Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 /
|
|
- Kauko Tamminen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitusviikko 5 / Harjoitustehtäviä 1 6 lasketaan alkuviikon harjoituksessa. Harjoituksessa laskematta jääneet tehtävät jäävät kotitehtäviksi ja ne käsitellään loppuviikon harjoituksen alussa. Tehtäviä 7 1 lasketaan loppuviikon harjoituksessa ja ne palautetaan pääkäytävän palautuslaatikkoon ti klo 16. mennessä. Lisäksi MyCoursesissa on 2 TACK-tehtävää, joihin vastataan verkossa ma klo mennessä. Pintaintegraalit, Gaussin lause, Greenin lause Tehtävä 1: Määritä Gaussin lauseen avulla vektorikentän F(x, y, z) xyi + z 2 j vuo ulos monitahokkaasta, jonka tahkot muodostuvat koordinaattiakselien määräämistä tasoista sekä tasosta x + y + z 2 (edellisellä viikolla tämä laskettiin ilman Gaussin lausetta). Ratkaisu: Gaussin lauseen mukaan vektorikentän vuo kappaleen pinnan läpi voidaan laskea kentän divergenssin integraalina kappaleen tilavuuden yli. F dv F N d (.1) Nyt kappaletta rajoittavat koordinaatiakselien määräämien tasojen lisäksi taso x + y + z 2. Kappale voidaan siis määritellä esimerkiksi seuraavalla tavalla Kentän divergenssi: {(x, y, z) R 3 x 2, y 2 x, z 2 x y}. (.2) Nyt voidaan laskea vektorikentän vuo pinnan läpi 2 2 x 2 x y 2 2 x 2 F y. (.3) y dzdydx (.4) 2y yx y 2 dydx (.5) (2 x) 2 2x + 2x 2 x3 2 (2 x)3 dx (.6) ( ) 2 3. (.7) 1
2 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 Tehtävä 2: Laske vektorikentän F(x, y, z) 2xi + yzj + z 2 k vuo ulos ympyrälieriöstä {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 4, z [, 3]} a) Gaussin lauseen avulla, b) suoraan vuointegraalin määritelmästä. Ratkaisu: a) Vuo kappaleen pinnan läpi voidaan laskea Gaussin lauseella seuraavasti: F N d F dv (.8) Kentän F(x, y, z) 2xi + yzj + z 2 k divergenssi on F 2 + z + 2z 3z + 2. (.9) Kappale on z-akselin suuntainen sylinteri, jonka pohjan säde r 2. ylinterin tilavuuden yli voidaan siis integroida sylinterikoordinaateissa (3z + 2)r dzdrdθ (.1) 39 2π r dr (.11) 2 78π. (.12) b) Vuo kappaleen pinnan läpi voidaan laskea myös suoraan vuointegraalin määritelmästä laskemalla vuo erikseen kappaleen eri pintojen läpi. F N d F N d + F N d + F N d. (.13) pohja katto vaippa Pohja ja katto ovat kiekkoja, joilla säde r 2. Lisäksi katto on korkeudella z 3 ja pohja z. Vaippa on vakio etäisyydellä 2 origosta oleva sylinterin pinta, jossa z 3. Näistä saadaan sylinterin eri pinnoille parametrisaatiot r pohja (r, θ) r cos(θ)i + r sin(θ)j + k, r [, 2], θ [, 2π], (.14) r katto (r, θ) r cos(θ)i + r sin(θ)j + 3k, r [, 2], θ [, 2π], (.15) r vaippa (θ, z) 2 cos(θ)i + 2 sin(θ)j + zk, z [, 3], θ [, 2π]. (.16) ja pintojen normaalit ovat vastaavasti n pohja r pohja r n katto r katto r n vaippa r pohja z r pohja θ r katto θ r vaippa θ 2 rk (.17) rk (.18) 2 cos(θ)i + 2 sin(θ)j. (.19)
