Kuvien ehostus taajuustasossa

Luku 4 Kuvien ehostus taajuustasossa Ranskalainen matemaatikko Jean Babtiste Joseph Fourier esitti 1807, että mikä tahansa jaksollinen funktio voidaan esittää eritaajuisten sinien ja kosinien painotettuna summana. Tämä summa tunnetaan nykyisin Fourier-sarjana. Fourier n keksintö oli niin vallinneet ajattelutavat mullistava, että vasta yli vuosisata myöhemmin se hyväksyttiin maailmanlaajuisesti matemaatikoiden keskuudessa. Kuvassa 4.1 on yksiulotteisesta tapauksesta esimerkki, jossa on sinien ja kosinien summana saatu alimpana esitetty jaksollinen funktio. Myös sellaiset funktiot, jotka eivät ole jaksollisia, mutta joiden integraali on äärellinen, voidaan esittää painofunktiolla kerrottujen sinien ja kosinien summana. Tämä tunnetaan Fourier-muunnoksena ja sen käyttöarvo sovelluksissa on Fouriersarjoja suurempi. Fourier-sarja ja -muunnos ovat erityisen hyödyllisiä siksi,että niiden avulla aika- tai tilatason funktio voidaan esittää Fourier-tasossa eli taajuustasossa, josta voidaan palata käänteismuunnoksella takaisin funktion alkuperäiseen esitysmuotoon hävittämättä mitään informaatiota tämän prosessin aikana. Signaalinkäsittelylle erityisen tärkeää oli diskreetin Fourier-muunnoksen (DFT) toteuttavan nopean Fourier-muunnosalgoritmin (FFT) keksiminen 1950-luvulla. Kuva 4.1: Alin funktio on saatu neljän ylemmän funktion summana.

46 Digitaalinen kuvankäsittely I 4.1 Fourier-muunnos Jatkuvalle yhden muuttujan funktiolle f(x) Fourier-muunnos määritellään kaavalla F (u) = f(x)e j2πux dx, missä j = 1 on imaginaariyksikkö. Tästä päästään takaisin alkuperäiseen funktioon f(x) käänteisellä Fourier muunnoksella f(x) = F (u)e j2πux du. Edelliset kaksi yhtälöä muodostavat Fourier-muunnosparin jatkuvalle yksiulotteiselle tapaukselle. Näissä kaavoissa ei esiinny siniä eikä kosinia, mutta ne saadaan eksponenttifunktiosta Eulerin kaavalla e jθ =cosθ+j sin θ. Kahden muuttujan jatkuvaaikainen Fourier-muunnos saadaan kaavasta F (u, v) = ja käänteismuunnos saa tässä tapauksessa muodon f(x, y) = f(x, y)e j2π(ux+vy) dxdy F (u, v)e j2π(ux+vy) dudv. Digitaalisessa kuvankäsittelyssä jatkuvia funktioita enemmän kiinnostavat diskreetit funktiot. Diskreetille yhden muuttujan funktiolle f(x), x = 0, 1,..., M 1, Fouriermuunnos on F (u) = 1 M M 1 x=0 f(x)e j2πux/m, u =0, 1,...,M 1. Tämä ondiskreetti Fourier-muunnos (DFT) ja sen käänteisoperaatio on käänteinen diskreetti Fourier-muunnos (IDFT), jokamääritellään f(x) = M 1 u=0 F (u)e j2πux/m, x =0, 1,...,M 1. Tälle Fourier-muunnosparille ekvivalentti muoto saadaan siirtämällä kerroin 1/M muunnoksesta käänteismuunnokseen tai asettamalla kummallekin kaavalle kerroin 1/ M.Kutenf(x), niin myös F (u) on nyt siis diskreetti funktio. Kaksiulotteisessa diskreetissä tapauksessa M N kuvalle f(x, y) Fourier-muunnospari on F (u, v) = f(x, y) = 1 MN M 1 x=0 M 1 N 1 u=0 v=0 N 1 f(x, y)e j2π(ux/m+vy/n), y=0 F (u, v)e j2π(ux/m+vy/n), u = 0, 1,...,M 1, v = 0, 1,...,N 1, x = 0, 1,...,M 1, y = 0, 1,...,N 1.

4.1 Fourier-muunnos 47 Tässä jälleen vakiokerroin voi olla jaettu muunnosparille muullakin tavoin, kunhan vakiokertoimien tulona saadaan 1/(MN). DFT on näytteistetty versio jatkuvasta Fourier muunnoksesta, joten se ei sisällä kaikkia taajuuksia. Se sisältää kuitenkin kaikki ne taajuudet, jotka tarvitaan kuvan esittämiseksi taajuustasossa. Fourier-muunnos voidaan ajatella matemaattisena prismana, joka erottelee funktion osiinsa taajuuden mukaan samaan tapaan kuin lasiprisma erottelee näkyvän valon väreihin säteilyn taajuuden mukaan. Kaksiulotteisella diskreetillä Fouriermuunnoksella on mm. seuraavat ominaisuudet: F (u, v) =R(u, v)+ji(u, v) = F (u, v) e jφ(u,v) (kompleksisuus) F (u, v) = R 2 (u, v)+i 2 (u, v) (Fourier-spektri) [ ] φ(u, v) =tan 1 I(u,v) (vaihekulma) R(u,v) P (u, v) = F (u, v) 2 = R 2 (u, v)+i 2 (u, v) (tehospektri) F (0, 0) = 1 M 1 N 1 MN x=0 y=0 f(x, y) (kuvan keskiarvo). Jos kuva f(x, y) on reaalinen, niin voimassa ovat lisäksi seuraavat symmetriaominaisuudet: F (u, v) =F ( u, v) (konjugaattisymmetria) F (u, v) = F ( u, v) (Fourier-spektrin symmetria). Kaksiulotteisen diskreetin Fourier-muunnoksen siirto- eli translaatio-ominaisuudet ovat f(x, y)e j2π(u 0x/M+v 0 y/n) F (u u 0,v v 0 ), (4.1) f(x x 0,y y 0 ) F (u, v)e j2π(ux 0/M +vy 0 /N ), (4.2) missä kaksisuuntainen nuoli kertoo oikean puolen olevan vasemman puolen diskreetin Fourier-muunnoksen. Vastaavasti vasen puoli on oikean puolen käänteinen diskreetti Fourier-muunnos. Tavallisesti Fourier-spektrikuvat näytetään siten, että F (0, 0) on siirretty spektrikuvan keskelle, mikä voidaan toteuttaa muunnosparin (4.1) avulla käyttäen arvoja u 0 = M/2 jav 0 = N/2. Tällöin arvot M ja N rajoitetaan parillisiksi, jotta niiden puolikkaat ovat kokonaislukuja. Tässä tapauksessa josta saadaan muunnosparille muoto e j2π(u 0x/M+v 0 y/n) = e jπ(x+y) =( 1) x+y, f(x, y)( 1) x+y F (u M/2,v N/2). Kuva siis kerrotaan ennen muunnosta funktiolla ( 1) x+y, jolloin taajuustasossa F (0, 0) siirtyy kohtaan (M/2, N/2). Palattaessa tilatasoon käänteismuunnoksella kerrotaan saatu tulos samaten funktiolla ( 1) x+y oikean tuloksen saamiseksi. Tämä

48 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 4.2: 256 256-kokoinen kuva, jossa on 10 5-suorakulmio (vas.), kuvan Fourier-spektri (kesk.) ja sama spektrikuva, kun F (0, 0) on siirretty kohtaan (M/2,N/2)(oik.). origon siirto tekee spektrikuvat havainnollisemmiksi ja helpottaa niiden analysointia ja muokkausta. Kuvassa 4.2 näkyy keskellä, miltä spektrikuva näyttää ilman origonsiirtoa. Oikealla on sama spektrikuva, mutta siinä origo on siirretty kuvan keskelle. Muunnosparista (4.2) nähdään, että siirto tilatasossa vastaa vaiheen muutosta taajuustasossa. Tällä ei ole vaikutusta Fourier-spektriin, koska e j2π(ux 0 /M +vy 0 /N ) =1. Fourier-muunnosoperaattori I[ ] ondistributiivinen yhteenlaskun suhteen I [f 1 (x, y)+f 2 (x, y)] = I [f 1 (x, y)] + I [f 2 (x, y)] ja skaalausinvariantti I [af(x, y)] = ai [f(x, y)]. Näiden ominaisuuksien avulla voidaan kirjoittaa I [af 1 (x, y)+bf 2 (x, y)] = ai [f 1 (x, y)] + bi [f 2 (x, y)] eli Fourier-muunnosoperaattori I[ ] on lineaarinen. Muunnos ei ole distributiivinen kertolaskun suhteen eli yleensä I [f 1 (x, y) f 2 (x, y)] I [f 1 (x, y)] I[f 2 (x, y)]. Kokoskaalaukselle on voimassa yhteys I [f(ax, by)] = 1/ ab F (u/a, v/b).

