x ħ m x n x n ' x U x x n x n ' x x n x n ' x ±U x x n x n ' x Jos tehtävänannossa annettu epäsymmetrinen tulo aaltofunktio on käypä ratkaisu niin tällöin edellisen yhtälön kaksi ensimmäistä termiä on oltava yhtäsuuri kuin E n x n ' x eli ħ m x ħ m x n x n ' x U x x n x n ' x =E n x n ' x ja jälkimmäiset kaksi termiä on oltava yhtäsuuri kuin ±E n x n ' x eli ħ m x ħ m x n x n ' x ±U x x n x n ' x =±E n x n ' x missä molemmissa symmetrian vuoksi E on sama Täten Schödingerin yhtälön vasemmaksi puoleksi saadan: E [ n x n ' x ± n x n ' x ] eli siis sekä symmetrinen että antisymmetrinen aaltofunktio ovat kyseisen E energiaisen yhtälön ratkaisuja

2 (Kirjan tehtävä 835) Kaksi hiukkasta :n pituisessa laatikossa miehittävät yksilölliset hiukkastilat n= ja n'= Kun normalisointivakio on niin laske sekä symmetrisen että antisymmetrisen tilan todennäköisyydet sille että molemmat hiukkaset löytyvät laatikon vasemmasta puolitasosta eli toisin sanoen ja väliltä Ratkaistaan sekä symmetrisen että antisymmetrisen aaltofunktioiden tapaukset samalla kertaa käyttämällä ± merkintää missä + vastaa symmetristä tapausta ja - antisymmetristä tapausta Tällöin saadaan todennäköisyydeksi P: P = / [ / sin x sin x ±sin x sin x dx ] dx = sin x / ± / dx sin x sin x sin x dx + / sin x / dx sin x sin x dx Näistä ensimmäiset neljä integraalia ovat kukin 4 3 P = eli todennäköisyydeksi saadaan tällöin: [ 4 4 ± 3 ] = 4 ± / dx sin x dx ja kaksi viimeistä integraalia ovat 6 9 = 5 ± 8 Klassinen todennäköisyys löytää molemmat hiukkaset samasta puolitasosta olisi = Symmetrisellä tilalla hiukkasilla on taipumus lähestyä toisiaan joten 4 symmetrisessä tapauksessa on oltava klassista todennäköisyyttä suurempi todennäköisyys löytää molemmat hiukkaset samasta puolitasosta Eli P symmetrinen = = 43 Antisymmetrisellä tilalla hiukkasilla on puolestaan taipumus erkaantua kauemmaksi toisistaan joten silloin on oltava klassista todennäköisyyttä pienempi todennäköisyys löytää molemmat hiukkaset samasta puolitasosta Eli P antisymmetrinen = 5-8 = 7 3 (Kirjan tehtävä 839) Yksinkertaisen harmonisen oskillaattorin perustilan aaltofunktio on Ae bx / ja ensimmäisen viritetyn tilan aaltofunktio on Bxe bx / Oleta että kaksi hiukkasta miehittävät näitä tiloja a) Jos hiukkaset ovat toisistaan erotettavissa niin tällöin hyväksyttävä aaltofunktio on Ae bx / Bx e bx / aske todennäköisyys sille että molemmat hiukkaset löytyvät origon positiiviselta puolelta ja jaa tämä tulos sillä kokonaistodennäköisyydellä jolla molemmat hiukkaset löytyvät koko lukualueen yli integroituina (Tämänkaltainen normalisointi virtaviivaistaa asiota tässä tapauksessa) b) Oleta nyt että hiukkasia ei voida erottaa toisistaan aske sama todennäköisyyssuhde kuin a) kohdassa mutta oleta nyt että tämä monen hiukkasen aaltofunktio on joko symmetrinen tai antisymmetrinen Käytä ± merkintää vähentääksesi työmäärääsi Kommentoi lopuksi tulosta

