S-11435, Fyskka III (ES) Tentt 194 1 Setsemän tunnstettavssa olevaa hukkasta on jakautunut kahdelle energatasolle Ylem taso on degenerotumaton ja sen energa on 1, mev korkeam kun alemman tason, joka uolestaan on kahdest degenerotunut Ylemmällä tasolla on kaks hukkasta a) Krjota systeemn arttofunkto b) Laske systeemn ssäenerga ja entroa c) tosta kohdat (a) ja (b) systeemlle, jossa ylem taso on kaksnkertasest degenerotunut ja alem taso degenerotumaton tasojen energaväln ja mehtyksen ollessa sama kun edellä 7, E 1 E, g 1, n 1 - n 5; E ε, g 1, n ; ε 1, mev, a) E ( ) 11,6 / E +ε ε E E/ E/ Z g 1 K T e e + e e + e e + e U ne 5 E+ E+ 7E+,meV b) Ssäenerga on ( ε ) n g Määrtelmän mukaan S kln P, P! Partton todennäkösyydeks saadaan nyt n! P 7 5 1 5! 37 S k ln3+ ln7+ 5ln 651, k 5!! c) E 1 E, g 1 1, n 1 5; E ε, g, n 1 6 ( E+ ε ) ε 11,6 K E/ E/ E/ Z e e e 1 e + + e 1+ e T 1 6 P 7 1 5! 374 S k ln3+ ln7+ ln 4 443, k 5!! Jänntys metalltangossa kasvaa arvosta σ 1 arvoon σ sotermsen rosessn akana Jos kmmokerrronta E vodaan tää vakona osota, että ulkosen voman tekemä työ saadaan V lausekkeesta Wext ( 1 ) E σ σ, mssä V on sauvan tlavuus L L Venymälle sotermsessä tlanmuutoksessa saadaan dl α LdT + df df AE AE Ulkosen voman tekemä työ saadaan ntegromalla δ W FdL : ext
L F F 1 1 1 ( 1 ) FL L L Wext FdL df FdF F F AE AE AE L F F mssä sauvan venymä oletettn nn eneks, että tekjää L/ ( ) Sjottamalla louks F Aσ ja V AL saadaan W V( σ σ )/( E) ext AE vodaaan tää vakona 1 3 Astassa on,1 µmol vetyä ( ) ja 1, µg tyeä ( ) Seoksen lämötla on 373 K ja ane,133 Pa Määrtä a) astan tlavuus, b) vedyn ja tyen osaaneet ja c) molekyylen lukumäärä cm 3 :ssä kaasua Merktään ν,1 µmol, m 1, µg, T 373 K,,133 Pa Oletetaan kaasu deaalkaasuks Kumkn seoksen kaasu toteuttaa erkseen deaalkaasun tlanyhtälön: m V ν RT V ν RT RT, (1) M mssä M 8, g mol on tyen moolmassa ja ja ovat vedyn ja tyen osaaneet a) Daltonn lan mukaan + () Yhtälöstä (1) ja () saadaan astan tlavuuden ratkasemseks m RT m RT + ν + V ν + M V M J 8,314 373 K 1, 1 g mol K 3 3 3 V,1 1 mol + 3,164 1 m 3,16 dm 8, g mol,133 Pa b) (1) ja () J ν RT,1 1 mol 8,314 373 K mol K 9,81 1 Pa 98, mpa V -3 3 3,164 1 m ( ) -,1339,81 1 Pa 3,4995 1 Pa 35, mpa c) Molekyylen kokonaslukumäärä on + Moolssa on Avogadron luvun lmottama määrä molekyylejä, joten molekyyln kokonaslukumäärä astassa on m 1, 1 ν +,1 1 mol 6, 1 mol 8,173 1 A + M 8, 6 3-1 16 Molekyylen lukumäärätheys on sten 16 8,173 1 n,58 1 cm V 3 3 3,164 1 cm 13-3 4 Vakuumsälön ane on 133 Pa ja lman ane sälön ulkouolella 1, bar Lämötla sälössä ja sen ulkouolella on 3 K Sälössä on neulanrekä, jonka nta-ala on