4.2 Suodatus taajuustasossa 49 Kuvan kierron (rotaation) vaikutus taajuusesitykseen on yksinkertaisinta esittää siirtymällä napakoordinaatistoon. Merkitään x = r cos θ, y = r sin θ, u = ω cos ϕ, v = ω sin ϕ, jolloin tilatasossa uudet muuttujat ovat r ja θ ja taajuustasossa ω ja ϕ. Kierretään kuvaa tilatasossa kulman θ 0 verran, jolloin f(r, θ + θ 0 ) F (ω, ϕ + θ 0 ) eli taajuustasoesitys kiertyy saman kulman θ 0 verran. Vastaavasti kierto taajuustasossa vastaa saman kulman verran kiertoa tilatasossa. Diskreetillä Fourier-muunnoksella saatava taajuustason esitys on jaksollinen (periodinen), joten F (u, v) =F (u + M,v) =F (u, v + N) =F (u + M,v + N). Erityisen tärkeää on huomata, että diskreetin Fourier-muunnoksen määritelmä tuo mukanaan jaksollisuuden myös tilatason funktiolle f(x, y). Kuva ei siis olekaan se äärellinen kaksiulotteinen M N-signaali, joka se todellisuudessa on, vaan ääretön jaksollinen kaksiulotteinen signaali, jossa jaksollisuus on kaavan f(x, y) =f(x + M,y) =f(x, y + N) =f(x + M,y + N) mukainen. Tämä siis tarkoittaa sitä, että M N-kuva on vain yksi jakso jaksollisesta kaksiulotteisesta signaalista. Oikean lopputuloksen saamiseksi on tärkeää ottaa tämä jaksollisuus huomioon tehtäessä taajuustasossa operaatioita, joiden vastineet tilatasossa käyttäisivät laskennassa M N-alueen ulkopuolisia arvoja. Jaksollisuus on otettava huomioon esim. seuraavan aliluvun taajuustason suodatuksessa. 4.2 Suodatus taajuustasossa Fourier-muunnoksen jokainen muunnostermif (u, v) koostuu kaikkien kuvan arvojen eksponenttifunktiolla painotetusta summasta. Tämä tekee mahdottomaksi suorien yhteyksien vetämisen kuvan kunkin komponentin ja taajuustason komponenttien välille. Kuitenkin on mahdollista vetää yleisluontoisia yhteyksiä kuvan tilatasonominaispiirteiden ja taajuustason taajuuskomponenttien välille. Taajuushan voidaan ajatella muutoksen nopeutena ja onkin intuitiivisesti helppoa yhdistää kuvan harmaasävytasojen muutosnopeus taajuuksiin, eli nopeat harmaasävymuutokset korkeisiin taajuuksiin ja hitaat mataliin. Hitaimman muutoksen komponentti löytyy taajuustason origosta (u = v =0).Tämähän vastasi kuvan keskiarvoa. Taajuustason origosta poispäin liikuttaessa taajuus kasvaa. Jos tarkastellaan esimerkiksi huonetta esittävän kuvan spektriä, niin matalilta taajuuksilta löytyvät hitaat harmaasävyvaihtelut huoneen tasaisilla pinnoilla.korkeammilla taajuuksilla puolestaan

50 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 4.3: Kuva (ylh.) ja sen Fourier-spektrikuva (alh.). näkyvät nopeat harmaasävymuutokset esim. huoneessa olevien esineiden reunat ja muut suuret muutokset harmaasävytasossa. Kuvassa 4.3 on esimerkki, josta voi hahmottaa edellisenlaisia yhteyksiä tila- ja taajuustason komponenttien välillä. Tässä kuvan erisuuntaisista reunoista tulevat spektrikomponentit on helppo erottaa toisistaan. Kannattaa huomata, että spektrikuvassa taajuuskomponentit ovat 90 asteen kulmassa kuvassa oleviin niitä vastaaviin reunoihin nähden. Taajuus- ja tilatason komponenttien välisiä yleisiä yhteyksiä voidaan käyttää hyödyksi kuvien taajuustasossa tehtävässä suodatuksessa ja sitä kautta kuvien ehostamisessa. Suotimen impulssivasteen h(x, y) kaksiulotteinen DFT on H(u, v), jota

4.2 Suodatus taajuustasossa 51 kutsutaan suotimen taajuusvasteeksi. Taajuustasossa suodatus tehdään seuraavasti: 1) Kerrotaan kuva f(x, y) funktiolla ( 1) x+y Fourier-muunnoksen keskittämiseksi. 2) Lasketaan kohdassa 1) saadun kuvan DFT F (u, v). 3) Kerrotaan F (u, v) taajuusvasteella H(u, v). 4) Lasketaan kohdassa 3) saadun tuloksen käänteinen DFT. 5) Otetaan kohdan 4) tuloksen reaaliosa. 6) Kerrotaan kohdan 5) tulos funktiolla ( 1) x+y. Yleensä arvotf (u, v) ovat kompleksisia. Tässä monisteessa käsiteltävien suotimien taajuusvasteet H(u, v) puolestaan tyypillisesti ovat reaalisia. Kohdassa 3) näiden kahden kertolasku suoritetaan niin, että kerrotaan alkioittain funktion F (u, v) sekä reaali- että imaginaariosa taajuusvasteella H(u, v). Tällaiset suotimet eivät muuta suodatettavan signaalin vaihetta, koska vaihekulman laskukaavassa φ(u, v) =tan 1 [ H(u, v)i(u, v) H(u, v)r(u, v) ] =tan 1 [ I(u, v) R(u, v) Kun sekäkuvaf(x, y) että taajuusvaste H(u, v) ovat reaalisia, niin kohdan 4) tuloksen pitäisi olla reaalinen. Käytännössä kuitenkin tietokoneella laskettaessa tulee pieniä pyöristyksistä johtuvia virheitä, joiden johdosta kohdan 4) tuloksen imaginaariosat yleensä eroavat nollasta. Tästä syystä suodatuksessa tarvitaan vaihe 5), jossa nämä imaginaariosat jätetään huomioimatta. Lineaariset tilatason suodatusmenetelmät voidaan tulkita kahden M N-kokoisen funktion f(x, y) jah(x, y) konvoluutiona f(x, y) h(x, y) = 1 MN M 1 N 1 m=0 n=0 ]. f(m, n)h(x m, y n) missä miinusmerkit merkitsevät funktion h peilaamista origonsa suhteen. Konvoluutioteoreema koostuu kahdesta Fourier-muunnosparista: f(x, y) h(x, y) F (u, v)h(u, v), f(x, y)h(x, y) F (u, v) H(u, v). Ylempi osa konvoluutioteoreemasta kertoo, että konvoluutio tilatasossa vastaa kertolaskua taajuustasossa, ja alempi, että kertolasku tilatasossa vastaa konvoluutiota taajuustasossa. Konvoluutiossa funktiot oletettiin M N-kokoisiksi. Tavallisesti tilatasossa suotimet ovat huomattavasti suodatettavaa kuvaa pienempiä. Jos siis halutaan suunnitella suodin taajuustasossa, mutta toteutus haluttaisiin tehdä tilatason suodatuksella, niin käänteismuunnoksella saatava M N-kokoinen tilatason suodin ei laskennalliselta kannalta ole järkevä. Käytännössä voidaan kuitenkin tehdä esimerkiksi niin, että suunnitellaan pienempi tilatason suodin käänteismuunnoksesta saadun suuremman tilatason suotimen pohjalta.