3 a) Kokonaistodennäköisyys saadaan integroimalla koko lukualueen yli: = Ae b x / Bx e b x / dx dx = A e b x dx B x e bx dx Tehtävässä kysytty rajattu integraali saadaan integroimalla nollasta (positiiviseen) äärettömyyteen: P raj = A e b x dx B x e b x dx Koska integrandit ovat origon suhteen symmetrisiä niin kummankin rajatuista integraaleista on oltava täsmälleen puolet täydestä integraalista eli osamääräksi saadaan: P raj = 5 5 =5 b) Symmetrinen ja antisymmetrinen aaltofunktio ovat tässä tapauksessa: Ae b x / Bx e b x / ±Ae bx / Bx e b x / Kokonaistodennäköisyydeksi saadaan: = Ae b x / Bx e b x / ± Ae b x / Bx e bx / dx dx = A e b x ± A B dx B x e bx x e b x dx dx + A e b x x e b x dx dx B x e bx dx Näistä kaksi viimeistä integraalia ovat nollia koska parittoman funktion integraali koko lukualueen yli on nolla Ensimmäisiin neljään integraaliin voidaan soveltaa Gaussin integaalin integroimiskaavaa: x n e x / a dx= n! n! a n eli kokonaistodennäköisyydeksi saadaan: = A b B A b 3 b B b = A B 3 b Rajattu todennäköisyys on: P raj = A ± A B e b x x e b x dx B dx x e bx x e b x dx dx + A e b x dx B x e b x dx

4 Näistä neljään ensimmäiseen integraaliin voidaan soveltaa Gaussin integraalia: x n e x / a n! dx= n! a n ja kaksi viimeistä integraalia voidaan suoraan integroida käyttämällä tavallista eksponenttifunktion integroimiskaavaa Tällöin rajatuksi todennäköisyydeksi saadaan: P raj = A b B b 3 A b B b ± A B = 3 b A B b 4 ± Eli osamääräksi saadaan: P raj = A B 4 ± b A B b = 4 ± = 4 ± eli symmetrisen tapauksen todennäköisyys 49 ja antisymmetrisen tapauksen todennäköisyys on 9 Eli symmetrisen aaltofunktion tapauksessa saadaan suurempi todennäköisyys löytää molemmat hiukkaset origon positiiviselta puolelta kuin a) kohdan epäsymmetrisessä aaltofunktio tapauksessa Antisymmetrisen aaltofunktion tapauksessa todennäköisyys on pienempi kuin a) kohdan tapauksessa 4 (Kirjan tehtävä 84) Slaterin determinantti: kätevä ja kompakti tapa esittää usean antisymmetriset ominaisuudet omaavan fermionin monihiukkastilat on Slaterin determinantti: n x ms n x m s x m s3 nn x msn n x m s n x m s x m s3 x m n x 3 m s n x 3 m s x 3 m s3 x 3 m n m s n x N m s m s3 m sn Slaterin deteminantti perustuu siihen tosiseikkaan että N kappaleelle fermioneja täytyy olla N kappaletta erilaisia yksilöllisiä hiukkastiloja tai kvanttinumero joukkoja Esimerkiksi tilalla i on avaruudellista tilaa koskevat kvanttiluvut (n i l i ja m li) joita voidaan kuvata pääkvanttiluvulla n i ja spinkvanttiluvulla m si Jos sitä miehittää j:s hiukkanen niin tila on tällöin ni x j m si Determinantin sarake vastaa tiettyä tilaa ja rivi vastaa tiettyä hiukkasta Esimerkiksi sarake vastaa yksilöllistä hiukkastilaa n x j m s missä j käy rivit läpi hiukkasesta hiukkaseen N Ensimmäinen rivi vastaa hiukkasta joka miehittää peräkkäin kaikki yksilölliset hiukkastilat (eli käy läpi rivin sarakkeet) a) Mikä determinantin ominaisuus varmistaa sen että monihiukkastila on jos mitkä tahansa kaksi yksilöllistä hiukkastilaa ovat identtisesti samat? b) Mikä determinantin ominaisuus varmistaa sen että jos vaihdetaan minkä tahansa kahden hiukkasen alaindeksit keskenään niin myös monihiukkastilan merkki vaihtuu a) Jos kaksi tilaa m s ovat identtisesti samoja niin kaksi saraketta on samoja Ja jos kaksi matriisin saraketta on samoja niin determinantti on tällöin

5 b) Kahden hiukkasen alaindeksien vaihtaminen keskenään tarkoittaa käytännössä matriisin kahden rivin vaihtamista keskenään Ja kun kaksi matriisin riviä vaihdetaan keskenään niin tällöin myös determinantin merkki vaihtuu 5 (Kirjan tehtävä 843) Slaterin determinantti on määritelty edellisessä tehtävässä (84) Näytä että jos äärettömän potentiaalikaivon tilat n ja n' ovat miehitetty ja molempien tilojen spin on ylös niin Slaterin determinantti tuottaa antisymmetrisen monihiukkastilan: n x n ' x n ' x n x n x n ' x n x n ' x = n x n ' x n ' x n x