Dierentiaalilaskennan käsitteistä

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Dierentiaalilaskennan käsitteistä"

Transkriptio

1 Dierentiaalilaskennan käsitteistä Ossi Pasanen 13. marraskuuta Funktio Funktio on matemaattinen käsite, joka kuvaa kahden alkion välistä riippuvuutta. Erityisesti, kun fysiikassa jonkin suureen y arvo riippuu yksikäsitteisesti jonkun toisen suureen x arvosta, sanotaan, että ensimmäinen suure on jälkimmäisen suureen funktio. 1.1 Funktion määritelmä Määritelmä Funktio f on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon x yksikäsitteisen joukon B alkion y, merkitään y = f(x). Alkiota x kutsutaan lähtöjoukkoon A kuuluvaksi riippumattomaksi muuttujaksi eli argumentiksi ja alkio y on kuvajoukkoon B kuuluva riippuva muuttuja eli funktion arvo kyseisellä x:n arvolla. Lähtöjoukosta käytetään myös nimitystä määrittelyjoukko (merkitään M f ) ja kuvajoukkoa kutsutaan arvojoukoksi (merkitään A f ). Funktion ilmaisemaa sääntöä kutsutaan toisinaan kuvaukseksi ja sitä voidaan merkitä f : x y. Funktion toimintaa voidaan ajatella prosessina, jossa funktion määräämä resepti muuntaa sisääntuloalkion ulostuloalkioksi. 2 Funktion raja-arvo 2.1 Matemaattinen käsite Funktion raja-arvo on peruskäsite, johon dierentiaalilaskenta perustuu. Epäformaalisti raja-arvo voidaan määritellä seuraavasti [1].

2 2 Määritelmä (epäformaali) Olkoon funktio f(x) määritelty pisteen x = x 0 ympäristössä. Jos funktion arvo f(x) lähestyy mielivaltaisen lähelle lukua L, kunhan x valitaan riittävän läheltä pistettä x 0, on funktion raja-arvo pisteessä x = x 0 yhtä kuin L. Merkitään: lim f(x) = L. x x 0 Usein tämä epäformaali määritelmä on matematiikan soveltajalle täysin riittävä, sillä raja-arvo on pohjakäsite, johon seuraavan tason käsitteet perustuvat, mutta raja-arvoa ei sellaisenaan juuri tarvita sovelluksissa. Määritelmässä esiintyy kuitenkin kaksi salakavalaa ilmaisua: lähestyy mielivaltaisen lähelle ja valitaan riittävän läheltä, joiden matemaattinen merkitys on tarpeen täsmentää. Formaalisti raja-arvo määritellään seuraavasti [4, 1]. Määritelmä (formaali) Funktion f(x) raja-arvo pisteessä x 0 on L, merkitään lim x x0 f(x) = L, jos kaikille luvuille ɛ > 0 on olemassa jokin sellainen luku δ ɛ > 0 siten, että ehdon 0 < x x 0 < δ ɛ toteuttavilla x:n arvoilla pätee f(x) L < ɛ. Mielivaltaisen lähellä ja riittävän lähellä tarkoittavat näitä kahta lukua ɛ ja δ ɛ. Koska reaaliluvut täyttävät lukusuoran aukottomasti [1], on matemaattisesta näkökulmasta täysin mielekästä valita luku avoimelta väliltä ]0, [ vaikka miten läheltä nollaa. Tarkastellaan määritelmää seuraavaksi fysikaalisesta näkökulmasta. 2.2 Fysikaalinen näkökulma Olkoon tarkasteltavana kahden fysikaalisen suureen x ja y välistä riippuvuutta kuvaava funktio f eli y = f(x). Tällöin funktion f raja-arvolla pisteessä x 0 tarkoitetaan sitä suureen y arvoa, jota f(x) lähestyy mielivaltaisen lähelle, kun suureen x arvo valitaan riittävän läheltä arvoa x 0, kuitenkin niin, että erotus x x 0 on dimensiollisten lukuarvojen 0 ja δ ɛ välissä, 0 < x x 0 < δ ɛ. Määritelmä siis olettaa, että kahden mittauksen välinen erotus voisi olla miten pieni tahansa olematta kuitenkaan nolla. Tämä on fysikaalisesti mieletön ajatus. Yhtäältä absoluuttisen tarkat mittaukset ovat fysikaalisesti mahdottomia. Toisaalta tutkimus on paljastanut, että pienessä mittakaavassa luonto näyttäytyy mittauksissa epäjatkuvana eli suureiden arvot ovat kvantittuneet. Mitattavissa olevat suureiden arvot eivät siis täytä lukusuoraa samalla tavalla aukottomasti kuin reaaliluvut. [2]