52 Digitaalinen kuvankäsittely I f(m) f(m) 0 20 40 0 20 40 h(m) h(m) 0 20 40 0 20 40 h( m) h( m) h(x m) 0 20 40 h(x m) 0 20 40 f(x) h(x) 0 20 40 f(x) h(x) 0 20 40 0 20 40 60 80 0 20 40 60 80 Kuva 4.4: Vasemmalla kahden diskreetin funktion konvoluutio ja oikealla sama konvoluutio, kun funktiot on oletettu jaksollisiksi. Konvoluution yhteydessä on tärkeää muistaa edellisessä aliluvussa esitetty diskreetin Fourier-muunnoksen tila- ja taajuustason signaalien jaksollisuus. Koska kuvat eivät todellisuudessa ole jaksollisia, voi konvoluution seurauksena kuvan reunoille tulla virheellisiä arvoja, jotka johtuvat siitä, että näiden arvojen laskennassa on ollut mukana kuvan ympärillä olevien muiden jaksojen pisteitä. Kuvassa 4.4 näkyy tämä ilmiö yksiulotteisessa tapauksessa. Vasemmalla näkyy kahden diskreetin funktion konvoluutio ja oikealla näiden samojen funktioiden konvoluutio, kun DFT:n mukanaan tuoma jaksollisuus on otettu huomioon. Ylimmillä riveillä ovat konvoloitavat funktiot ja kolmannella rivillä näistä toinen on peilattu origon suhteen. Neljännellä rivillä on esitetty yhdelle arvolle x peilatun funktion siirto tämän arvon x verran. Neljännen ja ensimmäisen rivin funktiot kerrotaan keskenään pisteissä m =0, 1,...,M 1, lasketaan tulokset yhteen ja jaetaan arvolla M. Tästä saadaan konvoluution arvo tällä muuttujan x arvolla. Sama toistetaan kaikille muuttujan x arvoille, jolloin tuloksena saadaan alarivissä esitetyt funktiot. Näistä vasemmassa näkyy oikea tulos, mutta oikealla jaksollisuus on aiheuttanut konvoluution tulokseen päällekkäistymistä.

4.2 Suodatus taajuustasossa 53 Jaksollisuudesta aiheutuva päällekkäistyminen voidaan estääkäyttämälläalku- peräisten funktioiden sijaan niihin nollia riittävä määrä lisäämällä (zero padding) saatuja laajennettuja funktioita. Jos funktiossa f(x) olialunperina pistettä ja funktiossa h(x) B pistettä, niin laajennetut funktiot ovat { f(x), 0 x A 1 f e (x) = 0, A x P ja h e (x) = { h(x), 0 x B 1 0, B x P, missä P A + B 1. Kuvan 4.4 funktioiden laajennetut funktiot ja niiden konvoluutio on esitetty kuvassa 4.5. Tästä voidaan nähdä, että nollien lisääminen korjasi tilanteen ja saatu tulos on oikea. Samalla tavoin nollia voidaan lisätä myös kak- f e (m) h e (m) 0 50 100 150 h e ( m) 0 50 100 150 h e (x m) 0 50 100 150 f e (x) h e (x) 0 50 100 150 0 50 100 150 Kuva 4.5: Konvoluutio laajennetuilla funktioilla.

54 Digitaalinen kuvankäsittely I siulotteisessa tapauksessa. Tällöin alkuperäiset funktiot ovat A B-kokoinen kuva f(x, y) jac D-kokoinen kuva h(x, y) ja niiden laajennetut kuvat ovat { f(x, y), 0 x A 1 0 y B 1 f e (x, y) = 0, A x P B y Q ja h e (x, y) = { h(x, y), 0 x C 1 0 y D 1 0, C x P D y Q, missä P A + C 1jaQ B + D 1. Kuvassa 4.6 on esimerkki laajennetusta kuvasta h e (x, y). Tässä esimerkkitapauksessa A = B = C = D ja koko P Q on pienin mahdollinen, jolloin laajennetun kuvan koko x- ja y-suuntiin on kaksinkertaistunut ja kokonaispistemäärä on nelinkertaistunut. Kuvan 4.6 vasemmassa yläkulmassa näkyy alkuperäinen kuva h(x, y), joka on alipäästösuotimen impulssivaste. Laajennettuja kuvia käyttäen saadaan suodatuksen jälkeen tulokseksi P Q-kokoinen kuva, josta otetaan lopuksi vain alkuperäisen suodatettavan kuvan kokoinen A B alue, jonka vasen yläkulma on kohdassa C/2,D/2, missä tarkoittaa alaspäin pyöristämistä. Näin saadaan oikea suodatustulos, jossa ei ole jaksollisuudesta aiheutuneita virheellisiä arvoja. Kuva 4.6: Alipäästösuotimen impulssivasteen reaaliosa laajennettuna kuvana h e (x, y).

4.2 Suodatus taajuustasossa 55 Jatkossa oletetaan, että taajuusesitys on keskitetty edellä esitetyn mukaisesti, jolloin siis taajuus F (0, 0) on siirretty kohtaan (M/2,N/2). Taajuustasossa suodatuksen oletetaan myös tapahtuvan laajennetuin kuvin, jolloin päällekkäistymisestä ei ole vaaraa. 4.2.1 Pehmennys taajuustason suodatuksella Pehmennyksessä halutaan vaimentaa korkeita taajuuksia. Taajuustasossa siis halutaan päästää läpi keskialueen matalat taajuudet ja vaimentaa kauempana olevat taajuudet. Tarkastellaan tässä kolmea taajuustason alipäästösuodintyyppiä: ideaalista, Butterworth-tyyppistä ja gaussista alipäästösuodinta. Ideaalinen alipäästösuodin Ideaalinen alipäästösuodin on yksinkertaisin alipäästösuodintyyppi. Siinä kaikki etäisyyttä D 0 kauempana taajuustason keskipisteestä olevat taajuuskomponentit vaimennetaan kokonaan ja muut taajuudet päästetään sellaisenaan läpi. Kaksiulotteinen ideaalinen alipäästösuodin on siis muotoa: H(u, v) = { 1, D(u, v) D 0 0, D(u, v) >D 0, missä D 0 on suotimen rajataajuus ja D(u, v) on pisteen (u, v) etäisyys taajuustason keskipisteestä. Jos suodatettava kuva f(x, y) onm N-kokoinen, niin myös kuvan DFT F (u, v) on samankokoinen ja sen keskipiste on kohdassa (M/2,N/2). Keskittämisestä johtuentässä keskipisteessä on siihen siirretty taajuustason matalin taajuus eli kuvan keskiarvo. Minkä tahansa pisteen (u, v) etäisyys keskipisteestä saadaan laskettua kaavalla D(u, v) = (u M/2) 2 +(v N/2) 2. Kuvassa 4.7 on kuvattu ideaalisen alipäästösuotimen taajuusvaste H(u, v) kolmella eri tavalla: kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena. Tässä luvussa käsitellyt suotimet ovat ympyräsymmetrisiä taajuustason keskipisteen suhteen. Tällöin säteittäinen poikkileikkauskin riittää määrittelemään taajuusvasteen. Ideaalisuus tulee tämän suotimen nimeen siitä, että sepäästää kaikki D 0 -säteisen

56 Digitaalinen kuvankäsittely I H(u, v) v D 0 D(u, v) u u Kuva 4.7: Ideaalinen alipäästösuodin kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena. v ympyrän sisällä jaympyrällä olevat taajuudet läpi vaimentamatta niitä lainkaan ja vaimentaa kaikki ympyrän ulkopuolella olevat taajuudet puolestaan täysin. Ideaalisuodin voidaan tietokoneella toteuttaa juuri sellaisena kuin se on edellä kuvattu. Elektroniikkakomponenteilla taasen ei voida toteuttaa ideaalisuotimen jyrkkää siirtymää päästökaistalta estokaistalle. Kuvassa 4.8 on esimerkki ideaalisella alipäästösuotimella suodattamisesta. Siinä alkuperäinen 200 200-kokoinen testikuva on suodatettu ideaalisilla alipäästösuotimilla, joiden rajataajuudet D 0 ovat 5, 10, 15, 50 ja 80. Kuvasta nähdään, että rajataajuuden kasvaessa sumentuminen vähenee, mutta samanaikaisesti suodin vaimentaa kohinaa heikommin. Ideaalisuotimen ongelmana on rengastuminen, jokaon helppo havaita suodatetuista kuvista viimeistä lukuun ottamatta. Rengastumisen vuoksi ympäristöstään erottuvat pisteet saavat ympärilleen renkaita ja myös reunat saavat ympärilleen varjokuvia. Kuten tästä suodatusesimerkistä voi huomata, ideaalinen alipäästösuodatus ei yleensä ole sovelluksissa käyttökelpoinen rengastumisen vuoksi.

4.2 Suodatus taajuustasossa 57 ideaali 0.05 taajuustasossa ideaali 0.1 taajuustasossa ideaali 0.15 taajuustasossa ideaali 0.5 taajuustasossa ideaali 0.8 taajuustasossa Kuva 4.8: Ylhäältä vasemmalta riveittäin: alkuperäinen 200 200-testikuva ja ideaalisella alipäästösuotimella saadut suodatustulokset, kun D 0 =5, 10, 15, 50, 80.

