Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!"

Marja-Leena Saarnio
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 MAA4 koe Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki tehtävät 1-3. MAOLia saa käyttää! 1. Ratkaise. a. 3x 1 5 = 2x 1 b. 5x 2y 3 2x 3y 6 4p 2. a. Suora kulkee pisteen (6, 8) kautta ja on yhdensuuntainen suoran 3x 5y = 11 kanssa. Muodosta suoran yhtälö. b. Määritä ympyrän x 2 + y 2 12x + 4y + 24 = 0 keskipiste ja säde. 4p 3. a. Suora 2 x + 7 y 20 = 0 ja koordinaattiakselit rajaavat kolmion. Laske kolmion pinta-ala b. Mikä on pisteen (4, 3) lyhin etäisyys ympyrästä x 2 + y 2 4 x + 6 y + 3 = 0? 4p

2 B-osio: Valitse neljä tehtävistä 4-9. MAOLia ja laskinta saa käyttää! 4. a. Suora kulkee pisteiden ( 5, 1) ja (10, 10) kautta. Onko piste (45, 32) suoralla? b. Missä pisteissä suora 4x 1 y + 5 = 0 leikkaa ympyrän 3 x 2 + y 2 + 4x + 4y 8 = 0? 5. Ratkaise yhtälöryhmä x + 2y z = 3 { 2x y + z = 8 3x + 3y 2z = a. Osoita matemaattisesti, että ympyrät x 2 + y x 6 y 3 = 0 ja x 2 + y 2 10 x + 4 y + 20 = 0 ovat kokonaan toistensa ulkopuolella. Pelkkä piirros ei riitä! b. Määritä suoran 3x 5y = 11 etäisyys pisteestä (6,8) a. Mikä ympyrän x 2 + y 2 4x 6 = 0 piste on lähinnä suoraa x 3y + 21 = 0? b. Leipomo valmistaa kahta tuotetta, Rieskaa ja Sämpylää. Kymmenen rieskan taikinaan tarvitaan 300 g vehnäjauhoja ja 150 g ohrajauhoja. Kymmenen sämpylän taikinaan tarvitaan 100 g vehnäjauhoja ja 400 g ohrajauhoja. Leipomolla on rajallisesti vehnä- ja ohrajauhoja. Vehnäjauhoja on 30 kg ja ohrajauhoja 36 kg. Yksi rieska tuottaa leipomolle 0,45 ja yksi sämpylä 0,25. Kuinka paljon kumpaakin tuotetta pitäisi valmistaa, jotta leipomon tuotto olisi mahdollisimman suuri? 8. Määritä pisteestä (2,3) ympyrälle x 2 + y 2 8x + 12 = 0 piirrettyjen tangenttien yhtälöt 9. a. a) Määritä vakion a arvo niin, että ympyrä x 2 + y 2 6 x 2 y = a sivuaa - x-akselia - y-akselia. b. Osoita, että origosta ympyrälle x 2 + y y + 9 = 0 piirretyt tangentit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan. Ratkaisut löytyvät n. klo 12:00 osoitteesta Kokeen jälkeen henkilökohtaiset arviointikeskustelut n. 5 min/oppilas klo 12:15-13:15. Ilman keskustelua ei tule kurssiarvosanaa!

3 RATKAISUT: 1. a. 3x 1 = 2x 1 Ensin määrittelyehto, eli itseisarvon vastauksen on oltava AINA 5 positiivinen: 2x 1 0 2x 1 : 2 x 1. Vastauksiksi hyväksytään vain 2 määrittelyehdon toteuttavat x:n arvot! Nyt 3x 1 = 2x 1 tai 3x 1 = (2x 1) 5 5 3x 2x = tai 3x 1 5 = 2x + 1 x = 4 5 x = 4 5 tai 3x + 2x = tai 5x = 6 5 : 5 x 1 = 4 tai x 5 2 = 6 25 ratkaisua!. Kumpikaan ei täytä määrittelyehtoa, joten yhtälölle ei ole b. 5x 2y x 4y 6 lasketaan alekkain yhteen. => 2x 3y x 15y y 36, y. Sijoitetaan jompaankumpaan yht. => 19 6 x = a. Muutetaan suoran yhtälö normaaliin muotoon, jotta nähdään kulmakerroin: x 5y 11 y x k (yhdensuuntaisilla suorilla on samat kulmakertoimet!) Pisteen (6,8) kautta kulkevan suoran yhtälö on: y 8 ( x 6) y 8 x y x 5 5 Yleinen muoto, kerrotaan luvulla 5 puolittain jotta päästään ärsyttävistä murtoluvuista eroon: 5y = 3x x 5y + 22 = 0 b. x 2 + y 2 12x + 4y + 24 = 0 x 2 12x + + y 2 + 4y + = (x 6) 2 + (y + 2) 2 = 16 Keskipiste on siis (6,-2) ja r 2 = 16 r = 4

4 3. 4. a. Määritetään suoran leikkauspisteet koordinaattiakseleiden kanssa x-akseli (eli nollakohta): Sijoitetaan suoran yhtälöön y = 0: 2 x 20 = 0 2 x = 20 : 2 x = 10 y-akseli: Sijoitetaan suoran yhtälöön x = 0: 7 y 20 = 0 7 y = 20 : 7 y = 20 7 Kolmion pinta-ala = b. Mikä on pisteen (4, 3) lyhin etäisyys ympyrästä x 2 + y 2 4 x + 6 y + 3 = 0? Ympyrä keskipistemuotoon, jotta näemme keskipisteen koordinaatit ja säteen: x 2 4 x + + y y + = (x 2) 2 + (y + 3) 2 = 10 Joten keskipiste on (2,-3) ja r 2 = 10 r = 10 Mallikuva: Lasketaan siis pisteen (4,3) ja keskipisteen (2,-3) välinen etäisyys ja vähennetään siitä säde: x = (4 2) 2 + (3 ( 3)) 2 10 x = x = x = x = x = 10 a. Suoran yhtälö: y 1 = y = 3 5 x + 4 Sijoitetaan x = 45 suoran yhtälöön y = = Piste (45, 32) ei ole suoralla 5

5 Vastaus: Piste ei ole suoralla b. Missä pisteissä suora 4x 1 3 y + 5 = 0 leikkaa ympyrän x 2 + y 2 + 4x + 4y 8 = 0? Mallikuva: Leikkauspisteet yhtälöparista: 4x 1 { 3 y + 5 = 0 x 2 + y 2 + 4x + 4y 8 = 0? Voi ratkaista laskimella, tai sitten ratkaistaan suoran yhtälöstä y: 1 y = 4x 5 ( 3) 3 y = 12x + 15 Ja sijoitetaan ympyrän yhtälöön y:n paikalle => x 2 + (12x + 15) 2 + 4x + 4(12x + 15) 8 = 0 x x x x + 48x = 0 145x x = 0 Missä leikkauspisteen koordinaatit ovat tarkkoina arvoina sekavat ( , ) ( 1,75; 6) ja 145 ( , ) ( 1,1; 1,9) x + 2y z = 3 { 2x y + z = 8 3x + 3y 2z = 3 x + 2y z = 3 +{ 2x y + z = 8 ja 2x y + z = { vaikka z:sta eroon ekana. 3x + 3y 2z = 3 3x + y = 5 7x + y = 13 3x + y = 5 Yhdistetään nämä kaksi:- { 7x + y = 13 4x = 8 : ( 4) => x = 2 Nyt sijoitetaan tämä esim. yhtälöön 3x + y = y = 5 y = 1 Nyt sijoitetaan nämä esim. ylimpään yhtälöön x + 2y z = ( 1) z = 3 z = 3 z = 3. Joten ratkaisu on: x = 2 { y = 1 z = 3 a. Muunnetaan ympyröiden yhtälöt keskipistemuotoon

6 x 2 + y x 6 y 3 = 0 (x x + 4) 4 + (y 2 6 y + 9) 9 3 = 0 (x + 2) 2 + (y 3) 2 = 16 Keskipiste = ( 2, 3) ja säde = 4 x 2 + y 2 10 x + 4 y +20 = 0 (x 2 10 x + 25) 25 + (y y + 4) = 0 (x 5) 2 + (y + 2) 2 = 9 Keskipiste = (5, 2) ja säde = 3 Keskipisteiden etäisyys = 2 2 ( 2 5) (3 2) = 2 2 ( 7) (5) = 74 Säteiden summa = = 7 74 > 7, joten ympyrät ovat kokonaan toistensa ulkopuolella Vastaus: Väite on osoitettu oikeaksi 7. b. Määritä suoran 3x 5y = 11 etäisyys pisteestä (6,8) 3x 5y = 11 3x 5y 11 = 0 Pisteen etäisyyden kaava: d = a. Mikä ympyrän x 2 + y 2 4x 6 = 0 piste on lähinnä suoraa x 3y + 21 = 0? Ympyrä keskipistemuotoon: x 2 4x + + y 2 = 6 +4 (x 2) 2 + (y 0) 2 = 10 Eli kp: (2,0) ja säde r = 10 Mallikuva ympyrästä ja suorasta: = = Ympyrän lyhin etäisyys suorasta on osa suoran x 3y + 21 = 0 ympyrän keskipisteen kautta kulkevaa normaalia. Normaalin yhtälö: Määritetään normaalin kulmakerroin Suoran kulmakerroin x normaalin kulmakerroin = -1 1 x 3y + 21 = 0 3y = x 21 y = 1 3 x + 7 k 3 2 = 1 k 2 = 3 ja kulkee keskipisteen (2,0) kautta, joten yhtälö on muotoa: y 0 = 3(x 2) y = 3x + 6 Normaalin ja suoran leikkauspiste on ympyrää lähinnä oleva piste. Ratkaistaan y = 3x + 6 leikkauspiste yhtälöparista { x 3y + 21 = 0 Leikkauspisteen ja keskipisteen välinen etäisyys on siis: Laskin: ( 3 10, ) (2 ( 3 10 ))2 + ( )2 = = = Koko etäisyydestä vähennetään säde pois, niin saadaan leikkauspisteen etäisyys ympyrän reunasta: d = = b. Rieska 10 kpl (X kpl) Sämpylä 10 kpl (Y kpl) yhteensä vehnäjauhot 300g 100g 30kg=30000g ohrajauhot 150g 400g 36kg=36000g

7 Tuotto-funktio 10x0,45 xx 10x0,25 xy Joten tuotto-funktio on T(x, y) = 4,5x + 2,5y missä x ja y ovat 10 klp rieska- ja sämpyläpusseja. 300x + 100y x + 400y Rajoitteet: { x 0 y 0 Kuvaaja: Keskellä oleva tummimmalla alueella kulufunktion kaikki mahdolliset arvot. Lineaarisen optimoinnin teorian perusteella tuottofunktion T(x,y) suurimmat arvot alueen ääripisteissä. Ratkaistaan suorien leikkauspisteen koordinaatit: 300x + 100y = { 150x + 400y = Laskin: (x,y)=(80,60) Lisäksi y- ja x-akselin leikkauspisteet: 300x + 100y = y = 3x x + 400y = y = 3 x Eli loivempi suora y = 3 x + 90 leikkaa y-akselin korkeudella 90, eli piste on 8 (0,90) ja jyrkempi suora y = 3x leikkaa x-akselin nollakohdassaan x=100, eli piste on (100,0). Testataan Tuottofunktion T(x, y) = 4,5x + 2,5y arvo näissä kolmessa pisteessä: T(80,60) = 4, ,5 60 = 510 T(0,90) = 4, ,5 90 = 225 T(100,0) = 4, ,5 0 = 450 Paras tuotto saadaan siis tekemällä 80 pussia Rieskaa (10 kpl/pussi) ja 60 pussia Sämpylöitä (10 kpl/pussi) => 800 Sämpylää ja 600 Rieskaa. 8. Määritä pisteestä (2,3) ympyrälle x 2 + y 2 8x + 12 = 0 piirrettyjen tangenttien yhtälöt. Mallikuva:

8 k 2 +( 1) 2 Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon, jotta nähdään keskipiste ja säde: x 2 8x + + y 2 = x 2 8x y 2 = 4 (x 4) 2 + (y 0) 2 = 2 2 Eli keskipiste on (4,0) ja säde on 2. Tangentti kulkee pisteen (2,3) kautta, joten sen yhtälö on muotoa y 3 = k(x 2) y 3 = kx 2k 0 = kx y + 3 2k Tangentti on tasan säteen etäisyydellä keskipisteestä, joten pisteen (4,0) etäisyys suorasta 0 = kx y + 3 2k on 2. => 2 = k k 2 = 2k+3 5 Laskin: k =. Tällöin suoran yhtälö on k x y ( 5 12 ) = 0 y = x +. Toinen tangentti on pystysuora, koska 6 keskipiste on (4,0) ja säde 2, joten ympyrä leikkaa x-akselin kohdassa (2,0) ja tangentti kulkee pisteen (2,3) kautta. Eli pystysuora x=2. 9. a) Ratkaisu Muunnetaan ympyrän yhtälö keskipistemuotoon x 2 + y 2 6 x 2 y = a x 2 6 x y 2 2 y + 1 = a (x 3) 2 + (y 1) 2 = a + 10 = r 2 a) Ympyrä sivuaa x-akselia, kun säde on sama kuin keskipisteen y-koordinaatin itseisarvo 10 a = 1 a + 10 = 1, josta a = 9 b) Ympyrä sivuaa y-akselia, kun säde on sama kuin keskipisteen x-koordinaatin itseisarvo 10 a = 3 a + 10 = 9, josta a = 1 Vastaus: a) a = 9 b) a = 1 b) Ratkaisu x 2 + y y + 9 = 0 y = k x Sijoitetaan y:n lauseke suoran yhtälöstä ympyrän yhtälöön x 2 + k 2 x 2 6 k 2 x + 9 = 0 (1 + k 2 ) x 2 6 k 2 x + 9 = 0 Ratkaistaan tangenttien kulmakertoimet diskriminantin nollakohtayhtälöstä. D = 72 k k 2 36 k 2 = 36, josta k = ± 1 Kulmakertoimien tulo on 1 ( 1) = 1 Vastaus: Tangentit ovat kohtisuorassa, koska niiden kulmakertoimien tulo on 1

Samankaltaiset tiedostot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse