1 Opintojakson osaamistavoitteet Opintojakson hyväksytysti suoritettuaan opiskelija: osaa soveltaa ja tulkita siirtofunktiota, askelvastetta, Bodediagrammia ja napa-nolla-kuvaajaa lineaarisen, dynaamisen järjestelmän analyysissä ja suunnittelussa vähintään 1. kljärjestelmässä. osaa selittää ideaalisen operaatiovahvistimen toiminnan ja tärkeimmät peruskytkennät ja osaa toteuttaa ja analysoida ideaaliseen operaatiovahvistimeen perustuvia yksinkertaisia kytkentöjä. osaa selittää negatiivisen ja positiivisen takaisinkytkennän keskeiset vaikutukset vahvistinkytkennöissä. osaa suunnitella vähintään 2 kl. passiivisen tai aktiivisen suotimen ja tietää keskeiset lineaarisen suodinsuunnittelun menetelmät. 2
Kurssin sisältö Analogisiin elektroniikan komponentteihin perustuvien piirien ja laitteiden keskeiset teoreettiset suunnittelu- ja analysointimenetelmät. Järjestelmien yksinkertaistaminen mm. lohkokaavioilla Dynaaminen mallintaminen Siirtofunktiot Laplace- ja Fourier-muunnosten sovellukset piirianalyysissä, taajuusanalyysi Vahvistinanalyysin perusteet ja takaisinkytkentä Operaatiovahvistimen perusteet Johdanto suodatinsuunnitteluun 3 Arvostelu, alustavasti oppimistehtävät 6%, ryhmätentti 2%, laboratoriotyö ja näyttökoe 2%. Oppimateriaalit Verkkomateriaali, Sedra/Smith: Microelectronic Circuits 4
Analoginen elektroniikka Viimeisten vuosikymmenien aikana elektroniikan kehitys on kiihtynyt entisestään, ja näkyvin merkitys lienee digitaalitekniikassa erilaisten laskentasovellusten, signaalinkäsittelyn ja siirto- ja tallennustekniikoiden muodossa Analogiatekniikan merkitys digitaalielektroniikalle on kuitenkin kiistämätön, ja jatkuvassa nopeuskilpailussa analogiset piiriosat ovat aina kertaluokkaa digitaalisia nopeampia 5 Ilman analogiatekniikkaa puhdas digitaalitekniikka on toimimatonta: elämme analogisessa maailmassa, jossa havaitsemamme ilmiöt ovat analogisia Paljon digitaalielektroniikkaa sisältävissä laitteissakin on yleensä jokin analoginen rajapinta, jossa digitaalinen tieto muutetaan analogiseen muotoon tai päinvastoin: Ääni, lämpötila, kuva, jännite, virta, valo 6
Ajatellaanpa vaikkapa kännykkää, joka toki sisältää suuren määrän digitaalitekniikkaa, prosessoritehoa ja ohjelmistoja. Puhelimessa on kuitenkin suuri määrä toiminnan kannalta elintärkeitä analogisia osia, mm. vahvistimia, suotimia, oskillaattoreita, radio-osa, käyttöjännitteen hallinnan osia, A/D- ja D/A muuntimia 7 Aikaisemmin käytettyjä analogisia tekniikoita on tietenkin järkevää korvata soveltuvin osin Kukapa esim. haluaisi tallentaa enää musiikkia analogiselle kasettinauhurille, kun musiikin voi tallentaa levylle tai muulle digitaaliselle tallennusmedialle ilman kohinoita, vouvausta tai ajan tuomaa patinaa 8
Reaalimaailman analogisuus ei ole kuitenkaan ole poistunut CD-tallenteen, mp3:n ja muiden torrenttien mukana: Alkuperäinen, analoginen, musiikkisignaali täytyy tallennuksen yhteydessä muuttaa digitaaliseen muotoon, ja vastaavasti toiston yhteydessä takaisin analogiseen muotoon A/D- ja D/A muunnoksen avulla. Signaali kaipaa tämän jälkeen usein vielä vahvistusta, joka on yksi analogiatekniikan perusoperaatioista 9 Analogiatekniikan poistumista digitaalitekniikan jaloista on ennustettu useita vuosikymmeniä, mutta analogisen elektroniikan kehitys ja tarve käytännön sovelluksissa on vain kasvanut nykylaitteissa Vahvistimet (mittaus-, ääni-, radio-, signaalin siirto ), suotimet, muuntimet, 1
