Spektrianalyysi, motivaatio
|
|
- Aune Jääskeläinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Digitaalinen Signaalinkäsittely 5 Luento Jarkko.Vuori@evtek.fi Spektrianalyysi, motivaatio Ihmiskeholla on luontaisesti hidas reagointikoneisto Musiikkia kuunnellessamme emme erota äänenpaineen hetkellisiä muutoksia ajan suhteen koska ne tapahtuvat hyvin nopeasti ( kertaa sekunnissa) Sen sijaan aistimme äänenkorkeuden (taajuuden) Vastaavasti silmät eivät havaitse yksittäisiä sähkömagneettisten aaltojen (valo) värähdyksiä, vaan sen sijaan aistimme värejä Käytännössä ihmisen aistit eivät havaitse muutoksia jotka tapahtuvat nopeammin kuin kertaa sekunnissa Kaikki nopeammat ilmiöt havaitaan yhtenä ilmiönä (taajuutena) eikä itse muutoksena ihmisen aistien kannalta taajuus on yhtä tärkeä konsepti kuin aika Miksi tarvitaan taajuustason analyysiä, eikö aikatason konvoluutio ole riittävä?. Sinisignaali (eksponentiaalisignaali) esiintyy luonnossa Vaikka signaali ei olekaan suoraan tällainen se voidaan jakaa osakomponentteihin jotka ovat LI (lineaarinen ja aikainvariantti) järjestelmän vaste tällaiseen signaaliin on erittäin yksinkertainen: ainoastaan signaalin amplitudi ja vaihe muuttuvat ei taajuus. Jos signaali on kuvattu taajuusspektrinä ja LI-järjestelmä taajuusvasteensa avulla, järjestelmän ulostulo saadaan helposti vain kertomalla taajuustason kuvaukset keskenään paljon helpompi visualisoida kuin aikatason konvoluutio 3. Usein järjestelmävaatimukset esitetään taajuustasossa (esim. suodattimet) 5/JV
2 Jatkuva-aikainen Fourier-sarja Insinööri voi esittää muuttuvan signaalin kahdessa tasossa: aikatasossa tai taajuustasossa Ajalliset muutokset on helppo esittää oskilloskoopilla Jossa ajan muutos on suoraan suhteessa matkaan näytöllä Signaalin esittäminen taajuuden suhteen on lisääntynyt viime aikoina kun tarvittavaa laitteistoa (spektrianalysaattori) on tullut paremmin saataville Spektrianalysaattorissa taajuuden muutos on suoraan suhteessa matkaan näytöllä HP 335A MHz dbm sine ek 7D ns/div mv/div ek 7L4 MHz/div db/div cnt MHz 5/JV 3 ek 794A,7D oskilloskooppi ek 794A,7L4 spektrianalysaattori HP 335A signaaligeneraattori; MHz, dbm sinisignaali Jatkuva-aikainen Fourier-sarja Ensimmäisiä formaaleja menetelmiä spektrianalyysin suuntaan esitti ranskalainen Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Grenoblen prefektinä ollessaan Fourier osoitti 8-luvun alkupuolella että jaksollinen signaali voidaan esittää painotettuna harmonisten sinisignaalien summana (Fourier sarja) ja että aperiodinen signaali voidaan esittää epäharmonisten sinisignaalien integraalina (Fourier muunnos) Joskin Fourier luuli että kaikki epäjatkuvat ja jatkuvat aperiodiset signaalit voidaan esittää Fourier-muunnoskertoimien avulla ämän Johann Dirichlet osoitti vääräksi hieman myöhemmin Fourier-analyysiä on käytetty useissa jatkuva-aikaisten ilmiöiden analyyseissä jo yli vuotta äytteistettyjen ilmiöiden käsittelyssä Fourier-analyysiä on käytetty n. 4 vuoden ajan (ns. nopea Fourier-muunnos) 5/JV 4
3 Jatkuva-aikainen Fourier-sarja Fourier osoitti että jaksollinen jatkuva-aikainen signaali f(t) (jakso ) voidaan esittää painotettuna jatkuvien harmonisessa suhteessa olevien kompleksisten eksponenttifunktioiden summana ( ) jkωt f t Fke, t synteesikaava k ätä kutsutaan Fourier-sarjaksi, siinä sarjan kertoimet F k ja perustaajuus Ω määritellään (ns. viivaspektri) jkω t Fk f ( t) e dt, k analyysikaava Ω π / Usein on tarvetta tarkastella äärellisen pituista signaalia f(t) (ei-jaksollinen) jωt f ( t) F( t) e dt synteesikaava ätä kutsutaan Fourier-muunnokseksi (Fourier transform). Signaali esitetään äärettömän suurella määrällä ei-harmonisessa suhteissa olevilla eksponenttisignaaleilla (ns. jatkuva spektri) F( f ) f ( t) e dt analyysikaava jωt MHz sinisignaalin taajuusanalyysi HP 335A MHz dbm sine ek 7L4 MHz/div db/div cnt MHz 5/JV 5 Synteettiset periodiset signaalit,5 Jaksollinen signaali voidaan konstruoida perustaajuisesta sinisignaalista ja sen harmonisten painotetusta summasta (Fourierin sarjan synteesikaava) x( t) A + Ak cos( Ωkt + ϕk ) Ωk πf k Oikealla kuvista nähdään, että jaksollinen sakara-aalto koostuu sinisignaalista ja sen painotetuista parittomista harmonisista Miksi aina reaalisten signaalien yhteydessä käytetään kosinia (eikä siniä)? Koska k ( ) A A cos Ω t Acos( t) eli kosinin avulla määritelty sinimuotoinen värähtely antaa signaalin amplitudin myös nollataajuudella, ,5 - -,5 4 4 ( t) + cos Ω + cos 3Ω + cos 5Ω π 3π 5π x Rechteck /JV Harmonische 3
