Diskreetin mtemtiikn perusteet Rtkisut 4 / vko 11 Tuntitehtävät 41-42 lsketn lkuviikon hrjoituksiss j tuntitehtävät 45-46 loppuviikon hrjoituksiss. Kotitehtävät 43-44 trkstetn loppuviikon hrjoituksiss. Kotitehtävät 47-49 tulee plutt seurvn lkuviikon hrjoituksiin pperill ti pf-muooss kurssin MyCourses-sivuille tiistihin klo 16.00 mennessä. Sm kellonik on myös viikoittisten verkkotehtävien l, joskin verkkotehtävät knntt tehä ennen plutettvi kotitehtäviä. Hstetehtävä on vpehtoinen lisätehtävä. Sen voi hlutessn plutt MyCoursesiin ti klo 16 mennessä luennoitsijn trkstettvksi. Alkuviikko: verkot Tuntitehtävä 41: Verkko K 4 on neljän solmun täyellinen yksinkertinen verkko, eli siinä on 4 solmu, j jos j ovt kksi solmu j, niin niien välillä on kri (mutt mistään solmust ei ole krt tkisin smn solmuun). Kuink mont erilist polku, joien pituus on n, on khen eri solmun välillä kun n = 3 j n = 4? Polkujen ei trvitse oll yksinkertisi. Tpuksess n = 3 trkist vstuksesi piirtämällä kikki nämä polut jonkin solmuprin välille. Rtkisu: Verkko K 4 näyttää siis tältä: Näin ollen K 4 :n npurimtriisi on 0 1 1 1 A = 1 0 1 1 1 1 0 1. 1 1 1 0 Tästä seur, että 3 2 2 2 6 7 7 7 21 20 20 20 A 2 = 2 3 2 2 2 2 3 2, A3 = 7 6 7 7 7 7 6 7, A4 = 20 21 20 20 20 20 21 20. 2 2 2 3 7 7 7 6 20 20 20 21 1
Jos käytämme esim. mtl/otve: voimme kirjoitt A= ones(4,4)-eye(4) j sitten lske Aˆ3 j Aˆ4. Mtriisin A n lkio (i, j) kertoo solmust i solmuun j olevien n:n kren pituisten polkujen lukumäärän. Näin ollen tässä verkoss khen eri solmun välillä on 7 polku, joien pituus on 3, j 20 polku, joien pituus on 4. Kolmen skeleen polut solmujen j välillä ovt seurvt: Tuntitehtävä 42: Joukko opiskelijoit ikoo osllistu kurssien K 1,..., K 7 kokeisiin seurvsti: Opisk. A K 1 K 2 Opisk. B K 1 K 4 Opisk. C K 1 K 6 Opisk. D K 2 K 3 Opisk. E K 3 K 4 Opisk. F K 3 K 5 Opisk. G K 5 K 6 Opisk. H K 4 K 7 Opisk. I K 5 K 7 Piirrä verkko, jonk solmut ovt K j, j = 1, 2,... 7 siten, että solmujen K j j K k välillä on linkki jos j vin jos inkin yksi opiskelij ikoo osllistu sekä kurssin K j että kurssin K k tenttiin. Määritä sitten verkon kromttinen luku, eli pienin lukumäärä värejä, joill verkon solmut voin värittää niin että solmut, joien välillä on linkki, tulevt väritetyiksi eri väreillä. Mitä tämä luku kertoo tässä tpuksess? 2
Rtkisu: Verkko näyttää esim. seurvnliselt: K 3 K 2 K 4 K 1 K 5 K 6 K 7 Ahneen värityslgoritmin vull smme seurvn värityksen, joss käytämme 3 väriä: ω(k 1 ) =, ω(k 2 ) =, ω(k 3 ) =, ω(k 4 ) =, ω(k 5 ) =, ω(k 6 ) =, ω(k 7 ) =. Tämä on myös kromttinen luku, kosk [K 1, K 2, K 3, K 5, K 6, K 1 ] on sykli, jonk pituus on priton, eikä näin ollen verkon solmuj pystytä värittämään khell värillä. Nimittäin, jos ω(k 1 ) = niin ω(k 2 ) =, ω(k 3 ) =, ω(k 5 ) = j ω(k 6 ) =, mikä ei käy, kosk K 6 j K 1 ovt npureit. Kosk kromttinen luku on 3, niin on vrttv inkin 3 tenttiik, jott kikki voisivt osllistu tentteihin. Kotitehtävä 43: Hiiri ikoo syöä ison, 3 