3 3. Funktion derivaatta 3 Fysikaalisten ilmiöiden mallintamiseen käytetyt matemaattiset mallit sisältävät siten jatkuvuuden idealisaation, jolle ei ole fysikaalista vastinetta. Mallin hyvyys riippuukin siitä, voidaanko empiirisesti rajallisen kokoiset erotukset ɛ ja δ ɛ valita tarkasteltavassa systeemissä niin pieniksi, että tulos on mittaustarkkuuden rajoissa sama kuin matemaattista määritelmää käytettäessä [2]. 3 Funktion derivaatta Luonnonilmiöitä tutkittaessa tarkkaillaan, millaista tutkittavien suureiden muutos on. Tarkastellaan mitattavaa suuretta edustavan funktion f(x) arvoja kahdella argumentin arvolla x 0 ja x 1. Tällöin suureen f(x) absoluuttinen muutos f(x) tilanteessa, jossa x muuttuu arvosta x 0 arvoon x 1, määritellään näitä vastaavien funktion arvojen erotuksena f(x) = f(x 1 ) f(x 0 ). Absoluuttinen muutos liittyy aina valittuun tarkastelun alkupisteeseen x 0 ja argumentin absoluuttiseen muutokseen x = x 1 x 0 ja se voidaan kirjoittaa muodossa f(x) = f(x 0 + x) f(x 0 ). (1) Paremmin vertailukelpoinen funktion muutoksen mitta on absoluuttisen muutoksen sijaan funktion arvon suhteellinen muutos argumentin muutokseen nähden. Tätä suhteellisen muutoksen lauseketta kutsutaan myös erotusosamääräksi f(x) x = f(x 0 + x) f(x 0 ). (2) x Suhteellinen muutos kuvaa funktion arvon keskimääräistä muutosnopeutta argumentin muutoksen suhteen välillä x 0... x Derivaatta tietyssä pisteessä Funktion derivaatta pisteessä x = x 0 määritellään erotusosamäärän (2) rajaarvona, kun argumentin muutos x lähestyy nollaa. Määritelmä Funktion f(x) derivaatta kohdassa x = x 0 on df dx = lim x=x0 x 0 f x = lim f(x 0 + x) f(x 0 ) x 0 x (3) Graasesti funktion suhteellinen muutos vastaa funktion kuvaajalle pisteiden (x 0, f(x 0 )) ja (x 1, f(x 1 )) kautta piirretyn sekantin kulmakerrointa ja funk-

4 4 y y=f(x) f(x 0 ) sekantti f(x 1 ) x 0 tangentti x 1 x Kuva 1: Funktion f(x) keskimääräinen muutosnopeus argumentin x muutokseen nähden vastaa sekantin kulmakerrointa. Hetkellinen muutosnopeus eli derivaatta vastaa graasesti kuvaajalle piirretyn tangentin kulmakerrointa. tion derivaatta vastaa funktion kuvaajan tangentin kulmakerrointa pisteessä (x 0, f(x 0 )). Tätä on havainnollistettu kuvassa Derivaattafunktio Edellä annettu lauseke määrittelee derivaatan tietyssä tarkastelupisteessä. Derivaatan määritelmä siis liittää tiettyyn funktion määrittelyjoukon pisteeseen a M f lukuarvon df dx. Jos derivaatta on määritelty kaikissa määrittelyjoukon pisteissä, muodostuu näistä derivaatan arvoista funktio määrittely- x=a joukolta M f derivaatan lukuarvojen joukolle A derivaatta. Tätä funktiota kutsutaan derivaattafunktioksi ja merkitsemme sitä pilkulla alkuperäisen funktion nimen perässä f. Siispä derivaattafunktion arvo tietyssä yksittäisessä pisteessä x 0 vastaa funktion derivaatan arvoa kyseisessä pisteessä ja voidaan merkitä f (x 0 ) = df dx. Derivaattafunktiolle käytetään myös merkintää Df(x), jossa x=x0 derivointimerkki D on käsky suorittaa derivointi perään kirjoitetulle funktiolle. 1 1 D-merkistä käytetään myös nimitystä derivointioperaattori.