3 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 Nyt voidaan laskea vuot pintojen läpi. V uo pohja V uo katto V uo vaippa (2r cos(θ)i + r sin(θ) j + k) rk drdθ (.2) (2r cos(θ)i + r sin(θ) 3j k) rk drdθ (.21) 9r drdθ 36π (.22) (4 cos(θ)i + 2z sin(θ)i) (2cos(θ)i + 2 sin(θ)j) dzdθ (.23) (8 cos 2 (θ) + 4z sin 2 (θ)) dzdθ 42π (.24) V uo pohja + V uo katto + V uo vaippa + 36π + 42π 78π (.25) Tehtävä 3: Laske vektorikentän F(x, y, z) xi + yj + zk vuo ylöspäin läpi pinnan z 4 x 2 y 2 sen osan, joka jää pinnan z 3 yläpuolelle. Ratkaisu: (Voidaan laskea myös suoraan vuointegraalina ilman Gaussin lausetta.) Gaussin lauseen mukaan vuo ulospäin pintojen z 4 x 2 y 2 ja z 3 rajoittamasta kappaleesta (merkitään sitä ja sen pintaa ) on F dr F dv. Nyt F 3, joten vuo on kolme kertaa kyseisen kappaleen tilavuus. Kappaleen pohja on tason z 3 kiekko, jonka reunakäyrä on 3 4 x 2 y 2 eli x 2 + y 2 1. Kantena on pinta z 4 x 2 y 2. aadaan siis F dr F dv 3 1 dv x 2 +y 2 <1 x 2 +y 2 < π. 4 x 2 y dzda (1 x 2 y 2 ) da (1 r 2 )r dr dϕ 3
4 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 Jos tästä nyt vähennetään kentän vuo ulospäin kappaleen pohjasta, niin jäljelle jää kysytty vuo. Pohjan ulkonormaali on k, joten F dr F dr F dr kansi pohja 3 2 π (xi + yj + 3k) ( k) da pohja 3 2 π ( 3)dA pohja 3 2 π + 3π 9 2 π Tehtävä 4: a) Johda Gaussin lauseen avulla Greenin II kaava: (u v v u) dv (u v v u) N d, jossa N on reunan ulkoyksikkönormaali. b) Johda Gaussin lauseen avulla gradienttiversio Gaussin lauseesta: f dv f N d, jossa N on reunan ulkoyksikkönormaali ja integroinnit tulkitaan komponenteittain. Ratkaisu: Gaussin kaavan avulla oikean puolen pintaintegraalin ensimmäinen termi voidaan saattaa muotoon u v N d (u v) dv, ( u v + u ( v)) dv ( u v + u v) dv. Tehdään vastaava integraalin toiselle termille: v u N d ( v u + v u) dv. Vähennetään nämä molemmat puolittain: (u v v u) N d 4 (u v v u) dv.
5 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 b) Tutkitaan vektorikenttää c f, missä c on mielivaltainen vakiovektori. Kun tästä otetaan divergenssi, voidaan Gaussin lauseen perusteella sanoa (cf) dv cf N d. (.26) Koska (cf) c f, voidaan sanoa c f dv cf N d. (.27) Koska c on vakiovektori ja integroiminen on lineaarinen operaatio, c voidaan ottaa molemmilla puolilla integraalin ulkopuolelle c f dv c f N d (.28) ( ) c f dv f N d (.29) (.3) Koska c on mielivaltainen vektori, on suluissa olevan osuuden oltava aina, eli f dv f N d (.31) Tehtävä 5: Olkoon F(x, y, z) 7zi 5xj + 3yk. Laske pintaintegraali ( F) N d P (käyttämättä tokesin lausetta), kun P {(x, y, z) R 3 : z x 2, x [, 3], y [1, 2]} ja N on pinnan P yläviistoon osoittava yksikkönormaali (seuraavalla viikolla tämä lasketaan uudelleen tokesin lauseen avulla). Ratkaisu: Tehtävän voi laskea joko tokesin lauseen avulla viivaintegraalina reunakäyriä pitkin tai suoraan vuointegraalina. uoraan laskemalla ratkaisu on seuraava: Nyt i j k F x y z 3i + 7j 5k. 7z 5x 3y Pinta voidaan parametrisoida valitsemalla x t ja y s, jolloin z t 2, eli r(t, s) ti + sj + t 2 k, t [, 3], s [1, 2]. 5
6 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 Tällöin r r r i + 2tk, j ja n(t, s) t s Yksikkönormaali on tällöin r t s 2ti + k. r n(t, s) N ± n(t, s) ± t r s r t r s 2t 4t2 + 1 i + 1 4t2 + 1 k. 2ti + k 2ti + k Normaali tulee valita positiivisena, jotta suunta on ylöspäin (k-yksikkövektorin kerroin positiivinen). Lasketaan sitten integraali: ( F) N d ( F) N n(s, t) ds dt ( F) n(t, s) n(s, t) ds dt n(t, s) ( F) n(t, s) ds dt (3i + 7j 5k) ( 2ti + k) ds dt ( 6t 5) ds dt Tehtävä 6: Laske ( (x 2 xy)i + (xy y 2 )j ) dr c vastapäivään ympäri kolmion, jonka kärjet ovat (, ), (1, 1) ja (1, ). Greenin lauseen mukaan säännölliselle alueelle R 2 ja sileälle vektorikentälle F : R 2 pätee F kda F dr, missä c on (mahdollisesti paloittain) sileä alueen suljettu reunakäyrä. Nyt annettu integraali on viivaintegraali yli suljetun käyrän ja annettu kolmio on selvästi säännöllinen. Tehtävä voidaan siis laskea (helpomman) tasointegraalin avulla. Nyt i j k F x y z (x + y)k (x 2 xy) (xy y 2 ) Ja riittää siis laskea integraali c 6
