Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06, 0,90 6,0 8,96 9,0 8 0,90 8 6,0,9, 0,90 6,0 6. a) 00 % + % 0 %,0,0. 00 0,0 0,0 ( ) b) f ( ),0 00 66. a) 6 g (6),08,6,8..., (cm) b) Alkuperäinen korkeus on,6 cm. c),08 08 %. Suurennos on 08 % 00 % 8 %. 67. a) 00 % 9 % 9 % 0,9 f() 0,9. 70 000 b) Vuodesta 970 vuoteen 980 on 0 vuotta. 0 f (0) 0,9 70 000 7 9,... 7 000 Vuodesta 970 vuoteen 99 on vuotta. f () 0,9 70 000 8 790,0... 8 800 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 99
68. a) 00 % + 0, % 00, %,00 t f ( t),00 80 b) Vuodesta 00 vuoteen 00 on vuotta. f (),00 80 7,6... 7 00 c) Vuosi 000 oli vuotta ennen vuotta 00. Eksponentiksi tulee luku. f (),00 80 760,... 800 69. a) 00 % % 99 % 0,99 t f ( t) 0,99 0 b), f (,) 0,99 0,8... (g) c), f (,) 0,99 0 6,6... 6 (g) 70. 00 % + % 0 %,0 Merkitään liikevaihtoa alussa a:lla. a,0 8 a,77..., 77a Liikevaihto on kasvanut,77-kertaiseksi.,77 7,7 % Kasvua on 7,7 % 00 % 7,7 % 8 %. 7. a) 00 % % 8% 0, 8 Merkitään päästöjen määrää alussa a:lla. 0,8 a 0,70... a 0, a Päästöt muuttuvat 0,-kertaiseksi. 0 % % 6 %. b) : 0,8 a 0, a 6: 0,8 6 a 0, 77a 7: 0,8 7 a 0, a 8: 0,8 8 a 0, 7a 9: 0,8 9 a 0, a 9 vuodessa ollaan alle %:n tavoitteen. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 00
7. a) f () e 0,87... 0, f ( ) e ( ) 0,8 0,08... 0,0 b) g (8) e 0,067... 0, 07 g (,) e 0, (,),88...,8 7. Lähetyskierros Viestin saaneita ihmisiä lähetyskierroksella 9 7 8 0 0 9 09 n n 7. a) f (), 90 68,... 680 b) f ( ), 90 0 c) 90 on bakteerien lukumäärä alussa ja niiden määrä puolitoistakertaistuu tunnissa. 7. a) 00 % + 8 % 08 %,08 f ( ),08 00 000 ( ) 0 b) f (0),08 00 000 97,... 00 000 ( ), 76. a) f (,) 0,87 00,8... (mg) b) 00 mg c) 0,87 87, %, 00 % 87, %,9 % 77. a) 00 % +, % 0, %,0 f ( ),0 09 000 000 b) Vuodesta 006 vuoteen 0 on 9 vuotta 9 f (9),0,09,09..., (miljardia) c) Vuosi 99 oli vuotta ennen vuotta 006. f ( ),0,09 0,997... 0,90 (miljardia) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
0,90 miljardia 90 miljoonaa 78. 00 % % 98 % 0,98 Merkitään energian kulutusta alussa a:lla. 0 0,98 a 0,870... a 0, 8a 00 % 8 % 8 % 79. a) 0, a 0,66... a 0, 7a. Valosta pääsee läpi 7 %. b) 0, a 0,0678... a 0, 07a. Valosta pääsee läpi 7 %. c) 0, a 0,76... a 0, 7a. Valosta pääsee läpi 7 %. 80. a) 00 % +, % 0, %,0 Alkuperäinen talletus on a.,0 a,69... a, 69a. Talletus kasvaa korkoa 6,9 % 00 % 6,9 % viiden vuoden aikana. b) Talletus lopussa on,a. vuotta: a,0, 6a 0 vuotta: a,0 0, 7a vuotta: a,0, 99a vuotta: a,0, a vuotta: a,0, 87a vuotta: a,0, a Talletuksen arvo on kasvanut,-kertaiseksi vuoden kuluttua. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
Eksponenttifunktio ja eksponenttiyhtälö 8. a) f(), b) g() 0,8 c) h() 6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0 8. a) b) 8 c) 7 0 7 7 0 8. a) 8 : b) 0 0 0 : c) 9 7 + 7 7 + + 8. a) ( ) ( ) 6 Käytetään potenssin potenssin kaavaa 6 a a n m m n b) ( ) 8 8 8