5 3.3 Fysikaalinen merkitys Fysikaalinen merkitys Tyypillinen tutkittava ilmiö fysiikassa on suureen aikariippuvuuden määrittäminen. Tällöin tutkittavan suureen arvoa mitataan eri ajan hetkillä valittuun alkuhetkeen nähden. Tarkasteltaessa samanpituisia aikavälejä, saattaa suureen arvon muutos olla eri suuruinen eri mittauksissa. Tällöin suureen keskimääräinen muutosnopeus ajan suhteen on ollut erilainen eri mittausväleillä. Kun aikaväliä lyhennetään lähestytään hetkellisen muutosnopeuden eli suureen aikaderivaatan käsitettä. Mittaustekniikka asettaa käytännön rajoituksia, miten lyhyt kahden mittauksen aikaväli voi käytännössä olla. Empiiriseltä kannalta derivaatta voidaan siten tulkita kahden toisistaan riippuvan suureen absoluuttista muutosta kuvaavien ns. dierentiaalien osamääränä. Dierentiaali on fysiikassa tärkeä käsite ja sillä tarkoitetaan hyvin pientä mitattavissa olevaa suureen muutosta. Muutoksen pienuuden korostamiseksi käytetään tavallisen -merkinnän sijasta d -kirjainta suurenimen edessä. Kun esimerkiksi suureen s muutos s on hyvin pieni, voidaan merkitä ds = s. Jos esimerkiksi kappaleen paikasta tehdään kaksi peräkkäistä mittausta lyhyen aikavälin dt aikana ja havaitaan paikan muuttuneen näiden mittausten välillä määrällä ds, voidaan kappaleen hetkellistä nopeutta mittausten aikana approksimoida lausekkeella v ds dt. (4) Mitä pienemmäksi aikaväli saadaan, sitä paremmin oikealla oleva osamäärä vastaa kappaleen hetkellistä nopeutta Derivaattamerkinnöistä Derivaatan eri merkintätavat heijastelevat erilaisia näkökulmia käsitteeseen. Dierentiaalimerkinnän df voidaan nähdä heijastelevan derivaatan operationaalista puolta: derivaatan määrittämiseksi funktiolle on tehtävä jotain. dx Pilkkumerkintä f (x) puolestaan esittää derivaatan rakenteellisena käsitteenä. Derivaatta on ruumiillistunut objektiksi: Jos f on funktio, niin f on sen derivaatta. Derivaatan merkitsemisessä dierentiaaliosamääränä on etu, että se korostaa empiiristä puolta. Kullakin dierentiaalilla on emosuureensa dimensio. Tällöin dierentiaaliosamäärän dimensio on sama kuin kyseisten emosuureiden 2 Käytännössä tilanne ei tosin ole näin yksinkertainen, sillä aikaväliä pienennettäessä mittausten suhteellinen virhe kasvaa, mikä vääristää nopeudelle saatavaa laskettua arvoa.

6 6 osamäärän dimensio. Tämä on välittömästi nähtävissä derivaatan dierentiaalimuotoisesta merkinnästä. Pilkku- ja D-merkinnässä derivaatan dimensiot eivät ole suoraan näkyvissä. Toinen etu dierentiaalimerkinnästä on, että sen avulla kirjoitettu derivaatta antaa suoran mittausreseptin derivaatan numeerisen arvon laskemiseksi. 4 Osittaisderivaatta Usean muuttujan funktion arvo voi muuttua minkä tahansa muuttujan muuttuessa. Tällaisen funktion riippuvuutta yksittäisestä muuttujasta kuvataan osittaisderivaatoilla kyseisen muuttujan suhteen kaikkien muiden muuttujien pysyessä muuttumattomina. Kyseessä on yhden muuttujan funktion derivaatan käsitteen laajennus. Määritelmä Usean muuttujan funktion g(x 1, x 2,..., x n ) osittaisderivaatta muuttujan x i suhteen pisteessä (x 1, x 2,..., x n ) on g x i = lim (x1,x 2,...,x n) x 0 g(x 1, x 2,..., x i + x,..., x n ) g(x 1, x 2,..., x n ). x (5) Osittaisderivaatan käsitteessä on siis mukana sama raja-arvon avulla määritelty rajankäyntiprosessi kuin tavallisessa yhden muuttujan derivaatassakin. Pidetään vain huolta siitä, että useista muuttujista tutkitaan aina yhden muuttujan muutosta kerrallaan. Funktion g osittaisderivaattaa muuttujan x i suhteen merkitään usein lyhyesti i g. 4.1 Fysikaalinen merkitys Monissa fysikaalisissa ilmiöissä tutkittava suure riippuu useamman kuin yhden suureen arvosta. Sopivasti suunnitellussa koetilanteessa saattaa kuitenkin olla mahdollista rajoittaa tutkittavaa ilmiötä siten, että riippuvuutta määritettäessä muutellaan vain yhtä suuretta kerrallaan. Tällöin tilanne vastaa efektiivisesti edellä tarkasteltua yhdestä muuttujasta riippuvaa tapausta. Osittaisderivaatan symbolisessa esityksessä esiintyvien g ja x merkintöjen empiirinen tulkinta dierentiaaleina on hyvin samanlainen kuin edellä käsiteltyjen yhden muuttujan tapauksessa. Dierentiaali g kuvaa suureen g pientä muutosta silloin, kun muuttuja x muuttuu pienellä määrällä x muiden g:n arvoon

