Ville Suomala INTEGRAALI

Transkriptio

1 Ville Suomala INTEGRAALI Luentotiivistelmä kevät 2018

2 Aluksi Tämä on kurssin Integraali alustava luentomoniste/tiivistelmä. Klassisessa mielessä integroinnilla tarkoitetaan usein funktion kuvaajan alapuolelle jäävän pinta-alan tai tilavuuden määräämistä. Integrointiteorian tausta on siis geometrinen. Myös tällä kurssilla käsiteltävä Riemann integrointi voidaan ajatella/tulkita pinta-alan määrämiseksi. Modernin matematiikan ja sovellusalojen parissa integraalin avulla kuvataan myös monia muita suureita, kuten keskiarvoa/odotusarvoa, massaa, kappaleen kulkemaa matkaa, energiaa jne. 1 Riemann-integraali 1.1 Porrasfunktiot ja niiden alkeisintegraali Jatkossa merkintä [a, b] tarkoittaa aina suljettua ja rajoitettua reaalilukuväliä, jonka päätepisteet ovat a, b R, a < b. Palautetaan mieleen seuraava tärkeä käsite: Määritelmä 1.1. Funktio f : [a, b] R on rajoitettu, jos on olemassa M < siten, että f(x) M kaikille x [a, b]. Suorakulmion pinta-ala saadaan tunnetusti kertomalla sen kanta korkeudella. Tavoitteena on määritellä funktion f : [a, b] R integraali sen graafin ja x-akselin väliin jäävänä pinta-alana. Jos f saa välillä [a, b] vakio-arvon c, tämä pinta-ala on c(b a). Koska erillisten suorakulmioiden yhdisteen pinta-ala saadaan laskemalla eri suorakulmioiden pinta-alat yhteen, päädymme tästä luontevasti integraalin määritelmään sellaisille funktioille, jotka ovat välillä [a, b] paloittain vakioita. Esitetään tämä määritelmä seuraavaksi täsmällisessä muodossa. Määritelmiä 1.2. Äärellinen jono P (x 0, x 1,..., x n ) on välin [a, b] R jako, jos a x 0 < x 1 <... < x n b. Pisteitä x k sanotaan jakopisteiksi ja välejä I k ]x k 1, x k [ sanotaan jakoväleiksi, k 1,..., n. Jako P (y 0, y 1,..., y m ) on jaon P (x 1,..., x n ) hienonnus (tihennys), jos P on saatu lisäämällä jakopisteitä jakoon P eli jos {x 0, x 1,..., x n } {y 0, y 1,..., y m }. Sanotaan, että funktio f : [a, b] R on porrasfunktio, jos on olemassa välin [a, b] jako P (x 0,..., x n ) ja luvut a k, k 1,..., n siten, että f(x) a k kaikille x I k ]x k 1, x k [. Porrasfunktion f (alkeis-) integraali on luku f(x) dx : a k l(i k ), missä l(i k ) x k x k 1 on välin I k pituus. 1

3 Huomautuksia. a)jos P ja P ovat välin [a, b] jakoja, niin aina on olemassa välin [a, b] jako, joka on sekä P :n, että P :n hienonnus. Pienin tällainen jako saadaan yhdistämällä P :n ja P :n jakopisteet. b) Porrasfunktion arvoilla jakopisteissä x k ei ole merkitystä integraalin f(x) dx arvoon. c) Huomaa, että porrasfunktioon f liittyvä jako P ei ole yksikäsitteinen, koska jakopisteitä voidaan aina lisätä vapaasti. Porrasfunktion alkeisintegraalin määritelmä on kuitenkin hyvin asetettu: Integraalin arvo ei riipu valitusta jaosta (harjoitustehtävä:todista). d) Jos f 0, niin geometrisessa mielessä, porrasfunktion f integraali f(x) dx kertoo funktion f graafin ja x-akselin väliin jäävän tasoalueen (portaikon) pintaalan. Jos f saa myös negatiivisia arvoja, tulkitaan x-akselin alapuolelle jäävä pintaala "negatiiviseksi pinta-alaksi". Porrasfunktioiden avulla voidaan määritellä rajoitetun funktion f : [a, b] [0, + [ Riemann-integroituvuus ja Riemann-integraali. Tätä varten johdamme kuitenkin aluksi muutamia integraalin perusominsisuuksia porrasfunktion alkeisintegraalille Lemma 1.3. Olkoon f, g : [a, b] [0, + [ porrasfunktioita. Tällöin 1. f + g on myös porrasfunktio ja (f + g)(x) dx 2. λf on porrasfunktio kaikille λ R ja f(x) dx + (λf)(x) dx λ f(x) dx. g(x) dx. 3. Jos f g, niin 4. Kaikille a < c < b, f(x) dx g(x) dx. f(x) dx c f(x) dx + xc f(x) dx. Todistus. Olkoon P (x 0,..., x n ) porrasfunktioihin f ja g liittyvä yhteinen jako (Tällainen on ylläolevan huomautuksen nojalla aina olemassa). On siis luvut a k, b k R, k 1,..., n siten, että f(x) a k kaikille x I k, g(x) b k kaikille x I k 2

4 Välittömästi havaitaan, että (f + g)(x) f(x) + g(x) a k + b k kaikille x I k, joten f + g on porrasfunktio. Edelleen, (f + g)(x) dx (a k + b k )l(i k ) a k l(i k ) + f(x) dx + b k l(i k ) g(x) dx. Väite 2 todistetaan samaan tapaan (Harjoitusten 1 tehtävä 3). Väitteen 3 todistamiseksi huomataan ensin, että porrasfunktion h 0 integraalin arvo on aina 0 ja tämän jälkeen sovelletaan tätä tietoa funktioon h f g (Yksityiskohdat luennolla/harjoituksissa). Väite 4 on Harjoitusten 1 tehtävänä numero Rajoitetun funktion Riemann-integroituvuus ja Riemannintegraali yli suljetun välin Valmisteluiden jälkeen voidaan viimein määritellä kurssin keskeisin käsite, Riemannintegraali. Määritelmiä 1.4. Rajoitetun funktion f : [a, b] [0, + [ alaintegraali on luku { } ala f : sup h(x) dx : h on porrasfunktio ja h(x) f(x) kaikille x [a, b] ja yläintegraali on puolestaan yl.ȧ { } f : inf h(x) dx : h on porrasfunktio ja h(x) f(x) kaikille x [a, b]. Jos ala f yl.ȧ f, sanotaan että f on Riemann-integroituva (yli välin [a, b]), jolloin sen Riemann-integraali on f(x) dx : ala f yl.ȧ f. Huomautuksia. a) Ala- ja yläintegraalin määritelmä on hyvin asetettu, eli määritelmissä esiintyvät supremum ja infimum ovat olemassa: Koska f on rajoitettu, niin on olemassa M R siten, että M f(x) M kaikille x [a, b]. Siten porrasfunktio h(x) M kaikille x [a, b] toteuttaa ehdon h(x) f(x) kaikille x [a, b], joten joukko { } A h(x) dx : h on porrasfunktio ja h(x) f(x) kaikille x [a, b] 3