Tärkeimpien kertausta 11 Signaalilähde Signaali voi tulla eri lähteistä, esimerkiksi vahvistimelta, mikrofonilta, mitta-anturilta, antennista Signaalilähteelle voidaan laatia yksinkertainen malli, jonka tarkoituksena on helpottaa signaalianalyysiä ja piirilaskentaa 12
Signaalilähde Tärkein signaalilähteen ominaisuus on lähteen sisäinen impedanssi, joka vaikuttaa mm. lähteeseen kytkettävän piirin tuloimpedanssin valintaan KUORMITUS!!! Tärkeimpinä signaalilähteen malleina kerrataan Theveninin ja Nortonin mallit: 13 Theveninin teoreema Piiri, joka sisältää ainoastaan lineaarisia, ajasta riippumattomia elementtejä ja lähteitä ja joka ulospäin on kytketty kahteen napaan, voidaan korvata Theveninin ekvivalenttisella piirillä Se koostuu jännitelähteestä ja sen kanssa sarjaan kytketystä kaksinapaisesta piiristä tai sen ekvivalentista (yleensä vastus) R s R s e, u(t) (R TH ) E, U (R TH ) 14
Nortonin teoreema Piiri, joka sisältää ainoastaan lineaarisia, ajasta riippumattomia elementtejä ja lähteitä ja joka ulospäin on kytketty kahteen napaan, voidaan korvata Nortonin ekvivalenttisella piirillä Se koostuu virtalähteestä ja sen kanssa rinnan kytketystä piiristä tai sen ekvivalentista (yleensä vastus) j, i(t) I R s (R N ) R s 15 Signaalilähde Jännitevahvistinmalli Kuorma R s i i R o i o u s u i R i A vo u i u o R L Vahvistin Malli sisältää tulo- ja lähtöimpedanssit, avoimen piirin jännitevahvistuksen ja sijaiskytkennän. Tässä kytkentään on lisätty vielä kuormitusta sekä signaalilähdettä kuvaavat mallit 16
Vahvistinjärjestelmä Koko vahvistinkytkennän vahvistukseen vaikuttavat voimakkaasti vahvistimeen kytkettävät piiriosat, eli sekä syöttävä lähde (esim. mikrofoni, lämpötilaanturi, ) että lähtöön vahvistimen kuormitukseksi liitettävä piiri (esim. kaiutin, näyttölaite, ) Signaalilähde Vahvistin Kuorma 17 Signaalianalyysi Muutamia tärkeitä apuvälineitä signaalin matemaattiseen esitykseen elektronisissa piireissä 18
Taajuussisältö Erittäin käyttökelpoinen signaalin ominaisuuksia kuvaava asia on signaalin taajuusspektri Signaalin taajuusspektri voidaan määrittää esimerkiksi Fourier-menetelmien avulla Taajuusspektriä tarvitaan useasti, mm. vahvistimien ja suotimien yhteydessä Tällöin kyseessä on yleensä taajuusvaste, jonka avulla voidaan tarkastella eri taajuisten signaalien kulkua tarkasteltavan järjestelmän lävitse 19 Signaali aika- ja taajuustasossa Tarkastellaan seuraavassa esimerkissä yhden hertsin sinisignaalia, kahden hertsin sinisignaalia (puolella amplitudilla) :n ja 9:nen asteen vaihesiirrossa sekä em. signaalien summaa aikatasossa. Lasketaan lisäksi spektri ja vertaillaan signaaleita taajuustasossa. Mitä huomattavaa? 2
1 Hz 25 2 15 Power Spectrum Magnitude (db) 1 5-5 -1-15 -2-25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Frequency 21 2 Hz 25 2 15 Power Spectrum Magnitude (db) 1 5-5 -1-15 -2-25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Frequency 22
