9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO

Transkriptio

1 09 9 VALOAALTOJEN SUPERPOSITIO Edellisissä kaaleissa olemme tutkineet valon heijastumista eileissä ja taittumista linsseissä geometrisen otiikan aroksimaation avulla Aroksimaatiossa valon aaltoluonnetta ei oteta huomioon ja valon eteneminen ymmärretään sädemallin avulla Valo on kuitenkin aaltoliikettä Tässä ja seuraavissa kaaleissa tutkimme millaisia ilmiöitä (interferenssi, diffraktio, ) valon aaltoluonteesta seuraa Aaltoluonteesta johtuvat otiset ilmiöt kuuluvat ns fysikaalisen otiikan (hysical otics) aiheiiriin 9 VALOAALTO Yleisesti ositiivisen x-akselin suuntaan etenevää harmonista aaltoa (esim köydessä) olemme esittäneet funktiolla y( x, t) Asin( kxt ) Valoaalto muodostuu kahdesta komonentista, sähkökentästä E ja magneettikentästä B Kentät riiuvat toisistaan yksikäsitteisellä tavalla ja siten riittää tarkastella vain toista, esimerkiksi sähkökenttää E Positiivisen x-akselin suuntaan etenevän harmonisessa valoaallossa sähkökentän suuruudelle E E ätee E( x, t) E sin( kxt ) (9) 0 0 On huomattava, että funktion esittämä valoaalto on 3-ulotteinen Näin on, koska ensinnäkin matemaattisesti se toteuttaa 3-ulotteisen aaltoyhtälön E E (9) v t ja toiseksi se täyttää koko 3-ulotteisen avaruuden 0 0 Aaltoyhtälössä (9) aikkaderivaattaoeraattori x y z on ns Lalacen oeraattori ja yhtälöä voidaan itää -ulotteisen aaltoyhtälön E E x v t yleistyksenä On suoraviivaista todeta, että aalto (9) todellakin toteuttaa 3-ulotteisen aaltoyhtälön Miten sitten aalto (9) täyttää koko avaruuden? Tarkastellaan aaltoa kiinnitetyllä ajan hetkellä (valitaan t 0 ja lisäksi 0 0 ), jolloin aalto on "jähmettynyt" avaruuteen muotoon E( x) E sin( kx) Tutkitaan tätä aaltoa kohdassa x = vakio (kuva alla) Matemaattisesti kysymyksessä on x-akselia vastaan kohtisuorassa oleva inta, joka tässä taauksessa on taso Tällä äärettömän suurella tasolla (millä tahansa y:n ja z:n arvoilla) aallon vaiheella kx on vakioarvo ja siten myös sähkökentän E arvo on vakio Tämä vakiovaiheen inta on juuri aallon aaltorintama Aalto muodostuu äärettömän monesta äärettömän tiheään itkin x-akselia olevasta vakiovaiheen innasta täyttäen siten koko avaruuden Aalto on ns tasoaalto, koska vakiovaiheen innat ovat tasoja Kun aika vaautetaan juoksemaan, vakiovaiheen tasot etenevät itkin x-akselia 0

2 Esimerkki: Harmoninen tasoaalto E( x, t) E sin( kx t), 0 missä E0 0, k 0 ja 30 etenee ositiivisen x-akselin suuntaan Laske E:n arvo avaruuden isteissä a) (x, y, z) = (, 0, 0) b) (x, y, z) = (, 3, 4) hetkellä t 0 Huomaa, että molemmat isteet ovat tasolla x = vakio =, joka on kohtisuorassa etenemissuuntaa vastaan Ratkaisu: a) E 0sin(0 300) 0sin(0) 084 b) E 0sin(0 300) 0sin(0) 084 Aalto todellakin täyttää koko avaruuden (3-dim) ja sen vaihe tasolla x = on vakio (0 ajan hetkellä t 0) ja siten myös E:n arvo on vakio (084) Tähän saakka olemme tarkastelleet aaltoja, jotka etenevät vain koordinaattiakseleiden (x, y, tai z) suuntaan Yleistetään suunta Vektorin k suuntaan etenevä harmoninen tasoaalto on muotoa E( r, t) E0sin( kr t0), (93) missä k k ˆ ˆ ˆ xikyjkzk (94) on ns aaltovektori, jonka suuntaan aalto siis etenee, k k k k k (95) x y z / on jo tuttu aaltoluku, joka on nyt aaltovektorin ituus ja r xˆi yˆj zk ˆ (96) on aikkavektori (radiusvektori), jonka osoittamassa aikassa kenttä E lasketaan Esimerkki: Sähkömagneettinen harmoninen tasoaalto etenee amlitudilla E 0, kulmataajuudella ja aallonituudella Kirjoita aaltoa kuvaava funktio, kun aalto etenee a) y-akselin suuntaan b) 30 o :n kulmassa x-akselista mitattuna y-akselin suuntaan Ratkaisu: Yleinen muoto on E( r, t) E0sin( kr t0) a) Tässä k k ˆ ˆ ˆ xikyjkzk0 ˆik ˆ 0ˆ ˆ yj k kyj k k ky / r xˆi yˆj zk ˆ ja istetuloksi laskemme kr kxx k yy kzz k yy ky joten E( y, t) E0sin( kyt 0) b) Nyt 3 k kx ky kz k k k (ok!, elkkä tarkistus) 4 4 r xˆi yˆj zk ˆ ja 3 kr kxx k yy kzz kx ky k ( 3 x y ), joten E( x, y, t) E0sin k( 3 x y) t0, missä k /