5 sisältää ainakin luvun ( M) dx M(a b) ja siten A. Jokaiselle porrasfunktiolle h f on toisaalta voimassa h(x) f(x) M, joten Lemman 1.3 nojalla h(x) M dx M(b a), eli joukko A on ylhäältä rajoitettu ylärajanaan M(b a). Täydellisyysaksiooman nojalla määritelmän mukainen luku ala f sup A on siis olemassa. Yläintegraalin olemassaolo osoitetaan vastaavalla tavalla, tai käyttämällä havaintoa yl.ȧ f ala ( f). Lemmasta 1.3 seuraa myös, että jos f on porrasfunktio, sen integraalin arvo on sama niin määritelmän 1.2 kuin määritelmän 1.4 mielessä. b) Lemman 1.3 avulla nähdään myös, että arvio ala f yl.ȧ f on aina voimassa. Riemann- integroituvuuden osoittamiseksi riittää siis näyttää 1, että ala f yl.ȧ f. c) Tehdään vielä seuraava havainto, jonka mukaan alaintegraalia arvioitaessa, kannattaa valita porrasfunktio niin suureksi, kuin se jaon puolesta on mahdollista: Jos h on porrasfunktio (välin [a, b] jaolla P (x 0,..., x n )) ja jos h(x) f(x) kaikille x [a, b], niin tällöin h(x) g(x) f(x), missä g(x) inf x I k f(x) kaikille x I k. Koska g on myös porrasfunktio, jonka integraali on s P : l(i k ) inf x I k f(x), niin alaintegraali voidaan määritellä yhtäpitävästi asettamalla ala f sup{s P : P on välin [a, b] jako}. Vastaavasti, jos määritellään S P l(i k ) sup x I k f(x), niin yl.ȧ f inf{s P : P on välin [a, b] jako}. Kun väli [a, b] on annettu ja f, g : [a, b] R, merkintä f g tarkoittaa jatkossa sitä, että f(x) g(x) kaikille x [a, b]. 1 Muista, että reaaliluvuille u, v pätee u v jos ja vain jos sekä u v, että v u. 4

6 Esimerkkejä. a) Osaamme jo integroida vakiofunktiota sekä näiden lineaariyhdistelyinä saatavia porrasfunktioita suoraan määritelmän avulla. b) Tutkitaan seuraavaksi lineaarisen funktion Riemann integraalia. Olkoon f : [a, b] R, f(x) x. Olkoon n N ja jaetaan väli [a, b] tasaisesti n osaan jaon P (a, a + 1 (b a), a + 2 (b a),..., b 1 (b a), b) n n n mukaisesti (tässä siis x k a + k (b a), kun k 0,..., n). Olkoon n h(x) f(x k 1 ) x k 1 a + k 1 n (b a) kaikille x I k, jolloin h on porrasfunktio ja h(x) f(x) kaikille 2 x [a, b]. Saadaan ala { } f sup g(x) dx : g on porrasfunktio ja g(x) f(x) kaikille x [a, b] h(x) l(i k )f(x k 1 ) b a n ( a + k 1 ) (b a) n a(b a) + (b a) 2 1 n 1 k n 2 k0 a(b a) + (b a) 2 1 n(n 1) ( n 2 2 ) (b a) (n 1) (b a) a +. 2 n Koska ( lim (b a) a + n (b a) 2 ) (n 1) n (b a)(b + a) 2 b2 a 2 2, havaitaan että ala f (b 2 a 2 )/2. Tutkimalla porrasfunktiota g, jolle g(x) f(x k ) a + k n (b a) f(x) kaikille x I k, ja antamalla n, vastaava lasku osoittaa, että yl.ȧ f (b 2 a 2 )/2. Täten f on Riemann integroituva ja x dx b2 a Kunhan määrittelemme funktion h sopivasti myös jakopisteissä, esim. h(x k ) f(x k 1 ). Jatkossa jätämme porrasfunktioiden arvot jakopisteissä usein huomiotta, koska niillä ei ole vaikutusta integraalin arvoon. 5

7 c) Hieman vastaava lasku (luennot/harjoitukset) osoittaa, että kaikille m {0, 1, 2,...} on voimassa x m dx bm+1 a m+1. m + 1 d) Kaikki funktiot eivät suinkaan ole Riemann-integroituvia: Olkoon Q rationaalilukujen joukko. Määritellään f : [0, 1] R asettamalla { 1 kun x [0, 1] Q, f(x) 0 kun x [0, 1] \ Q. Olkoon P (x 0,..., x n ) välin [0, 1] jako ja olkoon h porrasfunktio siten, että h(x) a k f(x) kaikille x I k ]x k 1, x k [. Koska avoimella reaalilukuvälillä I k on ainakin yksi irrationaaliluku, niin f saa arvon 0 jossakin välin I k pisteessä. Siten a k 0 kaikille k 1,..., n ja edelleen 1 x0 h(x) dx a k l(i k ) 0. Koska tämä pätee kaikille porasfunktiolle h f, saadaan ala f 0. Tarkastellaan sitten porrasfunktoita g, jolle g(x) b k f(x) kaikille x I k. Koska jokaisella välillä I k on vähintään yksi rationaaliluku, huomataan että b k 1, joten g(x) dx b k l(i k ) l(i k ) 1, ja edelleen yl.ȧ f 1 > 0 ala f. Funktio f ei siis ole Riemann-integroituva. Kysymys. Korvataan edellä joukko [0, 1] Q joukolla N {1, 1, 1, 1,...} ja määritellään { kun x N, f(x) 0 kun x [0, 1] \ N. Onko f Riemann-integroituva? Miten tämä eroaa edellisen esimerkin tilanteesta? Osaamme toistaiseksi integroida porrasfunktiot sekä monomit x x k. On opettavaista yriyttää integroida suoraan määritelmän perusteella myös hieman monimutkaisempia funktioita: Kysymys. Olkoon f : [0, 1] R, f(x) sin x. Onko f Riemann-integroituva ja jos on, mitä on 1 x0 sin x dx? 6

8 1.3 Riemann integraalin perusominaisuuksia Yleistetään seuraavaksi lemma 1.3 Riemann-integroituville funktiolle Lause 1.5. Olkoon f, g : [a, b] [0, + [ Riemann-integroituvia. Tällöin 1. f + g on Riemann-integroituva ja (f + g)(x) dx f(x) dx + g(x) dx. 2. λf on Riemann-integroituva kaikille λ R ja (λf)(x) dx λ f(x) dx. 3. Jos f g, niin f(x) dx g(x) dx. 4. Kaikille a < c < b, f(x) dx c f(x) dx + xc f(x) dx. Todistus. Tiedämme, että väitteet ovat voimassa porrasfunktioille. Sovelletaan tätä tietoa ja ala- ja yläintegraalien määritelmää. Olkoon ε > 0. Valitaan porrasfunktiot f 1, f 2, g 1, g 2 siten, että f 1 f f 2, g 1 g g 2, ja f 1 (x) dx > ala f 2 (x) dx < yl.ȧ g 1 (x) dx > ala g 2 (x) dx < yl.ȧ f(x) ε, f(x) + ε, g(x) ε, g(x) + ε. Porrasfunktioille h 1 f 1 +g 1 ja h 2 f 2 +g 2 saadaan h 1 f +g h 2 ja ylläolevista 7

9 arvioista edelleen lemmaan 1.3 nojautuen: ala (f + g) f 1 (x) dx + > ala f ε + ala f(x) dx + h 1 (x) g 1 (x) dx g ε g(x) dx 2ε, missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa funktioiden f ja g Riemann-integroituvuudesta. Koska tämä pätee kaikille ε > 0, saadaan (1.1) ala Vastaavasti, ja edelleen (1.2) yl.ȧ (f + g) yl.ȧ (f + g) f(x) dx + f 2 (x) dx + < yl.ȧ f + ε + yl.ȧ (f + g) f(x) dx + h 2 (x) g 2 (x) dx g + ε f(x) dx + g(x) dx. g(x) dx + 2ε, g(x) dx. Yhdistämällä arviot (1.1) ja (1.2), saadaan väite 1. Väitteen 2. todistamiseksi, oletetaan aluksi, että λ > 0. Olkoon ε > 0. Tällöin on olemassa porrasfunktio h f siten, että h(x) > ala f ε. Huomataan, että λh on myös porrasfunktio ja koska λh λf, niin lemman 1.3 nojalla ala λf Kun ε 0, saadaan ala λh(x) dx λ h(x) dx > λ ala λf λ ala 8 f λ f(x) dx. f λε.

10 (sillä f on Riemann-integroituva). Vastaavalla tavalla osoitetaan, että yl.ȧ λf λ yl.ȧ f λ f(x) dx. Nämä tiedto yhdistämällä saadaan väite 2 tapauksessa λ > 0. Väite on selvästi voimassa, kun λ 0. Tapaus λ < 0 jätetään harjoitustehtäväksi (Harj 2. teht. 10*). Todistetaan sitten väite 3. Jos f g, niin jokaiselle porrasfunktiolle h g on automaattisesti voimassa h f. Siten, { } h(x) : h on porrasfunktio ja h g { } h(x) : h on porrasfunktio ja h f ja edelleen { } g(x) dx sup h(x) : h on porrasfunktio ja h g { } sup h(x) : h on porrasfunktio ja h f f(x) dx. Väitteen 4. todistus palautuu niinikään lemman 1.3 vastaavaan tulokseen porrasfunktioille (yksityiskohdat: harj. 2 teht. 6.). Yhdistämällä edellinen lemma aiempiin esimerkkeihimme, saamme kaavan polynomifunktioiden Riemann-integraalille yli rajoitetun välin. Seuraus 1.6. Olkoon a 0, a 1,..., a n R vakioita ja p(x) n k0 a kx k. Tällöin p(x) dx k0 a k b k+1 a k+1 k Riemannin ehto Seuraava tulos tunnetaan Riemannin ehtona. Se on hyödyllinen etenkin sellaisissa tilanteissa, joissa integraalin tarkkaa arvoa ei kyetä määräämään. Lause 1.7. Funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva jos ja vain jos kaikille ε > 0 löytyy porrasfunktiot h ja g siten, että h f g ja (g(x) h(x)) dx < ε. 9

11 Todistus. Olkoon ε > 0. Ala- ja yläintegraalin määritelmän nojalla voidaan valita porrasfunktiot h ja g siten, että h f g, sekä h(x) dx > ala g(x) dx < yl.ȧ f ε 2, f + ε 2. Jos f on integroituva, niin yl.ȧ f ala f, joten ylläolevat arviot yhdistämällä, sekä lemmaa 1.3 käyttäen (g(x) h(x)) dx g(x) dx h(x) dx < yl.ȧ f + ε (ala 2 f ε ) 2 ε. Toisaalta, jos kaikille ε > 0 on porrasfunktiot h f g siten, että niin kaikille ε > 0 on myös yl.ȧ f (g(x) h(x)) dx < ε, g(x) dx h(x) + (g(x) h(x)) dx h(x) dx + < h(x) + ε ala f + ε, (g(x) h(x)) dx eli yl.ȧ f ala f. Siten f on Riemann-integroituva. Havainnollistetaan Riemannin ehdon hyödyllisyyttä seuraavan tuloksen avulla. Lause 1.8. Jos f : [a, b] R ja g : [a, b] R ovat Riemann- integroituvia, niin myös funktiot h(x) max{f(x), g(x)} ja u(x) min{f(x), g(x)} ovat Riemannintegroituvia. 10

12 Todistus. Olkoon ε > 0. Riemannin ehdon nojalla voidaan valita porrasfunktiot f 1, f 2, g 1, g 2 siten, että f 1 f f 2, g 1 g g 2, (f 2 (x) f 1 (x)) < ε 2, ja Olkoon ja (g 2 (x) g 1 (x)) < ε 2. h 1 max{f 1, g 1 } h 2 max{f 2, g 2 }. Käytetään apuna seuraavaa lemmaa, jonka todistus on harjoitustehtävänä: Apulemma 1.9. h 1 ja h 2 ovat porrasfunktioita, h 1 h h 2 ja h 2 h 1 max{f 2 f 1, g 2 g 1 } (f 2 f 1 ) + (g 2 g 1 ). Apulemman nojalla saamme (h 2 (x) h 1 (x)) dx (f 2 (x) f 1 (x)) dx + < ε 2 + ε 2 ε, (g 2 (x) g 1 (x)) joten funktio h max{f, g} on Riemannin ehdon nojalla integroituva. Lause Monotoninen funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva. Todistus. Harjoitustehtävä. 1.5 Tasainen jatkuvuus ja jatkuvan funktion Riemann-integraali Riemannin ehdon huomattavimpana seurauksena osoitetaan, että suljetulla ja rajoitetulla välillä määritelty jatkuva funktio on Riemann-integroituva. Tarvitsemme todistuksessa tasaisen jatkuvuuden käsitettä: Määritelmä Reaalilukuvälillä I R määritelty funktio f : I R on tasaisesti jatkuva, jos kaikille ε > 0, löytyy δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε aina kun x, y I ja x y < δ. 11

13 Huomautus. Muistamme, että f on jatkuva pisteessä x, jos kaikille ε > 0 on δ > 0 siten, että f(x) f(y) < ε aina kun y I ja x y < δ. Jos f on jatkuva koko välillä I, luku δ voi kuitenkin vaihdella riippuen pisteestä x. Tasaisen jatkuvuuden Ero jatkuvuuteen on siinä, että annetulle ε > 0 sama δ kelpaa kaikille x I. Kertaamme seuraavan aiemmilta kursseilta tutun aputuloksen. Lemma Olkoon (x n ) n1 reaalilukujono, jonka arvot ovat suljetulla ja rajoitetulla välillä I [a, b]. Tällöin jonolla (x n ) on suppeneva osajono (x nk ). Todistus. Olkoon A {x [a, b] : x n x äärettömän monelle jonon x n alkiolle }. Koska A [a, b], niin A on ylhäältä rajoitettu. Tosiaalta, a A, joten A on myös epätyhjä. Siten y sup A on täydellisyysaksiooman nojalla olemassa. Tavoitteena on konstruoida osajono (x nk ) k siten, että x nk y, kun k. Apulemma Kaikille ε > 0 ja kaikille n 0 N, joukko on epätyhjä. {x n : y ε < x n < y + ε ja n n 0 } Apulemman todistus. Huomataan aluksi, että x n > y ε äärettömän monella n N, sillä muussa tapauksessa y ε olisi joukon A yläraja, mikä on mahdotonta sillä sup A y. Toisaalta y + ε / A, joten x n y + ε vain äärellisen monella n N. Yhdistämällä nämä tiedot huomataan, että (1.3) y x n < ε äärettömän monella n N. Koska joukko {1,..., n 0 } on äärellinen niin arvio (1.3) on voimassa myös äärettömän monella k n 0. Haluttu osajono saadaan nyt määriteltyä apulemman avulla valitsemalla ensin n 1 1 ja edelleen induktiivisesti n k+1 siten, että n k+1 > n k ja y x nk+1 < 1/k. Lause Suljetulla ja rajoitetulla välillä [a, b] määrtelty jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva. Todistus. Tehdään vastaoletus, jonka mukaan on olemassa ε > 0 siten, että tasaisen jatkuvuuden määritelmän vaatimaa lukua δ > 0 ei ole. Tällöin kaikille n N on olemassa luvut x n, y n [a, b], siten että x n y n < 1 n (siis lim n x n y n 0) ja f(x n ) f(y n ) ε. 12

14 Lemman 1.12 nojalla voidaan valita jonon (x n ) n suppeneva osajono (x nk ) k ja edelleen jonon (y nk ) suppeneva osajono (y nkm ) m. Merkintöjen selkeyttämiseksi merkitään jonoja (x nkm ) ja (y nkm ) yksinkertaisemmin (u n ) ja (v n ). Eräille luvuille u, v [a, b] on siis voimassa lim u n u, n lim v n v. n Koska f(u n ) f(v n ) ε kaikille n, niin funktion f jatkuvuuden nojalla (1.4) f(u) f(v) lim n f(u n ) f(v n ) ε. Toisaalta, u v lim ( u u n + u n v n + v n v ) n lim u u n + lim u n v n + lim v n v 0, n n n sillä u n v n < 1. Siispä u v, mikä on ilmeisessä ristiriidassa tiedon (1.4) kanssa. n Lause Välillä [a, b] määritelty jatkuva funktio on Riemann-integroituva. Todistus. Olkoon ε > 0. Tavoitteena on löytää porrasfunktiot h ja g siten, että h f g ja ((g(x) h(x)) dx < ε. Tarkastellaan jälleen kerran tasvälistä jakoa P (x 0,..., x n ), missä n N ja x k a + k (b a), kun k 0,..., n. Koska f on tasaisesti jatkuva, voidaan valita δ > 0 n siten, että f(x) f(y) < ε kaikille x, y [a, b] joille x y < δ Kun n > b a, huomataan että l(i δ k) (b a) n < δ, joten tiedämme että f(x) f(y) < ε kun x, y I k. Voidaan siis valita luvut a k, b k R siten, että b k a k < ε ja Asettamalla saadaan h f g ja edelleen (g(x) h(x)) dx a k f(x) b k kaikille x I k. h(x) a k kun x I k, g(x) b k kun x I k, l(i k )(b k a k ) Väite seuraa Riemannin ehdosta. 13 ε(b a) n (b a)ε.

15 1.6 Riemannin summat Määritelmä Olkoon P (x 0,..., x n ) välin [a, b] jako. Summaa S(P ) : l(i k )f(x k ) sanotaan jakoon P liittyväksi Riemannin summaksi. Riemannin määritteli alunperin integraalijn Riemannin summien avulla. Alkuperäinen määritelmä on yhtäpitävä Määritelmän 1.4 kanssa seuraavan tuloksen nojalla. Kun P (x 0,..., x n ) on välin [a, b] jako, olkoon P pisimmän jakovälin pituus: P n max l(i k). Lause Rajoitettu funktio f : [a, b] R on Riemann-integroituva jos ja vain jos mille tahansa jonolle (P m ) m1 välin [a, b] sellaisia jakoja P m, joille jono S(P m ) suppenee. Tällöin lim P m 0, m f(x) dx lim m S(P m). Todistus. Harjoitustehtävä. Huomautuksia. a) Lauseesta 1.17 on käytännön hyötyä erityisesti silloin, jos jo etukäteen tiedetään, että f on Riemann-integroituva. Integraalin f(x) dx arvon selvittämiseksi voidaan tällöin rajoittua laskujen kannalta yksinkertaisempiin jakoihin (esim. tasavälinen jako), eikä ala- ja yläintegraaleeja tarvitse arvioida erikseen. b) Summassa S(P ) arvo f(x k ) voidaan korvata millä tahansa arvolla f(z k ), kunhan x k 1 z k x k. Lauseen 1.17 väite pysyy silti voimassa. Tarkastellaan lopuksi seuraavaa kysymystä: Kysymys. Miten määritellään funktion f : [a, b] R keskiarvo? Tunnetusti, lukujen a 1,..., a n keskiarvo on a a n n 14.

16 Äärellisessä joukossa Y {y 1,..., y n } määritellyn funktion f : Y R keskiarvo voidaan määritellä vastaavalla tavalla luvuksi n i1 f(y i). n Koska väli [a, b] on ääretön, määritelmää ei voi suoraan yleistää. Tällöin on luontevaa jakaa väli [a, b] yhtäpitkiin osaväleihin I k ]x k 1, x k [, missä x k a + k (b a), ja valita "sopiva"arvo (esim. f(x n k)) edustamaan funktion arvoa koko välillä. Lukujen f(x 1 ),..., f(x n ) keskiarvo on n (1.5) f(x k) 1 n b a S(P n), missä P n (x 0,..., x n ). Kun määritellään funktion f keskiarvo lausekkeen (1.5) raja-arvona, kun n, päädytään lauseen 1.17 avulla luontevasti seuraavaan määritelmään: Määritelmä Riemann-integroituvan funktion f : [a, b] R keskiarvo on luku 1 b f(x) dx. b a Jos f : [a, b] R on jatkuva, se saavuttaa keskiarvonsa ainakin yhdessä välin [a, b] pisteessä: Lause 1.19 (Integraalilaskennan väliarvolause). Jos f : [a, b] R on jatkuva, niin tällöin f(c) 1 f(x) dx, eräälle c [a, b]. b a Todistus. Koska f on jatkuva, niin on olemassa m min f(x), x [a,b] M max x [a,b] f(x). sekä pisteet y, z [a, b] siten, että f(y) m, f(z) M. Tällöin (harjoitustehtävä), f(y) m 1 f(x) dx M f(z). b a Jatkuvien funktioiden väliarvolauseen mukaan, pisteiden y ja z välissä on eräs c [a, b] siten, että f(c) 1 f(x) dx eräälle c [a, b]. b a 15

17 LOPPUKANEETTI MÄÄRITELMÄÄN: Olemme osoittaneet melkoisen joukon rajoitettuja funktioita f : [a, b] R (esim. porrasfunktiot, jatkuvat funktiot, monotoniset funktiot ja näiden lineaariyhdistelmät) Riemann-integroituviksi. Toisaalta, olemme huomanneet, että f ei välttämättä ole Riemann-integroituva, vaikka se saisi vain äärellisen monta arvoa. Kysymys. Miten voidaan karakterisoida Riemann-integroituvat funktiot? Vastauksen tähän kysymykseen antaa niin kutsuttu Lebesguen ehto Lause Olkoon f : [a, b] R ja olkoon N [a, b] sen epäjatkuvuuspisteiden joukko. Tällöin f on Riemann-integroituva jos ja vain jos kaikille ε > 0 on olemassa välit I 1, I 2, I 3... [a, b] siten, että N I k ja l(i k ) < ε. Todistus. Ylimääräinen harjoitustehtävä asiasta kiinnostuneille. Esimerkki Olkoon f : [0, 1] R seuraava funktio: { 0 kun x [0, 1] \ Q, (1.6) f(x) kun x p/q, p N, q Z ja syt(p, q) 1. 1 q Tällöin f on jatkuva kaikissa irrationaalipisteissä ja epäjatkuva kaikissa rationaalipisteissä. Koska rationaalilukujen joukko toteuttaa Lebesguen ehdon (voidaan peittää numeroituvan monelle välillä, joiden yhteenlaskettu pituus on mielivaltaisen pieni), ylläolevasta lauseesta seuraa, että f on Riemann-integroituva. Tämän voi todistaa myös suoraan määritelmän avulla (harjoitustehtävä). 2 Integraalin ja derivaatan yhteys 2.1 Integraalifunktiot Olkoon f : [a, b] R Riemann-integroituva. Tarkastellaan integraalia ylärajansa funktiona, eli tutkitaan kuvausta F : [a, b] R, F (x) x ya f(y) dy. Kutsutaan näin määriteltyä funktiota F funktion f integraalifunktioksi. 16

18 Huomautus. Jos f on Riemann integroituva yli välin [a, b], otamme käyttöön merkinnän f(y) dy f(y) dy. yb Edelleen, merkitsemme c yc f(y) dy 0. Huomaamme, että tällöin Lauseen 1.5 antama kaava f(x) dx c f(x) dx + xc f(x) dx. on voimassa, riippumatta lukujen a, b ja c järjestyksestä (kunhan f on Riemannintegroituva yli välin [min{a, b, c}, max{a, b, c}]. d xc Jos tunnemme integraalifunktion arvot, voimme sen avulla määrätä integraalin f(x) dx kaikille luvuille c, d [a, b]. Propositio 2.1. Olkoon F : [a, b] R funktion f integraalifunktio, kuten edellä. Tällöin d yc f(y) dy F (d) F (c) kaikille c, d [a, b]. Todistus. Funktion F määritelmän, sekä lauseen 1.5 nojalla saamme F (d) F (c) d ya d yc f(y) dy f(y) dy. c ya f(y) dy d ya f(y) dy + a yc f(y) dy Pienen pohdiskelun jälkeen huomaamme myös, että edellisessä Propositiossa integraalin alaraja a voidaan korvata millä tahansa luvulla c [a, b]. Myöskään vakiotermin lisääminen ei vaikuta suuntaan eikä toiseen. Näiden havaintojen perusteela on luontevaa laajentaa integraalifunktion määritelmää seuraavalla tavalla. Määritelmä 2.2. Funktio F : [a, b] R on funktion f integraalifunktio, jos se on muotoa eräille vakioille C R, c [a, b]. F (x) C + x yc f(y) dy Toistamme vielä edellisen Proposition väitteen määritelmän tilanteessa: 17

19 Lause 2.3. Jos F on funktion f integraalifunktio välilä [a, b], niin kaikille c, d [a, b] on voimassa d yc f(y) dx F (d) F (c). Mikäli G on jokin toinen funktion f integraalifunktio välillä [a, b], niin tällöin missä C on luvusta x riippumaton vakio. G(x) F (x) + C kaikille x [a, b], Todistus. Ensimmäinen väite todistetaan samaan tapaan kuin propositio 2.1. Jälkimmäisen seuraa niinikään vastaavasta laskusta (harjoitustehtävä). Huomautuksia. a) Integraalifunktion käsite voidaan laajentaa myös avoimella/puoliavoimella ja/tai rajoittamattomalla välillä I R määritellylle funktiolle f edellyttäen, että f on Riemann-integroituva yli välin [a, b] kaikille [a, b] I. b) Harjoitustehtävänä (H2/T9) on jo osoitettu, että integraalifunktio on aina (tasaisesti) jatkuva. Esimerkki 2.4. Funktion f : [0, 1] R, f(x) x 2 integraalifunktio on aiemman esimerkkimme perusteella esimerkiksi F (x) x y0 y 2 dy x3 3. Edelleen, jokainen funktion f integraalifunktio on muotoa 2.2 Analyysin peruslause G(x) C + x3 3. Jatketaan seuraavaksi kappaleen 1.2 lopussa mainitsemamme esimerkin käsittelyä Esimerkki 2.5. Pyritään määräämään integraalin 1 sin x dx arvo. Koska x x0 sin x, tiedämme lauseen 1.15 perusteella, että kyseinen integraali on hyvin määritelty. Pyritään soveltamaan lausetta 1.17 (sekä sitä seuraavaa huomautusta) Riemannin summiin (2.1) S(n) sin(ξ k )(x k x k ), missä P (x 0, x 1,..., x n ) on välin [0, 1] tasavälinen jako P (x 0,..., x n ) (0, 1, 2,..., 1). Lauseen 1.17 nojalla tiedämme, että n n 1 lim S(n) sin x dx, n x0 riippumatta siitä miten pisteet ξ k [ k 1 n, k n ], k 1,..., n valitaan annetulle n. 18

20 Seuraavaksi teemme ovelan havainnon: Koska D( cos x) sin x kaikille x R, niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen nojalla kaikille n ja kaikille k 1,..., n, sin(ξ k ) cos x k ( cos x k 1 ) x k x k 1 cos x k 1 cos x k x k x k 1. Sijoittamalla nämä luvut ξ k summan S(n) lausekkeeseen, saamme S(n) sin(ξ k )(x k x k ) (cos x k cos x k 1 ) cos 0 cos 1 1 cos 1. Yhdistämällä tämä yhtälö tietoon (2.1), havaitsemme että 1 x0 sin x dx 1 cos 1. Edellisen esimerkin lasku yleistyy kaikille funktioille f : [a, b], jotka ovat Riemannintegroituvia, ja joilla on antiderivaatta eli jatkuva funktio G: [a, b] R, jolle on voimassa G (x) f(x) kaikille x ]a, b[. Määritelmä 2.6. Okoon f : I R, missä I R on väli. Funktio G: I R on funktion f antiderivaatta eli primitiivi, jos G on jatkuva ja jos G (x) f(x) kaikille x I päätepisteitä lukuunottamatta. Huomautus. Jatkuvuusoletus liittyy vain välin päätepisteisiin, sillä välin sisäpisteissä jatkuvuus seuraa derivoituvuudesta. Lause 2.7. Olkoon f : I R Riemann integroituva kaikille [a, b] I ja olkoon G funktion f primitiivi. Tällöin G on funktion f integraalifunktio. Erityisesti f(x) dx G(b) G(a) kaikille [a, b] I. Todistus. Korvaa sin x funktiolla f(x) ja cos x funktiolla G(x), sekä väli [0, 1] välillä [a, b] esimerkin 2.5 tilanteessa. Yksityiskohtainen todistus jää harjoitustehtäväksi. Huomautus. Lauseen 2.7 avulla derivointikaavoista saadaan integrointkaavoja! Jos F (x) f(x) välillä I, niin kaikille a, b I Esimerkki 2.8. Lasketaan integraali Koska D log x 1 x kaikille x > 0, niin f(x) dx F (b) F (a). 3 x1 dx x. 3 x1 dx x log 3 log 1 log 3. 19

21 Jos f on Riemann-integroituva, niin edellisen lauseen mukaan sen jokainen primitiivi on f:n integraalifunktio. Jos f on jatkuva, tulos voidaan kääntää. Lause 2.9. Jos f on jatkuva välillä [a, b], niin jokainen funktion f integraalifunktio on sen primitiivi. Todistus. Olkoon F (x) C + x ya f(y) dy eräs funktion f integraalifunktio ja olkoon x 0 ]a, b[. Olkoon x ]a, b[ ja ε > 0. Koska f on jatkuva, voidaan valita δ > 0 siten, että ε < f(x) f(z) < ε kaikille z ]x 0 δ, x 0 + δ[. Jos 0 < x x 0 < δ, niin (f(x 0 ) ε) (x x 0 ) Jos 0 < x 0 x < δ, niin samoin (f(x 0 ) ε) (x 0 x) x yx 0 f(y) dy ((f(x 0 ) + ε) (x x 0 ). x0 yx f(y) dy (f(x 0 ) + ε) (x 0 x). Kertomalla puolittain luvulla 1 huomataan, että tässäkin tapauksessa (f(x 0 ) ε) (x x 0 ) x yx 0 f(y) dy (f(x 0 ) + ε) (x x 0 ). Siten F (x) F (x 0 ) x x 0 x yx 0 f(y) dy x x 0 [f(x) ε, f(x) + ε]. Siispä F (x 0 ) lim x x0 F (x) F (x 0 ) x x 0 f(x). Koska integraalifunktio on jatkuva myös välin päätepisteissä a ja b (Harj. 2 teht. 9), F on määritelmän mukaisesti funktion f primitiivi välillä [a, b]. Huomautuksia. a) Lauseita 2.7 ja 2.9 (yhdessä tai erikseen), kutsutaan Analyysin peruslauseeksi. Jatkuvan funktion tapauksessa, ne osoittavat että Integraalifunktio ja primitiivi on sama asia. b) Jatkuvuus on olennaista lauseessa 2.9. c) Jatkuville funktioille lause 2.7 voidaan johtaa suoraan myös lauseesta 2.9 (harjoitustehtävä). d) Lauseessa 2.7 oletus funktion f Riemann-integroituvuudesta on oleellinen, sillä kaikki derivaatat eivät ole Riemann-integroituvia! 20

22 3 Integroimistekniikoita Otetaan jatkossa käyttöön merkintä f F, jos F on funktion f integraalifunktio (jollakin asiayhteydestä ilmeisellä) välillä I R. Integraaalifunktiota (ja sen lauseketta) F (x) x yc f(y) dy kutsumme jatkossa myös määräämättömäksi integraaliksi erotuksena määrättyyn integraaliin 3.1 Osittaisintegrointi ya f(y) dy. Jos tunnemme funktioden f ja g derivaatat, tulon f g derivaatta saadaan helposti tulon derivointikaavasta (3.1) Dfg f g + fg. Jos f ja g ovat Riemann integroituvia, tästä saadaan lauseen 2.3 nojalla seuraava osittaisintegrointina tunnettu tulos. Lause 3.1. Jos f, g : I R ovat derivoituvia ja f sekä g ovat Riemann-integroituvia yli jokaisen osavälin [a, b] I, niin fg f g + fg. Kaikille a, b I on voimassa a / b fg a f g + a fg. Todistus. Väite seuraa suoraan tulon derivointikaavasta 3.1 ja lauseesta 2.3. Esimerkki 3.2. Lasketaan x sin x. Sovelletaan lausetta 3.1, kun f x ja g sin x. Saadaan x sin x fg fg f g x cos x + cos x x cos x + sin x. Siten, esimerkiksi π x sin x dx x0 0 / π 21 sin x x cos x 1.

23 3.2 Muuttujanvaihto integraalissa Muuttujanvaihto eli sijoitusmenetelmä on osittaisintegroinnin ohella tärkeimpiä integrointityökaluja. Se perustuu yhdistetyn funktion derivointikaavaan (3.2) (h g) (x) g (x)h (g(x)) joka on voimassa aina, kun g on derivoituva pisteessä x ja h on derivoituva pisteessä g(x). Yhtälöstä (3.2) seuraa näet lauseen 2.7 nojalla välittömästi, että (mikäli g (x)h (g(x)) on Riemann-integroituva suljettujen ja rajoitettujen osavälien yli), niin (3.3) g (x)h (g(x)) h g. Tätä havaintoa voidaan soveltaa suoraan silloin, kun integroitava funktio on helposti tunnistettavissa muodossa g (x)h (g(x)). Esimerkki 3.3. Integroidaan x 2 e x3. Huomataan, että x 2 e x3 1 3 g (x)h (g(x)), funktioille g(x) x 3 ja h(x) e x. Siten, x 2 e x3 1 3 ex3. (tämän voi helposti myös derivoimalla tarkastaa). Määrätylle integraalille yhtälö (3.3) voidaan esittää seuraavassa muodossa, joka on toisinaan käyttökelpoisempi. Lause 3.4. Olkoon f : I R Riemann-integroituva ja olkoon g : [a, b] I derivoituva funktio, jonka derivaatta g on Riemann-integroituva. Tällöin g(b) ug(a) f(u) du g (x)f(g(x)) dx. Todistus. Oletetaan, että f on jatkuva (Yleinen tapaus voidaan todistaa Riemannin summien avulla lauseen 2.7 tapaan). Olkoon F : I R funktion f integraalifunktio. Derivoimalla funktio F g ketjusääntöä ja lausetta 2.9 käyttäen, havaitaan että (F g) (x) g (x)f (g(x)) g (x)f(g(x)), joten lauseen 2.7 nojalla F g on funktion g (x)f(g(x)) integraalifunktio. Siten g (x)f(g(x)) xt F g(a) F g(α) F (g(b)) F (g(a)) g(b) ug(a) f(u) du. Lausetta 3.4 sovellettaan käytönnössä useimmin seuraavalla tavalla: 22

24 Integroitavana on funktio f(x). Valitaan tilanteesta riippuen funktion f(x) lausekkeessa esiintyvä termi g(x). Esitetään f(x) muodossa f(x) g (x)h(g(x)) Pyritään etsimään sellainen g, että löydämme funktiolle h(u) integraalifunktion H(u). Funktion f integraalifunktio on tällöin F (x) H(g(x)). Esimerkki 3.5. Määrätään 1 e x 1 + e x dx. Tässä siis määrittelyvälinä on koko reaaliakseli R. Merkitään g(x) e x, jolloin g (x) e x. Huomataan, että 1 e x 1 + e dx e x 1 e x x e x (1 + e x ) g (x)h(g(x)), funktiolle Koska 1 u u(1 + u) du h(u) u + u 1 u u(1 + u). 2 log(1 + u) + log(u), niin sijoittamalla u e x, saadaan lauseen 3.4 nojalla 1 e x 1 + e x dx x 2 log(1 + ex ). Huomautus. Merkintöjen ja laskennon kannalta on tapana käyttää sijoituksesta u g(x) näppärämpää merkintää: Olkoon eli yhtäpitävästi u g(x), jolloin du dx g (x), dx du g (x). Huomaa, että tässä on kyseessä vain lyhennetty merkintä lauseen 3.4 väitteelle. Laskennallisissa tehtävissä tätä merkintää voi käyttää, jos varmistaa että lauseen 3.4 oletukset ovat voimassa, tai jos tarkastaa lopputuloksen derivoimalla. 23

25 Esimerkin 3.3 integraali x 2 e x3 voitaisiin siis näillä merkinnöillä laskea seuraavasti: Sijoittamalla t x 3, saadaan dt 3x 2 dx, joten x 2 e x3 dx 1 e t dt et dt 1 3 ex3. Esimerkin 3.5 tilanteessa voitaisiin merkitä: t e x, joten dt e x dx t dx ja niinpä 1 e x 1 t 1 + e dx dt x 1 + t t 2 log(1 + t) + log(t) x 2 log(1 + ex ). Huomautus. On olemassa lukuisia alkeisfunktioita, joiden integraalifunktiota ei ole mahdollista esittää alkeisfunktioiden avulla. Ehkä tunnetuin näistä on normaalijakauman tiheysfunktiossakin esiintyvä f(x) e x2. 4 Epäoleelliset integraalit 4.1 Epäoleellisen integraalin supeneminen ja hajaantuminen Toistaiseksi olemme tarkastelleet Riemann-integroituvuutta ja Riemann-integraalia tilanteessa, jossa f(x) dx 1. Funktio f on rajoitettu, sekä 2. Integrointiväli [a, b] R on rajoitettu. Seuraavaksi käsittelemme tilanteita, joissa toinen näistä ehdoista ei ole enään voimassa. Esimerkki 4.1. Olkoon α > 0. Tarkastellaan funktiota h α : ]0, 1] R, h α (x) 1 x α. Koska h α ei ole rajoitettu, ei Riemann-integraalia 1 x0 h α (x) dx ole määritelmän 1.4 mielessä olemassa. Kuitenkin kaikille c > 0, integraali { 1 1 c 1 α 1 α h α (x) dx, jos α 1, log(c), jos α 1. xc 24

26 on hyvin määritelty. Edelleen havaitaan, että lim c xc h α (x) dx { 1 1 α, jos α < 1,, jos α 1. Edellisessä tapauksessa lienee perusteltua määritellä 1 x0 h α (x) dx 1 1 α. Määritelmiä 4.2. Olkoon f : [a, b] R sellainen, että kaikille a < c < b, funktio f on Riemann-integroituva yli välin [a, b]. Jos raja-arvo lim c a + xc f(x) dx, on äärellisenä olemassa, niin epäoleellinen integraali f(x) dx suppenee, jolloin merkitään f(x) dx lim f(x) dx. c a + xc Muussa tapauksessa sanotaan, että epäoleellinen-integraali f(x) dx hajaantuu. Huomautuksia. Edellä määriteltiin epäoleellinen Riemann-integraali integraalin alarajalla a. Epäoleellinen Riemann-integraali f(x) dx määritellään samalla tavalla myös integraalin ylärajalla siinä tapauksessa, että f on Riemann-integroituva yli välin [a, c] kaikille a < c < b. Määritelmä toimii myös tilanteessa, jossa integraali on epäoleellinen sekä sen ala- että ylärajalla. Edelleen, jos a 0 < a 1 <... < a n, ja jos epäoleelliset integraalit a i i 1 f(x) dx suppenevat kaikille i 1,..., n, niin voidaan määritellä epäoleellinen Riemann-integraali a n 0 f(x) dx asettamalla an 0 f(x) dx i1 ai i 1 f(x) dx. Integraalin epäoleellisuus voi johtua myös integrointivälin rajoittamattomuudesta. Esimerkki 4.3. Tarkastellaan funktiota h(x) e x dx Huomataan, että kaikille 0 < b < on voimassa ja kun b, niin x0 e x dx 1 e b, x0 e x dx 1. On siis perusteltua ajatella, että x0 e x dx 1. 25

27 Määritelmä 4.4. Olkoon a R ja f : [a, [ R integroituva yli välin [a, b] kaikille a < b <. Jos raja-arvo lim f(x) dx b on äärellisenä olemassa, niin sanotaan, että epäoleellinen Riemann-integraali suppenee, jolloin merkitään f(x) dx lim f(x) dx. b Muussa tapauksessa sanotaan, että epäoleellinen integraali f(x) dx hajaantuu. Huomautus. Epäoleellinen integraali a f(x) dx määritellään samalla tavalla tarkastelemalla raja-arvoa a x lim f(x) dx. c xc Molemmat tilanteet yhdistämällä, voidaan tarkastella myös epäoleellista Riemannintegraalia x f(x) dx. Huomautus. Integraalin perusominaisuudet (mm. lause 1.5, analyysin peruslause, osittaisintegrointi, sekä muuttujanvaihtolause) ovat sopivin tulkinnoin voimassa myös epäoleellisille integraaleille. Esimerkiksi osittaisintegrointikaavassa sijoitus / f (x)g(x) dx / f(x)g(x) f(x)g(x) tulkitaan raja-arvoksi lim b / b f(x)g (x) dx, f(x)g(x). Kootaan seuraavaan lauseeseen muutamia suppenemiskriteerioita epäoleellisislle integraaleille. Muotoilemme nämä epäoleelliselle integraalille f(x) dx, mutta ne ovat tietysti voimassa myös muotoa a f(x) dx, f(x) dx jne. oleville epäoleellisille x Riemann-integraaleille. Lause 4.5. Olkoon f : [a, [ R ja g : [a, [ R Riemann-integroituvia yli välin [a, b] kaikille a < b < ja olkoon 0 < c C < vakioita. f(x) dx 1. Jos epäoleellinen integraali g(x) dx suppenee ja jos 0 f(x) Cg(x)kaikille x > a, niin epäoleellinen integraali f(x) dx suppenee. 26

28 2. Jos epäoleellinen integraali g(x) dx hajaantuu ja jos f(x) cg(x) 0 kaikille x > a, niin epäoleellinen integraali hajaantuu. 3. Jos niin 4. Jos f(x) dx f(x) lim x g(x) A R \ {0}, f(x) dx suppenee ja jos g(x) dx hajaantuu, niin 5. Jos ja jos g(x) dx suppenee, niin f(x) lim x g(x), f(x) dx hajaantuu. f(x) lim x g(x) 0 f(x) dx suppenee. g(x) dx suppenee. Todistus. Koska g, f 0, niin F (c) c f(x) dx on kasvava funktio. Siten raja-arvo lim c F (c) on olemassa (mutta se voi olla ääretön). Merkitään G(c) c g(x) dx. Koska f(x) g(x) kaikille x a, niin F (c) G(c) kaikille x a. Raja-arvojen majoranttiperiaatteen nojalla f(x) dx lim c F (c) lim c G(c) g(x) dx. Tämä todistaa väitteen 1. Muut väitteet voidaan helposti johtaa väitteestä 1 (harjoitustehtävä). Määritelmä 4.6. Epäoleellinen integraali f(x) dx (vast. a f(x) dx, f(x) dx, x jne.) suppenee itseisesti, jos epäoleellinen integraali f(x) dx suppenee. Lemma 4.7. Jos epäoleellinen integraali f(x) dx (vast. a f(x) dx, f(x) dx, x jne.) suppenee itseisesti, niin epäoleellinen integraali f(x), suppenee. 27

29 Todistus. Koska 0 f f + + f ja f + (x), f (x) f (x) kaikille x > a, niin lauseen 4.5 väitteen 1 nojalla sekä f + (x) dx, että f (x) dx suppenevat mikäli f(x) dx suppenee. Tällöin myös suppenee. f(x) dx f + (x) dx Esimerkki 4.8. Tarkastellaan epäoleellista integraalia Osittaisintegroimalla saadaan Koska x1 cos x x dx x1 x1 x1 / cos x x dx. sin x x + sin 1 + x1 x1 1 x 2 dx 1 1 b 1, f (x) dx cos x x 2 cos x x 2 dx. kun b, niin epäoleellinen integraali 1 dx suppenee. Koska 0 cos x 1, x1 x 2 x 2 x 2 niin lauseen 4.5 väitteen 1, sekä lemman 4.7 nojalla epäoleellinen integraali suppenee. Siten myös x1 cos x x x1 cos x x 2 dx dx sin 1 + x1 dx cos x x 2 dx, suppenee. Toisaalta cos x 1 2, kun x ]kπ π, kπ + π [, joten 4 4 kπ+π/4 xkπ π/4 cos x x kaikille k N. Edelleen 1 x 1 x+π/2 (k+1)π π/4 xkπ+π/4 dx 1 2 kπ+π/4 xkπ π/4 kaikille x > 0, joten 1 x dx 28 kπ+π/4 xkπ π/4 1 x dx. 1 x dx,

30 Siten nπ π/4 x1 kun n. Siten ei suppene itseisesti. cos x dx x x1 cos x x n 1 kπ+π/4 xkπ π/4 n n 1 2 cos x kπ+π/4 xkπ π/4 x xkπ π/4 dx 1 x dx (k+1)π π/4 1 x dx log(nπ π/4) log(3π/4) 2, 2 dx hajaantuu, eli epäoleellinen integraali x1 cos x x dx 4.2 Integraalilaskennan sovelluksesta todennäköisysteoriaan Eräs integraalilaskennen tärkeimmistä sovelluksista liittyy todennäköisyyslaskentaan. Olkoon I R väli ja f 0 sellainen, että funktion f Riemann-integraali (tavallinen tai epäoleellinen) yli välin I saa arvon 1. Tällainen funktio määrittelee todennäköisyysjakauman, eli satunnaismuuttujan X. Satunnaismuuttujan X arvo on välillä [a, b] I todennäköisyydellä P(X [a, b]) f(x) dx. Tarkastellaan lopuksi yhtä tärkeimmistä todennäköisyysjakaumista, normaalijakaumaa. Tätä varten laskemme ensin Gaussin integraalin x e x2 arvon. e Esimerkki 4.9. Koska, lim x2 x 0 ja e x x e x, niin tiedämme että epäoleellinen integraali suppenee. Olkoon I x x e x2 dx, e x2 dx. Koska integrandi on parillinen, niin I 2I, missä I x0 e x2 dx. 29

31 Edelleen ( I 2 e x2 dx. x0 ) 2 ( ) ( ) e x2 dx e y2 dy x0 y0 ( ) e x2 e y2 dy dx x0 y0 ( ) e y2 x 2 dy dx. x0 y0 Tarkastellaan integraalia x 2 y0 e y2 dy, kun x > 0. Tehdään sijoitus u y, x jolloin dy xdu. Lauseen 3.4 nojalla saadaan Siten, x0 y0 e y2 x 2 dy ( ) e y2 x 2 dy dx y0 0 x0 e x2 (1+u 2) x du. ( ) e x2 (1+u 2) x du dx. u0 Voidaan osoittaa (harjoitustehtävä), että integroimisjärjestystä voidaan vaihtaa, jolloin ( ) I e x2 (1+u 2) x du dx x0 u0 ( ) e x2 (1+u 2) x dx du u0 x0 ( ) / e x2 (1+u 2 ) du 2(1 + u 2 ) u0 x0 u0 π 4. u0 / u 2 du arctan u Siten π e x2 dx 2I 2 x 4 π. Muuttujanvaihdolla u x 2, saadaan standardin normaalijakauman tihesyfuntkio f(x) 1 2π e x2 /2, jolle x f(x) dx 1. 30