Summa 25 2 15 Power Spectrum Magnitude (db) 1 5-5 -1-15 -2-25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Frequency Spektri sama kummassakin tapauksessa 23 Matlab -koodi Edellinen esimerkki oli tehty seuraavanlaisella Matlab- pätkällä: t=[:.1:8]; U1=sin(2*pi*t); plot(t,u1,'.'); axis([ 4-1.5 1.5]);grid; PSD(U1,248,1); axis([ 1-25 25]); U2=.5*sin(4*pi*t); U3=.5*sin(4*pi*t+pi/2); plot(t,u2,'-',t,u3,'.'); axis([ 4-1.5 1.5]);grid; PSD(U2,248,1); axis([ 1-25 25]); U4=U1+U2; U5=U1+U3; plot(t,u4,'-',t,u5,'.'); axis([ 4-1.5 1.5]);grid; PSD(U4,248,1); axis([ 1-25 25]); 24
Aika- ja taajuustaso, suodatinesimerkki Tarkastellaan seuraavaksi signaalin suodattamista, ja vaikutuksia aika- ja taajuustasossa. Tarkasteltavana signaalina 5 Hz:n sini, johon sekoittuneena vaimeampaa 1 Hz:n siniaaltoa ja kohinaa. 1. kertaluvun suodatus 8. kertaluvun suodatus Vaikutukset alkuperäiseen signaaliin 25 Esimerkkisignaali ja sen spektri 2 1.5 1 Amplitudi, [V].5-1 -.5-1 -1.5.5.1.15.2.25.3.35.4.45-4.5 Aika, [s] Power Spectrum Magnitude (db) -2-3 -5-6 -7 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequency 26
1 kertaluvun suodin 1.9.8 Amplitudi.7.6.5.4.3 Amplitudi, [db] -5-1 -15.2.1 2 4 6 8 1 12 Taajuus Itseisarvovaste lineaariasteikolla Vaihekulma -2-2 -4-6 -8-1 -12 1 1 1 1 2 1 3 Taajuus 1 1 1 1 2 1 3 Taajuus Itseisarvo- ja vaihevaste (Bode-diagrammi) 27 Ensimmäisen kertaluvun suotimella suodatettu signaali 1.5 1.5-1 -.5-1 -4.5.1.15.2.25.3.35.4.45.5 Power Spectrum Magnitude (db) -2-3 -5-6 -7 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequency 28
8 kl. Chebysev- suotimella tehty suodatus Amplitudi, [db] Vaihekulma -2-4 -6-8 -1-12 -1-2 -3 1 1 1 1 2 1 3 Taajuus 1.5 1.5 -.5-1.5.1.15.2.25.3.35.4.45.5 1 1 1 1 2 1 3 Taajuus Suotimen Bode-diagrammi Huomaa signaalin viivästyminen suotimen läpi kulkiessaan Power Spectrum Magnitude (db) -1-2 -3-4 -5-6 -7 5 1 15 2 25 3 35 4 Frequency 29 Matlab-koodi Edellinen esimerkki oli tehty seuraavanlaisella koodilla: t=[:.5:.5]; kohina=rand(size(1:11)); signaal=.282*sin(2*pi*1*t+.22)+1.131*sin(2*pi*5*t)+.5*kohina; plot(t,signaal) xlabel('aika, [s]') ylabel('amplitudi, [V]') grid pause Ts=11/.3; psd(signaal,1,ts) axis([,4,-7, ]) pause num=1;den=[5e-3 1];w=logspace(,5); [mag,pha]=bode(num,den,w); plot(w/(2*pi),mag) axis([ 12 1]) grid xlabel('taajuus');ylabel('amplitudi') pause subplot(2,1,1); semilogx(w/(2*pi),2*log1(mag)) axis([ 1-2 ]) xlabel('taajuus');ylabel('amplitudi, [db]') grid subplot(2,1,2); semilogx(w/(2*pi),pha) xlabel('taajuus');ylabel('vaihekulma') axis([ 1-12 ]) grid; pause subplot(1,1,1); suodate=lsim(num,den,signaal,t); plot(t,suodate) grid pause; psd(suodate,1,ts) axis([,4,-7, ]) pause [B,A]=cheby1(8,.5,6,'s'); [mag,pha]=bode(b,a,w); subplot(2,1,1); semilogx(w/(2*pi),2*log1(mag)) axis([ 1-12 ]) xlabel('taajuus');ylabel('amplitudi, [db]') grid subplot(2,1,2); semilogx(w/(2*pi),pha) xlabel('taajuus');ylabel('vaihekulma') axis([ 1-36 ]) grid; pause subplot(1,1,1) suodate=lsim(b,a,signaal,t); plot(t,suodate) grid pause; psd(suodate,1,ts) axis([,4,-7, ]) pause 3