7 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 kolmio Gaussin lause, Greenin lause F kda 1 x x (y + x)dydx 1 2 y2 + xy x dx 3 2 x2 dx Palautettava tehtävä 7: Tarkista Greenin lauseen paikkansapitävyys, kun Ratkaisu: F(x, y) y 2 i + (x + y 2 )j ja {(x, y) R 2 : x 2 + y 2 1, x }. Osoitetaan Greenin lauseen paikkansapitävyys näyttämällä, että F k da F dr. (.32) Lasketaan yhtälön vasen puoli. Kentän F roottori on eli saadaan integraali F 2y + 1k, (.33) 2y + 1 da. (.34) Alue, jonka yli integroidaan on origokeskeisen yksikkökiekon positiivisen x-akselin puolella oleva osa. iirrytään napakoordinaatistoon, jolloin integroimisrajat ovat θ [ π/2, π/2] ja r [, 1]. 1 π/2 π/2 1 (1 2r sin(θ))r dθdr (.35) πrdr π 2 (.36) Toisen puolen yhtälöstä voi ratkaista parametrisoimalla aluuen reunakäyrän kahdessa palassa puoliympyrän kaareksi ja y-akselin suuntaiseksi janaksi r jana (t) tj, t [ 1, 1], (.37) r kaari (t) cos(t)i + sin(t)j, t [ π/2, π/2]. (.38) 7
8 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 Parametrisoitujen käyrien derivaatat ovat vastaavasti Nyt yhtälön oikea puoli voidaan ratkaista F dr π/2 π/2 1 1 π/2 π 2 r jana(t) j, (.39) r kaari(t) sin(t)i + cos(t)j. (.4) (sin 2 (t))i + (cos(t) + sin 2 (t))j) ( sin(t)i + cos(t)j) dt+ (.41) (t 2 i + ( + t 2 )j) j dt (.42) π/2 sin 3 (t) + cos 2 (t) + sin 2 (t) cos(t) dt t 2 dt (.43) Yhtälön molemmista puolista tulee sama vastaus, joten Greenin lause pätee. (.44) Palautettava tehtävä 8: Taso x + y + z jakaa kuution [ 1, 1] [ 1, 1] [ 1, 1] kahteen seitsentahokkaaseen, joista olkoon se, johon kuuluu kärki ( 1, 1, 1). Etsi vektorikentän F(x, y, z) xi + yj + zk vuo kappaleesta ulospäin kunkin :n tahkon läpi. Ratkaisu: Gaussin lauseella voimme laskea vuon ulos koko kappaleesta F N ds F dv. (.45) Kentän divergenssi on F 3, eli vakio ja kappale on puolikas kuutiosta, jonka särmän pituus on 2, joten vuo ulos kappaleesta on 3 dv 3 1dV (.46) Vektorikenttä on kappaleen suhteen symmetrinen, joten vuot ulos kolmion muotoisista sivuista ovat keskenään yhtä suuret, kuten ovat myös vuot ulos viisikulmaisista sivuista. Lasketaan vuo ulos kolmion muotoisesta sivusta T, kun z 1. Tällöin pinnan normaali on k ja F k k k 1. Vuo ulos sivusta on siis 1 dxdy A T 1 2. (.47) T 8
9 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 Kuva 1: Tehtävän 8 kappale. 9
10 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 Lasketaan vuo ulos viisikulmaisesta sivusta P, kun z 1. Tällöin pinnan normaali on k ja F k k k 1. Vuo ulos sivusta on siis 1 dxdy A P 7 2. (.48) P Gaussin lauseella lasketun kokonaisvuon perusteella, kun kaikkien sivujen vuot lasketaan yhteen, tulee saada 12. Vuo ulos kuusikulmaisesta sivusta on siis (.49) Palautettava tehtävä 9: Laske sykloidikaaren r(t) a(t sin t)i + (1 cos t)j, t [, 2π], a >, ja x-akselin rajoittaman alueen pinta-ala Greenin lauseen avulla. Ratkaisu: Greenin lauseen mukaan F kda F dr A Missä c on alueen A positiivisesti suunnistettu reunakäyrä. Jos nyt asetetaan F xj saadaan i j k F x y z x k Nyt siis A 1dA F kda A F dr c Integrointia varten tarvitaan reunakäyrälle parametrisaatio. ykloidikaaren parametrisaatio on annettu tehtävänannossa. Tämän parametrisaation kiertosuunta on kuitenkin negatiivinen, joten integroinnin eteen täytyy muistaa lisätä miinusmerkki. X-akselin osa, joka rajoittaa tutkittavaa aluetta alhaalta, voidaan parametrisoida yksinkeertaisesti s(t) ati kun t [, 2π]. Nyt integraali voidaan laskea c 1
11 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 c F dr a a F(s(t)) s (t)dt atj idt ( a t cos t (t sin t sin 2 t)dt t sin tdt + aπ 2π a(2π ) + aπ 3aπ F(r(t)) r (t)dt a(t sin t)j (a(1 cos t)i + sin tj)dt ) cos tdt + aπ Palautettava tehtävä 1 (Arkhimedeen laki): Kappale upotetaan nesteeseen, jolla on vakiotiheys ρ. Paine nesteessä syvyydellä h on ρgh, jossa g on putoamiskiihtyvyys. Näin ollen paineelle p pätee yhtälö p ρ g, missä g on putoamiskiihtyvyysvektori. Nesteen paine aiheuttaa jokaiseen pintaelementtiin d voiman pn d, jossa N on pinnan ulkoyksikkönormaali. a) Osoita, että paineesta johtuva kappaleen kokema noste on B g ρ dv. Toisin sanoen nosteella on sama suuruus ja vastakkainen suunta kuin kappaleen syrjäyttämän nesteen painolla. Tämä on Arkhimedeen laki. b) Yleistä tulos koskemaan tilannetta, jossa kappale on upotettu nesteeseen vain osittain. Ratkaisu: Taustatietona katso artikkeli Fabio Lima: "Using surface integrals for checking the Archimedes law of buoyancy"( Tietoja kappaleesta: Kappaleen tilavuus: R Kappaleen pinta-ala: Vakiotiheys: δ Paine: δhg 11
12 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 a) Olkoon d kappaleen differentiaalisen pieni pinta-alayksikkö. Kuhunkin tällaiseen "suorakulmioon"kohdistuu voima B p ˆNd. Koko kappaleeseen kohdistuva voima saadaan integroimalla pinnan yli (eli summa kaikista differentiaalisen pienistä voimaelementeistä). B p ˆNd Gradienttilause, kts. artikkeli pdv R δgdv R δg vol(r) mg, missä m on syrjäytetyn nesteen massa. b) Nyt kappale on nesteessä vain osittain. Jaetaan kappale vedessä ( 1 ) ja ilmassa ( 2 ) oleviin osiin, jotka ovat päällekäin. Näiden kahden kappaleen leikkauspintojen integraalit kumoavat toisensa, joten saadaan: B p ˆN 1 d p ˆN 2 d + p ˆNd 1 2 pdv + pdv V 1 V 2 δ 1 gdv + δ 2 gdv V 1 V 2 (m 1 + m 2 )g, gradienttilause missä m 1 on syrjäytetyn veden massa ja m 2 on syrjäytetyn ilman massa. Usein m 1 >> m 2, jolloin nosteeksi ilmoitetaan vain nesteen aiheuttama osa eli B m 1 g Lyhyt selostus gradienttilauseesta: Kuhunkin pinta-alaelementtiin kohdistuva voima B voidaan jakaa komponentteihin: 12
13 M-A3x ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/217 B i pe i ˆNd (tässä ˆN on siis pinnan normaalivektori). Tällöin siis B i pe i ˆN d Gauss pe i dv V i p dv V B p dv. V 13
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 /
M-A5 ifferentiaali- ja integraalilaskenta, I/17 ifferentiaali- ja integraalilaskenta Mallit laskuharjoitusviikkoon 5 / 9. 1.1. Alkuviikon tehtävät Tehtävä 1: Määritä (ilman Gaussin lausetta) vektorikentän
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).
Lisätiedotf x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y 2.
13. Erityyppisten integraalien väliset yhteydet 13.1. Gaussin lause 364. Laske A f x da, kun A on tason origokeskinen yksikköympyrä, jonka kehällä funktion f arvot saadaan lausekkeesta f (x, y) = 2x 3y
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 /
M-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/216 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Laskuharjoitus 7 / 14.-16.3. Harjoitustehtävät 37-4 lasketaan alkuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 41-43
LisätiedotGaussin lause eli divergenssilause 1
80 VEKTOIANALYYI Luento 1 8. Gaussin lause eli divergenssilause 1 A 16.4 Kurssin jäljellä olevassa osassa käymme läpi joukon fysiikan kannalta tärkeitä vektorikenttien integrointia koskevia tuloksia, nimittäin
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotPolkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon
Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])
Lisätiedot12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa
12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali
JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy
Lisätiedotx (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1
BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita
LisätiedotPintaintegraali. i j k cos(θ) sin(θ) 1. = r cos(θ)i r sin(θ)j + rk, r sin(θ) r cos(θ) 0 joten
.4.8 intintegrli. He krtion z x + y sylinterin x + y y sisäpuolelle jäävän osn pint-l käyttämällä npkoordinttej x r cosθ j y r sinθ jolloin epäyhtälö x + y y on r sinθ. Rtkisu: Symmetrin nojll voidn trkstell
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
LisätiedotOletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi S2
Mat-1.122 Matematiikan peruskurssi S2 Ratkaisuehdotuksia Harjoitus 12 alkuviikko Tehtävä 1 Hahmottele annetut vektorikentät sekä niiden kenttäviivat tapauksissa. a)f(x, y) xi + yj b)f(x, y) e x i + e -x
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 11: Taso- ja tilavuusintegraalien sovellutuksia Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.
MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
LisätiedotLieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa
Lieriö ja särmiö Tarkastellaan pintaa, joka syntyy, kun tasoa T leikkaava suora s liikkuu suuntansa säilyttäen pitkin tason T suljettua käyrää (käyrä ei leikkaa itseään). Tällöin suora s piirtää avaruuteen
LisätiedotFr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:
15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima
Lisätiedotf(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].
Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /
MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Ratkaisut: loppuviikko 2
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Ratkaisut: loppuviikko 2 Harjoitustehtävät 11-13 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, 15-17 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävä 14 palautetaan MyCourses-sivulle
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
LisätiedotVektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit
MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 27 Esimerkki: funktion
Lisätiedot= ( F dx F dy F dz).
17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
Lisätiedot4.3.7 Epäoleellinen integraali
Esimerkki 4.3.16. (Lineaarinen muuttujien vaihto) Olkoot A R m sellainen kompakti joukko, että A on nollajoukko. Olkoon M R m m säännöllinen matriisi (eli det(m) 0) ja f : R m R jatkuva funktio. Tehdään
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4).
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.12.2016 212 Suoran pisteitä ovat esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4). Vastaus esimerkiksi ( 5, 2), ( 2,1), (1, 0), (4, 1) ja ( 11, 4) 213 Merkitään pistettä
LisätiedotKuva 1: Tehtävä 1a. = 2π. 3 x3 1 )
BMA58 - Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 3, Kevät 6 = Kuva : Tehtävä a. a Slinterinkuorelle tässä h = ja r = ja kä läpi välin [,], joka johtaa lausekkeeseen: V = π 6 / 3 d 3 3 3 = 3 Kuva : Tehtävä
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi
LisätiedotTällaisessa tapauksessa on usein luontevaa samaistaa (u,v)-taso (x,y)-tason kanssa, jolloin tason parametriesitys on *** VEKTORIANALYYSI.
39 VEKTORIANALYYI Luento 6 5. Pinnat ja pintaintegraalit Pintojen parametriesitys. Aikaisemmin käsittelimme käyrän esittämistä parametrimuodossa. iihen riitti yksi reaalinen parametri (t), joka sai aroja
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 4 / versio 30. syyskuuta 2015 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali
LisätiedotDI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30
DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47
MS-A3/A5 Matriisilaskenta Malliratkaisut 4 / vko 47 Tehtävä 1 (L): Oletetaan, että AB = AC, kun B ja C ovat m n-matriiseja. a) Näytä, että jos A on kääntyvä, niin B = C. b) Seuraako yhtälöstä AB = AC yhtälö
LisätiedotTäydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä.
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 009 Integrointi n-ulotteisessa avaruudessa Täydennetään ja kerrataan Fitzpatrickin lukujen 18 ja 19 esitystä. Tasointegraali Tasointegraali f voidaan laskea kaksinkertaisena
LisätiedotPyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty
Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja
Lisätiedota) Lasketaan sähkökenttä pallon ulkopuolella
Jakso 2. Gaussin laki simerkki 2.1: Positiivinen varaus Q on jakautunut tasaisesti R-säteiseen palloon. Laske sähkökenttä pallon a) ulkopuolella ja b) sisäpuolella etäisyydellä r pallon keskipisteestä.
Lisätiedotx n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotDifferentiaalilaskennan tehtäviä
Differentiaalilaskennan tehtäviä DIFFERENTIAALILASKENTA 1. Raja-arvon käsite, derivaatta raja-arvona 1.1 Raja-arvo pisteessä 1.2 Derivaatan määritelmä 1.3 Derivaatta raja-arvona 2. Derivoimiskaavat 2.1
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 5 Tasointegraalin laskeminen iemmin tutkimme ylä- ja alasummien antamia arvioita tasointegraalille f (x, ydxdy. Tässä siis funktio f (x, y integroidaan muuttujien x
LisätiedotTehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1
Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla
LisätiedotMS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus
MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu
LisätiedotIntegrointi ja sovellukset
Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
Lisätiedotpeitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.
Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /
LisätiedotLUKU 10. Yhdensuuntaissiirto
LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin
LisätiedotTASON YHTÄLÖT. Tason esitystapoja ovat: vektoriyhtälö, parametriesitys (2 parametria), normaalimuotoinen yhtälö ja koordinaattiyhtälö.
TSON YHTÄLÖT VEKTORIT, M4 Jokainen seuraavista määrää avaruuden tason yksikäsitteisesti: - kolme tason pistettä, jotka eivät ole samalla suoralla, - yksi piste ja pisteen ulkopuolinen suora, - yksi piste
LisätiedotMATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit
MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R
Lisätiedoty 1 x l 1 1 Kuva 1: Momentti
BMA58 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Kevät 17 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Integraalit eivät tosin ole niin vaikeita etteikö niitä suurimmassa
LisätiedotA B = (1, q, q 2 ) (2, 0, 2) = 2 2q q 2 = 0 q 2 = 1 q = ±1 A(±1) = (1, ±1, 1) A(1) A( 1) = (1, 1, 1) (1, 1, 1) = A( 1) A(1) A( 1) = 1
Mapu I Viikko 4 tehtävä malli Millä q:n arvoilla vektori A(q) (, q, q ) on kohtisuora vektorin B (, 0, ) kanssa? Ovatko A:n eri ratkaisut keskenään kohtisuoria? Jos eivät, määrää niiden välinen kulma!
LisätiedotSisältö Sisältö 14.Useamman muuttujan funktioiden integrointi
Sisältö Sisältö 1 9.1 Lukujono.............................. 3 9.1 Suppeneminen ja raja-arvo................... 6 9.2 Sarjat................................ 9 9.3 Suppenemistestejä........................
Lisätiedot= + + = 4. Derivointi useammassa ulottuvuudessa
30 VEKTORIANALYYSI Lento 4 4. Derivointi seammassa lottvdessa Osittaisderivaatta. Kerrataan alksi osittaisderivaatan käsite. Fnktio f= f( r) = f( xyz,, ) on kolmen mttjan fnktio, jonka arvo yleensä mtt,
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 79 a) Kuvasta nähdään, että a = 3i + j. b) Kuvasta nähdään, että b = i 4 j. c) Käytetään a- ja b-kohtien tuloksia ja muokataan lauseketta. 5a b = 5(3i + j) ( i 4 j)
Lisätiedotz Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)
. Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.
Lisätiedot235. 236. 237. 238. 239. 240. 241. 8. Sovellutuksia. 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen. 8.2. Keskiö ja hitausmomentti
8. Sovellutuksia 8.1. Pinta-alan ja tilavuuden laskeminen 235. Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat pinnat z = xy, x = y 2, z = 0, x = 1. (Kappale sijaitsee oktantissa x 0, y 0, z 0.) 1/6. 236.
LisätiedotOsoita, että kaikki paraabelit ovat yhdenmuotoisia etsimällä skaalauskuvaus, joka vie paraabelin y = ax 2 paraabelille y = bx 2. VASTAUS: , b = 2 2
8. Geometriset kuvaukset 8.1. Euklidiset kuvaukset 344. Esitä muodossa x = Ax + b se avaruuden E 3 peilauskuvaus, jonka symmetriatasona on x 1 3x + x 3 = 6. A = 1 3 6 6 3, b = 1 1 18. 3 6 6 345. Tason
LisätiedotTodista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus. λ f = λ f,
7. Taso- ja avaruusintegraali 7.1. Tasointegraalin määrittely 205. Tarkastellaan funktiota f (x,y) = x+y neliössä {(x,y) 0 x 1, 0 y 1}. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0
Lisätiedot3 Määrätty integraali
Määrätty integraali. a) Muodostuva alue on kolmio, jonka kanta on. Kolmion korkeus on funktion arvo kohdassa, eli f() = = 6. Lasketaan A() kolmion pintaalana. 6 A() 6 Vastaus: A() = 6 b) Muodostuva alue
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotMS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot
MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
Lisätiedot2.3 Voiman jakaminen komponentteihin
Seuraavissa kappaleissa tarvitaan aina silloin tällöin taitoa jakaa voima komponentteihin sekä myös taitoa suorittaa sille vastakkainen operaatio eli voimien resultantin eli kokonaisvoiman laskeminen.
LisätiedotAalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016
Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on
LisätiedotMS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45
MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon
LisätiedotKartio ja pyramidi
Kartio ja pyramidi Kun avaruuden suora s liikkuu pitkin itseään leikkaamatonta tason T suljettua käyrää ja lisäksi kulkee tason T ulkopuolisen pisteen P kautta, suora s piirtää avaruuteen pinnan, jota
Lisätiedotedition). Luennot seuraavat tätä kirjaa, mutta eivät orjallisesti.
1 VEKTORIANALYYSI FYSA114 (3 op), kevät 2014 Luennoitsija: Jukka Maalampi Luennot: 53-55, ma 9-10 ja ke 12-14 Luentoja ei ole viikoilla 16 ja 17 eli 14 274 Harjoitusassistentti: Ville Kotimäki Laskuharjoitukset:
Lisätiedotkaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ
58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,
Lisätiedot1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti määritelty: a) Määritä vektori. sekä laske sen pituus.
Matematiikan kurssikoe, Maa4 Vektorit RATKAISUT Sievin lukio Keskiviikko 12.4.2017 VASTAA YHTEENSÄ VIITEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL JA LASKIN/LAS- KINOHJELMAT OVAT SALLITTUJA! 1. Olkoot vektorit a, b ja c seuraavasti
Lisätiedot0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan vastaan.
Tekijä Pitkä matematiikka 4 9.1.016 168 a) Lasketaan vektorien a ja b pistetulo. a b = (3i + 5 j) (7i 3 j) = 3 7 + 5 ( 3) = 1 15 = 6 Koska pistetulo a b 0, niin vektorit eivät ole kohtisuorassa toisiaan
Lisätiedot