ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

Transkriptio

1 ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2017 Tämä luentomateriaali on pääosin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa

2 Luentoviikko 1 Katsaus kurssin aihepiiriin Sähkömagnetiikka Luentoviikko 1: tavoitteet Vektorianalyysiä Karteesinen koordinaatisto Peruslaskutoimitukset Vektori-integraalilaskenta Vektoridifferentiaalilaskenta Vektoridifferentiaalioperaattorit Sähkömagnetiikan yhtälöt Sähkövaraus ja sähkökenttä Sähkövaraus Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Coulombin laki Sähkökenttä ja sähköiset voimat Sähkökenttälaskut Kenttäviivat 2 (50)

3 Katsaus kurssin aihepiiriin Sähkömagnetiikka Sähkömagnetiikka ja kenttä On havaittu, että luonnossa esiintyy neljä perusvuorovaikutusta: gravitaatiovuorovaikutus arjesta tuttu painovoima heikoin, mutta merkittävin voima taivaankappaleiden välillä heikko vuorovaikutus vaikuttaa atomiytimien beetahajoamisessa sähkömagneettinen vuorovaikutus merkittävin arjessa koettava vuorovaikutus: atomien ja molekyylien rakenne, kemia, kitka (välittäjähiukkanen fotoni: valo laajassa mielessä) vahva vuorovaikutus pitää atomiytimet koossa Sähkömagnetiikka tutkii paikoillaan olevien tai liikkuvien varausten synnyttämiä sähkömagneettisia kenttiä Kenttä on fysikaalisen suureen avaruudellinen jakautuma; se voi olla ajasta riippuva tai aikariippumaton 3 (50)

4 Sähkövaraus ja sähkökenttä +q d A r q d A r F = 1 q 1 q 2 4πε 0 r 2 E = F = 1 q q 0 4πε 0 r 2 E V = 1 dq 4πε 0 r E E Φ E = E d A = Q encl ε 0 d +q F + = q E F = q E q p = q d

5 Virta ja magneettikenttä dl 1 dl 2 dl 3 Ampèren laki (lävistyslaki) B d l = µ 0 I encl magneettikenttää vain keltaisessa alueessa N S Φ B = B d A = B cos φ da = B da

6 Induktio ja sähkömotorinen voima Metallinpaljastin Metallinpaljastimen, induktiolieden ja pyörrevirtajarrun toiminta perustuu muuttuvan magneettikentän indusoimiin pyörrevirtoihin Faradayn laki E = dφ B dt Induktioliesi Pyörrevirtajarru

7 1 0.1 Sähkömagneettiset aallot James Clerk Maxwell z/λ E d A = Q encl (Gaussin laki) ε 0 B d A = 0 (Gaussin laki magnetismille) ) B dl dφ E = µ 0 (I encl + ε 0 (Ampèren laki) Ē( r); dt t = 4 jaksonaikaa E dl = dφ B 0.5 (Faradayn laki) dt

8 Katsaus kurssin aihepiiriin Sähkömagnetiikka Sähkömagneettinen spektri Lähde: 8 (50)

9 Katsaus kurssin aihepiiriin Sähkömagnetiikka Kenttien lähteet Pistevaraus q tai kokonaisvaraus Q, [q] = [Q] = C = coulombi = A s Q Viivavaraustiheys λ = lim l 0 l, [λ] = C m Q Pintavaraustiheys σ = lim A 0 A, [σ ] = C m 2 Q Tilavuusvaraustiheys ρ = lim V 0 V, [ρ] = C m 3 Virta I, [I] = A = ampeeri I Virrantiheys J = û lim A 0 A, [J] = A m 2 Muista: [Q] = C tarkoittaa Q:n yksikkö on coulombi Ranskaa: coulombi lausutaan [kulombi], nimi Coulomb lausutaan [kulõ]. Kreikkaa: λ on lambda, σ on sigma ja ρ (tai ϱ) on roo. 9 (50)

10 Katsaus kurssin aihepiiriin Sähkömagnetiikka Kenttäsuureet Sähkökentänvoimakkuus E, [E] = V m = N C Potentiaali V, [V ] = V Magneettikenttä (oik. magneettivuontiheys) B, ( = ) kg m/s2 A s [B] = T = tesla = V s m 2 = N A m Sähkövuontiheys D, [D] = A s/m 2 Magneettikentänvoimakkuus H, [H] = A/m Vektoripotentiaali A, [A] = V s/m ( D, H ja A ei käytetä tällä kurssilla) 10 (50)

11 Katsaus kurssin aihepiiriin Sähkömagnetiikka Luonnonvakiot Tyhjiön permeabiliteetti µ 0 4π 10 7 V s/(a m) Valon nopeus tyhjiössä c 0 = c m/s m/s Tyhjiön permittiivisyys ε 0 = 1/(c 2 0 µ 0) A s/(v m) (Tasoaallon aaltoimpedanssi tyhjiössä η 0 = µ 0 /ε Ω 12 0π Ω) Kreikkaa: µ on myy, ε (tai ɛ) on epsilon ja η on eeta (ei n); mittayksikkö Ω on ohmi, lausutaan [oomi] (kirjain Ω on iso omega). Saksaa: nimi Ohm lausutaan [o:m]. 11 (50)

12 Luentoviikko 1: tavoitteet Tavoitteena on oppia (ja kerrata) skalaareiden ja vektoreiden periaatteellinen ero (ja kerrata) mitä vektorin komponentit ovat ja miten niitä käytetään: vektoreiden yhteen- ja vähennyslasku sekä vektoreiden piste- ja ristitulo (ja kerrata) monen muuttujan integraalien laskeminen sähkövarauksen luonne ja varauksen säilyminen miten kappaleet tulevat sähköisesti varatuiksi miten Coulombin lakia käytetään sähkövarausten välisten voimien laskemiseen sähköisen voiman ja sähkökentän ero varausjoukon synnyttämän sähkökentän laskeminen miten sähkökentän kenttäviivojen ideaa käytetään sähkökenttien kuvaamiseen ja tulkitsemiseen 12 (50)

13 Vektorianalyysiä (YF , 7.4 ja ylikurssia)

14 Vektorianalyysiä ( YF ) Karteesinen koordinaatisto Karteesiset koordinaatit Koordinaattimuuttujat ovat x, y, z (tässä oikeakätisessä järjestyksessä) x, y, z voivat saada kaikkia reaaliarvoja z ˆk ĵ Koordinaatiston kanta on järjestetty yksikkövektorien kolmikko (î, ĵ, k) î Kantavektorit î, ĵ, k osoittavat kasvavan x-, y- ja z-koordinaatin suuntaan (annetussa järjestyksessä) Kantavektorit ovat pituudeltaan yksi, kohtisuorassa toisiaan vastaan ja oikeakätisesti järjestetyt Kantavektorit ovat vakiosuuntaisia Pisteen (x, y, z) paikkavektori on r = xî + yĵ + z k y x z y x 14 (50)

15 Vektorianalyysiä ( YF ) Peruslaskutoimitukset Määritelmät ja merkinnät Perusoliot Skalaari a : yksi numero (tai muuttuja) Vektori A : kolme järjestettyä numeroa (tai muuttujaa); vektorilla on siten suuruus (pituus) A = A ja suunta (vektori voidaan piirtää nuolena) Nämä ovat täysin erilajisia olioita kirjanpidossa on oltava huolellinen! Yksikkövektorin (esim. â) pituus on yksi ja merkintänä hattu vektorin nimen päällä Merkitse käsinkirjoituksessa viiva vektorin nimen päälle: Ā Merkitse hattu yksikkövektorin nimen päälle: â Merkitse aina viiva tai hattu vektorin nimen päälle. 15 (50)

16 Vektorianalyysiä ( YF ) Peruslaskutoimitukset Yhteen- ja vähennyslasku Kun kantavektorit on määritelty, vektorin voi esittää komponenttimuodossa, jossa skalaarit (A x, A y, A z ) ovat vektorin A komponentit ja skalaarit (B x, B y, B z ) ovat vektorin B komponentit: A = A x î + A y ĵ + A z k, B = B x î + B y ĵ + B z k Tämän jälkeen vektoreilla voi laskea kuin polynomeilla Yhteenlasku: Vähennyslasku: A + B = (A x + B x )î + (A y + B y )ĵ + (A z + B z ) k A B = A + ( B) = (A x B x )î + (A y B y )ĵ + (A z B z ) k Skalaarilla c kertominen: c A = ca x î + ca y ĵ + ca z k 16 (50)

17 Vektorianalyysiä ( YF ) Peruslaskutoimitukset Pistetulo Piste- eli sisä- eli skalaaritulo Geometrinen määritelmä (sukua projektiolle): Merkitse piste näkyviin aina. A B = A B cos φ = B A, 0 φ π, missä φ on vektoreiden välinen kulma lyhintä tietä pitkin mitattuna Ortonormaali oikeakätinen kanta (î, ĵ, k) tarkoittaa î î = 1, ĵ ĵ = 1, k k = 1 ja î ĵ = 0, ĵ k = 0, k î = 0 komponenttimuodossa A B = A x B x + A y B y + A z B z Vektorin pituus: A = A = A A = A 2 x + A 2 y + A 2 z Yksikkövektori suunnassa A: Â = A A 17 (50)

18 Vektorianalyysiä ( YF ) Peruslaskutoimitukset Ristitulo Risti- eli ulko- eli vektoritulo Merkitse risti näkyviin aina. Geometrinen määritelmä (sukua vektoreiden virittämän tason normaalille ja suunnikkaan pinta-alalle): A B = û A B sin φ = B A, 0 φ π Yksikkövektorin û suunta saadaan oikean käden säännöllä: kun oikean käden etusormi osoittaa vektorin A suuntaan ja keskisormi vektorin B suuntaan, peukalo osoittaa ristitulon suuntaan Ortonormaali oikeakätinen kanta (î, ĵ, k) tarkoittaa î ĵ = k, ĵ k = î, k î = ĵ ja î î = 0, ĵ ĵ = 0, k k = 0 komponenttimuodossa î ĵ k A B = (A y B z A z B y )î + (A z B x A x B z )ĵ + (A x B y A y B x ) k = A x A y A z B x B y B z 18 (50)

19 Vektorianalyysiä ( YF ) Peruslaskutoimitukset Identiteettejä A A = 0 Skalaarikolmitulo: C x C y C z ( A B) C = A x A y A z = A ( B C) jne. B x B y B z Vektorikolmitulo (back-cab-sääntö): A ( B C) = B( A C) C( A B) 19 (50)

20 Vektorianalyysiä Vektori-integraalilaskenta Vektori-integraalit Fysiikassa tarvitaan ainakin seuraavanlaisia integraaleja: E dl =? (viivaintegraali) J d A =? (pintaintegraali) ρ dv =? (tilavuusintegraali) f dv =? (tilavuusintegraali, kenttäteoriassa harvinaisempi) 20 (50)

21 Vektorianalyysiä Vektori-integraalilaskenta Vektori-integraalit (jatkoa) Yleisesti moniulotteiset integraalit (vektori-integraalit) lasketaan parametrisoimalla integrointitie, -pinta tai -tilavuus yhdellä, kahdella tai kolmella parametrilla Tässä kurssissa tyypillinen viivaintegraali on integrointi janaa tai ympyränkaarta pitkin (parametrina on yksi karteesisen koordinaatiston muuttuja [x, y tai z] tai kulmamuuttuja [φ tai θ]) pintaintegraali on integrointi tason, sylinteri- tai pallopinnan yli (parametrina on kaksi karteesisen koordinaatiston muuttujaa tai kulmamuuttuja ja korkeusmuuttuja [φ ja z, 0 φ < 2π] tai kaksi kulmamuuttujaa) tilavuusintegraali on integrointi suorakulmaisen särmiön, sylinterin tai pallon tilavuuden yli (parametrina on kolme karteesisen koordinaatiston muuttujaa tai etäisyys-, kulma- ja korkeusmuuttuja tai etäisyysmuuttuja ja kaksi kulmamuuttujaa [esim. R, θ ja φ, 0 θ π]) 21 (50)

22 Vektorianalyysiä Vektori-integraalilaskenta Vektori-integraalit (jatkoa) Viivaintegraaleissa differentiaalinen tiealkio voi olla vektori d l (kirjassa d l) tai skalaari dl (dl) vektori osoittaa integrointitien tangentin suuntaan; esimerkiksi integroinnissa +x-akselin suuntaan d l = î dx (vastaavasti skalaari dl = dx) Pintaintegraaleissa differentiaalinen pinta-alkio voi olla vektori d A tai skalaari da vektori osoittaa integrointipinnan ulko- tai sisänormaalin suuntaan; esimerkiksi integroinnissa xy-tason yli d A = k dx dy tai d A = k dx dy (vastaavasti skalaari da = dx dy) Tilavuusintegroinnin tilavuusalkio dv on skalaari (esim. dv = dx dy dz) Seuraavilla kolmella kalvolla on esitelty mahdollisuuksia muodostaa skalaarisia differentiaalialkioita eri suunnissa eri geometrioissa Toisin kuin seuraavilla kolmella kalvolla, hyvin usein oppimateriaalissa käytetään symbolia r sekä sylinteri- että pallogeometrian etäisyysmuuttujana: sylinterigeometriassa se on etäisyys sylinterin akselista ja pallogeometriassa etäisyys pallon keskipisteestä ole tarkkana! 22 (50)

23 Vektorianalyysiä Vektori-integraalilaskenta Karteesisen geometrian tilavuusalkio dv = dx dy dz = dx dy dz z z x x y y 23 (50)

24 Vektorianalyysiä Vektori-integraalilaskenta Sylinterigeometrian tilavuusalkio dv = dr r dφ dz = r dr dφ dz (r on etäisyys z-akselista) z r φ z y x 24 (50)

25 Vektorianalyysiä Vektori-integraalilaskenta Pallogeometrian tilavuusalkio dv = dr R sin θ dφ R dθ = R 2 sin θ dr dφ dθ (R on etäisyys origosta) z θ R φ y x 25 (50)

26 Vektoridifferentiaalilaskenta (YF 7.4 ja ylikurssia) Vektoridifferentiaalioperaattorit Gradientti ja nabla ( ) Mekaniikka-kurssissa määritettiin voima F potentiaalienergiasta U gradienttia käyttämällä (YF luku 7, kappale 4): ( U F = U = x î + U y ĵ + U ) z k Nabla ( ) on lyhennysmerkintä vektoridifferentiaalioperaattorille, joka karteesisessa koordinaatistossa voidaan symbolisesti kirjoittaa muodossa: def = î x + ĵ y + k z Gradientti U osoittaa skalaarisen funktion U(x, y, z) suurimman kasvun suuntaan ja gradientin suuruus on kasvuvauhti kyseisessä suunnassa. 26 (50)

27 Vektoridifferentiaalilaskenta (YF 7.4 ja ylikurssia) Vektoridifferentiaalioperaattorit Muut -operaatiot (ylikurssia) Vektoriarvoiselle funktiolle A = A x (x, y, z)î + A y (x, y, z)ĵ + A z (x, y, z) k saadaan operaattorit divergenssi A = A x(x,y,z) x + A z(x,y,z) z, joka mittaa vektorifunktion muuttumista vektoreiden suunnassa tai kentän roottori A = ( Az y + A y (x,y,z) y kenttäviivojen (vuoviivojen) hajaantumista, ja ) ( ) A y z î + Ax z A z x ĵ + ( Ay x ) A x y k, joka mittaa vektorikentän amplitudin muuttumista kohtisuoraan vektoreihin nähden tai kentän kaartumista, osoittaa pyörimisakselin suuntaan. Toisen derivaatan 3D-yleistys on Laplacen operaattori 2 V = ( V ), joka mittaa skalaarifunktion V = V (x, y, z) kokonaiskaarevuutta. 27 (50)

28 Vektoridifferentiaalilaskenta (YF 7.4 ja ylikurssia) Sähkömagnetiikan yhtälöt (ylikurssia) Sähkömagnetiikan yhtälöt (ylikurssia) -operointien tulokset ovat koordinaatistoriippumattomia, joten saadaan Maxwellin yhtälöt differentiaalimuodossa (integraalimuotoisista yhtälöistä käyttämällä Gaussin ja Stokesin lauseita) Gaussin laki D( r, t) = ρ( r, t) Gaussin laki magnetismille B( r, t) = 0 Ampèren laki H( r, t) = J( r, t) + D( r, t) t Faradayn laki E( r, t) = B( r, t) t Näihin tutustutaan tarkemmin ELEC-C4140 Kenttäteoria -kurssilla. 28 (50)

29 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF )

30 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkövaraus Negatiivinen ja positiivinen sähkövaraus Aloitetaan sähkömagneettiseen vuorovaikutukseen tutustuminen tutkimalla meihin nähden liikkumattomien varausten välistä sähköstaattista voimaa Antiikin kreikkalaiset havaitsivat jopa 600 vuotta eaa., että villalla hangattu meripihka vetää esineitä puoleensa (kreikan sana elektron tarkoittaa meripihkaa [engl. amber]) Jos muovitankoja hangataan turkispalalla, tangot alkavat hylkiä toisiaan Jos lasitankoja hangataan silkkikankaalla, tangot alkavat hylkiä toisiaan Hangattu muovitanko vetää hangattua lasitankoa puoleensa Hankausmateriaali vetää puoleensa tankoa, jota sillä on hangattu Benjamin Franklinin perintönä sanomme, että muovitanko varautuu negatiivisesti ja lasitanko positiivisesti [merkit väärin valittu... ] Havaitsemme, että samanmerkkiset varaukset hylkivät toisiaan ja vastakkaismerkkiset vetävät toisiaan puoleensa 30 (50)

31 Sähköstatiikan sovellus: lasertulostin 1. Kuvadata siirtyy tietokoneesta 2. Ohjauspiiri määrittää, miten data pitää esittää paperilla 3. Ohjauspiiri aktivoi koronalangan, joka varaa valoherkän rummun pinnan tasaisesti positiivisella varauksella 5. Ohjauspiiri liikuttaa peiliä, josta heijastuva lasersäde vaihtaa osumiskohdistaan rummulla varauksen negatiiviseksi 6. Rumpua koskettava mustetela peittää rummun negatiiviset alueet positiivisesti varatuilla mustehiukkasilla; muste peittää nyt oikeat kohdat rummulla 7. Toinen koronalanka varaa paperilokerosta tulevan arkin vahvasti negatiiviseksi 8. Kun paperi tulee rummun lähelle, positiivisesti varattu muste siirtyy negatiivisesti varatulle paperille; haluttu kuva on keveästi paperissa kiinni 9. Musteinen paperi kulkee kahden kuuman telan välistä (sulatusyksikkö): muste puristuu ja sulaa paperin kuituihin kiinni pysyvästi 10. Vielä lämmin tuloste poistuu kirjoittimesta

32 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkövaraus Aineen rakenne Tavallinen aine koostuu atomeista ja molekyyleistä Aineen rakenne ja ominaisuudet ovat pääsääntöisesti seurausta sähköisistä vuorovaikutuksista Atomit koostuvat keveistä negatiivisista elektroneista ja raskaammista positiivisista protoneista sekä sähköisesti neutraaleista neutroneista Protonit ja neutronit muodostavat tiiviin ytimen (jota vahva vuorovaikutus pitää koossa) Halkaisija luokkaa 1 fm = m Ydintä ympäröi elektronipilvi (joka pysyy atomissa kiinni sähköisen vetovoiman ansiosta) Ulottuu noin 100 pm = m:n päähän ytimestä Protonin tai neutronin massa on noin 2000 kertaa elektronin massa (gravitaation vaikutus ei silti atomin rakenteessa näy miksi?) 32 (50)

33 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkövaraus Varauksen säilyminen Neutraalissa atomissa on yhtä paljon elektroneja ja protoneja koska elektronin ja protonin varaukset ovat yhtäsuuret mutta vastakkaismerkkiset, neutraalissa atomissa nettovaraus on nolla Protonien lukumäärä ilmaisee alkuaineen järjestysluvun (atomiluvun, engl. atomic number) Jos poistetaan yksi tai useampi elektroni, saadaan positiivinen ioni [ioni] Negatiivisella ionilla taas on ylimääräisiä elektroneja Nettovarauksen määrä on hyvin pieni ( ) osa varatun kappaleen kokonaisvarauksesta Varauksen säilymislaki (rikkumaton havainto): Sähkövarausten summa suljetussa järjestelmässä on vakio. Sähkövaraus on kvantittunut: havaittava varausmäärä on elektronin (tai protonin) varauksen monikerta (paitsi kvarkeilla, mutta... ) = elektronin tai protonin varauksen suuruus on luontainen varauksen yksikkö, alkeisvaraus 33 (50)

34 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Johteet ja eristeet Johde Atomien uloimmat elektronit liikkuvat helposti paikasta toiseen materiaalissa (esim. kuparilanka). Tyypillisesti metallit ovat hyviä johteita. Siirtävät varausta paikasta toiseen. Eriste Aineessa ei ole lainkaan tai on niukasti vapaita elektroneja, jotka voisivat liikkua. Esimerkiksi posliini, muovit, lasi. Puolijohde Johteen ja eristeen välimuoto. Esimerkiksi galliumarsenidi (yhdiste) ja pii. Aineen seostamisella voi vaikuttaa sen sähköisiin ominaisuuksiin. 34 (50)

35 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Sähköinen induktio Varauksia voi siirtää koskettamalla kappaletta varatulla esineellä (esim. koskettamalla metallipalloa varatulla muovisauvalla) Entä jos tuodaan negatiivisesti varattu sauva johtavan (ja irrallisen ) metallipallon lähelle koskettamatta sitä? Samanmerkkiset varaukset hylkivät toisiaan pallon vapaita elektroneita siirtyy toiselle puolelle sauvan puolelle jää positiivinen nettovaraus = sähköinen induktio (50)

36 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Sähköinen induktio (jatkoa) Metallipallon vapaat elektronit siirtyvät, kunnes syntyy tasapaino = pallon elektroneihin sauvan varauksesta aiheutuva voima on yhtä suuri kuin indusoituneiden varausten elektroneihin aiheuttama voima Maadoitetaan pallon oikea puoli elektronit siirtyvät pois (maa on loputon varausvarasto) Sauvan poiston jälkeen palloon jää positiivinen nettovaraus (50)

37 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Varauksien aiheuttama voima Varattu kappale aiheuttaa voiman neutraaliin kappaleeseen Esim. metallipallo ja negatiivisesti varattu sauva Pallon positiiviset varaukset lähempänä sauvaa kuin negatiiviset sauva vetää palloa puoleensa F F (50)

38 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Johteet, eristeet ja indusoitunut varaus Polarisaatio Varattu kappale siirtää hieman neutraalin eristeenkin varauksia = polarisaatio vetovoima Vetovoima on sama riippumatta varatun kappaleen varauksen merkistä (50)

39 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Coulombin laki Coulombin laki Charles Augustin de Coulomb : Kahden pistemäisen varauksen välinen voima on verrannollinen varausten suuruksien tuloon ja kääntäen verrannollinen varausten etäisyyden neliöön. Samanmerkkisten varausten välillä on hylkimisvoima ja erimerkkisten varausten välillä vetovoima Jos pistevaraukset q 1 ja q 2 ovat etäisyydellä r toisistaan, niihin vaikuttavan voiman suuruus F = 1 q1 q 2 4πε 0 r 2 verrannollisuuskerroin ε C 2 /(N m 2 ) on tyhjiön permittiivisyys (ilma käy yleensä tyhjiöstä); 1/(4πε 0 ) N m 2 /C 2 q 1,2 = n 1,2 e, missä alkeisvaraus e C (yleensä n 1,2 1) Coulombin voimalle pätee superpositioperiaate eli voimien vektorisummaus ja Newtonin III laki (selitä!) 39 (50)

40 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Coulombin laki Esimerkki Coulombin laista Kaksi pistevarausta on x-akselilla: q 1 = 1.0 nc on kohdassa x = x 1 = 2.0 cm ja q 2 = 3.0 nc kohdassa x = x 2 = 4.0 cm. Laske voima, jonka varaukset aiheuttavat kolmanteen varaukseen q 3 = 5.0 nc, joka on origossa. q 3 q 1 q 2 2 cm 4 cm x 40 (50)

41 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Coulombin laki Esimerkki Coulombin laista (jatkoa) q 3 q 1 r 13 r 23 q 2 x r 3 r 1 r 2 Varaukseen q 3 kohdistuva kokonaisvoima on F = F 1 kohdistaa 3 + F 2 kohdistaa 3 [vektoreiden määrittelystä kohta lisää] F 1 kohdistaa 3 = 1 q 1 q 3 r 13 = (112 µn)( î) 4πɛ 0 r 2 13 F 2 kohdistaa 3 = 1 q 2 q 3 r 23 = ( 84 µn)( î) 4πɛ 0 r 2 23 F = ( 112 µn + 84 µn)î = ( 28 µn)î 41 (50)

42 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkökenttä ja sähköiset voimat Sähkökenttä Coulombin lain tulkintaa Varaus A aiheuttaa voiman F 0 pistevaraukseen B Kun B poistetaan, voidaan ajatella että varaus A tuottaa sähkökentän E pisteeseen P (varauksen B paikalle) F 0 q 0 F B A + Jos nyt sijoitetaan pistemäinen testivaraus q 0 pisteeseen P, aiheuttaa sähkökenttä E varaukseen voiman, joka on verrannollinen kenttään ja varaukseen: F = q 0 E = F 0 A + A P P E def = F 0 q 0 42 (50)

43 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkökenttä ja sähköiset voimat Sähkökenttä (jatkoa) Varausten välinen vuorovaikutus (= voima) on todellinen sähkökenttä on matemaattinen apuneuvo Varattuun kappaleeseen kohdistuvan sähköisen voiman tuottaa muiden varattujen kappaleiden synnyttämä sähkökenttä Sähkökenttä E def = testivarauksen q 0 kokema sähköinen voima F 0 (jonka järjestelmän muut varaukset testivaraukseen kohdistavat) normalisoituna testivarauksella E = F 0 q 0 [E] = N C = V m Sähkökenttä ei riipu voimaa kokevasta varauksesta! Jos pisteessä P on sähkökenttä E, pisteeseen tuotu pistevaraus q 0 kokee voiman F 0 = q 0 E 43 (50)

44 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkökenttä ja sähköiset voimat Pistevarauksen sähkökenttä Yleinen tapaus: O on origo, varaus q 1 olkoon lähdepisteessä r 1, kenttää tarkastellaan kenttäpisteessä r Pisteeseen P tuotuun testivaraukseen q 2 kohdistuu voima F 12 = 1 q 1 q 2 4πɛ 0 r 2 12 r 12, r 12 = r 12 r 12 r 1 q 1 r r 1 = r 12 r 12 = r12 Sähkökenttä pisteessä P on seurausta Coulombin laista: E( r) = 1 q 1 r r 1 4πɛ 0 r r1 2 r r1 O Päteeekö Newton III? Pätee. r P 44 (50)

45 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkökenttä ja sähköiset voimat Pistevarauksen sähkökenttä (jatkoa) Varauksen q 1 synnyttämä sähkökenttä pisteessä P on q 1 :stä testivaraukseen q 2 aiheutuva voima per q 2 :n varausyksikkö, jolloin (tässä r 1 on vakio ja r muuttuja) F( r) = q 2 E( r) Sähkökenttä on vektorikenttä (vektoriarvoinen paikan funktio) eli jokaisessa avaruuden pisteessä on vektori, jolla on suuruus ja suunta Jos lähdevaraus (q 1 ) on positiivinen, varauksen sähkökenttä on varauksesta poispäin: negatiivisen pistevarauksen sähkökenttä on varausta kohti Yksikkövektori r 12 = ( r r 1 )/ r r1 = r12 /r 12 osoittaa lähdevarauksesta tarkastelupistettä kohti kuin varaus olisi positiivinen; lähdevarauksen etumerkki on q 1 :ssä ja hoitaa kentän todellisen suunnan oikeaksi Jos sähkökenttä jossakin alueessa on vakiosuuruinen ja -suuntainen, sanotaan, että kenttä alueessa on tasainen (engl. uniform) näin on esimerkiksi johdeaineessa, jossa sähkökenttä on nolla(vektori) (miksi?) 45 (50)

46 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkökenttälaskut Pistejoukon sähkökenttä Edellä laskettiin yksittäisen pistevarauksen aiheuttamaa kenttää Useamman varauksen aiheuttama kokonaisvoima F 0 on vektorisumma yksittäisten varausparien Coulombin voimista F i Varausjakauman kenttä lasketaan olettamalla tai jakamalla varausjoukko pistelähteiksi Kokonaissähkökenttä E 0 lasketaan yksittäisten varausten kenttien E i vektorisummasta Jatkuvia varausjakautumia: Viivavaraustiheys λ [C/m] Pintavaraustiheys σ [C/m 2 ] Tilavuusvaraustiheys ρ [C/m 3 ] F 0 = F i = q 0 E i E 0 = E i i i i 46 (50)

47 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkökenttälaskut Esimerkki Viivavarauksen kenttä pisteessä P etäisyydellä x origosta y a dy, dq r 12 P d E x x d E y d E a Jaetaan tasainen viivavaraus λ = Q/(2a) paloihin dq = λ dy = Q 2a dy Pisteen P etäisyys palasesta on r 12 = x 2 + y 2 47 (50)

48 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkökenttälaskut Ratkaisu Viivavarauksen kenttä pisteessä P etäisyydellä x origosta Kentän voimakkuus (pistelähde) de = 1 dq 4πε 0 r12 2 = Q dy 4πε 0 2a(x 2 + y 2 ) Sähkökentän komponentit (trigonometrialla tai yhdenmuotoisilla kolmioilla) de x = Q x dy 4πε 0 2a(x 2 + y 2 ) 3/2, de y = Q y dy 4πε 0 2a(x 2 + y 2 ) 3/2 Integroidaan sauvan yli E x = 1 Q a 4πε 0 2a a E y = 1 Q a 4πε 0 2a a x dy (x 2 + y 2 ) 3/2 =... = Q 1 4πε 0 x(x 2 + a 2 ) 1/2 y dy (x 2 + y 2 = 0 symmetrian vuoksi ) 3/2 48 (50)

49 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Sähkökenttälaskut Viivavarauksen kenttä Vektorimuodossa (huomaa suuntien määrittely) E = E x î E y ĵ = Jos x a, E = 1 Q î (kuten pistevarauksella) 4πε 0 x2 Jos Q = 2aλ, E = 1 λ 2πɛ 0 x (x/a) î Ääretön lanka (tärkeä lähdeprototyyppi) Q 1 4πε 0 x x 2 + a î 2 a E = λ 2πε 0 x î λ E = 2πε 0 r r, missä r on etäisyys langasta ja yksikkövektori r osoittaa langasta poispäin 49 (50)

50 Sähkövaraus ja sähkökenttä (YF ) Kenttäviivat Sähkökentän kenttäviivat Sähkökenttää ei voi nähdä Kenttää voi havainnollistaa piirtämällä kenttävektoreita (punaiset) tai kenttäviivoja (virtausviivoja, siniset) Kenttäviivan tangentti osoittaa sähkökenttävektorin suuntaan joka pisteessä ja kenttäviivojen tiheys on verrannollinen kentän voimakkuuteen Kenttäviivat ovat yksikäsitteisiä: eivät leikkaa toisiaan Kenttäviiva ei ole vakiokenttäkäyrä eikä kuvaa kenttään päästetyn varauksen liikerataa! + 50 (50)