Esim. Liikkuvan kappaleen radiusvektori. on ajan funktio, missä komponentit x, y ja z riippuvat yhdestä muuttujasta, ajasta t.

Transkriptio

1 147 7 VEKTORIT JA DIFFERENTIAALILASKENTA 7.1 YHDEN MUUTTUJAN VEKTORIFUNKTIOT Esim. Liikkuvan kappaleen radiusvektori r() t xt () ˆi yt () ˆjzt () k ˆ on ajan funktio, missä komponentit x, y ja z riippuvat yhdestä muuttujasta, ajasta t Vektorifunktion derivaatta Vektorifunktio derivoidaan derivoimalla sen komponentit. Esimerkiksi paikkavektori r( t) sintˆi costˆjk ˆ nopeus v() t r () t costˆisin tˆj 2 2 vauhti v ( t) v( t) cos tsin t 1 kiihtyvyys a() t v () t r() t sintˆicos tˆj ja sen arvo a t t t t 2 2 () a () sin cos 1

2 148 Derivaatan ominaisuuksia Yleensä "järkevästi" modifioidut skalaarifunktioiden säännöt soveltuvat myös vektoreille: Olkoon A ( u) ja B ( u) yhden muuttujan (u) vektorifunktioita ja ( u) u:n derivoituva skalaarifunktio. Tuloille pätee: d d A d B AB BA du du du d d A d B AB BA du du du d d d A A A du du du Edelleen, jos ja ovat skalaarivakioita, pätee d d A d B AB. du du du Jos A( u) A ( u) ˆiA ( u) ˆjA ( u) k, ˆ x y z sen differentiaali on dada ˆ ˆ ˆ xiday jdazk, missä da da x y daz dax du, day du ja daz du du du du

3 149 ja tulee da ˆ da x y ˆ daz ˆ da da i j k du du du du du, du Esimerkiksi paikkavektorin r( t) sintˆi costˆjk ˆ differentiaali on dr() t dr( t) dt (cost ˆisin t ˆj ) dt dt Avaruuskäyrät Esim. Liikkuvan kappaleen radiusvektori on r() t xt () ˆi yt () ˆjzt () k. ˆ Kun aika "juoksee" vektorin kärki piirtää avaruuteen käyrän. Tangentti Derivaatta dr / dt on käyrän tangentin suuntainen ja sitä vastaava yksikkövektori (tangenttivektori) on d d T r / r. dt dt

4 Esimerkki: Määritä avaruuskäyrän 2 2 ( x, y, z) ( t 1,4t3,2t 6) t yksikkötangentti, kun t 2. Ratkaisu: Käyrän piirtää vektorin r() t xt () ˆi yt () ˆjzt () kˆ 2 ˆ ˆ 2 ( t 1) i(4t3) j(2t 6 t) kˆ kärki, kun t käy läpi kaikki arvonsa. Derivaatta on dr 2tˆi4 ˆj(4 t6) k ˆ dt ja sen pituus dr 2 2 (2 t) 16 (4t6) dt joten yksikkötangentiksi saadaan dr dr 2tˆi4 ˆj(4 t6) kˆ T / dt dt 2 2 (2 t) 16 (4t6) ja erikoisesti pisteessä, missä t 2 se on 4ˆi4ˆj2kˆ 2ˆ 2ˆ 1 T i j k. ˆ

5 Koska derivaatta dr / dt on yksikkötangentin suuntainen, niin myös differentiaali d dr r dt dt on yksikkötangentin suuntainen ja voimme kirjoittaa drtdr T ds, missä ds dr on differentiaalin pituus ds ( dx) ( dy) ( dz). Yksikkötangentti voidaan siis kirjoittaa myös muodossa d T r. ds Kaaren pituus Differentiaali ds on infinitesimaalisen muutoksen dr pituus. Koska dr on käyrän tangentin suuntainen, on ds siten käyrän kaaren pituuden s infinitesimaalinen muutos. Käyrän C pituutta voimme laskea summaamalla pitkin käyrää laskettuja infinitesimaalisia pituuksia ds. Pituus pisteestä s 0 pisteeseen s 1 on siten integraali 151

6 152 s s s 1 ds. 0 Miten lasku menee käytännössä? Jos käyrän yhtälö on annettu muodossa r r () t, niin lasketaan ensin differentiaali d dr r dt, dt jonka pituus d ds dr r dt dt sitten sijoitetaan yllä annettuun integraaliin s1 t1 dr s ds dt. dt s t 0 0 Muista, että sijoituksessa myös integrointirajat muuttuvat. Esimerkki: Laske käyrän ( x, y, z) (sin t, cos t, 0) kaaren pituus lähtien pisteestä, missä t 0. Ratkaisu: Käyrän piirtää vektori rsint ˆicostˆj0k. ˆ Differentiaali on

7 dr dr dt (cost ˆisin t ˆj ) dt, dt ja sen pituus 2 2 ds dr cos t sin t dt dt, Kaaren pituus pisteestä t 0 pisteeseen t on siten t s dt t t0 Kaarevuussäde Avaruuskäyrän r r yksikkötangentti kirjoitettiin edellä muodossa d T r, ds missä ds on differentiaalin dr pituus. Derivoidaan edelleen 2 dt d r 2, ds ds ja merkitään näin syntyneen vektorin suuntaista yksikkövektoria N:llä. Voidaan kirjoittaa 1 dt N, ds missä on pituus () t 153

8 d T. ds Voimme siis kirjoittaa dt N, ds missä suuretta sanotaan käyrän kaarevuudeksi ja sen käänteisarvoa 1 käyrän kaarevuussäteeksi. Vektorin N suunta saadaan esimerkiksi laskemalla pistetulon TT 1 derivaatta: d ( ) d T d T 2 d T TT TT T 2TN 0, ds ds ds ds josta nähdään, että N on kohtisuorassa tangenttivektoria T vastaan ja siten myös kohtisuorassa itse käyrää vastaan. Vektori N on ns. päänormaali. Käytännössä: 1. Määritä käyrän yksikkötangentti d d T r / r dt dt 2. Laske ketjusäännöllä dt dtds dt ds dt 154

9 155 derivaataksi dt dt / ds dt / dr ds dt dt dt dt 3. Laske kaarevuus ja kaarevuussäde d T ja ds ja päänormaali 1 dt N ds 1 Esimerkki: Laske käyrän ( x, y, z) (3cos,3sin t t,4) t yksikkötangentti, päänormaali, kaarevuus ja kaarevuussäde. Ratkaisu: Käyrän r( t) 3costˆi3sintˆj4tk ˆ eräs tangentti on dr 3sintˆi3costˆj4k, ˆ dt jonka pituus on

10 156 dr dt 2 2 9sin t 9cos t Yksikkötangentti on siten d r d / r T sintˆi costˆj k ˆ dt dt Seuraavaksi lasketaan derivaatta dt 3 ˆ 3 cost sin tˆ dt i 5 j 5 josta edelleen saadaan derivaatta dt dt dr 3 ˆ 3 / costi sintˆj ds dt dt Kaarevuudeksi tulee dt ds cos tsin t ja kaarevuussäteeksi Käyrän päänormaali on 1 dt N costˆ sin tˆ ds i j

11 Esimerkki: Osoita, että ympyräliikkeessä nopeus on kohtisuorassa radiusvektoria vastaan. Ratkaisu: Ympyräradalla ajan t funktiona kiertävän massapisteen paikkavektori on r r () t ja nopeudeksi derivoidaan dr v r dt Paikkavektorin pituus säilyy vakiona r R eli 2 rr R. Kun tämä derivoidaan ajan suhteen, tulee d ( rr) rrrr 2r r 2vr0, dt josta tulos nähdään. 157

12 7.1.3 Käyräviivaiset suorakulmaiset koordinaatistot Muuttujat u, v ja w kelpaavat koordinaateiksi, jos on olemassa yksikäsitteiset kuvaukset u uxyz (,, ) v v ( xyz,, ) w wxyz (,, ) ja myös käänteiskuvaukset x x( u, v, w) y y( u, v, w) z z( u, v, w) ovat olemassa ja yksikäsitteisiä. Tällöin esim. paikkavektori r voidaan ilmaista u:n, v :n ja w:n avulla r r( u, v, w). Koordinaattikäyrä (-viiva, -akseli) on sellainen avaruuden käyrä, jolla yksi koordinateista muuttuu toisten säilyessä vakiona. 158

13 159 Koordinaattikäyrien yhtälöt: u : ru ru( u) ru( u, v 0, w0), missä v 0 ja w 0 vakioita v : rv rv( v) rv( u0, v, w0), missä u 0 ja w 0 vakioita w : rw rw( w) rw( u0, v 0, w), missä u 0 ja v 0 vakioita Yksikkövektorit (kantavektorit) e ˆu, ê v, e ˆ w Pisteessä ( u0, v 0, w0) yksikkövektorit ovat koordinaattikäyrien tangenttien suuntaiset yksikkövektorit: r eˆ u Tu / T u, missä Tu ( u0, v 0, w0) u eˆ v Tv / T, missä r v T v ( u0, v0, w0) v r eˆ w Tw/ T w, missä Tw ( u0, v 0, w0) w Suorakulmainen (ortogonaalinen) koordinaatisto: e ˆu, ê v ja e ˆ w ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan jokaisessa avaruuden pisteessä. Huom! ( u, v, w) -koordinaatiston yksikkövektorit riippuvat paikasta (toisin kuin karteesisen koordinaatiston î, ĵ ja ˆk)

14 160 NAPAKOORDINAATISTO - kaksiulotteinen - kaksi koordinaattia r ja - määrittely-yhtälöt xrcos y rsin - koordinaattikäyrät: r ( cos ) ˆ ( sin ) ˆ r r i r j, missä on vakio (origon kautta kulkevia suoria, ns. r-käyriä) ja r ( rcos ) ˆ ( rsin ) ˆ i j, missä r on vakio (origokeskisiä ympyröitä, ns. -käyriä)

15 161 - tangentit d r Tr r (cos ) ˆi(sin ) ˆj, T r 1 dr d T r ( rsin ) ˆi( rcos ) ˆj, T r d - yksikkövektorit e ˆ ˆ ˆr (cos ) i(sin ) j e ( sin ) ˆi(cos ) ˆj ˆ - suorakulmainen, sillä eˆr e ˆ cossinsincos 0 - käänteinen riippuvuus 2 2 r x y arctan( y/ x) arkustangentin antamista kulmista on valittava oikea - paikka- eli radiusvektori r rˆr e, missä eˆ (cos ) ˆ (sin ) ˆ r i j

16 162 - nopeus d r d ˆr rˆr dr ˆ d e v e e r r dt dt dt dt r e ˆ ( sin ) ˆ ( cos ) ˆ rr i j r e ˆ ( sin ) ˆ (cos ) ˆ r r i j, josta lopulta vr eˆr r eˆ - kiihtyvyys dv a reˆr reˆr r eˆ r eˆ reˆ dt pätee e ˆ ( sin ) ˆ (cos ) ˆ r i j e ˆ e ˆ ˆ ˆ ( cos ) i( sin ) j eˆr joiden avulla saadaan a( r r 2 ) eˆr (2 r r ) eˆ

17 163 SYLINTERIKOORDINAATISTO x cos Määrittely-yhtälöt: y sin z z Koordinaattikäyrät: käyrät: z-akselia vastaan kohtisuorat ja sitä leikkaavat suorat käyrät: z-akselikeskeiset ympyrät z käyrät: z-akselin suuntaiset suorat Yksikkövektorit: eˆ (cos ) ˆ (sin ) ˆ i j eˆ ( sin ) ˆ (cos ) ˆ i j e ˆ ˆz k

18 164 käänteinen riippuvuus 2 2 x y arctan( y/ x) z z paikkavektori reˆ ze ˆz nopeus v eˆ eˆ z eˆz kiihtyvyys a( 2 ) eˆ (2 ) eˆ zeˆz PALLOKOORDINAATISTO Määrittely-yhtälöt xrsincos y rsinsin z rcos

19 165 Koordinaattikäyrät: r käyrät: origon kautta kulkevat suorat käyrät: ks. kuva käyrät: z-akselikeskeiset ympyrät Yksikkövektorit: eˆ (sin cos ) ˆ (sin sin ) ˆ (cos ) ˆ r i j k eˆ (cos cos ) ˆ (cos sin ) ˆ (sin ) ˆ i j k eˆ ( sin ) ˆ (cos ) ˆ i j Paikkavektori: r rˆr e

20 SKALAARIKENTÄT Jos avaruuden (tai jonkin sen osa-alueen) jokaiseen pisteeseen ( xyz,, ) liittyy skalaariluku ( xyz,, ), suure on ns. skalaarikenttä (tai skalaarifunktio). Gradientti Kentän differentiaali on d dx dy dz, x y z joka voidaan kirjoittaa pistetulona ˆ ˆ d ˆ ˆdx ˆdy ˆ dz x y z i j k i j k ja edelleen merkitä d dr, missä operaattori ˆ ˆ ˆ i j k x y z on ns. nabla ja on skalaarikentän ns. gradientti Esimerkki. Laske funktion ( xyz,, ) 3xy yz gradientti pisteessä (1, 2, 1).

21 Ratkaisu. ˆ ˆ ˆ i j k (3 xy yz) x y z ˆ ˆ ˆ 3 i(6 xy) j(3x 3 yz) k ( 2 yz) joka pisteessä ( x 1, y 2, z 1) saa arvon 12ˆi9 ˆj16k ˆ Laskusääntöjä ( fg) ( f ) g f ( g) gf f g ( ), ja vakioita 167 Geometrinen tulkinta Infinitesimaalisessa siirtymässä muutos d on d dr dr cos, rrdr kentän missä on :n ja dr:n välinen kulma. Muutos d on suurin, kun cos 1eli 0 eli kun siirtymä tapahtuu gradientin suuntaan. Siis: Skalaarifunktion gradientti osoittaa funktion nopeimmin kasvavaan suuntaan.

22 Tasa-arvopinnat ja -käyrät Yhtälö ( x, y, z) C (vakio) määrää kolmiulotteisessa avaruudessa sen pinnan, jolla kentän arvo pysyy vakiona. Tämä pinta on ns. tasaarvopinta. Yhtälö ( x, y) C (vakio) määrää xy-tasossa sen käyrän, tasa-arvokäyrän, jolla kentän arvo pysyy vakiona. Jos nyt C ja siirtymä drtapahtuu tasa-arvopinnalla (-käyrällä), niin d dr 0 Siis: Gradientti on kohtisuorassa tasa-arvopintaa (-käyrää) vastaan. Koska gradientti osoittaa suurimman muutoksen suuntaan, pätee: Funktio (kenttä) kasvaa nopeimmin suuntaan, joka on kohtisuorassa tasa-arvopintaa (-käyrää) vastaan. 168

23 2 Esimerkki: Etsi pinnan 2xz 3xy 4x 7 pisteen (1, 1,2) kautta kulkeva tangenttitaso Ratkaisu: Tarkistus ensin: ( 1) 41 7 Piste (1, 1,2) on tosiaankin annetulla pinnalla. Eräs pinnan normaali on 2 N (2xz 3xy 4 x) 2 (2z 3y 4) ˆi( 3 x) ˆj(4 xz) k, ˆ joka pisteessä (1, 1,2) on N7ˆi3ˆj8k. ˆ Tangenttitason pisteestä r 0 (1, 1,2) ˆiˆj2k ˆ tangenttitason pisteeseen rxˆi yˆjzk ˆ piirretyn vektorin r r 0 täytyy olla kohtisuorassa normaalia Nvastaan, joten 0 ( rr ) N 0 ( 1) ˆ ( 1) ˆ ( 2) ˆ (7ˆ 3ˆ 8 ˆ x i y j z k i j k) 7( x1) 3( y1) 8( z2) 7x3y8z Tangenttitaso on siten 7x3y8z

24 Suunnattu derivaatta Skalaarikentän muutos d siirroksessa dr on d dr. Siirroksen pituus on ds dr, joten muutos pituusyksikköä kohti on d dr n, ˆ n ˆ 1 ds ds Sanomme, että n ˆ n, ˆ n ˆ 1 on funktion suunnattu derivaatta suuntaan ˆn. Suunnattu derivaatta on suurin gradientin suuntaan. 2 2 Esimerkki: Laske kentän x yz 4xz suunnattu derivaatta pisteessä (1, 2, 1) suuntaan 2ˆiˆj 2k. ˆ Ratkaisu: Gradientti 2 ˆ 2 ˆ 2 (2xyz 4 z ) i( x z) j( x y 8 xz) k, ˆ joka pisteessä (1, 2, 1) on 8ˆiˆj10k, ˆ 2ˆiˆj2kˆ Suunta on nˆ ˆi ˆj k, ˆ joten lopulta n ˆ n ˆ

25 171 Nabla eri koordinaatistoissa Napakoordinaatisto: 1 eˆr e ˆ r r Sylinterikoordinaatisto: 1 eˆ eˆ e ˆz z Pallokoordinaatisto: 1 1 eˆr eˆ e ˆ r r rsin

26 VEKTORIKENTÄT Jos avaruuden (tai jonkin sen osa-alueen) jokaiseen pisteeseen ( xyz,, ) liittyy vektori, sanomme, että kyseessä on ns. vektorikenttä. Esimerkiksi sähkövaraukset muodostavat ympäristöönsä sähkökentän, joka on vektorikenttä: Kentässä jokaiseen pisteeseen voidaan piirtää vektori, jonka pituus kertoo kentän suuruuden ja suunta sen suunnan. Esimerkiksi pistevaraus q luo ympäristöönsä pallosymmetrisen kentän (ks. kuva yllä): E q ( xˆ yˆ zˆ) /2 ( x y z ) i j k, joka pallokoordinaatistossa saa yksinkertaisen muodon q E e ˆ 2 r, r

27 missä r on tarkastelupisteen etäisyys varauksesta (origosta) Divergenssi Olkoon FˆiF ˆ ˆ x jfy k Fz mikä tahansa (differentoituva) vektorikenttä. Kentän divergenssi on eli ˆ ˆ ˆ F ˆF ˆF ˆ i j k F x y z i j k F F F x y z x y z F. x y z Vektorikentän divergenssi kertoo miten kenttä "divergoi" eli hajaantuu tarkastelupisteen ympäristössä. Esimerkki: Laske A pisteessä (1, 1, 1), kun 2 ˆ 3 2ˆ 2 A xzi2yz jxyzk ˆ Ratkaisu: A Ax y Az ( xz) ( 2 yz) ( xyz) A x y z x y z xz 6y z xy, joka pisteessä ( x1, y1, z 1) on A

28 Sovellutus: Nesteen (kaasun) virtausta hallitaan ns. kontinuiteettiyhtälöllä, joka on muotoa. t Tässä vektori on nesteen ns. massavirtatiheys v, missä ( xyz,, ) on nesteen tiheys (kg/m 3 ) ja v nopeusvektori (m/s) v( r) v ( xyz,, ) ˆiv ( xyz,, ) ˆjv ( xyz,, ) kˆ. x y z Massavirtatiheyden yksiköksi tulee kg/(m 2 s). Yhtälön oikealla puolella esiintyy ns. lähdetermi, joka kuvaa nesteen nielujen ja lähteiden vaikutusta, ts. poistetaanko tarkastelupisteestä nestettä (nielu) tai ruiskutetaanko sitä lisää (lähde). Oletetaan esimerkiksi, että (2-ulotteisen) kaasun massavirtatiheyttä kuvaa vektorikenttä (kuva seuraavalla sivulla) y ˆ x ˆ x1 i y1 j, jonka divergenssi on x y y x. 2 2 x y ( x1) ( y1) 174

29 175 Tarkastellaan kaasua pisteessä ( 1 1 2, 2) ja oletetaan, että kyseisessä pisteessä ei ole kaasun nieluja eikä lähteitä. Divergenssi saa arvon 1/2 1/ (3/ 2) (3/ 2) 9 ja kontinuiteettiyhtälöstä näemme, että 4 4 0, t 9 9 jonka tulkinta on, että ajan funktiona kaasun tiheys lähtee kasvamaan kyseisessä pisteessä.

30 Voidaan osoittaa, että ( ) ( ), missä on skalaarifunktio ja ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ x y z x y z i j k i j k x y z Esimerkki: Olkoon 2x yz. 1. Lasketaan ( ) Ensin ˆi(6 xyz) ˆj(4 xyz) k ˆ (8 xyz) ja sitten ( ) 12xyz 4xz 24xyz 2. Lasketaan ( ) ( ) (2 xyz) x y z xyz 4xz 24xyz, joka on sama kuin edellä. Operaattori x y z on ns. Laplacen operaattori

31 Divergenssille pätee "normaalit" tulon derivointisäännöt. Lasketaan esimerkiksi vektorikentän F, missä on mielivaltainen (differentoituva) skalaarikenttä, divergenssi: ( F ) ( Fx) ( Fy) ( Fz) : x y z F F x y Fx Fy x x y y Fz Fz z z F F F x y z F F x y Fz x y z ( ) F( F ) x y z 177

32 178 Divergenssi muissa koordinaatistossa Tarkastellaan esimerkkinä pallokoordinaatistoa, jossa vektorikentän yleinen muoto on F Feˆ F eˆ Fe ˆ, r r ja nabla-operaattoriksi totesimme jo aikaisemmin 1 1 eˆr eˆ e ˆ. r r rsin Divergenssiä F laskettaessa on muistettava, että myös kantavektorit ovat paikasta riippuvia ja joudumme käsittelemään termin ( Feˆ ) ( F ) eˆ F ( e ˆ ) r r r r r r kaltaisia "tulon derivointeja". Suoraviivainen (joskin pitkähkö) lasku johtaa tulokseen F F ( r F ) ( sin ) 2 r F r r rsin rsin Divergenssin laskeminen pallokoordinaateissa yleisessä tapauksessa on hyvin työlästä, mutta jos systeemillä on edes "häivähdys" pallosymmetriaa, laskeminen yksinkertaistuu huomattavasti. Pallokoordinaatiston käytön edut verrattuna karteesiseen xyz-koordinaatistoon nähdään seuraavasta esimerkistä.

33 Esimerkki: Laske pistevarauksen aiheuttaman kentän q E e ˆ 2 r r divergenssi. Ratkaisu: Pallokoordinaatistossa Er q/ r2, E 0 ja E 0, joten divergenssi on yksinkertaisesti q 1 F ( r F ) ( ) ( ) 0 2 r r q r r r r r r r 179 Karteesisessa xyz-koordinaatistossa kenttä on E q ( xˆ yˆ zˆ) /2 ( x y z ) i j k, ja komponenttien derivoiminen on huomattavasti työläämpää. Tulos on lounnollisesti sama kuin yllä (laske)

34 Roottori Olkoon FˆiF ˆ ˆ x jfy k Fz mikä tahansa (differentoituva) vektorikenttä. Suure ˆi ˆj kˆ F on kentän ns. roottori. x y z F F F x y z Roottori kuvaa kentän pyörteisyyttä tarkastelupisteen ympäristössä. Jos roottori häviää, ts. F 0, kenttä on pyörteetön. Pyörteetöntä kenttää sanotaan konservatiiviseksi. Esimerkki: Laske roottori A pisteessä (1, 1, 1), kun A xz ˆi2x yz ˆj2yz k. ˆ Ratkaisu: ˆi ˆj kˆ ˆi ˆj kˆ A x y z x y z x y z 2 2 A A A xz x yz yz y z ˆ 4 2 i (2 yz ) ( 2 x yz) ˆ 4 3 j (2 yz ) ( xz ) x z

35 ˆ 2 3 k ( 2 x yz) ( xz ) x y ˆ 4 2 2z 2xyˆ 03xz 2 i 4 2 ˆ j k ˆ4xyz 0 2( z xy) i(3 xz ) j(4 xyz) k, ˆ 2 ˆ joka pisteessä (1, 1, 1) on A3ˆj4k ˆ Myös roottoriin liittyy monia laskusääntöjä. Fysikaalisesti hyvin merkittävä on se, että gradientin roottori häviää. Osoitetaan tämä. Lasketaan siis ( ), missä on mielivaltainen differentoituva skalaarikenttä. Tulee ˆi ˆj kˆ ˆ ( ) ˆ ˆ i j k x y z x y z x y z ˆ ˆ k yz zy xz zx xy yx

36 Monet fysiikan vektorikentät (sähkökenttä, painovoimakenttä, magneettikenttä,...) voidaan muodostaa skalaarisen potentiaalin gradienttina. Koska ( ) 0, tällaiset kentät ovat pyörteettömiä eli konservatiivisia. Konservatiivisuus tarkoittaa mm. sitä, että kappaletta siirrettäessä tehty työ riippuu vain alkuja loppupisteestä, ei siirtotiestä. Vielä esimerkkejä kentän pyörteisyydestä: Esimerkki: Laske voiman F3yˆi3xˆj roottori. Onko voima konservatiivinen? Kuva: Ratkaisu: ˆi ˆj kˆ F x y z 3y 3x 0 (33) kˆ 6k ˆ Roottori ei häviä, joten voimakenttä on pyörteinen ja se ei ole konservatiivinen. 182

37 Esimerkki: Laske voiman F3yˆi3xˆj roottori. Onko voima konservatiivinen? Kuva: Ratkaisu: ˆi ˆj kˆ F x y z 3y 3x 0 (33) k ˆ 0 Roottori häviä, joten voimakenttä ei ole pyörteinen ja se on konservatiivinen. 183

38 7.4 DERIVOINTIOPERAATTOREIDEN OMINAISUUKSIA Seuraavissa A, B ja C ovat differentoituvia vektorikenttiä ja ja differentoituvia skalaarikenttiä. 184

39 185