Coulombin laki ja sähkökenttä

Transkriptio

1 Luku 1 Coulombin laki ja sähkökenttä 1.1 Sähkövaraus ja Coulombin voima Sähköisten ilmiöiden olemassaolo ilmenee niiden aiheuttamista mekaanisista vaikutuksista (osittain myös optisista vaikutuksista; kipinät ja salamat). Kappaleita voidaan varata sähköisesti ja näiden varausten olemassaolo ilmenee varattujen kappaleiden välisinä voimina. Havaitaan, että sähkövarausta on kahta lajia. On nimittäin mahdollista varata kaksi metallikappaletta siten, että niiden aiheuttamat sähköiset ilmiöt häviävät, kun kappaleet yhdistetään. Tämä voidaan matemaattisesti esittää positiivisten ja negatiivisten suureiden avulla. Jos toisen metallikappaleen varaus on +q ja toisen q, on kappaleiden yhdistämisen jälkeen varaus +q + ( q) = 0. Sähköisten ilmiöiden häviäminen selittyy sillä, että yhdistetyn kappaleen sähkövaraus on nolla. Jos yhdistettävien kappaleiden varaukset eivät ole vastalukuja, sähköiset ilmiöt eivät häviä yhdistämisen jälkeen. q 1 F 21 q 2 r21 Kuva 1.1: Voima, jonka varaus 2 kohdistaa varaukseen 1. Kahden paikallaan olevan varatun kappaleen välillä voi vaikuttaa vetovoima tai poistovoima. Tämäkin selitetään positiivisten ja negatiivisten varausten avulla. Samanmerkkisten varausten välillä vaikuttaa poistovoima, erimerkkisten välillä vetovoima. Kaikissa tapauksissa voiman suuruus on verrannollinen kumpaankin varaukseen ja kääntäen verrannollinen varausten väliseen etäisyyteen. Pieni kappale näyttää etäältä katsottuna pistemäiseltä. Tällaisten pistemäisten varausten välinen voima voidaan esittää Coulombin voiman (Charles Coulomb, 1785) avulla muodossa c Tuomo Nygrén, 2010 F 21 = q 1q 2 4πε 0 r 2 21 u r = q 1q 2 4πε 0 r 3 21 r 21. (1.1) 23

2 24 LUKU 1. COULOMBIN LAKI JA SÄHKÖKENTTÄ Tässä F 21 on voima, jolla varaus 2 vaikuttaa varaukseen 1, q 1 ja q 2 ovat varausten 1 ja 2 suuruudet, r 21 on varauksen 1 etäisyys varauksesta 2, u r on yksikkövektori, joka osoittaa varauksesta 2 varauksen 1 suuntaan ja ε 0 on tyhjiön permittiivisyys. Coulombin lain esitysmuoto (1.1) sisältää sekä poisto- että vetovoiman. Jos nimittäin kaksi varausta ovat samanmerkkisiä, q 1 q 2 > 0, ja F 21 on samansuuntainen kuin u r, jolloin kyseessä on poistovoima. Jos taas kaksi varausta ovat erimerkkisiä, q 1 q 2 < 0, ja F 21 ja u r ovat vastakkaissuuntaisia. Tällöin kyseessä on vetovoima. Jos yhtälö (1.1) kirjoitetaan sille voimalle, jonka varaus 1 kohdistaa varaukseen 2, huomataan, että lauseke pysyy muuten samana, mutta yksikkövektorin u r suunta muuttuu päinvastaiseksi. Siitä seuraa, että F 21 = F 12, joten Coulombin laki on sopusoinnussa vaikutuksen ja vastavaikutuksen lain kanssa, kuten tulee ollakin. SI-järjestelmässä sähkövarauksen yksikkö määritellään sähkövirran yksikön ampeerin avulla ja se on [q] = As = C, (1.2) missä on otettu käyttöön uusi yksikkönimi coulombi. Permittiivisyys on SI-järjesmään liittyvä luonnonvakio, ja yhtälön (1.1) perusteella sen yksikkö olisi C 2 /(Nm 2 ). Tätä esitystapaa ei kuitenkaan käytetä, vaan voidaan osoittaa, että [ε 0 ] = As Vm = F m, (1.3) missä V on jännitten yksikkö voltti ja F on kapasitanssin yksikkö faraday. Tyhjiön permittiivisyyden arvo on ε 0 = 1 As µ 0 c2 Vm. (1.4) Useamman varauksen yhteen varaukseen vaikuttava voima saadaan muotoa (1.1) olevien voimien vektorisummana. Esimerkiksi kuvassa 1.2 varaus q 1 kohdistaa varaukseen q voiman F 1q ja varaus 2 voiman F 2q. Varaukseen q kohdistuva kokonaisvoima on silloin F q = F 1q + F 2q. Tällaisessa tapauksessa on käytännöllistä käyttää varausten paikkavektoreita r 1, r 2 ja r. Silloin on huomattava, että paikkavektori kaavassa (1.1) ilmoittaa voiman kohteen paikan voiman aiheuttajan suhteen. Näinollen q 1 r 1 r 1q F 2q O r 2 q 2 r r 2q q F 1q F Kuva 1.2: Kahden varauksen kolmanteen kohdistama voima.

3 1.2. SÄHKÖKENTTÄ 25 kuvan 1.2 tapauksessa kaavassa on käytettävä etäisyysvektoreita r 1q = r r 1 ja r 2q = r r 2. Siis F = F 1q + F 2q = q 1 q 4πε 0 r r 1 (r r q 2 q 1) + 3 4πε 0 r r 2 (r r 2). (1.5) 3 Tulos on suoraan yleistettävissä mielivaltaiseen varausjoukkoon. Jos avaruudessa sijaitsee N pistevarausta q i paikoissa r i, niin paikassa r olevaan varaukseen q kohdistuva voima on F = q N q i 4πε 0 r r i (r r i). (1.6) 3 i=1 Toisin kuin mekaniikan yhtälöt, sähköopin yhtälöt eivät ole yksikköjärjestelmästä riippumattomia. Esimerkiksi Coulombin voiman esitys (1.1) ei päde cgs-järjestelmässä. Tämä johtuu siitä, että sähkövaraus (tai virta) määritellään eri järjestelmissä eri tavoilla. On myös olemassa useita erilaisia cgs-järjestelmiä. Sähkövaraus on eräs alkeishiukkasten ominaisuus. Aineessa se ilmenee siten, että atomien ytimet ovat positiivisesti varattuja ja elektronit negatiivisesti varattuja. Sähkövaraus on kvantittunut: kaikki vapaat varaukset ovat alkeisvarauksen e monikertoja. Syytä tähän ei tiedetä. Alkeisvarauksen suuruus on e = (1, ± 0, ) C. Protonin varaus on +e ja elektronin varaus e. Baryonit (esim. protonit ja neutronit) koostuvat kvarkeista. Kvarkkien varaukset ovat alkeisvarauksen murto-osia ±e/3 tai ±2e/3. Baryonit (esimerkiksi protoni ja neutroni) koostuvat aina kolmesta kvarkista siten, että kokonaisvaraus on 0, e tai e. Kvarkkeja ei ole havaittu vapaina. Coulombi on hyvin suuri sähkövaraus. Hankaamalla kappaleeseen voidaan saada suuruusluokkaa = 10 8 C = 10 nc oleva varaus. Voimakkaasti varatun kappaleen pinnalla vain noin yksi 10 5 atomista menettää elektronin tai saa ylimääräisen elektronin. Toisaalta kappaleet sisältävät runsaasti sähkövarauksia: 250 g:ssa vettä on negatiivista varausta g/18 (g mol 1 ) mol 1 ( 1, ) C = 1, C. Ytimissä on kuitenkin yhtä paljon positiivista varausta, jolloin neutraalin veden kokonaisvaraus on nolla. 1.2 Sähkökenttä Yhtälön (1.6) mukaan varaukseen vaikuttava sähköinen voima on verrannollinen varauksen suuruuteen. Jos tämä voima jaetaan kohdevarauksen suuruudella, saadaan vektori E = F q = 1 4πε 0 N i=1 q i r r i 3 (r r i), (1.7) joka ei riipu siitä varauksesta, johon voima F vaikuttaa. Jos varausta q liikutetaan paikasta toiseen ja varauksia q i pidetään paikallaan, voidaan E määrittää jokaisessa avaruuden pisteessä. Näinollen kyseessä on vektorikenttä, jota nimitetään

4 26 LUKU 1. COULOMBIN LAKI JA SÄHKÖKENTTÄ sähkökentän voimakkuudeksi tai lyhyemmin sähkökentäksi. Sähkökentässä E paikallaan olevaan varaukseen q kohdistuu siis voima F = qe. (1.8) Tämän mukaan sähkökentän yksikkö olisi N/C, mutta tällaista yksikkömerkintää ei kuitenkaan käytetä. Osoittautuu että [E] = [F ] [q] = V m, (1.9) mikä on yleisesti käytössä oleva sähkökentän SI-yksikkö. Tässä esiintyvä uusi yksikkö V on nimeltään voltti. Coulombin lain (1.1) avulla pistemäisen origossa sijaitsevan varauksen q aiheuttamaksi sähkökentäksi saadaan (tässä q t on paikkaan r = ru r asetettu testivaraus) E = F q t = q 4πε 0 r 2 u r = E r (r)u r, (1.10) missä E r (r) = q/(4πε 0 r 2 ) on sähkökentän radiaalikomponentti (pallokoordinaatistossa). Huomaa, että tämä komponentti on positiivinen, jos q > 0 ja negatiivinen jos q < 0. Faraday otti käyttöön noin v kenttäviivat, joiden avulla sähkökenttää (ja muita kenttiä) voidaan visualisoida. Kenttäviivoilla on seuraavat ominaisuudet: Kenttäviivat ovat kaikkialla sähkökentän suuntaisia (siis kenttäviivan tangentti antaa E:n suunnan). Kenttäviivojen tiheys on verrannollinen sähkökentän voimakkuuteen. Kenttäviivat alkavat positiivisesta varauksesta ja päättyvät negatiiviseen. Kenttäviivat ovat jatkuvia varausten välisessä avaruudessa. Kenttäviivat eivät leikkaa toisiaan. q > 0 q < 0 Kuva 1.3: Pistevarauksen aiheuttaman sähkökentän kenttävivat.

5 1.3. JATKUVASTI JAKAUTUNUT VARAUS 27 Kuva 1.4: Dipolikentän kenttävivat. Positiivisen pistevarauksen aiheuttaman sähkökentän kenttäviivat ovat suoria, jotka lähtevät varauksesta kaikkiin suntiin (kuva 1.3). Vastaavasti negatiivisen pistevarauksen aiheuttamat kenttäviivat ovat suoria, jotka saapuvat kaikista suunnista ja päätyvät varaukseen. Itseisarvoltaan yhtäsuuret, mutta vastakkaismerkkiset varaukset muodostavat sähködipolin. Tällaisen varaussysteemin kenttäviivat lähtevät dipolin positiivisesta varauksesta ja päätyvät negatiiviseen. Ne on esitetty kuvassa Jatkuvasti jakautunut varaus Jos avaruudessa on hyvin lähellä toisiaan paljon pieniä varauksia, ovat kaavat (1.6) ja (1.7) epäkäytännöllisiä. Tällaisessa tapauksessa sähkövarausta voidaan pitää jatkuvasti jakautuneena ja voidaan määritellä varaustiheys seuraavalla tavalla. Kuvassa 1.5 a) paikassa r oleva pieni tilavuusalkio δτ sisältää erään nettovarauksen δq, joka a)!#!q = "!# b) r "(r) r-r r r!s r - r r O O Kuva 1.5: Tilavuus- ja pinta-alkion sisältämä varaus.

6 28 LUKU 1. COULOMBIN LAKI JA SÄHKÖKENTTÄ on tilavuuden sisällä olevien varausten summa. Tällöin varaustiheys paikassa r on δq ρ(r) = lim δτ 0 δτ. (1.11) Varaustiheyden idea on täsmälleen sama kuin mekaniikassa käytetyn massan tiheyden idea. Samoin kuin massan tiheys määritellään massana tilavuusyksikköä kohti, määritellään varaustiheys varauksena tilavusyksikköä kohti. Varaustiheys voi olla erilainen eri paikoissa; siis se voi olla paikan funktio. Koska varaustiheys on skalaari, kyseessä on skalaarikenttä. Varaustiheyden yksikkö on [ρ] = C m 3. (1.12) Joskus varaus voi sijaita niin ohuessa kerroksessa, että on käytännöllistä katsoa sen muodostavan äärettömän ohuen varauslevyn. Tällaista tilannetta esittää kuva 1.5 b). Jos paikassa r pinnalla S oleva pieni pinta-alkio δs sisältää varauksen δτ, määritellään pinnan varauskate yhtälöllä Varauskatteen yksikkö on δq σ(r) = lim δs 0 δs. (1.13) [σ] = C m 2. (1.14) 1.4 Jatkuvasti jakautuneen varauksen kenttä Sähkökentän laskemiseksi jatkuvasti jakautuneen varauksen tapauksessa (kuva 1.5 a) koko avaruus ajatellaan ensin jaetuksi pieniin tilavuusalkioihin. Jos i:nnen alkion tilavuus on δτ i on sen varaus δq = ρ(r i )δτ i, missä r i on alkion paikka. Yhtälön (1.7) mukaisesti kaikkien näin saatujen varausalkioiden aiheuttama sähkökenttä on tällaisten alkioiden aiheuttamien sähkökenttien summa. Siis E(r) = 1 4πε 0 n i=1 ρ(r i )δτ i r r i 3 (r r i). (1.15) Kun avaruuden jakoa tilavuuselementteihin tihennetään rajatta, summa lähenee tilavuusintegraalia, joten sähkökenttä on E(r) = 1 4πε 0 ρ(r )(r r )dτ r r 3, (1.16) missä tilavuusintegrointi suoritetaan koko avaruuden yli. Samalla periaatteella nähdään, että ohuella pinnalla olevan varauksen aiheuttama sähkökenttä on E(r) = 1 4πε 0 missä integraali lasketaan kaikkien varattujen pintojen yli. σ(r )(r r )ds r r 3, (1.17)

7 1.5. SÄHKÖKENTÄN LASKEMINEN COULOMBIN LAISTA Sähkökentän laskeminen Coulombin laista Tässä kappaleessa sovelletaan Coulombin lakia pariiin esimerkkiin Viivalähde Tarkastellaan äärettömän pitkää suoraa varattua lankaa, jonka varaus pituusyksikköä kohti on λ (kuva 1.6) ja lasketaan sähkökenttä etäisyydellä r langasta. Valitaan z-akseli langan suuntaiseksi ja asetetaan tarkastelupiste x-akselille. Kohdassa z oleva pituuselementti dz sisältää varauksen dq + = λdz ja se aiheuttaa tarkastelupisteessä sähkökentän de + = dq + 4πε 0 a 2 u + = λdz 4πε 0 (z 2 + r 2 ) u +. (1.18) Vastaavasti kohdassa z oleva pituuselementti dz sisältää varauksen dq = dq + = λdz ja sen aiheuttama sähkökenttä on de = dq 4πε 0 a 2 u = λdz 4πε 0 (z 2 + r 2 ) u. (1.19) Ilmeisesti näiden kahden kentän z-komponentit ovat itseisarvoltaan yhtä suuret, mutta vastakkaismerkkiset, joten ne kumoavat toisensa. Näinollen summakentällä on vain x-komponentti de = 2 cos θ λdz 4πε 0 (z 2 + r 2 ) u x = rλdz 2πε 0 a(z 2 + r 2 ) u x = rλdz 2πε 0 (z 2 + r 2 ) 3/2 u x. (1.20) Kokonaissähkökenttä saadaan tästä integroimalla. Integrointi onnistuu sijoituksella z = r tan θ, josta dz = rdθ/ cos 2 θ ja 1/(z 2 + r 2 ) 3/2 = cos 3 θ/r 3. Siis joten de = rλ cos3 θ rdθ 2πε 0 r 3 cos 2 θ u x = E = λ 2πε 0 r π/2 0 cos θdθu x = λ cos θdθ 2πε 0 r u x, (1.21) λ 2πε 0 r u x. (1.22) de+ x deu+ u-! r a=(r 2 + z 2 ) 1/2 dz -z 0 z z Kuva 1.6: Viivalähteen sähkökentän laskeminen.

8 30 LUKU 1. COULOMBIN LAKI JA SÄHKÖKENTTÄ Rengaslähde Rengasmaisen varausjakautuman kentän laskeminen yleisessä avaruuden pisteessä johtaa elliptisiin integraaleihin. Tässä tyydytään laskemaan kenttä vain renkaan akselilla. Valitaan renkaan akseli koordinaatiston z-akseliksi (kuva 1.7). Jos renkaan varaus pituusyksikköä kohti on λ, on ds:n mittaisen viivaelementin varaus λds. Ilmeisesti renkaan vastakkaisilta puolilta löytyvien viivaelementtien ds 1 ja ds 2 sisältämät varaukset aiheuttavat z-akselilla itseisarvoltaan yhtä suuret kentät de 1 ja de 2. Kuva on piirretty siten, että λ on oletettu positiiviseksi. Kenttien de 1 ja de 2 suunnat ovat sellaiset, että niiden z-akselia vastaan kohtisuorat komponentit kumoavat toisensa. Näinollen kokonaissähkökenttä on z-akselin suuntainen ja sen laskemiseksi riittää, että lasketaan kentän de 1 z-komponentti ja integroidaan renkaan ympäri. Ilmeisesti de 1z (z) = = λds 4πε 0 (a 2 + z 2 ) u u λds z z = 4πε 0 (a 2 + z 2 ) (a 2 + z 2 ) 1/2 λzds, (1.23) 4πε 0 (a 2 + z 2 ) 3/2 missä u on ds:stä poispäin osoittava yksikkövektori. Siis kokonaiskenttä on E z (z) = = λz 4πε 0 (a 2 + z 2 ) 3/2 C ds = λz 2πa 4πε 0 (a 2 + z 2 ) 3/2 λaz. (1.24) 2ε 0 (a 2 + z 2 ) 3/2 Tämä johto on muotoiltu niin, että tulos on voimassa sekä positiivisilla että negatiivisilla λ:n ja z:n arvoilla. Siis jos λ > 0, on E z (z) positiivinen positiivisella z- akselilla ja negatiivinen negatiivisella z-akselilla. Negatiivisilla λ:n arvoilla suunnat ovat päinvastaiset. x ds 1 (a 2 + z 2 ) 1/2 a de 2 y C O z de 1 z ds 2 Kuva 1.7: Rengaslähteen ja ympyrälevyn sähkökentän laskeminen renkaan akselilla.