2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

Transkriptio

1 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä a:ta. Jos epäyhtälö pätee kaikilla x:n arvoilla, f:llä on absoluuttinen maksimi (minimi) pisteessä a. Ääriarvoja voi esiintyä 1. kriittisissä pisteissä, joissa f (x) = 0 2. singulaaripisteissä, joissa f (x) ei ole olemassa 3. f:n määrittelyalueen päätepisteissä. 1

2 Vastaavasti kahden muuttujan funktiolla on lokaali maksimi tai suhteellinen maksimi määrittelyalueensa pisteessä (a, b), jos f(x, y) f(a, b) kaikilla (x, y), jotka ovat riittävän lähellä (a, b):tä. Jos epäyhtälö pätee kaikilla (x, y) f:n määrittelyalueessa, f:llä on globaali maksimi (absoluuttinen maksimi) pisteessä (a, b), vastaavasti lokaali ja globaali minimi. Välttämättömät ehdot ääriarvojen olemassaololle: Funktiolla f(x, y) voi olla lokaali tai globaali ääriarvo pisteessä (a, b) vain, jos (a, b) on 1. f:n kriittinen piste, ts. piste, jossa f(a, b) = 0 2. f:n singulaarinen piste, ts. piste, jossa f(a, b) ei ole olemassa 3. f:n määrittelyalueen reunapiste. Nämä ehdot pätevät myös useamman muuttujan funktioille. 2

3 Joukko R n on rajoitettu, jos se sisältyy kokonaisuudessaan palloon x x x 2 n R 2, missä säde R on äärellinen. Riittävät ehdot ääriarvojen olemassaololle: Jos f on jatkuva n:n muuttujan funktio, jonka määrittelyalue on suljettu ja rajoitettu joukko R n :ssä, niin f:n arvojoukko on rajoitettu joukko reaalilukuja ja sen määrittelyalueessa on pisteitä, joissa f saa absoluuttisia maksimi ja minimiarvoja. Esim. Funktiolla f(x, y) = x 2 + y 2 on kriittinen piste pisteessä (0, 0), koska f = 2xi + 2yj ja f:n molemmat komponentit häviävät pisteessä (0, 0). Koska f(x, y) > 0 = f(0, 0), jos (x, y) (0, 0), f:llä on ko. pisteessä absoluuttinen minimi. Funktion f sisäpuolisessa määrittelyjoukossa oleva kriittinen piste on satulapiste, jos f:llä ei ole ko. pisteessä maksimi eikä minimiarvoa. 3

4 Kriittisten pisteiden luokittelu: Tarkastellaan erotusta f = f(a + h, b + k) f(a, b), (1) missä h ja k ovat pieniä ja (a, b) on kriittinen piste. Jos erotus on aina ei negatiivinen (ei positiivinen), niin f:llä on minimi (maksimi) pisteessä (a, b). Jos erotus on negatiivinen joillakin (h, k) mielivaltaisen lähellä (0, 0):aa ja positiivinen joillain toisilla, f:llä on satulapiste pisteessä (a, b). Esim. Etsi ja luokittele funktion f(x, y) = 2x 3 6xy + 3y 2 kriittiset pisteet. Tämän menetelmän perusteella voidaan kehittää toisen derivaatan testi (second derivative test) kriittisten pisteiden luokitteluun. 4

5 Toisen derivaatan testi: Olkoon (a, b) funktion f(x, y) kriittinen piste f:n määrittelyalueen sisällä. Oletetaan, että f:n toiset osittaisderivaatat ovat jatkuvia(a, b):n läheisyydessä ja niillä on arvot A = f 11 (a, b), B = f 12 (a, b) = f 21 (a, b), C = f 22 (a, b) (2) 1. Jos B 2 < AC ja A > 0, niin f:llä on lokaali minimi pisteessä (a, b) 2. Jos B 2 < AC ja A < 0, niin f:llä on lokaali maksimi pisteessä (a, b) 3. Jos B 2 > AC, niin f:llä on satulapiste pisteessä (a, b) 4. Jos B 2 = AC, ei testi anna informaatiota. Esim. etsi ja luokittele funktion f(x, y) = xye (x2 +y 2 )/2 (3) kriittiset pisteet. Onko f:llä absoluuttista maksimia tai minimiä? 5

6 Jos u = ui + vj on yksikkövektori, f(x, y):n toinen suunnattu derivaatta pisteessä (a, b) vektorin u suuntaan on D 2 uf(a, b) = u (u f)(a, b) = Au 2 + 2Buv + Cv 2, (4) missä A, B ja C ovat u:sta ja f:n toisista osittaisderivaatoista riippuvia vakioita. Lauseke Q(u, v) = Au 2 + 2Buv + Cv 2 (5) on muuttujien u ja v neliömuoto. Neliömuoto on positiividefiniitti (negatiividefiniitti), jos Q(u, v) > 0 (Q(u, v) < 0) kaikilla nollasta poikkeavilla vektoreilla u. Neliömuotoa voidaan käyttää kriittisten pisteiden luokitteluun, myös useamman muuttujan funktioiden tapauksessa. 6

7 Funktiolle f(x, y, z), jolla on jatkuvat toiset osittaisderivaatat, toinen suunnattu derivaatta pisteessä (a, b, c) yksikkövektorin u = ui + vj + wk suuntaan on neliömuoto Q(u, v, w) = D u f(a, b, c) = Au 2 +Bv 2 +Cw 2 +2Duv+2Euw+2Fvw, (6) missä A = f 11 (a, b, c), B = f 22 (a, b, c), C = f 33 (a, b, c), D = f 12 (a, b, c), E = f 13 (a, b, c), F = f 23 (a, b, c) (7) Funktiolla f on lokaali minimi, lokaali maksimi tai satulapiste kriittisessä pisteessä (a, b, c), jos Q(u, v, w) on positiividefiniitti, negatiividefiniitti tai jos sillä on positiivisia arvoja joillain vektoreilla u ja negatiivisia joillain toisilla. 7

8 2.2 Rajoitetuissa alueissa määriteltyjen funktioiden ääriarvot Jos jatkuvan funktion määrittelyalue on suljettu ja rajoitettu, sillä on absoluuttisia ääriarvoja. Tällöin on tarkasteltava myös reunapisteitä kriittisten ja singulaaripisteiden löytämiseksi. Esim. Etsi funktion f(x, y) = 2xy minimi ja maksimiarvot suljetussa kiekossa x 2 + y 2 4. Funktion ainoa kriittinen piste on (0, 0). Tämä piste on satulapiste. Reunakäyrällä x 2 + y 2 = 4 on kuitenkin kaksi pistettä, joissa funktiolla on maksimi ja kaksi pistettä, joissa sillä on minimi. Lineaarisen funktion minimien ja maksimien etsimistä lineaaristen rajoitteiden läsnäollessa kutsutaan lineaariseksi ohjelmoinniksi. 8

9 2.3 Lagrangen kertoimet Sidotussa (constrained) ääriarvotehtävässä optimoitavan funktion muuttujat voivat riippua toisistaan rajoiteyhtälöiden tai epäyhtälöiden kautta. Esimerkkejä: Maksimoi funktio f(x, y) ehdolla g(x, y) = C Minimoi funktio f(x, y, z, w) ehdoilla g(x, y, z, w) = C 1 ja h(x, y, z, w) = C 2 Maksimoi funktio f(x, y, z) ehdolla g(x, y, z) C Rajoitteet voivat siis olla yhtälömuotoisia (kaksi ensimmäistä tapausta) tai epäyhtälöitä (viimeinen tapaus). Rajoiteyhtälöiden ratkaisu on usein vaikeaa tai mahdotonta. Tällöin voidaan käyttää Lagrangen menetelmää. 9

10 Oletetaan, että 1. Funktiolla f ja g on jatkuvat ensimmäiset derivaatat lähellä pistettä P 0 = (x 0, y 0 ) käyrällä C, jonka yhtälö on g(x, y) = 0 2. Kun rajoitutaan käyrällä C oleviin pisteisiin, funktiolla f(x, y) on lokaali maksimi tai minimiarvo P 0 :ssa 3. P 0 ei ole C:n päätepiste 4. f(p 0 ) 0 Tällöin on olemassa luku λ 0 siten, että (x 0, y 0, λ 0 ) on Lagrangen funktion kriittinen piste. L(x, y, λ) = f(x, y) + λg(x, y) (8) Lukuja λ kutsutaan Lagrangen kertoimiksi. 10

11 Ääriarvoja voi esiintyä Lagrangen funktion kriittisessä pisteessä Pisteessä, joissa g = 0 Pisteessä, jossa f tai g ei ole olemassa Rajoitejoukon päätepisteessä Kolmiulotteinen ongelma, jossa on etsittävä funktion f(x, y, z) ääriarvot ehdoilla g(x, y, z) = 0 ja h(x, y, z) = 0, voidaan ratkaista käyttäen Lagrangen funktiota L(x, y, z, λ, µ) = f(x, y, z) + λg(x, y, z) + µh(x, y, z). (9) Vastaavasti menetelmä pätee myös n:n muuttujan funktiolle. 11