SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017

Transkriptio

1 SÄHKÖMAGNETISMI: kevät 2017 Viikko Aihe kirjan luku Viikko 1 Sähköken>ä, pistevaraukset 14 Viikko 2 Varausjakauman sähköken>ä 16 Viikko 2 Sähköinen poteniaalienergia ja poteniaali 17 Viikko 3 Sähköken>ä ja aine 15 Viikko 3 MagneeNken>ä 18 Viikko 4 Kertausta Viikko 5 Sähköken>ä johimissa, 19 Viikko 5 sähköiset piirit, komponenit 20 Viikko 6 MagneeNnen voima 21 Viikko 7 Viikko 8 Kertausta tenn

2 KERTAUSTA VIIME VIIKOLTA Sähkö, ken>ä, Coulombin laki, superposiioperiaate Pistevarauksen sähköken>ä. Miten määrität ei origossa sijaitsevalle varaukselle? Mikä on dipoli ja miksi se on niin tärkeä? Miten sähköken>ä vaiku>aa dipoliin? Symmetria laskuissa Mikä oli pistevarauksen sähkökentän etäisyysriippuvuus? Pistevaraus (0 D), sille saaiin käänteisen neliönlaki r 2 E = 1 4πε 0 q r 2 ˆr

3 KYSYMYS: Pisteessä P sähköken>ä 1) Nolla 2) Osoi>aa vasemmalle 3) Osoi>aa ylös 4) Osoi>aa oikealle 5) Muu vastaus 6) En osaa sanoa

4 DIPOLIN KENTTÄ YLEISESTI E(r) = q " $ 4πε $ 0 # r r d r r r r d 3 r r 3 % ' ' & E(r) r r ' r y r ' q d q r ' d 1 E(r) = # 4πε 0 r 3 p ˆr 3 $ ( ) ˆr p % & p = qd, x Huom. Laskuharjoitus 1 Tehtävän 5 tulokset voitaisiin laskea myös tästä yleisestä tuloksesta suoraan

5 VARAUSJAKAUMAN SÄHKÖKENTTÄ: TAVOITTEET Oppia integroimaan Ie>yjen symmetristen varaus jakautumien sähköken>ä (vain osalle analyynset lausekkeet) Approksimoinnin jalo taito Kurssilla sähkökentän yms. tarkkaa lauseke>a tarkastellaan monesi myös likimääräisesi esim. tapauksissa joissa ollaan hyvin lähellä tai hyvin kaukana varauksista. Tällöin lauseke kehitetään potenssisarjaksi jossa tyypillisesi säilytetään vain ensimmäinen nollasta eroava termi. MUISTA DIPOLIAPPROKSIMAATIO!! Havaitaan miten varausjakauman dimensio vaiku>aa sähkökentän etäisyysriippuvuuteen

6 VARAUSJAKAUMAN SÄHKÖKENTTÄ: PERIAATE 1) Joukko pistevarauksia SuperposiIo! à summataan kaikkien varausten kentät 2) Jatkuva varausjakauma Jaetaan infinitesimaalisiin pieniin alkioihin lasketaan kunkin alkion aiheu>ama ken>ä tarkastelupisteessä kokonaisken>ä tarkastelupisteessä saadaan integroimalla yhteen kaikkien alkioiden kentät

7 VARAUSJAKAUMAN SÄHKÖKENTTÄ: PERIAATE Varausalkion sähköken>ä vektori! de = 4 1 πε dq r 2 rˆ, pieni varausalkio etäisyys tarkastelupisteeseen varausalkiosta dq E = de à E = de à E = 1 4πε 0 varausjakauma dq r 2 ˆr

8 LINEAARINEN VARAUSTIHEYS Tarkastellaan hyvin ohu>a (1D) sauvaa, jonka kokonais varaus on Q ja pituus L. Sauvan keskimääräinen lineaarinen varausiheys λ=q/l L ΔL varaus tällä pienellä pätkällä ΔL on ΔQ=λΔL. Oletetaan, e>ä varaus voi muu>ua sauvassa (q=q(x)) à lineaarinen varausiheys voidaan määritellä λ=dq/dx

9 PINTAVARAUSTIHEYS (VARAUSKATE) VastaavasI voidaan määritellään pinnan keskimääräinen varausiheys σ=q/a varaus tällä alueella ΔQ on ΔQ=σΔA. pinta ala A pintavarausiheys voidaan siis määritellä yleisesi σ=dq/da IlavuusvarausIheys: ρ=q/v tai ρ=dq/dv Mitkä ovat näiden yksiköt?

10 Laskarit 2, Tehtävä 1 Ohuen muovisen pallonkuoren säde on 15 cm, sen ulko pinnalla on tasainen pintavaraus 8 nc. SähköisesI neutraali johdekappale tuodaan 10 cm etäisyydelle sen pinnasta kuvan mukaisesi. Piirrä kuva. Hahmo>ele a) varausjakauma johdekappaleessa b) Piirrä johdekappaleen aiheu>aman sähkökentän voimakkuusvektori E johdekappaleen keskipisteessä ja c) laske kuinka suuri piirtämäsi E on. Vihje: Pohdi miten varaukset pääsevät liikkumaan vapaasi johdesauvassa. Miten pallokuoren sähköken>ä voiiin approksimoida?

11 OHUEN ERISTESAUVAN KENTTÄ* Mikä on sähköken5ävektori pisteessä P, joka sijaitsee etäisyydellä R koh:suoras: sauvan akselista? Lasketaan sauvan kaikkien pienten varausalkioiden dq aiheu>amien ken>ävektori alkioiden de summa. MieI miltä ken>ä näy>äisi ja symmetriaa! (säästää turhalta laskemiselta). Mikähän on y komponenn? Mitkä ovat oleelliset oletukset? L y Kirjan kuva 16.3 r x P de de = 1 4πε 0 dq r 2 = 1 4πε 0 λdy r 2, * tämä lasku on esitetty hyvin tarkkaan kirjan sivuilla

12 OHUEN ERISTESAUVAN KENTTÄ* Oletuksia: Sauva on hyvin ohut ja vara>u tasaisesi. Niin ohut e>ä varausalkio on niin pieni, e>ä se voidaan mallintaa pistevarauksena Summataan eli integroidaan koko sauvan yli. Symmetrian perusteella E y =0 * tämä lasku on esitetty hyvin tarkkaan kirjan sivuilla

13 OHUEN ERISTESAUVAN KENTTÄ* Ja si>en approksimoidaan rajatapauksia x >> L/2 x << L/2 * tämä lasku on esitetty hyvin tarkkaan kirjan sivuilla

14 OHUEN HYVIN PITKÄN ERISTESAUVAN KENTTÄ Miksi ken5ä ei pienene nyt 1/x 2? P de 1 de 1 de 2 de 2 Kirjan kuva 16.5

15 OHUEN ERISTESAUVAN KENTTÄ Miten laske5aisiin ken5ä muualla kuin sauvan keskellä (äärellisen pituinen sauva)? Ks. Kirjan sivut Havaintopiste P on nyt <x,y,0> eikä <x,0,0>. Lasku menee muuten samalla lailla kuin edellä, mu>a nyt y komponenit eivät summaudu ihan nollaan tällä kertaa

16 Laskarit 2, Tehtävä 2 Sähkövaraus Q on jakautunut li>eän renkaan muotoiseen alueeseen, jonka ulkosäde on R u ja sisäsäde R s. Varauskate on vakio. Määritä sähkökentän ken>ävoimakkuus E renkaan keskipisteen kau>a kulkevalla suoralla Vihje: Laske ensin hyvin ohuen renkaan (paksuus dr ja säde R) sähkö ken>ä akselilla. Jaa rengas ensin pieniin osiin ja miei miten määrität renkaan varauska>een. Li>eän renkaan voi ajatella koostuvan näistä ohuista rengasalkioista. MieI taas symmetriaa! Mitkä komponenit ovat nollia?

17 Laskarit 2, Tehtävä 2 Sähkövaraus Q on jakautunut li>eän renkaan muotoiseen alueeseen, jonka ulkosäde on R u ja sisäsäde R s. Varauskate on vakio. Määritä sähkökentän ken>ävoimakkuus E renkaan keskipisteen kau>a kulkevalla suoralla Tulos: Huomaa: Jos sisäsäde menee nollaan ja ulkosäde à saadaan ääre>ömään ulo>uva taso. Tällöin voidaan approksimoida E σ/2ε 0 (Sama tulos johdetaan eritavalla Tehtävässä 2.3) Huomaa myös! Tällöin ken>ä ei riipu ollenkaan etäisyydestä z!

18 Laskarit 2, Tehtävä 2: Lisää huomioita Kirjan sivuilla , missä lasketaan juurikin ohuen renkaan sähköken>ä sen keskipisteen kau>a kulkevalla suoralla: E = 1 4πε 0 qz (z 2 R 2 ) 3 2 Kun z >> R näy>ää pistevaraukselta. Mu>a, z=0 ken>ä on nolla (symmetria. ks. kuva 16.18!) Sivuilta taas lasketaan tasaisesi varatun ympyrälevyn ken>ä akselilla summaamalla yhteen ohuita renkaita. Saman tuloksen saat jos Tehtävässä 2.2 laitat R S à 0. Eli tulos on E = σ 2ε 0 " $ 1 # z % ' z 2 R 2 &

19 Laskarit 2, Tehtävä 2: Lisää huomioita Ympyrälevyn ken>ä on siis: E = σ " $ 1 2ε 0 # z z 2 R 2 % ' & Lähellä levyä z << R voidaan approksimoida E σ 2ε 0 # 1 z & % ( $ R' Kun z/r on hyvin pieni saadaan sama tulos kuin Tehtävässä 2 ääre>ömän levyn tapauksessa mielivaltaisella etäisyydellä akselista, eli E σ/2ε 0 Näistä voidaan helposi johtaa myös kondensaa>orin ken>ä!

20 ÄÄRETTÖMÄN PITKÄN SAUVAN KENTTÄ Tarkastellaan ensin hyvin pitkää äärellistä sauvaa Lasketaan ensin ken>ä pisteessä P sauvan päässä. y x θ P de de = 1 4πε 0 dq r 2 = 1 4πε 0 λdy r 2, dq r pitkä lasku tässä välissä x E = E x 2 E y 2 = 2 λ 4πε 0 x

21 ÄÄRETTÖMÄN PITKÄN SAUVAN KENTTÄ Yhdistetään kaksi sauvaa ääre>ömän pitkäksi sauvaksi Ken>ävektori missä hyvänsä etäisyydellä x johimesta on siten summa E A E B E = E A 2 E B 2 B E A P E = λ 2πε 0 x (sama tulos kuin edellä, äärellisen pituisen sauvan keskellä) A x E B Pitkän suoran johimen ken>ä on siis kaikkialla kohisuorassa johdinta vastaan (myös symmetriasta).

22 Laskarit 2, Tehtävä 3 Ääre>ömän pitkän ohuen tasaisesi varatun eristelevyn varauskate on η ja leveys L. Levy on xy tasossa välillä x=l/2 ja x=l/2. Mikä on sähkökentän voimakkuus E korkeudella z levyn yläpuolella? Entäpä jos z << L tai z >> L? Vihje: Voit ajatella e>ä levy koostuu hyvin ohuista, ääre>ömän pitkistä sauvoista. Määritä sauvan varauskate. (MieI mitä nuo approksimaaiot käytännössä tarkoi>aa ja mitä saamasi tulokset niillä tarkoi>avat ) Taas sama tärkeä tulos rajalla z << L à E z =η/2ε 0 Vertaa tätä harjoituksen 2.2 tulokseen, missä sama tulos saaiin ympyrälevylle, jonka säde vieiin ääre>ömyyteen. Ja myös kirjan tehtävään missä laskenin ken>ä lähellä ympyrälevyä.

23 ÄÄRETTÖMÄN TASOLEVYN SÄHKÖKENTTÄ E z =η/2ε 0 Kentän suuntautuminen kohisuoraan ulospäin levystä ja sen homogeenisuus, ts. e>ä sähköken>ä on samanlaineen (suunta ja suuruus) etäisyydestä riippuma>a joka paikassa, voidaan perustella myös symmetrian avulla.

24 d KONDENSAATTORI* Mitkä hyvänsä kaksi lähellä toisiaan olevaa johde kappale>a, joilla on erimerkkiset varaukset Q ja Q, muodostavat kondensaa>orin. Voidaan tallentaa sähkövarausta, varastoi energiaa sähköken>ään. Käytetään elektronisissa piireissä jännitevaihteluiden tasaamisessa. Mitä tapahtuu varauksille levyissä? Q pintaala A Q Millainen sähköken5ä muodostuu levyjen väliin? Onko levyjen ulkopuolella ken5ää? *Lue kirjan sivut

25 KONDENSAATTORI* à varaukset vetävät toisiaan puoleensa ja ase>uvat levyjen sisäpinnoille Kondensaa>orin sisällä E ja E samaan suuntaan à ne>oken>ä on suuri. E E E tot 0 E E E tot Ulkopuolella E ja E vastakkaisiin suuniin à ne>oken>ä on hyvin hyvin pieni (ks. Kirjan sivu 644 fringe field ) *Lue kirjan sivut

26 KONDENSAATTORI* Levyjen välissä ken>ävoimakkuus on 2 yhden levyn ken>ä E=E E Edelllä saaiin ympyrälevyn ken>ä, lähellä levyä E σ 2ε 0 # 1 z & % ( $ R' Tästä voidaan nyt helposi laskea ken>ä keskellä: E σ # 1 s / 2 & % ( σ = Q / A ε 0 $ R ' ε 0 ε 0 E E E tot 0 levyt lähellä toisiaan, s pieni 0 E E s E tot (eli ei juurikaan z riippuvuu>a) s z *Lue kirjan sivut

27 KONDENSAATTORI* s Kondensaa>orin ken>ä siis kun levyjen ala on A ja varaus niissä Q, sekä levyjen etäisyys on hyvin pieni verra>una levyjen säteeseen R E Q / A ε 0 E E E tot 0 Huom! Koska oletus, e>ä ollaan kaukana reunoilta tämä tulos pätee myös muiden mallisille kondensaa>oreille, esim. suorakulmio *Lue kirjan sivut E E s E tot z

28 PALLOKUOREN KENTTÄ* läpileikkaus Lasku perustuu pallokuoren jakamiseen renkaisiin (pallokoordinaait) ja laskemalla näiden superposiio (integraali). Integraalista tulee hyvin vaikea. Seuraavalla luennolla huomataan e>ä usein helpompi määri>ää poteniaali ja laskea siitä ken>ä derivoimalla E = 1 4πε *Lue kirjan sivut ja lasku s Q r 2 r > R (näy>ää pistevaraukselta)