c) 9 Vaihdetaan käänteisluku negatiiviseksi eksponentiksi a n n a 8. a) f () 6 b) f 86. a), b) 0,6 c) Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 87. a),,,8,6,6,,7,7,,6,6, Ratkaisu on välillä,6 < <,7, joten yhdendesimaalin tarkkuudella,7 b) 7 7 7 0, 7 0,,6 0,6 7 0,6, 0, 7 0,,9 Ratkaisu on välillä 0, < < 0,6, joten yhden desimaalin tarkkuudella 0,6. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 06 c),08,08,08 0,08 0, 9,08 9,99 9,,08 9,,0 9,0,08 9,0,006 9,0,08 9,0,00 Ratkaisu on välillä 9 < < 9,0, joten yhden desimaalin tarkkuudella 9,0. 88. a) 9 tai 6 6 9 0,, 9) ( 0 0 0 9 0 9 ± ± ± c b a b) + tai,, ) ( 0 0 + ± ± ± + + c b a 89. a) 6 8 6 : 6 6 6 8 8 6 8 6 8 6 6 6
b) 6 ( ) 90. a) f() 0,98 b) g(), Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 07
c) h(), 9. a) 6 0 6 6 0 b) 6 c) ( ) 0 0 9. a) 0,,6 b) 0, Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) 0, 0,, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 08
9. a) f() 6 0,00906 0,009 b) 0, f() 6 0,,7 7,07 7 9. a) 7 0 7 7 0 b) 7 0 7 7 0 : c) 7 7 7 7 : 9. a) 0 + 8 000 + 8 0 0 + 8 b) 0 0, 0 0 c) 0 00 0 0 0 ( 0 ) ( ) 0 8 0 8 8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 09
96. Luvut väliltä, < <, pyöristyvät yhden desimaalin tarkkuudella luvuksi,., 9,0, 06,60 Yhtälön 00 ratkaisu on välillä, < <,. Ratkaisun yksidesimaalinen likiarvo on siis,. 97. a) 0, 0 0, 0, 0,, 0, 6, 0,,6, 0,, 9,88, 0,, 0, Koska ratkaisu on välillä, < <,, sen yksi desimaalinen likiarvo on,. b),,,,,8,,6,,,,8,,,,8,6,,6,97,7,,7,09,6,,6,0 98. a) Koska ratkaisu on välillä,6 < <,6, sen yksi desimaalinen likiarvo on,6. 0 0 ( ) ± ( ) 0 ± 6 ± + 0 tai a, b, c 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
Summa Opettajan materiaali Ratkaisut b) 6 7 + 6 7 tai 7 7 9 6) ( 6,, 0 6 7 7 0 6 + ± ± ± + + c b a
Logaritmi ja eksponenttiyhtälö 99. a) 0 00 0 0 b) 0 000 000 0 0 6 6 c) 0 0 0 0 0 00. a) lg 00 000 koska 0 00 000 b) lg 0 koska 0 0 c) lg 0,00 koska 0 0,00 0. a) lg,0, b) lg 700,, c) lg,87 0,78 0,7 0. a) lg,..., lg b) lg, 0,... 0 lg,0 c) lg 0,7 6,9... 7, 0 lg 0,9 0. a) 0 6 lg 6 0,778 0,778 b) 0 800 lg 800,68,68 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
c) 0 0 lg ( 0) Negatiivisella luvulla ei ole logaritmia. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 0. a) lg 00, b) lg 0,7 0. a) ph lg 0,0006 (,87 ), b) ph lg 0,00000 (,0),0 c) poh lg 0,00 (,979 ),979, ph +, ph,,6 d) poh lg 0,0000 (,0),0 ph +,0 ph,0 0,0 06. a) [H O + ] 0,9 0,008 0,00 (mol/l) b) [H O + ] 0, 0,000006, 0 6 (mol/l) c) [H O + ] 0 9,7,99 0 0,0 0 0 (mol/l) d) [OH ] 0,0 0,0 (mol/l) 07. a) 8 0 lg 8 lg,06 b),06 0 c) Negatiivista lukua ei voida kirjoittaa luvun 0 potenssina. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
08. a) 00 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg lg b), lg, lg 0 0 ( ) lg, lg 0 0 lg, lg lg lg, 6,68... 6,6 7,7... 7,7 : lg : lg, 09. a),0 0 90 : 0,0 lg,0 ( 0 ) lg 0 lg,0 lg 0 0 lg,0 lg lg lg,0,78..., b) 0,98 000 000 : 000 lg 0,98 lg 0,6 0 0 ( ) lg 0,98 lg 0,6 0 0 lg 0,98 lg 0,6 lg 0,6 lg 0,98,8..., : lg,0 : lg 0,98 0. a) 00 % + % %,, 0 b), 0 000 c), 0 000 : 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