7 5. Nablaoperaattori 7 Kuva 2: Maaston korkeusproili h(x, y). Osittaisderivaatta eri koordinaattien suhteen kertoo maaston jyrkkyyden kyseisen koordinaatin suuntaisessa siirtymässä. vaikuttavien muuttujien pysyessä muuttumattomina. Maantieteellisgeometrisenä esimerkkinä tarkasteltavana voi olla esimerkiksi kaksiulotteisessa tasossa määritelty maaston korkeusproili h(x, y), joka kertoo maaston korkeuden pisteessä (x, y) merenpinnasta mitattuna (kuva 2). Osittaisderivaatan h(x,y) geometrinen merkitys on nyt maaston jyrkkyys liikuttaessa x-akselin suunnassa eli pinnalle piirretyn x-akselin suuntaisen x tangenttisuoran kulmakerroin. Osittaisderivaatta y-akselin suhteen on vastaava jyrkkyys y-akselin suuntaisessa siirtymässä. 5 Nablaoperaattori Monen muuttujan dierentiaalilaskennassa usein vastaantulevat derivaatat voidaan kirjoittaa yksinkertaisessa helposti käsiteltävässä symbolisessa muodossa ns. nablaoperaattorin (symboli ) avulla. Operaattori on vektorimuotoinen kokoelma edellä määritellyistä osittaisderivaattaoperaattoreista x i, missä indeksi i viittaa koordinaattiakselin järjestysnumeroon avaruudessa, jonka kanta on {ê 1, ê 2,..., ê n }. Nablaoperaattorin määritelmä on ( = ê 1 ) + ê ê n, (6) x 1 x 2 x n missä ê i tarkoittaa koordinaattiakselin x i suuntaista yksikkövektoria. Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatistossa nabla on ( = i x + j y + k ), (7) z

8 8 standardikantavektoreiden {i, j, k} avulla lausuttuna. Koska nabla on muodoltaan vektori, voidaan sillä operoida sekä skalaari- että vektorifunktioihin muodollisesti eri kertolaskutoimitusten avulla. 3-ulotteisessa avaruudessa nablan avulla määriteltävät peruslaskutoimitukset ovat [5] gradientti h, (8) divergenssi F, (9) roottori F, (10) missä h on skalaarifunktio ja F vektorifunktio kolmiulotteisessa avaruudessa. Tässä tutkielmassa keskitymme vain divergenssiin ja roottoriin 2- tai 3- ulotteisessa avaruudessa. Koska kyse on vektorimuotoisten funktioiden dierentiaalilaskennasta eli analyysistä, käytetään tästä aihepiiristä myös kompaktia nimitystä vektorianalyysi. 6 Divergenssin fysikaalinen tulkinta Vektorifunktion F(x, y, z) divergenssi eli lähteisyys F = F x x + F y y + F z z (11) on muodoltaan skalaarisuure. Kyseessä on muodollisesti kahden vektorin pistetulo eikä lausekkeen arvo riipu koordinaatiston valinnasta. Divergenssillä on sama tulkinta sekä kahdessa että kolmessa ulottuvuudessa. Olkoon v(x, y, z) nesteen virtausnopeus. Tällöin divergenssin v arvo pisteessä (x, y, z) tarkoittaa nettovuota tilavuusyksikköä kohti eli vuon tiheyttä tarkasteltavassa pisteessä [6]. Jos divergenssi on positiivinen, on tarkastelupisteessä lähde ja virtaus ulos on suurempi kuin sisään eli pisteestä pulppuaa nestettä ulos tai neste laajenee tarkastelupisteessä. Jos taas vuo on negatiivinen, on kyseessä nielu ja piste imee nestettä sisäänsä tai neste puristuu kokoon. Kun divergenssi on nolla, on kenttä tarkastelupisteessä lähteetön. Piste tulee tässä ymmärtää fysikaalisessa mielessä dierentiaalisena tilavuusalkiona. Toinen tyypillinen fysikaalinen esimerkki lähteisyydestä on Maxwellin I laki, joka voidaan esittää muodossa D(r) = ρ(r). (12) Laki kertoo varaustiheyden toimivan sähkövuon tiheyden lähteisyytenä [3].