4 Käytännön periodiset signaalit ns ns 4 ns 6 ns 8 ns ns MHz 5Ω lähtöimpedanssin signaaligeneraattori tuottaa MHz sakara-aallon m kaapeliin joka on päätetty MΩ skoopin tulolla (osa tehosta heijastuu takaisin) aajuustasossa nähdään että signaalissa on muitakin komponentteja kuin parittomia harmonisia Mutta pääosin signaali koostuu perustaajuudesta ja sen kerrannaisten (harmonisten) painotetusta summasta MHz 3 MHz 4 MHz 5 MHz 6 MHz HP 335A MHz dbm square ek 7L4 5 MHz/div db/div cnt 35MHz 5/JV 7 Fourier sarjan analyysi sin Ω t sin3ωtdt jos taajuudet eri, niin tulos on kumuloituva integraali Fourier-sarjan analyysikaava perustuu harmonisessa suhteessa olevien sinisignaalien keskinäiseen korreloimattomuuteen, m n sin nωt sin mωtdt, m n sin ( Ωt) dt ( cos Ωt ) dt Kaikki spektrikomponentit saadaan parittomalle signaalille x( t) sin( kω t) dt, k, K Bk, jos taajuudet samoja, niin tulos on / /JV 8 sin Ω t sin Ωtdt / 4
5 Fourier sarjan analyysi Fourier-analyysin voi ajatella muodostuvan rinnakkaisista, keskenään harmonisille taajuuksille viritetyistä korrelaattoreista Korrelaattorit ovat ikään kuin omalle resonanssitaajuudelle viritettyjä äänirautoja Resonanssitaajuudet ovat harmonisessa suhteessa, ts. perustaajuuden kerrannaisia (k f ) x(t) f f f k 5/JV 9 B B B k Fourier sarjan analyysi Parilliselle signaalille saadaan vastaavasti A k x( t) cos( kω t) dt, k,, K Em. analyysikaava korreloi analysoitavaa signaalia testisignaalin kanssa, tulos on nolla jos korrelaatiota ei ole (analysoitavassa signaalissa ei ole testisignaalin kaltaista komponenttia) ja tulos on / jos analysoitavasta signaalista löytyy testisignaalikomponentti Ongelmana on vain että korrelaatio ei kykene aistimaan analysoitavan signaalin vaihetta; ts. samantaajuinen komponentti mutta π-vaihesiirron verran sivussa tuottaa korrelaatioksi nollan Signaalille jossa on sekä parillisia että parittomia komponentteja, täytyy muodostaa molemmat kertoimet A k ja B k Kompleksiselle signaalille saadaan vastaavasti jkω F k x( t) e tdt, k,, K koska j( k m) Ω t, kun k m e dt, kun k m 5/JV 5
6 Fourier sarjan analyysi Jotta Fourier-analyysi olisi herkkä myös erivaiheisille signaaleille, vertailtava (korreloitava) signaali on oltava kompleksinen Eli sisältää samanaikaisesti 9 vaihesiirrossa olevat komponentit Edelleen, Fourier-analyysin voi ajatella muodostuvan rinnakkaisista, keskenään harmonisille taajuuksille viritetyistä korrelaattoreista x(t) e -jf e -jf e -jkf 5/JV F F F k Fourier sarjan analyysi Reaalinen sini- ja kosinisignaali Reaalinen kosinisignaali ja vaihe Kompleksinen signaali A A x( t) + A cosω t + A cosωt + K + An cosnωt + x( t) B sin Ωt + B sin Ω t + K+ Bn sin nωt Ak x( t) coskω tdt Bk x( t) sin kωtdt 5/JV : n keskiarvo x( t) C + C cos( Ω + ϕ) + C cos( Ω + ϕ ) + + Cn cos( nωt + ϕn ) Ck Ak + Bk, Bk tanϕk A K x( t) Fk k F e k jkωt k A, kun k jkω t x( t) e ( Ak jbk ), kun k > ( A k + jb k ), kun k < 6
7 Diskreetti Fourier-muunnos Diskreetissä Fourier-muunnoksessa (Discrete Fourier ransform, DF) aika etenee näytteenottointervallin määräämissä askeleissa t n s Fk x ( t) jkω ns lim x( ns ) e, ω Ω, / s s e jkω t dt, k,, Kun näytteenottotaajuus oletetaan pieneksi, integraali muuttuu summalausekkeeksi (ns. numeerinen integrointi) jk n Fk ω x( ns ) e, ω π /, k,, K, Diskreetti Fourier -muunnos (DF) K s jkω t x( t) e dt, k,, K Fk / s 5/JV 3 Diskreetti Fourier-muunnos Oletetaan näytteenottointervalliksi π, jolloin ωπ/ 4 cos t cos 4t cos6t x( t) K π π,3 3,5 5,7,6366,444cos t,849cos 4t,364 cos6t + K 56; t linspace(,, (+)); t t([:]); % vika piste pois periodin takia s abs(sin(pi*t)); subplot(3), plot(t, s); d fft(s)/; % kompleksisen spektrin laskenta dmag abs(d); dphase angle(d); M ; % M spektriviivan Fourier-kertoimet d dmag(); dm *dmag(:m); % yksipuolisen spektrin laskenta cmag [d, dm]; cphase dphase(:m); subplot(3), stem((:(m-)),cmag), xlabel('amplitudi'); subplot(33), stem((:(m-)),cphase), xlabel('vaihe'); sinωt on parillinen funktio, siksi vain kosinitermejä abs(sin(x)) Amplitudi Harmonische Vaihe 5/JV Vaihe on tärkeä, koska ei ole 4 ihan sama missä keskinäisessä vaiheessa sinisignaaleja summataan 7
8 Diskreetti Fourier-muunnos Jos DF:n kaavassa esiintyvä termi merkitään W e -jπ/, saadaan Fourier-muunnospari muotoon X [ k] x[ k] kn W, k kn x[ k ] X [ k] W, n k joskus muunnospari määritellään lyhyemmin X[n] X[k] DF(x[n]) x[n] IDF(X[k]) Havaitaan että jos kaavojen avulla halutaan laskea X(k):n arvoja alueen k - ulkopuolelta, ulkopuoliset arvot muodostavat samanlaisen jakson kuin perusalueen X(k):t Eli DF muodostetaan kuvittelemalla muunnettava näytteen näytejono jaksolliseksi Huomaa että ainoa ero DF:n ja IDF:n välillä on skaalaustekijä / ja merkin vaihto ekponentissa Eli jos on olemassa laskentakeino DF:n laskemiseksi, se voidaan helposti muuntaa IDF:n laskemiskeinoksi ämä on suora seuraus aika- ja taajuusakselien symmetriasta x[n] DF IDF X[k] x[k] 5/JV 5 DF