Dynaamiset järjestelmj rjestelmät ja signaalianalyysi 31 Signaalianalyysi? Jotta pystyisimme analysoimaan dynaamisia järjestelmiä kuten vahvistimia, täytyy muutamia signaalinkäsittelyn perusasiota tietää Tässä osassa perehdytään muutamiin hyödyllisiin matemaattisiin apuvälineisiin Näitä apuneuvoja ovat esimerkiksi siirtyminen aikatasosta Laplace-tasoon (kompleksiseen taajuustasoon) sekä Fourier-muunnos. 32
Esimerkki Pohjustukseksi signaalianalyysin tarpeellisuudesta tarkastellaan kahta yksinkertaista esimerkkiä, ideaalista vahvistinta ja RC-piiriä. Piirien kytkennät ovat esitetty seuraavassa kuvassa Tarkastellaan aluksi tilannetta, jossa tuloon syötetään kuvan 1 c- kohdan yksikköaskeljännite. x(t) 2 y(t) x(t) R C y(t) U 1 a) b) c) t 33 Esimerkki... Kuvan a-kohdan ideaalisen vahvistimen lähdön jännite on helppo päätellä, sillä jos vahvistin on ideaalinen, vahvistimessa ei tapahdu viivettä eikä käyrämuodon muutosta; ainoastaan amplitudi on kaksinkertainen. Kuvan b-kohdan lähtöjännitteen y(t) määritteleminen taas pelkästään päättelemällä on hankalaa. Jos RC-piirien analyysi on ennestään tuttua, voi lähtöjännitteen tietää käyttäytyvän eksponentiaalisesti, mutta analyyttinen ratkaisu vaatii esim. differentiaaliyhtälön ratkaisua. 34
Miksi signaalianalyysi? Jotta voimme analysoida järjestelmää, täytyy järjestelmälle olla jokin matemaattinen malli Malli voidaan esittää mm. aikatasossa, Laplacetasossa (s-taso, kompleksinen taajuustaso), Fourier - tasossa ja diskreetissä aika- tai taajuustasossa Elektronisten järjestelmien analyysissä tärkeässä osassa on Laplace- eli s-taso, jolla järjestelmän dynaamisia ominaisuuksia voidaan tarkastella analyyttisin menetelmin Tärkessä osassa on siirtofunktio, joka kuvaa tulon ja lähdön välisen riippuvuuden 35 Lineaarinen operaatio Tarkastellaan aluksi lineaarista operaatiota, joka määritellään operaattorilla H. Operaattori H kuvaa tulosignaalin x(t) lähtösignaaliksi x(t) y(t)=h*x(t) Yksinkertaisimmillaan lineaarinen järjestelmä, kuten vahvistin tai suodin, voidaan esittää kuvan mukaisena SISO-järjestelmänä H y(t) 36
Signaalin esitys Aikatason (t) esityksen lisäksi käyttökelpoisia esitysmuotoja ovat esimerkiksi seuraavan kuvan mukaiset esitykset, joissa tasoista toisiin voidaan siirtyä kuvausten avulla AIKATASO LAPLACE-TASO Z-TASO TAAJUUSTASO x(t) h( d ) dt y(t) X(s) H( s ) Y(s) X(z) H( z ) Y(z) X(jω) H(jω) Y(jω) a) b) c) d) 37 Miksi monta tasoa Muiden kuin aikatason esitysten käyttö on usein perusteltua yksinkertaisemman matematiikan vuoksi: Aikatasossa lineaarijärjestelmien dynaamisessa analyysissä joudutaan yleensä monimutkaisiin differentiaaliyhtälöryhmiin Matemaattisten apuvälineiden, kuten Laplacemuunnoksen, käyttö voi yksinkertaistaa tällöin ongelmaa huomattavasti Katsotaan seuraavaksi muutamia määritelmiä: 38
Lineaarisuus Järjestelmä (suodin, vahvistin...) on lineaarinen, jos H( ax + bx ) = ahx ( ) + bhx ( ) jossa a ja b ovat vakiota 1 2 1 2 Käytännön järjestelmät eivät yleensä ole lineaarisia, mutta ne voidaan olettaa lineaariseksi jollain tietyllä toiminta-alueella 39 Esimerkkejä LTI-järjestelmästä Linaarinen vahvistus y(t) = 2 x(t) 4
Lineaarisuus Lineaarinen järjestelmä on siis: additiivinen homogeeninen Superpositioperiaate on voimassa lineaarisessa järjestelmässä 41 Aikainvarianttius Järjestelmä on aikainvariantti, jos järjestelmälle pätee Hx( t) = y( t) Hx( t T) = y( t T) jossa T on viive. Tulosignaalin viivästäminen siis aiheuttaa lähtösignaalissa saman viiveen 42
