ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa

Luentoviikko 7 Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Induktiokokeet Faradayn laki Lenzin laki Liikkeen tuottama smv Indusoituneet sähkökentät Pyörrevirrat Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Yhteenveto Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Keskinäisinduktanssi Itseisinduktanssi ja kuristimet Magneettikentän energia Muuntajat Yhteenveto a A B E b 2 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Oppimistavoitteet Tavoitteena on oppia tuntemaan kokeellista todistusaineistoa, joka osoittaa, että muuttuva magneettikenttä indusoi sähkömotorisen voiman miten Faradayn laki liittää silmukkaan indusoituvan smv:n ja silmukan läpi kulkevan magneettivuon muutoksen miten indusoituneen smv:n suunta määritetään miten lasketaan magneettikentän läpi liikkuvaan johtimeen indusoituva smv miten muuttuva magneettivuo tuottaa sähkökentän, joka on sangen toisenlainen kuin varausjoukon tuottama sähkökenttä neljä perusyhtälöä, jotka kattavasti kuvaavat sähkön ja magnetismin 3 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Induktiokokeet Ajatuskoe Asetetaan kela sähkömagneetin napojen väliin ja mitataan kelan virtaa 1. Sähkömagneetissa ei virtaa B = 0 mittauskelassa ei kulje virtaa 2. Sähkömagneetti kytketään päälle: kelassa kulkee hetken virta, kun B kasvaa 3. B tasoittuu vakioarvoon: kelan virta häviää 4. Kelaa vedetään pois magneettikentästä, käännellään tai sen pinta-alaa muutetaan: kelassa virta kulkee muutoksen aikana 5. Kelan kierroksia puretaan: kelassa kulkee virta muutoksen aikana 6. Magneetti sammutetaan: kelassa kulkee virta hetkellisesti 7. Mitä nopeampia muutokset ovat, sitä suurempi kelan virta on 8. Vaihdetaan kelan materiaali (kelan resistanssi R): virta 1/R indusoituva smv ei riipu kelan materiaalista [virran esiintyminen kielii smv:n lähteen olemassaolosta] Johtopäätös: kelan läpi menevän magneettivuon muutos aiheuttaa indusoituneen sähkömotorisen voiman (ja indusoi piiriin virran) 4 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Faradayn laki Faradayn (induktio)laki Taustalla Michael Faradayn ja Joseph Henryn tekemät kokeet 1830-luvulla Induktiokokeissa muuttuvana suureena on magneettivuo Φ B : Φ B = B d A = B cos φ da Silmukaan indusoitunut sähkömotorinen voima E käy ilmi Faradayn induktiolaista: E = dφ B = d [ ] B d A Suljettuun silmukkaan indusoitunut sähkömotorinen voima on silmukan läpi kulkevan magneettivuon negatiivinen aikaderivaatta 5 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Faradayn laki Indusoituneen smv:n suunta Faradayn lakiin liittyvä oikean käden sääntö: A E Kun peukalo osoittaa pinnan positiiviseen suuntaan ( A tai d A), muut sormet osoittavat smv:n positiiviseen referenssisuuntaan (E). Kiinnittämällä referenssisuunnat näin ja laskemalla oikein saadaan automaattisesti smv:n suunta oikein. Jos tarkasteltava silmukka on johtava, indusoitunut smv tuottaa siihen virran. Indusoitunut virta synnyttää magneettikentän vastakkaiseen suuntaan kuin ulkoisen kentän muutos. 6 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Faradayn laki Induktiolain sovelluksia Vaihtovirtageneraattori Vuo Φ B = BA cos φ, missä φ = ωt Sähkömotorinen voima A E = dφ B = ωba sin ωt B Φ B :n ja E:n välillä vaihesiirto (90 ) Φ B, E E t Φ B a E b 7 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Faradayn laki Induktiolain sovelluksia Tasavirtageneraattori Kun roottorisilmukan smv poimitaan ulos kommutaattorin vastakkaisista lohkoista, generaattori tuottaa tasajännitettä Mitä enemmän lohkoja ja silmukoita, sitä lähempänä smv on tasajännitettä A B Φ B, E E t Φ B a E b (Tasavirtamoottorissa syntyvää smv:tä kutsutaan vastasähkömotoriseksi