58 Digitaalinen kuvankäsittely I v H(u, v) 1 n =1 n =2 n =3 n =4 D 0 D(u, v) u u Kuva 4.9: Butterworth-alipäästösuodin kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena neljällä eri asteluvulla n. v Butterworth-alipäästösuodin Yksi tärkeimmistä alipäästösuodintyypeistä on Butterworth-alipäästösuodin, jonka taajuusvaste asteluvulla n on muotoa H(u, v) = 1 1+(D(u, v)/d 0 ) 2n, missä D 0 on suotimen rajataajuus ja D(u, v) on pisteen (u, v) etäisyys taajuustason keskipisteestä. Rajataajuuden kohdalla, eli kun D(u, v) = D 0, taajuusvaste H(u, v) saa arvon 0.5. Kuvasta 4.9 nähdään, että suotimen asteluku määrää kuinka jyrkästi suodin käyttäytyy rajataajuuden ympäristössä. Asteluvun kasvaessa siirtymä jyrkkenee ja suotimen ominaisuudet lähestyvät ideaalisuotimen ominaisuuksia. Jos asteluku on 1, ei esiinny rengastumista. Myöskään asteluvulla 2 rengastumista ei kuvista tavallisesti huomaa, vaikka sitä pienessämäärin ilmeneekin. Tätä suuremmilla asteluvuilla rengastuminen voimistuu, mikä rajoittaa korkeampien astelukujen käyttöä sovelluksissa. Kuvassa 4.10 on suodatettu asteluvun 2 Butterworth-alipäästösuotimella sama kuva kuin ideaalisella alipäästösuotimella kuvassa 4.8 käyttäen samoja rajataajuuksia D 0.Rengastumineneitällä asteluvulla ole näkyvää ja suodatustuloksissa voidaan havaita pehmeä siirtymä sumentuneesta terävään rajataajuuden funktiona.

4.2 Suodatus taajuustasossa 59 Butterworth 0.05 taajuustasossa Butterworth 0.1 taajuustasossa Butterworth 0.15 taajuustasossa Kuva 4.10: Ylhäältä vasemmalta riveittäin: alkuperäinen 200 200-testikuva ja asteluvun 2 Butterworth-alipäästösuotimella saadut suodatustulokset, kun D 0 = 5, 10, 15, 50, 80.

60 Digitaalinen kuvankäsittely I v H(u, v) 1 D 0 =10 D 0 =20 D 0 =30 D(u, v) u u Kuva 4.11: Gaussinen alipäästösuodin kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena eri rajataajuuksilla. v Gaussinen alipäästösuodin Gaussinen alipäästösuodin saadaan kaavalla H(u, v) =e D2 (u,v)/2d 2 0, missä D 0 on jälleen suotimen rajataajuus ja D(u, v) pisteen (u, v) etäisyys taajuustason keskipisteestä. Gaussisen alipäästösuotimen erityisominaisuus on, että senimpulssivaste on myösgaussinen, mikätarkoittaasitä, ettäsuodin eivoituottaarengastumisilmiötä tilatasossa. Kuvassa 4.11 on tämän suodintyypin taajuusvaste H(u, v) kolmella eri tavalla: kuvana, perspektiivikuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena. Kuvassa 4.12 on suodatettu gaussisella alipäästösuotimella sama testikuva kuin muillakin alipäästösuotimilla käyttäen samoja rajataajuuksia D 0. Tulokset muistuttavat paljon Butterworth-alipäästösuotimella saatuja tuloksia, mutta gaussisella ei saavutettu aivan niin paljon pehmentymistä kuin Butterworth-alipäästösuotimella, minkä voi huomata esimerkiksi vertailemalla keskirivin kuvia. Ero on kuitenkin pieni ja gaussisella on etuna se, että sillä suodatettaessa voidaan olla varmoja, ettei kuvassa näy rengastumista. Joissakin sovelluksissa vaaditaan jyrkkä siirtymä rajataajuuden kohdalla, jolloin Butterworth-alipäästösuodin sopivalla asteluvulla on gaussista parempi valinta. Jyrkkyyden hintana tosin on myös lisääntynyt rengastuminen.

4.2 Suodatus taajuustasossa 61 Gauss 0.05 taajuustasossa Gauss 0.1 taajuustasossa Gauss 0.15 taajuustasossa Gauss 0.5 taajuustasossa Gauss 0.8 taajuustasossa Kuva 4.12:Ylhäältä vasemmalta riveittäin: alkuperäinen 200 200-testikuva ja gaussisella alipäästösuotimella saadut suodatustulokset, kun D 0 =5, 10, 15, 50, 80.

62 Digitaalinen kuvankäsittely I 4.2.2 Terävöittäminen taajuustason suodatuksella Taajuustasossa terävöittäminen voidaan tehdä ylipäästösuotimilla, jotka vaimentavat matalat taajuudet ja päästävät läpi korkeat. Tämä on juuri päinvastainen operaatio kuin alipäästösuodatuksessa ja ylipäästösuodin H hp voidaankin saada edellisen aliluvun alipäästösuotimista H lp kaavalla H hp (u, v) =1 H lp (u, v). Kuvassa 4.13 näkyvät edellisen aliluvun alipäästösuotimia vastaavien ylipäästösuotimien taajuusvasteet H(u, v) kolmella eri tavalla: perspektiivikuvana, kuvana ja säteittäisenä poikkileikkauksena. u v u v u v v v v u u u H(u, v) H(u, v) H(u, v) D(u, v) D(u, v) D(u, v) Kuva 4.13: Ideaalisen, Butterworth-tyyppisen (n = 2) ja gaussisen ylipäästösuotimen perspektiivikuvat (ylärivi), kuvat (keskirivi) ja säteittäiset poikkileikkaukset (alarivi).

4.2 Suodatus taajuustasossa 63 Ideaaliselle, Butterworth-tyyppiselle ja gaussiselle ylipäästösuotimelle saadaan alipäästösuotimien avulla kaavat { H(u, v) = 0, D(u, v) D 0 1, D(u, v) >D 0 H(u, v) = 1 1+(D 0 /D(u, v)) 2n D 0 H(u, v) = 1 e D2 (u,v)/2d 2 0. Kuvassa 4.14, on esitetty edellisillä kaavoilla saadut tulokset rajataajuuksilla = 5, 15, 45. Ideaalisuotimella saaduissa tuloksissa näkyy rengastuminen eri- Kuva 4.14: 200 200-testikuvasta ideaalisella (ylh.), Butterworth-tyyppisellä(n =2) (kesk.) ja gaussisella (alh.) ylipäästösuotimella saadut suodatustulokset, kun D 0 = 5, 15, 45.

64 Digitaalinen kuvankäsittely I tyisesti keskimmäisestä kuvasta. Kahdella muulla suodintyypillä saadut tulokset ovat paremmat kuin ideaalisuotimella saadut. Pienimmällä rajataajuudella kapeiden esineiden reunat sulautuvat yhteen. Reunojen ja kohinaisten suorakulmioiden ympäristöön tulee hohdetta, vaikka näiden alueiden pitäisi vakioarvoisina näkyä mustina. Sama toistuu vähäisemmässä määrin myös toisella rajataajuudella. Korkeiden taajuuksien korostus eli high-boost-suodatus voidaan taajuustasossa toteuttaa kaavalla H hb (u, v) =A H lp (u, v) =(A 1) + H hp (u, v). Toinen korkeiden taajuuksien korostustapa on high-frequency emphasis: H hfe (u, v) =a + bh hp (u, v), missä a 0jab>a.Näissä kahdessa viimeisessä operaatiossa tuloksena on siis alkuperäisen kuvan terävämpi ja mahdollisesti vaaleampi versio, eikä vain reunat ja yksityiskohdat sisältävä ylipäästösuodatuksen tulos. 4.2.3 Homomorfinen suodatus Homomorfiseksi suodatukseksi kutsutaan suodatusta, jossa kuvan epälineaarisuus linearisoidaan, kuva käsitellään lineaarisesti ja lopuksi palataan alkuperäiseen epälineaariseen esitysmuotoon. Aliuvussa 2.3 esitettiin, miten digitaalinen kuva voidaan esittää valaistuskomponentin i(x, y) ja heijastuskomponentin r(x, y) tulona f(x, y) =i(x, y)r(x, y), missä 0<i(x, y) < ja 0 <r(x, y) < 1. Koska Fourier-muunnos ei ole distributiivinen kertolaskun suhteen, valaistuskomponentin ja heijastuskomponentin käsittely erikseen taajuustasossa ei ole mahdollista. Logaritmioperaatiolla kertolasku voidaan muuttaa yhteenlaskuksi ja näin linearisoida edellinen yhtälö muotoon ln f(x, y) =lni(x, y)+lnr(x, y). Valaistuskomponentissa tapahtuvat muutokset ovat tavallisesti hitaita, kun taas heijastuskomponentissa tapahtuvat nopeat muutokset. Taajuustasossa matalat taajuudet liittyvät tavallisesti siis valaistuskomponenttiin ja korkeat heijastuskomponenttiin. Tätä karkeaa jaottelua voidaan käyttää suodatuksen pohjana, kun halutaan vähentää valaistusvaihteluja säilyttäen heijastusvaihtelut. Tämä voidaan toteuttaa esim. high-boost-suotimella, jolla logaritmoitu kuva suodatetaan. Suodatettu kuva palautetaan logaritmoinnin käänteisoperaatiolla alkuperäiseen esitysmuotoonsa. Luonnollisen logaritmin tapauksessa käänteisoperaatio on eksponenttioperaatio. Kuvassa 4.15 on esitetty kaaviokuva homomorfisesta suodatuksesta.