, lg, ( 0 ) 0 lg 0 0 lg, lg 0 0 0 lg, lg 0 : lg, lg 0 9,98... 0 lg, Kanien määrä on kasvanut tuhanteen kymmenessä vuodessa.. 00 % + 0, % 00, %,00,00,8,,00 lg,00 ( 0 ),,8 lg 0,,8 :,8, lg lg,00,8 0 0, lg,00 lg : lg,00,8, lg,8 0,... 0, lg,00 007 + 0, 07, Väkiluku ylittää, miljoonaa vuoden 07 aikana.. 00 % % 9 % 0,9 0,9,0 0, 0, 0,9,0 lg 0,9 ( 0 ) 0, lg,0 0 :,0 0, lg lg 0,9,0 0 0 0, lg 0,9 lg : lg 0,9,0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
0, lg,0 7,8... 7, lg 0,9 006 + 7, 0, Ilkka pääsee tavoitteeseensa vuoden 0 aikana.. Merkitään liikevaihtoa alussa kirjaimella a. 00 % + 0 % 0 %,, a a : a lg, ( 0 ), lg 0 lg, lg 0 0 lg, lg : lg, lg,6..., lg, Liikevaihto on kolminkertaistunut vuodessa.. Merkitään isotoopin alkuperäistä määrää kirjaimella a. Määrä lopuksi on 0,a. 00 % 7, % 8,7 % 0,87 0,87 a 0,a : a 0,87 0, lg 0,87 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,87 lg 0, 0 0 lg 0,87 lg 0, : lg 0,87 lg 0,,690...,6 lg 0,87 Puoliintumisaika on,6 vuorokautta.. Kara Mellin talletus vuoden kuluttua:,06 00 Kauko Putken talletus vuoden kuluttua:,0 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
,06 00,0 0,0 0,06 00,06 0,0 00,06 0,9,0,06 lg,0 lg 0,9 0 0 : 00 :,0,06 lg,0 lg 0,9 0 0,06,06 lg lg 0,9 : lg,0,0 lg 0,9,6...,6,06 lg,0 Kaukon talletus kasvaa Karan talletusta suuremmaksi vuodessa. 6. Kirjoitetaan molemmat kymmenen pontenssina. 800 900 lg 800 ( 0 ) lg 800 0 lg 900 ( 0 ) lg 900 0 Koska molemmilla luvuilla on sama kantaluku, suurempi on se, jonka eksponentti on suurempi. lg 800, 9 lg 900 8,6 Luku 800 on suurempi. 7. a) lg 0 000,77,8 b) lg,08 0,0 0,0 c) lg0, 8,6967 8,79 lg0,9 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
8. a) 0 lg,00,0 (db) 0 b) Huutosakin koko kasvaa 0 kertaiseksi. 0 lg 0 0 (db) c) Varisten määrä kasvaa, kertaiseksi. 0 lg,,7609,8 (db) 9. a) 000 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg : lg,988...,98 lg b) 0,99 0, lg 0,99 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,99 lg 0, 0 0 lg 0,99 lg 0, : lg 0,99 lg 0, 68,967... 69,0 lg 0,99 0. a),0 0 0 : 0,0 lg,0 ( 0 ) lg 0 lg,0 lg 0 0 lg,0 lg : lg,0 lg,9869...,99 lg,0 b) 0,9 8 :8 0,9 8 lg lg 0,9 0 0 8 ( ) lg lg 0,9 0 0 8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
lg 0,9 lg : lg 0,9 8 lg 8,76...,6 lg 0,9. 00 % +,80 % 0,8 %,08,08 00 00,08 lg,08 ( 0 ), lg, 0 : 00 lg,08 lg, 0 0 lg,08 lg, : lg,08 lg,,68...,7 lg,08 Rahamäärä 00 ylittyy vuoden kuluttua.. 00 % +, % 0, %,0,0,09,,0 lg,0 ( 0 ),,09 lg 0,,09, lg lg,0,09 0 0, lg,0 lg : lg,0,09, lg,09,..., lg,0 006 +, 08, Väkiluku ylittää, miljardin rajan vuonna 08. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
. 00 % 7, % 9,6 % 0,96 0,96 00 000 0 000 0,96 0, lg 0,96 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,96 lg 0, 0 0 lg 0,96 lg0, : lg 0,96 lg 0, 9,99... 9,9 lg 0,96 90 + 9,9 99,9 Tiikerikannan suuruus laski alle 0 000 vuonna 90.. Merkitään alkuperäisen kuvan suuruutta kirjaimella a. 0,9 a a : a lg lg 0,9 0 0 ( ) lg lg 0,9 0 0 lg 0,9 lg : lg 0,9 lg,7..., lg 0,9 Pienenee alle kolmasosaan kopioinnin jälkeen.. Merkitään :llä C hiilen määrän puoliutumiskertoja. Merkitään aineen määrää alussa a:lla.. 0,, 0 0,0a, 0 0,, 0, 0, 0,, lg 0, ( 0 ) 0 0, lg, 0, lg, 0,0a lg 0, 0 0 0, lg 0, lg : lg 0, : 0,0a:0 :, 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
0, lg,8...,8 lg 0, Fossiilin ikä on,8-kertainen puoliintumisaikaan verrattuna.,8 70 67,0 000 6. Kirjoitetaan molemmat luvut kymmenen potenssina 00 00 lg 00 ( 0 ) 00 lg 0 lg 00 ( 0 ) 00 lg 0 Luvuista se, jonka eksponentti on suurempi, on suurempi. 00 lg,... 00 lg,08... 00 on suurempi. 7. 0, 80 0, 0 : 80 0, 0 0, 80 0, 0 0, 80 : 0, 0, 0, 0, 0,6 0, lg 0,6 ( 0 ) lg 0, 0 lg 0,6 lg 0, 0 0 lg 0,6 lg 0, : lg 0,6 lg 0,,78...,7 lg 0,6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Potenssiyhtälö 8. a) 8, koska 8 b), koska c) 0 0, koska 0 0 9. a) 0, koska eksponentti on parillinen. b) 6 7 0, koska parillisen potenssin vastaukseksi ei voi tulla negatiivista lukua. c) k, koska eksponentti on pariton. 0. a) 7 b) 6 ± 6 ± tai c). a) 6 70 6 ± 70 ±,000...,0 tai,0 b) 7,... 7, c) 0 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska parillisen potenssin arvo ei voi olla negatiivinen. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
. a) 0 : ± ±,879...,87 tai,87 b) 9 0 : 9 9,98...,0 c) k + 0 k : k 8 k 8,7...,. a) k 7 8 000 b) k 7 8 000 000 c) k 7. 8 000 000 : 8 000 7 000 k 8 000 8 k 7 8,09...,0 d),0 0, % 0, % 00 %, %. Merkitään korkoa vastaavaa kasvukerrointa k:lla. k 6. 00 6, : 00 6 6, k,87 00 k ± 6,87 k,08998...,090,090 0,90 % 0,90 % 00 %,90 % Tilin korko on,90 %. Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. 00 % 0 % 70 % 0,7 Merkitään päästöjä alussa kirjaimella a. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
k a 0,7a k 0,7 : a k 0,7 0,9... 0,9 Jos tavoitteeseen päästään, päästöjen määrä muuttuu 0,9-kertaiseksi vuosittain. Vähennystä on silloin vuosittain 00 % 9 % 7 %. 6. a),0 0,8... 8,%,7 00% 8,%,6% 6% Kurssi laski 6 %. b) Merkitään kerrointa k:lla. k.,7,0 :,7,0 k,7 k,0,7 0,999... 0,9 0,9,7,070...,07 ( ) 7. a) Merkitään väkiluvun vuotuista kasvukerrointa k:lla. k 7. 06 00 000 7 00 000 : 06 00 000 7 7 00 000 7 k 06 00 000 06 k 7 7 06,00 0,0 %,00 % 00 %,0 %,006...,00 Keskimääräinen vuotuinen väestönkasvu oli,0 % Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
b),006. 06, 00 : 06, 00,006 06, lg,006 ( 0 ) 00 lg 0 06, 00 lg lg,006 0 0 06, 00 lg,006 lg 06, 00 lg 06, 8,668... 8,7 lg,006 000, + 8,7 09, Indonesian väkiluku ylittää 00 miljoonaa vuoden 09 aikana. 8. a) + 0 ( + ) 0 0 tai + 0 b) 8 0 ( 8) 0 0 tai 8 0 8 ± 8 ± 9. a) 0 ± 0 ± 7 7 tai 7 b) 79 79 9 c) 6 : 0. a),96...,9 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
b) 0 0 0 ± 0 ±,68... ±,7,7 tai,7 c) 6 lg lg6 0 0 ( ) lg lg6 0 0 lg lg6 lg6,69..., lg. Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k. 700 76,7 : 700 76,7 k 700 76,7 k,0899...,08 700 0,8 % 00 %,8 % Korko oli,8 %. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k 0. 9 900 800 : 9 900 0 800 8 k 9 900 99 8 k ± 0 99 k 0,867... 0,87 00 % 87 % % Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. Auton arvo aleni vuosittain %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
. Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k. 8, 0 : 8, k k ± 0 8, 0 8, k,0...,0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.,0 0, % 0, % 00 %, % Vuotuisen kasvun pitää olla, %.. a) Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k 0. 00 000 70 000 : 00 000 k 0 70 000 00 000 7 0 7 k ± 0 0 k 0,968... 0,97 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 00 % 9,7 %, % Norsujen määrä laski vuosittain keskimäärin, %. b) 0,97 0 00 000 77, 0 000. a) Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. k. 8 0 8 79 k k ± 8 79 80 8 79 80 k,000...,0 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa.,0 80 9 0,9... 9 0 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
b) Vuotta kohti kasvua on 8 79 80 907,. 907, + 80 9 90, 9 900 6. a) 6 0 ( ) 0 0 tai 0 0 ± ± b) 7 8 7 8 0 ( 8) 0 0 tai 8 0 0 8 8 7. Merkitään lämpötilaeron muuttumista kuvaavaa kerrointa k:lla. k. ( ) (8 ) ero alussa ero lopussa 678 678 k ( ) (8 ) k 9 k 9 k lg 0,9 ( 0 ) 9 7 0,9 9 7 lg 0 9 7 lg lg 0,9 0 0 9 0,99... 0,9 ero ero lopussa 7 678 alussa 9 678 0,9 ( ) (0 ) : 9 7 lg 0,9 lg 9 7 lg 9 8,867... 8,9 lg 0,9 Kahvi olisi jäähtynyt alle 0-asteiseksi 9 minuutissa. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
Kertaustehtäviä 8. a) 0 lg 0 0 ( ) lg 0 0 lg lg b) lg lg 0 0 ( ) lg lg 0 0 lg lg : lg,9..., : lg lg,69...,6 lg c) 7,8... 7,6 9. a) 0 ± 0 ± 7 7 tai 7 b) 6 c) 6 + 0 6 : 6 Yhtälöllä ei ole ratkaisua. 0. a) 00 % +, % 0, % 0, %,0 f(),0 00 b) f(9),0 9 00 9,00 9,00 ( ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
c),0. 00 600 : 00,0, lg,0 ( 0 ) lg, 0 lg,0 lg, 0 0 lg,0 lg, lg, lg,0 : lg,0 7,... 7, Tilillä on yli 600 8 vuoden kuluttua.. a) 00 %,8 % 98, % 98, % 0,98 0,98 60 86,7 860 b) 0,98 8 60 6,7 0 lg800 lg 00. a),900..., 9 lg,0 6 vuotta lg000 lg 00 b),9..., lg,0 vuotta. Merkitään alkuperäistä liikevaihtoa a:lla ja vuotuista kasvukerrointa k:lla. Tavoitteen mukainen liikevaihto kymmenen vuoden kuluttua on,a. 0 k a,a 0 k, k ± 0, Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. k,07...,0 0, % 00 %, % Vuotuisen kasvun on oltava, %.. a) Merkitään vuotuista kasvukerrointa k:lla. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
k. 7 000 000 000 000 : 7 000 000 k 7 k 7 0,8 % 00 %,8 %,070...,08 Vuotuinen kasvu on keskimäärin,8 %. b),08. 7 000 000 00 000 000 : 7 000 000 00,08 7 00 lg lg,08 0 0 7 ( ) 000 + 9, 09, Vuonna 09. 00 lg lg,08 0 0 7 00 lg,08 lg 7 00 lg 7 9,... 9, lg,08., Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
6. 0, 0, 0, 0, : 0, 0, 0, 0, 0, 0, lg 0, ( 0 ) lg 0 lg 0, lg 0 0 lg0, lg lg lg 0,,9068...,9 7. Merkitään vuotuista muutoskerrointa k:lla. k. 9 000 800 : 9 000 8 k 90 0 0,897 8 k 90 9 000 0,89690... 0,897 97,9... 00 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Harjoituskokeet Koe. a) Suora leikkaa -akselin, kun y 0. 0 b) (a ) + a. a 6a + a 7a c) + 6b 6b : b Vastaus a) Suora y leikkaa -akselin pisteessä,0. b) 7a c) b. a) 70 70,..., b) 6 00 6 ± 00 ±,... ±, c) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet logaritmin avulla luvun 0 potensseiksi.,0, (0 lg,0 ) lg, 0 0 lg,0 lg, 0. lg,0 lg, : lg,0 lg, 0,7... 0, lg,0 Vastaus a),; b), tai,; c) 0, Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
. a) Ensimmäinen alennuksen jälkeen hinnasta jää jäljelle 00 % % 8 %. 0,8. 9, ( ) Tätä hintaa lasketaan edelleen 0 %, eli uusi hinta on 00 % 0 % 80 % edellisestä. 0,80., 6, ( ) b) Yhden korotuksen jälkeen palkka on 00 % +, % 0, % eli,0- kertainen verrattuna tilanteeseen ennen korotusta. Merkitään alkuperäistä palkkaa a:lla. Palkka ensimmäisen korotuksen jälkeen:,0 a,0a. Palkka toisen korotuksen jälkeen:,0,0a,0 a,090a Palkka on korotusten jälkeen,090-kertainen alkutilanteeseen verrattuna. Kokonaiskorotus on 09,0 % 00 % 9,0 % 9, %. Vastaus a) 6,, b) 9, %. Muodostetaan suoran yhtälö kaavalla y y 0 k( 0 ). Sijoitetaan kaavaan k ja ( 0, y 0 ) (, ). y ( ) ( ) y + ( ) y + 6 y Sijoitetaan pisteen (0, 9) -koordinaatti yhtälön oikeaan puoleen.. 0 9 Vastaus on sama kuin pisteen y-koordinaatti, joten piste on suoralla Vastaus Suoran yhtälö on y ja piste (0, 9) on suoralla.. Lääkkeen määrä vähenee tunnissa,6 %, joten siitä on jäljellä tunnin kuluttua 00 %,6 % 9, %. 9, % 0,9 Merkitään lääkkeen alkuperäistä määrää a:lla. Tunnin kuluttua lääkkeen ottamisestasta lääkkeen määrä elimistössä on 0,9a, kahden tunnin kuluttua 0,9 a ja tunnin kuluttua 0,9 a. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Selvitetään yhtälön avulla, millä :n arvolla lääkkeen määrä on puolet alkuperäisestä. 0,9. a 0,a : a 0,9 0, (0 lg 0,9 ) lg 0, 0 0 lg 0,9 lg 0, 0 lg 0,9 lg 0, : lg 0,9 lg 0,,07..., 0 lg 0,9 Vastaus Puoliintumisaika on tuntia. 6. Koska riippuvuus on lineaarinen, sitä kuvaa suora. Suoralta tunnetaan kaksi pistettä (, y ) (, ) ja (, y ) (6, 0). Lasketaan näiden pisteiden avulla suoran kulmakerroin. k y y 0 6 0, Sijoitetaan kulmakerroin ja toinen pisteistä, vaikkapa ( 0, y 0 ) (6, 0) suoran yhtälön kaavaan y y 0 k( 0 ) ja muokataan yhtälöä. y 0 0,( 6) y 0, 7, + 0 y 0, +,8 Ratkaistaan, kun y 8,. 8, 0, +,8 0, 8,,8 0,,7 : 0, 8, Vastaus Suoran yhtälö on y 0,,8 ja arvosanaan 8½ vaaditaan 8, pistettä 7. Merkitään väkiluvun vuosittaista kasvukerrointa k:lla. 008 00 Neljässä vuodessa väkiluku on tulee k -kertaseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k 98 99 08 : 98 k 99 08 98 99 08 k ± Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 98 k,00676,00677 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
Väkiluku on noin,007-kertainen edellisen vuoden väkilukuun verrattuna. Väkiluku kasvaa siis 00,7 % 00 % 0,7 % vuodessa. Vuodesta 00 vuoteen 00 on 00 00 6 vuotta. Arvio väkiluvulle vuonna 00 on 6,00677 98 0 6,068 0 00. Vastaus Väkiluku kasvoi keskimäärin 0,7 % vuodessa. Arvio Lahden väkiluvulle on 0 00 vuonna 00. 8. Piirretään tilanteesta kuva. Muokataan piirtämistä varten suoran + y 9 0 yhtälöä. + y 9 0 y + 9 : y, +, Kolmion yksi kärkipiste on (0, 0). Selvitetään kahden muun kärkipisteen koordinaatit. Suoran y, +, ja y-akselin leikkauspisteen (0;,) näkee suoran yhtälöstä. Suoran y, +, ja -akselin leikkauspisteessä y 0. Ratkaistaan., +, 0,, : (,),8 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 6
Leikkauspiste on (,8; 0). Kolmion kannaksi ja korkeudeksi voidaan valita koordinaattiakseleilla sijaisevat sivut. Kolmion kanta on,8 00 m 80 m ja korkeus, 00 m 0 m. Lasketaan kolmion pinta-ala. A 80 m 0 m 0 00 m,0 ha,ha Vastaus Palstan pinta-ala on, ha. 9. Merkitään yhden tuotteen alkuperäistä hintaa a:lla. Myynti tarkoittaa myytyjen tuotteiden lukumäärää. Merkitään alkuperäistä myyntiä b:llä. Taulukoidaan annetut tiedot ennen ja jälkeen hinnankorotuksen. Merkitään myynnin muutosta kuvaavaa kerrointa :llä. Hinta Myynti Tuotto Ennen korotusta a b ab Korotuksen jälkeen,00a b,00a b,00. ab Selvitetään yhtälön avulla, millä luvulla alkuperäinen myynti on kerrottava, jotta tuotto nousisi,0 %.,00. ab,00ab : ab,00,00 :,00 0,0 0,9809... 0, 98 0,0 Myynti on tällöin pienentynyt 00 % 98, %,9 %. Vastaus Myynti saa pienentyä enintään,9 %. Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 7
Koe. a) + + 6 : 6 6 b) s ( ) s s s 0 6 0 s s 6 s c) 0 0 000 0 0 6 Vastaus a), b) s, 6 6 s c). a) Valitaan (, y ) (9, 7) ja (, y ) (, 9). Suoran kulmakerroin on y y 9 7 6 k. 9 b) Sijoitetaan funktion f() + lausekkeeseen. f( ) +. ( ) c) Molempien pisteiden (, ) ja (, ) -koordinaatti on. Kyseessä on pystysuora, jonka yhtälö on. Vastaus a), b), c). a) Kirjoitetaan yhtälön molemmat puolet logaritmin avulla luvun 0 potensseiksi. 0, (0 lg ) lg 0, 0 0 lg lg 0, 0. lg lg 0, : lg lg 0,,7..., 7 lg b) 00 ± 00 ±,67... ±, 6 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 8
c) 7 0 7 0,786..., 79 Vastaus a),7; b),6 tai,6; c),79. a) Ensimmäinen korotus oli %, joten korotettu hinta on 00 % + % % alkuperäisestä.,.,90,6 ( ) Tätä hintaa lasketaan %, eli uusi hinta on 00 % % 7 % edellisestä. 0,7.,6,787,7 ( ) b) Kun talletuksen arvo tulee vuodessa k-kertaiseksi, se tulee kolmessa vuodessa k k k k -kertaiseksi. Ratkaistaan kerroin k yhtälön avulla. k 600 69,9 : 600 k,08 k,08,0699..., 07 Saldo kasvaa siis,07-kertaiseksi vuodessa. Lasketaan korko. 0,7 % 00 %,7 % Vastaus a),7 ; b),7 %. Sijoitetaan pisteet (, y ) (, 9) ja (, y ) (, ) kulmakertoimen kaavaan. k y y ( ) 9 ( ) 6 Sijoitetaan saatu kulmakerroin ja toinen pisteistä, vaikkapa ( 0, y 0 ) (, 9), suoran yhtälön kaavaan y y 0 k( 0 ) ja muokataan yhtälö totuttuun muotoon. y 9 ( ( )) y 9 y + 9 y + Suoran ja y-akselin leikkauspiste nähdään suoran yhtälöstä. Se on (0, ). Vastaus y + ; suora leikkaa y-akselin pisteessä (0, ) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 9
6. Tehtävänannossa ei kirjan. painoksessa sanota selvästi, mistä ajankohdasta tuntien laskeminen aloitetaan. Samoin kaikkien matkapuhelinten tavoittaminen on tällä kurssilla tulkittava tapahtuvan samalla lähetyskierroksella. Jos aloitushetki on tunti ennen Lumin ensimmäisiä viestejä, yhden tunnin kuluttua viestejä lähtee, kahden tunnin kuluttua, kolmen tunnin kuluttua ja tunnin kulutua. Siis f(). Selvitetään yhtälön avulla, millä :n arvolla lähtevien viestien määrä ylittää 00 000. (0 lg ) lg 00 000 0 0 lg lg 00 000 0. lg lg 00 000 : lg lg 00 000,7..., lg Viestien määrä ylittää. lähetyskierroksella 00 000. Jos tuntien laskeminen aloitetaan Lumin lähettämistä ensmmäisestä kolmesta viestistä, kysytty funktio on f() + ja ylitys tapahtuu tunnin kuluttua. Vastaus f() ; tunnin kuluttua 7. Eksponentiaalisessa vähenemisessä gepardien määrä vähenee joka vuosi yhtä monella prosentilla. Merkitään k:lla vuotuista muutoskerrointa. 80-vuoden aikana gepardien määrä muuttuu k 80 -kertaiseksi. Muodostetaan yhtälö ja ratkaistaan siitä k. k 80 0 000 000 : 0 000 k 80 000 0000 000 k ± 80 Negatiivinen ratkaisu ei kelpaa. 0 000 k 0,9860 0,986 Gepardien määrä vuoden kuluttua vuodesta 900 oli mallin mukaan 0,986 0 000. Selvitetään, minä vuonna määrä oli 0 000. 0,986. 0 000 0 000 : 0 000 0 000 0,986 0 000 Summa Opettajan materiaali Ratkaisut 0
0,986 0, Sovellustehtävässä voi käyttää likiarvoa. Ratkaistaan logaritmin avulla. (0 lg 0,986 ) lg 0, 0 0 lg 0,986 lg 0, 0. lg 0,986 lg 0, : lg 0,986 lg 0,,7...,6 lg 0,986 Määrä alitti 0 000 joko vuonna 9 tai 9 riippuen siitä, ovatko annetut tiedot vuosien alusta vai lopusta. Vastaus Määrä alitti 0 000 vuosien 9 9 paikkeilla. 8. Merkitään särmiön alkuperäistä pituutta a:lla, leveyttä b:llä ja korkeutta c:llä. Kootaan arvot taulukkoon. Särmiö alussa Särmiö muutoksen jälkeen Pituus Leveys Korkeus Tilavuus a b c abc,a,6b 0,c,a.,6b. 0,c 0,76abc Muuttunut tilavuus on 7,6 % alkuperäisestä. Tilavuuden muutos on 7,6 % 00 % 8, % 9 %. Vastaus Särmiön tilavuus pienenee 9 %. 9. a) + + + + 0 + + 0 Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava, a, b ja c. ± ± 6 ± ± tai Summa Opettajan materiaali Ratkaisut
b) Muokataan yhtälöä niin, että muuttujan sisältävät potenssit ovat vasemmalla puolella. 80.. 6 : 80 6 : 6 80 6 a a Käytetään laskusääntöä. n 80 b b 6 80 0, 0,6 Desimaalimuotoja voi käyttää, koska ne ovat tarkkoja. Ratkaistaan logaritmin avulla. (0 lg 0, ) lg 0,6 0 0 lg 0, lg 0,6 0 lg 0, lg 0,6 : lg 0,6 lg 0,6 lg 0, n n Yhtälön voi ratkaista myös ilman logaritmia supistamalla murtoluvut muodosta ja käyttämällä potenssien laskusääntöjä. Yhtälön molemmille 6 80 puolille saadaan tällä menetelmällä kantaluvuksi. Vastaus a) tai, b) Summa Opettajan materiaali Ratkaisut