Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2)

Transkriptio

1 Luvut Luonnolliset luvut N = {0, 1, 2, 3,... } Kokonaisluvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Rationaaliluvut (jaksolliset desimaaliluvut) Q = {m/n m, n Z, n 0} Irrationaaliluvut eli jaksottomat desimaaliluvut Reaaliluvut eli kaikki rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä. Merk. R

2 Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (1/2) Määritelmä Olkoon a, b R, a < b. Tällöin voidaan merkitä [a, b] = {x R a x b} suljettu väli ]a, b] = {x R a < x b} [a, b[= {x R a x < b} ]a, b[= {x R a < x < b} (vasemmalta) puoliavoin väli väli (oikealta) puoliavoin väli avoin väli Määritelmä Olkoon A R ja B R. Leikkaus ja unioni määritellään seuraavasti A B = {x x A tai x B} A B = {x x A ja x B}

3 Reaalilukuvälit, leikkaus ja unioni (2/2) Esimerkki 1 Avoimia ja puoliavoimia välejä: [2, 4[, ] 1, 2[, ], 4] Suljettuja välejä: [4, 7], [ 10, 8] Unioni: [4, 6] [5, 7[= [4, 7[, {7} [5, 7[= [5, 7] Leikkaus: [4, 6] [5, 7[= [5, 6], [4, 6[ [5, 7[= [5, 6[, N [3.4, 6[= {4, 5}

4 Itseisarvot ja epäyhtälöt (1/2) Määritelmä x = { x, x 0 x, x < 0 Edellisessä x:n tilalle voidaan myös sijoittaa lauseke Esimerkki 2 (x + 3)(x 4) = { (x + 3)(x 4), (x + 3)(x 4) 0 (x + 3)(x 4), (x + 3)(x 4) < 0

5 Itseisarvot ja epäyhtälöt (2/2) Jos itseisarvoja on useampia, pahimmassa tapauksessa jokainen täytyy käsitellä erikseen ja tarkasteltavien vaihtoehtojen määrä lisääntyy Esimerkki 3 f (x) + g(x), f (x) 0 ja g(x) 0 f (x) + g(x), f (x) < 0 ja g(x) 0 f (x) + g(x) = f (x) g(x), f (x) 0 ja g(x) < 0 f (x) g(x), f (x) < 0 ja g(x) < 0 Esimerkki 4 Poista itseisarvot f (x) g(x) kun f (x) = x 3 ja g(x) = x + 1. Esimerkki 5 Määritä ne kokonaisluvut joille f (x) < g(x), kun f (x) = 2x 1 ja g(x) = 5x + 6.

6 Polynomit (1/3) Polynomit ovat funktioita jotka voidaan kirjoittaa muodossa f (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n = n a i x i, i=0 missä kertoimet a i R ja n N. Luku n on polynomin asteluku (olettaen että a n 0) Esimerkki 6 Olkoon f (x) = 4x ja g(x) = 6x 4 x 3 + x 2 Määritä polynomien f (x) + g(x) ja f (x)g(x) kertoimet ja asteluvut.

7 Polynomit (2/3) Polynomilla on enintään astelukunsa verran reaalisia nollakohtia (poikkeuksena triviaalitapaus f (x) = 0). Jos polynomilla f (x), jonka asteluku on n, on nollakohdat x i, i = 1,..., m niin se voidaan kirjoittaa muodossa m f (x) = g(x)(x x 1 )(x x 2 ) (x x m ) = g(x) (x x i ) missä g(x) on polynomi jonka asteluku on n m. Yleisesti korkean asteen polynomin nollakohtien analyyttinen etsintä on hankalaa, jopa mahdotonta. Kuitenkin jos tunnetaan valmiiksi muutama nollakohta niin voidaan esim. jakokulmassa laskemalla etsiä e.m. polynomi g(x), jonka nollakohdat löydetään helposti jos n m 2. Esimerkki 7 Laske polynomin f (x) = x 4 4x 3 + 2x 2 + 4x 3 nollakohdat kun tiedetään että f (1) = f ( 1) = 0. i=1

8 Polynomit (3/3) Astetta n olevan polynomin kertoimet voidaan määrittää jos tiedetään n + 1 kappaletta pisteitä joiden kautta polynomi kulkee. Esimerkki 8 Määritä sen toisen asteen polynomin kertoimet jonka joka kulkee (x, y) pisteiden (1, 0), (2, 4) ja (3, 16) kautta. Jos polynomin nollakohdat ja korkeimman asteen termin kerroin tiedetään, voidaan epäyhtälö ratkaista näiden avulla Esimerkki 9 Ratkaise epäyhtälö x 4 4x 3 > 2x 2 4x + 3.

9 Rationaalilausekkeet Rationaalilausekkeet ovat muotoa P(x) Q(x) jossa P(x) ja Q(x) ovat polynomeja. Rationaalilausekkeet eivät ole määriteltyjä pisteissä joissa Q(x) = 0. Näidenkin lausekkeiden sieventämisessä pätevät normaalit laskusäännöt, eli voidaan supistaa ja laventaa kuten reaaliluvuilla laskettaessa yleensäkin. Esimerkki 10 Missä pisteissä lauseke on määritelty? Sievennä lauseke a) x2 1 x 3 6x 2 +9x 5x 2 15x c) x+3 x 2 1 x+1 x 2 x Esimerkki 11 ab b2 d) 2a2 +ab 4a 2 b 2 b a Ratkaise epäyhtälö (x 1)2 (x+1) x 3 0. e) xy 2 x y 2 x+1 b) : xy+x y

10 Neliöjuuri Määritelmä y = x y 0 ja y 2 = x Ominaisuuksia x määritelty jos ja vain jos x 0. x 2 = x kaikille x ab = a b (jos a 0 ja b 0) a b = a b (jos a 0 ja b > 0) Esimerkki 12 Sievennä a) b) 12a 3a 3 c) d) ( 3 2 )

11 Funktio, arvojoukko ja määrittelyjoukko (1/2) Seuraavat määritelmät ovat yleisiä. Tällä kurssilla D = R tai R:n osajoukko ja S = R. Määritelmä Jos jokaiselle alkiolle x D arvo f (x) S on yksikäsitteinen, silloin f on funktio joukosta D joukkoon S. Joukkoa D = D(f ) kutsutaan funktion määrittelyjoukoksi. Joukkoa R(f ) = {f (x) x D} kutsutaan funktion arvojoukoksi. Jollei muuta mainita, voidaan olettaa että D on suurin mahdollinen R:n osajoukko.

12 Funktio, arvojoukko ja määrittelyjoukko (2/2) Määrittelyjoukon etsintä: a / D(f ) jos jotain lausekkeessa f (x) esiintyvää välitulosta ei voida laskea kun x = a, esim. tapahtuu nollalla jakaminen. Edellinen pätee vaikka raja-arvo lim x a f (x) voitaisiin laskea, tai esim. sopivasti supistamalla vältyttäisiin nollalla jakamiselta. Käytännössä voidaan siis aina kysyä Osaako yksinkertainen taskulaskin laskea tämän vai antaako virheen. Esimerkki 13 Funktioiden a) 1 1 x b) cos 2 (2x) c) e 1/x x ja d) x 1 2x 1 x 1 arvo- ja määrittely joukot?

13 Yhdistetty funktio (1/2) Käytännön toteutuksen ja suunnittelun monimutkaisuuden välttämiseksi jaetaan prosessit usein pienempiin, toisiaan seuraaviin, vaiheisiin. Siis ensin x:lle tehdään operaatio f ja sitten lopputulokselle operaatio g. Matemaattisesti tämä tarkoittaa arvon g(f (x)) laskentaa. Luonnollisesti kaikkien välivaiheiden laskennan täytyisi onnistua, eli meitä kiinnostaa myös funktion g(f (x)) määrittelyjoukko. Määritelmä Olkoon f ja g funktioita. Yhdistetyn funktion määrittelyjoukko on (g f )(x) = g f (x) = g(f (x)) D(g f ) = {x x D(f ) jaf (x) D(g)}

14 Yhdistetty funktio (2/2) Esimerkki 14 Olkoon f (x) = x + 5 ja g(x) = x 2 3. Laske f g(0) ja g f ( 5). Esimerkki 15 Määritä f g, g f sekä näiden määrittely- ja arvojoukot kun f (x) = x ja g(x) = x + 1. Esimerkki 16 Määritä f f, D(f f ) ja R(f f ) kun f (x) = 1 x 1+x. Esimerkki 17 Määritä D(h (g f )) ja D((h g) f ) kun f (x) = x + 2, g(x) = x 1 ja h(x) = 1/x.