9 7. Roottorin fysikaalinen tulkinta 9 7 Roottorin fysikaalinen tulkinta Vektorifunktion F(x, y, z) roottori eli pyörteisyys i j k F = x y z = i( y F z z F y ) j( x F z z F x )+k( x F y y F x ). (13) F x F y F z on muodoltaan vektorisuure. Lauseke on muodollisesti kahden vektorin vektoritulo. Tämäkään lauseke ei riipu käytetystä koordinaatistosta. Roottoria voidaan käsitellä myös kaksiulotteisena versiona rajoittamalla tarkasteltava vektorikenttä tasoon. Esimerkiksi xy-tasossa roottori on muotoa F = k( x F y y F x ) (14) Myös roottorin fysikaalinen tulkinta voidaan esittää nestevirtauksen avulla. Jos pyörteiseen nestevirtaukseen asetetaan pieni testipallo, se lähtee pyörimään. Pyörteisyysvektorin suunta määräytyy ns. oikean käden säännöllä 3 pallon pyörimisakselista ja kiertosuunnasta. Pyörteisyysvektorin pituus kuvaa pyörteisyyden voimakkuutta ja se on verrannollinen testipallon pyörimisnopeuteen. Pyörteisyysvektori vastaa siten fysikaalisesti kerrointa vaille testipallon kulmanopeusvektoria. Jos testipallo pyörii, esiintyy kyseisessä mittauspisteessä pyörteisyyttä ja pyörteisyysvektorin pituus on suurempi kuin nolla. Rajatapauksessa, jossa testipallo pysyy paikallaan eli F = 0, sanotaan kenttää pyörteettömäksi. Koska pyörteisyys on vektorisuure, ei sen sijaan ole oikein puhua positiivisesta tai negatiivisesta pyörteisyydestä muutoin kuin 2-ulotteisen tarkastelun tapauksessa. Kaksiulotteisessa tilanteessa testipallo voidaan korvata siipirattaalla [6]. Pyörteisyysakseli on kaiken aikaa kohtisuorassa tarkastelutasoa vastaan, joten pyörteisyysvektorin suunnalla on vain kaksi vastakkaista vaihtoehtoa. Toinen näistä vektorisuunnista voidaan valita positiiviseksi suunnaksi, joka kiinnittää samalla oikean käden säännön mukaisesti positiivisen kiertosuunnan tasossa. Tai jos tehdään ensin valinta positiivisesta kiertosuunnasta tasossa, määrää tämä valinta oikeakätisyyssännöllä pyörteisyysvektorin positiivisen suunnan. Kuvassa 3 on esitetty siipirattaan pyörimissuunnan ja pyörteisyysvektorin välinen yhteys oikean käden säännön mukaisesti. 3 Kun oikean käden sormet etusormesta pikkurilliin asetetaan kaarelle osoittamaan pallon kiertosuuntaa niin pyörimisakselin suuntaisesti pystyyn nostettu peukalo määrää pyörteisyysvektorin suunnan.