voimaksi) 8 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Lenzin laki Lenzin laki Lenzin laki auttaa indusoituneen smv:n tai virran (= induktiovaikutuksen ) suunnan määrittämisessä laki sisältyy tavallaan Faradayn lain miinusmerkkiin ja liitty myös energian säilymiseen: Jokaisen magneettisen induktiovaikutuksen suunta on sellainen, että se vastustaa vaikutuksen aiheuttajaa. Vaikutuksen aiheuttaja voi olla paikoillaan olevan piirin läpi kulkevan magneettikentän aikariippuvuudesta aiheutuva vuon muutos, piirin johtimien liikkeestä aiheutuva vuon muutos tai näiden yhdistelmä: Virtapiiriin indusoituneen virran suunta on sellainen, että virran luoma magneettikenttä vastustaa virtaa indusoivaa magneettivuon muutosta Magneettikentässä liikkuvaan sauvaan kohdistuu indusoituneen virran vaikutuksesta magneettinen voima, joka vastustaa sauvan liikettä 9 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Liikkeen tuottama sähkömotorinen voima Magneettikentässä liikkuva sauva Johdesauva liikkuu nopeudella v kohtisuorasti magneettikentään nähden Positiiviset varaukset siirtyvät voiman F = q( v B) vaikutuksesta ylöspäin Sauvan päiden välille muodostuva sähkökenttä aiheuttaa voiman q E alaspäin Tasapainossa qe = qvb E = vb V ab = EL = vbl U:n muotoisen, paikallaan olevan johtimen varauksiin ei kohdistu magneettista voimaa Sähkökenttä aiheuttaa virran piiriin I a L b v v Liikkuva sauva on smv:n lähde 11 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Liikkeen tuottama sähkömotorinen voima Liikkeen tuottama sähkömotorinen voima Kun L ja v ovat kohtisuorassa B:tä vastaan, E = vbl Yleistettynä johdinalkiolle d l ja suljetulle virtapiirille magneettikentässä B saadaan de = ( v B) d l E = ( v B) d l (liike-smv) Kun virtapiirin johdin liikkuu, E = ( v B) dl = dφ B = d B d A, kunhan integrointipinta valitaan sopivasti (eli miten?) 12 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Liikkeen tuottama sähkömotorinen voima Energia ja työ Äsken määritettiin liukulankageneraattoriin indusoitunut smv V ab = vbl. Jos kuvan silmukan resistanssi on R, indusoitunut virta I = V ab /R ja lämpöteho P = I 2 R. Ulkoinen voima F = ILB liikuttaa johdesauvaa oikealle (eli tekee työtä). Mekaaninen teho P = Fv. Laskemalla huomaa, että mekaaninen teho = lämpöteho, eli sähkögeneraattorit muuttavat mekaanista työtä sähköenergiaksi. Tiedetään, ettei magneettikenttä voi tehdä työtä varaukselle miten magneettikenttä tekee työtä generaattorissa (virta = varausten liikettä)? Jonkinlainen sähkökenttä on oltava ratkaisevassa roolissa. I v 13 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Indusoituneet sähkökentät Mikä liikuttaa varauksia? Mikä saa varaukset liikkeelle, kun vuo paikallaan pysyvän piirin läpi muuttuu? Tarkastellaan pitkää ohutta solenoidia; solenoidin sisällä B = µ 0 ni Vuo kelanulkoisen johdinsilmukan läpi (val. A B) Φ B = BA = µ 0 nia I (t) I(t) A E Jos solenoidin virta I riippuu ajasta, silmukkaan indusoituu smv E = dφ B = µ 0nA di E E Smv:tä vastaa silmukan virta I = E/R 14 (42)

Indusoitunut sähkökenttä Johdinsilmukan kohdalla B = 0 johtimen varauksiin ei kohdistu magneettista voimaa Varausten liikuttajana on (virran tuottaa) ilmeisesti sähkökenttä Ajan myötä muuttuva magneettivuo indusoi sähkökentän Kun varaus q kulkee yhden kierroksen johdinsilmukassa, tämä sähkökenttä tekee työn W = qe 0 Indusoitunut sähkökenttä on ei-sähköstaattinen ja ei-konservatiivinen, koska E d l = E 0 ei-konservatiiviselle kentälle potentiaalin käsite ei ole mielekäs Faradayn laki voidaan kirjoittaa muotoon E d l = dφ B [kun integrointitie on liikkumaton] Huomaa: E = dφ B / toimii aina. Lisäksi F = q E pätee aina. Sähköstaattinen kenttä on aina konservatiivinen.