1 1 cm Oleta, että jokanen rekään osuva molekyyl vuotaa sälön ssään a) Kunka monta molekyylä vuotaa sälöön tunnssa? b) Jos sälön tlavuus on, ltraa, mkä on ane sälössä tunnn kuluttua? c) Osota, että ulos vuotaven molekyylen osuus on merktyksetön Ohje: Käytä molekyylvuon lauseketta ( 4) v ave n mssä n molekyylen theys a) Aukkoon ulkouolelta osuven molekyylen vuo on φ ( 4) Anvave, mssä v ave on noeuden tsesarvon keskarvo, n molekyylen lukumäärä ulkona tlavuusykskköä kohden (theys) ja A aukon nta-ala Molekyylen theys ulkona on n, 414 1 5 m 3 Molekyylen noeuden keskarvolle ätee v 8 ave 468m/s, mssä käytmme lmalle π m keskmäärästä moolmassaa m 9 amu Kaasusälöön vrtaa ss tunnssa t φ 1, 1 17 molekyylä b) Tästä aheutuva aneen lsäys on ' ' n, 11Pa ja kokonasane tunnn kuluttua olettaen, ette ulosvrtaavlla molekyylellä ole merktystä, 344Pa c) Koska lämötla sälön ssällä ja ulkouolella on sama, aukon lä vrtaaven molekyylen lukumäärä on suoraan verrannollnen ane-eroon aukon er uollla Koska ane ulkona on tekjällä 1 5 suurem kun ssällä e ulos vuotavlla molekyylellä ole merktystä 5 Eräässä systeemssä hukkasten salltut energat ovat, 1ε, ε, 3ε, a) Osota, että systeemn arttofunkto (g 1 ) on Z ( 1 e ε ) 1 b) Laske hukkasten keskmääränen energa, kun ε << MB-arttofunkton määrtelmän mukaan nε / n, (1) Z e x n n ε / mssä x e, x 1 Tämä on sueneva geometrnen sarja, jonka summa on (1 x) Parttofunkto vodaan ss krjottaa / 1 Z (1 e ε ) () Kuten oetusmonsteen luvussa 3 (yht 39) on osotettu kokonasenerga saadaan yhtälöstä d U kt (ln Z) (3) dt Sjottamalla ε / d ( ε / ) e ε 1 ln Z dt ε/ ε / 1e e 1, (4) joten ssäenergaks saadaan
1 U ε e ε / 1 (5) Korkessa lämötlossa ε / on en, joten eksonenttfunkto vodaan kehttää Taylorn ε / sarjaks Jos otamme kaks ensmmästä termä e 1 + ε / saamme keskmääräseks E U / energaks ( ) ave 6 Seltä, kunka mttaamalla äänen noeus kaasussa, vodaan määrätä kaasun adabaattvako Eräälle kaasulle mtattn äänen noeuden lämötlaruvuudeks,55t m/s Kaasumolekyylen efektvnen moolmassa ol 9 g/mol Mtä tämän erusteella votn sanoa molekyylen rakenteesta? Aaltolkeon yhteydessä on johdettu kaasussa etenevän äänaallon noeudelle lauseke v κρ (1) mssä 1 κ V () V P S on adabaattnen kokoonurstuvuus Tässä tarkastelussa uhutaan adabaattsesta kokoonurstuudesta sks, että äänaallon värähtelyt taahtuvat nn noeast, ette kaasussa ehd taahtua lämmön srtymstä kaasun er osen välllä Kaasun laajenemnen ja sustumnen taahtuu ss adabaattsest (lämöerstetyst) Oletetaan, että kaasua on yks mool ja merktään tlavuutta V m ja massaa M Tällön a Vm a À Vm Dervomalla aneen suhteen (adabaattsuus entroa vako kaasussa) V 1 a V m 1 S Adabaattnen kokoonurstuvuus on ss (sjottamalla yht ) κ ρ M/ V m, joten noeudeks saadaan yhtälöstä (1) 1 Theydelle ätee M c V m 1 / RT Käyttämällä velä tlanyhtälöä Vm RT saadaan loutulokseks c M R Vertaamalla tätä tehtävän antamaan lausekkeeseen saadaan, 55 M Ratkasemalla adabaattvako ja sjottamalla M 9 g saadaan 14, Tämä vastaa kaksatomsta kaasua jolla on vs aktvsta vaausastetta VAKIOITA
31 7 7 7 e n m 9,191 1 kg m 1, 675 1 kg m 1, 6748 1 kg amu 1, 665 1 kg 19 8 34 4 1 c µ B e 1, 61 1 C, 9979 1 m/s 1, 545 1 Js 9, 73 1 JT 1-1 - Ke Km ε 8,8544 1 C m 4πε µ 1, 566 1 mkgc µ / 4π 11 3 1-1 -1-3 1 A 6, 67 1 m kg 6, 5 1 mol R 8, 3143 JK mol k1,385 1 JK