4.3 DFT:n toteuttamisesta 65 ln DF T H(u, v) DF T 1 exp f(x, y) g(x, y) Kuva 4.15: Homomorfinen suodatus kuvan ehostuksessa. 4.3 DFT:n toteuttamisesta Kaksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos voidaan esittää kahden peräkkäisen yksiulotteisen Fourier-muunnoksen avulla seuraavalla tavalla F (u, v) = 1 MN = 1 M = 1 M M 1 x=0 M 1 x=0 M 1 x=0 N 1 y=0 f(x, y)e j2π(ux/m+vy/n) ( e j2πux/m 1 N N 1 y=0 F (x, v)e j2πux/m, f(x, y)e j2πvy/n ) missä F (x, v) = 1 N 1 N y=0 f(x, y)e j2πvy/n.tämä kaksiulotteisen Fourier-muunnoksen separoituvuus tarkoittaa käytännössä sitä, että kuvan jokaiselle riville tehdään yksiulotteinen Fourier-muunnos, jolloin tuloskuva on F (x, v). Tämän jälkeen kuvan F (x, v) jokaiselle sarakkeelle tehdään yksiulotteinen Fourier-muunnos. Samaan tulokseen päädytään tekemällä yksiulotteinen Fourier-muunnos ensin kuvan sarakkeille ja sen jälkeen tuloksena saadun kuvan riveille. Myös kaksiulotteinen käänteinen Fourier-muunnos voidaan samaan tapaan laskea kahtena peräkkäisenä yksiulotteisena käänteisenä Fourier-muunnoksena. Joskus on hyödyllistä pystyä laskemaan käänteinen diskreetti Fourier-muunnos saman kaavan avulla kuin diskreetti Fourier-muunnos. Jos käänteismuunnoksen kaavasta otetaan kompleksikonjugaatti ja jaetaan molemmat puolet arvolla MN, saadaan 1 MN f (x, y) = 1 MN M 1 u=0 N 1 F (u, v)e j2π(ux/m+vy/n). v=0 Tällöin siis käänteismuunnos voidaan toteuttaa muunnoksen kaavalla, kun ennen muunnosta arvosta F (u, v) otetaan kompleksikonjugaatti ja muunnoksen jälkeen saadusta tuloksesta otetaan jälleen kompleksikonjugaatti ja kerrotaan arvolla MN. Koska kuva f(x, y) on tavallisesti reaalinen, ei jälkimmäistä kompleksikonjugointia tarvitse tehdä, sillä reaaliarvoiselle kuvalle f (x, y) =f(x, y). Yksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos voidaan toteuttaa nopealla Fouriermuunnoksella (FFT) kompleksisuudella O(N log 2 N) aikaisemmin annettuja kaavoja käyttäen saadun toteutustavan kompleksisuuden O(N 2 ) sijaan. Edellä näytettiin, että kaksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos voidaan toteuttaa kahden yksiulotteisen muunnoksen avulla. Tällöin voidaan käyttää laskennassa FFT-algoritmia ja saada erityisesti suurilla kuvakoilla huomattava laskennan nopeutuminen.

66 Digitaalinen kuvankäsittely I

Luku 5 Kuvien entistäminen Kuvien entistämisessä (restoration) on tavoitteena parantaa kuvia, kuten ehostuksessakin oli tavoitteena. Entistäminen kuitenkin poikkeaa ehostuksesta eikä yleensä ole niin heuristinen tai subjektiivinen prosessi kuin ehostaminen. Entistämisessä parantaminen pyritään tekemään mallintamalla kuvan huonontanutta huononnusprosessia. Pyrkimyksenä on siis löytää huononnusprosessin käänteisprosessi, jolla huonontuneesta kuvasta saadaan alkuperäinen kuva. Entistämismenetelmät määritellään tila- tai taajuustasossa sen mukaan, missä tasossa kukin menetelmä saadaan parhaiten esitettyä. Monisteessa käsiteltävissä tapauksissa entistämisen lähtökohtana on digitaalinen kuva ja enimmäkseen kohina oletetaan additiiviseksi. Kuvassa 5.1 on esitetty huononnus/entistämisprosessille tässä luvussa käytetty malli. Huonontumisessa huononnusprosessi H huonontaa alkuperäisen kuvan f(x, y) ja tämän jälkeen kuvaan lisätään vielä additiivista kohinaa η(x, y). Tuloksena on huonontunut kuva g(x, y), joka toimii entistämisen lähtökohtana. Tämän kuvan f(x, y) H η(x, y) g(x, y) ˆf(x, y) Kuva 5.1: Malli kuvan huononnus- ja entistämisprosesseille.

68 Digitaalinen kuvankäsittely I lisäksi entistämisessä tiedetään jotain huononnusprosessista ja jotain kohinasta. Entistämisessä tuloksena saadaan estimaatti ˆf(x, y), joka on tavallisesti sitälähempänä alkuperäistä kuvaa, mitä enemmän huononnusprosessista ja kohinasta tiedetään. Prosessi H oletetaan lineaariseksi ja paikkainvariantiksi. Kohina η puolestaan oletetaan korreloimattomaksi ja additiiviseksi. Tällöin voidaan kirjoittaa tilatasossa g(x, y) =h(x, y) f(x, y)+η(x, y), missä h(x, y) on tilatason huononnusfunktio ja merkitsee konvoluutiota. Diskreetin Fourier-muunnoksen avulla sama voidaan esittää taajuustasossa muodossa G(u, v) =H(u, v)f (u, v)+n(u, v), missä isolla kirjaimella merkityt muuttujat saadaan tilatason vastaavista muuttujista diskreetillä Fourier-muunnoksella. Seuraavassatarkastelussaoletetaanaluksi, että H(u, v) = 1 kaikilla arvoilla u ja v. Tällöin huonontuminen siis johtuu ainoastaan kohinasta. 5.1 Kohinamalleja Kuviin syntyy kohinaa pääasiassa kuvantamisprosessin ja/tai kuvien siirron aikana. Kuvassa 5.2 on esitetty kuvankäsittelysovelluksissa tavallisesti esiintyviä kohinatyyppejä antamalla niiden tiheysfunktiot. Jäljessä on listattu näiden jakaumien tiheysfunktiot kaavamuodossa. Normaalijakauma Rayleigh n jakauma Gammajakauma Eksponentiaalijakauma Tasajakauma Impulssikohina Kuva 5.2: Kuvankäsittelyssä tärkeitä kohinan tiheysfunktioita.

5.1 Kohinamalleja 69 Normaalijakauma p(z) = 1 2πσ e (z µ)2 2σ 2, missä z on harmaasävyarvo, µ on harmaasävyarvojen keskiarvo ja σ on niiden keskihajonta. Rayleigh n jakauma p(z) = { 2 b (z a) 2 (z a)e b, z a 0, z < a, missä b>0. Gammajakauma p(z) = { a b z b 1 (b 1)! e az, z 0 0, z < 0, missä a>0, b on positiivinen kokonaisluku ja! tarkoittaa kertomaa. Eksponenttijakauma p(z) = { ae az, z 0 0, z < 0, missä a>0. Tasajakauma p(z) = { 1, b a a z b 0, muulloin, missä b>a. Impulssikohinan jakauma P a, z = a p(z) = P b, z = b 0, muulloin.

70 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.3: Normaali-, Rayleigh- ja eksponenttijakautunutta kohinaa sisältävät testikuvat ja niiden histogrammit. Kuvassa 5.3 on kolmesta harmaasävyltään erilaisesta palkista koostuvasta testikuvasta tehty kolme kohinaista versiota lisäämällä kuvaan normaali-, Rayleigh- ja eksponenttijakautunutta kohinaa. Kunkin kohinaisen kuvan alla on esitetty sen histogrammi, josta pystyy tunnistamaan, mitä jakaumaa kuhunkin kuvaan on lisätty kohina noudattaa. Visuaalisesti kuvat ovat melko samanlaisia ja niistä kohinan jakaumaa on hankala tunnistaa paitsi siinä tapauksessa, että kyseessä olisi impulsiivinen kohina, joka eroaa selvästi muista kohinatyypeistä. Kuvantamisessa tai kuvien siirrossa niihin saattaa muodostua jaksollista kohinaa. Se on tässä luvussa käsiteltävistä kohinatyypeistä ainoa, joka ei tilatasossa ole riippumaton. Jaksollinen kohina on helpoin havaita ja suodattaa taajuustasossa. Kuvassa 5.4 on esimerkki kuvasta, johon on lisätty jaksollista sinimuotoista häiriötä. Taajuustasossa yksittäinen sinimuotoinen häiriö näkyy impulssiparina Fourier-spektrin symmetrian vuoksi. Myöhemmin tässä luvussa esitetään, miten tällaista kohinaa voi poistaa. Jos kohinan mallia ja parametreja ei tunneta ennalta, voidaan niitä estimoida kuvista. Jaksollisen kohinan taajuuksia voidaan etsiä spektristä korkeimpiaarvoja etsimällä. Tämä toimii kuitenkin vain, jos kohina on harvinaisen voimakasta tai sen taajuudesta on jonkinlaista etukäteistietoa. Riippumattoman kohinan tapauksessa voidaan kohinaa tutkia kuvaamalla tasaista ja tasaisesti valaistua aluetta. Tämä onnistuu, jos on käytettävissäjärjestelmä,jolla kuvat on otettu.siinä tapauksessa,että on vain kuva, mutta ei mahdollisuutta ottaa lisäkuvia samalla järjestelmällä, kohi-

5.1 Kohinamalleja 71 Kuva 5.4: Jaksollista kohinaa sisältävä kuva (ylh.) ja kuvan Fourier-spektri (alh.). nan jakaumaa voidaan tutkia mahdollisimman tasasävyisistä kuva-alueista. Kuvassa 5.5 on otettu suuremmista kuvista pienet melko tasasävyiset osakuvat, joiden histogrammit on esitetty kuvassa. Osakuvat voivat olla muunkin muotoisia kuin tämän esimerkin neliömuoto. Osakuvalle S voidaan laskea otoskeskiarvo ja otosvarianssi: µ = z i S z i p(z i ) ja σ 2 = z i S(z i µ) 2 p(z i ), missä z i :t ovat osakuvan S pisteiden harmaasävyarvot ja p(z i ) ovat niitä vastaavat osakuvalle lasketun normalisoidun histogrammin arvot. Tämän jälkeen histogrammia voidaan sovittaa jakaumiin, joilla on edellä saatu keskiarvo ja varianssi. Näistä jakaumista valitaan parhaiten sopiva sovelluksen kohinamalliksi.

72 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.5: Histogrammit pienistä melko tasaisista kuva-alueista, joilla on normaali-, tasa- ja gammajakautunutta kohinaa. 5.2 Entistäminen tilatasossa Jos kuvan huonontuminen johtuu ainoastaan kohinasta, niin huonontunut kuva saadaan tilatasossa kaavasta ja taajuustasossa kaavasta g(x, y) =f(x, y)+η(x, y) G(u, v) =F (u, v)+n(u, v). Näissä kohinatermit ovat tuntemattomia, joten kohinatermin vähentäminen vastaavasta funktiosta g(x, y) tai G(u, v) ei ole realistinen vaihtoehto. Siinä tapauksessa, että kohina olisi jaksollista, vähentäminen taajuustasossa voi olla mahdollista, mutta tässä aliluvussa kohinaa ei oleta jaksolliseksi. Pelkän additiivisen kohinan poisto onnistuu parhaiten tilatason suodatuksella. Tähän voidaan käyttää luvussa 3 tilatason ehostuksessa käytettyjä suotimia, mutta on olemassa myös muita hyviäsuotimia kuin tuossa luvussa esitellyt. Seuraavassa palataan joihinkin luvussa 3 esiteltyihin suotimiin ja lisäksi esitellään myös muita tähän tarkoitukseen sopivia tilatason suotimia. 5.2.1 Keskiarvosuotimia Merkitään kohdassa (x, y) olevan suorakaiteen muotoisen m n-maskin alle jäävien kuvan koordinaattiparien joukkoa merkinnällä S xy.tällöin erityyppisillä keskiarvosuotimilla saadaan kohinaisen kuvan g(x, y) harmaasävyarvoista ehostettu kuva ˆf(x, y) seuraavilla kaavoilla: aritmeettinen keskiarvo ˆf(x, y) = 1 g(s, t) mn (s,t) S xy

5.2 Entistäminen tilatasossa 73 geometrinen keskiarvo harmoninen keskiarvo ˆf(x, y) = g(s, t) (s,t) S xy ˆf(x, y) = mn (s,t) S xy 1 g(s, t) 1 mn kontraharmoninen keskiarvo ˆf(x, y) = (s,t) S xy g(s, t) Q+1 (s,t) S xy g(s, t) Q Näistä aritmeettinen keskiarvo on luvusta 3 tuttu lineaarinen keskiarvo ja kolme muuta ovat epälineaarisia keskiarvoja. Harmonisen ja kontraharmonisen keskiarvon tapauksessa mahdollisen nollalla jakamisen voi toteutuksessa kiertää esim.antamalla osamäärälle 1/g(s, t) arvoksi maksimiharmaasävyn, jos g(s, t) = 0. Kontraharmoninen suodin on hyvä poistettaessa joko suola- tai pippurikohinaa, mutta ei kykene poistamaan molemminpuolisia impulsseja. Kuvassa 5.6 on esimerkki, jossa kontraharmoninen keskiarvosuodin toimii hyvin, kun parametrin Q merkki on valittu oikein. Kun Q<0, suodin poistaa hyvin suolakohinaa, ja kun Q>0, se poistaa hyvin pippurikohinaa. Kun Q = 0, suotimesta tulee aritmeettinen keskiarvosuodin ja arvolla Q = 1 siitä tulee harmoninen keskiarvosuodin. Kuvassa 5.7 näkyy, mitä tapahtuu valittaessa parametrin Q merkki väärin. 5.2.2 Järjestysfunktioon perustuvia suotimia Luvussa 3 käsiteltiin myös hiukan järjestysfunktioon perustuvia epälineaarisia suotimia, jotka perustuvat maskin alle jäävien näytteiden järjestämiseen. Entistyksessä näistä suotimistakäyttökelpoisia ovat mm. seuraavat: mediaanisuodin maksimisuodin minimisuodin ˆf(x, y) = ˆf(x, y) = ˆf(x, y) = med {g(s, t)} (s,t) S xy max {g(s, t)} (s,t) S xy min {g(s, t)} (s,t) S xy

74 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.6: Ylärivi: Suolakohinainen kuva (vas.) ja pippurikohinainen kuva (oik.). Alarivi: Yllä oleva kuva suodatettuna 3 3-kokoisella kontraharmonisella keskiarvosuotimella arvolla Q = 1.5 (vas.)ja Q = 1.5 (oik.). Kuva 5.7: Kuvan 5.6 suolakohinainen kuva suodatettuna 3 3-kokoisella kontraharmonisella keskiarvosuotimella arvolla Q = 1.5 (vas.) ja pippurikohinainen kuva arvolla Q = 1.5 (oik.).