10 10 VIITTEET Kuva 3: Tasoon rajoittuneessa kaksiulotteisessa virtauskentässä pyörteisyyden detektorina voidaan käyttää siipiratasta. Pyörteisyysvektorin suunta määräytyy rattaan kiertosuunnasta oikean käden säännön mukaisesti. Toinen tyypillinen fysikaalinen esimerkki pyörteisyydestä on Maxwellin IV lain staattinen osa, joka voidaan esittää muodossa H(r) = J(r), (15) missä H on magneettikentän voimakkuus ja J on virrantiheys tarkastelupisteessä. Laki kertoo, että stationaarinen virtajakauma synnyttää ympärilleen pyörteisen magneettikentän. Magneettivuon tiheyden pyörteisyys tarkastelupisteessä on yhtä suuri kuin virrantiheys [3]. Virrantiheysvektori määrää siis pyörteisyysakselin. Viitteet [1] Adams, R. A. Calculus: a complete course, 5th ed. Addison Wesley, [2] Kurki-Suonio, K., and Kurki-Suonio, R. Fysiikan merkitykset ja rakenteet. Limes ry, [3] Kurki-Suonio, K., and Kurki-Suonio, R. Vuorovaikutuksista kenttiin - sähkömagnetismin perusteet. Limes ry, 1999.

11 VIITTEET 11 [4] Lahtinen, A., and Pehkonen, E. Matematiikkaa soveltajille: peruskurssi korkeakouluja varten, osa 1. Kirjayhtymä, [5] Lahtinen, A., and Pehkonen, E. Matematiikkaa soveltajille: peruskurssi korkeakouluja varten, osa 2. Kirjayhtymä, [6] Weir, M. D., et al. Thomas' Calculus. Pearson Addison-Wesley, 2008.

Opiskelijoiden käsityksiä divergenssistä ja roottorista

Opiskelijoiden käsityksiä divergenssistä ja roottorista Laudaturtutkielma Fysiikan opettajan suuntautumisvaihtoehto Opiskelijoiden käsityksiä divergenssistä ja roottorista Ossi Pasanen 2008 Ohjaaja: Tarkastajat: Heimo Saarikko Heimo Saarikko Kaarle Kurki-Suonio

Lisätiedot

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.

Derivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella. Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 3 / versio 23. syyskuuta 2015 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Koordinaatistot Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Koordinaattimuunnokset Nablaoperaatiot

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

F x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään

F x y z. F voidaan ymmärtää kahden vektorin. Divergenssi. Vektorikentän F( x, y, z ) divergenssi määritellään 31 VEKTORIANALYYSI Luento 5 Divergenssi F Vektorikentän F(, y, z ) divergenssi määritellään F F F y z y F z. Divergenssistä käytetään usein myös merkintää div, Divergenssi pistetulona, F div F. F voidaan

Lisätiedot

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)

ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä

Lisätiedot

Empiirinen näkökulma divergenssin ja roottorin käsitteiden opetuksessa

Empiirinen näkökulma divergenssin ja roottorin käsitteiden opetuksessa Lisensiaatintutkimus Fysiikka Empiirinen näkökulma divergenssin ja roottorin käsitteiden opetuksessa Ossi Pasanen 2009 Ohjaaja: Tarkastajat: prof. Heimo Saarikko prof. Jukka Maalampi prof. Heimo Saarikko

Lisätiedot

5. Numeerisesta derivoinnista

5. Numeerisesta derivoinnista Funktion derivaatta ilmaisee riippumattoman muuttujan muutosnopeuden riippuvan muuttujan suteen. Esimerkiksi paikan derivaatta ajan suteen (paikan ensimmäinen aikaderivaatta) on nopeus, joka ilmaistaan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Funktion derivoituvuus pisteessä

Funktion derivoituvuus pisteessä Esimerkki A Esimerkki A Esimerkki B Esimerkki B Esimerkki C Esimerkki C Esimerkki 4.0 Ratkaisu (/) Ratkaisu (/) Mielikuva: Funktio f on derivoituva x = a, jos sen kuvaaja (xy-tasossa) pisteen (a, f(a))

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä

Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Matemaattinen lisäys A. Derivaatta matematiikassa ja taloustieteessä Edellä rajakustannuksia MC(x) ja rajahyötyä MB(x) tarkasteltaessa käsiteltiin vain tapausta, jossa x on diskreetti suure (mahdollisia

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Yhteenveto, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1

BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 BM20A0300, Matematiikka KoTiB1 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Robert A. Adams: Calculus, A Complete Course Luku 12 Luku 13 Luku 14.1 Tarvittava materiaali (luentokalvot, laskuharjoitustehtävät ja

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 1 Suunnattu derivaatta Aluksi tarkastelemme vektoreita, koska ymmärrys vektoreista helpottaa alla olevien asioiden omaksumista. Kun liikutaan tasossa eli avaruudessa

Lisätiedot

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia

2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2 Osittaisderivaattojen sovelluksia 2.1 Ääriarvot Yhden muuttujan funktiolla f(x) on lokaali maksimiarvo (lokaali minimiarvo) pisteessä a, jos f(x) f(a) (f(x) f(a)) kaikilla x:n arvoilla riittävän lähellä

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.

Vektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )

Injektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Oulun yliopisto Fysiikan opetuslaboratorio Fysiikan laboratoriotyöt 1 1 LIITE 1 VIRHEEN RVIOINNIST Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 7: Pintaintegraali ja vuointegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Mikä on pinta?

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Vesanen MS-A0205/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2017 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

Joukot. Georg Cantor ( )

Joukot. Georg Cantor ( ) Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista

Lisätiedot

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)

b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p) Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) Luento 2: Usean muuttujan funktiot Harri Hakula Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2018 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Syksy 2016 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia Ajankohtaista Presemokyselyn poimintoja Millä odotuksilla aloitat

Lisätiedot

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT

VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT 1/32 2 VEKTORIKENTÄN ROTAATIO JA DIVERGENSSI, MAXWELLIN YHTÄLÖT Kenttäilmiöt Sähkö- ja magneettikentät Vaikeasti havaittavissa ihmisen aistein!

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustulokset ovat aina todellisten luonnonvakioiden ja tutkimuskohdetta kuvaavien suureiden likiarvoja, vaikka mittauslaite olisi miten

Lisätiedot

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa

9. Vektorit. 9.1 Skalaarit ja vektorit. 9.2 Vektorit tasossa 9. Vektorit 9.1 Skalaarit ja vektorit Skalaari on koon tai määrän mitta. Tyypillinen esimerkki skalaarista on massa. Lukumäärä on toinen hyvä esimerkki skalaarista. Vektorilla on taas suuruus ja suunta.

Lisätiedot

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi

Viikon aiheet. Funktion lineaarinen approksimointi Viikon aiheet Funktion ääriarvot Funktion lineaarinen approksimointi Vektorit, merkintätavat, pituus, yksikkövektori, skalaarilla kertominen, kanta ja kannan vaihto Funktion ääriarvot 6 Väliarvolause Implisiittinen

Lisätiedot

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa

12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12. Derivointioperaattoreista geometrisissa avaruuksissa 12.1. Gradientti, divergenssi ja roottori 328. Laske u, kun u on vektorikenttä a) (z y)i + (x z)j + (y x)k, b) e xyz (i + xlnyj + x 2 zk), c) (x

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Mikro- ja nanotekniikan laitos Syksy 2016 1 / 21 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA

LIITE 1 VIRHEEN ARVIOINNISTA 1 Mihin tarvitset virheen arviointia? Mittaustuloksiin sisältyy aina virhettä, vaikka mittauslaite olisi miten uudenaikainen tai kallis tahansa ja mittaaja olisi alansa huippututkija Tästä johtuen mittaustuloksista

Lisätiedot

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U

Oletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan

Lisätiedot

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)

Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista

Lisätiedot

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut

Koordinaatistot 1/6 Sisältö ESITIEDOT: reaaliluvut Koordinaatistot 1/6 Sisältö Koordinaatiston ja koordinaattien käsite Geometrisissa tehtävissä ja siten mös monissa kätännön ongelmissa on usein tarpeen ilmoittaa pisteiden sijainti jonkin kiinteän vertailussteemin

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2

sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 2 Ratkaisuedotukset 2.1. Tutki funktion g : R 2 R, g(0, 0) = 0, jatkuvuutta. g(x, y) = sin(x2 + y 2 ) x 2 + y 2, kun (x,

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Laskuharjoitus 4A (Vastaukset) alkuviikolla

Lisätiedot

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x

jakokulmassa x 4 x 8 x 3x Laudatur MAA ratkaisut kertausarjoituksiin. Polynomifunktion nollakodat 6 + 7. Suoritetaan jakolasku jakokulmassa 5 4 + + 4 8 6 6 5 4 + 0 + 0 + 0 + 0+ 6 5 ± 5 5 4 ± 4 4 ± 4 4 ± 4 8 8 ± 8 6 6 + ± 6 Vastaus:

Lisätiedot

Yhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!)