LTI Jos kyseessä on lineaarinen ja aikainvariantti järjestelmä, käytetään järjestelmästä yleisesti nimitystä LTI (linear time-invariant) Lähes kaikki tällä kurssilla käsiteltävät järjestelmät oletetaan LTI-järjestemiksi signaalianalyysin näkökulmasta 43 BIBO-stabiilius Järjestelmä on BIBO-stabiili (Bounded Input, Bounded output), jos äärellisellä tulosignaalilla lähtösignaali pysyy äärellisenä 44
Kausaalisuus Järjestelmä on kausaalinen, jos järjestelmä on lineaarinen, aikainvariantti ja lisäksi pätee xt ( ) =, t< yt ( ) =, t< Kausaalisessa järjestelmässä lähdön tämänhetkisiin arvoihin eivät vaikuta tulon tulevat arvot Reaaliaikaiset järjestelmät ovat kausaalisia 45 Impulssivaste Järjestelmän impulssivaste h(t) kuvaa järjestelmän lähdön käyttäytymistä ajan funktiona, kun tuloon syötetään yksikköimpulssi δ(t), (diracin deltafunktio) δ( t) =,( t ) δ( t) =,( t= ) Kausaalisella järjestelmällä h(t) =, kun t< H t t 46
Impulssivaste Impulssivasteen avulla voidaan määritellä LTI-järjestelmän ominaisuudet ja käyttäytyminen erilaisilla tuloilla Impulssi on käytännössä vaikea toteuttaa, mutta onneksi korvikkeena voidaan käyttää askelvastetta 47 Askelvaste Matemaattisti voidaan osoittaa, että järjestelmän askelvasteen derivaatta on sama kuin impulssivaste du( t) δ( t) = dt Tätä kautta päästään kiinni impulssivasteeseen ja järjestelmää mallintaviin yhtälöihin 1 u(t) t 48
Konvoluutio Järjestelmän lähtö y(t) voidaan määritellä tiedettäessä tulo x(t) sekä impulssivaste h(t) konvoluutiointegraalin avulla yt () = h( τ) x( t τ) dτ Symbolisesti merkittynä y( t) = x( t) h( t) 49 Konvoluutio Tämä vaikeannäköisen integraalin avulla voidaan laskea lähtö, kun tiedetään tulo ja järjestelmän impulssivaste Impulssivaste on tärkeässä osassa järjestelmän analyysiä Integraalin laskeminen helpottuu huomattavasti kun käytetään esimerkiksi Laplace-muunnosta (kohta katsotaan) 5
Siirtofunktio Järjestelmän ominaisuudet voidaan määritellä monella tapaa, mutta siirtofunktioesitysmuoto on kätevä tapa Käyttäytyminen eri taajuuksilla ja muutoksissa voidaan kuvata matemaattisesti Esimerkiksi järjestelmän lähtö ja tulojännitteen välinen yhteys voidaan määritellä siirtofunktion H(s) avulla seuraavasti U H( s) = U out in ( s) ( s) 51 Siirtofunktio Siirtofunktion esitetään yleensä polynomimuodossa, siis H( s) Y( s) b s + b m m 1 m m 1 = = n n 1 X( s) s + an 1s + + K+ b1s + b K+ a s + a Siirtofunktion osoittajan juuria eli nollakohtia kutsutaan siirtofunktion (järjestelmän) nolliksi ja nimittäjän juuria navoiksi. Nimittäjän kertaluku n ilmaisee järjestelmän kertaluvun (eli monenteen potenssiin s) s 1 52
Siirtofunktio Joskus siirtofunktio on käytännöllistä hajoittaa tekijöihin, ja esittää siirtofunktio muodossa bm ( s z1)( s z2) K( s zm ) H( s) = ( s p )( s p ) K( s z ) 1 Tässä z 1...z M ovat siirtofunktion (järjestelmän, suotimen) nollia ja p 1...p N siirtofunktion napoja Yleisesti ottaen järjestelmän navat ja nollat voivat olla sekä reaalisia tai kompleksisia, mutta kompleksisessa tapauksessa navat ja/tai nollat esiintyvät kompleksikonjugaattipareina 2 N 53 Laplace-muunnos 54