5.2 Entistäminen tilatasossa 75 keskipistesuodin ˆf(x, y) = 1 2 [ ] max {g(s, t)} + min {g(s, t)} (s,t) S xy (s,t) S xy alfa-säädetty keskiarvo ˆf(x, y) = 1 mn d (s,t) S xy g r (s, t), missä d [0,mn 1] on parillinen luku ja g r (s, t) =g(s, t) suuruusjärjestyksessä keskimmäisille mn d arvolle g(s, t) jag r (s, t) = 0 suuruusjärjestyksessä d/2 pienimmälle ja d/2 suurimmalle arvolle g(s, t). Yllä listatuista suotimista mediaani-, minimi- ja maksimisuodin ovat luvusta 3 tuttuja. Keskipistesuodin (midpoint filter) laskee minimi- ja maksimiarvojen välisen keskipisteen eli laskee näiden kahden arvon keskiarvon. Alfa-säädetty keskiarvosuodin (alpha-trimmed mean) puolestaan jättää pois d/2 pienintä ja d/2 suurinta arvoa ja laskee jäljelle jäävistä arvoista keskiarvon. Tämä suodin sopii hyvin tilanteisiin, joissa kuvassa on useamman tyyppistä kohinaa. Esimerkiksi impulsiivisen ja normaalijakautuneen kohinan yhdistelmälle tällä suodintyypillä voidaan saada hyvä suodatustulos. Kuvassa 5.8 on paljon suola-pippuri kohinaa sisältävä kuva, joka on suodatettu 3 3-mediaanisuotimella. Alkuperäisessä kuvassa on niin paljon kohinaa, että suodatuksen jälkeen kuvaan jää vielä melko paljon kohinapisteitä. Tämä suodatettu kuva voidaan suodattaa uudelleen samalla 3 3-mediaanisuotimella, jolloin kohinapisteet edelleen vähenevät. Kun sama operaatio tehdään vieläkolmannenkerranperäkkäin, ei tuloksessa näy häiritseviä pisteitä muualla kuin nollilla laajentamisesta johtuen reunoille jääneitä. Kuvia ei kuitenkaan kannata tarpeellista määrää enempää uudelleen suodattaa mediaanisuotimella, sillä suodatuskertojen määrän mukana kasvaa myös kuvan sumentuminen. 5.2.3 Adaptiivisia suotimia Edellä käsitellyt suotimet tekevät kaikille kuvan pisteille suodatuksen samalla suodinalgoritmilla ottamatta huomioon kuvan paikallista vaihtelua. Tässä aliluvussa tutustutaan kahteen yksinkertaiseen adaptiiviseen suotimeen, jotka mukautuvat kuvan paikallisiin ominaisuuksiin. Yhä käsitellään tapausta, jossa additiivinen kohina on ainoa kuvaa huonontanut tekijä. Tässä tapauksessa adaptiivisella suodatuksella päästään hyvään kohinan vaimennukseen tasaisilla alueilla yksityiskohtien ja reunojen säilyessä samanaikaisesti terävinä. Tämän suodatustuloksen paranemisen hintana on suodinten kompleksisuuden kasvu. Paikallinen kohinanpoistosuodin käyttää pisteen (x, y) naapurustoa S xy laskennassa. Sen sijaan, että suodatustulos olisi naapuruston keskiarvo, se säätyy naapuruston keskiarvon ja kohinaisen kuvan pisteen alkuperäisen arvon g(x, y) välillä

76 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.8: Ylärivi: Impulsiivista kohinaa sisältävä kuva(vas.) ja 3 3-mediaanisuotimella saatu tuloskuva (oik.). Alarivi: Mediaanisuodatettu ylärivin kuva uudelleen samalla suotimella suodatettuna (vas.) ja saatu tulos vielä kolmannen kerran samalla suotimella suodatettuna (oik.). seuraavien neljän parametrin avulla: (a) g(x, y) onkohinaisenkuvanpisteen(x, y) alkuperäinen arvo, (b) σ 2 η on kohinan varianssi koko kuvassa, (c) m L on pisteen (x, y) paikallisen naapuruston S xy pisteiden keskiarvo, (d) σ 2 L on pisteen (x, y) paikallisen naapuruston S xy pisteiden varianssi. Paikallisessa kohinanpoistosuotimessa säätö perustuu parametrien (b) ja (d) suhteeseen kaavan ( ) ˆf(x, y) = 1 σ2 η g(x, y)+ σ2 η m σl 2 σl 2 L = g(x, y) σ2 η [g(x, y) m σl 2 L ] mukaisesti. Tasaisilla harmaasävyalueilla suodin antaa lähempänä naapuruston keskiarvoa olevan ulostulon ja vaihtelevilla lähempänä arvoa g(x, y) olevan ulostulon.

5.2 Entistäminen tilatasossa 77 Parametreista ση 2 on ainoa, joka täytyy tietää taiestimoidaetukäteen. Muut parametrit lasketaan naapurustosta S xy.kaavasisältää oletuksen, että ση 2 σl 2.Todellisuudessa oletus ei aina pidä paikkaansa ja toteutuksessa tämä voidaan ratkaista esim. asettamalla ση 2/σ2 L =1,josσ2 η >σ2 L. Kuvassa 5.9 on testikuvaan lisätty additiivista normaalijakautunutta kohinaa. Kuva on suodatettu aritmeettisella ja geometrisella keskiarvosuotimella sekä adaptiivisella paikallisella kohinanpoistosuotimella, joissa kaikissa suotimen koko on 7 7. Aritmeettinen keskiarvo vaimentaa hyvin kohinaa, mutta sumentaa samalla paljon kuvan reunoja ja yksityiskohtia. Geometrisella keskiarvolla mustat arvot ovat ongelmallisia, sillä yksikin musta piste vie suotimen ulostulon nollaan. Tämä näkyy mustien alueiden vahvistumisena. Adaptiivinen suodin antaa selvästi parhaan tuloksen, jossa kohina on vaimentunut reunojen ja yksityiskohtien säilyessä terävinä. Mediaanisuodin toimii hyvin impulsiivisella kohinalla, kun kohinapiikkien osuus ei ole liian suuri. Kun molemminpuoleisia impulsseja on alle 20% ne saadaan yleensä poistettua tavallisella mediaanisuotimella ja sitäkin suurempia prosentuaalisia impulssimääriä pystytään poistamaan käyttämällä adaptiivista mediaania. Samoin kuin muutkin suotimet, adaptiivinen mediaanisuodin toimii kuvapisteen naapurustossa S xy. Erona muihin suotimiin on, että tämän naapuruston kokoa muutetaan Kuva 5.9: Ylärivissä: normaalijakautunutta kohinaa sisältävä kuva(vas.)ja7 7 aritmeettisen keskiarvosuotimen suodatustulos (oik.). Alarivissä: 7 7 geometrisen keskiarvosuotimen suodatustulos (vas.) ja 7 7 adaptiivisen paikallisen kohinanpoistosuotimen suodatustulos (oik.).

78 Digitaalinen kuvankäsittely I suodatuksen aikana. Otetaan käyttöön seuraavat merkinnät: z min = naapuruston S xy pienin harmaasävyarvo, z max = naapuruston S xy suurin harmaasävyarvo, z med = naapuruston S xy harmaasävyarvojen mediaani, z xy = harmaasävyarvo pisteessä (x, y), S max = naapuruston S xy suurin sallittu vaaka- ja pystykoko. Adaptiivinen mediaanisuodatus tehdään seuraavasti: Maskia kasvatetaan, jos z med = z min tai z med = z max kunnes kumpikaan ehdoista ei toteudu tai naapuruston koko >S max. Jos lopuksi naapuruston koko S max ja lisäksi z xy = z min tai z xy = z max, niin ulostulo on z med. Muutoin ulostulo on z xy. Kuvassa 5.10 on esimerkki, jossa impulsiivista kohinaa sisältävä kuva on suodatettu sekä tavallisella 7 7-mediaanisuotimella että adaptiivisella mediaanisuotimella. Adaptiivisen suotimen maskin maksimikoko on S max = 7 ja sillä saatu tulos on selvästi terävämpi kuin tavallisella mediaanilla saatu. Kohina poistui adaptiivisella mediaanilla yhtä hyvin kuin tavallisellakin. Kuva 5.10: Impulsiivista kohinaa sisältävä kuva suodatettuna 7 7-mediaanisuotimella (vas.) ja adaptiivisella mediaanisuotimella, jonka S max = 7 (oik.).

5.3 Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa 79 5.3 Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa Jaksollista kohinaa voidaan poistaa kaistanestosuotimella taajuustasossa. Otetaan yksinkertaisena esimerkkinä taajuustasossa keskipisteen suhteen symmetrisesti ympyrän kehällä sijaitsevien kohinapiikkien poisto. Ideaalinen kaistanestosuodin saadaan tällöin kaavasta 1, D(u, v) <D 0 W 2 H(u, v) = 0, 1, D 0 W D(u, v) D 2 0 + W 2 D(u, v) >D 0 + W, 2 missä W on estokaistan leveys, D 0 on suotimen rajataajuus eli estokaistan keskikohta ja D(u, v) on pisteen (u, v) etäisyys taajuustason keskipisteestä. Samassa tapauksessa asteluvun n Butterworth ja gaussinen kaistanestosuodin saadaan kaavoista H(u, v) = 1 ( D(u, v)w 1+ D 2 (u, v) D0 2 ) 2n ja H(u, v) =1 e 1 2 ( ) D 2 (u, v) D0 2 2 D(u, v)w. Kuvassa 5.11 on hieman edellistä monimutkaisempi tapaus, jossa jaksollinen kohina saadaan poistettua ellipsinmuotoisella kaistanestosuotimella. Tässä esimerkissä nähdään kohinan poistuvan hyvin ja tulos on visuaalisesti kuvassa 4.3 olevan alkuperäisen kuvan kaltainen. Suodatuksella saatu muutos on niin suuri, että tällaista tulosta ei olisi mahdollista saada aikaan pienellä tilatason maskilla suodattamalla. Aikaisemmin taajuustasossa ylipäästösuodatuksen yhteydessä esitettiin ali- ja ylipäästösuotimen välinen yksinkertainen yhteys. Tämä sama yhteys on kaistanestosuotimen (bandreject filter) H br ja kaistanpäästösuotimen (bandpass filter) H bp välillä. Tällöin siis H bp (u, v) =1 H br (u, v).

80 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.11: Jaksollista kohinaa sisältävä kuva (ylh.), sen Fourier-spektri (kesk. vas.), käytetty kaistanestosuodin kuvana (kesk. oik.) ja suodatuksen tulos (alh.).

5.3 Jaksollisen kohinan poisto taajuustasossa 81 Kuva 5.12: Kuvan 5.11 kohinaisesta kuvasta samassa kuvassa esitetyn kaistanestosuotimen avulla saadulla kaistanpäästösuotimella saatu suodatustulos. Kaistanpäästösuodin on hyödyllinen tutkittaessa eri taajuusvälien vaikutusta kuvaan. Kuvassa 5.12 on käytetty edellisen kuvan kaistanestosuotimesta saatua kaistanpäästösuodinta, jolloin on saatu esiin edellisestä kuvasta pois suodatettu jaksollinen kohina ja lisäksi päästetyllä kaistalla olleet kuvan taajuudet. Ideaalisesta, Butterworth-tyyppisestä ja gaussisesta suotimesta saadaan jokaisesta tehtyä myös vain tietyn taajuusalueen päästävä tai estävä suodin, jota kutsutaan notch-suotimeksi. Notch-suotimessa taajuusalue voi muodoltaan olla millainen vain, kuten esim. ympyrä tai suorakaide. Fourier-spektrin symmetrian vuoksi notch-suotimet ovat taajuustason keskipisteen suhteen aina symmetrisiä. Kuvassa 5.13 on esimerkki ideaalisesta, Butterworth-tyyppisestä ja gaussisesta notchestosuotimesta, joilla estettävä alueonympyrän muotoinen eikä sijaitse taajuustason keskipisteessä. Jos estettävä alue olisi taajuustason keskipisteessä, tulisi notchestosuotimesta ylipäästösuodin ja notch-päästösuotimesta alipäästösuodin. Notchpäästösuotimen (notch pass filter) H np ja notch-estosuotimen (notch reject filter) H nr välinen yhteys on tuttua muotoa H np (u, v) =1 H nr (u, v).

82 Digitaalinen kuvankäsittely I v u v u Kuva 5.13: Ideaalisen (ylh.), Butterworth-tyyppisen (n = 2) (vas.) ja gaussisen (oik.) notch-estosuotimen perspektiivikuvat. 5.4 Huononnusfunktion estimointi Luvun alussa esitettiin huononnusprosessi taajuustasossa kaavalla G(u, v) =H(u, v)f (u, v)+n(u, v), missä huononnusfunktio H oletettiin lineaariseksi ja paikkainvariantiksi. Otetaan nyt myös huononnusfunktio käsittelyyn mukaan edellä käsitellyn kohinan lisäksi. Tavallisesti entistämisessä huononnusfunktio joudutaan estimoimaan. Tämän estimoinnin kolme päätapaa ovat estimointi (1) havainnoista, (2) kokeilemalla ja (3) matemaattisella mallintamisella. Tavassa (1), eli havainnoista estimoinnissa, huononnusfunktion estimaatti yritetään saada huonontuneen kuvan avulla. Voidaan esimerkiksi ottaa kuvasta voimakkaan signaalin alueelta yksinkertaisia kohteita sisältävä osakuva g s (x, y), jolle tehdään estimaatti ˆf s (x, y). Tämän jälkeen olettaen kohinan vaikutuksen olevan mitätön voimakkaan signaalin alueella voidaan kirjoittaa v H s (u, v) = G s(u, v) ˆF s (u, v). Lopuksi funktion H s (u, v) ominaisuuksien avulla johdetaan funktion H(u, v) muoto. Tavassa (2), eli kokeilemalla estimoinnissa, on oltava käytössä samanlainen kuvantamisjärjestelmä kuin millä huonontunut kuva on saatu. Järjestelmä säädetään aluksi sellaiseksi, että sillä saadaan huonontuneen kuvan kaltaisia kuvia. Tämän jälkeen otetaan kuva madollisimman pienestä kirkkaasta pisteestä. Tällöin kuvassa nähdään järjestelmän impulssivaste. Impulssin DFT on vakio A, joka kertoo signaa- u

5.4 Huononnusfunktion estimointi 83 lin voimakkuuden. Tällöin huononnusfunktiolle saadaan estimaatti G(u, v) H(u, v) = A. Tavassa (3), eli matemaattisella mallintamisella estimoinnissa, mallinnetaan matemaattisesti kuvaa huonontanut ilmiö. Esimerkiksi ilmakehän turbulenssin aiheuttamaa huonontumista voidaan mallintaa kaavalla H(u, v) =e k(u2 +v 2 ) 5/6, missä k on turbulenssin luonteesta riippuva vakio. Jos kuvaa otettaessa kuvantamisjärjestelmä on ollut tasaisessa lineaarisessa liikkeessä kuvattavaan kohteeseen nähden, voidaan tätä mallintaa, kun tunnetaan aikariippuvat x-jay-suuntaiset liikekomponentit x 0 (t) jay 0 (t) ja valotusaika T.Tällöin huonontunut kuva saadaan tilatasossa kaavasta g(x, y) = T 0 f(x x 0 (t),y y 0 (t))dt. Tämä on jatkuva kaksiulotteinen funktio, jonka Fourier-muunnos on G(u, v) = = = 0 T 0 g(x, y)e j2π(ux+vy) dxdy [ T ] f (x x 0 (t),y y 0 (t)) dt e j2π(ux+vy) dxdy f(x x 0 (t),y y 0 (t))e j2π(ux+vy) dxdydt. Jatkuvalla Fourier-muunnoksella on DFT:n siirto-ominaisuutta muunnosparissa (4.2) vastaava siirto-ominaisuus, joka muunnosparina ilmaistuna on Tämän avulla saadaan muoto G(u, v) = T 0 f(x x 0 (t),y y 0 (t)) F (u, v)e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)). F (u, v)e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt = F (u, v) eli huononnusfunktio on siis muotoa H(u, v) = T 0 T e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt. 0 e j2π(ux 0(t)+vy 0 (t)) dt Otetaan esimerkkinä tasainen lineaarinen liike vain x-suuntaan funktion x 0 (t) = at/t mukaisesti. Tällöin siis y 0 (t) = 0 ja huononnusfunktioksi saadaan T T H(u, v) = e j2πux0(t) dt = e j2πuat/t dt = T 0 0 πua sin(πua)e jπua. ( (Viimeisin vaihe saadaan käyttämällä apuna esim. kaavaa sin(θ) = 1 2j e jθ e jθ).)

84 Digitaalinen kuvankäsittely I Kuva 5.14: Alkuperäinen kuva (vas.) ja tasaisesta lineaarisesta liikkeestä (x 0 (t) = y 0 (t)) johtuen huonontunut kuva (oik.). Kuvassa 5.14 on huononnettu kuva tasaisella lineaarisella liikkeellä edelläesitetyn mukaisesti. Kuvassa liikkeet x- ja y-suuntiin ovat yhtä suuret. 5.5 Käänteissuodatus Käänteissuodatus (inverse filtering) on entistämismenetelmä, jota varten tarvitaan huononnusfunktio H(u, v). Jos huononnusfunktiota ei tunneta, se voidaan estimoida esim. edellisen aliluvun menetelmin. Entistäminen käänteissuodatuksella taajuustasossa tapahtuu kaavan ˆF (u, v) = G(u, v) H(u, v) mukaisesti, missä jakolasku suoritetaan alkioittain. Huononnusprosessin avulla saadaan edelleen N(u, v) ˆF (u, v) =F (u, v)+ H(u, v). Tässä kaavassa kiinnostavaa on se, että vaikka huononnusfunktio tunnettaisiin täsmälleen, niin entistyksen tuloksena ei saataisi alkuperäistä kuvaa, sillä kohina on satunnaista ja sen DFT on tuntematon. Tämän lisäksi kohina vahvistuu huomattavasti, kun H(u, v) saanollaa lähelläoleviaarvoja,jolloin osamääränn(u, v)/h(u, v) vaikutus muodostuu vallitsevaksi entistystuloksessa ˆF (u, v). Yksi tapa estää huononnusfunktion H(u, v) nollaa lähellä olevat arvot on rajoittua ainoastaan taajuuksiin, jotka sijaitsevat taajuustason keskipisteen lähistöllä. Tällä alueella on epätodennäköisempää, että huononnusfunktion arvot ovat nollan lähistöllä.