Yhdistetty funktio. Älä sekoita arvo- eli kuvajoukkoa maalijoukkoon! (wikipedian ongelma!) Yhdistetty unktio TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Määritelmä, yhdistetty unktio: Funktioiden ja g yhdistetty unktio g (luetaan g pallo ) määritellään yhtälöllä g g. Funktio g on ns. ulkounktio ja sisäunktio.

Lisätiedot

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi

Sivu 1 / 8. A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste. Olli Kauppi Sivu 1 / 8 A31C00100 Mikrotaloustieteen perusteet: matematiikan tukimoniste Olli Kauppi Monisteen ensimmäinen luku käsittelee derivointia hieman yleisemmästä näkökulmasta. Monisteen lopussa on kurssilla

Lisätiedot

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2

Kuva 1: Funktion f tasa-arvokäyriä. Ratkaisu. Suurin kasvunopeus on gradientin suuntaan. 6x 0,2 HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon f : R R f(x 1, x ) = x 1 + x Olkoon C R. Määritä tasa-arvojoukko Sf(C) = {(x 1, x

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla

Muutoksen arviointi differentiaalin avulla Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen

Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Positiivitermisten sarjojen suppeneminen Jono (b n ) n= on kasvava, jos b n+ b n kaikilla n =, 2,... Lemma Jokainen ylhäältä rajoitettu kasvava jono (b n ) n= raja-arvo on lim n b n = sup n Z+ b n. suppenee

Lisätiedot

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme

KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 2. luento 10.11.2017 Keinotekoiset neuroverkot Neuroverkko koostuu syöte- ja ulostulokerroksesta

Lisätiedot

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op)

ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Yliopistonlehtori, tkt Sami Kujala Elektroniikan ja nanotekniikan laitos (ELE) Syksy 2017 Luento 2: Kertausta ja johdantoa Suoraviivainen liike Jumppaa Harjoituksia ja oivalluksia

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto Viime luennoilla Derivointisääntöjä eri funktiotyypeille: Polynomifunktio Potenssifunktio Eksponenttifunktio

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

= ( F dx F dy F dz).

= ( F dx F dy F dz). 17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin

Lisätiedot

Kuinka määritellään 2 3?

Kuinka määritellään 2 3? Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.

Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. 5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia

4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia 23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 1 1 Joukko-oppia Matematiikassa joukko on mikä tahansa kokoelma objekteja. Esimerkiksi joukkoa A, jonka jäseniä ovat numerot 1, 2 ja 5 merkitään A = {1, 2, 5}. Joukon

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.

Tekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta

Talousmatematiikan perusteet: Luento 6. Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Talousmatematiikan perusteet: Luento 6 Derivaatta ja derivaattafunktio Derivointisääntöjä Ääriarvot ja toinen derivaatta Motivointi Funktion arvojen lisäksi on usein kiinnostavaa tietää jotakin funktion

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016

Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos. MS-A0203 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 2016 Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Malinen/Ojalammi MS-A23 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2, kevät 216 Laskuharjoitus 2A (Vastaukset) Alkuviikolla

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012

763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 2012 763101P FYSIIKAN MATEMATIIKKAA Seppo Alanko Oulun yliopisto Fysiikan laitos Syksy 01 1 Sisältö: 1 Differentiaalilaskentaa Integraalilaskentaa 3 Vektorit 4 Potenssisarjoja 5 Kompleksiluvut 6 Differentiaaliyhtälöistä

Lisätiedot

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit

Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero

Lisätiedot

Y ja

Y ja 1 Funktiot ja raja-arvot Y100 27.10.2008 ja 29.10.2008 Aki Hagelin aki.hagelin@helsinki.fi Department of Psychology / Cognitive Science University of Helsinki 2 Funktiot (Lue Häsä & Kortesharju sivut 4-9)

Lisätiedot

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ

kaikki ( r, θ )-avaruuden pisteet (0, θ ) - oli θ 58 VEKTORIANALYYSI Luento 9 Ortogonaaliset käyräviivaiset koordinaatistot Olemme jo monta kertaa esittäneet karteesiset x, y ja z koordinaatit uusia koordinaatteja käyttäen: x= xuvw (,, ), y= yuvw (,,

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 5 Maanantai 30.11.015 1. (Opiskelutet. 0 s. 81.) Selvitä, miten lauseke sin(4x 3 + cos x ) muodostuu perusfunktioista (polynomeista, trigonometrisistä funktioista jne).

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot