Sisältö MS-AX Differentili- j integrlilskent Nämä klvot sisältävät otsikoss minitun kurssin keskeisen mterilin, mutt myös pljon oeislukemist. Luennoill voidn käsitellä myös täydentäviä esimerkkejä, kosk klvot sisältävät yleensä vin yden, usein mdollisimmn yksinkertisen esimerkin kustkin ieest. Pekk Alestlo Alto-yliopisto Perustieteiden korkekoulu Mtemtiikn j systeeminlyysin litos 6.9.27 Kiitokset Hrri Hkullle, Jnne Korvenpäälle, Riikk Kortteelle, Jrmo Mliselle j kurssien opiskelijoille pinovireiden korjuksist. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 / 26 Jonot 2 Srjt 3 Jtkuvuus 4 Derivtt 5 Tylor-polynomit j -srjt 6 Alkeisfunktiot 7 Pint-l 8 Integrli 9. kertluvun differentiliytälö 2. kertluvun differentiliytälö Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 2 / 26. Lukujoukot.2 Jonot Luonnollisten lukujen joukko N = {, 2, 3,... }. N = {,, 2, 3,... } = N {}. Kokonislukujen joukko Z = {,,, 2, 2,... }. Rtionlilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Relilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi plutuu rtionlilukuiin, joss eri mdollisuuksi: Dedekindin leikkukset, rtionliset Cucy-jonot, desimlipproksimtiot. Intuitiivisesti elpoin vitoeto on jtell relilukuj desimliesitysten kutt. Suurin os reliluvuist ei ole rtionlisi, esimerkiksi 2, π, Neperin luku e. Lukujonoll trkoitetn ääretöntä jono relilukuj n R, kun indeksi n N. Merkitään ( n ) n N = ( n ) n= = (, 2, 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkint on funktio f : N R, jolle f (n) = n. Jonon indeksöinti voi lk myös jostkin muust rvost kuin. Jos indeksin lkurvo ei ole tärkeä ti tilnne on muuten selvä, voidn käyttää merkintää ( n ). Joisskin sovelluksiss esiintyy myös jonoj, joiden indeksijoukkon on kikkien kokonislukujen joukko Z. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 3 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 4 / 26.2 Käytännössä.2 Perusongelmt Jonoj voidn määritellä ntmll yleisen termin luseke; esimerkiksi n = 2 n, kun n N lukujono (2, 4, 8, 6,... ). rekursiivisesti plutuskvojen vull, erityisesti moniss numeerisiss menetelmissä. Esimerkiksi f =, f =, f n = f n 2 + f n, kun n 2 Fibonccin lukujono (,,, 2, 3, 5,... ). tekemällä mittuksi jostkin systeemistä; esimerkiksi äänen voimkkuus tsisin ikvälein (idelisoitun äärettömäksi jonoksi). Mitä jonon ominisuuksi sdn selville yleisen termin ti plutuskvojen vull? Miten plutuskvst sdn yleisen termin luseke? Esimerkiksi Fibonccin jonolle joss f n = 5 ( ϕ n ( ϕ) n), ϕ = + 5 2 on ns. kultisen leikkuksen sude. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 5 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 6 / 26.2 Jonojen ominisuuksi Määritelmä. Lukujono ( n ) on yläältä rjoitettu, jos on olemss sellinen C R, että n C kikill n llt rjoitettu, jos on olemss sellinen c R, että n c kikill n rjoitettu, jos se on sekä yläältä että llt rjoitettu nousev, jos n+ n kikill n lskev, jos n+ n kikill n monotoninen, jos se on nousev ti lskev.3 Suppeneminen I Määritelmä.2 Lukujono ( n ) suppenee koti rj-rvo L R, jos lusekkeen n L rvo läestyy noll, kun n ; täsmällisemmin: Jokist ε > vst sellinen indeksi n ε N, että n L < ε in, kun n n ε. Tällöin merkitään lim n = L ti lim n = L ti lyyesti n L. n Jos lukujono ei suppenee, niin se jntuu. Huom: n L = jonon pisteen n j rj-rvon L välinen etäisyys: n L < ε L ε < n < L + ε. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 7 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 8 / 26
.3 Suppeneminen II Ide: Mitä pienempi ε, sitä suurempi n ε trvitn. n L+ε L L ε n ε n.3 Täydellisyysksiom Relilukujen joukon erott rtionlilukujen joukost Täydellisyysksiom: Nousev j yläältä rjoitettu relilukujono ( n ) n N suppenee. Täydellisyysksiom voidn muotoill eri tvoill. Aieest lisää kurssill MS-C54. Aksiom trjo mdollisuuden reliluvun täsmälliseen määritelmään: Reliluku n,d d 2..., joss kokonisos n on kokonisluku j desimlit d, d 2, {,, 2,..., 9}, on monotonisen rtionlilukujonon (n; n,d ; n,d d 2 ; n,d d 2 d 3,... ) rj-rvo. Rtionlijonojen kodll ongelm on se, ettei rj-rvo ole in rtionliluku! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 9 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 / 26.3 Yleisiä tuloksi Lskev j llt rjoitettu jono suppenee. Suppenev jono on rjoitettu. Suppiloperite: Jos n b n c n jostkin indeksistä lken j lim n = lim c n = L, n n niin jono (b n ) suppenee j lim n b n = L. Geometrinen jono (q n ) suppenee, jos sudeluku < q, jolloin sen rj-rvo on joko ti. Muiss tpuksiss geometrinen jono jntuu. Jonon suppenemist koti noll voi tutki lusekkeen n+ / n vull: jos jostkin indeksistä lken on n+ / n q j q <, niin lim n n =. Tämä seur kdest edellisestä kodst, kosk n q n..3 Lskusääntöjä I Luse.3 Jos lim n n =, lim n b n = b j c R, niin lim ( n + b n ) = + b, n lim (c n) = c, n lim ( nb n ) = b, n lim ( n/b n ) = /b, jos b. n Huom: Viimeisen kodn oletuksest b seur, että b n jostkin indeksistä lken. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 2 / 26.3 Lskusääntöjä II Perustelu: Ensimmäinen kv perustuu epäytälöön ( n + b n ) ( + b) = ( n ) + (b n b) n + b n b. Toinen kv seur ytälöstä c n c = c n. Kolmnnen kvn kodll käytetään epäytälöä n b n b = ( n b n n b) + ( n b b) n b n b + n b j sitä, että n C jollkin vkioll C. Neljännen kvn kodll osoitetn luksi, että /b n /b, j käytetään sen jälkeen tulokv..3 Lskusääntöjä III Esimerkki.4 3n 2 + 4n Lske rj-rvo lim n n 2 +. Rtkisu: Kosk 3n 2 + 4n n 2 + j 4 lim n n =, lim niin rj-rvon lskusääntöjen mukn = n2 (3 + 4/n) n 2 ( + /n 2 ) = 3 + 4/n + /n 2 n n 2 =, 3n 2 + 4n lim n n 2 + = 3 + + = 3. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 3 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 4 / 26.3 Eräitä rj-rvoj.3 Ympyrän krenpituus j kulm I lim n n =, kun > lim n n n = lim n ( + n) n = e = Neperin luku 2,78288... Tään pltn myöemmin. Stirlingin kv (jolle ei elppo todistust!): Krenpituus yksikköympyrällä 2 + y 2 = määritellään seurvll tvll: Jetn tutkittv kri tsvälisesti 2 n :ään osn j lsketn vstvn murtoviivn pituus n. Näin sdn nousev j yläältä rjoitettu jono, jonk rj-rvo on kyseessä olevn kren pituus. lim n n! =. 2πn (n/e) n Ide: Ensimmäinen seur toisest suppiloperitteen vull. Toisen kodll merkitään n = n n > j sovelletn binomikv: n = ( + n ) n = + n n + n(n ) 2 n/2 + > + n(n ) 2 n/2, joten < n < 2/n. Väite seur tästä suppiloperitteen vull. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 5 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 6 / 26
.3 Ympyrän krenpituus j kulm II.3 Rj-rvon yleistykset Määritelmä.5 Luku π on yksikköympyrän puolikkn krenpituus. Krenpituuden vull määritellään kulmn yksikkö rdini (ly. rd), jok on dimensioton. Trigonometriset funktiot sin j cos määritellään yksikköympyrän krenpituuden vull kikille R. (cos,sin) Myös käsitteet voidn määritellä täsmällisesti. Esimerkiksi lim n = j lim n = n n lim n = jokist luku M R vst sellinen indeksi n M N, n että n M in, kun n n M. Snotn: Jono ( n ) jntuu koti ääretöntä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 7 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 8 / 26 2. Srj 2. Indeksöinti Lukujonost ( k ) k N voidn muodost sen ossummien jono (s n ): s =, s 2 = + 2, s 3 = + 2 + 3,..., n s n = + 2 + + n = k. Määritelmä 2. Jos ossummien jonoll (s n ) on rj-rvo s R, niin snotn, että jonost ( k ) muodostettu srj suppenee j sen summ on s. Tällöin merkitään + 2 + = k= k = lim k= n k= n k = s. Ossummt knntt indeksöidä smll tvll kuin jono ( k ); esim. jonon ( k ) ossummt ovt s =, s = + jne. Suppenevn srjn voidn tedä summusindeksin siirtoj: esim. Konkreettisesti: k = k+ = k. k= k=2 k 2 = + 4 + 9 + = (k + ) 2 k= Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 9 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 2 / 26 2. Srjn jntuminen 2.2 Geometrinen srj I Jos srj ei suppene, niin se jntuu. Tämä voi tptu kolmell eri tvll: (i) ossummt läestyvät ääretöntä; (ii) ossummt läestyvät miinus-ääretöntä; (iii) ossummien jono eiltelee niin, ettei rj-rvo ole. Hjntuvn srjn tpuksess merkintä k= k ei oikestn trkoit mitään. Usein sovitn sen trkoittvn ossummien jono, jok on in yvin määritelty. Monet srjoiin liittyvät kummllisuudet (esim. = -todistus) jotuvt siitä, että srjn summminen tulkitn opertioksi, joss kikki jonon lkiot lsketn yteen smll kert. Näin ei ole, vn summ lsketn ossumminen rj-rvon. Tämän vuoksi os äärellisten summien lskusäännöistä ei enää päde srjoille. Joisskin tpuksiss esimerkiksi srjn summ voi muuttu, jos termien järjestystä videtn. Luse 2.2 Geometrinen srj q k suppenee, jos q < (ti = ), jolloin sen summ on niin srj jntuu. n Perustelu: Srjn ossummille pätee seur. Yleisemmin q k = k=i qi q q. Jos q, q k = ( qn+ ), jost väite q srjn. termi =, kun q <. q Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 2 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 22 / 26 2.2 Geometrinen srj II Esimerkki 2.3 Lske srjn summ. Rtkisu: Kosk 3 4 k+ k= 3 4 k+ = 3 ( ) k 4, 4 niin kyseessä on geometrinen srj. Sen summksi sdn 2.2 Lskusääntöjä I Luse 2.4 Suppenevien srjojen ominisuuksi: ( k + b k ) = k + k= k= k= b k (c k ) = c k, kun c R on vkio k= k= Perustelu: Seur vstvist jonojen rj-rvojen ominisuuksist. 3 4 /4 /4 = 4. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 23 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 24 / 26
2.2 Lskusääntöjä II 2.2 Lskusääntöjä III Luse 2.5 Jos k suppenee, niin lim k =. k k= Kääntäen: Jos lim k k, niin srj k jntuu. Perustelu: Jos srjn summ on s, niin k = s k s k s s =. Huom: Ominisuuden lim k k = vull ei void perustell srjn suppenemist; vrt. seurvt esimerkit. k= Esimerkki 2.6 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: k k + = 2 + 2 3 + 3 4 +... k= Srjn yleisen termin rj-rvo lim k ei ole noll, joten srj jntuu. k k + = Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 25 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 26 / 26 2.2 Hrmoninen srj Esimerkki 2.7 Hrmoninen srj k = + 2 + 3 +... k= jntuu, vikk sen yleisen termin k = /k rj-rvo on noll. Rtkisu: Ktso lkeellinen perustelu esim. Mtemtiikkleti Solmust ttp://mtemtiikkletisolmu.fi/24/3/rmsrj.pdf Toinen tp integrlin vull. 2.2 Positiiviset srjt I Srjn summn lskeminen on usein nkl ti mdotont (muuten kuin numeerisen likirvon). Moniss tilnteiss on kuitenkin tärkeintä tietää, suppeneeko vi jntuuko tutkittv srj. Määritelmä 2.8 Srj p k on positiivinen (ti positiiviterminen), jos p k kikill k. k= Positiivisille srjoille suppenemisen tutkiminen on suorviivist: Luse 2.9 Positiivinen srj suppenee täsmälleen silloin, kun sen ossummien jono on yläältä rjoitettu. Syy: Positiivisen srjn ossummien jono on nousev. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 27 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 28 / 26 2.2 Positiiviset srjt II Esimerkki 2. Osoit, että ylirmonisen srjn k 2 k= ossummille on voimss s n < 2 kikill n, joten srj suppenee. Rtkisu: Perustuu kvn k 2 < k(k ) = k k, kun k 2; vrt. pitkän mtemtiikn ylioppilskokeen tetävä 5/kevät 25. Toinen tp integrlilskennn vull. Leonrd Euler keksi v. 735 sin-funktion tulokeitelmän vull, että srjn summ on π 2 /6. 2.2 Itseinen suppeneminen I Määritelmä 2. Srj k suppenee itseisesti, jos positiivinen srj k= k suppenee. k= Luse 2.2 Itseisesti suppenev srj suppenee, j tällöin k k. k= k= Kyseessä on erikoistpus yleisestä Mjornttiperitteest, jost myöemmin lisää. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 29 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 3 / 26 2.2 Itseinen suppeneminen II Luseen perustelu (ilmn yleistä mjornttiperitett!): Tutkitn erikseen positiivist j negtiivist os: Olkoon b k = m( k, ) j c k = min( k, ). Kosk b k, c k k, niin positiiviset srjt b k j c k suppenevt edellisen luseen perusteell. Lisäksi k = b k c k, joten k on suppenevien srjojen erotuksen suppenev. 2.2 Itseinen suppeneminen III Esimerkki 2.3 Tutki vuorottelevn srjn ( ) k+ k 2 = 4 + 9... k= suppenemist. Rtkisu: Kosk ( ) k+ k 2 = j ylirmoninen srj k2 k 2 k= suppenee, niin tutkittv srj suppenee itseisesti. Näin ollen se suppenee myös tvllisess mielessä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 3 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 32 / 26
2.2 Vuorottelev rmoninen srj I 2.2 Vuorottelev rmoninen srj II Itseinen suppeneminen j (tvllinen) suppeneminen ovt kuitenkin eri käsitteitä: Esimerkki 2.4 Vuorottelev rmoninen srj ( ) k+ = k 2 + 3 4 +... k= suppenee, mutt ei itseisesti (vrt. rmoninen srj). Rtkisu: (Ide) Piirretään ossummien jonon (s n ) kuvj (seurv sivu) j tutkitn erikseen prillisten j prittomien indeksien ossummi s 2n j s 2n+. Srjn summ on ln 2, jok sdn integroimll geometrisen srjn summkv sopivll tvll; vrt. rjoitukset? ensimmäistä ossumm; pisteet ydistetty jnoill vinnollisuuden vuoksi. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 33 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 34 / 26 2.3 Mjorntti j minorntti I Edellisen yleistyksenä sdn Luse 2.5 Mjornttiperite: Jos k p k kikill k j k= p k suppenee, niin myös k= k suppenee. Minornttiperite: Jos p k k kikill k j p k jntuu, niin myös k jntuu. Mjorntin perustelu: Kosk k = k ( k k ) j k k 2 k, niin srj k suppenee kden suppenevn positiivisen srjn erotuksen. Tässäkin trvitn pun lkeellisemp positiivisten srjojen mjornttiperitett; kyseessä ei ole keäpäättely! Minorntin perustelu: Oletuksist seur, että srjn k ossummt jntuvt koti ääretöntä. 2.3 Mjorntti j minorntti II Esimerkki 2.6 Tutki srjojen suppenemist. Rtkisu: Kosk + k 3 j k= k k= < + k 3 < k 3 k 2 kikill k N, niin ensimmäinen srj suppenee mjornttiperitteen nojll. Toislt kikill k N, joten jälkimmäisellä srjll on k k minornttin jntuv rmoninen srj. Siispä jälkimmäinen srj jntuu. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 35 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 36 / 26 2.3 Sudetesti 2.3 Sudetestin rj-rvomuoto I Käytännössä tärkein tp suppenemisen tutkimiseen perustuu ns. sudetestiin, joss srjn termejä verrtn sopivn geometriseen srjn: Luse 2.7 Jos jostkin indeksistä lken on voimss k+ k Q <, niin srj k suppenee (j suppenemisnopeus vst geometrist srj Q k ti on vieläkin suurempi). Perustelu: Srjn lku ei vikut sen suppenemiseen, joten epäytälö voidn olett kikille indekseille. Tästä seur k Q k Q 2 k 2 Q k, joten srjlle sdn suppenev geometrinen mjorntti. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 37 / 26 Luse 2.8 Jos on olemss rj-rvo lim k+ k k = q, niin srj k suppenee, jos q <, jntuu, jos q >, voi oll suppenev ti jntuv, jos q =. Ide: Geometriselle srjlle kden peräkkäisen termin sude on q. Sudetestin mukn yleisemmänkin srjn suppeneminen määräytyy smll peritteell kuin geometriselle srjlle, kun sudelukun käytetään peräkkäisten termien suteen rj-rvo. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 38 / 26 2.3 Sudetestin rj-rvomuoto II Perustelu: Jos q <, niin vlitsemll rj-rvon määritelmässä ε = ( q)/2 > sdn jostkin indeksistä n ε lken voimn k+ / k < q + ε = (q + )/2 = Q <. Tällöin tulos seur edellisestä luseest. Tpuksess q > srjn yleinen termi ei läesty noll, joten srj jntuu. Viimeisessä kodss q = ei siis sd mitään tieto suppenemisest. Näin käy mm. rmonisen ( n = /n, jntuv!) j ylirmonisen ( n = /n 2, suppenev!) srjn kodll. 2.3 Sudetestin rj-rvomuoto III Esimerkki 2.9 Tutki srjn suppenemist. Rtkisu: k= ( ) k+ k 2 k = 2 2 4 + 3 8... Tässä k = ( ) k+ k/2 k, joten k+ k = ( ) k+2 (k + )/2 k+ ( ) k+ k/2 k = k + 2k = 2 + 2k 2 <, kun k. Sudetestin perusteell srj suppenee. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 39 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 4 / 26
3. Funktiot 3. Erilisi funktioit Tässä luvuss käsitellään relikselin osjoukoiss määriteltyjä funktioit f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei in. Avoin väli: ], b[ ti ], [ ti ], b[ ti ], [ = R. Avoimi välejä merkitään joskus myös krisulkujen vull. Suljettu väli: [, b]. Puolivoimet välit: muoto [, b[ ti ], b]. Merkintöjä yksinkertistv sopimus: [, b] trkoitt in suljettu väliä, jonk päätepisteet ovt, b R riippumtt siitä, mikä on lukujen j b suuruusjärjestys. Smoin muiden välien kodll. n-ulotteinen vruus R n = {(, 2,..., n ) k R, k =, 2,..., n}. Tpuksess n = 2 pisteitä merkitään usein (, y) j tpuksess n = 3 muodoss (, y, z). Yden muuttujn funktio f : A R, kun A R Tsokäyrän prmetrisointi f : [, b] R 2, jolloin f(t) = ((t), y(t)). Avruuskäyrän prmetrisointi f : [, b] R 3, jolloin f(t) = ((t), y(t), z(t)). Usen muuttujn funktio (sklrikenttä) f : A R, kun A R n ; funktion rvo merkitään f (, y) tpuksess n = 2 Vektorikenttä F: A R k, kun A R n Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 4 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 42 / 26 3.2 Jtkuvuus I 3.2 Jtkuvuus II Funktion jtkuvuus määritellään usein rj-rvon vull. Jtkuvuus on kuitenkin rj-rvo yksinkertisempi käsite, joten loitetn siitä. Muist: Jos, b R, niin luseke b on pisteiden (= lukujen) j b välinen etäisyys. Määritelmä 3. Olkoon A R j f : A R funktio. Funktio f on jtkuv pisteessä A, kun pätee: Jokist ε > vst sellinen δ >, että f() +ε f( ) f() ε f() f () f () < ε in, kun A j < δ. Ide: Kun ε pienenee, niin δ = δ ε pienenee (jos jtkuvuus voimss). δ +δ Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 43 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 44 / 26 3.2 Jtkuvuus III Usein funktion määrittelyjoukko A on jokin väli. Tällöin jtkuvuutt voidn tutki määritelmän vull myös väliin kuuluvss päätepisteessä; eto A on olenninen. Jos f on jtkuv jokisess määrittelyjoukkons pisteessä, niin se on jtkuv joukoss A (ti lyyesti: jtkuv). Funktion jtkuvuus voidn määritellä myös jonojen vull. Seurv eto on ytäpitävä vrsinisen ε δ-määritelmän knss: Funktio f : A R on jtkuv pisteessä A, täsmälleen silloin, kun pätee: Jos jonolle ( n ) on voimss n A kikill n j lim n n =, niin silloin lim n f ( n ) = f (). Jonojen vull kirjoitettun jtkuvuus trkoitt siis ytälöä 3.2 Jtkuvuus IV Jtkuvi funktioit ovt esimerkiksi polynomit: P() = c n n + c n n + + c + c ; rtionlifunktiot: R() = P()/Q(), kun P j Q ovt polynomej; juurifunktiot: f () = p/q, kun ; trigonometriset funktiot sin, cos, tn j cot; jtkuvien funktioiden summt, tulot j osmäärät (määrittelyjoukko!); jtkuvien funktioiden ydistetyt funktiot. Perustelut suorviivisi, kun jtkuvuutt tutkitn edellisen sivun jono-version vull: tulokset plutuvt jonojen rj-rvojen ominisuuksiin. lim f ( n) = f ( lim ) n. n n Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 45 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 46 / 26 3.2 Jtkuvuus V Sinin j kosinin jtkuvuus geometrisesti yksikköympyrän vull. ( cos y, siny) y sin y sin < y (cos, sin ) y 3.3 Mksimi j minimi Olkoon f : A R. Funktioll f on pisteessä A mksimi eli suurin rvo, jos f () f ( ) kikill A. Merkitään m{f () A} ti m A f (). minimi eli pienin rvo pisteessä A, jos f () f ( ) kikill A. Merkitään min{f () A} ti min A f (). cos cosy < y Muuttujn rvot j ovt funktion f äärirvokoti. Funktion rvot f ( ) j f ( ) ovt funktion äärirvot. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 47 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 48 / 26
3.3 Ominisuuksi 3.4 Funktion rj-rvo I perustulos: Suljetull välillä määritellyllä jtkuvll funktioll on mksimi j minimi joisskin välin pisteissä. II perustulos (Jtkuvien funktioiden välirvoluse): Suljetull välillä I määritelty jtkuv funktio s kikki rvot, jotk ovt sen minimin j mksimin välissä. Toisin snoen: funktion rvojoukko f [I ] = {f () I } on myös väli. Tässä muodoss väite pätee myös voimille ti puolivoimille väleille I (jolloin mksimi ti minimiä ei in ole). Erityisesti: Jos f : [, b] R on jtkuv j f ()f (b) <, niin funktioll f on nollkot voimell välillä ], b[. Näitä sioit käsitellään yleisemmin kurssill MS-C54 Euklidiset vruudet, joss ne myös todistetn. Jos A R j f : A R, niin f :n käyttäytymistä pisteen R läellä voidn tutki myös funktion rvost f ( ) välittämättä; ei edes trvitse oll A. Tällöin on kyseessä funktion f rj-rvo pisteessä. Rj-rvo määritellään (tällä kurssill) vin sellisiss pisteissä R, joille jokinen väli [ δ, + δ] sisältää äärettömän mont joukon A pistettä, vikk δ > olisi kuink pieni tns. Tämä on ytäpitävää sen knss, että jokinen väli [ δ, + δ] sisältää inkin yden pisteen A,. (Tällisi pisteitä kutsutn joukon A ksutumispisteiksi. Esimerkiksi voimen välin päätepisteet.) Jtkoss oletetn siis, että on tällinen piste. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 49 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 5 / 26 3.4 Funktion rj-rvo I Määritelmä 3.2 Funktioll f : A R on rj-rvo L pisteessä R, jos pätee: Jokist ε > vst sellinen δ >, että Tällöin merkitään f () L < ε in, kun A j < < δ. lim f () = L. Huom: Edon < ino trkoitus on rjt mdollinen funktion rvo f ( ) pois käsittelystä; ts. eto tutkitn vin tpuksess. 3.4 Funktion rj-rvo II Ide: Mitä pienempi ε > on nnettu, sitä pienempi δ > täytyy vlit; onnistuu in, jos rj-rvo on olemss. L+ε L L ε f() δ +δ Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 5 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 52 / 26 3.4 Toispuoleiset rj-rvot Vstvll tvll sdn myös toispuoleiset rj-rvot lim f () j lim + f (), kun epäytälö < < δ korvtn epäytälöllä < < δ ti < < δ. Nämä voidn tulkit myös tvllisen rj-rvon erikoistpuksin, kun funktion määrittelyjoukoksi muutetn A ], [ ti A ], [. Luse 3.3 Jos funktio f on määritelty joukoss [ δ, + δ] \ { }, niin rj-rvo on olemss täsmälleen silloin, kun lim f () = L 3.4 Lskusääntöjä Luse 3.4 Jos niin lim f () = j ( ) lim f () + g() = + b, lim g() = b, lim f ()g() = b, f () lim g() = b ; viimeisen kodll oletetn b (jolloin g() pisteen läellä ). Vstvt tulokset ovt voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. lim f () = + lim f () = L. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 53 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 54 / 26 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite I Luse 3.5 Jos lim f () = lim g() = L j f () () g() kikill < < δ, niin lim () = L. Tämäkin tulos on voimss myös toispuoleisille rj-rvoille. 3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite II Esimerkki 3.6 Osoit, että sin lim =. Rtkisu: Geometrinen trkstelu yksikköympyrän vull (seurv sivu) jot epäytälöön sin < < tn = sin cos, kun < < π/2, joten Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 55 / 26 cos < sin < kikill < < π/2. Kosk cos j luseke (sin )/ ovt prillisi, niin sm epäytälö on voimss kikill < < π/2. Kosk cos cos =, kun, niin väite seur suppiloperitteest. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 56 / 26
3.4 Funktion rj-rvon suppiloperite III 3.4 Jtkuvuus j rj-rvo sin tn Luse 3.7 Jos funktion f määrittelyjoukko M f on väli, niin funktion f jtkuvuus pisteessä M f on ytäpitävää sen knss, että lim f () = f ( ). sin < < tn Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 57 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 58 / 26 3.4 Funktion jtkminen 3.4 Rj-rvon yleistykset Jos f : A R on jtkuv, A on joukon A ksutumispiste j lim f () = L, niin voidn määritellä uusi funktio f : A R, A = A { }, settmll { f (), kun A, f () = L, kun =. Tällöin f on jtkuv. Usein merkitään iukn epätäsmällisesti f = f. Esimerkki 3.8 Funktio f () = on jtkuv koko relikselill. { sin,,, =, Myös seurvt käsitteet voidn määritellä täsmällisesti: Esimerkiksi lim f () = ±, lim f () = L, lim ± lim f () =, f () = ±, jne. ± jos pätee: Jokist M R vst sellinen δ >, että f () > M in, kun A j < < δ. Rj-rvo lim f () on tärkeä mm. epäoleellisen integrlin yteydessä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 59 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 6 / 26 4. Derivtt Erilisi läestymistpoj: geometrinen (käyrän tngentti seknttien rj-senton) f( ) 4. Derivtn määritelmä Määritelmä 4.2 Oletetn, että funktio f on määritelty jollkin välillä ] δ, + δ[. Sen derivtt pisteessä on f f ( + ) f ( ) f () f ( ) ( ) = lim = lim, + fysiklinen (jst riippuvn funktion etkellinen muutosnopeus). Esimerkki 4. Kppleen -ulotteisen liikkeen pikkkoordintti on = (t) etkellä t. Sen etkellinen nopeus on keskinopeuksien rj-rvo: v(t) = lim t (t + t) (t). t jos rj-rvo olemss. Funktio on derivoituv, jos sillä on derivtt jokisess määrittelyjoukon (= voin väli) pisteessä. Huom yteys: = + =. Merkintöjä: f ( ) = Df ( ) = df d, = f = Df = df d. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 6 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 62 / 26 4. Korkemmn kertluvun derivtt Jos funktion derivtt f () on määritelty jollkin voimell välillä ] δ, + δ[, niin voidn tutki funktion f erotusosmäärää pisteessä. Näin sdn toisen kertluvun derivtt f ( ) = D 2 f ( ) = d 2 f d 2. = Jtkmll smn tpn voidn määritellä korkemmn kertluvun derivtt f (), f (4) (),... Merkintä: C n( ], b[ ) = {f : ], b[ R f on n kert derivoituv välillä ], b[ j f (n) on jtkuv} Tällisi funktioit kutsutn n kert jtkuvsti derivoituviksi. 4. Linerisointi j differentili Derivtn määritelmä jot pproksimtioon f ( ) f () f ( ) f () f ( ) + f ( )( ) Oiken puoleinen luseke on funktion f linerisointi eli differentili pisteessä. Sille käytetään merkintää df. Linerisoinnin kuvj y = f ( ) + f ( )( ) on funktion kuvjn pisteeseen (, f ( )) setettu tngenttisuor. Differentilin merkitys tulee premmin esille vst usen muuttujn funktioiden yteydessä. Myöemmin käsitellään funktion f pproksimointi myös korkemmn steen polynomien vull (Tylor-polynomi). Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 63 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 64 / 26
4. Derivtn fysiklinen tulkint Jos = (t) on kppleen yksiulotteisen liikkeen pikkkoordintti etkellä t, niin sen etkellinen nopeus on v(t) = (t) = ẋ(t). Näistä viimeinen on tvllinen merkintä fysiikss. Vstvll tvll (t) = v (t) = (t) = (t).. on kppleen etkellinen kiityvyys. Yleisemmin: Ajst riippuvn funktion f (t) etkellinen muutosnopeus on f (t). Esimerkki: f (t) = lämpötil etkellä t, jolloin f (t) = lämpötiln muutosnopeus etkellä t (yksikkönä esim. C/s). 4.2 Lskusääntöjä Linerisuus D ( f () + g() ) = f () + g () D ( cf () ) = cf (), kun c R on vkio Tulon derivoimissääntö D ( f ()g() ) = f ()g() + f ()g () Osmäärän derivoimissääntö ( ) f () D = f ()g() f ()g () g() g() 2, g() Ydistetyn funktion derivoimissääntö D ( f (g()) ) = f ( g() ) g () Tälle käytetään nimitystä ketjusääntö = Cin Rule; nimen tust liittyy osittisderivttoiin, joist lisää kurssill Differentili- j integrlilskent 2. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 65 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 66 / 26 4.2 Eräitä derivttoj Erikoistpuksen perustelu D(vkiofunktio) = D( r ) = r r, r D(sin ) = cos, D(cos ) = sin D(tn ) = + tn 2 = cos 2, kun π/2 + nπ De = e, D ln = /, kun (näiin pltn myöemmin) Esimerkki 4.3 Jod funktion f () = 2 derivtt kodss. Rtkisu: Erotusosmäärä on sievennettynä f ( + ) f ( ) = ( + ) 2 2 = 2 +, = 2 + 2 + 2 2 joten rjll sdn derivtksi f ( ) = 2. Derivttfunktion luseke on siis muoto f () = 2, kun R. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 67 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 68 / 26 Hnklmpi perustelu I Esimerkki 4.4 Jod funktion f () = sin derivtt kodss. Rtkisu: Erotusosmäärä sdn yteenlskukvn vull muotoon sin( + ) sin( ) = sin cos + cos sin sin sin = cos + sin cos. Kosk (perustelut ikisemmin/seurvll sivull) sin cos lim = j lim =, niin derivtksi sdn f ( ) = cos + sin = cos. Hnklmpi perustelu II Rj-rvo sin lim = jodettiin ikisemmin geometrisesti j suppiloperitteen vull. Kosk (muist sin 2 + cos 2 = ) cos = (cos )(cos + ) (cos + ) = cos2 (cos + ) = sin sin cos + 2 =, kun, niin sdn jälkimmäinen rj-rvo. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 69 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 7 / 26 4.2 Esimerkkejä Käytännössä derivtt voidn lske lskusääntöjen j tunnettujen derivttojen vull: D ( 3 4 2 + 6 ) = 3 2 8 D ( + 5 2 ) = 2 ( + 5 2 ) /2 D( + 5 2 ) = 5 + 5 2 D ( 2 cos(3) ) = D( 2 ) cos(3) + 2 D ( cos(3) ) = 2 cos(3) + 2( sin(3) D(3) ) = 2 cos(3) 3 2 sin(3) D ( sin(/) ) = cos(/)d(/) = cos(/) ( / 2 ) = cos(/)/ 2, kun 4.3 Yleisiä tuloksi I Olkoon f : [, b] R. Luse 4.5 Jos f on derivoituv pisteessä ], b[, niin se on jtkuv pisteessä. Perustelu: Seur derivtn määritelmästä, kosk f ( + ) f ( ) = f ( ) + ε(, ) f ( + ) f ( ) = f ( ) + ε(, ) f ( + ) = f ( ) + f ( ) + ε(, ) lim f ( + ) = f ( ). Tässä ε(, ) on rj-rvoon liittyvä viretermi, jolle ε(, ), kun. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 7 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 72 / 26
4.3 Yleisiä tuloksi II Luse 4.6 (Rollen luse) Jos f on derivoituv pikllisess äärirvodss ], b[, niin f ( ) =. Perustelu: Erotusosmäärän toispuoleiset rj-rvot ovt erimerkkiset pikllisess äärirvokodss, esim. piklliselle mksimille f ( + ) f ( ) f ( + ) f ( ) = negtiivinen positiivinen = negtiivinen negtiivinen, kun >,, kun < j on niin pieni, että f ( ) on mksimi välillä [, + ]. 4.3 Välirvoluse I Luse 4.7 Jos f on jtkuv välillä [, b] j lisäksi derivoituv voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen piste c ], b[, että f (c) = f (b) f (), ts. f (b) f () = f (c)(b ). b y y = f ( ) c b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 73 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 74 / 26 4.3 Välirvoluse II 4.3 Välirvoluseen seuruksi Välirvoluseen todistus: Sovelletn Rollen lusett pufunktioon g() = f () f (b) f () ( ) f (), b jok toteutt g() = g(b) =. Sen pikllisess äärirvokodss c ], b[ pätee g (c) = f (b) f () = f (c)(b ). y jnn pituus = g() y = f ( ) Jos f () = kikiss voimen välin pisteissä, niin f on vkiofunktio tällä välillä. Jos f () jollkin välillä, niin f on ksvv tällä välillä; jos f () jollkin välillä, niin f on väenevä tällä välillä. Jos edellisen kodn lisäksi f () = inostn yksittäisissä pisteissä, niin f on idosti ksvv/väenevä. Esimerkki: f () = 3. b Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 75 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 76 / 26 4.3 L Hospitlin sääntö I Rj-rvojen lskeminen derivtn vull; erilisi versioit mm. tyyppiä / ti / oleville rj-rvoille; myös toispuoleisille. Tärkein tpus: Luse 4.8 Oletetn, että f ( ) = g( ) = j funktiot f, g ovt derivoituvi jollkin välillä ] δ, + δ[. Jos on olemss, niin f () lim g () f () lim g() = lim f () g (). 4.3 L Hospitlin sääntö II Perustelu: Erikoistpuksess g ( ) perustelu on lyyt: f () g() = f () f ( ( ) f () f g() g( ) = ( ) ) /( ) ( g() g( ) ) /( ) f ( ) g ( ). Yleisessä tpuksess trvitn ns. yleistettyä välirvolusett, jonk mukn f () g() = f (c) g (c) josskin pisteessä c ], [. Tällöin osoittjss j nimittäjässä on sm piste c, joten edes derivttojen jtkuvuutt ei trvit! Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 77 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 78 / 26 4.3 L Hospitlin sääntö III Esimerkki 4.9 sin(4) Lske rj-rvo lim. Rtkisu: Kosk sin(4)/ on muoto / kodss =, niin voidn (yrittää) sovelt L Hospitlin sääntöä: sin(4) 4 cos(4) lim = lim = 4. Kosk derivoidull muodoll on rj-rvo 4, niin lsku on pätevä. Huom. : Jos derivoitu rj-rvo on edelleen muoto /, niin sääntöä voidn yrittää käyttää toisen (ti usemmn) kerrn. Huom. 2: Muoto / on in trkistettv: cos sin lim lim =. 4.3 Äärirvotetävät I Seurvss A R on väli. Funktioll f : A R on pikllinen mksimi/minimi pisteessä A, jos on funktion f mksimi-/minimikot jollkin välillä A [ δ, + δ]. Pikllinen äärirvo = pikllinen mksimi ti minimi; voi esiintyä myös määrittelyvälin päätepisteessä. Pikllinen äärirvo voi tull (i) derivtn nollkodss (ii) määrittelyvälin päätepisteessä, ti (iii) sellisess kodss, joss funktio ei ole derivoituv. Jos tiedetään etukäteen, että funktioll on mksimi/minimi, niin etsitään kikki mdolliset piklliset äärirvokodt (vrt. edellinen), lsketn niissä funktion rvot j vlitn näistä suurin/pienin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 79 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 8 / 26
4.3 Äärirvotetävät II 4.3 Kuperuus Esimerkki 4. Määritä funktion f : [, 2] R, f () = 3 6, suurin j pienin rvo. Rtkisu: Kosk kyseessä on suljetull välillä jtkuv funktio, niin sillä on mksimi j minimi. Kosk funktio on derivoituv, niin riittää tutki välin päätepisteet j ne derivtn nollkodt, jotk ovt määrittelyvälin sisällä. Derivtn nollkodt: f () = 3 2 6 = = ± 2. Kosk 2 [, 2], niin lsketn rvot f () =, f ( 2) = 4 2, f (2) = 4, joist voidn vlit funktion pienin rvo 4 2 j suurin rvo. Kuper eli konveksi lue D R 2 : jos, y D, niin myös niiden välinen ydysjn [, y] D Välillä I R määritelty funktio on kuper eli konveksi, jos sen kuvjn yläpuolinen tsolue on kuper; tään riittää se että kuvjlle piirretyt sekntit ovt in kuvjn yläpuolell, kvn f ( ( t) + ty ) ( t)f () + tf (y), kun, y I, t [, ]. Erityisesti: jos f () koko välillä, niin f on konveksi Funktion käännepiste: kot, joss kuvjll on tngentti j funktion kuperuussuunt vituu. Esimerkiksi, jos f () vit merkkiä. Jos funktion f derivtn nollkodss on f ( ) <, niin kyseessä on pikllinen mksimi; jos f ( ) >, niin kyseessä on pikllinen minimi. Tpuksess f ( ) = tilnnett täytyy tutki trkemmin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 8 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 82 / 26 5. sin-funktio j polynomit 5. Tylor-polynomi I Esimerkki 5. Verrtn funktion sin kuvj (puninen) polynomien 3 3! + 5 5! + ( )n 2n+ (2n + )! kuvjiin (sininen), kun n =, 4, 8, 2. Tylor-polynomi P n (; ) = funktion prs n-steinen polynomipproksimtio (derivoinnin knnlt) pisteen läellä. Mclurin-polynomi: tpus =. Jos f on n kert derivoituv pisteessä, niin polynomill P n () = P n (; ) = f ( ) + f ( )( ) + f ( ) ( ) 2 + 2! + f (n) ( ) ( ) n n! n f (k) ( ) = ( ) k k! on pisteessä smt derivtt kuin f :llä kertlukuun n skk. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 83 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 84 / 26 5. Tylor-polynomi II 5. Tylor-polynomi III Tylorin kv: Jos derivtt f (n+) on olemss j se on jtkuv funktio jollkin välillä I =] δ, + δ[, niin f () = P n (; ) + E n () j viretermille E n () pätee E n () = f (n+) (c) (n + )! ( ) n+ josskin pisteessä c [, ] I. Jos on olemss indeksistä n riippumton vkio M, jolle f (n+) () M kikill I, niin tällöin kun n. E n () M (n + )! n+, Kvn todistus sivuutetn (induktio ti integrlin vull). Eräitä Mclurin-polynomipproksimtioit: n + + 2 + + n = k e + + 2! 2 + 3! 3 + + n n! n k = k! ln( + ) 2 2 + n 3 3 + ( )n n ( ) k = k n k k= sin 3! 3 + n 5! 5 + ( )n (2n + )! 2n+ ( ) k = (2k + )! 2k+ cos 2! 2 + 4! 4 + ( )n (2n)! 2n = n ( ) k (2k)! 2k Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 85 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 86 / 26 5. Tylor-polynomi IV 5.2 Newtonin menetelmä I Esimerkki 5.2 Kuink mones polynomi P n () pproksimoi funktiot sin välillä [ π, π] niin yvin, että vireen itseisrvo on lle 6? Rtkisu: Käytetään Tylorin kv tpuksess f () = sin j =. Tällöin f (n+) (c) j tutkittvll välillä pätee π. Vtimus toteutuu, jos E n () (n + )! πn+ < 6. Epäytälö täytyy rtkist kokeilemll: se toteutuu rvoill n 6. Vdittu trkkuus svutetn siis polynomill P 6 (), jok on tässä tpuksess sm kuin P 5 (). Trkistus kuvjist: P 3 () ei riitä, joten teoreettinen ylärj on trkk! Ensimmäisen steen Tylor-polynomi P () = f ( ) + f ( )( ) on sm kuin funktion f linerisointi pisteen suteen. Sitä voidn käyttää erilisiss rvioiss j numeerisiss menetelmissä. Newtonin menetelmä: Ytälö f () = rtkistn likimääräisesti vlitsemll lkupiste (esimerkiksi kuvion perusteell) j määrittelemällä n+ = n f ( n) f ( n ), kun n =,, 2,... Näin sdn lukujono (,, 2,... ), jonk termit yleensä ntvt yä prempi likirvoj funktion f nollkodlle. Plutuskv perustelln geometrisesti etsimällä funktion nollkot sen linerisoinnin (eli tngentin) vull. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 87 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 88 / 26
5.2 Newtonin menetelmä II Esimerkki 5.3 Määritä luvun 2 likirvo käyttämällä Newtonin menetelmää. Rtkisu: Käytetään Newtonin menetelmää funktiolle f () = 2 2 j lkurvo = 2. Plutuskv tulee muotoon n+ = n n 2 2 = ) ( n + 2n, 2 n 2 jost sdn =,5, 2,4667, 3,44257 jne. Kokeilemll todetn, että oikeiden desimlien lukumäärä suunnilleen kksinkertistuu jokisell skeleell j 7 tuott jo läes desimli oikein, kunn välivieet lsketn riittävällä trkkuudell. 5.3 Tylor-srj I Jos Tylorin kvn viretermi E n () läestyy noll, kun n ksv, sdn Tylor-polynomin rj-rvon funktion f Tylor-srj (= Mclurin-srj, jos = ). Tylor-srj on siis muoto f (k) ( ) ( ) k = lim k! n n f (k) ( ) ( ) k. k! Tämä on esimerkki yleisestä potenssisrjst, joit esiintyy monien lkeisfunktioiden yteydessä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 89 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 9 / 26 5.3 Tylor-srj II Tylor-srj voidn muodost in, kun funktioll f on kikkien kertlukujen derivtt pisteessä j ne sijoitetn ym. kvn. Tään liittyy kuitenkin kksi ongelm: Suppeneeko Tylor-srj kikill muuttujn rvoill? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktion f () = Mclurin-srj (= geometrinen srj) suppenee vin rvoill < <, vikk funktio on derivoituv kikill : f () = = + + 2 + 3 + 4 +... 5.3 Tylor-srj III Jos srj suppenee jollkin, niin onko srjn summ sm kuin f ()? Vstus: Ei in; esimerkiksi funktiolle { e / 2,, f () =, =, pätee f (k) () = kikill k N (nkl, mutt peritteess lkeellinen lsku). Näin ollen sen Mclurin-srj on identtisesti noll j suppenee koti rvo f () inostn pisteessä =. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 9 / 26 Jotopäätös: Tylor-srjoj pitäisi tutki trksti viretermien jms. vull. Käytännössä srjoj muodostetn käyttämällä pun muutmi tunnettuj srjkeitelmiä. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 92 / 26 5.3 Tylor-srj IV Esimerkkejä (eksponenttifunktioon pltn vielä myöemmin): = e = sin = cos = k, < k! k, R ( ) k (2k + )! 2k+, R ( ) k (2k)! 2k, R ( + ) r = + k= r(r )(r 2)... (r k + ) k, < k! 5.3 Tylor-srj V Viimeinen on nimeltään binomisrj j se on voimss kikill r R. Jos r = n N, niin srjn kertoimet ovt nolli summusindeksistä k = n + lätien, j lkuosn kertoimet ovt muoto ( n k ) = n! k!(n k)! n(n )(n 2)... (n k + ) =. k! Vert binomikvn: n ( ) n ( + b) n = n k b k = n + n n b + + b n, k kun n N. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 93 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 94 / 26 5.4 Potenssisrj I 5.4 Potenssisrj II Potenssisrj on muoto c k ( ) k = lim n n c k ( ) k olev srj. Piste on srjn keskus j luvut c k srjn kertoimi. Srj suppenee rvoll, jos yllä olev rj-rvo on määritelty. Tämän suteen on vin kolme erilist tpust: srj suppenee vin rvoll = (jolloin srjss esiintyy vin vkiotermi c ) srj suppenee kikill R srj suppenee jollkin välillä ] R, + R[ (j mdollisesti ydessä ti molemmiss päätepisteissä), mutt jntuu muill :n rvoill. Luku R on potenssisrjn suppenemissäde. Sopimus: R = ti R = muiss tpuksiss. Esimerkki 5.4 Millä muuttujn rvoill potenssisrj k 2 k k suppenee? Rtkisu: Tutkitn suppenemist sudetestin vull, kun k = k k /2 k. Tällöin k+ k = (k + ) k+ /2 k+ k k /2 k = k + 2k 2, k= kun k. Sudetestin perusteell srj suppenee, kun /2 <, j jntuu, kun /2 >. Rjtpuksiss /2 = = ±2 srjn yleinen termi ei läesty noll, joten srj jntuu. Tulos: Srj suppenee välillä 2 < < 2 j jntuu muulloin. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 95 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 96 / 26
5.4 Potenssisrj III Suppenemisvälillä I tulee siis määriteltyä funktio f : I R, f () = c k ( ) k, () jok on nimeltään srjn summfunktio. Potenssisrjn summfunktio f on välillä ] R, + R[ jtkuv j derivoituv. Lisäksi derivtn f () voi lske derivoimll srj () termeittäin: f () = kc k ( ) k. k= Huom, että vkiotermi c derivoituu pois eli summ lk indeksistä k =. Lisäksi derivoitu srj suppenee smll välillä ] R, + R[; tämä on iemn yllättävää (?) kertoimen k vuoksi. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 97 / 26 5.4 Potenssisrj IV Esimerkki 5.5 Määritä potenssisrjn + 2 + 3 2 + 4 3 +... summfunktio. Rtkisu: Tutkittv srj on stu derivoimll termeittäin geometrinen srj, jonk sudelukun on muuttuj. Näin ollen + 2 + 3 2 + 4 3 +... = D( + + 2 + 3 + 4 +... ) = d ( ) = d ( ) 2. Kertomll tulos puolittin muuttujll sdn mm. todennäköisyyslskennss geometriseen jkumn liittyvä summkv k k = + 2 2 + 3 3 + 4 4 + = ( ) 2, k= jok on voimss rvoill <. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 98 / 26 5.4 Potenssisrj V Tpuksess [, b] ] R, + R[ potenssisrjn () voi myös integroid termeittäin: f () d = c k ( ) k d. Usein integrointi voidn ulott myös suppenemisvälin päätepisteeseen skk, mutt tämä ei in pidä pikkns. Tilnnett täytyy siis tutki tpuskotisesti. 5.4 Potenssisrj VI Esimerkki 5.6 Lske vuorottelevn rmonisen srjn summ. Rtkisu: Sijoitetn luksi geometrisen srjn sudeluvuksi q =, jolloin sdn + 2 3 + 4 = ( ) = +. Integroimll kvn molemmt puolet välillä sdn luttu tulos 2 + 3 4 + = = ln 2. + Tässä integroinnin ulottminen suppenemisvälin päätepisteeseen = pitäisi perustell trkemmin. Integrliin j logritmiin pltn myöemmin kurssill. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 99 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 / 26 6. Funktio I 6. Funktio II Tämä luku sisältää trkennuksi j lisäyksiä funktioiin liittyviin käsitteisiin. Kikki koti ei käsitellä luennoll, mutt osn niistä pltn trvittess myöemmin. Funktio f : A B on sääntö, jok liittää jokiseen joukon A lkioon täsmälleen yden B:n lkion b. Merkitään b = f (). Tässä A = M f on f :n määrittelyjoukko j B on f :n mlijoukko. Funktion f rvojoukko (eli kuvjoukko) on B:n osjoukko f [A] = {f () A}. Esimerkiksi funktion f : R R, f () = 2, mlijoukko on R, mutt sen rvojoukko on f [R] = [, [. Edellisen esimerkin funktio voidn toki määritellä suorn muodoss f : R [, [, f () = 2, jolloin rvojoukko on sm kuin mlijoukko. Näin voidn peritteess menetellä kikkien funktioiden kodll, mutt se ei yleensä ole käytännöllistä. Esimerkki: Yritä tedä sm funktiolle f : R R, f () = 6 + 2 +, R. Jos funktion määrittelyjoukko A R, niin kyseessä on yden muuttujn funktio, joit tällä kurssill käsitellään. Jos A R n, n 2, niin kyseessä on usen muuttujn funktio, joit käsitellään kursseill Differentili- j integrlilskent 2 3. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 2 / 26 6.2 Käänteisfunktio I 6.2 Käänteisfunktio II Funktio f : A B on injektio, jos eri pisteissä sdn eri rvot, ts. 2 f ( ) f ( 2 ), ts. f ( ) = f ( 2 ) = 2. surjektio, jos rvojoukko on sm kuin mlijoukko, ts. f [A] = B. bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom: Funktiost tulee surjektio, kun mlijoukko kutistetn mdollisimmn pieneksi, eli jätetään pois kikki ne pisteet, jotk eivät ole funktion rvoj. Toinen tp määritellä nämä käsitteet perustuu ytälön rtkisujen lukumäärän tutkimiseen: Jos y B on kiinteä, niin ytälöllä y = f () on korkeintn yksi rtkisu A, jos f on injektio inkin yksi rtkisu, jos f on surjektio täsmälleen yksi rtkisu, jos f on bijektio. Jos f : A B on bijektio, niin sillä on käänteisfunktio f : B A, jok määräytyy edost y = f () = f (y). Käänteisfunktiolle pätee f (f ()) = kikill A j f (f (b)) = b kikill b B. Käänteisfunktion kuvj on lkuperäisen kuvjn peilikuv suorn y = suteen. Perustelu: piste (, b) on funktion f kuvjll b = f () = f (b) piste (b, ) on funktion f kuvjll. Lisäksi opertion (, b) (b, ) geometrinen tulkint on peilus suorn y = suteen. Jos A R j f : A R on idosti monotoninen, niin funktioll f : A f [A] on käänteisfunktio. Jos yllä A on väli j f on jtkuv, niin myös f on jtkuv joukoss f [A]. Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 3 / 26 Pekk Alestlo (Alto-yliopisto PerustieteidenMS-AX korkekouludifferentili- Mtemtiiknjj integrlilskent systeeminlyysin litos) 6.9.27 4 / 26