edition). Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti.

Transkriptio

1 1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2014 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 53-55, ma 9-10 ja ke Luentoja ei ole viikoilla 16 ja 17 eli Harjoitusassistentti: Ville Kotimäki Laskuharjoitukset: 7 harjoituskertaa (ke), max 12 p Ex tempore harjoitukset: 14 kertaa (ma + ke luennon toinen tunti), max 12 p Tentti: pe 95 klo (tentti 1) tai pe 305 klo (tentti 2) Oletetut esitiedot: FYSP111 ja FYSP112 Matematiikan perusopintokurssit eivät ole haitaksi Kirja: Adams & Essex, Calculus a complete course (8 th edition) Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti Koppa: Luentomuistiinpanot ja tehtävät ilmestyvät koppaan:

2 2 Kurssin tavoitteet Kurssilla käsitellään paikka-avaruudessa määriteltyjen funktioiden eli kenttien differentiaali- ja integraalilaskentaan, keskittyen vektoriarvoisiin kenttiin Esimerkkejä fysiikassa käytetyistä vektorikentistä ovat sähkökenttä, gravitaatiokenttä ja virtaavan nesteen nopeuskenttä Opittavilla menetelmillä selvitään fysiikan aineopintokursseilla ja useimmilla syventävillä kursseilla Asioita ei käsitellä matemaatikon pedanttisuudella (vrt matematiikan aineopintokurssit) vaan fyysikon pragmaattisempaa otetta soveltaen Jotkut kurssilla käsiteltävistä asioista käydään perusteellisemmin läpi elektrodynamiikan erikoiskurssilla Adamsin kirja on luennoitsijalle uusi tuttavuus, josta voi aiheutua joitain merkinnällisiä konflikteja ja myös eroja asioiden esittämisjärjestyksessä Itse asia tietenkin pysyy samana

3 3 1 Kertausta A 102 & 103 Jos vektorin A alkupää on origossa, sen loppupään koordinaatit Ax, Ay, A z kertovat vektorista kaiken Voidaan siis samaistaa A ( A, A, A ) Koordinaattiakseleiden suuntaisten yksikkövektoreiden iˆ, ˆjkavulla, ˆ vektori A voidaan esittää muodossa A = Aiˆ+ A ˆ j+ Akˆ Kahden vektorin summa on A+ B= ( Ax + Bx, Ay + By, Az + Bz) = ( A + B ) iˆ+ ( A + B ) ˆj+ ( A + B ) kˆ x x y y z z Vektoreiden pistetulo eli skalaaritulo määritellään A B= AB + AB + AB x x y y z z Vektorin pituus on A = A A = A + A + A 2 Jos vektoreiden A ja B välinen kulma on θ, on

4 AB = ABcos θ Jos vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, niiden pistetulo häviää eli A B= 0 Vektoreiden ristitulo A B on vektori, jolle pätee i) ( A B) A= 0 ja ( A B) B= 0 eli se on kohtisuorassa molempia osiaan vastaan, ii) A B= ABsin θ iii) Vektorit A, B ja A B muodostavat oikeakätisen systeemin Ristitulo voidaan esittää determinanttina: iˆ ˆj kˆ A B= A A A B B B Ay Az A x y ˆ z A A A x = i + ˆj+ kˆ B B B B B B 4 y z z x x y = ( AB AB ) iˆ+ ( AB AB) ˆj + ( AB AB) kˆ y z z y z x x z x y y x Tästä näkee, että A B= B A Kantavektoreille iˆ, ˆjk, ˆ pätee iˆ ˆj = kˆ, ˆj kˆ= iˆ, kˆ iˆ= ˆj

5 5 Origosta pisteeseen P= ( xyz,, ) piirrettyä vektoria sanotaan paikkavektoriksi r Komponenttimuodossa se on r = xiˆ+ yj ˆ + zkˆ Paikkavektorin pituus on r = x + y + z 2 Avaruuden piste voidaan esittää myös muiden kuin suorakulmaisten koordinaattien x, y, z avulla Sylinterikoordinaatistossa koordinaatteina ovat r (sylinterin säde, merkitään joskus ρ), ϕ (napakulma) ja z: ( r = x + y ) x= rcos φ, y = rsin φ, z = z Pallokoordinaatistossa koordinaatteina ovat r (pisteen etäisyys origosta), ϕ (atsimuuttikulma) ja θ (polaarikulma): x= rsinθcos φ, y = rsinθsin φ, z = rcos θ ( r 2 = + + )

6 6 2 Vektorin derivaatta A 111 Vektorin derivoiminen ajan suhteen on mekaniikasta tuttu asia Vektori voi olla esimerkiksi nopeusvektori vt (), vt () = v() tiˆ+ v() t ˆj + v() tkˆ Nopeus on yhden muuttujan (aika) vektoriarvoinen (kolme komponenttia) funktio Huomaa, että karteesisen koordinaatiston kantavektorit iˆ, ˆjk, ˆ eivät riipu ajasta, ne ovat aina samaan suuntaan osoittavia vakiovektoreita Ainoastaan vektorin komponentit ovat ajasta riippuvia Vektorin vt () derivaatta on siten dv() t dv () () x t dv ˆ y t ˆ dvz () t = i + j+ kˆ dt dt dt dt = v'() ˆ '() ˆ '() ˆ x ti+ v y t j+ v z tk Tämä on hiukkasen kiihtyvyys, at () = v'() t Koska yleensä dvi vi, kiihtyvyys () dt at ei tavallisesti ole nopeuden vt () suuntainen eikä pituinen Nopeus vt () puolestaan saadaan derivoimalla liikkuvan kappaleen ajasta riippuva paikkavektori rt ():

7 7 dr () t dx() t ˆ dy() t () ˆ dz()ˆ t vt = = i+ j+ k dt dt dt dt = x'( ti ) ˆ+ y'( t) ˆj + z'( tk ) ˆ Toinen esimerkki Sähköstatiikassa sähkökenttä Er ( ) = Exyz (,, ) on vektorimuuttujasta (paikasta) riippuva vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä, kolme lukua) Siihen liittyvä sähköinen potentiaali Vr ( ) = V( xyz,, ) on puolestaan vektorimuuttujasta riippuva skalaarifunktio (skalaarikenttä, yksi luku) Sähköopista tiedämme, että sähkökenttä saadaan potentiaalista seuraavalla tavalla derivoimalla: (,, ) ˆ (,, ) ˆ (,, ) (,, ) V xyz V xyz Exyz = i j V xyz k ˆ x y z Tässä derivaatat ovat osittaisderivaattoja (d:n sijasta käytetään :ta eli doota ), joissa derivointi kohdistuu vain yhteen funktion useasta muuttujasta Dynaamisessa tapauksessa sähkökenttä riippuu paikan lisäksi ajasta eli se on neljän muuttujan funktio, Exyzt (,,,) Yhden pistevarauksen tapauksessa potentiaali riippuu symmetrian takia vain yhdestä muuttujasta, paikkavektorin pituudesta r = r Tavalliset summan ja tulon derivoimissäännöt pätevät vektoreille:

8 8 d du dv ( u + v) = +, dt dt dt d dc du ( cu) = u + c, dt dt dt d du dv ( u v) = v + u, dt dt dt d du dv ( u v) = v + u dt dt dt Ristitulon derivoinnissa pitää kuitenkin vektoreiden u keskinäinen järjestys säilyttää, koska ristitulo vaihtaa merkkiään kertomisjärjestyksen vaihtuessa ja v 3 Parametrisoitu käyrä ja käyräintegraali A 82 & Käyrän parametrisointi Olkoon c kolmiavaruuden vektori, jonka komponentit riippuvat parametrista t, ct () = c() tiˆ+ c() t ˆj + c() tkˆ Parametri t ei ole välttämättä aika tai mikään muukaan fysikaalinen suure vaan jokin reaaliluku Oletetaan, että komponentit ci () t ovat jatkuvia, kun t saa arvoja R 1 :n jollakin välillä [a,b] Kun t:n annetaan vaihdella tällä välillä, vektorin ct () kärki piirtää R 3 -avaruuteen käyrän Käyrän pisteiden koordinaatit ovat

9 9 ( x, y, z) = ( c ( t), c ( t), c ( t)), a t b Tätä sanotaan kyseisen käyrän parametriesitykseksi Sama käyrä voidaan esittää muutenkin, esimerkiksi antamalla koordinaatteja toisiinsa sitovat yhtälöt, tai se voi olla vaikka kahden annetun pinnan leikkaus Parametriesityksessä käyrään liitetään suunta: voidaan sanoa, että käyrän alkupiste on ca ( ) ja loppupiste cb ( ) Käyrän sanotaan olevan suunnistettu Käyrä on umpinainen, jos sen alkupiste ja loppupiste ovat samat: ca ( ) = cb ( ) Voi olla, että tällöin sama lenkki on voitu kiertää moneen kertaan ympäri parametrin käydessä läpi arvoalueensa *** Esimerkki: Tutki (x,y)-tason käyrää c( t) = 2costiˆ+ 2sin tj ˆ, 0 t 3 π / 2 Alkupiste on c(0) = 2cos 0 iˆ+ 2sin 0 ˆj = 2 iˆ eli piste (2,0) Loppupiste on c(3 π / 2) = 2cos(3 π / 2) iˆ+ 2sin(3 π / 2) ˆj = 2 ˆj piste (0,-2) Koska x + y = 4cos t+ 4sin t = 4, eli käyrän pisteet ovat ympyrän kaarella, jonka säde on 4 Käyrä muodostaa kolme neljäsosaa ympyrän kehästä Parametrilla t on tässä geometrinen merkitys: se on

10 10 kulma, jonka verran vektori ct () c (0) on kääntynyt alkuasemastaan 2 Ratkaisemalla y saadaan y =± 4 x Käyrä saadaan siis myös 2 yhdistämällä kahden funktion y = 4 x (-2 x 2) ja y 2 = 4 x (-2 x 0) kuvaajat Esimerkki: Yksikköympyrän yhtälö on x + y = 1 On lukemattomia eri tapoja esittää tämä käyrä parametrimuodossa Tässä muutamia: x= cos t, y = sin t (0 t 2 π ), x= α = α α π sin( ), y cos( ) (0 2 ), x= t y = t t t 1, 2 ( ) Esimerkiksi viimeisessä tapauksessa x + y = (1 t ) + ( t 2 t ) = 1 2t + t + 2t t = 1 Piste (x,y) liikkuu arvosta (-1,0) pisteeseen (0,-1) ja siitä edelleen pisteeseen (1,0), kun t muuttuu arvosta 2 arvon -1 kautta arvoon 0 Kun t muuttuu arvosta 0 arvon 1 kautta arvoon 2, piste (x,y) liikkuu (0,1):n kautta takaisin arvoon (-1,0) *** Kun käyrän parametriesityksestä eliminoidaan parametri, saadaan käyrän karteesinen yhtälö Edellisissä esimerkeissä parametri t eliminoitui, kun laskettiin komponenttien neliöt yhteen Yleisesti eliminointi voidaan tehdä niin, että

11 11 esimerkiksi x:n parametriesityksestä ratkaistaan t x:n funktiona ja sijoitetaan se y:n parametriesitykseen Tuloksena on yhtälö, joka sitoo x:n ja y:n toisiinsa, eli karteesinen yhtälö *** Esimerkki: Käyrän parametriesitys on x= t+ y = t t+ < t < 2 3, 2 (- ) Mistä käyrästä on kyse? Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan t = x 3 Sijoitetaan tämä jälkimmäiseen yhtälöön: y = ( x 3) ( x 3) + 2 = x 7x+ 14 Tämä on käyrän karteesinen yhtälö, ylös aukeavan paraabelin yhtälö (pohja pisteessä (7/2,7/4)) *** Suoran esittäminen parametrimuodossa: Oletetaan, että suora kulkee pisteen P0 = ( x0, y0, z0) (paikkavektori r 0 ) kautta ja on yhdensuuntainen vektorin v= viˆ ˆ ˆ x + vy j+ vk z kanssa Silloin suoran mielivaltaisen pisteen P= ( xyz,, ) paikkavektori r saadaan lisäämällä vektoriin r 0 vektori v sopivalla reaaliluvulla t kerrottuna (ks kuva) Näin saadaan suoralle parametriesitys eli komponenttimuodossa r = r 0 + tv (- < t < ) x = x + tv, y = y + tv, z = z + tv 0 x 0 y 0 z

12 12 Ratkaisemalla kustakin yhtälöstä t, saadaan suoralle karteesinen esitys x x y y z z = = v v v Käyrän pituus Jos siirrymme tasossa pisteestä (x,y) pisteeseen (x+dx, y+dy), kuljemme (Pythagoraan lauseen mukaan ) matkan ds = ( dx) + ( dy) Jos kuljemme funktion y(x) kuvaajaa pitkin, on dy=(dy/dx)dx = y (x)dx Jos lähdemme pisteestä ( x1, yx ( 1)) ja päädymme pisteeseen ( x2, yx ( 2)), on kulkemamme kokonaismatka x dy x 2 s = ds = dx + dy = + dx = + ( y x ) dx dx ( ) ( ) 1 1 '( ) x 1 x1 2 Tämän mallin mukaan on helppo kirjoittaa parametrisoidun käyrän pituus (a t b): b s = ds = ( dx) + ( dy) + ( dz) = x'() t + y '() t + z '() t dt a b dr = dt, a dt sillä esimerkiksi dx() t = dx dt = x'() t dt dt ***

13 13 Esimerkki: Lasketaan ruuviviivan x= acos t, y = asin t, z = bt käyränpituus yhtä kierrosta (0 t 2π ) kohti Yllä olevaa kaavaa soveltaen saadaan 2π 2π 0 0 2π 0 x'( t) + y '( t) + z '( t) dt = ( asin t) + ( acos t) + b dt = a + b dt 2 = π a + b 33 Viivaintegraali A 153 *** Käyrän pituuden laskeminen on yksi esimerkki viivaintegraalista Sitä yleisempi tilanne on funktion viivaintegraali Jos funktiona on skalaarikenttä f(x,y,z), tehtävänä on laskea b dr f ( x, y, z) ds = f ( r ( t)) dt, a dt missä on jokin parametrisoitu käyrä Integraalin arvo ei riipu siitä, miten käyrä on parametrisoitu ***

14 14 Esimerkki: (A, s 876) Lasketaan viivaintegraali ( ), I = x + y ds pisteeseen (2,1) kun käyrä on suora viiva origosta Parametrisoidaan seuraavasti: x= 2 t, y = t, 0 t 1, toisin sanoen r( t) = 2 tiˆ+ tj ˆ, 0 t 1 Silloin dr ds = dt = 2i + j dt = 5 dt dt Integraalista saadaan I = (4 t + t ) 5 dt = 5 5 t dt 0 = 0 3 Jos r*( u) ( α u β) on jokin toinen :n parametrisaatio, on b a dr β dr * f ( r ( t)) dt = f ( r *( u)) du dt α du