Mites tehdään? Käytetään analyysin apuna Laplace - muuttujaa s = σ+ jω Piirianalyysi voidaan muuttaa lineaariseksi korvaamalla reaktiiviset piirikomponentit Laplace -tason vastaavilla komponenteilla R R L Ls C 1 sc Sitten tarvitaan vain Kirchoffin ja Ohmin lakeja 55 Esimerkki : RC-suodin Tarkastellaan analogisen järjestelmän yksinkertaisena esimerkkinä RC-suodinta, jonka toiminta voidaan mieltää taajuudesta riippuvana jännitejakajana Jotta suotimen analyysi olisi helppoa, käytämme esityksessä Laplace-muunnosta, ja muodostamme suotimen siirtofunktion H(s) 56
RC Kuvasta voimme johtaa jännitejakajan siirtofunktion perinteisin piiriteoreemien keinoin muuntamalla järjestelmä aluksi Laplacetasoon yksinkertaisesti olettamalla alkuarvot nolliksi ja korvaamalla komponentit ja suureet seuraavasti: R R, C 1/(sC), U(t) U(s), I(t) I(s), jolloin. Nyt voimme muodostaa lineaariset yhtälöt virralle ja jännitteille Uin( s) I( s) = 1 R + sc 1 U sc Is Uin() s out = () = RCs + 1 Uout Hs U s 1 () = () = RCs + 1 in U in R I C Uout 57 RC... Siirtofunktio sisältää sekä vahvistus- että vaihetiedon, jotka voidaan ratkaista esimerkiksi tekemällä sijoitus s = jω, jolloin H( jω) = 1 RCjω + 1 Saatu tulos on selvästi kompleksinen, taajuudesta riippuva funktio. Mm. suodatinsuunnittelun kannalta kiinnostavat vahvistus ja vaihe saadaan laskemalla arvoja eri taajuuksilla 58
Eri mallit Jos jokin näistä tiedetään tai pystytään mittaamaan, niin toiset systeemiä kuvaavat funktiot tai vasteet voidaan määrittää tämän perusteella Tämä kaikki tehdään siksi, että voidaan suunnitella, analysoida ja valita esim. oikeita komponenttiarvoja jotakin oikeaa järjestelmää/kytkentää varten 59 Askelvasteesta vielä Askelvasteesta voidaan määritellä mittaamalla järjestelmän likimääräinen siirtofunktio Yleensä mittaamalla käsin määrittelemällä voidaan tehdä likimääräistys ensimmäisen ja toisen asteen siirtofunktioille 6
Ensimmäisen kertaluvun askelvaste Erityisen helppoa siirtofunktion johtaminen on ensimmäisen kertaluvun järjestelmälle Aikavakio τ saadaan suoraan kohdasta, jossa järjestelmä saavuttaa 63% loppuarvostaan Huomaa, että kuvan esimerkin järjestelmässä on viivettä, T d 1% 9% 5% 1% T d τ 63% T r1 t 61 Esimerkki Määrittele ensimmäisen kertaluvun siirtofunktio kuvan yksikköaskelvasteen perusteella Step Response 2 1.8 1.6 1.4 τ=.1 K=2 Amplitude 1.2 1.8.6.4.2.1.2.3.4.5.6 Time (sec.) 62
Askelvasteen yleisiä määritelmiä T r1 : 1% -> 9% nousuaika (rise time) T r : nousuaika (rise time) T dt : kuollut aika (dead time). Aika, joka kuluu askeleen alusta hetkeen jolloin lähtö on saavuttanut 1 % loppuarvostaan T s : asettumisaika (settling time). Aika, jolloin lähtö on pysyy jossakin tietyissä rajoissa loppuarvostaan, esim. 2% tai 5%. M pt : huippuarvo (peak value) M pt 1 T r1 T p T s t T r T dt T 5 63 STC Edellä esitetyn ensimmäisen kertaluvun siirtofunktio on muotoa 1 H( s) = s + τ 1 jossa τ on järjestelmän aikavakio. Esimerkin mukaisessa alipäästösuotimen tapauksessa aikavakion τ käänteisluku 1/τ on järjestelmän luonnollinen kulmataajuus, ω n, joka samalla on suotimen rajataajuus 64
STC Esimerkin mukaisen alipäästösuotimen ylärajataajuus on siis ω n = 1/(RC), eli f n = 1/(2πRC) Gain db -1-2 -3 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) Phase deg -3-6 -9 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) 65 Fourier -muunnos Haluttaessa tarkastella järjestelmän taajuusvastetta, tehdään järjestelmän (köyhän opiskelijan) Fourier-muunnos siirtofunktion avulla sijoittamalla s = jω Tämän jälkeen voidaan järjestelmän vahvistus- ja vaihevasteet määrittää seuraavasti 66
Vahvistus ja vaihe VAHVISTUS = H( jω) = Re( H( jω)) + Im( Hj ( ω)) 2 2 H j VAIHE = = arg( H( j )) = arctan( Im( ( ω φ ω ) Re( H( jω) ) Järjestelmän käyttäytyminen taajuuden funktiona voidaan nyt laskea siirtofunktion avulla 67 Vahvistus ja vaihe Usein vahvistus halutaan ilmoittaa desibeleinä joka saadaan seuraavasti G = 2log1 H( jω), [ db] 68
Taajuusvaste Fourier muunoksella saadaan (siirtofunktiosta) taajuusvaste itseisarvo- ja vaihevaste Järjestelmän navat ja nollat määräävät järjestelmän taajuusvasteen käyttäytymisen 69 RC Edellisen RC-suotimen Bode Gain db -1-2 -3 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) Phase deg -3-6 -9 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) 7
Kertaluku Usein järjestelmien kertaluku on suurempi kuin yksi Monesti käytännön järjestelmiä voidaan kuitenkin approksimoida ensimmäisen kertaluvun järjestelmän mallin avulla jos järjestelmällä on dominoiva napa, joka käytännössä määrää järjestelmän käyttäytymisen Aina tämä ei kuitenkaan ole mahdollista, ja usein halutaan muokata järjestelmän, esimerkiksi suotimen, ominaisuuksia käyttämällä suurempaa kertalukua, ja sijoittamalla järjestelmän navat ja nollat halutuille paikoille 71 Kertalukua voidaan kasvattaa luonnollisesti laittamalla peräkkäin ensimmäisen kertaluvun lohkoja Näin ei kuitenkaan voida tehdä kompleksisia napa- tai nollapareja, joilla voidaan muokata mm. taajuus- tai askelvastetta 72
Siirtofunktio Siirtofunktio kuvaa LTI-järjestelmän käyttäytymisen, kuten impulssivastekin Jatketaan toisen asteen siirtofunktioon tutustuminen tarkastellen esimerkkijärjestelmänä suodinta Astelukua voidaan kasvattaa laittamalla peräkkäin useampia 1. kl lohkoja 73 Suotimien ominaisuukset halutaan yleensä esittää taajuustasossa, jolloin ollaan kiinnostuttu suotimen vahvistuksen ja vaihekulman käyttäytymisestä taajuuden funktiona Gain db -1-2 -3 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) Phase deg -3-6 -9 1-1 1 1 1 Frequency (rad/sec) 74
Monimutkaisempaa toteutusta edustaa esimerkiksi kuvan suodinkytkentä, jolla saadaan aikaiseksi kompleksisia napoja u i - + u o 75 2. kl -siirtofunktio Toisen kertaluvun järjestelmän siirtofunktio voidaan kirjoittaa eri muodoissa (eli se sievennysmuoto) Tarkastellaan tyypillisimpiä muotoja ja suotimien ominaisuuksia kuvaavia suureita, vaimennusvakiota ζ sekä hyvyyslukua Q. Vaimennusvakio voidaan selvittää kirjoittamalla H(s) muotoon 76
H( s) = s 2 ω 2 n + 2ςω n + ω 2 n 77 Hyvyysluku Q Toisen kertaluvun järjestelmä voidaan kirjoittaa myös biquadranttisessa muodossa, jolloin nimittäjä on muodossa Kaavoista voidaan havaita, että hyvyysluvulla Q (quality factor) ja vaimennusvakiolla ζ on yhteys Q = 1 2ς D 2 ω 2 ( s) = s + n s + ωn Q 78
Stabiilius siirtofunktiossa? Jos rationaalisen siirtofunktion kaikki navat sijaitsevat vasemmassa puolitasossa, on järjestelmä stabiili 79 Nollat äärettömyydessä? Huomaa, että järjestelmän stabiiliuden kannalta ei ole merkitystä, onko järjestelmän nollat oikeassa vai vasemmassa puolitasossa Maksimaalisen vaimennuksen aikaansaamiseksi taajuusvasteessa nollat kannattaa sijoittaa kuitenkin imaginääriakselille Lisäksi täytyy huomata, että järjestelmällä on niin monta nollaa äärettömyydessä kuin mitä osoittajan ja nimittäjien kertalukujen erotus on 8
Napojen sijainti s-tasossa Järjestelmän napojen sijainnista s-tasossa voi tehdä monia johtopäätelmiä Esimerkkikuvassa on esitetty suositeltavien napojen sijainti s- tasossa soimisen minimoimiseksi 81 Napojen sijainti s-tasossa Kuvasta nähdään napojen sijainnin vaikutus järjestelmän impulssivasteelle (huom. kompleksisilla navoilla konjugaattiparit) 82
Napojen sijainti s-tasossa Askelvaste eri vaimennusvakion arvoilla c(t) 1.8 1.6 1.4 1.2 1.8.6 ζ=.1.2.4.7 1 2.4.2 2 4 6 8 1 12 14 16 18 2 Time 83 Napojen sijainti s-tasossa Vaimennusvakio näkyy siirtofunktion lisäksi helposti s-tasossa 84
Askelvaste Kuten kuvasta nähdään, napojen sijainti lähellä imaginääriakselia aiheuttaa esim askelvasteessa ylitystä ja värähtelyä 85 Napojen sijainti s-tasossa Kuten transienttivasteen yhteydessä todettiin, nähdään napojen sijainnista paljon järjestelmän käyttäytymisestä Sama päteen myös taajuusvasteeseen, erityisesti taajuusvasteen itseisarvoon 86
s-taso - kumitaso Taajuusvasteen itseisarvoa hahmoteltaessa ajattelua helpottaa ajatus kumisesta tasosta, jossa navat ovat tasosta törröttäviä keppejä ja nollat ovat tasolle pantuja punnuksia taajuusvasteen itseisarvo saadaan tekemällä leikkaus tästä kumitasosta imaginääriakselilla Sama asia tehdään itseasiassa tekemällä Fouriermuunnos Vaihevasteen saaminen kumitasosta on taas hankalaa Katsotaan asiaa esimerkkien valossa 87 Kumitaso 88
Esimerkki 1 89 Esimerkki 2 9
Esimerkki 3 91 Esimerkki 4 92
Fourier -muunnos Haluttaessa tarkastella järjestelmän taajuusvastetta, tehdään järjestelmän (köyhän opiskelijan) Fourier-muunnos siirtofunktion avulla sijoittamalla s = jω Tämän jälkeen voidaan järjestelmän vahvistus- ja vaihevasteet määrittää seuraavasti 93 Vahvistus ja vaihe VAHVISTUS = H( jω) = Re( H( jω)) + Im( Hj ( ω)) 2 2 H j VAIHE = = arg( H( j )) = arctan( Im( ( ω φ ω ) Re( H( jω) ) Järjestelmän käyttäytyminen taajuuden funktiona voidaan nyt laskea siirtofunktion avulla 94
STC 95 96
Bode-diagrammin piirtäminen Bode-diagrammi sisältää järjestelmän itseisarvo- ja vaihevasteen käyttäytymisen taajuuden funtiona Taajuusasteikko on logaritminen Itseisarvokuvaaja on db asteikolla Vaihekuvaaja on lineaariasteikolla asteina 97 Bode-diagrammin piirtäminen Käsin hahmoteltuna Bode-diagrammi voidaan piirtää muutaman yksinkertaisen säännön avulla 98
99 1
Bode-diagrammin piirtäminen Näillä yksinkertaistetuilla osilla päästään hyvin alkuun yhdistelemälllä siirtofunktio näistä palasista Yhdistäminen käy yksinkertaisella yhteenlaskulla taajuuskäyrillä Monimutkaisimmilla funktiolla kannattaa käyttää hyväksi esimerkiksi Matlabohjelmistoa 11 Sedra&Smith: Microelectronics Storey: Electronics A System Approach Dorf: Modern Control Systems Hambley: Electronics A Top-Down Oppenheim&Wilsky: Signals & Systems 12