3 3 -kokoisen juustokuution kokonn. Se loitt ison kuution kulmst j nkert in suuplksi kokonisen 1 1 1 -kuution ennen siirtymistään mihin thns viereiseen 1 1 1 -kuutioon. Voiko hiiren viimeinen suupl oll ison kuution keskellä? Rtkisu: Muoostetn tilnteest verkko: settn solmu kunkin 1 1 1 -kuution keskelle j linkki solmujen välille, jos kyseisillä kuutioill on yhteinen sivu. Hvitn, että verkko voin värittää khell värillä, eli sen kromttinen luku on kksi. Väritetään verkko punisell j mustll siten, että nurkksolmut ovt puniset. 3
Kysymys kuuluu nyt: onko tässä verkoss olemss Hmiltonin kävely nurkksolmust keskisolmuun? (Hmiltonin kävelyhän kulkee kunkin solmun kutt täsmälleen kerrn.) Jos verkoss olisi Hmiltonin kävely nurkst keskelle, se lkisi punisest solmust j päättyisi mustn solmuun, kulkien vuoron perään punisten j mustien solmujen kutt. Polull olisi siis sm määrä punisi j musti solmuj. Nyt kuitenkin verkoss on 14 punist j 13 must solmu, joten nurkst lkv j keskelle päättyvä kävely ei voi svutt kikki solmuj. Kotitehtävä 44: Mtemtiikn litoksen lehtorit muoostvt kuusi komite, joist kukin kokoontuu kerrn kuukuess. Montko eri kokousik on kuukuess vähintään vrttv, jott yksikään lehtori ei jouu osllistumn khteen kokoukseen smnikisesti? Komitet ovt { Alestlo, Hkul, Ivrsson, Turunen }, { Hkul, Kngslmpi, Peltonen }, { Alestlo, Ivrsson, Turunen }, { Kngslmpi, Peltonen }, { Alestlo, Hkul } j { Hkul, Peltonen, Turunen }. Rtkisu: Muoostetn tehtävän 42 tpisesti konfliktiverkko, joss solmut ovt kuusi komite, j khen solmun välillä on linkki jos j vin jos näissä komiteoiss on vähintään yksi yhteinen henkilö. Vittv vstus on tämän verkon kromttinen luku. A, H, I, T H, K, P K, P H, P, T A, I, T A, H Komitet, joiss Hkul istuu, ovt kikki yhteyessä toisiins. Tällöin siis verkon värittämiseen vitn vähintään 4 väriä (= Hkul yksin trvitsee 4 ik). Neljän värin väritys löytyykin: väritetään Hkuln komitet eriväriseksi, jolloin loput voin täyentää hneen lgoritmin vull: 4
H, K, P A, H, I, T K, P H, P, T A, I, T A, H Niinpä verkon kromttinen luku on tismlleen 4, j klenterist trvitsee vrt vähintään 4 ik. Loppuviikko: komintoriikk Tuntitehtävä 45: Yhistyksellä on hllitus, johon kuuluu seitsemän jäsentä: A, B, C, D, E, F j G. Hllituksen jäsenistä on vlittv puheenjohtj, sihteeri j vrinhoitj siten, että jokisell vlitull on vin yksi tehtävä. ) Monellko tvll tämän voi tehä jos joko D:n ti E:n pitää oll puheenjohtj? ) Monellko tvll tämän voi tehä jos B:n pitää tull vlituksi johonkin tehtävään? Stmn spuvlt risteilylivlt 2000 mtkustj kuljetetn linj-utoill kupunkiin. Heitä vrten on 30 linj-uto, joihin jokiseen mhtuu korkeintn 80 mtkustj. ) Osoit, että inkin yhessä linj-utoss on inkin 67 mtkustj. ) Osoit, että inkin yhessä linj-utoss on inkin 14 vpt pikk. Rtkisu: ) Ensin vlitn joko D ti E puheenjohtjksi, jolloin on kksi vihtoehto. Sen jälkeen jäljellä olevist 6:st jäsenestä vlitn sihteeri, jonk jälkeen jäljellä olevist 5:stä jäsenestä vlitn vrinhoitj. Tulosäännön nojll vihtoehtojen lukumääräksi tulee 2 6 5 = 60. 5