ominaisuudet DF ja IDF ovat syklisiä, ts. x[n] x[n+], n X[k] X[k+], k Lineaarisuus Jos x [n] X [k] ja x [n] X [k] iin A x [n]+b x [n] AX [k] + BX [k] Ajan siirto Jos x[n] X[k] iin x[n-n ] X[k]e -jπkn/ X[k]W kn n Konvoluutio Jos x [n] X [k] ja x [n] X [k] iin x n x m Modulaatio Jos x [n] X [k] ja x [n] X [k] iin [ ] [ m n] X [ k] X [ k] m x [ n] x [ n] X [ m] X [ k m] X [ k] x[ k] kn e jπ / [ n] { cos( πkn / ) j sin ( πkn / )} x W, k, W Kosini on parillinen funktio (x[n]x[-n]), joten jos x[n] on reaalinen X[k] reaaliosan täytyy olla parillinen ja X[k] imaginaariosan pariton X[k] itseisarvo on parillinen ja X[k] vaihe on pariton X[k]X * [-k] DF on täysin määritelty puolella (/) spektrikertoimia (kun siis x[n] on reaalinen) Jos x[n] on kompleksinen, symmetriaa ei ole ja kaikki spektrikerrointa tarvitaan signaalin määrittelemiseen Jos lisäksi x[n] on parillinen, spektri koostuu vain kosinitermeistä, eli X[k] imaginäärikomponentit ovat nollia Jos x[n] on pariton, spektri koostuu sinitermeistä, ja X[k] reaalikomponentit ovat nollia 5/JV 6 8
9 DF käytännössä DF tuottaa toisistaan riippumatonta spektrikerrointa X[k] Spektrikertoimet voidaan nähdä taajuustason näytteinä jatkuvasta Fourier-muunnoksesta X(Ω) Kertoimien välillä on yhteys Ω k /() jossa on näytteenottointervalli Eli taajuustason näytteet voidaan ajatella otetun F s / Hz välein Jos näytteenottotaajuus on 8 Hz ja käytetään pisteen DFmuunnosta, muunnetut spektrikertoimet esittävät taajuuskomponentteja jotka ovat 8 Hz:n välein Mutta vain puolet kertoimista ovat merkityksellisiä (toiset ovat peilikuva), eli voimme kattaa taajuusalueen - 5 8Hz eli 4 Hz Eli yqvistin näytteenottoteoreema kummittelee tässäkin; ottamalla näytteitä 8 Hz vauhdilla, näemme vain taajuudet 4 Hz IDF vastaavasti palauttaa signaaliarvoa x[n] spektrikertoimesta k x[n] aajuusindeksi (ei yksikköä) DF Digitaalitaajuus (rad) ω k k π/ X[k] Analogitaajuus (rad/s) Ω k k π/ 5/JV 7 DF käytännössä DF voidaan nähdä myös suodinpankkina (rinnakkaisten suotimien ryhmänä) Yhden suodattimen kaistanleveyden määrää käytetty näytteenottotaajuus sekä DF:n pisteiden määrä () Esimerkiksi 4 pisteen DF jos näytteenottotaajuus on 96 khz, yhden suotimen kaistanleveys on 96/4 Hz 93,75 Hz Mitä suurempi, sitä suurempi on DF:n resoluutio ts. tarkkuus, millä DF kykenee taajuuksia erottelemaan 96 khz 4 96 khz DF x(t) F F F F 3 93,75 Hz 93,75 87,5 Hz 87,5 8,5 Hz 5/JV 8 9
10 tätä ei lasketa summaksi, vaan kompleksilukuun kuuluvaksi DF:n laskenta vaatii yhtälön evaluointia kn X ( k ) x( n) W, k W j( π ) e Jos x[n] on kompleksinen X DF laskenta kn kn ( k) { R( x[ n] ) + ji( x[ n] )} { R( W ) + ji( W )} R kertolasku kn kn ( x[ n] ) R( W ) I( x[ n] ) I( W ) 64 7 kertolasku kertolasku kertolasku kn kn + j R( x[ n] ) I( W ) + I x[ n] R W, k,, K X(k):n laskenta yhdelle k:lle vaatii 4 kertolaskua, kun tämä tehdään jokaiselle k:lle, kertolaskujen määräksi tulee 4 Jokaisen neljän osan termin summaaminen vaatii - kaksiporttista summausta ja reaali ja imaginaariosien yhdistäminen vaatii kaksi summausta lisää, eli X(k):n laskenta jokaiselle k:lle vaatii 4(-)+ summausta joka kerrottuna :llä (koska kpl X(k) termejä) on (4-) ( ) ( ) /JV Kertolaskujen määrä DF:n laskennassa tulee helposti erittäin suureksi kun kasvaa DF laskenta Jos halutaan tehdä 4-pisteen DF reaaliaikaisesti ja näytteenottotaajuus on 96 khz, aikaa yhden 4 näytteen lohkon käsittelemiseen on 4 /96,7 ms ässä ajassa on suoritettava kertolaskua, eli aikaa yhden kertolaskun suorittamiseen jää,5 ns ämän hetken toteutusteknologialla,5 ns on epärealistisen pieni aika kertolaskulle Käytännössä lisäksi pitäisi laskea vielä yhteenlaskut sekä huolehtia datojen siirrosta kertolaskuelimien ja muistin välillä Suora DF:n laskenta ei ole käytännössä realistinen jos on suuri (> ) Eli DF:llä ei käytännössä voi toteuttaa suuren resoluution DF-lohkoja 96 khz 4 96 khz DF,7 ms 5/JV
11 Hajoita ja hallitse Jotta DF-muunnosta voitaisiin käyttää tosimaailmassa, tehokkaampi algoritmi DF:n laskennalle on tarpeen DF:n laskennan vaikeus on neliöllisesti verrannollinen laskettavien pisteiden määrään ( ) Jos laskettavien pisteiden määrä voidaan pudottaa puoleen (/), laskennan vaikeus putoaa neljäsosaan (/) /4 oki laskentoja tarvitaan kaksi koska vain puolelle pisteistä lasketaan DF Kokonaiskompleksisuus on siten /4 /, eli puolet helpompi kuin alkuperäisen jakamattoman tehtävän ratkaiseminen Jos ongelman ratkaisu on epälineaarinen ongelman kokoon nähden, tehtävän pilkkominen osiin ja sitten ratkaisujen yhdistäminen saattaa olla kannattavaa Edellyttäen että ratkaisujen yhdistäminen ei on kohtuullisen helppoa Ja että ongelma on ylipäätään pilkottavissa sekä ratkaisut yhdistettävissä DF:n laskennan suhteen