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Pyörrevirrat Pyörrevirrat Tähän asti on tarkasteltu induktioilmiöitä ohuissa virtapiirien johtimissa Monissa sähkökojeissa on massiivisia magneettikentissä liikkuvia johdekappaleita indusoitunut virta kiertää kappaleen koko tilavuudessa kuin pyörteet koskessa: virtoja nimitetään pyörrevirroiksi Esimerkkinä olkoon pyörivä metallilevy, joka on osittain magneettikentässä Muuttuvan magneettivuon (ts. johtimen liikkeen) takia levyyn indusoituu virta magneettikentän kohdalle Paluuvirrat kiertävät pyörteenomaisesti magneettikenttäalueen ulkopuolelta takaisin Magneettikenttä kohdistaa alueellaan pyörrevirtaan voiman, joka (Lenzin lain mukaisesti) pyrkii vastustamaan kiekon liikettä pyörrevirtajarru Muita pyörrevirtojen sovelluksia ovat kiskojarru, induktioliesi, metallinpaljastimet, ainetta rikkomaton testaus &c. Pyörrevirrat aiheuttavat i 2 R-häviöitä muuntajien ja sähkökoneiden raudassa laminoituja eli kerrostettuja rakenteita käytettävä 17 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Lävistyslain vajavaisuus Tarkastellaan levykondensaattorin varautumista Kondensaattorin varautuessa johtimissa kulkee hetkellisvirta i C (johtavuusvirta) Muodostetaan kaksi pintaa, joilla on sama reunakäyrä: tasopinta (vihertävä) ja puolipallon muotoinen pinta (sinertävä), joka pullistuu levyjen väliin Reunakäyrällä ja tasopinnalla lävistyslain mukaisesti B d l = µ 0 I encl,taso = µ 0 i C i C Toisaalta puolipallon läpi ei kulje johtavuusvirtaa, joten vaikka reunakäyrä on sama, µ 0 I encl,puolipallo = 0 = B dl B dl = µ 0 i C Ampèren lain yleistys? 18 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Siirrosvirta ja yleistetty Ampèren laki Kun kondensaattori (kapasitanssi C) varautuu, hetkellisesti q = Cv = εa d (Ed) = εea = εφ E ja i C = dq = ε dφ E, missä Φ E sähkökentän vuo ja v on levyjen hetkellispotentiaaliero Väitämme, että levyjen välissä kulkee siirrosvirta i D = ε dφ E Ristiriita korjautuu: tasopinnan läpi kulkee virta i C ja puolipallon pinnan läpi virta i D = i C Yleistetty Ampèren laki saa muodon B dl = µ 0 (i C + i D ) encl Siirrosvirran keksi James Clerk Maxwell vuonna 1865 Siirrosvirrantiheys j D = i D A = ε dφ E A = ε de 19 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Siirrosvirran todellisuus Tuottaako siirrosvirta magneettikentän kondensaattorilevyjen väliin? Virta r -säteisen ympyrän läpi (R-säteisten levyjen välissä) on i D,encl = j D A(r ) = Ampèren lain mukaisesti r -säteisellä integrointitiellä B d l = 2πr B = µ 0 i D,encl = µ 0 i D r 2 i D πr 2 πr 2 r 2 = i D R 2 R 2 i D =i C B = µ 0 r 2π R 2 i C Kondensaattorin akselilla B = 0 ja reunalla B = µ 0 i C /(2πR); kondensaattorin ulkopuolella B on kuten johtimella (levyjen olemassaoloa ei havaita [hajakentät on jätetty huomioon ottamatta]) Tämä magneettikenttä on mitattavissa siirrosvirta on todellisuutta kuvaava käsite oikein tulkittuna (Yleistetty) Ampèren laki pätee magneettisessa materiaalissa, kunhan magnetoituma on verrannollinen ulkoiseen kenttään ja µ 0 µ 20 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöt tyhjiössä Nyt voimme koota yhteen kaikki sähkö- ja magneettikenttien lähteiden ja kenttien yhteyksiä kuvaavat lait eli Maxwellin yhtälöt (kuten Maxwell aikanaan teki): E d A = Q encl ε 0 B d A = 0 ( [ ]) B dl d = µ 0 i C + ε 0 E d A [ E d l = dφ B = d ] B d A encl Gaussin laki magnetismin Gaussin laki Ampèren laki Faradayn laki (Ampèren ja Faradayn laeissa on oikean käden suunnastus. Faradayn lain viivaintegraali on määritettävä liikkumatonta tietä pitkin. Varaukset ja virrat ovat [ei-tyhjässä] tyhjiössä.) 21 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Sähkökentän osat Yleisessä tilanteessa sähkökenttä E muodostuu konservatiivisesta (c, varausten tuottama osa) ja ei-konservatiivisesta (n, induktion tuottama osa) osasta: E = E c + E n Osille pätee E c dl = 0 ja E n d A = 0 E saa olla kokonaiskenttä Faradayn laissa E saa olla kokonaiskenttä Gaussin laissa E d l = dφ B E d A = Q encl ε 0 Maxwellin yhtälöt eivät erottele konservatiivisia ja ei-konservatiivisia kenttiä (yhtälöiden E on kokonaissähkökenttä) 22 (42)

Sähkömagneettinen induktio (YF 29) Siirrosvirta ja Maxwellin yhtälöt Maxwellin yhtälöiden symmetria Tyhjässä avaruudessa i C = 0 ja Q encl = 0, joten E d A = 0, B d A = 0 ja B dl d = ε 0 µ 0 E d A E dl = d B d A Ajasta riippuva sähkökenttä indusoi aina magneettikentän lähiavaruuteen ja päinvastoin: yhtälöt enteilevät eteneviä sähkömagneettisia häiriöitä eli sähkömagneettisia aaltoja Maxwellin yhtälöt sisältävät kaikki kenttien ja niiden lähteiden yhteydet; kun yhtälöt täydennetään voimalailla F = q( E + v B), meillä on kaikki sähkömagnetismin perusyhtälöt! (Miten magneettisten varausten löytyminen muuttaisi yhtälöitä?) Newtonin liikelait, termodynamiikan lait, Maxwellin yhtälöt, suhteellisuusteoria ja kvanttifysiikka ovat samaa sarjaa 23 (42)

Yhteenveto luvusta 29 Keskeisiä käsitteitä Magneettivuo Φ B pinnan läpi Tärkeitä kaavoja Faradayn induktiolaki Indusoitunut sähkömotorinen voima E ja indusoitunut virta I Lenzin laki Indusoitunut sähkökenttä Pyörrevirta Liike-smv E = E = dφ B ( v B) d l Siirrosvirta i D = ε dφ E Yleistetty Ampèren laki B d l = µ 0 (i C + i D ) encl Induktioilmiö: dφ B E, E n johtava I B silmukka

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Oppimistavoitteet Tavoitteena on oppia miten aikariippuva virta yhdessä kelassa indusoi smv:n toiseen, erilliseen kelaan miten piiriin indusoituva smv liittyy virran muutosnopeuteen samassa piirissä miten lasketaan magneettikenttään varastoitunut energia miksi muuntajat ovat hyödyllisiä ja miten ne toimivat 27 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Keskinäisinduktanssi Induktio ja induktanssi Jos kelassa tai virtajohtimessa kulkee virtaa, muodostuu magneettikenttä Jos virta riippuu ajasta, magneettikenttäkin riippuu ajasta Ajasta riippuva magneettikenttä indusoi läheisiin kappaleisiin sähkömotorisen voiman, joka herättää virran, mikäli kappale (a) on johdetta ja (b) muodostaa suljetun silmukan Näiden ensiö- ja toisiovirtojen riippuvuutta toisistaan kuvataan keskinäisinduktanssilla M Muuttuva virta kelassa aiheuttaa muuttuvan magneettikentän, joka indusoi sähkömotorisen voiman myös kelaan itseensä: tämä on itseisinduktanssi L 28 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Keskinäisinduktanssi Keskinäisinduktanssi Kela 1: N 1 kierrosta, muuttuva virta i 1 [huomaa pieni kirjain] muuttuva magneettikenttä, eli kelan 2 läpi kulkee muuttuva magneettivuo Kela 2: N 2 kierrosta, virran i 1 synnyttämän magneettivuon indusoima smv kelaan 2 on E 2 = N 2 dφ B2 jos vuo yhden kierroksen läpi on Φ B2, Kela 1 i 1 Kela 2 i 2 Φ B2 Määritellään verrannollisuuskerroin keskinäisinduktanssi M 21 : N 2 Φ B2 = M 21 i 1 N 2 dφ B2 = M 21 di 1 E 2 = M 21 di 1 29 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Keskinäisinduktanssi Keskinäisinduktanssi Keskinäisinduktanssi on symmetrinen suure: M 21 = M 12 = M, joten Keskinäisinduktanssi M = N 2Φ B2 i 1 E 1 = M di 2 = N 1Φ B1 i 2 ja E 2 = M di 1 [M] = V s A = Ω s def = henry = H Keskinäisinduktanssista on haittaa sähköpiireissä, koska muuttuva virta yhdessä piirissä voi aiheuttaa ei-toivotun virran toisessa piirissä Keskinäisinduktanssin tärkeä sovelluskohde on muuntaja, jolla vaihtovirtapiireissä nostetaan ja lasketaan jännitteitä 30 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Keskinäisinduktanssi Teslan käämi Teslan käämi: sylinterimäisessä kelassa (pituus l, poikkipinta-ala A) on N 1 kierrosta, ja sitä ympäröi toinen kela, jossa on N 2 kierrosta Jos sisäkelassa on virta i 1, kelan keskiakselilla magneettikenttä Keskinäisinduktanssi B 1 = µ 0 n 1 i 1 = µ 0N 1 i 1 l M = N 2Φ B2 i 1 = N 2B 1 A i 1 = N 2 µ 0 N 1 i 1 i 1 l A = µ 0AN 1 N 2 l M riippuu vain geometriasta, ei virrasta Esim. l = 0.50 m, A = 10 cm 2, N 1 = 1000, N 2 = 10 M = 25 µh 31 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Itseisinduktanssi ja kuristimet Itseisinduktanssi Tarkastellaan yksittäistä virtapiiriä: piirissä kulkeva virta (i) synnyttää magneettivuon (Φ B ) piirin itsensä läpi; jos virta muuttuu, magneettivuo muuttuu ja piiriin syntyy itseisindusoitunut smv E N-kierroksisen kelan itseisinduktanssi eli vain induktanssi L = NΦ B i [L] = henry Määritelmästä seuraa, että N dφ B = L di, ja edelleen Faradayn lain perusteella E = N dφ B E = L di (itseisindusoitunut smv) Piirin itseisinduktanssi on itseisindusoituneen smv:n suuruus virran yksikkömuutosta kohden 33 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Itseisinduktanssi ja kuristimet Kuristin Kuristin eli kela on komponentti, jolla nimenomaisesti on induktanssia (elektroniikan peruskomponentti vastusten ja kondensaattorien kanssa) Kuristimen tehtävä on vastustaa piirin virran muutoksi a (vrt. kondensaattori, joka vastustaa jännitteen muutoksia) Tarkastellaan virtapiiriin kytkettyä kelaa Jos piirissä ei olisi kelaa, piirin potentiaalierot summautuisivat nollaksi yhden kierroksen aikana (sähköstaattinen kenttä on konservatiivinen) Kelan lisääminen muuttaa tilanteen: kelassa on (myös) ei-konservatiivinen sähkökenttä E n Oletetaan (lähes) vastukseton kela häviävän pieni kokonaissähkökenttä E c + E n riittää varauksen kuljettamiseen kelan läpi E c (sähkökentän konservatiivinen osa) ei ole nolla kelassa on sähkövarausta 34 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Itseisinduktanssi ja kuristimet Kela virtapiirissä Piiriin itseisindusoitunut sähkömotorinen voima (kun virta i kulkee a b kelan induktanssissa L ja E n 0 vain kelassa) E = E n d l = L di E = b a E n d l = L di Koska kela oletettiin vastuksettomaksi, E c + E n = 0 ja b E = ( E c ) dl = (V a V b ) = V ab = L di a V ab = L di Kelan napojen välillä on sähköstaattisten voimien tuottama jännite, jota voi käsitellä vastusten tai kondensaattorien jännitteiden tapaan Itseisindusoitunut smv vastustaa virran muutosta, ei virtaa Esim. loisteputken kanssa on sarjakytkettynä kuristin, joka hillitsee putkensisäisessä plasmassa kulkevaa virtaa ja toisaalta pitää virran kulkemassa, kun vaihtojännitteen napaisuus vaihtuu 35 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Itseisinduktanssi ja kuristimet Vastus vs. kela Vastus V ab = ir a Virta kulkekoon a b i Potentiaaliero V ab > 0 eli potentiaali putoaa kuljettaessa a b R b Kela a i L V ab = L di Virta kulkekoon a b Jos di/ > 0, potentiaaliero V ab > 0 eli potentiaali putoaa a b Jos di/ < 0, potentiaaliero V ab < 0 eli potentiaali kasvaa a b Jos i on vakio, potentiaaliero V ab = 0 eli potentiaali pysyy samana a b b 36 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Itseisinduktanssi ja kuristimet Toroidin itseisinduktanssi Toroidin magneettivuon tiheys B = µ 0Ni 2πr Magneettivuo Φ B = BA = µ 0NiA 2πr Itseisinduktanssi L = NΦ B i = µ 0N 2 A 2πr Esim: N = 200, A = 5.0 cm 2 ja r = 0.10 m L = 40 µh Toisaalta jos toroidilla rautasydän (K m = 5000): L = 200 mh 37 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Magneettikentän energia Kelan magneettinen energia Jos kelan napojen välillä on jännite V ab = L di/, kun kelan läpi kulkee kasvava virta i, kelaan syötetään hetkellisteho P = V ab i = Li di/ Kelaan syötetään ajassa energia du = P = Li di Kun virta kasvaa nollasta arvoon I, kelaan syötetään kokonaisenergia I U = L 0 i di = 1 2 LI2 (kelan magneettinen energia) 38 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Magneettikentän energia Kelan magneettikentän energia Otetaan esimerkiksi tyhjiötäytteinen toroidi: L µ 0N 2 A 2πr U = 1 2 LI2 = 1 2 Kokonaisenergiaa tilavuudessa V vastaa energiatiheys u = U V U 2πr A = 1 2 µ N 2 I 2 0 (2πr ) 2 µ 0 N 2 A 2πr I2 Toroidin magneettikenttä B = µ 0 NI/(2πr ), joten magneettikentän energiatiheys u = 1 2µ 0 B 2 (vrt. u = 1 2 ε 0E 2 ) Jos kelan sisällä on magneettista ainetta (µ = K m µ 0 ), u = 1 2µ B2 39 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Muuntajat Muuntajat Muuntajassa on kaksi käämitystä (kelaa) yhteisen (rauta)sydämen (K m 1) ympärillä eristettyinä toisistaan. Keskinäisinduktanssin avulla saadaan vaihtojännitteen tasoa muutettua. (Vaihtojännitteet V 1, V 2 ja virrat I 1, I 2 ovat tehollisarvoja.) Φ B I 1 I 2 N 1 N2 V 1 V 2 Teho syötetään ensiökäämiin (1) ja otetaan ulos toisiokäämistä (2). K m 1 Ensiökäämiin syötetty vaihtovirta I 1 tuottaa sydämeen muuttuvan magneettikentän, joka indusoi toisiokäämiin samantaajuisen virran. Magneettivuo Φ B pysyy (lähes täydellisesti) sydämessä, joten käämien välinen keskinäisinduktanssi maksimoituu. 40 (42)

Induktanssi ja muuntajat (YF 30.1 3, 31.6) Muuntajat Ideaalimuuntaja Ideaalimuuntaja on häviötön ja sillä on sama Φ B käämien kaikissa kierroksissa. Faradayn lain avulla saadaan Φ B I 1 I 2 V 1 = N 1 dφ B, V 2 = N 2 dφ B V 2 V 1 = N 2 N 1 N 1 N2 V 1 V 2 (häviöttömässä tapauksessa smv = napajännite) K m 1 Häviöttömässä tapauksessa antoteho = syötetty teho, joten V 1 I 1 = V 2 I 2 Käämityksen suunnat on valittu jotta kaavoihin ei tulisi miinusmerkkiä (tarkista Lenzin lailla). Millaisena toisiokäämiin kytketty vastus R näkyy ensiöpuolella? 41 (42)

Yhteenveto luvusta 30.1 3, 31.6 Keskeisiä käsitteitä Keskinäisinduktanssi M Itseisinduktanssi L Kuristin eli kela Magneettinen energia Muuntaja Tärkeitä kaavoja Keskinäisinduktanssi M = N 2Φ B2 i 1 Itseisinduktanssi L = NΦ B i = N 1Φ B1 i 2 Kelan napajännite ja energia V ab = L di, U = 1 2 LI2 Ideaalimuuntaja V 2 V 1 = N 2 N 1, V 1 I 1 = V 2 I 2