3 3 Kätevä merkintätaa: Yleisessä taauksessa funktio (93) E( r, t) E sin( kr t ) 0 0 esittää etenevää harmonista tasoaaltoa alla esitetyn kuvan mukaisesti, jossa siis aaltovektori k kertoo aallon etenemissuunnan ja aikkavektori r osoittaa isteen P, jossa kentän E arvo lasketaan 4 Esimerkiksi, jos referenssiiste on asetettu koordinaatiston origoon ja aalto etenee x-akselin suuntaan, niin r x ja äädymme tuttuun aaltoon E E0sin( kxt 0) Kuvassa referenssikohta (-iste) on soivasti valittu iste (eräänlainen nollakohta), jonka kautta aalto etenee tarkasteluisteeseen P Yleisessä taauksessa koordinaatiston origo ei ole referenssiisteessä Kuvasta erusteella krk( r0 r ), ja jos origo asetetaan referenssiisteeseen, niin r 0 0 ja krkr kr Tässä istetulo kr on suoraan vektoreiden ituuksien tulo kr, koska vektorit ovat saman suuntaisia Aalto (93) voidaan kirjoittaa muodossa E E sin( kr t ), (97) 0 0 Monissa sovellutuksissa tarkastella elkästään aallon (97) E E sin( kr t ) 0 0 aikariiuvuutta isteessä P, jolloin on taana kirjoittaa missä on riiumaton ajasta E E sin( t) 0, (98) kr 0 9 SUPERPOSITIO Jo aikaisemmin olemme todenneet, että jos useami aaltoliike vaikuttaa samanaikaisesti määrätyssä isteessä, niin aaltojen yhteisvaikutus saadaan laskemalla yhteen eri aaltojen erikseen aiheuttamat vaikutukset Valoaaltojen taauksessa on huomattava, että kysymyksessä on vektoriyhteenlasku Kahden sähkömagneettisen aallon (sähkövektorit E ja E ) suerositio on siis EE E, missä tulos riiuu hyvin merkittävästi vektoreiden keskinäisistä suunnista Resultanttikentän suuruudelle saamme E E EE ( E E ) ( E E ) E E E E

4 5 Jos esimerkiksi E E, ts kentät ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, istetulo on nolla, EE 0, ja saadaan E E E Jos taas kentät ovat aralleeleja keskenään ( E E), istetulo antaa EE EE, missä (+)-merkki tarkoittaa saman suuntaisia kenttiä ja ()-merkki vastakkaissuuntaisia Kokonaiskentän suuruudeksi tulee E E E EE E E Jatkossa tarkastelemme (ellei toisin mainita) taauksia, joissa kentät ovat samansuuntaisia ja siten suerositio on "voimakkaimmillaan" ja se voidaan esittää skalaariyhtälöllä E E E 93 SAMATAAJUISTEN AALTOJEN SUPERPOSITIO Viereisessä kuvassa kaksi aaltoa, joilla on sama taajuus ( ) kohtaavat isteessä P ( c / ) k k k ( k / ) Huom! k k, koska suunnat oikkeavat Kirjoitetaan ensin aallot erikseen P:ssä yhtälön (98) muodossa E E0sin( t), kr 0 E E0sin( t), kr 0 Aaltojen vaihe-ero isteessä P on 6 ( t) ( t) k( r r ) ( 0 0) Vaihe-ero syntyy siis kahdesta termistä Ensimmäinen k( r r) muodostuu aaltojen matkaerosta lähteistään ja toinen niiden alkueräisestä vaiheerosta ( 0 0), kun aallot lähtevät lähteistään Aaltojen aikariiuvuudet (erikseen) isteessä P ovat E E0sin( t) E E0sin( t) ja resultantiksi tulee E E E E0sin( t) E0sin( t) R Soveltamalla trigonometrian identiteettiä sin( AB) sin Acos B cos Asin B, saadaan helosti tulos ER ( E0sin E0 sin )cost ( E0cosE0cos )sint Kun vielä merkitään E sin E sin E sin E cos E cos E cos saadaan, soveltamalla yllä esitettyä identiteettiä uudelleen, tulos E sin( ) R EE E0 t, (93) missä E0 E0 E0 E0E0 cos( ) (93) E0sinE0sin tan (933) E0cosE0cos Tässä kannattaa huomata, että resultantilla on sama muoto ja sama taajuus kuin osa-aalloilla Irradianssi isteessä P ( I E 0 ) riiuu vaihe-erosta termin E E cos( ) välityksellä Sovellutus: interferenssi-ilmiöt 0 0

5 7 Esimerkki: Kaksi samataajuista tasoaaltoa, joiden molemien sähkökentät värähtelevät z-suunnassa, etenevät toistensa suhteen ristiin, toinen x-suuntaan ja toinen y-suuntaan SI-yksiköissä aaltoja edustaa funktiot E ( x, t) 4sin x0t 3 E ( y, t) sin y0t 3 Laske aaltojen suerositio avaruuden isteessä (x, y, z) = (5,, 0) Ratkaisu: 5 8 E(5, t) 4sin 0t 4sin 0t 3 3 On siis 5 E(, t) sin 0t sin 0t E E sin t, missä E0 4 ja 8 /3 E E sin t, missä E0 ja 5 /3 0 ja näissä molemmissa 0 Resultantti on E sin( ) R E0 t, missä E E E E E cos( ) ja cos(5 /3 8 /3) 0 6cos( ) E tan E sin E sin 4 sin(8 /3) sin(5 /3) cos E cos 4 cos(8 /3) cos(5 /3) 4 3/ ( 3/) 3 4 ( / ) (/ ) tai 3 3 ja loulta siis ER sin 0t 3 tai ER sin 0t 3 Merkit ja kulmat on valittava siten, että ehdot (ks sivu 6) sin E0sin E0 sin E0cos E0cos E0cos 94 ERITAAJUISTEN AALTOJEN SUPERPOSITIO Nyt, joten myös k k (esim tyhjiössä k / c) ja E E sin( t), kr 0 0 E E sin( t), kr 0 0 Oletetaan yksinkertaisuuden vuoksi (ei muuta ilmiötä), että E0 E0 E0 ja ja lisäksi kx ja kx, ts molemmat etenevät x-suuntaan ja molemmilla on sama origo: Siis 3

6 ja resultantti isteessä P on 9 E E sin( k x t) (94) 0 E E sin( k x t) (94) 0 E E E E sin( k xt) sin( k x t) R 0 Sovelletaan seuraavaksi identiteettiä sin Asin Bcos ( AB) sin ( A B) Tässä taauksessa ( AB) ( k k ) x ( ) t ( AB) ( k k ) x ( ) t ja otetaan (kaukoviisaasti) käyttöön merkinnät ( ) ( ) g ( ) kg k k k ( ) k k jolloin saadaan E E cos( k x t)sin( k x t) (943) R 0 g g Tulos (943) esittää kosiniaallon ja siniaallon tuloa Siniaallon kulmataajuus on ja aaltoluku k, jotka ovat summautuvien aaltojen vastaavien suureiden keskiarvoja Kosiniaallon g ja k g ovat uolestaan alkueräisten suureiden erotusten uolikkaita ja siten ienemiä kuin siniaallolla Voidaan siis kirjoittaa g ja k kg missä on oletettu, että ja k k, Kun alkueräisillä aalloilla on lähes sama kulmataajuus ( ), niin g ja kiinnitetyssä avaruuden isteessä x x0 saadaan kuvaajat (seuraavalla sivulla): 0 Ylemmässä kuvassa resultantin (943) kosini- ja sinikomonenttien aikariiuvuudet on iirretty erikseen kiinnitetyssä avaruuden isteessä x x0 Suuremitaajuinen ( ) sini värähtelee noeammin Alemmassa kuvassa komonenttien tulo on iirretty yhtenäisellä viivalla Verhokäyrä edustaa amlitudin vaihtelua Resultanttiaalto on siis kahden aallon tulo: Matalan taajuuden aalto moduloi korkean taajuuden aaltoa Seurauksena on huojunta, jonka taajuus (huojuntataajuus, engl beat frequency) on kaksinkertainen moduloivan aallon taajuuteen verrattuna (vrt huojunta äänellä): b g Ryhmänoeus Edellistä tarkastelua voidaan soveltaa otiikassa disersioon Koska v c/ n, valon eri aallonituudet etenevät eri noeuksilla disersiivisessä väliaineessa, siis aineessa, jossa n n( ) Herää kysymys, mikä on useammasta aallonituudesta muodostuneen valon etenemisnoeus?

7 Tarkastellaan yksinkertaisuuden vuoksi väliaineessa etenevää valoa, joka muodostuu vain kahdesta eri aallonituisesta (eri taajuisesta) säteestä Oletetaan, että säteiden aallonituudet (taajuudet) oikkeavat vain vähän toisistaan, ts k k ja, mutta siten, että k k k ja Säteitä edustaa yhtälöt (94) ja (94), jotka yhdessä muodostavat resultantin (943) ja tilanne on edellisen sivun kuvien (ja teorian) mukainen Valon vaihenoeus v on itse resultanttiaallon (943) noeus Edellisen sivun alemmassa kuvassa sitä edustaa yhtenäinen käyrä, jonka kulmataajuus on ja aaltoluku k Vaihenoeudelle laskemme siis ( ) v (944) k ( kk) k missä viimeinen aroksimaatio voidaan tehdä koska k k k ja Valon ryhmänoeus v g on moduloivan aallon (ns aaltoaketin) noeus Sitä edustaa kuvassa verhokäyrä, jonka kulmataakuus on ja aaltoluku k Saadaan g ( ) d v g, (945) kg ( kk) dk missä derivaatta voidaan kirjoittaa koska taajuudet ja aaltoluvut oikkeavat vain vähän toisistaan Ryhmänoeus v g d / dk ja vaihenoeus v / k eivät yleisessä taauksessa ole samat: d d dv vg ( k v ) v k dk dk dk Tästä havaitaan, että jos noeus ei riiu aallonituudesta, ts ei ole disersiota, vg v Tilanne on tällainen esimerkiksi tyhjiössä, missä vg v c Disersiivisessä väliaineessa v c/ n, missä n n( ) ja siis myös n nk ( ) Tällöin dv d c c dn dn v dk dk n n dk n dk Saamme siis k dn vg v n dk Edelleen, koska k /, josta dk ( / ) d ( k/ ) d, kirjoitamme dn dn d dn dk d dk kd, ja saamme loulta dn vg v n d Kun disersio on normaali, dn/ d 0 ja siten vg v Nämä tulokset johdettiin aaltoaketille, joka muodostui kahdesta eri aallonituisesta säteestä, mutta ne ätevät yleisemminkin aaltoaketeille, joiden aallonituusjakauma on esimerkiksi jatkuva Aaltoaketin etenemistä voidaan karakterisoida joko vaihenoeudella (karkeasti yksittäisten aaltojen noeuksien keskiarvolla) tai ryhmänoeudella eli itse aketin noeudella Jälkimmäinen kertoo millä noeudella energia siirtyy, joten se on aaltojen (kokonaisuudessaan) noeuden mitta

8 3 Esimerkki: Valtameressä inta-aaltojen noeus riiuu veden syvyydestä Syvässä vedessä aallonituus on suuri ja noeus on / g v, missä g 98 m/s Vastaavasti matalassa vedessä aallot ovat enemmänkin "intaväreilyä", jolloin aallonituus on lyhyemi ja noeudelle saadaan / T v, missä on tiheys ja T intajännitys Osoita, että syvässä vedessä ryhmänoeus on uolet vaihenoeudesta ja vastaavasti matalassa vedessä vg (3/ ) v Ratkaisu: d d dv Yleisesti v ja vg k vv k k dk dk dk Syvässä vedessä / / g g / / v g k k / dv / / g v g k / dk k k k v ja siten vg v k v k Matalassa vedessä / / T T v k / / / dv /T k T v k k / dk k k v 3 ja siten vg v k v!! (huom vg v ) k 4 Esimerkki: Otisen lasin disersiokyky määritellään suhteena (75) ( nf nc) /( nd ), missä F, C ja D viittaavat näkyvän alueen Fraunhoferin viivoihin F 486 nm, C 6563 nm ja D 5890 nm Arvioi ryhmänoeus lasissa, jonka disersiokyky on /30 ja taitekerroin näkyvän alueen keskellä nd 50 Ratkaisu: Ryhmänoeus saadaan vaihenoeudesta laskemalla dn vg v n d On siis selvitettävä ) mikä on vaihenoeuden arvo, ) suhde / n ja 3) derivaatta dn/ d Tässä tarkastelu suoritetaan näkyvän valon alueella ) Vaihenoeus lasketaan c c c v n n D 50 missä koko näkyvää aluetta edustaa sen "keski"taitekerroin n D ) Suhde / n lasketaan D 589,0 nm 393 nm n n D 50 Tässäkin koko näkyvää aluetta edustaa D-viivan arvot 3) Derivaatta aroksimoidaan lasin disersiokyvyn avulla dn nf nc ( nd ) nm d F C 30( F C) Näillä arvoilla ryhmänoeudeksi tulee c v g 56