tällaisen pilkkomisen ja uudelleenyhdistämisen idean esittivät 965 James W. Cooley and John W. ukey Joskin myöhemmin osoittautui että Carl Friedrich Gauss ( ) esitteli samantapaisen ratkaisun jo vuonna 85 Eli samoihin aikoihin kun Fourier esitti itse muunnoksen konseptin! S/4 S 5/JV opea Fourier-muunnos (FF) DF voidaan jakaa kahteen osaan, parittomiin ja parillisiin indekseihin X - nk nk [ k] x[ n] W x[ n] W + x[ n] parillinen pariton merkitään r ensimmäiseen summaan ja n r+ toiseen summaan, näin saadaan X rk ( r+ ) k [ k] x[ r] W + x[ r + ] W r r järjestetään molemmat X[k]:n osat /-muunnoksiksi käyttäen rk ( ) j π rk j π rk rk rk W W e e W näin saadaan rk k rk X [ k] x[ r] W + W x[ r + ] W r r / DF parilliset W nk / DF parittomat Jos G[k] esittää / DF parillisille indekseille ja H[k] / DF parittomille indekseille, saadaan DF muotoon X[k] G[k] + W k H[k] äin näytteen DF on saatu pilkottua kahteen / DF lohkoon ja näiden ulostulojen kombinointilogiikkaan yhdistävä operaattori 5/JV
12 opea Fourier-muunnos (FF) Pilkkomisen tuloksena kertolaskujen määrä on (/) +(/) + Pilkkomista voidaan jatkaa kunnes DF lasketaan vain yhdestä näytepisteestä (eli kertolaskujen määrä on ) Jos muunnettavien näytepisteiden määrä on :n potenssi; silloin jokaisessa pilkkomisasteessa on kertolaskua ja näitä asteita on log kappaletta Kertolaskujen määrä on silloin log Jakamalla DF osiin ja yhdistämällä osien tulokset keskenään, kertolaskujen määrä pieneni äin toteutettua DF:n laskentaa kutsutaan nopeaksi Fouriermuunnokseksi (Fast Fourier ransform, FF) FF on vastaavanlainen signaalinkäsittelyn perusoperaatio taajuustasossa kuin konvoluutio aikatasossa FF:n laskentaa varten useissa signaaliprosessoreissa on erityisiä käskyjä, osoitusmuotoja tai jopa erillisiä Hardware-laskentayksiköitä x[n] FF X[k] 5/JV 3 FF laskenta Jos halutaan tehdä 4-pisteen FF reaaliaikaisesti ja näytteenottotaajuus on 96 khz, aikaa yhden 4 näytteen lohkon käsittelemiseen on 4 /96,7 ms ässä ajassa on suoritettava 4(/)log 48 kertolaskua, eli aikaa yhden kertolaskun suorittamiseen jää,5 µs FF nopeutti 4 pisteen DF:n laskentaa n. kertaisesti 5 ns on realistinen tämän päivän toteutusteknologialle Puolijohdetekniikan kellotaajuus kaksinkertaistuu,5 vuodessa (Mooren laki) FF:n avulla voidaan nyt laskea sellaisia DFlohkoja joita muutoin voitaisiin laskea vasta,5 log,5 vuoden päästä 96 khz 4 96 khz FF,7 ms 5/JV 4
13 Fourier-muunnoksen käyttö Analoginen signaali x(t) 3cos(πt) näytteistetään nopeudella Hz (näytettä/s),s Digitaalinen signaali on silloin x[n] 3cos(,πn) Signaalista otetaan näytettä x[n] ja ne johdetaan DFprosessoinnin läpi DF:n tuloksena saadaan näytettä X[k] Ainoastaan X[] ja X[-] Amplitudi 3 vastaa arvoa A/ jossa A3 (kosinisignaalin amplitudi) ja (näytteiden määrä) X[k] on reaalinen (imaginääriosa ) Indeksi k vastaa kahta signaalin täyttä jaksoa (kuten kuvasta nähdään) 5/JV 5 Fourier-muunnoksen käyttö Otetaan edellisestä digitaalisignaalista näytteen DF ollasta poikkeavien signaalien amplitudi on kasvanut viisinkertaiseksi (koska 5 kertaa suurempi näytemäärä muunnoksessa) aajuusindeksi on myös siirtynyt :ta :een, joka on täysien kosinisignaalin jaksojen määrä näytteessä Vastaava digitaalitaajuus on kuitenkin säilynyt samana 5/JV 6 3
14 Fourier-muunnoksen käyttö Analoginen signaali x(t) 5sin(πt) näytteistetään nopeudella Hz (näytettä/s),s Digitaalinen signaali on silloin x[n] 5sin(,πn) Signaalista otetaan näytettä x[n] ja ne johdetaan DF-prosessoinnin läpi DF:n tuloksena saadaan näytettä X[k] Ainoastaan X[] ja X[-] Amplitudi 5 vastaa arvoa A/ jossa A5 (sinisignaalin amplitudi) ja (näytteiden määrä) X[k] on imaginäärinen (reaaliosa ) Koska Xi[-k] -Xi[k], imaginaariosan spektrikomponentit ovat erimerkkisiä Indeksi k vastaa kahta signaalin täyttä jaksoa (kuten kuvasta nähdään) 5/JV 7 Fourier-muunnoksen käyttö Etsi IDF kuvassa esitetystä spektrikerroinjoukosta IDF voidaan reaalisille näytteille x[n] esittää muodossa X [ ] [ ] x n + k πk n πk n X [ ] [ ] [ ] X R k cos X I k sin + cosπn Asetetaan 8 ja käytetään annettuja X[k]:n arvoja,5 π n π n π n,5 x[ n] ( ) sin + cos (,75 ) sin + cosπn πn πn πn,875,5sin +,5cos +,4375sin +,65cosπn 4 X [ k] {.5,,,,.5,,, }, X [ k] {,,.75,,,,.75, } R Jos signaali olisi näytteistetty Hz:n taajuudella (,s), vastaava analoginen signaali voisi olla Ω ω x( t),875,5sin,5πt +,5cos5πt +,4375sin 5πt +,65 cosπt Vastaava analoginen signaali voi olla myös laskostunut (meillä ei ole mitään keinoa havaita tätä digitaalisista näytteistä) jolloin analogisessa signaalissa on paljon suurempitaajuisisia komponentteja I 5/JV 8 4
15 Fourier-muunnoksen käyttö Spektrianalyysissa annettu signaali puretaan spektrikomponentteihinsa ässä voidaan käyttää DF:tä Kuvassa a) on kolmen sinisignaalin muodostama 5 näytteen mittainen x[n] ensimmäisen värähtelee 6 kertaa, toinen 5 kertaa ja kolmas kertaa näytejakson (5 näytettä) aikana Jos näytteenottotaajuus olisi 5 Hz, sinisignaalien analogiataajuudet olisivat 6 Hz, 53 Hz ja Hz Koska analysoitava signaali on reaalinen, DF:n tulos on symmetrinen keskipisteen suhteen ja / spektrikertoimella voidaan signaali määritellä yksikäsitteisesti Kuvassa b) kahden sinisignaalin taajuutta muutetaan hiukan siten, että ne eivät ole aivan perustaajuuden harmonisia oinen ja kolmas spektrikomponentti vuotavat silloin hiukan vierekkäisiin spektrikertoimiin πn πn πn [ n],sin 6 +,sin 53 +,5sin, n x πn πn πn x[ n],sin 6 +,sin 53,5 +,5sin,5, n /JV 9 Fourier-muunnoksen käyttö Usein spektrianalyysissä analysoitavassa signaalissa on jokin hyötysignaali joka on hautautunut kohinaan Kuvassa a) on 5 näytteen kohinasignaalin seassa jaksollisia sinisignaaleja Sinisignaalit ovat niin heikkoja, että signaalin x[n] graafisesta esityksestä ne eivät näy Kuvassa b) on signaalin x[n] muunnos DF:n avulla spektraalikomponentteihinsa X[k] ähdään että kohina on melko tasaisesti jakautunut koko taajuusalueelle (ns. valkoinen kohina) Kohinan näytteet ovat siis toisistaan varsin riippumattomia Havaitaan myös että signaalissa on selvä piikki 3 harmonisen kohdalla Lisäksi 96 harmonisen kohdalla on heikompi piikki 5/JV 3 5
16 äytteistettyjen järjestelmien koko kuva LOHKOKAAVIO Implementaatio Impulssivaste (FIR, IIR) Z{h[n]}H(z) DIFFERESSI- YHÄLÖ Aikatason esitys y[n] Stabiilisuus a) h[n] äärellinen b) avat yksikköympyrän sisällä SIIROFUKIO aajuustason esitys AAJUUSVASE H(e jω ) H(e jω ) θ(ω) H( z) k k az b z b ( ) ( ) z zk H z a ( z pk ) Im δ[n] µ[n] - µ[n-] δ[n] e jωp H(z) h[n] H(e jω ) Re ω p ω n π 5/JV 3 entti entti.5.6, luokka. 6:3 9:3 (3h) Kuusi hyväksyttyä laskaria korvaa tentit, kts. ekan laskarin ohjeet Laskaritehtäviä on kuitenkin 7 + yksi ekstratehtävä äillä ylimääräisillä tehtävillä voi paikata suoritustaan jos joitain tehtäviä uupuu tai eivät ole menneet läpi entissä ei saa olla mukana mitään oheismateriaalia, laskin on kuitenkin sallittu enttipaperissa on kaavakokoelma jossa mahdollisesti tarvittavat kaavat valmiina, ei tarvitse opetella ulkoa 5/JV 3 6
17 Entäs sitten? Olemme käsitelleet signaalinkäsittelyn alkeita Signaalien luokittelu, järjestelmien perusominaisuudet, impulssivaste, lohkokaavio, differenssiyhtälö, siirtofunktio, navat ja nollat, taajuusvaste Kiinnostavaa on myös tietää kuinka signaalinkäsittelyjärjestelmiä käytännössä toteutetaan, kuinka laskutoimitukset toteutetaan, mitä milläkin tarkkuudella täytyy laskea ja miten mahdollisimman tehokkaasti ätä varten on kurssi Digitaaliset Signaaliprosessorit Digitaalisten suodattimien suunnittelu, spektrin estimointi, signaalien kaivaminen kohinan seasta ( kun tarpeeksi kiusaa, niin kyllä se luontoäiti tunnustaa ) ovat myös tärkeitä signaalinkäsittelyn osa-alueita äitä asioita tutkitaan sitten jatkokurssilla Signaalikäsittelyjärjestelmät Signaalinkäsittelyä tarvitaan mitä erilaisimmissa tilanteissa äitä varten on kurssi Digitaalisen Signaalinkäsittelyn projekti Signaalivuokaavion viivojen verkko merikortti tuntemattomaan, kohtalo piirtää salaa yön minälle kutsuaan. ien keskeen karien kuohun sen kaavio viitoittaa. Ei tarvis kuin purjeet nostaa, vaan minne päin suunnistaa? Miksi sydän pelosta hakkaa? Mistä epäily levoton? Merikortti on tallella tässä, mutta kompassi, missä se on? Jacques Berg, 993 5/JV 33 7
Tietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1
1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 Millainen on signaalin spektri ja miten se lasketaan? SIGNAALIEN JA SPEKTRIN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka graafinen
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotSpektri- ja signaalianalysaattorit
Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 30.1.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 18.3.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 6.3.006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 24.4.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti..005 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja sen
LisätiedotDiskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa. Pentti Romppainen
Diskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa Pentti Romppainen Kajaanin ammattikorkeakoulu Oy Kajaani University of Applied Sciences Diskreetti Fourier-muunnos ja
LisätiedotSäätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi
Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen 0.4 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotDigitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006
Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2
1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 Miten spektri lasketaan moduloiduille ja näytteistetyille tietoliikennesignaaleille? KONVOLUUTIO JA KERTOLASKU 2 Kantataajuussignaali (baseband) = sanomasignaali ilman
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 5.5.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
Lisätiedot4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotA B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df)
ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3. a) Suoran tapauksessa ratkaistaan kaksi tuntematonta termiä, A ja B, joten tarvitaan kaksi pistettä, jotka ovat pisteet t = ja t =.. Saadaan yhtälöpari
LisätiedotT SKJ - TERMEJÄ
T-61140 SKJ - termit Sivu 1 / 7 T-61140 SKJ - TERMEJÄ Nimi Opnro Email Signaalinkäsittelyyn liittyviä termejä ja selityksiä Kevät 2005 Täytä lomaketta kevään aikana ja kerää mahdollisesti puuttuvia termejä
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN-11 Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe 3.5.16 Heikki Huttunen Laskimen käyttö sallittu. Muiden materiaalien käyttö ei sallittu. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla 1-3 on. Sivuilla 4-5
Lisätiedot5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit. z n = z
5. Z-muunnos ja lineaariset diskreetit systeemit Jono: (x(n)) n=0 = (x(0), x(1), x(2),..., x(n),...) Z-muunnos: X(z) = n=0 x(n)z n, jos sarja suppenee jossain kompleksitason osassa. Esim. 4. Ykkösjonon
LisätiedotIIR-suodattimissa ongelmat korostuvat, koska takaisinkytkennästä seuraa virheiden kertautuminen ja joissakin tapauksissa myös vahvistuminen.
TL536DSK-algoritmit (J. Laitinen)..5 Välikoe, ratkaisut Millaisia ongelmia kvantisointi aiheuttaa signaalinkäsittelyssä? Miksi ongelmat korostuvat IIR-suodatinten tapauksessa? Tarkastellaan Hz taajuista
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
LisätiedotKotitehtävät 1-6: Vastauksia
/V Integraalimuunnokset Metropolia/. Koivumäki Kotitehtävät -6: Vastauksia. Merkitse kompleksitasoon näiden kompleksilukujen sijainti: a = 3 j b = 3 35 (3 kulmassa 35 ) jπ / c = d = 3 e j 9.448 e cos(
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 7
Kompleksianalyysi, viikko 7 Jukka Kemppainen Mathematics Division Fourier-muunnoksesta Laplace-muunnokseen Tarkastellaan seuraavassa kausaalisia signaaleja eli signaaleja x(t), joille x(t) 0 kaikilla t
Lisätiedote ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
LisätiedotSignaalien datamuunnokset
Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 06/02/2004 Luento 4a: Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
LisätiedotSignaalien datamuunnokset. Digitaalitekniikan edut
Signaalien datamuunnokset Datamuunnosten teoriaa Muunnosten taustaa Muunnosten teoriaa Muunnosten rajoituksia ja ongelmia Petri Kärhä 09/02/2009 Signaalien datamuunnokset 1 Digitaalitekniikan edut Tarkoituksena
LisätiedotSinin muotoinen signaali
Sinin muotoinen signaali Pekka Rantala.. Sini syntyy tasaisesta pyörimisestä Sini-signaali syntyy vakio-nopeudella pyörivän osoittimen y-suuntaisesta projektiosta. y u û α positiivinen pyörimissuunta x
LisätiedotT Signaalinkäsittelyjärjestelmät Kevät 2005 Pakolliset ja lisäpistelaskarit
T-61.14 SKJ (Pakolliset ja lisäpistetehtävät 5) Sivu / 16 T-61.14 Signaalinkäsittelyjärjestelmät Kevät 5 Pakolliset ja lisäpistelaskarit HUOM! Kurssi luennoidaan todennäköisesti viimeistä kertaa keväällä
LisätiedotTrigonometriset funktiot
Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa II
MS-C142 Fourier-analyysi osa II G. Gripenberg Aalto-yliopisto 14. helmikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa II 14. helmikuuta 214 1 / 36 1 Fourier-sarjat ja Fourier-integraalit
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 14 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 14 () Numeeriset menetelmät 15.5.2013 1 / 55 Luennon 14 sisältö Nopeat Fourier-muunnokset (FFT) Yleinen algoritmi 2-kantainen
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotFourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
LisätiedotSpektrianalysaattori. Spektrianalysaattori
Mittaustekniikan perusteet / luento 9 Spektrianalysaattori Spektrianalyysi Jean Baptiste Fourier (1768-1830): Signaali voidaan esittää taajuudeltaan ja amplitudiltaan (sekä vaiheeltaan) erilaisten sinien
LisätiedotR = Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen on tällöin jännitteenjako = 1
Fysiikan mittausmenetelmät I syksy 206 Laskuharjoitus 4. Merkitään kaapelin resistanssin ja kuormaksi kytketyn piirin sisäänmenoimpedanssia summana R 000.2 Ω. Jännite R:n yli suhteessa sisäänmenojännitteeseen
LisätiedotSGN Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe Heikki Huttunen
SGN- Signaalinkäsittelyn perusteet Välikoe.5.4 Heikki Huttunen Tentissä ja välikokeessa saa käyttää vain tiedekunnan laskinta. Tenttikysymyksiä ei tarvitse palauttaa. Sivuilla -3 on. Sivuilla 4-5 on. Sivulla
LisätiedotDSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio
DSP:n kertausta Kerrataan/käydään läpi: ffl Spektri, DFT, DTFT ja FFT ffl signaalin jaksollisuuden ja spektrin harmonisuuden yhteys ffl aika-taajuusresoluutio Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA
S-55.1100 SÄHKÖTKNIIKKA A KTONIIKKA Tentti 0.1.006: tehtävät 1,3,4,6,8 1. välikoe: tehtävät 1,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,10 Saat vastata vain neljään tehtävään/koe; ne sinun pitää itse valita! Kimmo
LisätiedotTL5231, Signaaliteoria (S2004) Matlab-harjoituksia
1. a) Muodosta Matlab-ohjelmistossa kosinisignaali x(t) = Acos(2πft+θ), jonka amplitudi on 1V, taajuus hertseinä sama kuin ikäsi vuosina (esim. 2 v = 2 Hz) ja vaihekulma +π/2. Piirrä signaali ja tarkista
LisätiedotSÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU
ENSO IKONEN PYOSYS 1 SÄÄTÖJÄRJESTELMIEN SUUNNITTELU Enso Ikonen professori säätö- ja systeemitekniikka http://cc.oulu.fi/~iko Oulun yliopisto Älykkäät koneet ja järjestelmät, Systeemitekniikka Feb 2019
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotLuento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 4.1 Fourier-sarja 4.2 Viivaspektri, tehospektri
Luento 4 Luento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 9 Oppenheim 3.3, 3.4 4.1 Fourier-sarja Kompleksi F-sarja F-sinisarja Sinc-funktio 4. Viivaspektri, tehospektri Viivaspektri Parsevalin teoreema
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu
Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,
Lisätiedotspektri taajuus f c f c W f c f c + W
Kaistanpäästösignaalit Monet digitaaliset tiedonsiirtosignaalit ovat keskittyneet jonkin tietyn kantoaaltotaajuuden f c ympäristöön siten, että signaali omaa merkittäviä taajuuskomponetteja vain kaistalla
LisätiedotKapeakaistainen signaali
Tiedonsiirrossa sellaiset signaalit ovat tyypillisiä, joilla informaatio jakautuu kapealle taajuusalueelle jonkun keskitaajuuden ympäristöön. Tällaisia signaaleja kutustaan kapeakaistaisiksi signaaleiksi
LisätiedotSisältö. 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi
Sisältö 1. Kompleksiluvut 2. Funktiot 3. Differentiaalilaskentaa 4. Sarjat 5. Integrointi 6. Möbius-muunnos 7. Diskreetti systeemi Kompleksiluvut C Kompleksiluvut C määritellään reaalilukuparien (a, b)
LisätiedotLuento 4 Fourier muunnos
Luento 4 Luento 4 Fourier muunnos 4. F muunnos F muunnos Oppenheim 4. 4. Energiaspektri (spektritiheys) Rayleigh'n energia teoreema, energiaspektri Kaistanleveys Boden diagrammi 4.3 F muunnoksen ominaisuudet,
LisätiedotAlipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi
Alipäästösuotimen muuntaminen muiksi perussuotimiksi Usein suodinsuunnittelussa on lähtökohtana alipäästösuodin (LPF), josta voidaan yksinkertaisilla operaatioilla muodostaa ylipäästö- (HPF), kaistanpäästö-
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I
MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta
LisätiedotSignaalien digitaalinen käsittely
Signaalien digitaalinen käsittely Antti Kosonen Syksy 25 LUT Energia Sähkötekniikka Alkulause Luentomoniste pohjautuu kirjaan Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, Proakis
LisätiedotTaajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi
Taajuus-, Fourier- ja spektraalianalyysi Impulssi- ja askelvastetekniikat sekä korrelaatioanalyysi tähtäävät impulssivasteen mallintamiseen aikataso Taajuus- Fourier- ja spektraalianalyysi tähtäävät systeemin
LisätiedotS Signaalit ja järjestelmät
dsfsdfs S-72.1110 Työ 2 Ryhmä 123: Tiina Teekkari EST 12345A Teemu Teekkari TLT 56789B Selostus laadittu 1.1.2007 Laboratoriotyön suoritusaika 31.12.2007 klo 08:15 11:00 Esiselostuksen laadintaohje Täytä
LisätiedotELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotLukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos
Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia
LisätiedotOrganization of (Simultaneous) Spectral Components
Organization of (Simultaneous) Spectral Components ihmiskuulo yrittää ryhmitellä ja yhdistää samasta fyysisestä lähteestä tulevat akustiset komponentit yhdistelyä tapahtuu sekä eri- että samanaikaisille
Lisätiedot1. Määritä pienin näytelauseen ehdon mukainen näytetaajuus taajuus seuraaville signaaleille:
TL61, Näytejonosysteemit (K00) Harjoitus 1. Määritä pienin näytelauseen ehdon mukainen näytetaajuus taajuus seuraaville signaaleille: a) 1 (t) = cos(000πt) + sin(6000πt) + cos(00πt) ja ) (t) = cos(00πt)cos(000πt).
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotSignaalimallit: sisältö
Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214
LisätiedotMitä on signaalien digitaalinen käsittely
Mitä on signaalien digitaalinen käsittely Signaalien digitaalinen analyysi: mitä sisältää, esim. mittaustulosten taajuusanalyysi synteesi: signaalien luominen, esim. PC:n äänikortti käsittely: oleellisen
LisätiedotPerusmittalaitteet 2. Spektrianalyysi. Mittaustekniikan perusteet / luento 4. Spektrianalyysi. Logaritmiasteikko ja db (desibel) Spektrianalysaattori
Mittaustekniikan perusteet / luento 4 Perusmittalaitteet Spektrianalyysi Jean Baptiste Fourier (1768-1830): Signaali voidaan esittää taajuudeltaan ja amplitudiltaan (sekä vaiheeltaan) erilaisten sinien
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotLuku 4 - Kuvien taajuusanalyysi
Luku 4 - Kuvien taajuusanalyysi Matti Eskelinen 8.2.2018 Kuvien taajuusanalyysi Tässä luvussa tutustumme taajuustasoon ja opimme analysoimaan kuvia ja muitakin signaaleja Fourier-muunnoksen avulla. Aiheina
LisätiedotKohina. Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N)
Kohina Havaittujen fotonien statistinen virhe on kääntäen verrannollinen havaittujen fotonien lukumäärän N neliö juureen ( T 1/ N) N on suoraan verrannollinen integraatioaikaan t ja havaittuun taajuusväliin
LisätiedotAlias-ilmiö eli taajuuden laskostuminen
Prosessiorientoituneet mallit Todellista hybridijärjestelmää ELEC-C1230 Säätötekniikka Luku 12: Näytteenottoteoreema ja jatkuvien säätimien diskreetit approksimaatiot Prosessiorientoituneet mallit katsotaan
LisätiedotLABORATORIOTYÖ 2 A/D-MUUNNOS
LABORATORIOTYÖ 2 A/D-MUUNNOS 2-1 2. A/D-muunnos Työn tarkoitus Tässä työssä demotaan A/D-muunnoksen ominaisuuksia ja ongelmia. Tarkoitus on osoittaa käytännössä, miten bittimäärä ja näytteenottotaajuus
LisätiedotSähkötekniikka ja elektroniikka
Sähkötekniikka ja elektroniikka Kimmo Silvonen (X) Vaihtovirta ja osoitinlaskenta Luento Sinimuotoinen virta ja jännite Tehollisarvo, huippuarvo, vaihekulma Ajan vai taajuuden funktiona? Viime viikon kytkentäilmiöt
Lisätiedot2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division
2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =
LisätiedotLineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2
Lineaarialgebra MATH.1040 / Piirianalyysiä 2 1 Seuraavat tarkastelut nojaavat trigonometrisille funktioille todistettuihin kaavoihin. sin(α + β) = sinα cosβ + cosα sinβ (1) cos(α + β) = cosα cosβ sinα
Lisätiedot763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät y' P. α φ
76336A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 1 Kevät 217 1. Koordinaatiston muunnosmatriisi (a) y' P r α φ ' Tarkastellaan, mitä annettu muunnos = cos φ + y sin φ, y = sin φ + y cos φ, (1a) (1b) tekee
LisätiedotLABORATORIOTYÖ 2 A/D-MUUNNOS
LABORATORIOTYÖ 2 A/D-MUUNNOS Päivitetty: 23/01/2009 TP 2-1 2. A/D-muunnos Työn tarkoitus Tässä työssä demotaan A/D-muunnoksen ominaisuuksia ja ongelmia. Tarkoitus on osoittaa käytännössä, miten bittimäärä
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotT Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus
T-63 Digitaalinen signaalinkäsittely ja suodatus 2 välikoe / tentti Ke 4528 klo 6-9 Sali A (A-x) ja B (x-ö)m 2 vk on oikeus tehdä vain kerran joko 75 tai 45 Tee välikokeessa tehtävät, 2 ja 7 (palaute)
LisätiedotSignaalien generointi
Signaalinkäsittelyssä joudutaan usein generoimaan erilaisia signaaleja keinotekoisesti. Tyypillisimpiä generoitavia aaltomuotoja ovat eritaajuiset sinimuotoiset signaalit (modulointi) sekä normaalijakautunut
LisätiedotTietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
LisätiedotDEE-11110 Sähkötekniikan perusteet
DEE-11110 Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Kompleksilukujen hyödyntäminen vaihtosähköpiirien analyysissä Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet Osoitin eli kompleksiluku: Trigonometrinen muoto
LisätiedotKäytännön radiotekniikkaa: Epälineaarinen komponentti ja signaalien siirtely taajuusalueessa (+ laboratoriotyön 2 esittely)
Käytännön radiotekniikkaa: Epälineaarinen komponentti ja signaalien siirtely taajuusalueessa (+ laboratoriotyön 2 esittely) ELEC-C5070 Elektroniikkapaja, 21.9.2015 Huom: Kurssissa on myöhemmin erikseen
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
Lisätiedot