) Tässä tpuksess on kolme vihtoehto vlit toimi, johon B vlitn. Tämän jälkeen jäljellä olevist 6:st jäsenestä kksi on vlittv muihin toimiin, jolloin vihtoehtojen lukumäärä on 6 5 = 30. Näin ollen vlinnt voin tehä 3 30 = 90:llä eri tvll. ) Jos kikiss linj-utoiss olisi korkeintn 66 mtkustj, niin linj-utoiss olisi kiken kikkin vin korkeintn 30 6 = 1980 mtkustj, mikä on liin vähän, eli inkin yhessä linj-utoss täytyy oll vähintään 67 mtkustj. ) Jos kikiss linj-utoiss olisi korkeintn 13 vpt pikk, niin jokisess olisi inkin 67 mtkustj eli yhteensä vähintään 30 67 = 2010. Tämä on liin suuri lukumäärä, joten inkin yhessä linj-utoss on inkin 14 vpt pikk. Tuntitehtävä 46: Ltikoss on erivärisiä plloj, värejä on yhteensä n erilist. Kutkin väriä on pljon. Ltikost poimitn k pllo. Miksi erilisten mhollisten väriyhistelmien määrä tälle k:n pllon joukolle on ( ) k+n 1 n 1? Vihje: Kiinnitä väreille jokin järjestys j jttele poimitut k pllo setetuksi riviin tässä värijärjestyksessä, smnväriset pllot siis kikki peräkkäin ennen vihto seurvn väriin. Rtkisu: Määritellään väreille jokin järjestys. Ajtelln, että vlitut k pllo on setettu jonoon, smnväriset in peräkkäin, siten että värit ovt vlituss järjestyksessä. Litetn värien väliin in keppi, jolloin tilnne muistutt seurv: ooooo ooo ooo oo o Tässä listn ensimmäistä väriä on 5 kpplett, toist ei linkn, kolmtt 3, neljättä 3, viiettä 2 j kuuett 1 j seitsemättä ei linkn. Erilisi väriyhistelmiä on yhtä mont kuin mhollisuuksi litt värejä erottvt n 1 keppiä k:n pllon jonoon. Keppejä s oll myös jonon luss j lopuss. Toisin snoen, on siis setettv n 1 keppiä j k pllo jonoon, j lskettv näin syntyvien jonojen lukumäärä. Vielä uuelleen muotoiltun: kuink monell tvll k + n 1 pitkästä jonost voin vlit n 1 pikk, joihin sett keppi? Eli kuink monell tvll k + n 1 lkion joukost voin vlit n 1:n lkion osjoukko? Vstus kysymykseen on ( k+n 1 n 1 ), j smll tämä on vstus lkuperäiseen kysymykseen. Kotitehtävä 47: Trkstelln tvllist 52 kortin korttipkk (neljä mt, kutkin 13 kortti, numerorvot 2-13 j ässä). ) Kuink mont erilist viien kortin kättä (eli järjestämätöntä joukko) on olemss? 6
) Pokeriss viien kortin kättä, joss kikki kortit ovt sm mt, kutsutn väriksi. Montko viien kortin väriä on olemss? ) Viien kortin kättä, joss korteill on peräkkäiset numerorvot, kutsutn suorksi. Ässää voi käyttää numerorvoin 1 j 14, eli suor s lk ässällä ti päättyä siihen, mutt ässä ei s oll keskellä suor. Montko suor on olemss? ) Montko sellist viien kortin suor on olemss, jotk eivät ole värejä? Rtkisu: ) ( 52 5 ), sillä tämä kuv 52 lkion joukkojen viien lkion kokoisten osjoukkojen lukumäärää. Toislt vstuksen voi nt myös muooss 52 51 50 49 48/5!, sillä yksi korteist voin vlit 52 tvll, toinen 51:llä, jne, j nämä viisi kortti voivt oll 5! eri järjestyksessä. ) Vlitn väri, 4 mhollisuutt, j sitten sen värisistä 13 kortist viisi, eli vihtoehtoj on 4 (13 5 ). ) Suorn pienin rvo voi oll 1-10, joten vlitn luksi yksi näistä, j sitten kukin kortti neljästä vihtoehost, joten vstus on 10 4 5. ) Värisuori on 10 4 (vlitn väri j pienin rvo), joten suori, jotk eivät ole värejä, on 10 4 5 10 4. Kotitehtävä 48: Ltikoss on 7 sinistä, 6 keltist, 5 punist j 2 vihreää pllo. Montko erilist 5 pllon joukko ltikost voin vlit, kun ino ero pllojen välillä on niien väri, eikä plloj järjestetä mitenkään? Rtkisu: On olemss ( ) k+n 1 n 1 eri tp vlit k pllo ltikost, joss plloj on n:ää erilist väriä, j jokist väriä on riittävästi (kts. eellinen tehtävä). Kosk vihreitä plloj on vin 2, niin on yksinkertisint trkstell erikseen tpukset, joiss vlitn 0, 1 j 2 vihreää pllo (j nämä tpukset ovt toisens poissulkevi). Muit plloj on tällöin riittävästi vlittvksi miten thns. Jos vlitsemme j vihreätä pllo, niin on lisäksi vlittv 5 j pllo, joien väri on jokin muu kuin vihreä. Tällöin värivihtoehtoj on 3. Kikkien vihtoehtojen lukumääräksi tulee silloin ( ) ( ) ( ) 5 0 + 3 1 5 1 + 3 1 5 2 + 3 1 + + 3 1 3 1 3 1 ( ) ( ) ( ) 7 6 5 = + + = 42 2 2 2 2 + 30 2 + 20 2 = 46. 7
Kotitehtävä 49: Professori Luupää käy yleensä jok päivä sekä uimss että juoksulenkillä. Nyt hän päättää kuitenkin keventää kevättään urheilun oslt. Proff vlitseekin mlis-, huhti- j toukokuust yhteensä 20 päivää, jolloin hän käy uimss, mutt ei käy lenkillä, j 40 päivää jolloin hän ei käy uimss, mutt juoksee 10 kilometrin lenkin. Muin päivinä hän käy sekä uimss että lenkillä. Monellko tvll hän voi tehä nämä vlinnt? ) Esitä vstus multinomikertoimen. ) Lske vstus käyttäen tuloperitett: vlitse ensin ne 50 päivää, jolloin proff käy uimss mutt ei lenkillä, j sitten jäljellä olevist päivistä ne, jolloin hän ei käy uimss mutt juoksee lenkin. Esitä vstus inomikertoimien vull. ) Osoit, että )- j )-kohtien vstukset ovt smt. Rtkisu: () Kosk mlis-, huhti- j toukokuuss on yhteensä 92 päivää kysymys on siitä, monellko tvll tämä 92:n päivän joukko voin jk kolmeen pistevierseen osjoukkoon, joiss on 20, 40 j 32 lkiot. Vstus tähän sn multinomikertoimen vull j lukumääräksi tulee ( ) 92 = 20, 40, 32 92! 20! 40! 32!. () Jos ensin vlitn 92:n päivän joukost 20 päivää, jolloin hän käy uimss meressä niin vihtoehtoj on ( 92 20) j jos jäljellä olevist 92 20 = 72 päivistä vlitn 40 päivää jolloin hän juoksee 10:n kilometrin lenkin niin vihtoehtoj on ( 72 40), jolloin kikkien vihtoehtojen lukumääräksi tuloperitteen nojll tulee ( ) ( ) 92 72. 20 40 ( ) ( ) 92 92! 72 () Kosk = 20 20! (92 20)! j 72! = 40 40 (72 40)! niin ( ) 92 20 ( ) 72 = 40 92! 20! (92 20)! 72! 40 (72 40)! = 92! 72! j molemmill lskutvoill sn siis sm vstus. 20! 72! 40! 32! = 92! 20! 40! 32! = ( ) 92 20, 40, 32 Hstetehtävä 50: Montko eri 8
) refleksiivistä reltiot ) ekvivlenssireltiot on voin määritellä n lkiot sisältävään joukkoon? Perustele huolellisesti. Verkkotehtävät 4: Muistthn myös verkkotehtävät! Neljäs tehtäväsrj sulkeutuu ti 20.3. klo 16.00. 9